TCC Guilherme Medeiros

UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO

FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

GUILHERME FLEITH DE MEDEIROS

OTIMIZAÇÃO DE GRELHAS

DE CONCRETO ARMADO

RELATÓRIO FINAL DO TRABALHO

DE CONCLUSÃO DE CURSO

Orientador: Prof. Moacir Kripka, Dr.

Passo Fundo

2010

Guilherme Fleith de Medeiros


DE CONCRETO ARMADO

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao

Curso de Engenharia Civil, da Faculdade de

Engenharia e Arquitetura, da Universidade de Passo

Fundo, como requisito parcial para a obtenção do

grau de Engenheiro Civil, sob a orientação do

Professor Moacir Kripka, Dr.

Passo Fundo

2010

Guilherme Fleith de Medeiros


DE CONCRETO ARMADO

Este Trabalho de Conclusão foi julgado e aprovado na disciplina de Trabalho de

Conclusão II do Curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia e Arquitetura

da Universidade de Passo Fundo.

Passo Fundo, 3 de novembro de 2010.

Profª. Simone Fiori, M.Sc.

Coordenadora do Curso

Prof. Diogo Schreiner Zanette, M.Sc.

Coordenador da Disciplina de TCC II

BANCA EXAMINADORA:

Prof. Moacir Kripka, Dr.

Prof. Diogo Schreiner Zanette, M.Sc.

Prof. Zacarias Martin Chamberlain Pravia, Dr.

Passo Fundo

2010

iv

Dedico este trabalho a meus pais Adão e Janete e a

meus irmãos Janine e Everton, por todo amor,

compreensão, incentivo e carinho.

v

Agradeço a todos os professores do curso de

Engenharia Civil da UPF, pelo conhecimento

repassado ao longo desses seis anos.

Ao professor Moacir Kripka, por todo auxílio

prestado durante os anos de faculdade, tanto na

orientação de minhas pesquisas de iniciação

científica, como na elaboração deste trabalho, e

especialmente pelos momentos de convívio e

amizade.

A todos os colegas de faculdade, em especial aos

grandes amigos Anderson Scheibler, Guilherme

Tisot e Matheus Ferreira, companheiros inseparáveis

nas horas de trabalho e de lazer.

Aos colegas e amigos do Laboratório de Análise,

Dimensionamento e Otimização Estrutural em

Engenharia Civil, com os quais convivi ao longo dos

últimos cinco anos.

À minha família, pelo constante auxílio e amor

empreendidos.

Agradeço também a Deus.

E a todos os outros que de alguma forma

contribuíram para que eu vencesse mais essa etapa

em minha vida, meu sincero agradecimento.

vi

RESUMO

No projeto estrutural convencional, o cálculo é realizado através de um processo de tentativa e

erro. Através da otimização estrutural, a melhor solução para um projeto é obtida através de

um processo sistemático de busca, onde se estabelece um modelo matemático para descrever

o problema, sendo definidos o objetivo a ser alcançado, os parâmetros de projeto e as

restrições. O presente trabalho objetiva minimizar o custo de vigas de concreto armado, pelo

modelo de grelha. Com esta finalidade, foi atualizado e aprimorado um software inicialmente

desenvolvido pelo professor orientador, o qual associa a análise e o dimensionamento de

estruturas com um método de otimização, a metaheurística Simulated Annealing. Ao

dimensionamento à flexão e verificação da flecha, já implementados, foi incluído o cálculo do

cisalhamento, da torção, da armadura de pele e a verificação do limite de abertura de fissuras.

Os custos relativos ao volume de concreto, peso do aço e área de fôrmas constituem a função

objetivo do problema de otimização. As alturas das vigas são consideradas como variáveis de

projeto. As soluções obtidas por meio do programa atendem aos Estados Limites Últimos e de

Serviço, de acordo com o que preconiza a Norma Brasileira NBR-6118 (2007). Quatro

exemplos principais servem de validação do software ao longo deste trabalho, bem como

fornecem uma série de parâmetros para o pré-dimensionamento de vigas em concreto armado.

Palavras-chave: Otimização Estrutural. Minimização de Custo. Concreto Armado. Simulated

Annealing.

vii

SUMÁRIO

RESUMO ................................................................................................................................. VI

SUMÁRIO .............................................................................................................................. VII

ABREVIATURAS, SIGLAS E SÍMBOLOS ........................................................................... IX

LISTA DE ILUSTRAÇÕES ................................................................................................. XIII

LISTA DE TABELAS .......................................................................................................... XVI

1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 1

1.1 Considerações Iniciais .......................................................................................................... 1

1.2 Justificativas ......................................................................................................................... 3

1.3 Objetivos ............................................................................................................................... 6

1.3.1 Objetivo Geral ................................................................................................................... 6

1.3.2 Objetivos Específicos ........................................................................................................ 6

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................................ 7

2.1 Dimensionamento de Estruturas de Concreto ...................................................................... 7

2.1.1 Dimensionamento à Flexão ............................................................................................... 8

2.1.2 Dimensionamento ao Cisalhamento ................................................................................ 12

2.1.3 Dimensionamento ao Momento Torçor ........................................................................... 15

2.1.4 Dimensionamento da Armadura de Pele ......................................................................... 19

2.1.5 Verificação da Flecha ...................................................................................................... 20

2.1.6 Verificação da Abertura de Fissuras ................................................................................ 23

2.2 Otimização Estrutural ......................................................................................................... 25

2.2.1 Métodos de Resolução de Problemas de Otimização ...................................................... 28

viii

2.2.2 Método do Recozimento Simulado (Simulated Annealing) ............................................ 29

2.2.3 Otimização de Estruturas de Concreto Armado .............................................................. 32

3 METODOLOGIA .................................................................................................................. 35

3.1 Considerações Iniciais ........................................................................................................ 35

3.2 Desenvolvimento da Formulação Matemática do Problema de Otimização ...................... 35

3.3 Aprimoramento e Atualização do Software de Otimização ............................................... 39

3.4 Estudos Sobre a Otimização de Grelhas de Concreto Armado .......................................... 45

3.4.1 Determinação dos Custos dos Materiais .......................................................................... 46

3.4.2 Vigas Biapoiadas ............................................................................................................. 48

3.4.3 Grelha Composta por Duas Vigas ................................................................................... 48

3.4.4 Pavimento Composto por Seis Vigas .............................................................................. 49

3.4.5 Pavimento Tipo Composto por 33 Vigas ........................................................................ 51

4 RESULTADOS ..................................................................................................................... 55


4.2 Vigas Biapoiadas ................................................................................................................ 55

4.3 Grelha Composta por Duas Vigas ...................................................................................... 73

4.4 Grelha Composta por Seis Vigas ........................................................................................ 77

4.5 Pavimento Tipo Composto por 33 Vigas ........................................................................... 80

5 CONCLUSÃO ....................................................................................................................... 86


5.2 Conclusões do Trabalho ..................................................................................................... 86

5.3 Recomendações para Trabalhos Futuros ............................................................................ 89

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 90

ix

ABREVIATURAS, SIGLAS E SÍMBOLOS

Letras minúsculas

Largura da alma de uma viga

Cobrimento

Altura útil de uma viga

Resistência de cálculo à compressão do concreto

Resistência característica à compressão do concreto

Resistência de cálculo à tração do concreto

Resistência característica inferior à tração do concreto

Resistência característica superior à tração do concreto

Resistência característica média à tração do concreto

, Resistência de cálculo ao escoamento do aço

, Resistência característica ao escoamento do aço

Valor da função objetivo para solução atual proposta no processo de

otimização

Valor da função objetivo para nova solução proposta no processo de

otimização

Função objetivo

Restrição de desigualdade

Altura de uma viga

Restrição de igualdade

Espessura de parede equivalente

x

Probabilidade de se aceitar uma nova solução pelo Critério de

Metropolis

Espaçamento das barras da armadura

Tempo quando se deseja o valor da flecha diferida

Idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração

Distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada

Valor característico da abertura de fissuras

Valor característico da abertura de fissuras limite

Letras maiúsculas

Área da seção cheia

Área da região de envolvimento protegida pela barra ϕi

Área da seção equivalente

Área total de fôrmas

Área de armadura de pele

Área de armadura na zona tracionada

Área de armadura na zona comprimida

Área da seção transversal dos estribos de força cortante

Soma das áreas das seções das barras longitudinais de torção

Área da seção transversal do número de ramos de um estribo, contidas

na parede equivalente

Custo unitário do aço CA-50

Custo unitário do aço CA-60

Custo unitário do concreto

Custo unitário das fôrmas

Custo total da estrutura

Distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do

elemento estrutural

Módulo de elasticidade secante do concreto

Rigidez equivalente da seção de concreto

Módulo de elasticidade do aço

Módulo de elasticidade do aço da barra considerada, de diâmetro ϕi

xi

Momento de inércia da seção bruta de concreto

Momento de inércia da seção fissurada de concreto no Estádio II

Comprimento de uma viga

Momento máximo atuante no elemento estrutural

Parcela do momento absorvido pela armadura de tração

Parcela do momento absorvido pela armadura de compressão

Momento solicitante de cálculo

Momento solicitante mínimo de cálculo

Momento de fissuração do elemento estrutural

Mão de Obra

Peso total de aço longitudinal

Peso total de aço transversal

Parâmetro Temperatura do Simulated Annealing

Momento resistente de cálculo à torção, que representa o limite de

resistência das diagonais comprimidas de concreto

Momento resistente de cálculo à torção, que representa o limite para a

parcela resistida pelos estribos normais ao eixo da peça

Momento resistente de cálculo à torção, que representa o limite para a

parcela resistida pelas barras longitudinais

Momento torçor solicitante de cálculo

Parcela de força cortante resistida por mecanismos complementares ao

modelo em treliça

Volume total de concreto

Força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais

comprimidas de concreto

Força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal

Força cortante solicitante de cálculo

Parcela de força cortante resistida pela armadura transversal

Altura da linha neutra

Altura limite da linha neutra

Altura da linha neutra para a seção fissurada

Altura da linha neutra para diagrama retangular de tensões

xii

Módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativa à

fibra mais tracionada

Letras gregas

Relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto

Fator de cálculo da flecha adicional diferida

Coeficiente de cálculo da força resistente de cálculo das bielas

comprimidas

Flecha

Flecha máxima admissível

Deformação específica de escoamento do concreto

Deformação específica de escoamento do aço de cálculo

Diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada

Diâmetro de armadura longitudinal

Diâmetro de armadura transversal

Coeficiente de ponderação da resistência do concreto

Coeficiente de ponderação da resistência do aço

Coeficiente de conformação superficial da armadura

Perímetro da seção cheia de concreto

Perímetro da seção equivalente de concreto

Ângulo de inclinação das diagonais de concreto

Taxa de armadura de compressão

Taxa de mínima de armadura de flexão

Taxa de armadura passiva ou ativa aderente em relação à área da região

de envolvimento

Peso específico do aço

Taxa de armadura transversal mínima

Tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada,

calculada no estádio II

Diferença no valor da função objetivo entre diferentes soluções

Coeficiente função do tempo para cálculo da flecha diferida

xiii

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Ilustração 1: Simplificação do diagrama parábola-retângulo ..................................................... 9

Ilustração 2: Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas ............................................... 10

Ilustração 3: Diagrama de domínios de dimensionamento ....................................................... 11

Ilustração 4: Analogia da treliça de Mörsch ............................................................................. 12

Ilustração 5: Treliça espacial generalizada utilizada no cálculo da torção ............................... 16

Ilustração 6: Limites para deslocamentos ................................................................................. 20

Ilustração 7: Valores do coeficiente ξ em função do tempo ..................................................... 22

Ilustração 8: Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da

armadura ................................................................................................................................... 23

Ilustração 9: Coeficientes de conformação superficial ............................................................. 24

Ilustração 10: Concreto de envolvimento da armadura ............................................................ 25

Ilustração 11: Fuga dos mínimos locais (LM) e obtenção do mínimo global (GM)

pelo SA ..................................................................................................................................... 30

Ilustração 12: Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas ............................................. 38

Ilustração 13: Fluxograma do software de otimização de grelhas pelo SA.............................. 41

Ilustração 14: Exemplo de arquivo de dados do software. ....................................................... 42

Ilustração 15: Exemplo de telas do arquivo executável. .......................................................... 43

Ilustração 16: Exemplo de arquivo de saída do software. ........................................................ 45

Ilustração 17: Croqui do modelo de grelha com duas vigas ..................................................... 49

Ilustração 18: Planta de fôrma do pavimento de seis vigas (dimensões em m.) ...................... 50

xiv

Ilustração 19: Planta de fôrmas do pavimento tipo de 33 vigas (dimensões em cm) ............... 52

Ilustração 20: Cargas totais nas vigas do pavimento tipo (em kN/m) ...................................... 53

Ilustração 21: Cargas permanentes nas vigas do pavimento tipo (em kN/m) .......................... 54

Ilustração 22: Alturas ótimas de vigas biapoiadas de fck 20 MPa para diferentes

vãos. .......................................................................................................................................... 56


vãos. .......................................................................................................................................... 57


vãos. .......................................................................................................................................... 57


vãos. .......................................................................................................................................... 58

Ilustração 26: Alturas ótimas para diferentes valores de fck, considerando o

carregamento mínimo. .............................................................................................................. 59

Ilustração 27: Alturas ótimas para diferentes valores de fck, considerando o

carregamento máximo. ............................................................................................................. 60

Ilustração 28: Variação no custo ótimo de vigas biapoiadas de fck 20 MPa. ............................ 60




Ilustração 32: Variação no custo ótimo das vigas de acordo com o fck do concreto

(carregamento mínimo). ........................................................................................................... 62

Ilustração 33: Variação no custo ótimo das vigas de acordo com o fck do concreto

(carregamento máximo). ........................................................................................................... 63

Ilustração 34: Representatividade de cada material no custo total (fck 20 MPa e

carregamento mínimo). ............................................................................................................. 64








carregamento máximo). ............................................................................................................ 66

xv








vãos (considerando a MO). ....................................................................................................... 70

Ilustração 43: Comparativo dos custos ótimos para fck 20 MPa e carregamento

mínimo. ..................................................................................................................................... 71

Ilustração 44: Comparativo dos custos ótimos para fck 20 MPa e carregamento

máximo. .................................................................................................................................... 71

Ilustração 45: Representatividade de cada material no custo total, incluindo a MO

(fck 20 MPa e carregamento mínimo). ...................................................................................... 72

Ilustração 46: Representatividade de cada material no custo total, incluindo a MO

(fck 20 MPa e carregamento máximo). ..................................................................................... 72

Ilustração 47: Representatividade dos materiais no custo total de grelha com duas

vigas e 1 tipo de seção. ............................................................................................................. 75

Ilustração 48: Representatividade dos materiais no custo total de grelha com duas

vigas e dois tipos de seção. ....................................................................................................... 77

Ilustração 49: Representatividade das ferragens de flexão, torção e de pele sobre

peso total de armadura longitudinal. ........................................................................................ 83

Ilustração 50: Representatividade das ferragens de cisalhamento, torção e mínima

sobre peso total de armadura transversal. ................................................................................. 83

Ilustração 51: Representatividade dos materiais no custo total para resultado

inicial e das três simulações...................................................................................................... 84

Ilustração 52: Representatividade dos materiais no custo total para resultado

inicial e das três simulações (considerando a MO). ................................................................. 85

xvi

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Determinação do custo de fôrmas por m². ................................................................ 46

Tabela 2: Determinação do custo de armaduras por kg............................................................ 47

Tabela 3: Determinação do custo do concreto por m³ para diferentes fck. ............................... 47

Tabela 4: Determinação do custo de fôrmas por m² (considerando a MO). ............................. 47

Tabela 5: Determinação do custo de armaduras por kg (considerando a MO). ....................... 47

Tabela 6: Determinação do custo do concreto por m³ (considerando a MO). .......................... 48

Tabela 7: Carregamentos atuantes nas vigas do pavimento de 6 vigas. ................................... 50

Tabela 8: Relações vão/altura médias para diferentes resistências do concreto....................... 56

Tabela 9: Indicação das vigas onde a flecha é restrição ativa. ................................................. 59

Tabela 10: Participação percentual média dos materiais no custo total. .................................. 68

Tabela 11: Taxas de armadura e consumo de aço para diferentes valores de fck. .................... 69

Tabela 12: Alturas ótimas obtidas sem e com a inclusão da mão de obra para fck de

20 MPa. ..................................................................................................................................... 70

Tabela 13: Indicação das vigas onde a flecha é restrição ativa (fck 20 MPa,

incluindo a MO). ...................................................................................................................... 73

Tabela 14: Resultados das simulações para a grelha de composta por duas vigas (1

tipo de seção). ........................................................................................................................... 74

Tabela 15: Resultados das simulações para a grelha de composta por duas vigas

(dois tipos de seção). ................................................................................................................ 75

Tabela 16: Custos ótimos obtidos para o estudo da grelha de duas vigas. ............................... 76

Tabela 17: Alturas ótimas obtidas pela análise individual e pela grelha com seis

grupos (com armadura de pele). ............................................................................................... 77

xvii

Tabela 18: Relação maior vão/altura das vigas da grelha. ....................................................... 78

Tabela 19: Resultados da análise do pavimento com dois, três e seis grupos de

vigas. ......................................................................................................................................... 79

Tabela 20: Alturas ótimas obtidas pela análise individual e pela grelha com seis

grupos (sem armadura de pele). ................................................................................................ 79

Tabela 21: Resultados de altura ótima para pavimento tipo considerando três

grupos de seção. ........................................................................................................................ 80

Tabela 22: Resultados de altura ótima para pavimento tipo considerando 10

grupos de seção. ........................................................................................................................ 80

Tabela 23: Resultados de altura ótima para pavimento tipo considerando 33

grupos de seção. ........................................................................................................................ 81

Tabela 24: Resultados obtidos para as três simulações efetuadas sem considerar a

MO. ........................................................................................................................................... 82

Tabela 25: Resultados obtidos para as três simulações efetuadas considerando a

MO. ........................................................................................................................................... 85

1 INTRODUÇÃO

1.1 Considerações Iniciais

O concreto armado é um material que vem sendo largamente usado em todos os

países do mundo e em vários tipos de construção (BASTOS, 2006). Segundo SANTOS

(2006), em nenhum país desse mundo modernizado a tecnologia do concreto armado foi tão

predominante quanto no Brasil. De acordo com o mesmo autor, ele é o material estrutural

absolutamente hegemônico nas construções das cidades brasileiras. A tecnologia do concreto

armado é a técnica amplamente dominante na confecção de estruturas de edifícios no Brasil,

tanto por motivos econômicos como culturais (FREITAS JÚNIOR, 2005).

De acordo com Bastos (2006), o concreto armado é um material que apresenta

diversas características positivas, como economia, conservação, adaptabilidade, rapidez de

construção, segurança contra o fogo, impermeabilidade, e resistência ao choque e vibrações,

justificando sua grande aplicação em projetos estruturais. Segundo Araújo (2003), o concreto

armado tem muitas vantagens sobre os demais materiais estruturais, tais como: economia,

facilidade de execução e possibilidade de construção de estruturas hiperestáticas (reservas de

segurança).

E no contexto dos projetos de estruturas, como as de concreto armado, tem-se

destacado a importância da utilização de técnicas de otimização no dimensionamento das

mesmas.

O mercado competitivo criado entre as empresas de engenharia aumentou a

preocupação com a redução de custos dos empreendimentos. Nesse contexto, a otimização de

estruturas tem se mostrado uma ferramenta importante para tornar as empresas mais

competitivas num mercado globalizado (SILVA, 2001).

2

Bastos (2004) também afirma que há a necessidade cada vez maior de se diminuir os

custos das construções, devido à alta competitividade do mercado. Este objetivo, segundo o

autor, pode ser facilmente alcançado através da utilização de alguma técnica de otimização,

cuja finalidade seja selecionar a melhor solução entre as inúmeras possíveis.

A otimização pode ser entendida como uma maneira hábil de se identificar a melhor

solução dentre as inúmeras disponíveis (SILVA, 2001). De acordo com Chaves (2004), busca-

se, com o uso de técnicas de otimização, a minimização dos custos para uma estrutura que

satisfaça a princípios de segurança, com respeito aos estados limites de ruptura e de

utilização, e as imposições de normas técnicas.

A otimização de estruturas com adequação às características práticas de projeto é

hoje algo com um grande potencial para ser aplicado nos escritórios de cálculo. Não há

dúvida que a próxima e importante vantagem competitiva a ser buscada pelo mercado de

engenharia de projetos estruturais são os métodos de otimização, principalmente pelo critério

econômico, e cabe aos pesquisadores desenvolvê-los para que o mercado os utilize (SILVA,

2001).

Entretanto, de acordo com Nina (2006), a maior razão do porque apenas pequena

parte dos resultados das pesquisas em otimização tem sido adotada nos projetos práticos é que

poucas satisfazem as necessidades específicas dos usuários potenciais. Em geral é dada maior

prioridade à matemática sobre os aspectos estruturais da otimização nas publicações, sendo

feitos exemplos triviais com a intenção apenas de ilustrar o sucesso da aplicação de um

algoritmo em particular. Então é razoável assumir que a otimização se tornará mais atrativa

aos projetistas se mais exemplos de concreto e suas aplicações forem disponibilizados,

especialmente para estruturas realistas, com condições de carregamento e análise dos estados

limites.

O presente trabalho apresenta exemplos de otimização dos custos de estruturas de

concreto armado, a partir de técnica heurística de otimização. É realizada a otimização de

vigas, pelo modelo de grelha, a partir de software implementado em linguagem Fortran, sendo

considerados, na obtenção da solução, os custos do concreto, armadura longitudinal, armadura

transversal e fôrmas. Esse software, já existente antes do desenvolvimento do presente estudo,

era capaz de minimizar os custos de grelhas de concreto armado, de acordo com a antiga NBR

6118, de 1980, considerando a armadura de flexão e a verificação da flecha. Através deste

trabalho, o programa computacional foi atualizado de acordo com a nova NBR 6118 (2007),

incluindo a armadura de cisalhamento, de torção e de pele no dimensionamento das vigas,

bem como a verificação do limite de abertura de fissuras.

3

1.2 Justificativas

O engenheiro de estruturas, quando faz a concepção do projeto, conhecido como pré-

dimensionamento, usa sua experiência e intuição para escolher os elementos que melhor irão

atender aos aspectos de segurança e funcionalidade da estrutura. Esta etapa do projeto muitas

vezes se torna exaustiva e, por causa da falta de tempo e limitação dos custos, nem sempre

garante a escolha da opção mais econômica para aquela situação, visto que existem várias

soluções que igualmente satisfazem às condições exigidas pelas normas que regem a prática

da engenharia (NINA, 2006).

Para se compreender melhor a importância da otimização de estruturas é necessário

salientar as diferenças básicas entre um projeto ótimo e um projeto convencional. No projeto

estrutural convencional, o cálculo é realizado através de um processo de tentativa e erro.

Assim sendo, usualmente, a solução obtida não será a melhor com relação aos custos e

consumo dos materiais, sendo a solução ótima alcançada apenas eventualmente. Já a

utilização de uma técnica de otimização permite implementar o problema de busca da solução

ótima através de um modelo matemático extremamente bem definido, onde são estabelecidos

os objetivos a serem alcançados, os parâmetros de projeto e as restrições a serem respeitadas.

Assim sendo, a solução ótima é obtida através de um processo sistemático (BASTOS, 2004).

Maia (2009), cita que uma grande vantagem de otimizar projetos é o abandono de

parâmetros baseados na intuição ou na experiência dos engenheiros. Segundo o mesmo autor,

a otimização nos projetos de engenharia, torna-se imprescindível, nesse cenário de escassez

de recursos e crescimento da demanda.

Com o objetivo de transpor as barreiras, impostas pelo processo de projeto

tradicional na busca pelo projeto ótimo, é que as técnicas de otimização mostram-se como

ferramentas extremamente valiosas, quando são colocadas à disposição do projetista

estrutural. No projeto convencional, o projetista procura, frequentemente, apenas ajustar as

dimensões dos elementos estruturais, de modo a garantir o atendimento aos estados limites,

sem considerar se a configuração geométrica final poderia, ou o quanto poderia, ser

melhorada. Tal conduta se deve quase que exclusivamente às limitações impostas ao

engenheiro pelo processo de projeto tradicional, pois a busca do projeto ótimo, mesmo

partindo de um modelo estrutural pré-estabelecido, à base de tentativa e erro, é certamente

uma tarefa inviável (RODRIGUES JÚNIOR, 2005).

4

De acordo com Nogueira (2005), em um projeto estrutural, assim como em qualquer

empreendimento de engenharia, procura-se a solução mais econômica e segura possível. Isto

significa que a estrutura deve apresentar-se resistente, estável, duradoura e com o menor

custo. O desejo de se obter o projeto ideal, considerando aspectos relacionados ao consumo,

desempenho ou eficiência, sempre foi um dos principais objetivos da engenharia estrutural.

Na busca desses objetivos, as técnicas de otimização são ferramentas valiosas, principalmente

nos projetos atuais com estruturas cada vez mais esbeltas e complexas, onde apenas a

experiência e o bom senso do projetista já não permitem mais alcançá-los.

Bastos (2004) afirma que o dimensionamento convencional de estruturas de concreto

armado visa obter simplesmente um detalhamento de uma seção, cujos esforços resistentes

sejam capazes de suportar com a devida segurança os esforços atuantes, e que, ao mesmo

tempo, satisfaça aos requisitos e prescrições de norma. Todavia, para um mesmo

carregamento atuante, existem diversas configurações possíveis que satisfazem a tais

requisitos. Por conseguinte, muitas soluções são consideradas aceitáveis. Assim sendo, cada

vez mais é importante a obtenção de um detalhamento mais “enxuto” das seções de concreto,

onde o consumo de materiais seja o menor possível, sem comprometer a segurança da

estrutura.

Os programas comerciais atuais de dimensionamento de estruturas de concreto

armado já têm uma qualidade bastante avançada, fazendo, a partir do pré-dimensionamento,

desde o cálculo dos esforços até o detalhamento de todos os elementos, enquanto que o

engenheiro apenas acompanha o processo e faz os ajustes necessários para a entrega da

solução final. Mas, como foi mencionado, os softwares partem do pré-dimensionamento,

sendo esta etapa essencial ainda realizada geralmente a partir da experiência e intuição do

projetista, por métodos de tentativa e erro. Apesar de que pequenos erros cometidos nesta fase

serão corrigidos durante o dimensionamento, esse processo geralmente não leva à solução

mais econômica, visto que podem existir diversas soluções que atendam às condições de

segurança exigidas pelas Normas e há pouco tempo para o engenheiro escolher a que lhe

parecer ser a de mínimo custo (NINA, 2006).

Segundo Nina (2006), os métodos de otimização em projetos de estruturas podem

proporcionar a automatização do pré-dimensionamento e trazer vários benefícios econômicos,

tanto para o projetista, que terá seu tempo poupado contando com um auxílio matemático para

encontrar a estrutura mais econômica com a certeza de estar atendendo às condições

arquitetônicas, de segurança e construtivas, quanto para o construtor, que terá menos gastos

para executar a estrutura.

5

Um projeto estrutural é, sem dúvida, uma atividade bastante complexa e exigente.

Antes da fase de dimensionamento dos elementos estruturais, a concepção da estrutura, bem

como o arranjo estrutural e seu lançamento constituem fases preliminares de grande

importância no contexto geral do projeto. Nessas fases, as variáveis consideradas são muitas,

uma vez que exercem influência significativa no desempenho final da estrutura. Como

exemplo, pode-se citar o posicionamento dos pilares, que certamente, afetam

significativamente os esforços na estrutura. Além disso, a arquitetura é fator decisivo na

concepção estrutural, pois determina, na grande maioria dos casos, as larguras de vigas,

embutimento de pilares, altura máxima das vigas, etc. Portanto, o projeto estrutural pode ser

entendido como um processo iterativo, no qual as variáveis de projeto são determinadas

através de inúmeras aproximações sucessivas até atingirem valores aceitáveis dentro de

intervalos possíveis (NOGUEIRA, 2005)

Segundo o exposto por Albuquerque (2007), o projetista de estruturas, por mais

experiente que seja, necessita sempre fazer estudos comparativos procurando, entre os

sistemas estruturais e suas configurações, a alternativa estrutural que esteja entre as mais

econômicas para a edificação que se está projetando. Esta atividade demanda tempo e, mesmo

assim, nem sempre alcança o resultado ótimo, já que a solução ótima pode não figurar entre as

alternativas testadas.

Nas últimas quatro décadas ocorreu um grande avanço na teoria da otimização

estrutural, mas os vários encontros realizados com o intuito de divulgar os trabalhos

realizados e as tentativas de inseri-la no dia-a-dia dos escritórios de engenharia falharam, e a

sua utilização ainda é quase nula, estando estes trabalhos restritos a especialistas no assunto,

como afirma Vanderplaats apud Nina (2006), mostrando a necessidade de se difundir de

maneira mais usual nos escritórios de cálculo esse tipo de técnica.

Este trabalho também se justifica na medida em que irá fornecer parâmetros de pré-

dimensionamento para estrutura de concreto armado, que poderão ser utilizados pelos

projetistas no lançamento de sua estrutura, caso os mesmos não possuam seus próprios

softwares de otimização.

6

1.3 Objetivos

1.3.1 Objetivo Geral

Minimizar os custos de estruturas de concreto armado através de técnica de

otimização.

1.3.2 Objetivos Específicos

Apresentar principais estudos publicados nos últimos anos sobre otimização de

estruturas de concreto armado;

Aprimorar e atualizar software de otimização de custo de grelhas de concreto

armado, desenvolvido em linguagem Fortran, utilizando análise matricial de

estruturas e o método heurístico de otimização Simulated Annealing;

Verificar a influência dos esforços de flexão, cisalhamento e torção, da armadura

de pele, bem como dos Estados Limites de Serviço (flecha e abertura de fissuras),

nos resultados do processo de otimização;

Verificar a contribuição das parcelas volume de concreto, peso de aço e área de

fôrmas sobre o custo final das vigas otimizadas;

Fornecer parâmetros de pré-dimensionamento para projetos de estruturas em

concreto armado.

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 Dimensionamento de Estruturas de Concreto

O concreto armado é o material resultante da união do concreto e um material

resistente a tração (armadura), envolvido pelo primeiro, com perfeita aderência entre os dois

materiais, de tal maneira que ambos resistam solidariamente aos esforços a que forem

submetidos (SANTOS apud MAIA, 2009).

Uma estrutura deve, durante toda sua vida útil, possuir recursos (resistências)

superiores às demandas (ações), seja no âmbito da capacidade resistente dos materiais, bem

como no seu aspecto global ou perda de equilíbrio. Com este intuito, a NBR 6118 (2007) e a

NBR 8681 (2003), além de diversos códigos internacionais, definem uma série de restrições

que se traduzem em critérios de segurança adotados para o projeto de estruturas. São os

chamados Estados Limites. De acordo com essa abordagem, estados limites são os estágios a

partir dos quais a estrutura apresenta desempenho inadequado às finalidades para as quais foi

projetada. Assim, as estruturas são projetadas com o uso de coeficientes parciais de segurança

que tem como objetivo suprir todas as incertezas possíveis inerentes às variáveis de projeto.

Estes coeficientes parciais são aplicados sobre as resistências dos elementos e ações que

atuam na estrutura de modo a garantir certa folga de segurança quanto aos estados limites

últimos e colapso estrutural, além de verificar também estados limites de utilização que

representam as situações em serviço (NOGUEIRA, 2005).

Estados Limites Últimos são aqueles que correspondem à máxima capacidade

portante da estrutura, ou seja, sua simples ocorrência determina a paralisação, no todo ou em

parte, do uso da construção. Estados Limites de Serviço são aqueles que correspondem a

condições precárias em serviço. Sua ocorrência, repetição ou duração causam efeitos

8

estruturais que não respeitam condições especificadas para o uso normal da construção ou que

são indícios de comprometimento da durabilidade (PINHEIRO et al, 2005).

2.1.1 Dimensionamento à Flexão

De acordo com Araújo (2003), as hipóteses básicas admitidas no dimensionamento

de uma seção transversal de concreto armado, submetida à flexão simples ou composta são as

seguintes:

Seções planas: uma seção transversal ao eixo do elemento estrutural indeformado,

que inicialmente era plana e normal a esse eixo, permanece nessa condição após as

deformações do elemento

Aderência perfeita: admite-se a existência de uma aderência perfeita entre o

concreto e o aço, ou seja, nenhum escorregamento da armadura é considerado.

Concreto em tração: despreza-se totalmente a resistência à tração do concreto.

Dessa forma, todo o esforço de tração será resistido pelas armaduras.

Segundo Pinheiro et al (2005), o dimensionamento de uma seção de concreto armado

a flexão deve ser realizado considerando o Estádio III. Nesse estádio, a zona comprimida

encontra-se plastificada e o concreto dessa região está na iminência da ruptura. Admite-se que

o diagrama de tensões seja da forma parabólico-retangular, também conhecido como

diagrama parábola-retângulo.

Para simplificar o trabalho de cálculo, a NBR 6118 (2007), permite substituir o

diagrama parábola-retângulo por um diagrama retangular de tensões no concreto, como o

indicado na Ilustração 1. Com a substituição, admite-se que a tensão no concreto (σcd) é

uniforme da borda comprimida da seção até uma distância 0,8X, onde X é a altura da linha

neutra (local na seção onde os esforços de tração e compressão são nulos). Essa distância,

igual a 80% da altura da linha neutra, é aqui designada por Y. A tensão do concreto (σcd) pode

ser igual a 0,85fcd, quando a largura da seção, medida paralelamente a linha neutra, não

diminuir a partir desta para a borda comprimida, ou igual a 0,80 fcd, nos casos contrários.

9

Ilustração 1: Simplificação do diagrama parábola-retângulo

Fonte: Maia (2009, p.27).

Para a seção de uma viga submetida a esforços de flexão estar em equilíbrio, é

necessário que um parte da seção esteja comprimida e outra tracionada. Dessa forma, a

resultante das tensões de compressão no concreto (Rcc), juntamente com a resultante de tração

na armadura (Rst), podem formar um binário capaz de equilibrar o momento fletor solicitante

de cálculo (Md) (ARAÚJO, 2003). Além disso, o somatório de Rcc e Rst deve ser nulo.

Portanto, pode-se determinar o equilíbrio das forças internas atuantes na seção através das

Equações 1 e 2.

(1)

(2)

Desenvolvendo as Equações 1 e 2, chega-se às Equações 3 e 4, que determinam a

altura da linha neutra (X) e a área de aço de tração (As) necessária para um determinado

carregamento.

(3)

10

(4)

Segundo a NBR 6118 (2007), a área mínima de aço deve ser calculada a partir do

momento mínimo (Md,min) obtido através da Equação 5, ou através da indicação da Tabela

17.3 da Norma (Ilustração 2), adotando-se o menor dos dois valores. O valor da resistência

característica superior do concreto à tração (fctk,sup) é dado pela Equação 6. O módulo de

resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais tracionada (W0), é

calculado, para seções retangulares, segundo a Equação 7.

(5)

, fck em MPa (6)

(7)

Ilustração 2: Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas

Fonte: Tabela 17.3 da NBR 6118 (2007, p.117).

A NBR 6118 (2007) recomenda que as peças sujeitas a flexão sejam dimensionadas

no Domínio 3, ou seja, consideradas como normalmente armadas. O diagrama de domínios da

Norma é apresentado na Ilustração 3.

11

Ilustração 3: Diagrama de domínios de dimensionamento

Fonte: NBR 6118 (2007, p.108).

No Domínio 3, a ruptura ocorre com esmagamento do concreto e com escoamento da

armadura (ARAÚJO, 2003). A deformação do concreto (εc) é limitada em 3,5‰, enquanto a

deformação do aço (εs) possui valor entre 10‰ e εyd (deformação de escoamento de cálculo,

dada pela Equação 8). Para que a peça se encontre no Domínio 3 e seja normalmente armada,

a altura da linha neutra poderá variar de 0,259.d até Xlim , determinado de acordo com a

Equação 9.

(8)

(9)

Neste domínio há o pleno aproveitamento de ambos os materiais, e desta forma é a

situação de dimensionamento mais adequada. De acordo com Araújo (2003), se a peça estiver

submetida ao Domínio 4, o aço não chega a escoar e a ruptura ocorre por esmagamento do

concreto em decorrência do excesso de armação (peça superamada). A ruptura é frágil, brusca

ou sem aviso prévio. Essas peças devem ser evitadas, pois, além de não darem aviso prévio da

ruptura, o aço não é integralmente aproveitado. No projeto de vigas, consegue-se evitar esse

12

tipo de situação com o emprego de armadura dupla (armaduras de tração e de compressão), ou

redimensionando a altura da seção de concreto. Em caso de se manter a geometria da seção, e

se optar pelo uso de armadura dupla, a parte do momento que não é absorvida pela armadura

de tração é suportada por uma armadura de compressão, dividida nas faces superior e inferior

das vigas.

Uma viga também pode ser dimensionada à flexão como sendo subarmada, quando

se encontrar no Domínio 2 (máximo alongamento das armaduras (εs) igual a 10‰ e

deformação máxima do concreto (εc) limitada em 3,5‰, de acordo com o exposto pela NBR

6118 (2007). Nessa condição o concreto não trabalha com sua capacidade máxima e, portanto,

é mal aproveitado. A linha neutra (X) varia de 0 até 0,259.d (PINHEIRO et al, 2005).

2.1.2 Dimensionamento ao Cisalhamento

Segundo Maia (2009), para o dimensionamento da armadura transversal de

cisalhamento podem-se propor vários modelos. O primeiro modelo clássico é o baseado na

analogia da treliça de Ritter-Mörsch, no qual a viga fissurada é assemelhada a uma treliça.

Para uma viga biapoiada com seção retangular, é admitido que, após a fissuração, seu

comportamento é semelhante ao de uma treliça, conforme a Ilustração 4, na qual está indicada

a armadura transversal com inclinação de 90°, formada por estribos.

Ilustração 4: Analogia da treliça de Mörsch

Fonte: Maia (2009, p.32).

De acordo com Pinheiro et al (2005), a treliça de Mörsh é formada pelos seguintes

elementos:

13

Banzo superior: cordão de concreto comprimido

Banzo inferior: armadura longitudinal de tração

Diagonais comprimidas: bielas de concreto entre as fissuras

Diagonais tracionadas: armadura transversal (de cisalhamento)

A partir dessa analogia, e com a introdução de correções ao modelo teórico, uma

viga deve ser dimensionada de forma a não romper por meio das bielas comprimidas, nem

pelas diagonais tracionadas. Toda a análise é feita considerando a peça no Estádio II. A NBR

6118 (2007) propõe dois métodos de verificação ao cisalhamento baseados na analogia de

treliça de Mörsch, entretanto neste trabalho se utilizou apenas o modelo I. A verificação das

bielas comprimidas deve ser realizada a partir da Equação 10, onde a força cortante solicitante

de cálculo (VSd) deve ser menor que a força resistente de cálculo das bielas comprimidas

(VRd2), calculada a partir da Equação 11. A resistência de cálculo do concreto (fcd) é dada pela

Equação 12. E o coeficiente αv2 é obtido através da Equação 13.

(10)

(11)

(12)

(13)

As diagonais tracionadas, de acordo com a NBR 6118 (2007), devem ser verificadas

a partir da Equação 14, onde o esforço resistente (VRd3), constituído pela parcela de esforço

absorvida pelo próprio concreto (VC) e pela armadura de cisalhamento (VSW), deve ser maior

que o esforço solicitante (VSd).

(14)

14

Segundo a NBR 6118 (2007), a parcela absorvida pelo concreto (VC) é determinada

pela Equação 15. Fctd é obtido através da Equação 16. O valor da resistência característica

inferior do concreto à tração (fctk,inf) é dado pela Equação 17.

(15)

(16)

(17)

Devido à parcela de esforço cortante absorvido pelo próprio concreto, a NBR 6118

(2007) estabelece que o aço empregado na viga deve absorver apenas a diferença entre o

esforço solicitante (VSd) e a força resistente do concreto (VC), conforme a Equação 18.

(18)

Desta forma, a área de aço transversal por espaçamento de estribos (ASW/s), é

determinada pela Equação 19, para estribos a 90°.

(19)

A tensão resistente do aço (fywd) é determinada pela Equação 20, porém nunca sendo

tomada inferior a 435 MPa, de acordo com a NBR 6118 (2007).

(20)

15

2.1.3 Dimensionamento ao Momento Torçor

Segundo Araújo (2003), o dimensionamento à torção das estruturas de concreto

armado é feito no Estádio II. Para isso, adota-se o modelo de treliça de Mörsch, a exemplo do

dimensionamento ao esforço cortante. Para resistir aos esforços de tração, é adotado um

arranjo composto por barras longitudinais e estribos verticais. Essas armaduras, juntamente

com as bielas de compressão do concreto, formam uma treliça espacial capaz de equilibrar o

momento torçor solicitante.

Pinheiro et al (2005), também afirmam que o modelo da treliça espacial generalizada

que é adotado para os estudos de torção, de acordo com a NBR 6118 (2007), tem origem na

treliça clássica idealizada por Ritter e Mörsch para cisalhamento. Essa treliça espacial

(Ilustração 5), desenvolvido por Thürlimann e Lampert, é composta por quatro treliças planas

na periferia da peça, sendo as tensões de compressão absorvidas por barras (bielas) que fazem

um ângulo θ com o eixo da peça, e as tensões de tração absorvidas por barras decompostas

nas direções longitudinal (armação longitudinal) e transversal (estribos a 90°). A inclinação

das diagonais de compressão da treliça (θ) pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo entre

30° e 45°, de acordo com a NBR 6118 (2007). Neste trabalho, adotou-se o valor de 45°.

Segundo a NBR 6118 (2007), apenas a torção de equilíbrio precisa ser considerada

no dimensionamento de vigas. A torção de compatibilidade pode ser desprezada, desde que

sejam respeitados os limites de armadura mínima de cisalhamento e a Equação 21. A força

cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto (VRd2),

para estribos a 90° e inclinação das diagonais de compressão da treliça (θ) igual a 45°, é

apresentada na Equação 11.

16

Ilustração 5: Treliça espacial generalizada utilizada no cálculo da torção

Fonte: PINHEIRO et al (2005, p.252).

(21)

Admite-se satisfeita a resistência do elemento estrutural à torção de equilíbrio, numa

dada seção, quando se verificarem simultaneamente as condições apresentadas nas Equações

22 a 24 (NBR 6118, 2007). De acordo com elas, os momentos solicitantes de torção (TSd)

devem ser menores que os momentos resistentes das diagonais comprimidas de concreto

(TRd2), das armaduras transversais de torção (TRd3), e das armaduras longitudinais de torção

(TRd4).

(22)

17

(23)

(24)

De acordo com a Norma 6118 (2007), a treliça espacial é definida a partir de um

elemento estrutural de seção vazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar. A

espessura dessa seção vazada equivalente (he), é determinada a partir das Equações 25 e 26. A

distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural

(C1) é dada pela Equação 27.

(25)

(26)

(27)

Para se assegurar o não esmagamento da biela comprimida na torção pura, a NBR

6118 (2007) exige a verificação da condição exposta na Equação 22. TRd2, o momento torçor

resistido pela biela, pode ser obtido pela Equação 28 (inclinação das diagonais de compressão

da treliça (θ) igual a 45°). A resistência de cálculo à compressão do concreto (fcd) é

estabelecida de acordo com a Equação 12. O fator αv2 é calculado pela Equação 13. A área da

seção equivalente (Ae) é dada pela Equação 29.

(28)

(29)

18

Para solicitações de torção e cisalhamento combinadas, a NBR 6118 (2007),

determina que deve ser atendida a condição exposta na Equação 30.

(30)

Para o cálculo dos estribos, a NBR 6118 (2007) determina que deve ser verificada a

condição exposta na Equação 23. TRd,3, o momento torçor resistido pelos estribos, pode ser

obtido pela Equação 31 (inclinação das diagonais de compressão da treliça (θ) igual a 45°). A

tensão resistente do aço (fywd) é determinada pela Equação 20, porém nunca sendo tomada

inferior a 435 MPa, de acordo com a NBR 6118 (2007). Ao se considerar que, para o

dimensionamento dos estribos de torção, o momento torçor resistente (TRd3) deve ser igual ao

momento solicitante (TSd), a área de armadura transversal de torção por espaçamento entre

estribos (A90/s) , é definida na Equação 32.

(31)

(32)

Para o cálculo da armadura longitudinal, a NBR 6118 (2007) determina que deve ser

verificada a condição exposta na Equação 24. TRd4, o momento torçor resistido pela armadura

longitudinal, pode ser obtido pela Equação 33. (inclinação das diagonais de compressão da

treliça (θ) igual a 45°). A tensão resistente do aço (fywd) é determinada pela Equação 20,

porém nunca sendo tomada inferior a 435 MPa, de acordo com a NBR 6118 (2007). Ao se

considerar que, para o dimensionamento da armadura longitudinal de torção, o momento

torçor resistente (TRd4) deve ser igual ao momento solicitante (TSd), a soma das áreas das

seções das barras longitudinais de torção (Asλ) é definida na Equação 34. O perímetro da

seção equivalente (µe) é obtido pela Equação 35.

19

(33)

(34)

(35)

De acordo com Pinheiro et al (2005), no banzo tracionado pela flexão, somam-se as

armaduras longitudinais de flexão e de torção. A armadura transversal total também deve ser

obtida pela soma das armaduras de cisalhamento e de torção.

A quantidade mínima da armadura transversal (considerando as armaduras de

cisalhamento e torção), por espaçamento de estribos, é calculada a partir da Equação 36 (para

estribos a 90°). A resistência média à tração do concreto (fct,m) é determinada pela Equação

37.

(36)

, fck em MPa (37)

2.1.4 Dimensionamento da Armadura de Pele

De acordo com o item 17.3.5.2.3 da NBR 6118 (2007), a mínima armadura lateral

(Apele) deve ser igual a 0,10% da área da seção transversal da viga, em cada face da alma da

viga, para seções com altura maior que 60 cm. A armadura de pele é dispensada em seções de

altura menor que este limite.

20

2.1.5 Verificação da Flecha

A verificação dos valores limites estabelecidos na Tabela 13.2 da NBR 6118 (2007)

(Ilustração 6) para a deformação da estrutura, mais propriamente rotações e deslocamentos em

elementos estruturais lineares, analisados isoladamente e submetidos à combinação de ações,

deve ser realizada através de modelos que considerem a rigidez efetiva das seções do

elemento estrutural, ou seja, levem em consideração a presença da armadura, bem como a

existência de fissuras no concreto ao longo dessa armadura. A flecha total é dada pelo

somatório das deformações que ocorrem logo após o carregamento (flechas imediatas) e das

deformações diferidas no tempo (flechas de longa duração).

Ilustração 6: Limites para deslocamentos


Segundo a NBR 6118 (2007), o cálculo das flechas imediatas em vigas é realizado

através da combinação quase-permanente e considerando-se a rigidez equivalente da seção.

Para seções não fissuradas, onde o momento máximo de serviço atuante (Ma) é menor que o

momento de fissuração (Mr), a rigidez é dada pela multiplicação entre o módulo de

elasticidade secante do concreto (Ecs) e a inércia da seção bruta (IC). O momento de fissuração

(Mr), para seções retangulares, é calculado através da Equação 38, sendo yt a distância do

centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada (h/2 para seções retangulares). O fct,m é

calculado pela Equação 37. A inércia da seção bruta do concreto (IC) é dada, para seções

21

retangulares, pela Equação 39. Ecs é obtido pela Equação 40. Para seções fissuradas, onde o

momento máximo de serviço atuante (Ma) é maior que o momento de fissuração (Mr), a

rigidez é obtida através da Equação 41.

(38)

(39)

, fck em MPa (40)

(41)

O primeiro passo para a obtenção da inércia da seção fissurada (Estádio II), consiste

na determinação da nova posição da linha neutra (X2), através da resolução da raiz positiva da

Equação 42, de segundo grau. A relação entre os módulos de elasticidade do aço e do

concreto (αe) é obtida pela Equação 43. As corresponde à área de armadura tracionada, As’, à

área de armadura comprimida e d’ à distância entre a face superior da viga e o centro de

gravidade da armadura de compressão.

(42)

(43)

Tendo-se o valor da linha neutra para a seção no Estádio II, calcula-se o momento de

inércia da seção homogeneizada, de acordo com a Equação 44.

(44)

22

A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função da fluência,

pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator αf

dado pela Equação 45. A taxa geométrica da armadura longitudinal de compressão (ρ’) é

determinada pela Equação 46. E o coeficiente Δξ, função do tempo, é determinado pela

Equação 47.

(45)

(46)

(47)

Na Equação 47, t se refere ao tempo, em meses, no qual se queira a flecha diferida, e

t0 se refere à idade de aplicação da carga de longa duração. Os valores são obtidos através da

Equação 48 para t < 70 meses (ou através da Tabela 17.1 da NBR 6118(2007), mostrada na

Ilustração 7), e pela Equação 49 para t > 70 meses (adotou-se, neste trabalho, ξ(t) = 2 e ξ(t0)

= 0,68).

(48)

(49)

Ilustração 7: Valores do coeficiente ξ em função do tempo


23

O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1 + αf). A

flecha final deve ser menor que os valores limites indicados na Ilustração 6.

2.1.6 Verificação da Abertura de Fissuras

De acordo com a NBR 6118 (2007), a fissuração em elementos estruturais de

concreto armado é inevitável, devido à grande variabilidade e à baixa resistência do concreto

à tração. Mesmo sob as ações de serviço (utilização), valores críticos de tensões de tração são

atingidos. Visando obter bom desempenho relacionado à proteção das armaduras quanto à

corrosão e à aceitabilidade sensorial dos usuários, busca-se controlar a abertura dessas

fissuras. Na Tabela 13.3 da NBR 6118 (2007), apresentada parcialmente na Ilustração 8, são

apresentados os valores limites da abertura característica wk das fissuras.

Ilustração 8: Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da armadura


De acordo com a NBR 6118 (2007), na verificação de abertura de fissuras deve ser

considerada combinação frequente de ações. A primeira etapa consiste em verificar se a viga

está fissurada. Para isso, o momento de serviço atuante (Ma) deve ser maior que o momento

de fissuração (Mr), dado pela Equação 38. Se a viga estiver fissurada, ou seja, encontrar-se no

Estádio II, deve-se calcular a nova posição da linha neutra (X2) (através da Equação 42), bem

como a inércia para este estádio (por meio da Equação 44). Com esses dados, calcula-se a

tensão atuante na armadura longitudinal tracionada (σsi), através da Equação 50. A razão entre

os módulos de elasticidade do aço e do concreto (αe) pode ser adotada como de valor 15, de

acordo com o item 17.3.4 da NBR 6118 (2007).

24

(50)

Outro dado necessário para a determinação da abertura de fissuras é a conformação

superficial das barras de armadura (η1), obtida por meio da Tabela 8.2 na NBR 6118 (2007)

(Ilustração 9).

Ilustração 9: Coeficientes de conformação superficial


Enfim, o valor da abertura de fissuras, pode ser calculado por meio da Equação 51. O

módulo de elasticidade do aço (Esi) é tomado como igual a 210.000 MPa (item 8.3.5 da NBR

6118 (2007)). O valor de fct,m se dá por meio da Equação 37. O diâmetro característico das

barras de aço tracionadas é designado por ϕi.

(51)

O cálculo da abertura de fissuras também pode ser realizado por meio de outra

equação, que leva em conta uma área de envolvimento para cada armadura (Equação 52).

Para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras que controlam a fissuração do

elemento estrutural, deve ser considerada uma área Acri do concreto de envolvimento,

constituída por um retângulo cujos lados não distam mais de 7,5 ϕi do eixo da barra da

armadura, como mostrado na Ilustração 10. Por meio desse valor, é calculada a taxa de

armadura em relação à área da região de envolvimento (ρri).

25

Ilustração 10: Concreto de envolvimento da armadura

Fonte: NBR 6118 (2007, p.115).

(52)

O valor característico da abertura de fissuras, wk é o menor entre os obtidos pelas

Equações 51 e 52, no caso da utilização de ambas.

2.2 Otimização Estrutural

O problema de otimização consiste em alcançar a melhor solução para um problema

matematicamente definido, que é frequentemente a modelagem de um problema físico,

satisfazendo certas condições. No campo das estruturas, sejam estas de concreto ou de aço, a

otimização pode ser aplicada para achar o custo ou o peso ótimo de vigas, pilares, lajes,

pórticos ou treliças, sendo estes os modelos mais comumente estudados. As condições então

são conhecidas como restrições, sendo determinadas pelas normas e códigos que regem a

prática do projeto de estruturas, como limitações das dimensões das peças, equilíbrio de

esforços e limites de deslocamentos (NINA, 2006).

De acordo com Bastos (2004), um problema de otimização constitui na realidade

uma questão de maximização ou minimização de uma ou mais funções, com um ou mais

objetivos e sujeitas ou não a restrições. Dessa maneira, o projeto estrutural ótimo é obtido a

partir de diversas análises, levando-se em consideração as inúmeras possibilidades das

26

variáveis de projeto dentro de um conjunto viável de soluções condicionado às restrições de

norma e de desempenho.

O processo de identificação do objetivo, das variáveis e restrições para um dado

problema é conhecido como modelagem. A construção de um modelo apropriado é o primeiro

passo, algumas vezes o mais importante, no processo de otimização. Se o modelo for muito

simplista, não fornecerá critérios adequados dentro do problema prático, mas se for muito

complexo, será muito difícil de se resolver (CHAVES, 2004).

Segundo o exposto pelo autor Nogueira (2005), são problemas típicos de otimização

em engenharia de estruturas, a obtenção das dimensões que garantem o mínimo peso de uma

treliça, ou a disposição ótima dos apoios de um pavimento para que haja melhor distribuição

de esforços, e até mesmo, cálculo das dimensões de seções transversais de elementos de

concreto armado para que o custo seja mínimo. Assim, todo esse processo inicial de

conhecimento do objetivo, da identificação das variáveis importantes e restrições que devem

ser obedecidas constitui a chamada fase de modelagem de um problema de otimização.

Certamente a fase de modelagem é uma das mais importantes em todo o processo, pois

somente com a construção de um modelo adequado é que se torna possível representar o real

desempenho de um sistema considerado.

Os principais conceitos referentes à modelagem de um problema de otimização são

assim apresentados por Bastos (2004):

Variável de projeto: As variáveis de projeto são aquelas que se alteram durante o

processo de otimização, podendo ser contínuas (reais), inteiras ou discretas;

Restrições: São funções de igualdade ou desigualdade que descrevem situações de

projeto consideradas não desejáveis;

Espaço de Busca: É o conjunto, espaço ou região que compreende as soluções

possíveis ou viáveis do problema a ser otimizado, sendo delimitado pelas funções de

restrição;

Função Objetivo ou de Avaliação: É a função de uma ou mais variáveis que se

quer otimizar, minimizando-a ou maximizando-a;

Ponto Ótimo: É o ponto formado pelas variáveis de projeto que extremizam a

função objetivo e satisfazem as restrições;

Valor Ótimo: É o valor da função objetivo no ponto ótimo;

Solução Ótima: É o par formado pelo ponto ótimo e o valor ótimo, podendo ser

uma solução ótima local ou global.

27

Um ponto que satisfaça todas as restrições é denominado um ponto viável e o espaço

ou região que contem todos os pontos que satisfaçam todas as restrições é conhecido como

região viável. Uma restrição de desigualdade define uma fronteira que divide o em uma região

viável e outra inviável. Quando um ponto está sobre esta fronteira, a restrição é dita ativa;

quando um ponto está no interior da região viável, a restrição está inativa e, quando um ponto

está fora desta região, à restrição está violada (RODRIGUES JÚNIOR, 2005).

Maia (2009) cita que as restrições de desigualdade limitam por cima ou por baixo os

valores das variáveis de projeto, que as restrições de igualdade são utilizadas quando se quer

fixar um valor, geralmente nulo, como exigência do projeto, para algum parâmetro, e que as

restrições laterais limitam por cima e por baixo os valores das variáveis de projeto.

Segundo Vanderplaats apud Kripka (2003), um problema de otimização pode, de

forma geral, ser descrito como a minimização de uma função (Equação 53), sujeita a

restrições (Equações 54 a 56).

(53)

(54)

(55)

(56)

Onde f designa a função objetivo e x = (x1, x2,... xn)T consiste no vetor das variáveis

de projeto. As demais funções são as chamadas restrições do problema (respectivamente,

restrições de desigualdade, de igualdade e restrições laterais ou canalizadas). As funções

envolvidas no problema podem conter as variáveis de projeto de forma explícita ou não, além

de poderem ser desenvolvidas numérica ou analiticamente. Tanto a função objetivo como as

funções de restrição podem ser lineares ou não lineares.

A otimização de estruturas pode ser dividida em otimização de dimensões,

otimização de forma e otimização topológica. O objetivo da otimização topológica é

determinar a topologia ótima de uma estrutura, através da eliminação de elementos

desnecessários e da criação de vazios. Na otimização de forma, busca-se determinar a

28

geometria ótima dos contornos externos e internos de estruturas contínuas e das coordenadas

nodais de estruturas reticuladas, cujas dimensões e topologia são fixas. Já a otimização de

dimensões tem por objetivo determinar as dimensões (seções transversais, espessuras, etc.) de

cada componente de uma estrutura cuja forma e topologia são fixas (RODRIGUES JÚNIOR,

2005).

Nogueira (2005) reafirma essa classificação. Segundo o autor, pode-se classificar a

otimização de estruturas de acordo com os seguintes objetivos: otimização de seções

transversais dos elementos estruturais, otimização geométrica e otimização topológica. A

primeira procura o menor peso ou custo da estrutura a partir de reduções das seções

transversais dos elementos. A otimização geométrica possibilita a variação no comprimento

de cada elemento pela mudança nas coordenadas nodais. A otimização topológica é a mais

complexa das três, pois além dos objetivos comuns tanto à otimização de seção transversal e à

otimização geométrica, visa também à determinação de um número e disposição ótimos dos

elementos.

2.2.1 Métodos de Resolução de Problemas de Otimização

De acordo com Rodrigues Júnior (2005), os algoritmos usados para a solução de um

problema de otimização podem ser, basicamente, determinísticos ou probabilísticos. Os

métodos de otimização determinísticos, também denominados métodos clássicos, nos quais se

incluem os métodos de programação matemática, em geral são baseados nos cálculos de

derivadas de primeira ordem ou no cálculo de derivadas parciais de segunda ordem. Por

trabalharem com o cálculo de derivadas são denominados algoritmos de ordem n, onde n é a

maior derivada utilizada. Os métodos clássicos de programação matemática são geralmente

baseados em estratégias descendentes. Nestas, a partir de uma solução inicial, denominada

solução básica, e com base no cálculo de derivadas para indicar a direção na qual se deve

caminhar uma nova solução é gerada. O processo é então repetido até que nenhuma melhora

seja verificada no valor da função objetivo. Enquanto isso, os métodos baseados nos

algoritmos probabilísticos introduzem no processo de otimização dados e parâmetros

estocásticos resolvendo o problema do ponto de vista probabilístico.

Os métodos de programação matemática apresentam algumas limitações tais como

dificuldade de identificar soluções ótimas globais, pois são dependentes do ponto de partida,

29

dificuldade de trabalhar com variáveis discretas e dificuldade de operar com funções não

diferenciáveis (ALBUQUERQUE, 2007).

Bastos (2004) cita que uma característica imprescindível para a aplicabilidade dos

métodos clássicos é a necessidade de que a função objetivo seja contínua e diferenciável no

espaço de busca. Porém, este fato não ocorre na maioria dos problemas práticos de

engenharia, dificultando assim a sua aplicação.

Os métodos probabilísticos, nos quais se incluem os Algoritmos Genéticos e

Simulated Annealing (Método do Recozimento Simulado), entre outros, por não empregarem

o cálculo de derivadas, mas sim atuarem diretamente na busca das soluções no espaço viável,

são classificados como métodos de ordem zero. Além disso, estes métodos trabalham

adequadamente, tanto com parâmetros contínuos, como discretos, ou ainda com uma

combinação deles. Os métodos probabilísticos não se prendem tão facilmente a extremos

locais, uma vez que a busca é realizada dentro de toda a região viável disponível, sendo, por

esta razão, considerados algoritmos de otimização global. Estes métodos, entretanto, exigem

um grande número de avaliações do valor da função objetivo e das restrições, sendo

considerados métodos computacionalmente caros coso a avaliação da função objetivo e das

restrições demandem um tempo computacional considerável (RODRIGUES JÚNIOR, 2005).

2.2.2 Método do Recozimento Simulado (Simulated Annealing)

As diversas técnicas de programação matemática para otimização de estruturas

possuem grandes limitações no que diz respeito a suas aplicações em problemas práticos,

devido ao fato das funções necessitarem apresentar características como convexidade e

continuidade (tanto da função como de suas derivadas). As funções que envolvem o cálculo

de estruturas, ao contrário, usualmente são descontínuas e não-convexas (apresentando vários

pontos de ótimo). Para problemas dessa natureza, o Método do Recozimento Simulado, ou

Simulated Annealing, apresenta-se como uma boa alternativa.

O Simulated Annealing (SA) é um método heurístico baseado na mecânica

estatística, que tem origem a partir de um processo natural, que utiliza essencialmente o

processo aleatório como forma de evolução (FERREIRA, 2008). O método, apresentado

inicialmente por Kirkpatrick et al (1983), tem-se mostrado bastante competitivo com outras

heurísticas clássicas, tais como os Algoritmos Genéticos.

30

De acordo com Pereira (2007), o método Simulated Annealing apresenta a melhor

relação custo/benefício para a otimização de treliças, por possuir fácil implementação e

calibração, além de obter bons resultados com um tempo computacional reduzido. Simonetti

(2009) afirma que o SA é um algoritmo de otimização confiável para encontrar o ótimo

global, mesmo com um grande número de variáveis de projeto. De acordo com Ferreira

(2008), o método ganhou destaque por evitar ótimos locais e buscar ótimos globais

iterativamente. Segundo o autor, desde a época da sua descoberta, o SA tem provado ser

eficiente em muitos problemas de ordem combinatorial. Romano (2008) é outro autor que

afirma que a chave do algoritmo do SA está na possibilidade de fuga de mínimos locais

através de aceitação de soluções que aumentem a função custo, como visto na Ilustração 11.

Ilustração 11: Fuga dos mínimos locais (LM) e obtenção do mínimo global (GM) pelo SA

Fonte: Romano (2008, p.20).

Segundo Pereira (2007), o Método do Recozimento Simulado (Simulated Annealing),

faz analogia a Termodinâmica. O método desenvolve uma simulação do processo de

resfriamento de um conjunto de átomos aquecidos, operação que deu origem ao seu nome. De

acordo com Romano (2008), no processo físico de enrijecimento de sólidos, um material é

rapidamente aquecido e lentamente resfriado, para que suas falhas estruturais sejam

removidas. Se o processo de resfriamento for suficientemente lento, a configuração final do

material corresponderá à situação de mínima energia do sistema. Essa ideia é utilizada pelo

algoritmo do SA para minimizar uma função qualquer.

Ferreira (2008) cita que o recozimento tem a finalidade de reduzir ao máximo

possível a energia do material de forma a se ter um cristal o mais organizado possível. Esse

processo é realizado reduzindo-se a temperatura de forma lenta e gradual, possibilitando

assim, que as moléculas possam se estabilizar em estados de mínima energia, formando um

31

único cristal. Assim, a essência do processo é o resfriamento lento da mistura (geralmente

empregado em aços e em vidros) permitindo tempo suficiente para que as moléculas possam

se redistribuir gradualmente à medida que perdem mobilidade, atingindo um estado de menor

energia e, consequentemente, aumentando a capacidade de absorver energia (tenacidade).

Segundo Oliveira (2007), em sua descrição padrão, o SA começa a busca a partir de

uma solução inicial qualquer. Na prática, esta solução pode ser escolhida por métodos

heurísticos ou estocásticos. O laço de iterações, que caracteriza o procedimento principal, gera

aleatoriamente, em cada iteração, um único vizinho s’ da solução corrente s. Para avaliação do

aceite desta nova solução s’, é calculada a diferença (Δf) entre a qualidade da nova solução s’

e a qualidade da solução atual s. A função que computa a qualidade de uma solução é descrita

nesta seção como f. A Equação 57 demonstra o cálculo do valor Δ.

(57)

Se o valor de Δf for menor que 0 (zero), a nova solução s’ é automaticamente aceita

para substituir s. Caso contrário, a aceitação da nova solução s’ dependerá da probabilidade

estabelecida pelo Critério de Metropolis, originalmente proposto em química como uma

estratégia de determinação de estados (configurações) de equilíbrio de uma coleção de átomos

a uma dada temperatura, a qual é apresentada na Equação 58 (OLIVEIRA, 2007).

(58)

Como a temperatura decresce no decorrer da execução, nas etapas iniciais existe uma

maior probabilidade de aceitação de novas soluções. Essa probabilidade vai diminuindo no

decorrer da execução até chegar ao ponto (quando a temperatura estiver próxima de zero) em

que apenas movimentos que melhorem a função custo sejam aceitos e, por fim, o mínimo

global seja encontrado (ROMANO, 2008).

32

2.2.3 Otimização de Estruturas de Concreto Armado

A busca da excelência é uma atividade inerente ao exercício da Engenharia. No

projeto de estruturas de concreto armado, esse processo tem sido mais lento em virtude das

características próprias do material e, principalmente, ligadas aos processos construtivos, que

limitam as soluções. Assim, a aplicação da otimização ao projeto de estruturas de concreto

armado e sua utilização prática têm sido um desafio em muitas linhas de pesquisa (MAIA,

2009).

De acordo com Bastos (2004), existem diversos trabalhos publicados na literatura

buscando o dimensionamento ótimo de estruturas de concreto armado, onde os cálculos são

desenvolvidos utilizando-se diversas técnicas clássicas de otimização. Na maioria dos

estudos, o objetivo é minimizar os custos da seção de concreto de forma a atender a restrições

funcionais baseadas em normas de cálculo e atender também a restrições relacionadas aos

critérios de resistência.

Segundo Bastos (2004) expõe em seu trabalho, o interesse pela área de pesquisa em

otimização de estruturas de concreto armado teve início na década de 50, destacando-se o

trabalho de J. Heyman, que utilizou programação linear para otimizar estruturas no regime

plástico. Posteriormente, na década de 60, pode-se destacar o trabalho de L. A Schimit que

utilizou técnicas de programação não-linear em otimização de projetos estruturais. No

entanto, foi na década de 70 que diversos trabalhos relevantes foram desenvolvidos, sendo

estes estudos os principais responsáveis pela difusão dos processos de otimização pela

comunidade mundial.

De acordo com o exposto por Chaves (2004), desde o trabalho de Schimitd, em 1960,

a teoria da otimização estrutural tem avançado consideravelmente nas últimas quatro décadas,

conforme ilustrado pelo grande número de livros e artigos publicados, mas as publicações em

concreto armado e concreto protendido são, na maioria das vezes, encontrados isoladamente

devido à sua heterogeneidade e anisotropia. Segundo Conh e Dinovitzer apud Chaves (2004),

o aço é o material mais utilizado nos estudos sobre otimização estrutural, ocupando 92% dos

artigos publicados a esse respeito, enquanto o concreto e as estruturas mistas representam

apenas 4% do total.

Alguns dos principais trabalhos sobre otimização de estruturas de concreto

publicados no Brasil, nos últimos quinze anos, são apresentados, em ordem cronológica, logo

abaixo.

33

Soares (1997) desenvolveu um software que determina automaticamente e de

maneira ótima as alturas para as vigas de concreto armado de pavimentos de edifícios,

tratados como grelhas, de forma a terem custo mínimo. É utilizada otimização matemática.

Além da altura da viga, a área de aço também se constitui em uma variável do problema.

O trabalho de Kripka (1998) aborda, através de técnica matemática, a questão da

otimização geométrica aplicada às grelhas de concreto armado, em função do posicionamento

ótimo dos apoios. Assim, busca-se, pela mudança nas posições inicialmente idealizadas, a

redistribuição dos esforços no pavimento pela modificação da rigidez relativa dos elementos.

Com isso há maior uniformização dos esforços e, consequentemente, maior economia no

consumo dos materiais.

Silva (2001), apresenta alguns exemplos de otimização de estruturas de concreto

armado, como o de um trecho de pilar dimensionado à flexão composta obliqua e um pórtico

plano de concreto armado de cinco pavimentos. Utilizou a técnica heurística dos algoritmos

genéticos, analisando os custos do concreto, armadura longitudinal e fôrmas na função

objetivo. Adotou a altura da seção transversal e área de aço como variáveis do problema de

otimização.

O trabalho de Santos (2003), analisou vigas através de método matemático de

otimização. A solução proposta pelo autor fornece tanto as áreas das armaduras longitudinais

como dos estribos. A função objetivo constitui-se no volume de armaduras.

Vianna (2003) apresenta um procedimento para otimizar o pré-dimensionamento de

edifícios em concreto armado, tratados simplificadamente como pórticos planos. A partir do

posicionamento dos elementos e dos valores limites para as variáveis envolvidas, utilizando

um método matemático, é aplicada uma função de mínimo custo para a seção transversal das

vigas e dos pilares.

Kripka (2003) apresenta também uma formulação para a minimização do custo de

grelhas de edifícios em concreto armado, buscando a obtenção das seções que conduzam ao

menor custo total de concreto, aço e fôrmas. A determinação da altura da seção é efetuada em

função dos esforços de flexão. É utilizado o método Simulated Annealing.

Castilho (2003) investigou a otimização de painéis alveolares e vigotas protendidas.

É minimizada a função custo, sendo realizado um estudo comparativo dos algoritmos

genéticos com métodos clássicos de otimização.

Bastos (2004) desenvolveu um programa para o cálculo otimizado de seções

retangulares de concreto armado submetidas a esforços de flexo-compressão oblíqua. O

processo de otimização utilizou a técnica de algoritmos genéticos. A função objetivo envolveu

34

os custos de concreto, armaduras e fôrmas. Constituíram-se nas variáveis do processo de

otimização as áreas das seções transversais de concreto e as áreas de armadura longitudinal.

No trabalho de Chaves (2004), um programa computacional foi desenvolvido para a

determinação da seção transversal de pilares de concreto armado com o custo mínimo,

utilizando técnica de otimização matemática. Além das dimensões da seção transversal, a área

de armadura longitudinal foi tratada como variável do processo otimizatório.

Rodrigues Júnior (2005) propôs uma formulação para o projeto ótimo de pilares de

edifícios altos de concreto armado. Foram tratadas como variáveis de projeto as dimensões da

seção transversal e a armadura longitudinal dos pilares e a resistência característica do

concreto. Foi utilizado um método matemático de otimização.

Nogueira (2005) apresentou um modelo de otimização acoplado à confiabilidade

para a análise de estruturas de barras de concreto armado. Otimizou o custo de vigas, tratando

como variáveis as alturas das seções e as armaduras de flexão.

O trabalho de Albuquerque (2007) trata da otimização integrada de pavimentos de

edifícios com estruturas de concreto pré-moldado utilizando algoritmos genéticos e

minimizando os custos. A função objetivo contemplou não só o consumo de materiais, mas

também os aspectos relativos à fabricação, transporte e montagem.

Maia (2009) através de método matemático, otimizou exemplo clássicos de vigas,

minimizando a função custo. Foram tratadas como variáveis do problema de otimização as

seções transversais e as áreas de armadura longitudinal.

3 METODOLOGIA


As atividades realizadas neste trabalho foram divididas em três etapas principais:

desenvolvimento da formulação matemática do problema de otimização; aprimoramento e

atualização do software de otimização; e estudos sobre a otimização de grelhas de concreto

armado. Cada item é descrito em detalhes a seguir.

3.2 Desenvolvimento da Formulação Matemática do Problema de Otimização

Conforme já descrito, o presente trabalho propõe a minimização do custo de vigas de

concreto armado analisadas pelo modelo de grelha, considerando a contribuição do concreto,

armaduras e fôrmas na composição dos gastos com materiais, sendo as armaduras divididas

em longitudinal e transversal.

Optou-se por trabalhar como principal variável de projeto a altura da seção

transversal das vigas. Este é o parâmetro que mais sofre variações nos projetos estruturais. A

largura das vigas, que poderia ser outra variável, costuma ser sempre muito condicionada à

espessura da parede, definida no projeto arquitetônico.

O custo do aço longitudinal das vigas é obtido através da multiplicação entre a

quantidade de armadura longitudinal (PA), pelo custo unitário do material (CA), no caso o aço

CA-50, em unidade de massa (kg). De forma simplificada, a quantidade de aço das armaduras

longitudinais de uma viga (PA), em unidade de massa, é determinada multiplicando-se a soma

das áreas de aço a tração (As) e compressão (As’), referentes ao dimensionamento à flexão,

36

juntamente com as áreas de armadura de pele (Apele) e de torção (Asλ), pelo respectivo

comprimento da viga (L), e pelo peso específico do material (ρs), conforme a Equação 59.

Adotou-se o valor de 78,5 kN/m³ como valor do peso específico do aço.

(59)

O custo do aço transversal das vigas é obtido de forma análoga, através da

multiplicação entre a soma das armaduras transversais (PAsw), pelo custo unitário do material

(CAsw), no caso o aço CA-60, em unidade de massa (kg). A quantidade de aço do estribo de

uma viga, em unidade de massa, é obtida multiplicando-se a soma da área de aço dos estribos

de cisalhamento (Asw) e dos estribos de torção (A90) por metade do perímetro da seção

transversal da viga (bw + h), de maneira aproximada. Dividindo-se o comprimento da viga (L)

pelo espaçamento entre estribos adotado (s), obtém-se o número de estribos utilizados.

Multiplicando-se o número de estribos, pela quantidade de aço de 1 estribo, e pelo peso

específico do material (ρs), obtém-se a quantidade total de aço das armaduras transversais da

viga (PAsw), conforme a Equação 60.

(60)

O custo das fôrmas é dado pela multiplicação entre o consumo de fôrmas (AF), em

unidade de área, e o respectivo custo unitário do material (CF). A área de fôrmas é calculada

multiplicando-se a soma de 2 alturas e 1 base pelo comprimento da viga (L), de acordo com a

Equação 61.

(61)

O custo do concreto é obtido multiplicando-se o consumo do material, em unidade

de volume, e o respectivo custo unitário (CC). O volume de concreto (VCC) é obtido

37

multiplicando-se a área da seção transversal da viga pelo seu comprimento (L), segundo a

Equação 62.

(62)

Finalmente, a função objetivo do problema de otimização deste trabalho, a ser

minimizada, é dada pela Equação 63, onde o custo total da viga é igual ao somatório dos

custos individuais do aço longitudinal, aço transversal, concreto e fôrmas, incluindo-se ou não

a mão de obra. Essas parcelas são contabilizadas levando-se em conta o preço médio dos

insumos no Estado do Rio Grande do Sul (CONSTRUÇÃO MERCADO, 2010). As restrições

do problema de otimização são representadas pelas Equações 64 a 75.

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

(71)

38

(72)

(73)

(74)

(75)

As duas primeiras restrições (Equação 64 e Equação 65) dizem respeito aos Estados

Limites de Utilização. A flecha máxima em cada elemento, considerando-se os efeitos de

longa duração, deve ser menor que a flecha limite, de acordo com o estabelecido na Norma

Brasileira NBR 6118 (2007), assim como a abertura característica de fissuras deve ser inferior

aos limites determinados.

Para as armaduras de flexão, as restrições consideradas são as seguintes: a razão

entre as parcelas do momento fletor absorvidas pelas faces comprimidas e tracionadas de um

determinado elemento, no caso de armadura dupla, não deve ultrapassar 30% (Equação 66),

visando evitar uma grande concentração de armaduras que dificulte a concretagem; a taxa

mínima de armadura (ρmin) deve ser maior que as taxas estabelecidas na Tabela 17.3 da NBR

6118 (2007) (Ilustração 12), enquanto que a taxa máxima deverá ser de até 4% da área da

seção transversal (Equação 67)

Ilustração 12: Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas


Na verificação do cisalhamento, segundo a NBR 6118 (2007), o esforço resistido

pelo concreto nas bielas comprimidas (VRd2) deve ser maior que a respectiva solicitação (VSd),

39

segundo a Equação 68, assim como a resistência do concreto e das armaduras nas bielas

tracionadas (VRd3) deve ser maior que o esforço solicitante (VSd), de acordo com a Equação

69.

Quanto à torção, a primeira restrição (Equação 70), define que o esforço solicitante

de cisalhamento de cálculo não deve exceder a 70% do esforço resistente, para a torção de

compatibilidade poder ser desprezada da análise, calculando-se apenas a torção de equilíbrio.

Também se deve garantir que na torção que o momento torçor solicitante de cálculo seja

menor que o momento resistente das diagonais comprimidas de concreto (Equação 71) e que

os momentos resistidos pelos estribos normais ao eixo da peça (Equação 72) e pelas barras

longitudinais (Equação 73).

Para solicitações de torção e cisalhamento combinadas, a NBR 6118 (2007),

determina que deva ser atendida a condição exposta na Equação 74, que se constitui em mais

uma restrição do problema.

A última restrição (Equação 75), diz respeito à taxa de armadura transversal mínima,

considerando-se armaduras de cisalhamento e torção.

3.3 Aprimoramento e Atualização do Software de Otimização

Inicialmente, o software de otimização de grelhas deste trabalho era capaz de

dimensionar vigas à flexão bem como verificar a flecha, de acordo com a antiga NBR 6118,

de 1980. O mesmo é escrito em linguagem Fortran, e utiliza análise matricial de estruturas,

através do método dos deslocamentos, sendo o processo de otimização efetuado através do

método heurístico Simulated Annealing (Método do Recozimento Simulado). Diversas

análises efetuadas com o emprego desse software já evidenciavam a grande economia

proporcionada a partir da formulação desenvolvida (KRIPKA, 2003).

Através do presente trabalho, o software foi atualizado de acordo com a nova NBR

6118 (2007), bem como se incluíram um maior número de parâmetros no que diz respeito ao

dimensionamento e verificação dos Estados Limites de Serviço.

Na atualização do software, adicionou-se a possibilidade do usuário escolher a classe

de agressividade ambiental, com os limites de abertura de fissuras e valores de cobrimento

computados de maneira automática, bem como se separaram as armaduras longitudinais e

transversais na composição do custo, sendo utilizado aço CA-50 e CA-60. Além disso, o

40

cálculo da flecha e o dimensionamento à flexão foram totalmente revisados no que diz

respeito às considerações expostas no item 2.1 deste trabalho. A taxa mínima de armadura,

antes fixa, passou a ser função da classe de resistência do concreto (fck), de acordo com a

Ilustração 12. Também se estabeleceu que o fck definido pelo usuário deve ser compatível

com a classe de agressividade ambiental, caso contrário o software é capaz de avisar o erro,

por meio de uma mensagem na tela.

No aprimoramento do software incluíram os seguintes itens, nesta ordem:

dimensionamento ao cisalhamento, dimensionamento à torção, verificação da abertura de

fissuras e dimensionamento da armadura de pele, de acordo com as condições expostas no

item 2.1. No cálculo da verificação do limite de abertura de fissuras levou-se em conta a

Equação 51, descartando-se a Equação 52, pois seria preciso fazer um pré-detalhamento da

seção, o que não é realizado no software (apenas se indicam as armaduras, porém não se

estabelece a posição das camadas de armadura, por exemplo).

Além disso, melhoraram-se os dados de saída do programa, imprimindo de forma

individual a quantidade e o custo total de cada armadura considerada, bem como a taxa de

armadura longitudinal, em porcentagem, e a quantidade de armadura por volume de concreto,

em kg/m³. Outra inclusão nos dados de saída foram as informações sobre os novos parâmetros

estabelecidos desde o arquivo de entrada (classe de agressividade ambiental, cobrimento,

etc.), a abertura de fissuras máxima em cada viga, e se cada uma das novas restrições é ativa

ou não ativa na obtenção do custo ótimo.

O funcionamento do software de otimização de grelhas de concreto armado segue

basicamente o fluxograma apresentado na Ilustração 13. É possível perceber, de forma geral,

de que maneira o software utiliza os processos do Método do Recozimento Simulado

(Simulated Annealing), como o Critério de Metropolis (Equação 58), para obter a solução de

custo mínimo.

41

Ilustração 13: Fluxograma do software de otimização de grelhas pelo SA.

42

Os principais dados da entrada da versão final do software são os seguintes:

Título do problema;

Custos do aço CA-50, custo do aço CA-60, custo das fôrmas e custo do concreto

(o usuário opta por incluir ou não os valores de mão de obra referentes a cada

material);

Número de nós, elementos, bem como o número de tipos de seções variáveis e

fixas;

Coordenadas dos nós;

Nós inicial e final, bem como o número do tipo de seção, para cada elemento;

Coordenadas dos apoios;

Base e altura inicial de cada tipo de seção;

Classe de agressividade ambiental;

Classe de resistência do concreto (fck);

Carga permanente, acidental e flecha admissível para cada elemento.

Esse arquivo de entrada tem terminação “.dat”. Na Ilustração 14, tem-se a imagem

do arquivo de dados de um dos exemplos deste trabalho.

Ilustração 14: Exemplo de arquivo de dados do software.

43

O arquivo executável do software é mostrado em momentos distintos na Ilustração

15. Como se vê, o software inicialmente solicita o nome do arquivo de dados. Após digitá-lo,

insere-se também o nome do arquivo de saída. Então, o programa executa sua rotina,

fechando-se de forma automática ao final da mesma.

Ilustração 15: Exemplo de telas do arquivo executável.

44

No arquivo de saída, o software imprime basicamente:

Título do problema;

Custos unitários dos materiais;

Geometria e demais características da estrutura inicial e final;

Resultados da análise estrutural da solução inicial e final;

Quantidades de cada tipo de material (armadura longitudinal, armadura

transversal, armadura de flexão, armadura de pele, armadura longitudinal de torção,

armadura transversal de torção, armadura de cisalhamento, fôrmas e concreto) para a

solução inicial e final;

Taxa de armadura de flexão e quantidade de armadura por volume de concreto,

para a solução inicial e final;

Custos totais para cada tipo de material (armadura longitudinal, armadura

transversal, fôrmas e concreto), para a solução inicial e final;

Custo inicial e custo ótimo final, com variação percentual obtida;

Número de iterações do processo de otimização;

Momentos máximos, parcela do momento máximo absorvida por armadura de

compressão, flecha máxima e abertura máxima de fissuras, para cada elemento;

Indicação da situação de cada restrição para cada um dos elementos, indicando se

a mesma é ativa ou não.

Esse arquivo de saída deve ter terminação “.out”. Na Ilustração 16, tem-se a imagem

do arquivo de saída de um dos exemplos deste trabalho.

45

Ilustração 16: Exemplo de arquivo de saída do software.

3.4 Estudos Sobre a Otimização de Grelhas de Concreto Armado

Este item apresenta os quatro estudos principais desenvolvidos com a utilização do

software de otimização: análise de vigas biapoiadas, grelha com duas vigas, pavimento com

seis vigas e pavimento tipo composto por 33 vigas. Antes disso é feita a composição dos

46

preços de cada um dos materiais (aço CA-50, aço CA-60, concreto e fôrmas) para serem

utilizados nas simulações.

3.4.1 Determinação dos Custos dos Materiais

Os preços definidos para cada material, concreto, aço CA-50, aço CA-60 e fôrmas

foram baseados nas composições indicadas na TCPO (2003) da Editora Pini e nos valores

médios dos insumos para o estado do Rio Grande do Sul, indicados na revista Construção

Mercado de setembro de 2010.

O custo das fôrmas, por m², considerando-se apenas os materiais, foi obtido de

acordo com a Tabela 1. O custo do aço, por kg, foi obtido considerando-se a média da bitolas

de 8, 10 e 12,5 mm, para ambas as resistências (CA-50 e CA-60), segundo a Tabela 2. E os

custos do concreto usinado obtidos, por m³, são mostrados, de acordo com a classe de

resistência (fck), na Tabela 3.

Tabela 1: Determinação do custo de fôrmas por m².

Chapa compensada plastificada

Custo (R$/chapa de 10 mm) 46,04



Custo médio (R$/chapa) 56,76

m²/chapa 2,42

Custo (R$/m²) 23,45

Sarrafo de madeira (2,5x10 cm)

Custo/sarrafo 1,19

m³/sarrafo 0,0105

Custo (R$/m³) 113,33

Pregos (tipo 18X27)

Custo (R$/kg) 6.39

Material Custo unitário (RS) Unidade Consumo Custo final (R$)

Chapa compensada 23,45 m² 0,24 5,63

Sarrafos de madeira (2,5x10 cm) 113,33 m³ 0,0128 1,45

Pregos (tipo 18X27) 6,39 kg 0,25 1,60

Custo total (R$) 8,68

47

Tabela 2: Determinação do custo de armaduras por kg.

Bitola (mm) Custo CA-50 (R$) Custo CA-60 (R$)

8 4,49 3,67

10 3,94 3,91

12.5 3,47 4,08

Custo médio (R$) 3,97 3,89

Tabela 3: Determinação do custo do concreto por m³ para diferentes fck.

Resistência do concreto (MPa) Custo (R$)

20 213,07

25 233,55

30 252,7

45 303,71

A composição com o custo das fôrmas, por m², considerando a mão de obra, é

apresentada na Tabela 4. Os custos das ferragens CA-50 e CA-60, por kg, considerando a mão

de obra, são apresentados na Tabela 5. Para o custo do concreto, por m³, foi adicionado o

valor de R$ 50, referente ao bombeamento do material usinado, para cada resistência. A

Tabela 6 mostra os custos para cada fck considerado, com a inclusão da mão de obra.

Tabela 4: Determinação do custo de fôrmas por m² (considerando a MO).

Material Custo unitário (R$) Unidade Consumo Custo final (R$)

Chapa compensada 23,45 m² 0,24 5,63

Sarrafos de madeira (2,5x10 cm) 113,33 m³ 0,0128 1,45

Pregos (tipo 18X27) 6,39 kg 0,25 1,60

Carpinteiro 3,71 h 1 3,71

Ajudante de carpinteiro 3 h 1 3,00

Custo total (R$) 15,39

Tabela 5: Determinação do custo de armaduras por kg (considerando a MO).

Material/Funcionário Custo unitário (R$) Unidade Consumo Custo final (R$)

Ferragem CA-50 3,97 kg 1 3,97

Ferragem CA-60 3,89 kg 1 3,89

Ferreiro 3,71 h 0,12 0,45

Ajudante de ferreiro 3 h 0,12 0,36

Custo total aço CA-50 (R$) 4,77

Custo total aço CA-60 (R$) 4.69

48

Tabela 6: Determinação do custo do concreto por m³ (considerando a MO).

Resistência do concreto (MPa) Custo (R$)

20 243,07

25 263,55

30 282,7

45 333,71

3.4.2 Vigas Biapoiadas

As primeiras simulações numéricas efetuadas consistiram na análise e

dimensionamento otimizado de vigas biapoiadas, para fins de comparação com os estudos de

Kripka e Pagnussat (2010). Foram determinadas, através do software de otimização

desenvolvido, quais as alturas que conduzem ao custo mínimo para vigas de comprimento

entre 1,5 m e 10 m, variando-se os valores a cada 0,5 m. Testaram-se as seguintes resistências

para o concreto: 20, 25, 30 e 45 MPa. Foi utilizada classe de agressividade ambiental I. A

largura das vigas foi fixada em 0,15 m. Partiu-se de uma altura inicial de 0,8 m no processo de

otimização das vigas. Foram estudados dois carregamentos, um mínimo e um máximo,

visando abranger uma faixa de carregamento a qual esteja submetida a maioria das vigas de

obras residenciais, de acordo com o exposto no trabalho de Kripka e Pagnussat (2010). A

carga mínima corresponde a um carregamento permanente de 9,86 kN/m, e acidental de 2

kN/m. A carga máxima constitui-se num carregamento de 16 kN/m e sobrecarga de 7 kN/m.

A carga de peso próprio é computada de maneira automática pelo software. A flecha foi

limitada no que diz respeito aos efeitos visuais (1/250 do vão).

Num primeiro momento utilizaram-se apenas os custos dos materiais, sem a

consideração da mão de obra. Posteriormente, procurou-se verificar a influência da inclusão

dos custos da mão de obra nos resultados, repetindo-se as análises para a resistência de 20

MPa do concreto.

3.4.3 Grelha Composta por Duas Vigas

Esta simulação compreende na otimização do custo de uma grelha composta por

duas vigas de oito metros de comprimento cada, que se interceptam em seus pontos médios. A

mesma foi retirada do trabalho de Kripka (2003) e é apresentada na Ilustração 17. O

carregamento uniformemente distribuído, de caráter permanente, é de 16 kN/m, descontando-

49

se o peso próprio, computado de maneira automática pelo software. A base da seção

transversal, para as duas vigas, foi fixada em 0,2 m. Partiu-se de uma altura inicial de 0,8 m

no processo de otimização para ambas as vigas. Utilizou-se concreto de 25 MPa e considerou-

se classe de agressividade ambiental I. A flecha foi limitada em L/250. Os custos dos

materiais seguiram o exposto no item 3.4.1 deste trabalho, desconsiderando-se a mão de obra.

Ilustração 17: Croqui do modelo de grelha com duas vigas

Fonte: Kripka (2003, p 6).

Num primeiro momento, as duas vigas assumiram, durante o processo de otimização,

o mesmo valor de altura ótima. Posteriormente, cada viga pode variar de forma independente

sua altura. As simulações foram efetuadas com 5 versões do software desenvolvido. A

primeira diz respeito ao programa original, porém já atualizado com as considerações da NBR

6118 (2007). A segunda já considera o cisalhamento. A terceira passa a incluir também a

torção. A quarta já verifica o limite de abertura de fissuras. E a quinta compreende na última

versão do software de otimização, incluindo a armadura de pele nos custos.

3.4.4 Pavimento Composto por Seis Vigas

A terceira simulação efetuada diz respeito a um pavimento de concreto armado,

bastante simples, composto de 3 lajes e 6 vigas, de acordo com a Ilustração 18, segundo

modelo adaptado de Carvalho e Figueiredo Filho (2001). A largura das vigas foi fixada em 14

50

cm. Para efeito da composição do carregamento nas vigas, todas as lajes foram engastadas

entre si, ficando apoiadas apenas em relação às extremidades do pavimento. Todas possuem

12 cm de altura, sendo utilizado um contrapiso de concreto simples de 2 cm de espessura. Na

Tabela 7 apresentam-se os carregamentos atuantes nas vigas do pavimento, permanentes (sem

a consideração do peso próprio, computado automaticamente) e acidentais.

Ilustração 18: Planta de fôrma do pavimento de seis vigas (dimensões em m.)

Fonte: Carvalho e Figueiredo Filho (2001, p 296).

Tabela 7: Carregamentos atuantes nas vigas do pavimento de 6 vigas.

Viga Carga Permanente (kN/m) Carga Acidental (kN/m)

V1 (trecho de 6 m) 10,66 2,09

V1 (trecho de 5 m) 10,02 1,73

V2 18,97 6,84

V3 (trecho de 6 m) 10,23 1,85

V3 (trecho de 5 m) 10,02 1,73

V4 (trecho de 4 m) 9,38 1,36

V4 (trecho de 6 m) 10,66 2,09

V5 (trecho de 4 m) 19,87 7,36

V5 (trecho de 6 m) 22,08 8,62

V6 12,03 2,87

51

A determinação do custo mínimo das vigas foi realizada de maneira conjunta (análise

de toda a grelha constituinte do pavimento) e individual (cada viga analisada de forma

isolada), comparando-se estes resultados. Na análise da grelha foram feitas três simulações.

Na primeira, todas as vigas variaram sua altura de maneira separada (seis variáveis de

projeto). Na segunda, as vigas externas (V1, V3, V4 e V6) formaram um conjunto único,

assumindo o mesmo valor de altura ótima (três variáveis). E na terceira possibilidade, além

das vigas externas assumirem o mesmo resultado, as duas vigas internas (V2 e V5)

constituíram outro grupo (duas variáveis no total). Foi utilizado concreto de fck igual a 20

MPa e classe de agressividade ambiental I. A flecha foi limitada em L/250 em todos os vãos

da viga. Adotaram-se os custos de materiais, sem a consideração da mão de obra. A análise

individual das vigas, bem como o estudo da grelha com 6 tipos de seção, foi realizada também

com a penúltima versão do software, a qual não leva em conta a armadura de pele.

3.4.5 Pavimento Tipo Composto por 33 Vigas

Para verificação da eficiência do software desenvolvido, analisaram-se também as

vigas de um pavimento tipo de configuração bastante usual. O modelo foi retirado de Araújo

(2004), sendo o mesmo exposto na Ilustração 19. Utilizou-se concreto de fck igual a 25 MPa,

sendo adotada classe de agressividade I, segundo os dados do próprio livro. A flecha foi

limitada em L/250.

As cargas acidentais e permanentes atuantes em cada viga também foram obtidas de

acordo com os carregamentos totais e permanentes expostos no livro, nas Ilustrações 20 e 21.

Para as cargas permanentes, descontaram-se as cargas de peso próprio para o lançamento do

carregamento no software, pelo fato das mesmas serem incluídas de forma automática.

Numa primeira situação de análise, consideraram-se os mesmos três grupos de vigas

originais do exemplo. Num segundo caso, as vigas foram divididas em 10 grupos: vigas das

sacadas, viga externa direita na direção y, viga externa esquerda na direção y, vigas internas

na direção y, vigas externas na direção x, vigas internas na direção x, viga do elevador na

direção x, viga do elevador na direção y, vigas centrais na direção x e viga central na direção

y. As dimensões iniciais das seções transversais de cada grupo são as mesmas da Ilustração

19.

Inicialmente, as análises foram efetuadas considerando-se apenas o preço dos

insumos. Após, verificou-se a influência da inclusão do custo da mão de obra nos resultados.

52

Ilustração 19: Planta de fôrmas do pavimento tipo de 33 vigas (dimensões em cm)

Fonte: Araújo (2004, p 11).

53

Ilustração 20: Cargas totais nas vigas do pavimento tipo (em kN/m)

Fonte: Araújo (2004, p.69).

54

Ilustração 21: Cargas permanentes nas vigas do pavimento tipo (em kN/m)

Fonte: Araújo (2004, p.70).

4 RESULTADOS


Este capítulo apresenta os resultados obtidos para os quatro estudos principais

desenvolvidos com a utilização do software de otimização: análise de vigas biapoiadas, grelha

com duas vigas, pavimento com seis vigas e pavimento tipo composto por 33 vigas.

4.2 Vigas Biapoiadas

No estudo das vigas biapoiadas, os resultados obtidos mostram que a altura ótima

possui relação vão/altura média de 13,5, para carga mínima, e próxima de 10,4, para a carga

máxima, sem a consideração do custo da mão de obra. Pinheiro et al (2005) indica que o valor

usual de pré-dimensionamento de vigas biapoiadas corresponde a 1/10 do vão. Na Tabela 8,

têm-se especificadas as relações entre vão e altura ótima para todas as classes de resistência

de concreto consideradas no estudo, tanto para o carregamento mínimo como para o máximo.

Como é possível verificar, à medida que a classe de resistência do concreto aumenta, a relação

vão/altura aumenta, devido à diminuição da altura ótima.

56

Tabela 8: Relações vão/altura médias para diferentes resistências do concreto.

fck (MPa) Carregamento Relação Vão/Altura

20 Mínimo 12,9

Máximo 9,4

25 Mínimo 13,4

Máximo 9,8

30 Mínimo 13,9

Máximo 10,3

45 Mínimo 13,9

Máximo 12,0

Geral Mínimo 13,5

Máximo 10,4

Na Figura 22, tem-se o gráfico que relaciona os vãos considerados no estudo com as

respectivas alturas ótimas obtidas, para os dois carregamentos, considerando-se um fck de 20

MPa para o concreto. Nas Figuras 23 a 25, têm-se gráficos similares, para as resistências de

25, 30 e 45 MPa, respectivamente.

Ilustração 22: Alturas ótimas de vigas biapoiadas de fck 20 MPa para diferentes vãos.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0 2 4 6 8 10

Alt

ura

(m

)

Vão (m)

Carga Mínima

Carga Máxima

57



0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0 2 4 6 8 10

Alt

ura

(m

)

Vão (m)

Carga Mínima

Carga Máxima

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 2 4 6 8 10

Alt

ura

(m

)

Vão (m)

Carga Mínima

Carga Máxima

58


Através das Ilustrações 22 a 25, é possível perceber que a variação da altura ótima

tem uma tendência de aumento linear com o aumento do vão, principalmente para o

carregamento mínimo. Para o carregamento máximo, observa-se que a linearidade é quebrada

em certo momento da função, com o valor da altura ótima estacionando num valor próximo a

0,6 m, entre 5 e 7 m de vão. Isso acabou acontecendo devido à tentativa de se escapar da

armadura de pele, necessária a partir de alturas maiores que 60 cm. Quanto menor a

resistência do concreto, menos linear foi o comportamento da função. Acredita-se que isso se

deva ao fato do custo da armadura de pele, fixo para uma dada seção transversal, ser mais

representativo sobre o custo total nestes casos, devido ao menor preço do m³ de concreto.

Quanto às restrições, a única que afetou de maneira mais direta na altura ótima final

foi a flecha, sendo uma restrição ativa para determinados casos, principalmente para o

carregamento mínimo, a partir de um certo vão para cada fck. Quanto maior o fck, maior é a

influência dessa restrição. A maior resistência possibilita que sejam obtidas menores alturas

no dimensionamento aos Estados Limites Últimos. Porém, nota-se, nestes casos, uma maior

aproximação em relação aos limites dos Estados Limites de Serviço, principalmente quanto à

flecha. Na Tabela 9, é indicado para quais vãos e valores de resistência do concreto a flecha é

uma restrição ativa. Para o fck de 20 MPa, carregamento máximo e vão de 7 m, a flecha

tornou-se uma restrição ativa devido à consideração da armadura de pele. Para se evitar uma

altura maior que 60 cm, o limite da flecha foi explorado ao máximo naquela situação.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 2 4 6 8 10

Alt

ura

(m

)

Vão (m)

Carga Mínima

Carga Máxima

59

Tabela 9: Indicação das vigas onde a flecha é restrição ativa.

Vão (m) Carregamento mínimo Carregamento máximo

20 MPa 25 MPa 30 MPa 45 MPa 20 MPa 25 MPa 30 MPa 45 MPa

1,5 X

2

2,5

3

X

3,5

X

4

X X

4,5

X X

5

X X X

5,5

X X X

6

X X X

6,5

X X X

7

X X X X

7,5 X X X X

8 X X X X

8,5 X X X X

9 X X X X

9,5 X X X X

10 X X X X

Na Ilustração 26, o gráfico, correspondente ao carregamento mínimo, mostra que,

para as resistências menores, maior é a altura ótima para um determinado vão. A exceção se

deu no vão de 1,5 m, onde o fck de 20 MPa obteve a menor altura (por este mesmo fato,

obteve-se flecha ativa nesta situação, segundo mostrado na Tabela 9).

Ilustração 26: Alturas ótimas para diferentes valores de fck, considerando o carregamento mínimo.

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0 2 4 6 8 10

Alt

ura

(m

)

Vão (m)

20 MPa

25 MPa

30 MPa

45 MPa

60

Na Ilustração 27, o gráfico, correspondente ao carregamento máximo, confirma que,

para as resistências menores, maior é a altura ótima para um determinado vão, o que era,

evidentemente, esperado.

Ilustração 27: Alturas ótimas para diferentes valores de fck, considerando o carregamento máximo.

Após a análise das alturas obtidas, bem como das restrições, verificou-se a variação

do custo ao longo do aumento do vão, para todas as resistências estudadas (20, 25, 30 e 45

MPa). Os gráficos, em ordem crescente de fck, são mostrados nas Ilustrações 28 a 31.

Ilustração 28: Variação no custo ótimo de vigas biapoiadas de fck 20 MPa.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0 2 4 6 8 10

Alt

ura

(m

)

Vão (m)

20 MPa

25 MPa

30 MPa

45 MPa

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1000,00

1200,00

0 2 4 6 8 10

Cu

sto

Óti

mo

(R

$)

Vão (m)

Carga Mínima

Carga Máxima

61



0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1000,00

1200,00

0 2 4 6 8 10

Cu

sto

Óti

mo

(R

$)

Vão (m)

Carga Mínima

Carga Máxima

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1000,00

1200,00

0 2 4 6 8 10

Cu

sto

Óti

mo

(R

$)

Vão (m)

Carga Mínima

Carga Máxima

62


Através dos gráficos, é possível verificar que, à medida que a altura ótima passa de

60 cm, há um aumento na inclinação da curva, devido ao custo da armadura de pele passar a

ser ter influência a partir desse ponto. Quanto ao custo total ótimo traçaram-se outros dois

gráficos. A Ilustração 32 apresenta a relação entre vão e custo ótimo, para as quatro classes de

resistência do concreto, considerando o carregamento mínimo. A Ilustração 33 é similar,

porém para o carregamento máximo.

Ilustração 32: Variação no custo ótimo das vigas de acordo com o fck do concreto (carregamento mínimo).

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1000,00

1200,00

0 2 4 6 8 10

Cu

sto

Óti

mo

(R

$)

Vão (m)

Carga Mínima

Carga Máxima

0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

500,00

600,00

700,00

800,00

900,00

1000,00

0 2 4 6 8 10

Cu

sto

(R

$)

Vão (m)

20 MPa

25 MPa

30 MPa

45 MPa

63

Ilustração 33: Variação no custo ótimo das vigas de acordo com o fck do concreto (carregamento máximo).

Ao se observar os resultados dos dois gráficos é possível perceber que o custo ótimo

total é bastante próximo entre os diferentes valores de fck. No geral, os concretos de maior

resistência levam a estruturas um pouco mais caras, ou seja, a maior resistência obtida com

um fck maior não é suficientemente grande para compensar o maior custo unitário do material.

Observa-se, porém, uma determinada variação entre 7 e 9 m de vão, onde, em certo momento,

a estrutura com concreto de 20 MPa torna-se a menos vantajosa. O comportamento se deu

pelo fato de que, nas menores resistências, a influência da armadura de pele, aumentando o

custo, acontece já a partir de um menor vão.

Por meio de gráficos, também se procurou analisar a representatividade do custo de

cada material no custo ótimo da viga biapoiada. Nas Ilustrações 34 a 37, apresentam-se os

resultados para os valores de fck igual a 20, 25, 30 e 45 MPa, respectivamente, considerando o

carregamento mínimo. Nas Ilustrações 38 a 41, os gráficos mostram o comportamento para o

carregamento máximo.

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1000,00

1200,00

0 2 4 6 8 10

Cu

sto

(R

$)

Vão (m)

20 MPa

25 MPa

30 MPa

45 MPa

64

Ilustração 34: Representatividade de cada material no custo total (fck 20 MPa e carregamento mínimo).


0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

0 2 4 6 8 10

Po

rce

nta

gem

no

Cu

sto

To

tal (

%)

Vão (m)

Aço

Concreto

Fôrmas

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

0 2 4 6 8 10

Po

rce

nta

gem

no

Cu

sto

To

tal (

%)

Vão (m)

Aço

Concreto

Fôrmas

65



0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

0 2 4 6 8 10

Po

rce

nta

gem

no

Cu

sto

To

tal (

%)

Vão (m)

Aço

Concreto

Fôrmas

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

0 2 4 6 8 10

Po

rce

nta

gem

no

Cu

sto

To

tal (

%)

Vão (m)

Aço

Concreto

Fôrmas

66

Ilustração 38: Representatividade de cada material no custo total (fck 20 MPa e carregamento máximo).


0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

0 2 4 6 8 10

Po

rce

nta

gem

no

Cu

sto

To

tal (

%)

Vão (m)

Aço

Concreto

Fôrmas

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

0 2 4 6 8 10

Po

rce

nta

gem

no

Cu

sto

To

tal

Vão (m)

Aço

Concreto

Fôrmas

67



De maneira geral, nota-se que o aço representa a maior parcela no custo total das

vigas, seguido pelo concreto e fôrmas. Para o carregamento mínimo, é possível perceber certa

constância nos valores percentuais de cada material sobre o custo total. O aço tende a 50%,

concreto a 30% e fôrmas a 20%. Apenas a partir de vãos maiores, devido à presença da

armadura de pele, a representatividade do aço no custo cresce. Também se percebe, no vão de

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

0 2 4 6 8 10

Po

rce

nta

gem

no

Cu

sto

To

tal (

%)

Vão (m)

Aço

Concreto

Fôrmas

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

0 2 4 6 8 10

Po

rce

nta

gem

no

Cu

sto

To

tal (

%)

Vão (m)

Aço

Concreto

Fôrmas

68

1,5 m, para fck de 20 MPa, uma maior contribuição do aço sobre o custo. Como já citado, para

esse vão e carregamento mínimo, a estrutura de 20 MPa tem altura ótima menor do que as

outras resistências. Com isso, a taxa de armadura acaba crescendo, para se limitar a flecha e

absorver o momento atuante.

Para o carregamento máximo, houve a ocorrência de picos de maior influência do

aço sobre o custo total. Quanto menor o fck, mais isso se torna perceptível. Para se escapar da

armadura de pele, a altura tende-se manter no limite de 60 cm. Com isso, na medida em que

se aumenta o vão, maior a taxa de armadura para compensar o crescente aumento da

influência da flecha e o maior momento atuante. Quando a restrição da flecha limita e a altura

passa dos 0,6 m, a taxa de aço cai um pouco, porém não a patamares iguais ao dos menores

vãos, pois, a partir desse ponto, tem-se a contribuição da armadura de pele nos custos.

Na Tabela 10, apresentam-se as porcentagens médias obtidas pelos três materiais

considerados na composição do custo ótimo total para as quatro classes de concreto

consideradas, tanto para carregamento mínimo como máximo. Como se vê, para o

carregamento mínimo o aço representou em média 48% do custo total, seguido do concreto

(33%) e fôrmas (19%). Para o carregamento máximo, o percentual médio de participação de

cada material foi bastante semelhante. O aço representou 49%, o concreto 33% e as fôrmas

18%.

Tabela 10: Participação percentual média dos materiais no custo total.

fck (MPa) Carregamento Porcentagens no Custo Total (%)

Aço Concreto Fôrmas

20 Mínimo 48% 31% 21%

Máximo 49% 32% 20%

25 Mínimo 48% 33% 20%

Máximo 48% 33% 19%

30 Mínimo 48% 33% 19%

Máximo 48% 34% 18%

45 Mínimo 47% 36% 17%

Máximo 51% 34% 15%

Geral Mínimo 48% 33% 19%

Máximo 49% 33% 18%

A taxa de armadura média para o carregamento mínimo e máximo foi de 1,01% e

1%, respectivamente. As taxas de armadura foram crescentes na medida em que se aumentou

69

a resistência do concreto. Um maior fck tende levar a estrutura a uma menor altura,

aumentando a influência relativa da flecha e a necessidade de armadura. O consumo médio de

aço por m³ de concreto, para o carregamento mínimo, foi de 90 kg, e, para o carregamento

máximo, obteve-se 94 kg. Os dados de taxa de armadura e consumo de aço por volume de

concreto são apresentados na Tabela 11, para todas as classes de resistência de concreto.

Tabela 11: Taxas de armadura e consumo de aço para diferentes valores de fck.

fck (MPa) Carregamento Kg de Aço/m³ de Concreto Taxa de Armadura (%)

20 Mínimo 83 0,92

Máximo 84 0,85

25 Mínimo 86 0,96

Máximo 86 0,89

30 Mínimo 91 1,02

Máximo 90 0,97

45 Mínimo 101 1,13

Máximo 116 1,29

Geral Mínimo 90 1,01

Máximo 94 1,00

Ao se incluir a mão de obra no custo dos materiais, para a resistência de 20 MPa,

percebeu-se um leve aumento nas relações vão/altura obtidas, mais perceptível para o

carregamento máximo, ou seja, uma diminuição nas alturas ótimas. Porém, as mesmas

apresentaram valores bastante próximos ao que haviam sido obtidos sem a consideração da

mão de obra, de acordo com a Tabela 12.

Na Ilustração 42, o gráfico mostra a relação entre vão e altura ótima, sendo bastante

similar ao obtido no estudo sem a consideração da mão de obra (Ilustração 22), porém com

uma maior aproximação entre as alturas ótimas do carregamento mínimo e máximo, para os

menores vãos. Na Ilustração 43 é mostrada a diferença entre os custos ótimos sem a

consideração da mão de obra e incluindo a mesma no preço dos insumos, para o carregamento

mínimo. Para o carregamento máximo, o gráfico é apresentado na Ilustração 44. A variação

percentual no custo, para ambos os casos, obteve média próxima a 30%.

70

Tabela 12: Alturas ótimas obtidas sem e com a inclusão da mão de obra para fck de 20 MPa.

Vão (m) Carga mínima Carga máxima

Sem MO Com MO Sem MO Com MO

1,5 0,11 0,11 0,19 0,14

2 0,17 0,17 0,24 0,18

2,5 0,21 0,20 0,30 0,21

3 0,24 0,24 0,35 0,33

3,5 0,28 0,27 0,40 0,38

4 0,31 0,31 0,45 0,43

4,5 0,35 0,34 0,50 0,48

5 0,39 0,37 0,56 0,53

5,5 0,42 0,41 0,59 0,58

6 0,46 0,45 0,59 0,60

6,5 0,50 0,48 0,59 0,60

7 0,53 0,52 0,60 0,60

7,5 0,57 0,56 0,77 0,75

8 0,60 0,60 0,82 0,80

8,5 0,64 0,64 0,87 0,85

9 0,68 0,68 0,92 0,89

9,5 0,72 0,72 0,97 0,94

10 0,76 0,76 1,02 0,99

Ilustração 42: Alturas ótimas de vigas biapoiadas de fck 20 MPa para diferentes vãos (considerando a MO).

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0 2 4 6 8 10

Alt

ura

(m

)

Vão (m)

Carga Mínima

Carga Máxima

71

Ilustração 43: Comparativo dos custos ótimos para fck 20 MPa e carregamento mínimo.

Ilustração 44: Comparativo dos custos ótimos para fck 20 MPa e carregamento máximo.

Em relação à representatividade de cada material sobre o custo total, apresentam-se

os resultados nas Ilustrações 45 e 46, para o carregamento mínimo e máximo,

respectivamente.

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1000,00

1200,00

0 2 4 6 8 10 12

Sem MO

Com MO

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1000,00

1200,00

1400,00

1600,00

0 2 4 6 8 10 12

Sem MO

Com MO

72

Ilustração 45: Representatividade de cada material no custo total, incluindo a MO (fck 20 MPa e

carregamento mínimo).

Ilustração 46: Representatividade de cada material no custo total, incluindo a MO (fck 20 MPa e

carregamento máximo).

De maneira geral, verifica-se que o custo de aço continua sendo o mais significativo,

porém o custo das fôrmas se aproximou ao de concreto, tendo contribuição levemente maior

para os menores vãos. Com o aumento da influência das fôrmas na composição do custo total,

torna-se importante lembrar que, numa edificação composta por pavimentos tipo, haverá

reaproveitamento das mesmas, diminuindo consequentemente a influência do seu custo no

problema de otimização. Ao se relacionar a Tabela 13 e as Ilustrações 45 e 46, verifica-se

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

0 2 4 6 8 10

Po

rce

nta

gem

no

Cu

sto

To

tal (

%)

Vão (m)

Aço

Concreto

Fôrmas

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

0 2 4 6 8 10

Po

rce

nta

gem

no

Cu

sto

To

tal (

%)

Vão (m)

Aço

Concreto

Fôrmas

73

novamente que o aumento da taxa de armadura nos menores vãos relaciona-se diretamente ao

fato da restrição da flecha estar ativa.

Tabela 13: Indicação das vigas onde a flecha é restrição ativa (fck 20 MPa, incluindo a MO).

Vão (m) Carregamento mínimo Carregamento máximo

1,5 X

2

X

2,5

X

3

3,5

4

4,5

5 X

5,5 X

6 X

6,5 X

7 X X

7,5 X

8 X

8,5 X

9 X

9,5 X

10 X

4.3 Grelha Composta por Duas Vigas

Na análise do modelo exposto na Ilustração 17, verificou-se que, partindo de uma

altura inicial de 80 cm para as duas vigas, de 8 m de comprimento, e mantendo-se a mesma

seção transversal para os dois elementos, a altura final ótima obtida foi de 0,595 m. A mesma

análise foi efetuada em versões anteriores do software, conforme descrito no item 3.4.3 da

metodologia, para se verificar se a inclusão do cisalhamento, torção, limite de abertura de

fissuras e armadura de afetaria o resultado do problema de maneira significativa.

Como se vê na Tabela 14, houve uma pequena redução na altura a partir do momento

em que o software passou a incluir o cisalhamento, a qual se manteve igual para as outras

versões. Entretanto, é bem possível acreditar que, dependendo da estrutura estudada, a

armadura de pele, ao menos, afetasse a altura ótima obtida. Quanto aos custos, também

apresentados na Tabela 14, percebe-se que houve um aumento próximo a 4,9% das versões 2

74

a 5 em relação à versão 1, devido à armadura de cisalhamento. A quantidade de concreto e

fôrmas reduziu, com a diminuição da altura ótima. Como não há torção significativa, não se

verificou aumento do custo quanto às armaduras a partir da versão 3. E como a viga

apresentou altura ótima abaixo de 60 cm, não houve a inclusão de custos relativos à armadura

de pele. A versão final do programa permitiu uma redução de 16,5% no custo total da

estrutura, em relação ao modelo inicial, com vigas de 80 cm.

Tabela 14: Resultados das simulações para a grelha de composta por duas vigas (1 tipo de seção).

Versão do Software Altura (m) Custo do Aço

(R$) Custo do

Concreto (R$) Custo de

Fôrmas (R$) Custo Total

(R$)

Versão 1

(software atualizado com a NBR 6118)

0,6107 514,97 416,28 197,36 1128,61

Versão 2

(inclusão do cisalhamento)

0,59519 584,55 405,99 193,17 1183,71

Versão 3

(inclusão da torção) 0,59519 584,89 405,74 193,07 1183,7

Versão 4

(inclusão do limite de abertura de fissuras)

0,59519 584,82 405,79 193,09 1183,7

Versão 5

(inclusão da armadura de pele)

0,59519 584,68 405,9 193,13 1183,71

Na Ilustração 47, é apresentada a porcentagem do custo de cada material na

composição do custo total da estrutura. Os valores percentuais obtidos para a última versão

ficaram bastante próximos aos do exemplo do item anterior deste trabalho (49% para o aço,

34% para o concreto e 16% para fôrmas).

75

Ilustração 47: Representatividade dos materiais no custo total de grelha com duas vigas e 1 tipo de seção.

Quando se permitiu que cada uma das vigas assumisse um valor distinto de altura da

seção transversal, uma das vigas sempre apresentou maior altura do que a outra, de acordo

com a Tabela 15. Como a estrutura é simétrica, ora uma viga apresentava a altura maior, ora a

outra viga (2 pontos ótimos globais). A solução anterior (0,595 m) para a altura de ambas as

vigas, pode ser considerada como um ponto de mínimo local (Kripka, 2003).

Tabela 15: Resultados das simulações para a grelha de composta por duas vigas (dois tipos de

seção).

Versão do Software

Altura maior (m)

Altura menor (m)

Custo do Aço (R$)

Custo do Concreto

(R$)

Custo de Fôrmas (R$)

Custo Total (R$)

Versão 1

(software atualizado com a NBR 6118)

0,87657 0,27168 475,49 391,45 187,25 1054,19

Versão 2

(inclusão do cisalhamento)

0,86533 0,26828 537,2 386,39 185,18 1108,77

Versão 3

(inclusão da torção) 0,86531 0,26827 537,3 386,32 185,15 1108,77

Versão 4

(inclusão do limite de abertura de

fissuras)

0,86531 0,26827 537,18 386,41 185,19 1108,78

Versão 5

(inclusão da armadura de pele)

0,59 0,56726 595,21 397,93 189,88 1183,02

0% 10% 20% 30% 40% 50%

Versão 1

Versão 2

Versão 3

Versão 4

Versão 5

Custo de Fôrmas

Custo do Concreto

Custo do Aço

76

Ao contrário do que se poderia supor, tratando-se de uma estrutura simétrica com

carregamento igualmente simétrico, a melhor solução não corresponde exatamente a seções

iguais para todos os elementos, segundo o exposto por Kripka (2003). De acordo com o autor,

uma estrutura otimizada composta de vigas com tamanhos distintos possui maior rigidez que

modelos onde as vigas possuam a mesma altura. Isso foi mais perceptível até a versão 4 do

software. Com a inclusão da armadura de pele, na última versão, os valores de altura obtidos

para as duas vigas acabaram ficando mais próximos, havendo uma diminuição de custo menos

significativo nesta versão (0,06%) ao se comparar os dois estudos efetuados (1 e 2 tipos de

seção), de acordo com a Tabela 16.

Tabela 16: Custos ótimos obtidos para o estudo da grelha de duas vigas.

Versão do Software Custos ótimos (R$)

Redução no Custo Ótimo 1 Tipo de Seção 2 Tipos de Seção

1 1128,61 1054,19 6,59%

2 1183,71 1108,77 6,33%

3 1183,7 1108,77 6,33%

4 1183,7 1108,78 6,33%

5 1183,71 1183,02 0,06%

Através da Tabela 16, também é possível verificar que, na análise considerando dois

tipos de seção, as versões 2, 3 e 4 apresentaram custo maior que o obtido na versão 1 (5,2%).

Na versão 5, em relação a 1, o acréscimo foi de 11,6%. Em relação ao resultado inicial

lançado no software (ambas as vigas com 80 cm), obteve-se uma redução total de 16,6% ao se

utilizar a versão final do programa de otimização.

Na Ilustração 48, é apresentada a porcentagem do custo de cada material na

composição do custo total da estrutura para o problema com 2 tipos de seção. Os valores

percentuais obtidos para a última versão foram os seguintes: 50% para o aço, 34% para o

concreto e 16% para fôrmas. Como se vê, a influência do custo do aço no valor total da grelha

foi crescente.

Para ambos os casos verificados (1 e 2 tipos de seção), nenhuma restrição foi ativa

para a minimização do custo da grelha.

77

Ilustração 48: Representatividade dos materiais no custo total de grelha com duas vigas e dois tipos de

seção.

4.4 Grelha Composta por Seis Vigas

Ao se analisar os resultados obtidos para a altura ótima de vigas de um pavimento de

concreto armado composto de três lajes e seis vigas, foi possível verificar alguma diferença ao

se considerar as vigas de forma individual ou pelo modelo de grelha. Na Tabela 17,

apresentam-se os resultados de altura ótima obtidos na análise individual das vigas e na

otimização da grelha, onde todas as seis vigas puderam assumir um valor distinto de seção,

utilizando-se a última versão do software, a qual inclui a armadura de pele.

Tabela 17: Alturas ótimas obtidas pela análise individual e pela grelha com seis grupos (com

armadura de pele).

Elemento

Altura ótima (m)

Variação (%)

Vigas isoladas Grelha

(6 grupos de vigas)

V1 0,4578 0,44484 -2,83%

V2 0,59 0,70869 18,12%

V3 0,45079 0,44814 -0,59%

V4 0,43887 0,43136 -1,71%

V5 1,37061 1,37805 0,54%

V6 0,86046 0,8761 1,82%

0% 20% 40% 60%

Versão 1

Versão 2

Versão 3

Versão 4

Versão 5

Custo de Fôrmas

Custo do Concreto

Custo do Aço

78

Como se observa, nas vigas internas (V2 e V5) houve aumento na altura ótima,

através da análise da grelha, em relação ao resultado obtido de forma individual, chegando-se

a uma variação de 18,12% na V2. Isso se deve ao fato que a mesma, na análise individual,

fugiu da armadura de pele. A altura da viga externa V6 também sofreu um pequeno

acréscimo. Em contrapartida, a rigidez das vigas externas V1, V3 e V4 sofreu um certo

decréscimo. As relações maior vão/altura obtidas para as vigas nas duas análises variaram

entre 7,26 e 13,91, conforme mostrado na Tabela 18.

Tabela 18: Relação maior vão/altura das vigas da grelha.

Elemento Vigas isoladas Grelha

(6 grupos de Vigas)

V1 13,11 13,49

V2 10,00 8,47

V3 13,31 13,39

V4 13,67 13,91

V5 7,30 7,26

V6 11,62 11,41

Na análise de vigas isoladas, a soma dos custos das vigas foi de R$ 4023,61.

Partindo-se desse resultado na análise da grelha de 6 vigas, verifica-se que o valor do custo,

para o resultado obtido de forma individual, seria de R$ 4067,89, ao se considerar as

armaduras de torção na composição do custo. O custo ótimo final obtido na análise da grelha

foi de R$ 4054,17, um decréscimo de 0,34% em relação ao valor da análise individual

(considerando a torção).

Quando as vigas externas do pavimento (V1, V3, V4 e V6) assumiram um valor

único de altura (análise com dois e três grupos de vigas), obteve-se como altura ótima o valor

de 0,81 m, dimensão intermediária à obtida para as mesmas vigas na análise com seis grupos

de seção. Esse valor de altura foi limitado pela flecha atuante na viga V6 ser uma restrição

ativa, em ambas as simulações.

No teste onde as vigas internas assumiram o mesmo resultado (dois grupos de vigas),

houve uma diminuição na altura da viga V5 e um aumento para a viga V2, obtendo-se

também uma viga de rigidez intermediária em comparação com as obtidas na análise com seis

grupos distintos. Quando as vigas V2 e V5 assumiram o mesmo resultado de seção (três

grupos de vigas), obteve-se um valor bastante próximo ao alcançado no estudo da grelha com

seis seções distintas.

79

Os resultados de altura ótima obtidos, custo total para as três considerações, taxa de

armadura de flexão e quantidade de armadura por volume de concreto são apresentados na

Tabela 19, bem como a indicação das vigas onde a flecha é restrição ativa. Como se vê, na

medida em que se aumenta o número de variáveis no processo de otimização, menor é o

resultado obtido para a função objetivo.

Tabela 19: Resultados da análise do pavimento com dois, três e seis grupos de vigas.

Item

Altura (m)

Grelha (2 grupos)

Grelha (3 grupos)

Grelha (6 grupos)

V1 0,81412 0,81395 0,44484

V2 1,27721 0,71525 0,70869

V3 0,81412 0,81395 0,44814

V4 0,81412 0,81395 0,43136

V5 1,27721 1,38062 1,37805

V6 0,81412 0,81395 0,8761

Custo Total (R$) 4813,99 4656,31 4054,159

Taxa de armadura de flexão (%) 0,57 0,58 0,9

Quantidade de armadura por volume de concreto (kg/m³)

71,54 73,13 90,48

Vigas onde a flecha é ativa 6 6 -

Ao se analisar o pavimento, com todas as vigas assumindo valor distinto, bem como

as vigas de maneira individual, porém utilizando a penúltima versão do software (sem a

inclusão de armadura de pele), obtêm-se os resultados de altura ótima expostos na Tabela 20.

Tabela 20: Alturas ótimas obtidas pela análise individual e pela grelha com seis grupos (sem

armadura de pele).

Elemento

Altura ótima (m)

Variação (%)

Vigas isoladas Grelha

(6 grupos de vigas)

V1 0,4578 0,44442 -2.92%

V2 0,7118 0,75299 5.79%

V3 0,45079 0,44789 -0.64%

V4 0,43887 0,43202 -1.56%

V5 1,44035 1,44728 0.48%

V6 0,90774 0,92535 1.94%

80

De maneira geral, os valores de altura ótima apresentaram-se bastante próximos ao

da Tabela 17, referente à análise com armadura de pele. As vigas V5 e V6 apresentaram certo

acréscimo no valor da altura, tanto para a grelha como para as vigas individuais. A viga

interna V2, porém, foi a que apresentou uma maior variação, principalmente para a análise

individual da mesma. Se, antes, a mesma ficou abaixo de 60 cm, para escapar da armadura de

pele, agora, sem a consideração dessa ferragem, foi possível obter uma altura mais próxima a

alcançada na simulação da grelha. Os resultados obtidos pelas vigas individuais, já

considerando a torção, conduzem a um custo ótimo total de R$ 3816,36. Na análise da grelha

foi obtido o valor de R$ 3814,51 para o custo ótimo, uma redução de 0,05%.

4.5 Pavimento Tipo Composto por 33 Vigas

Os resultados do processo de otimização obtidos para o pavimento tipo, composto

por 33 vigas, são apresentados nas próximas 3 tabelas. Na Tabela 21, são mostradas as alturas

ótimas finais para a primeira simulação, com 3 tipos de seções distintas, bem como a variação

obtida, em m. Na Tabela 22, são apresentados os resultados para a segunda simulação

efetuada, como 10 grupos de seções. E na Tabela 23, são mostrados os resultados para a

simulação que considerou como variáveis do processo de otimização cada uma das vigas da

estrutura, de maneira independente.

Tabela 21: Resultados de altura ótima para pavimento tipo considerando três grupos de seção.

Altura (m) Inicial Final Variação Variação média

1 0,40 0,39 -1%

-35% 2 0,60 0,36 -39%

3 0,60 0,21 -64%

Tabela 22: Resultados de altura ótima para pavimento tipo considerando 10 grupos de seção.


1 0,40 0,36 -9%

-41%

2 0,60 0,23 -61%

3 0,40 0,42 6%

4 0,60 0,41 -32%

5 0,40 0,13 -67%

6 0,60 0,23 -62%

7 0,60 0,20 -66%

8 0,40 0,31 -22%

9 0,40 0,23 -43%

10 0,60 0,25 -58%

81

Tabela 23: Resultados de altura ótima para pavimento tipo considerando 33 grupos de seção.


1 0,40 0,25 -37%

-43%

2 0,60 0,25 -58%

3 0,40 0,26 -35%

4 0,40 0,41 2%

5 0,40 0,12 -69%

6 0,40 0,40 0%

7 0,60 0,31 -48%

8 0,40 0,41 1%

9 0,40 0,10 -75%

10 0,40 0,10 -75%

11 0,40 0,14 -66%

12 0,40 0,10 -75%

13 0,40 0,10 -75%

14 0,40 0,39 -1%

15 0,60 0,31 -48%

16 0,40 0,41 2%

17 0,40 0,12 -69%

18 0,40 0,41 2%

19 0,40 0,25 -38%

20 0,60 0,25 -58%

21 0,40 0,26 -34%

22 0,40 0,23 -42%

23 0,40 0,23 -43%

24 0,60 0,23 -62%

25 0,60 0,26 -57%

26 0,40 0,32 -21%

27 0,40 0,32 -20%

28 0,40 0,25 -37%

29 0,60 0,25 -58%

30 0,40 0,18 -56%

31 0,40 0,18 -55%

32 0,40 0,18 -55%

33 0,40 0,18 -56%

Na simulação 1, verificou-se que as vigas de 15 x 40 cm mantiveram quase

inalteradas a sua altura. Portanto, pode-se dizer que as mesmas já se encontravam bastante

otimizadas. A flecha foi a restrição limitante na obtenção do custo ótimo dessas seções, em

sete trechos, nas vigas V204, V208, V210, V211, V213, V216 e V218. Para as vigas de

dimensões 20 x 60 cm, no entanto, assim como para a viga de elevador (V225), de 12 x 60

cm, nota-se que a altura de projeto pode ser bastante reduzida, de acordo com os resultados

indicados pelo software. Para a seção 20 x 60 cm não houve restrição ativa, enquanto que a

seção 12 x 60 também foi limitada pela flecha.

Nas simulações 2 e 3, a grande maioria das vigas reduziu a sua altura em relação à

solução inicial, havendo poucas exceções. Se para a simulação 1 as vigas de 40 cm de altura

inicial pouco variaram, nas duas outras simulações permitiu-se uma redução bastante maior, o

que refletiu na variação média exposta nas últimas colunas das Tabelas 22 a 23. A redução foi

crescente à medida que se aumentou o número de tipos de seção (35%, 41% e 43%). Devido à

82

obtenção de menores alturas, mais próximo das flechas máximas admissíveis se chegou,

aumentando o número de vigas onde essa restrição é ativa.

Na simulação 2, metade dos 10 tipos de seção tiveram algum trecho onde a flecha

constituiu-se numa restrição ativa. Isso aconteceu em 13 trechos nas vigas V202, V204, V205,

V208, V210, V211, V216, V217, V218, V220, V225 e V229. Na simulação 3, 19 das 33

vigas tiveram a flecha como restrição ativa no processo de otimização, em 20 trechos (V203,

V204, V205, V208, V210, V211, V213, V216, V217, V218, V221, V222, V223, V225,

V229, V230, V231, V232 e V233.

Na Tabela 24, apresentam-se as quantidades dos materiais componentes da estrutura

para cada uma das simulações, bem como para a solução inicial proposta por Araújo (2004).

Tabela 24: Resultados obtidos para as três simulações efetuadas sem considerar a MO.

Item avaliado Inicial 3 tipos de

seção 10 tipos de

seção 33 tipos de

seção

Armadura longitudinal de flexão (Kg) 293,379 326,971 383,249 404,442

Armadura longitudinal de torção (Kg) 11,858 14,017 17,01 15,602

Armadura longitudinal de pele (Kg) 129,431 0 0 0

Armadura transversal de cisalhamento (Kg) 5,787 7,682 12,278 12,482

Armadura transversal de torção (Kg) 0,944 0,992 1,743 1,313

Armadura transversal (vigas com armadura mínima) (Kg)

81,871 59,126 46,631 40,432

Armadura longitudinal (Kg) 434,668 340,989 400,26 420,044

Armadura transversal (Kg) 88,602 67,8 60,652 54,227

Concreto (m³) 12,449 9,095 7,59 6,548

Fôrmas (m²) 178,068 143,323 125,647 110,031

Custo total de armadura longitudinal (R$) 1725,63 1353,73 1589,03 1667,58

Custo total de armadura transversal (R$) 342,89 262,39 234,72 209,86

Custo total de concreto (R$) 2652,47 1937,84 1617,1 1395,18

Custo total de fôrmas (R$) 1545,63 1244,04 1090,61 955,07

Custo total (R$) 6266,62 4798 4531,46 4227,69

Variação no custo ótimo (%) 0,00 23,44 27,69 32,54

Quantidade de armadura por volume de concreto (kg/m³)

42,03 44,95 60,73 72,43

Taxa de armadura de flexão (%) 0,29 0,44 0,6 0,76

Os gráficos das Ilustrações 25 e 26 relacionam, respectivamente, a porcentagem que

cada tipo de armadura longitudinal e transversal representa no peso total de ferragem. Como

se vê, a armadura de flexão representa quase que a totalidade da armadura longitudinal para

83

os três resultados obtidos, não havendo grande variação nos valores percentuais dos tipos de

armadura longitudinal à medida que se aumentou o número de tipos se seção. Para a solução

inicial, a armadura de pele possui bastante representatividade, correspondendo a

aproximadamente 30% do peso de aço. Como nenhuma viga acabou assumindo valores de

altura ótima menores que 60 cm, esse tipo de armadura acabou não contribuindo sobre a

quantidade de total de aço. Para as armaduras transversais, nota-se que a ferragem mínima de

torção e flexão constitui-se no maior percentual sobre o peso de armadura, seguido da

armadura de cisalhamento. Com o aumento do número de tipos de seção, maior é a

representatividade das armaduras de cisalhamento sobre o peso total de armadura transversal.

Ilustração 49: Representatividade das ferragens de flexão, torção e de pele sobre peso total de armadura

longitudinal.

Ilustração 50: Representatividade das ferragens de cisalhamento, torção e mínima sobre peso total de

armadura transversal.

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%

Inicial 3 tipos de seção

10 tipos de seção

33 tipos de seção

Flexão

Torção

Pele

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%


10 tipos de seção

33 tipos de seção

Cisalhamento

Torção

Armadura transversal mínima

84

Através dos dados expostos na Tabela 24, também foi possível traçar o gráfico da

Ilustração 51, contendo a contribuição dos custos de cada material (aço, concreto e fôrmas)

sobre o custo total da estrutura. Para o resultado inicial e simulação 1, o concreto apresenta-se

como o material percentualmente mais significativo sobre o custo total. Para as outras duas

simulações o aço passou a representar o material de maior significância sobre o custo, devido

à diminuição das seções transversais, e consequente redução do volume de concreto e área de

fôrmas. A taxa de armadura, bem como a quantidade de aço por volume de concreto foi

crescendo à medida que se incluiu um maior número de tipos de seção, conforme mostrado na

Tabela 24.

Ilustração 51: Representatividade dos materiais no custo total para resultado inicial e das três simulações.

Conforme citado no item 3.4.5 da metodologia, houve ainda, neste estudo, a análise

das três simulações considerando o custo de mão de obra. As alturas ótimas obtidas foram

praticamente as mesmas do estudo onde apenas os custos de material foram incluídos. Para a

simulação 1, o resultado foi idêntico ao da Tabela 21. Para as simulações 2 e 3, a variação não

passou de 1,9% e 1,1%. Pelos mesmos motivos, as quantidades de material pouco oscilaram

nas simulações com a mão de obra. Com isso, o acréscimo no custo de cada material é

proporcional ao aumento que se teve em seu custo unitário. Na Tabela 25, apresentam-se os

custos ótimos obtidos para as três simulações estudadas. Na última linha da mesma,

apresenta-se a variação percentual obtida no custo ótimo total em relação à análise sem a mão

de obra, a qual se situou entre 31 e 33%.

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

40,00%

45,00%

50,00%


10 tipos de seção

33 tipos de seção

armadura

concreto

fôrmas

85

Tabela 25: Resultados obtidos para as três simulações efetuadas considerando a MO.

Item avaliado Inicial 3 tipos de

seção 10 tipos de

seção 33 tipos de

seção

Custo total de armadura longitudinal (R$) 2073,36 1626,52 1932,02 2028,31

Custo total de armadura transversal (R$) 415,54 317,98 286,89 255,6

Custo total de armadura (R$) 2488,9 1944,5 2218,91 2283,91

Custo total de concreto (R$) 3025,93 2210,68 1830,34 1576,89

Custo total de fôrmas (R$) 2740,47 2205,74 1920,99 1680,28

Custo total (R$) 8255,3 6360,92 5970,24 5541,08

Variação no custo ótimo em relação à análise sem MO (%)

31,73 32,57 31,75 31,07

No gráfico da Ilustração 52, é apresentada a participação percentual de cada tipo de

material na composição final do custo ótimo, considerando-se a mão de obra. Ao comparar-se

esse gráfico com o da Ilustração 51, nota-se que o aumento da participação do valor de fôrmas

no custo é a modificação mais significativa.

Ilustração 52: Representatividade dos materiais no custo total para resultado inicial e das três simulações

(considerando a MO).

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

40,00%

45,00%


10 tipos de seção

33 tipos de seção

armadura

concreto

fôrmas

5 CONCLUSÃO


Ao final deste trabalho, pode-se afirmar que se cumpriram de forma satisfatória os

objetivos traçados, através da atualização e aprimoramento de software de otimização de

grelhas de concreto armado. Através do mesmo, foi possível realizar diversas simulações,

minimizando o custo de vigas pelo modelo de grelha. O método heurístico de otimização

Simulated Annealing mostrou-se bastante eficiente na obtenção de estruturas de custo

mínimo.

A nova versão do software de otimização, desenvolvido inicialmente por Kripka

(2003), inclui agora as armaduras de cisalhamento, torção, de pele e verificação de limite de

abertura de fissuras, além do dimensionamento à flexão e a verificação da flecha, atualizados

com a nova NBR 6118 (2007). O programa tem-se constituído numa importante ferramenta

para o pré-dimensionamento de grelhas de pavimentos de concreto armado, assim como de

vigas de maneira individual, como os testes efetuados já mostraram.

Nos itens a seguir, serão apresentadas as principais conclusões obtidas através das

simulações que o trabalho propôs, assim como serão feitas algumas sugestões para trabalhos

futuros.

5.2 Conclusões do Trabalho

Avaliando-se os resultados obtidos nas simulações numéricas efetuadas neste

trabalho, pode-se chegar às seguintes conclusões:

87

Em vigas biapoiadas, a relação vão/altura que conduz a estruturas de mínimo

custo encontra-se numa faixa entre 9,5 e 13,5, para valores de fck variando de 20 a 45

MPa, valores próximos aos obtidos por Kripka e Pagnussat (2010);

À medida que se aumenta o vão em vigas biapoiadas, a variação da altura ótima

tende a ser linear. Entretanto, em vigas com vãos entre 5 e 7 m, as alturas ótimas

estacionam em valores um pouco abaixo de 60 cm, numa tentativa clara de se

escapar da armadura de pele;

Para se tentar escapar da armadura de pele, entre 5 e 7 m de vão, é mais vantajoso

manter a altura da viga próxima desse limite. Com isso, há um aumento na taxa de

armadura de flexão e consequentemente na quantidade de aço por volume de

concreto, visando suportar o maior momento e o acréscimo da flecha;

A armadura de pele é decisiva nos resultados finais, devendo sempre ser incluída

em processos de otimização de vigas de concreto armado, principalmente para

valores de fck mais baixos e carregamento máximo;

A principal restrição na otimização de vigas de concreto armado é a flecha. O

estudo de vigas biapoiadas mostrou que isso acontece principalmente para os

carregamentos mínimos e em estruturas de maior fck, onde o dimensionamento gera

estruturas mais esbeltas;

De forma geral, concretos de maior resistência levam a estruturas mais esbeltas,

porém um pouco mais caras, ou seja, a maior resistência obtida com um fck maior

não é suficientemente grande para compensar o maior custo unitário do material;

Na faixa entre 7 e 9 m de vão livre, as vigas biapoiadas de maior fck são mais

econômicas, pelo fato de que, nas menores resistências, a influência da armadura de

pele, aumentando o custo, acontece já a partir de um menor vão;

O aço representa a maior parcela no custo total das vigas, seguido pelo concreto e

fôrmas. No estudo de vigas biapoiadas, a distribuição percentual do custo seguiu, em

média, essa tendência: aço (50%), concreto (30%) e fôrmas (20%). Segundo o estudo

de Kripka e Pagnussat (2010), a contribuição do aço sobre o custo total seria em

média de 40% (os autores, porém não levaram em consideração as armaduras de

torção e de pele);

A inclusão da mão de obra na composição dos custos faz com que as fôrmas

alcancem participação sobre o custo total das estruturas próxima a do concreto,

variando entre 20 e 30% os valores percentuais de ambos os materiais;

88

A taxa de armadura de flexão é em média próxima a 1% nas estruturas otimizadas,

assim como o consumo médio de aço varia entre 90 e 94 kg/m³ para os

carregamentos mínimo e máximo em vigas biapoiadas;

A inclusão da mão de obra altera pouco os resultados finais do processo de

otimização de vigas biapoiadas. A maior influência se dá para o carregamento

máximo e menores vãos;

O estudo da grelha compostas de duas vigas, que se cruzam na metade de seu

comprimento, mostra que a situação que conduz ao menor custo é aquela onde a

rigidez das vigas é distinta, mesmo com carregamento idêntico e estrutura simétrica,

conforme apresentado em estudos anteriores (KRIPKA, 2003). A inclusão da

armadura de pele, porém, pode aproximar as alturas das seções, como foi o caso

apresentado neste trabalho;

Quanto maior o número de grupos de seções de vigas que possam assumir valor

distinto de altura ótima, maior a redução no custo ótimo, porém deve-se estar atento

às dificuldades construtivas que um maior número de tipos de vigas traria na

montagem de fôrmas;

Ao se analisar o pavimento de seis vigas, em forma de grelha, obteve-se um

resultado de menor custo em relação ao obtido na análise individual, desde que se

some, porém, as armaduras de torção nos resultados das vigas isoladas.

A inclusão ou não da armadura de pele influenciou de maneira importante os

resultados de altura ótima obtidos na simulação do pavimento de seis vigas;

Os custos das armaduras de cisalhamento, torção e de pele constituem em

importante percentual no custo total de ferragem;

O estudo do pavimento tipo composto por 33 vigas permitiu comprovar a

eficiência do software na obtenção do custo mínimo para estruturas de maior grau de

complexidade, obtendo grau de economia significativo ao se comparar a solução

inicial proposta por Araújo (2004) e as soluções finais alcançadas nas simulações;

Ao se incluir a mão de obra no estudo do pavimento tipo, verificou-se que a

mesma aumentou os custos da solução ótima em torno de 32%;

O limite de abertura de fissuras não teve influência direta nos resultados obtidos

nas simulações deste trabalho.

89

5.3 Recomendações para Trabalhos Futuros

Para trabalhos futuros, que sigam a linha de pesquisa apresentada neste trabalho,

podem ser feitas as seguintes sugestões:

Verificar a influência da reutilização de fôrmas no resultado do custo ótimo, a

partir de um valor de custo unitário para esse material mais condizente com o

reaproveitamento médio do mesmo durante a construção de um edifício em concreto

armado;

Fazer com que o software determine não apenas as áreas de armadura, mas

descreva as bitolas utilizadas.

Trabalhar-se com um intervalo de valores de altura mais realistas, como múltiplos

de 5 ou 10 cm, visando melhorar a aplicabilidade prática dos resultados;

Determinar limites máximos para as alturas ótimas obtidas, visando diminuir

possíveis incompatibilidades arquitetônicas;

Realizar um maior número de estudo e simulações com o software, testando-se a

maior quantidade possível de configurações estruturais;

Comprovar os resultados obtidos através do uso de softwares comerciais;

Incluir, no software de otimização de grelhas de concreto armado, a possibilidade

de se definir o posicionamento ótimo dos apoios, visando otimizar a posição dos

pilares no projeto estrutural.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ALBUQUERQUE, A. T. Otimização de pavimentos de edifícios com estruturas de

concreto pré-moldado utilizando algoritmos genéticos. 2007. Tese (Doutorado) – Escola

de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2007.

ARAÚJO, J. M. de. Curso de concreto armado. 2. ed. Rio Grande: Dunas, 2003. 4 v.

______. Projeto Estrutural de Edifícios de Concreto Armado. Rio Grande: Dunas, 2004.

BASTOS, E. A. Otimização de seções retangulares de concreto armado submetidas à

flexo-compressão oblíqua utilizando algoritmos genéticos. 2004. Tese (Mestrado) –

Programa de Pós-Graduação de Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro,

Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia, Universidade

Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2004.

BASTOS, P. S. dos S. Estruturas de Concreto I: Fundamentos do Concreto Armado.

Apostila – Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia, Campus de Bauru,

Universidade Estadual Paulista, Bauru, 2006.

CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e detalhamento de estruturas

usuais de concreto armado. São Carlos: EdUFSCar, 2001.

CASTILHO, V. C. Otimização de componentes de concreto pré-moldado protendidos

mediante algoritmos genéticos. 2003. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São

Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2003.

CHAVES, I. A. Otimização de pilares de concreto armado mediante uniformização do

índice de confiabilidade. 2004. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São


FERREIRA, F. de S. Uma abordagem numérico-experimental para a identificação de

dano estrutural utilizando o método Simulated Annealing. 2008. Dissertação (Mestrado) –

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, Universidade Federal do Rio Grande

do Sul, Porto Alegre, 2008.

91

FREITAS JÚNIOR J. de A. Estudo comparativo de métodos de dosagem para concretos

de alta resistência com o uso de materiais disponíveis na região metropolitana de

Curitiba. 2005. Dissertação (Mestrado) – Programa de Pós-Graduação em Construção Civil,

Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2005.

KIRKPATRICK, S.; GELATT, C. D.; VECCHI M.P. Optimization by Simulated Annealing.

Science, v. 220, n. 4598, p. 671-680, 1983.

KRIPKA, M. Determinação do posicionamento ótimo dos apoios em edificações

analisadas pelo modelo de grelha. 1998. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São


______. Otimização do custo de estruturas de concreto armado analisadas pelo modelo de

grelha. In: V Simpósio EPUSP Sobre Estruturas de Concreto, 2003, São Paulo. Anais do V

Simpósio EPUSP Sobre Estruturas de Concreto, 2003.

KRIPKA, M.; PAGNUSSAT, R. Parâmetros para o dimensionamento otimizado de vigas de

concreto armado. In: Revista Téchne. São Paulo: Editora Pini, vol. 160, p. 70-73, jul. 2010.

MAIA, J. P. R. Otimização estrutural: estudo e aplicações em problemas clássicos de

vigas utilizando a ferramenta Solver. 2009. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia

de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009.

NBR 8681. Ações e segurança nas estruturas – Procedimento. Rio de Janeiro: Associação

Brasileira de Normas Técnicas, 2003.

NBR 6118. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Associação

Brasileira de Normas Técnicas, 2007.

NINA, T. C. Otimização de seções transversais de concreto armado: aplicação a pórticos

planos. 2006. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de

São Paulo, São Carlos, 2006.

NOGUEIRA, C. G. Um modelo de confiabilidade e otimização aplicado às estruturas de

barras. 2005. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de

São Paulo, São Carlos, 2005.

OLIVEIRA, H. C. B. de. Um modelo híbrido estocástico para tratamento do problema de

roteamento de veículos com janela de tempo. 2007. Dissertação (Mestrado) – Pós-

Graduação em Ciência da Computação, Centro de Informática, Universidade Federal de

Pernambuco. Recife, 2007.

PEREIRA, J. P. G. Heurísticas computacionais aplicadas à otimização estrutural de

treliças bidimensionais. 2007. Dissertação (Mestrado) – Diretoria de Pesquisa e Pós-

Graduação, Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2007.

92

PINHEIRO, L. M.; MUZARDO C. D.; SANTOS, S. P. Fundamentos do concreto e projeto

de edifícios. Apostila – Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de

São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2005.

REVISTA CONSTRUÇÃO MERCADO. Guia da Construção: preços e fornecedores. São

Paulo: Pini, edição 110, setembro de 2010.

RODRIGUES JÚNIOR, S. J. Otimização de pilares de edifícios altos de concreto armado.

2005. Tese (Doutorado) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Pontifícia

Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2005.

ROMANO, G. Paralelização do algoritmo de geração de redes aleatórias contínuas por

Simulated Annealing. 2008. Dissertação (Mestrado) – Programa de Pós-Graduação em

Computação, Instituto de Informática, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto

Alegre, 2008.

SANTOS, F. D. Análise limite e projeto ótimo de vigas em concreto armado. 2003.

Dissertação (Mestrado) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Pontifícia

Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2003.

SANTOS, R. E. dos. A cultura do concreto armado no Brasil: educação e deseducação

dos produtores do espaço construído. In: IV Congresso Brasileiro da História da Educação,

2006, Goiânia. Anais do IV Congresso Brasileiro da História da Educação, 2006.

SIMONETTI, H. L. Otimização topológica de estruturas bidimensionais. 2009.

Dissertação (mestrado) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Departamento de

Engenharia Civil, Escola de Minas, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, 2009.

SILVA, E. E. da. Otimização de estruturas de concreto armado utilizando algoritmos

genéticos. 2001. Dissertação (Mestrado) – Departamento de Engenharia de Estruturas e

Fundações, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, Universidade de São Paulo, São

Paulo, 2001.

SOARES, R. C. Otimização de seções transversais de concreto armado sujeitas à flexão –

aplicação a pavimentos. 1997. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São


TCPO. Tabelas de composições de preços para orçamentos. 12. ed. São Paulo: Pini, 2003.

VIANNA, L. C. C. Otimização de seções transversais de concreto armado: aplicação a

pórticos. 2003. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade

de São Paulo, São Carlos, 2003.

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