Sumário e Objectivos - web.fe.up.ptldinis/aula162005.pdf · Lúcia M.J. S. Dinis 2005/2006 Resistência dos Materiais 16ªAula 10 Exemplo 16.2-Resolução O Momento na Viga real

Lúcia M.J. S. Dinis2005/2006

Resistência dos Materiais16ªAula

1

Sumário e Objectivos

Sumário: Outros Métodos de Obtenção da Deformada num ponto.Objectivos da Aula: Apreensão da forma de cálculo da deformada em vigas.



2

Viga Flectida



3

Estrutura de Edifício



4

Stonehenge



5

Método da Viga Conjugada

A equação que relaciona o momento flector com a carga exterior é formalmente análoga à equação que define a curvatura em termos do momento flector, como facilmente se constata, assim como a equação do esforço transverso e da rotação

dT p(x)dx

= − T(x) p(x)dx T(0)= − +∫

2

2

Md p(x)dx

= − M(x) p(x)dx T(0)x M(0)= − + +∫∫

2

2

v M(x)dd EIx

=dv M(x)(x) dx (0)dx EI

θ = = + θ∫M(x)v dx (0)x v(0)

EI= + θ +∫ ∫



6

Viga Real e Viga Conjugada

M ≠ 0T ≠ 0M = 0

T ≠ 0

M = 0T ≠ 0

v = 0θ ≠ 0 v = 0

θ ≠ 0M = 0T ≠ 0

M = 0T ≠ 0

v = 0θ = 0

v ≠ 0θ≠ 0

M = 0T = 0

M ≠ 0T ≠ 0

v ≠ 0θ≠ 0

v = 0θ ≠ 0

v = 0θ ≠ 0

v = 0θ ≠ 0

v = 0θ ≠ 0

v ≠ 0θ≠ 0

v ≠ 0θ≠ 0

M ≠ 0T ≠ 0

M ≠ 0T ≠ 0 M = 0

T ≠ 0M = 0T ≠ 0

v = 0θ = 0

v = 0θ = 0 v ≠ 0

θ≠ 0v ≠ 0θ≠ 0

M ≠ 0T ≠ 0

M ≠ 0T ≠ 0

M = 0T = 0

M = 0T = 0

Viga Real Viga Conjugada



7

Exemplo 16.1

Considere a viga encastrada representada na figura e determine a expressão da deformada e o deslocamento transversal máximo recorrendo ao método da viga conjugada.



8

Exemplo 16.1-Resolução

O momento cM na viga conjugada obtém-se por integração da equação

O Momento na Viga real é tal que M(x) P(L x) M= − +

A viga conjugada representada na figura está sujeita à carga distribuída

cP(L x) M(x)p

EI− +

= −

2c

2

P(L x) Md Md EIx

− +=

ou seja

2c

1d PL P MM xx x Cdx EI 2EI EI

= − + + para x=0 T=0 1 0C⇒ =

3 2

2c 2

PL P Mx x CM x2EI 6EI 2EI= − + + para x=0 M=0 2 0C⇒ =

2 3

cr(PL M) Px xv M 2EI 6EI

+= = −



9

Exemplo 16.2

Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura e determine a expressão da deformada e o deslocamento transversal máximo considerando o método da viga conjugada.



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O Momento na Viga real é tal que2p pLxM x

2 2= − +

A viga conjugada está representada na figura sujeita à carga distribuída2

cp pLxx(x)p

2EI− +

= −

O momento na viga conjugada obtém-se por integração da equação2 2

c2

p pLxd M xd 2EIx

+=

ou seja

3c 2

1d PL PM x Cxdx 4EI 6EI

= − + para x=0 3pLT

24EI= −

4 3 3

c 2p pL p xx x L CM 24EI 12EI 24EI

= − + − + para x=0 M=0 2 0C⇒ =

( )3 2 3cr

px 2Lv M L x x24EI= = − − +



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Método das Diferenças Finitas

n 1 n 1

x 0n

vdv v vlimdx x 2 x

+ −

∆ →

∆ −⎡ ⎤ = ≅⎢ ⎥ ∆ ∆⎣ ⎦

2n 1 n n 1

2 2x 0n

dvv 2 vdx vd vlim

d xx x+ −

∆ →

⎛ ⎞∆⎜ ⎟ −⎡ ⎤ +⎝ ⎠= ≅⎢ ⎥ ∆ ∆⎣ ⎦



12

Método das Diferenças Finitas

2

23n 2 n 2n 1 n 1

3 3x 0n

vddv 2 2vv vxd vlim

d x 2x x+ −+ −

∆ →

⎛ ⎞∆ ⎜ ⎟ − −⎡ ⎤ +⎝ ⎠= ≅⎢ ⎥ ∆ ∆⎣ ⎦

3

34n 2 n 2n 1 n n 1

4 4x 0n

vddv 4 6 4 vv vxd v vlim

d xx x+ −+ −

∆ →

⎛ ⎞∆ ⎜ ⎟ − +⎡ ⎤ + −⎝ ⎠= ≅⎢ ⎥ ∆ ∆⎣ ⎦

A equação da elástica representada por diferenças finitas toma a forma

4n 2 n 2n 1 n n 1

p(x )4 6 4 vv v xv v EI+ −+ −− + = − ∆+ −



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A aplicação das condições de fronteira conduz a equações que têm de ser verificadas, estas equações conjuntamente com a equação da elástica conduzem ao sistema de equações por solução do qual se pode obter o deslocamento transversal num conjunto discreto de pontos.

Bordo Simplesmente Apoiado

v = 0 n 0v =⇒

M = 0 2

n 1 n n 12 2

n

v 2 vvd v 0dx x

+ −−⎡ ⎤ +⇒ ≅ =⎢ ⎥ ∆⎣ ⎦ ou n 1 n 1v v− +=−



14

Bordo Encastrado

v = 0n 0v =

n 1 n 1

n

dv v v 0dx 2 x

+ −−⎡ ⎤ ≅ =⎢ ⎥ ∆⎣ ⎦ou n 1 n 1v v− +=



15

Exemplo 16.3

Considere a viga representada na figura e determine o deslocamento no ponto médio por aplicação do método das diferenças finitas.



16


A aplicação das condições de fronteira conduz às equações seguintes

0

1 1

4

5 3

0vv v

0vv v

−

== −

== −

A consideração da equação da Elástica nos pontos em que é desconhecido o deslocamento no interior da viga conduz às equações seguintes

4

3 2 1 0 1

4

4 3 2 1 0

4

5 4 3 2 1

5pL4 6 4v v v v v256 4EI

3pL4 6 4v v v v v 256 2EI7pL4 6 4v v v v v

256 4EI

−− + − + = −

− + − + = −

− + − + = −



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Problemas Propostos

1. Considere a viga representada na figura seguinte e determine fazendo uso do método das diferenças finitas e do método da viga conjugada, a flecha e a inclinação na extremidade C. Compare as soluções obtidas.



18

Problemas Propostos (Cont.)

y

x

A

p

B C

L L



19

Problemas Propostos

2. Considere a Viga Plana Isostática representada na figura do slide seguinte, cuja secção recta também se representa e despreze o peso da viga para efeitos dos cálculos subsequentes.



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Problemas Propostos Cont.



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Problemas Propostos Cont.

a)Trace os Diagramas de Esforços Transversos e Momentos Flectores

b) No ponto A da viga existe um extensómetro que indica que a deformação axial é de compressão e de 30×. Determine a carga P a que a viga está sujeita.

c) Determine as Tensões de Corte máximas na viga.d)Determine o deslocamento transversal máximo usando os

três métodos estudados.O Módulo de Young do material da viga é 200Gpa.

10 3−



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Problemas Propostos

3. Considere a viga representada na figura e determine:a)o esforço transverso máximo e o momento flector máximo.b)as tensões longitudinais ou axiais máximas.c)as tensões de corte máximas.d)o deslocamento transversal máximo recorrendo a um dos métodos aprendidos.e)a deformação axial máxima.f)Verifique se as tensões obtidas correspondem a um estado de tensão admissível, considerando o critério de Cedência de von Mises.

E=200GPa e cσ =250MPa. Justifique os cálculos que efectuar.



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Problemas Propostos

Secção Plana 2kN/M 10kN

2m 4m

30mm

30mm30mm

200mm

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