ANLISE, SIMULAO E OTIMIZAO DE PROCESSOSTCNICAS DE MODELAGEM DE PROCESSOSProfa. Dra. Consuelo Gomes

Introduo

Um modelo uma representao de um sistema real, que pode j existir ou ser um projeto aguardando resoluo.No primeiro caso, o modelo pretende reproduzir o funcionamento do sistema de modo a aumentar sua produtividade. No segundo caso, o modelo utilizado para definir a estrutura ideal do sistema.

A confiabilidade da soluo obtida atravs do modelo depende da validao do modelo na representao do sistema real.

A validao do modelo a confirmao de que ele realmente representa o sistema real.A diferena entre a soluo real e a soluo proposta depende diretamente da preciso do modelo em descrever o comportamento original do sistema.

Estrutura de Modelos Matemticos Em um modelo matemtico, so includos trs conjuntos principais de elementos: 1. Variveis de deciso e parmetros: variveis de deciso so as incgnitas a serem determinadas pela soluo do modelo, parmetros so valores fixos no problema; 2. Restries: de modo a levar em conta as limitaes fsicas do sistema, o modelo deve incluir restries que limitam as variveis de deciso a seus valores possveis (ou viveis); 3. Funo objetivo: uma funo matemtica que define a qualidade da soluo em funo das variveis de deciso;

Para melhor ilustrar os conjuntos acima, considere o seguinte exemplo:Uma empresa de comida canina produz dois tipos de raes Tobi e Rex. Para a manufatura das raes so utilizados cereais e carnes. Sabe-se que: oA rao Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, a rao Rex utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais; oO pacote da rao Tobi custa R$ 20 e pacote da rao Rex custa R$ 30; oO kg da carne custa R$ 4 e o kg de cereal custa R$ 1; oEsto disponveis por ms 10.000kg de carne e 30.000kg de cereais. Deseja-se saber qual a quantidade de cada rao a produzir de modo a maximizar o lucro.

Neste problema as variveis de deciso so as quantidades de rao de cada tipo a serem produzidas. Os parmetros fornecidos so os preos unitrios de compra e venda, alm das quantidades de carne e cereais utilizadas em cada tipo de rao. As restries so os limites de carne e cereais e a funo objetivo uma funo matemtica que determine o lucro em funo das variveis de deciso e que deve ser maximizada.

Tcnicas de Modelagem Matemtica A formulao do modelo depende diretamente do sistema a ser representado. A funo objetivo e as funes de restrio podem ser lineares ou nolineares. As variveis de deciso podem ser contnuas ou discretas (por exemplo, inteiras) e os parmetros podem ser determinsticos ou probabilsticos.

O resultado dessa diversidade de representaes de sistemas o desenvolvimento de diversas tcnicas de otimizao, de modo a resolver cada tipo de modelo existente. Estas tcnicas incluem, principalmente: Programao Linear, Inteira, Dinmica, Estocstica e Programao No-Linear.

Programao Linear: utilizada para analisar

modelos onde as restries e a funo objetivo so lineares; Programao Inteira: se aplica a modelos que

possuem variveis inteira (ou discretas); Programao Dinmica: utilizada em modelos

onde o problema completo pode ser decomposto em subproblemas menores; Programao Estocstica: aplicada a uma

classe especial de modelos onde os parmetros so descritos por funes de probabilidade; Programao No-Linear: utilizada em modelos

contendo funes no-lineares.

Uma caracterstica presente em quase todas as tcnicas de programao matemtica que a soluo tima do problema no pode ser obtida em um nico passo, devendo ser obtida iterativamente. escolhida uma soluo inicial (que geralmente no a soluo tima). Um algoritmo especificada para determinar, a partir desta, uma nova soluo, que geralmente superior anterior. Este passo repetido at que a soluo tima seja alcanada (suponha que ela existe).

Fases do Estudo da Modelagem Matemtica de Processos Um estudo de modelagem geralmente envolve as

seguintes fases: Definio do problema; Construo do modelo; Soluo do modelo; Validao do modelo; Implementao da soluo.

Apesar da seqncia no ser rgida, ela indica as principais etapas a serem vencidas. Definio do Problema: baseia-se em trs aspectos principais: o Descrio exata dos objetivos do estudo; o Identificao das alternativas de deciso existentes; o Reconhecimento das limitaes, restries e exigncias do sistema.1.

A descrio dos objetivos uma das atividades mais importantes em todo o processo de estudo, pois a partir dela que o modelo concebido. Da mesma forma, essencial que as alternativas de deciso e as limitaes existentes sejam explicitadas, para que as solues obtidas ao final do processo sejam vlidas e aceitveis.

2. Construo do Modelo: a escolha apropriada do modelo fundamental para a qualidade da soluo fornecida. Se o modelo elaborado tem a forma de um modelo conhecido, a soluo pode ser obtida atravs de mtodos matemticos convencionais. Por outro lado, se as relaes matemticas so muito complexas, talvez se faa necessria a utilizao de combinaes de metodologias.

3.

Soluo do Modelo: o objetivo desta fase encontrar uma soluo para o modelo proposto. Ao contrrio das outras fases, que no possuem regras fixas, a soluo do modelo baseada geralmente em tcnicas matemticas existentes. No caso de um modelo matemtico, a soluo obtida pelo algoritmo mais adequado, em termos de rapidez de processamento e preciso de resposta. Isto exige um conhecimento profundo das principais tcnicas existentes. A soluo obtida, neste caso, dita tima.

4.

Validao do Modelo: nesta altura do processo de soluo do problema, necessrio verificar a validade do modelo.

Um modelo vlido se levando-se em conta sua inexatido em representar o sistema, ele for capaz de fornecer uma previso aceitvel do comportamento do sistema.

Um mtodo comum para testar a validade do sistema analisar seu desempenho com dados passados do sistema e verificar se ele consegue produzir o comportamento que o sistema apresentou. importante observar que este processo de validao no se aplica a sistemas inexistentes, ou seja, em projeto. Nesse caso, a validao feita pela

5.

Implementao da Soluo: avaliadas as vantagens e a validao da soluo obtida, esta deve ser convertida em regras operacionais. A implementao, por ser uma atividade que altera uma situao existente, uma das etapas crticas do estado. conveniente que seja controlada pela equipe responsvel, pois, eventualmente, os valores da nova soluo, quando levados prtica, podem demonstrar a necessidade de correes nas relaes funcionais do modelo conjunto dos possveis cursos de ao, exigindo a reformulao do modelo em algumas de suas partes.

OTIMIZAOA nova ordem mundial vem se caracterizando por mudanas tecnolgicas e sociais, com aumento da competitividade dos setores da economia faz-se necessrio uma gesto eficiente garantindo a continuidade do empreendimento a longo prazo, ou seja a OTIMIZAO.

O QUE OTIMIZAO?

A otimizao pode ser definida como a necessidadeda eficincia, podendo existir em todos os campos da cincia. Em engenharia um problema pode ter muitas solues.A otimizao consiste em escolher a melhor soluo dentro de um certo critrio. Esses critrios podem ser Intuitivos ou Quantitativos.

Intuitiva: quando o julgamento feito atravs do

bom senso e da experincia do engenheiro; Quantitativa: quando a escolha se baseia em

meios matemticos. A escolha do critrio depende do objetivo da

otimizao.

Existem trs (03) categorias de Otimizao:

o A preferencial, baseada na preferncia e no

gosto do engenheiro;oA

matemtica,

baseada

nos

aspectos

quantitativos;oE

a

econmica,

que

surge

como

uma

combinao das duas anteriores.

Em casos reais o engenheiro deve formular o

problema de forma que atinja a otimizao para o seu objetivo. No entanto a modelagem da realidade no tarefa fcil, o valor timo de um

modelo no necessariamente o valor timo narealidade.

Para qualquer que seja o modelo, o engenheiro

deve estabelecer trs consideraes:o A resposta possvel?o A resposta realmente a soluo tima?

o Quo sensvel o valor timo?

Formulao de um Problema de Otimizao

A formulao do problema um dos passos mais

importantes da resoluo de problemas queenvolvem otimizao, a etapa crucial da resoluo. Consiste na identificao de elementos

essenciais na descrio de uma determinadasituao, e organiz-los numa determinada forma matemtica.

Forma

matemtica

para a formulao do

problema:o Funo

objetivo representa lucro, custo,

energia, rendimento, entre outros;o Restries

condies restries

de

operao, e de

especificaes, segurana;o Variveis

ambientais

quantidades

que

podem

ser

mudadas;

Mtodo de Resoluo

No existe um mtodo nico que possa ser aplicado para todos os problemas de otimizao. O mtodo escolhido para um caso particular depender:o Da funo objetivo;o Da natureza da restries;

o Da natureza e do nmero de variveis

Mtodos o Analticos; o Numricos: exatos e heursticos

Restrieso Sem restrio; o Na forma de equaes;

o Na forma de inequaes. Funo objetivo o Linear; o No linear: convexa e no convexa. Variveis o Contnua; o Discreta.

timo Local e timo Global

Dado um problema de otimizao temos: funoobjetivo e um conjunto de restries que esto relacionados s variveis de deciso. Sendo o problema de maximizao ou de

minimizao da funo objetivo, a resposta para o problema o timo global ser o menor ou o maior valor possvel para a funo objetivo, desde que os valores atribudos as variveis de deciso no violem nenhuma restrio.

timo Local e timo Global

timo Local ocorre quando chegamos a valores onde alteraes discretas no conduzem a resultados melhores. O timo local s se apresenta como um timo global quando o problema evidenciar convexidade. caractersticas especficas como

Para otimizar necessrio uma ferramenta para

modelar e solucionar o problema. Para esses problemas a ferramenta a Programao Matemtica. Fazem

parte da programao matemtica a (PNL), a Programao Inteira (PI),

Programao Linear (PL), a Programao No Linear Programao Quadrtica (PQ), Programao Mista Inteira Linear (PMIL), Programao Mista Inteira No Linear (PMINL), entre outras.

PROGRAMAO LINEAR o Como surgiu?

Os primeiros conceitos de programao linear foram desenvolvidos entre 1947 e 1949, durante a segunda guerra mundial, por George Dantzig para

serem aplicados a programas militares, desde area de logstica, at estratgica.

O que Programao Linear?

A Programao Linear (PL) uma tcnica de otimizao aplicada a problemas de otimizao e modelado em termos de equaes lineares. O processo de modelagem visa a adequao do problema fsico uma linguagem matemtica, para um tratamento atravs de tcnicas matemticas.

Objetivo da Programao Linear

encontrar a melhor soluo para problemas que tenham seus modelos representados por expresses lineares. Caractersticas da Programao Linear

Consistem em manipulveis:

um

conjunto

de

variveis

Variveis de deciso tendo o objetivo a ser alcanado representado pela funo objetivo funo linear das variveis de deciso, que deve ser maximizada ou minimizada.Quando as restries do sistema so equaes lineares representadas atravs das variveis de

Formulao de um Modelo Linear

Identificao da variveis de deciso Identificao da funo objetivo Identificao das restries Formulao Matemtica

So necessrios dois passos para a resoluo de

um problema de programao linear, o primeiro a modelagem do problema e o segundo a soluo do modelo. Representao

bsica programao linear:

de

um

problema

de

Max.Z c1 .x1 c 2 .x 2 ... c n .x nFuno Objetivo

Min.Z c1 .x1 c 2 .x 2 ... c n .x n

(01)

(02)

Sujeito Restries

a11 .x1 a12 .x 2 ... a1n .x n b1a 21 .x1 a 22 .x 2 ... a 2 n .x n b2 a m1 .x1 a m 2 .x 2 ... a mn .x n bm

(03)

(04)(05)

x1 , x 2 ,..., x n 0

(06)

Teorema Fundamental da Programao Linear Todo problema de programao linear na forma padro apresenta trs propriedades:

o Se no tem soluo tima, ento o problema no factvel ou ilimitado;o Se tem uma soluo factvel, ento tem uma soluo bsica; o Se tem uma soluo tima, ento tem uma soluo bsica tima.

O ponto timo da Programao Linear o timo globaltimo Global

timo Global

Convexa

Cncava

timo Local timo Global

No - Convexa

A resoluo de problemas de programao linear

na sua grande maioria se faz algebricamente, graficamente s conseguimos determinar quando

temos duas ou no mximo trs variveis. Quando h uma grande quantidade de variveis o

que dificulta a soluo algbrica. Um dos recursos para a soluo de problemas lineares o Mtodo Simplex.

Limitaes da Programao Linear

Estudando os modelos de programao linear precisamos ressalvar sobre as suas limitaes.o Coeficiente Constante: em programao linear

os

coeficientes

so

considerados

como

constantes conhecidas, na prtica esses valores podem no ser constantes e sim variveis.

Limitaes da Programao Linearo Divisibilidade: as solues timas de um modelo

de

programao

linear

podero

apresentar

valores no inteiros, o que em uma indstria no seria real.o Proporcionalidade: assume-se em modelos de

programao linear que para a produo de cada produto, a eficincia aumenta com taxas de produo elevadas, aumentando o lucro marginal unitrio e diminuindo a capacidade de produo

por unidade de aumento na taxa de produo.

Limitaes da Programao LinearApesar de todas essas limitaes a programao linear ainda a ferramenta mais utilizada na resoluo de problemas reais que envolvam formulao de modelos matemticos, no s

pela simplicidade mas tambm pelo fato de omodelo poder sempre ser resolvido.

Modelagem de Problemas de Programao Linear a. Formulao do Problema Uma refinaria produz trs tipos de gasolina: verde, azul e comum. Cada tipo requer gasolina pura, octana e aditivo que so disponveis nas quantidades de 9.600.000, 4.800.000 e 2.200.000 litros por semana, respectivamente. As especificaes de cada tipo so:

Um litro de gasolina verde requer 0,22 litro de gasolina pura, 0,50 litro de octana e 0,28 litro de aditivo;

Um litro de gasolina comum requer 0,74 litro de

gasolina pura, 0,20 litro de octana e 0,06 litro de aditivo. Como regra de produo, com base na demanda de mercado, o planejamento da refinaria estipulou que a quantidade de gasolina comum deve ser no mnimo igual a 16 vezes a quantidade de gasolina verde, e que a quantidade de gasolina azul seja no mximo igual a 600.000 litros por semana. A empresa sabe que cada litro de gasolina verde, azul e comum d uma margem de contribuio para o lucro de $0,30, $0,25 e $0,20, respectivamente, e seu objetivo determinar o

b. Definio das Variveis Como o objetivo da refinaria encontrar o programa de produo para maximizar o lucro, isso quer dizer, dimensionar a produo semanal de cada tipo de gasolina. Assim as variveis de deciso sero: X1: quantidade de gasolina verde a produzir X2: quantidade de gasolina azul a produzir X3 quantidade de gasolina comum a produzir

c. Relaes Matemticas Trs tipos de relaes matemticas devero ser escritos para a composio do modelo: 1. Funo Objetivo representa a relao entre as variveis de deciso, as margens unitrias por tipo de gasolina e a margem total de lucro. Como o lucro total ser a soma dos lucros obtidos com cada tipo de gasolina, com base nos lucros unitrios especificados na formulao a equao da margem total de lucro ser:

MARGEM TOTAL DE LUCRO:

L 0,30 .x1 0,25 x 2 0,20 .x32. Restries de especificaes e disponibilidades devem representar as relaes entre as quantidades a produzir dos diversos tipos de gasolina, as composies de cada um e as disponibilidades dos recursos primrios.

Uma vez que a varivel x1 representa a quantidade

de gasolina verde que ser produzida (em litros) e como cada litro requer 0,22 litro de gasolina pura, podemos dizer que a quantidade de gasolina pura necessria para fazer22 .x 0, gasolina verde dada por:1

Com raciocnio anlogo achamos as quantidades necessrias de gasolina.x 0,52 pura para a fabricao de:2

gasolina azul gasolina comum

0,74 x3

Ou seja, a quantidade total de gasolina pura necessria para a fabricao dos trs produtos :

0,22 .x1 0,52 .x 2 0,74 .x3que deve ser limitada pela disponibilidade total de gasolina pura. 0,22 .x1 0,52 .x 2 0,74 .x3 9.600 .000

Seguindo o mesmo raciocnio, podemos escrever

as relaes para os outros insumos primrios: octana aditivo0,50 .x1 0,34 .x 2 0,20 .x3 4.800 .0000,28 .x1 0,14 .x 2 0,06 .x3 2.200 .000

3. Relaes de Produo devem refletir as condies impostas pelo planejamento, ou seja: relaes

entre as quantidades de gasolina x3 16 . verde: comum e de gasolinax1ou : 16 .x1 x3 0

limitao na quantidade de gasolina x 2 600 .000 azul:

Outra restrio que deve ser escrita, apesar de ser

bvia neste problema, a restrio de no negatividade das variveis, ou seja: Para

finalizar, podemos escrever completo da seguinte maneira: Respeitando as Restries:

o

modelo

MaximizarL 0,30 .x1 0,25 x 2 0,20 .x30,22 .x1 0,52 .x 2 0,74 .x3 9.600 .000 0,50 .x1 0,34 .x 2 0,20 .x3 4.800 .00016 .x1 x3 0

0,28 .x1 0,14 .x2 0,06 .x3 2.200 .000

x1 0, x 2 0, x3 0

Soluo de um Problema de Programao Linear pelo Mtodo GrficoUm problema de P.L. (Programao Linear) s pode ser resolvido graficamente desde que o modelo, em estudo, apresentar duas variveis. O fato de que a funo objetivo para um PL precisar ser uma funo linear de variveis tem 2 implicaes: 1 - A contribuio para a funo objetivo de cada varivel de deciso proporcional ao valor da varivel de deciso; 2 - A contribuio para a funo objetivo para cada varivel independente dos valores de outras variveis de deciso.

Definio: regio de soluo para um problema de PL o conjunto de todos os pontos que satisfazem todas as restries do problema. Por Exemplo: 1) x1 = 40 e x2 = 20 Restries: 2x1 + x2