Teoria da medida

T E O R I A D A M E D I D A

Universidade Estadual de Campinas

Reitor

Fernando Ferreira Costa

Coordenador Geral da Universidade

Edgar Salvadori de Decca

Conselho Editorial

Presidente

Paulo Franchetti

Alcir Pécora – Arley Ramos Moreno

Eduardo Delgado Assad – José A. R. Gontijo

José Roberto Zan – Marcelo Knobel

Sedi Hirano – Yaro Burian Junior

Mauro S. de F. Marques

T E O R I A D A M E D I D A

Índices para catálogo sistemático:

1. Teoria das medidas 511.322 2. Lebesgue, Integrais de 515.43 3. Integrais (Matemática) 515.43

Copyright © by Mauro S. de F. Marques

Copyright © 2009 by Editora da Unicamp

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isbn 978-85-268-0840-9

M348t Marques, Mauro S. de F.Teoria da medida / Mauro S. de F. Marques. – Campinas, sp: Editora da Unicamp, 2009.

1. Teoria das medidas. 2. Lebesgue, Integrais de. 3. Integrais (Matemática). I. Título. cdd 511.322 515.43

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Para Eliana, Gabriel e Lucas.

Sumario

Prefacio 11

1 Conjunto e classe de conjuntos 13

1.1 Definicoes basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Operacoes elementares entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Propriedades elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Limites de sequencias de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Algebra e σ-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6 Exemplos de espacos mensuraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6.1 Os borelianos de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6.2 Os borelianos de R

n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6.3 A σ-algebra gerada pelos cilindros de R

N . . . . . . . . . . . . . 311.6.4 O espaco l2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.5 A σ-algebra gerada pelos cilindros de R

T . . . . . . . . . . . . . 331.6.6 O espaco C([0, 1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.7 Funcao indicadora e imagem inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.7.1 Funcao indicadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.7.2 Imagens inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Medida 45

2.1 Funcao de conjunto e medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3 Extensao de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3.1 Da semi-algebra para a algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3.2 Medida exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3.3 Da algebra para a σ-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.4 Completamento e aproximacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 Exemplos de espacos de medida 75

3.1 Medida de Lebesgue-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.1.1 Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1.2 Medidas de probabilidade em (R,B(R)) . . . . . . . . . . . . . . 86

3.2 Medida de Lebesgue-Stieltjes em B(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.3 Medida de probabilidade em (RT,B(RT)) . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.3.1 Medidas em (RN,B(RN)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.3.2 Medida de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.3.3 Medida gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4 Transformacao mensuravel 113

4.1 Funcao mensuravel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.2 Transformacao mensuravel e medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.2.1 Medida induzida por uma transformacao . . . . . . . . . . . . . 126

4.3 Funcao simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5 Integral 133

5.1 Funcao simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.2 Funcao mensuravel nao-negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.3 Funcao integravel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.4 Propriedades da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.5 Limites e integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.5.1 Algumas aplicacoes do Teorema da Convergencia Dominada . . 164

5.5.2 Integrabilidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.6 Teorema da Transformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.7 Riemann, Riemann-Stieltjes e Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6 Espaco produto 185

6.1 Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.2 Mistura de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.3 Medida e integral em espaco produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.4 Medida produto e Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.5 Generalizacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6.6 Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

6.6.1 Um pouco mais de medidas gaussianas . . . . . . . . . . . . . . 204

6.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7 Medida com sinal 215

7.1 Definicao e propriedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157.2 Decomposicao de Hahn e Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.3 Integral com relacao a medida com sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . 2267.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

8 Modos de Convergencia 231

8.1 Convergencia pontual e em quase toda parte . . . . . . . . . . . . . . . 2318.1.1 Convergencia em quase toda parte e quase uniforme . . . . . . . 232

8.2 Convergencia em medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2388.3 Convergencia em Lp(Ω,F , µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2458.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

9 Continuidade absoluta e singularidade 263

9.1 Decomposicao de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2669.2 Derivada de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2789.3 Aplicacoes em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2819.4 Teorema de Kakutani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2859.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

Indice remissivo 293

Prefacio

Este livro e resultado de incontaveis revisoes das notas de aula para as disciplinas Pro-babilidade Avancada e Teoria da Medida do programa de pos-graduacao do Instituto deMatematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica da UNICAMP por mim ministradasdesde 1988. As duas disciplinas tem como objetivo preparar estudantes interessadosem estudos avancados de probabilidade, estatıstica e calculo estocastico.

Nessas disciplinas perfis contrastantes de estudantes foram encontrados. De umlado, alunos do programa de estatıstica com forte intuicao para as aplicacoes, devido aestudos previos de probabilidade e estatıstica, mas com pouca ou nenhuma formacaoem analise matematica. Em contraste, alunos do programa de matematica pura comexcelente base matematica, mas sem conhecimentos previos de probabilidade.

Diante desse cenario o texto foi elaborado assumindo pre-requisitos mınimos decalculo avancado ou introducao a analise real e nocoes elementares de calculo proposi-cional, em particular o uso dos conectivos “e” (∧), “ou” (∨), “implicacao logica” (⇒)e “equivalencia logica” (⇔) e dos quantificadores “para todo” (∀), “existe” (∃) e “talque” (∋). Assim, ha um excesso de detalhes nas demonstracoes, talvez desnecessariospara aqueles com formacao matematica solida. Escolheu-se enfatizar exaustivamente osaspectos particulares da teoria da medida em prejuızo daqueles de natureza topologicae algebrica. Apenas nocoes sobre limites de sequencias e series, conjuntos abertos efechados e o conhecimento do Teorema de Heine-Borel, aspectos usualmente estuda-dos nos pre-requisitos mencionados, se fazem necessarios. Dadas essas caracterısticasparticulares, foram eliminadas referencias a literatura.

Alem da influencia de meus mestres Stamatis Cambanis, Malcom Leadbetter, Go-pinath Kallianpur e Charles Baker e de infindaveis discussoes com Victor Perez-Abreu,alguns alunos, em diferentes epocas, tiveram participacao importante no enfoque, for-mato, grau de detalhamento das demonstracoes e nas escolhas dos exercıcios. Em par-ticular, agradeco aos ex-alunos, hoje todos doutores, Antonio Eduardo Gomes, ElaineBorghi, Patricia Gimenez, Marcelo Freire e Simao Stelmasthuk.

Finalmente, espero que este livro cumpra o objetivo de fornecer uma formacao basicasolida para aqueles com interesse em estudos avancados nas areas de probabilidade,estatıstica matematica, processos estocasticos e calculo estocastico.

Mauro S. de F. Marques

11

Capıtulo 1

Conjunto e classe de conjuntos

1.1 Definicoes basicas

Um conjunto e um agregado ou colecao de pontos ou elementos. Por exemplo, todos osnumeros, o espaco euclidiano, conjunto de funcoes e o de sequencias etc.

Os conjuntos dos numeros naturais, inteiros, reais e complexos serao denotadosrespectivamente por N, Z, R e C.

Para evitar questoes pertinentes aos fundamentos logicos da teoria de conjuntos,em um dado contexto, todos os elementos considerados serao pontos de um conjuntofixo, nao-vazio, referido como espaco e denotado por Ω. Letras maiusculas serao usadaspara denotar conjuntos e minusculas para denotar elementos. O conjunto vazio, isto e,o conjunto sem elementos, sera denotado por ∅ ou .

Um conjunto pode ser bem definido por uma dada propriedade P, ou seja, umcriterio para decidir quando um objeto (ponto) e ou nao elemento do conjunto emquestao. Assim, um conjunto pode entao ser descrito na forma ω; P(ω), onde P(ω)e a propriedade a ser satisfeita por um elemento ω do espaco, para que ele seja umelemento do conjunto.

Por classe entende-se um conjunto cujos elementos sao conjuntos de um dado espaco,por exemplo, a classe de todos os retangulos do plano euclidiano. Classes de conjuntosserao aqui denotadas por letras caligraficas maiusculas A,B, C, . . .

Colecao de classes e um conjunto cujos elementos sao classes de conjuntos.

Para indicar que um ponto ω e um elemento de um conjunto A, o sımbolo ∈ eusado. Assim, ω ∈ A, le-se ω pertence a A, significa que ω e um elemento do conjuntoA. Para o oposto, ω nao pertence ao conjunto A, escreve-se ω 6∈ A. Observe que osımbolo ∈ deve sempre ser usado entre diferentes entidades logicas, isto e, “pontos ∈conjuntos”, “conjuntos ∈ classes”, “classes ∈ colecoes” etc.

A notacao A ⊂ B, le-se A e um subconjunto de B ou A esta contido em B, significaque todo elemento de A e tambem um elemento de B. Assim para todo conjunto A

tem-se: A ⊂ Ω, A ⊂ A e ∅ ∈ A. O sımbolo ⊂ e usado entre entidades logicas do mesmotipo, isto e, “conjunto de pontos ⊂ conjunto de pontos”, “classe de conjuntos ⊂ classede conjuntos” etc.

13

14 Capıtulo 1. Conjunto e classe de conjuntos

Diz-se queA = B

se e somente seA ⊂ B ∧ B ⊂ A.

Apesar da simplicidade da definicao, a demonstracao de uma igualdade entre conjuntospode requerer trabalho.

1.2 Operacoes elementares entre conjuntos

Uniao, intersecao e complemento sao as tres operacoes basicas em teoria de conjuntos.Outras operacoes podem ser definidas via composicoes e extensoes.

Uniao e intersecao sao operacoes diadicas, portanto, para defini-las, sejam A e B

dois subconjuntos quaisquer do espaco Ω. A uniao de dois conjuntos A e B, escritacomo A ∪ B, e o conjunto de todos os elementos em A ou em B (ou em ambos):

A ∪ B = ω : ω ∈ A ∨ ω ∈ B.

A intersecao de dois conjuntos A e B, escrita como A∩B, e o conjunto dos elementosque pertencem a ambos; pertencem a A e pertencem a B:

A ∩ B = ω : ω ∈ A ∧ ω ∈ B.

Dois conjuntos que nao tem elementos comuns,

A ∩ B = ∅,

sao chamados disjuntos.A operacao complemento de A (em relacao ao espaco Ω), escrita como Ac, e definida

como o conjunto de todos os elementos do espaco Ω que nao sao elementos de A:

Ac = ω : ω 6∈ A.

Em particular,∅c = Ω ∧ Ωc = ∅.

Duas outras operacoes, diferenca e diferenca simetrica, sao bastante uteis e podemser expressas atraves de composicoes das operacoes basicas.

A diferenca entre dois conjuntos A e B, denotada por A\B, e o conjunto de todosos elementos de A que nao pertencem a B:

A\B = ω : ω ∈ A ∧ ω 6∈ B = A ∩ Bc.

Se B e subconjunto de A, A\B e chamada diferenca propria.

1.3. Propriedades elementares 15

A diferenca simetrica entre dois conjuntos A e B, denotada por AB, e o conjuntode todos os elementos que pertencem a A ou a B mas nao a ambos:

AB = (A ∩ Bc) ∪ (B\A) = (Ac ∩ B) ∪ (A ∩ Bc).

As operacoes de uniao e intersecao entre dois conjuntos podem ser estendidas na-turalmente para um numero arbitrario de conjuntos. Para tanto considere uma classede conjuntos indexada por um conjunto de ındices I,

Aι : Aι ⊂ Ω, ι ∈ I.

Define-se∪ι∈IAι = ω : ω ∈ Aι para algum ι ∈ I

e∩ι∈IAι = ω : ω ∈ Aι para todo ι ∈ I.

Quando o conjunto de ındices e um subconjunto de numeros inteiros, escreve-se,por exemplo, ∪∞

n=1 para ∪n∈N, ∪Nn=1 para ∪n∈1,2,...,N etc.

Claro, as operacoes acima definidas e exemplificadas para conjuntos de pontos po-dem ser aplicadas para classes de conjuntos, colecoes de classes etc.

1.3 Propriedades elementares

Proposicao 1.1. Para quaisquer subconjuntos A,B e C de Ω:

(i) Lei comutativaA ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A;

(ii) Lei associativa

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C;

(iii) Lei distributiva

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

(iv) Lei de De Morgan

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc, (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc.

Demonstracao: Exercıcio 1.1. c.q.d.

Corolario 1.1. Seja Aι; ι ∈ I uma classe de subconjuntos de Ω. Entao,

(∪ι∈IAι)c = ∩ι∈IA

cι ∧ (∩ι∈IAλ)

c = ∪ι∈IAcι .



1.4 Limites de sequencias de conjuntos

Seja (An; n ∈ N) uma sequencia de subconjuntos de Ω.O limite inferior da sequencia de subconjuntos (An; n ∈ N), denotado por

lim infn→∞

An,

e o conjunto de todos os elementos ω que pertencem a An, para todos valores de n,exceto um numero finito, isto e,

ω ∈ lim infn→∞

An ⇐⇒ ∃N0 ∈ N ∋ ω ∈ An∀n ≥ N0.

O limite superior da sequencia de subconjuntos (An; n ∈ N), denotado por

lim supn→∞

An,

e o conjunto de todos os elementos ω que pertencem a An para infinitos valores de n,isto e,

ω ∈ lim supn→∞

An ⇐⇒

∃(nm; m ∈ N), nm ≤ nm+1(nm ↑), ∋ ω ∈ Anm,m = 1, 2, . . .

Nas definicoes de limite inferior e limite superior, e importante observar que, res-pectivamente, tanto o numero N0 quanto a sequencia (nm; m ∈ N) dependem de ω.

Proposicao 1.2. Para qualquer sequencia (An; n ∈ N):

(i) lim infn→∞ An = ∪∞n=1 ∩

∞m=n Am e

(ii) lim supn→∞ An = ∩∞n=1 ∪

∞m=n Am.

Demonstracao:

(i) ω ∈ lim infn→∞ An ⇔

∃N0, ∋ ω ∈ ∩∞m=N0

Am ⇔ ω ∈ ∪∞n=1 ∩

∞m=n Am.

(ii) ω ∈ lim supn→∞ An ⇔

∃mn+1 > mn ≥ 1, ∋ ω ∈ Amn∀n ⇔

ω ∈ ∪∞m=nAm∀n,⇔ ω ∈ ∩∞

n=1 ∪∞m=n Am.

c.q.d.

Uma sequencia de conjuntos (An; n ∈ N) e dita ser convergente se

lim infn→∞

An = lim supn→∞

An

1.4. Limites de sequencias de conjuntos 17

e nesse caso o valor comum e denotado por limn→∞ An. Escrevendo-se

A = limn→∞

An,

a notacaoAn → A

tambem e utilizada.Como, trivialmente,

lim supn→∞

An ⊂ lim supn→∞

An,

para provar convergencia, somente e preciso mostrar que

lim supn→∞

An ⊂ lim infn→∞

An.

Uma sequencia (An; n ∈ N) e chamada monotona crescente (decrescente), escreve-seAn ↑ (An ↓), se para todo n

An ⊂ An+1 (An+1 ⊂ An).

Proposicao 1.3. Seja (An; n ∈ N) uma sequencia monotona crescente (decrescente).Entao ela e convergente e

limn→∞

An = ∪∞n=1An (= ∩∞

n=1An).

Demonstracao: Se An e crescente,

lim supn→∞

An = ∩∞n=1 ∪

∞m=n Am = ∩∞

n=1 ∪∞m=1 Am,

pois∪∞

m=nAm = ∪∞m=1Am.

Como ∪∞m=1Am nao depende de n, segue que

lim supn→∞

An = ∪∞m=1Am.

Por outro lado,lim infn→∞

An = ∪∞n=1 ∩

∞m=n Am = ∪∞

n=1An,

pois∩∞

m=nAm = An.

Portanto, como requerido,

lim infn→∞

An = ∪∞n=1An = lim sup

n→∞An.

No caso decrescente, basta observar que

An ↓⇐⇒ Acn ↑

e o resultado e uma consequencia imediata da Lei de De Morgan. c.q.d.


1.5 Algebra e σ-algebra

Classes de conjuntos sao objetos essenciais na teoria da medida. Classes arbitrariasde conjuntos nao sao necessariamente fechadas com relacao as operacoes de conjuntosaqui definidas, por exemplo, a uniao de dois conjuntos pertencentes a classe nao enecessariamente um elemento da classe.

O problema estaria resolvido se sempre fosse possıvel trabalhar com a classe 2Ω

de todos os subconjuntos de Ω. Isso e factıvel no caso onde o espaco Ω tem umnumero finito de elementos, mas, quando a cardinalidade de Ω e infinita, a classe 2Ω

e muito “grande”, o que pode inviabilizar, como sera visto no proximo capıtulo, odesenvolvimento de uma teoria rica.

Assim, serao consideradas subclasses menores de 2Ω, sendo importante no entantoque as mesmas possuam uma dada estrutura, a ser explicitada a seguir, suficientementerica para o objetivo em questao.

Diferentes estruturas basicas para classes de conjuntos sao usadas em teoria damedida. Neste texto, em prejuızo da generalidade mas visando a simplicidade, asclasses basicas a serem usadas sao as chamadas estruturas de algebra e σ-algebra.

Uma classe A de subconjuntos de um espaco Ω e chamada uma algebra (de subcon-juntos) se:

(A1) Ω ∈ A;

(A2) A ∈ A ⇒ Ac ∈ A ∧

(A3) A,B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A;

ou

(A3’) A,B ∈ A ⇒ A ∩ B ∈ A.

Note que, sob (A2), pela Lei de De Morgan, (A3) e (A3’) sao equivalentes. Eevidente que uma algebra contem o conjunto vazio (∅ = Ωc) e e fechada com respeito aunioes e intersecoes de um numero finito de conjuntos. Consequentemente, uma algebrae fechada para operacoes que envolvam um numero finito qualquer de aplicacoes dasoperacoes uniao, intersecao e complemento, em particular, as operacoes diferenca ediferenca simetrica.

Exemplos simples de algebras sao:

A∗ = ∅, Ω, A∗ = 2Ω e A1 = ∅, A,Ac, Ω, A ⊂ Ω.

Um exemplo interessante e dado pela classe

A2 = A ⊂ Ω : A e finito ou Ac e f inito.

Este ultimo pode ser generalizado no lema a seguir.

1.5. Algebra e σ-algebra 19

Lema 1.1. Seja P = A1, A2, . . . , An uma particao do espaco Ω, ou seja,

Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j ∧ Ω = ∪ni=1Ai.

Entao a classe

A = ∪mk=1Aik ; i1, i2, . . . , im ⊂ 1, 2, . . . , n, Aik ∈ P,

formada por todas as unioes finitas de subconjuntos em P, e uma algebra.


O proximo resultado e bastante simples mas de grande utilidade para o desenvolvi-mento da teoria a ser apresentada nos capıtulos seguintes.

Lema 1.2. Seja (An : n ≥ 1) uma sequencia de subconjuntos em uma algebra A. Entaoexiste uma sequencia (Bn : n ≥ 1) em A, tal que:

(i) Bn ∩ Bm = ∅, n 6= m, n,m = 1, 2, . . .;

(ii) Bn ⊂ An, n,m = 1, 2, . . . e

(iii) ∪∞n=1An = ∪∞

n=1Bn.

Demonstracao: Seja (Bn : n ≥ 1) a seguinte sequencia:

B1 = A1, B2 = Ac1 ∩ A2, . . . , Bn = Ac

1 ∩ Ac2 ∩ · · · ∩ Ac

n−1 ∩ An, . . .

Como A e fechada com relacao a um numero finito de operacoes de subconjuntos,tem-se que

Bn ∈ A, n = 1, 2, . . .

As demonstracoes de (i) e (ii) sao imediatas. Para mostrar (iii), note inicialmenteque:

ω ∈ ∪∞n=1An ⇐⇒ ∃n ∋ ω ∈ An.

Sejan0 = minn : ω ∈ An,

logoω ∈ Bno

= Ac1 ∩ Ac

2 ∩ · · · ∩ Acn0−1 ∩ An0

=⇒ ω ∈ ∪∞n=1Bn.

Por outro lado,

ω ∈ ∪∞n=1Bn ⇐⇒ ∃n ∋ ω ∈ Bn ⊂ An =⇒ ω ∈ ∪∞

n=1An.

Portanto esta demonstrado que

∪∞n=1An = ∪∞

n=1Bn. c.q.d.


Quando se trata de um numero infinito, ainda que contavel, de operacoes de con-juntos, a estrutura de algebra nao e mais suficiente. De fato, considere o exemplo dadoanteriormente da algebra A2 com Ω sendo o conjunto dos numeros naturais N. Osconjuntos

An = 2n, n = 1, 2, . . . ,

sao finitos e portanto elementos de A2, mas ∪∞n=1An, o conjunto dos numeros pares,

por nao ser finito nem ter complementar finito, nao pode ser um elemento de A2. Issomostra que em geral uma algebra nao e fechada com relacao a unioes infinitas. Claroque o mesmo e verdade com relacao as operacoes de intersecao, lim inf e lim sup.

Uma classe F de subconjuntos de um espaco Ω e chamada uma σ-algebra (de sub-conjuntos) se:

(F1) Ω ∈ A;

(F2) A ∈ A ⇒ Ac ∈ A;

(F3) ∀ (An; n ∈ N) em A ⇒ ∪∞n=1An ∈ A;

ou

(F3’) ∀ (An; n ∈ N) em A ⇒ ∩∞n=1An ∈ A.

Portanto, uma σ-algebra e uma algebra fechada em relacao a unioes contaveis. Seratambem fechada com relacao a intersecoes contaveis e consequentemente com relacaoa limite inferior e limite superior.

Para a teoria a ser desenvolvida nos proximos capıtulos, as estruturas de σ-algebrasao suficientes. Resta no entanto resolver o problema, nem sempre facil, de comoconstruir σ-algebras apropriadas.

Em grande parte das situacoes, o ponto de partida para a construcao de uma algebraou σ-algebra e a fixacao de uma classe C com estrutura bastante simples, ou nenhumaestrutura em particular, que tenha como elementos os subconjuntos com interesse par-ticular para o problema em questao. Deseja-se entao construir a menor algebra ouσ-algebra possıvel que contenha a classe de interesse C. A existencia de uma talalgebra ou σ-algebra “mınima” que contenha C e garantida pelos resultados seguintes.

Lema 1.3. A intersecao arbitraria de algebras (σ-algebras) e uma algebra (σ-algebra).

Demonstracao: O resultado sera provado para algebra, a demonstracao para σ-algebrae analoga.

Seja Λ uma colecao arbitraria e nao-vazia de algebras. Defina

A0 = ∩A∈ΛA.

Claro,Ω ∈ A,∀A ∈ Λ ⇒ Ω ∈ A0,

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Teoria da medida