Marcos Jardim & Henrique N. Sá Earp

Teoria de Calibres

CAMPINAS2014

i

ii

Sumário

1 Revisão de Variedades Suaves e Grupos de Lie 11.1 Variedades Suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3 Funções Suaves e Vetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4 Fibrados Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.5 Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.6 Álgebra Exterior em Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.7 Orientabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.8 Variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.9 Estrela de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Índice Remissivo 71

iii

iv

Capítulo 1

Revisão de Variedades Suaves e Gruposde Lie

1.1 Variedades SuavesO objetivo desta seção é discutir o conceito de suavidade. A noção de suavidade de uma varie-

dade tem como ancestral o conceito de regularidade de curvas e superfícies no espaço Euclideano,que, a grosso modo, são as curvas e superfícies nas quais se consegue definir naturalmente umplano tangente em cada ponto.Definição 1.1.1. Um espaço topológico é um par (𝑋, 𝜏) formado por um conjunto 𝑋 (cujoselementos são chamados de pontos) e uma coleção 𝜏 (chamada de topologia de 𝑋) de subconjuntosde 𝑋 (chamados de abertos de 𝑋) tais que

(i) ∅ e 𝑋 são abertos de 𝑋;

(ii) Se {𝑈𝜆}𝜆∈Λ ⊂ 𝜏 é uma família de abertos então ∪𝜆∈Λ𝑈𝜆 é um aberto;

(iii) Se {𝑈𝑛}16𝑛6𝑘 ⊂ 𝜏 é uma família de abertos então ∩𝑘𝑛=1𝑈𝑛 é um aberto.

Se 𝐹 ⊂ 𝑋 e 𝑋∖𝐹 ∈ 𝜏 , dizemos que 𝐹 é um fechado de 𝑋. Por conveniência, quando a topologiade (𝑋, 𝜏) estiver clara no contexto, nos referiremos a 𝑋 como um espaço topológico e omitiremosa topologia 𝜏 .

Exemplo 1.1.2. (a) O conjunto R dos números reais possui uma topologia canônica na qualos abertos são ∅, R e as uniões de intervalos abertos (i.e. uniões de conjuntos da forma(𝑎, 𝑏) := {𝑥 ∈ R : 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}).

(b) Se (𝑋𝑖, 𝜏𝑖), 𝑖 = 1, 2,. . . , 𝑛, são espaços topológicos então 𝑋 = 𝑋1 × 𝑋2 × . . . 𝑋𝑛 possuiuma estrutura de espaço topológico na qual os abertos são as uniões de conjuntos da forma𝑈1 ×𝑈2 × · · · ×𝑈𝑛, onde 𝑈𝑖 ∈ 𝜏𝑖. Esta estrutura de espaço topológico é chamada de topologiaproduto. Em particular, a topologia produto de R𝑛 = R×· · ·×R é conhecida como topologiacanônica de R𝑛. A menos que seja mencionado o contrário, os espaços 𝑅𝑛, conhecidos comoespaços Euclideanos, serão sempre considerados como munido de sua topologia canônica.

1

(c) Dados espaços topológicos (𝑋𝑖, 𝜏𝑖), 𝑖 ∈ 𝐼, a união disjunta 𝑋 = ⊔𝑖∈𝐼𝑋𝑖 possui uma estruturade espaço topológico no qual os abertos são os conjuntos da forma ∪𝑖∈𝐼𝑈𝑖, onde 𝑈𝑖 ∈ 𝜏𝑖.Dizemos que esta é a topologia união de 𝑋.

(d) Se (𝑋, 𝜏) é um espaço topológico e 𝑌 ⊂ 𝑋 então a coleção

𝜏 |𝑌 := {𝑌 ∩ 𝑈 : 𝑈 ∈ 𝜏}

é tal que (𝑌, 𝜏 |𝑌 ) é um espaço topológico. Neste caso, dizemos que (𝑌, 𝜏 |𝑌 ) é um subespaçode (𝑋, 𝜏).

(e) Sejam (𝑋, 𝜏) um espaço topológico e ∼ uma relação de equivalência em 𝑋. O mapa 𝜋 : 𝑋 →𝑋/ ∼, entre 𝑋 e o conjunto das classes de equivalência 𝑋/ ∼ de 𝑋 pela relação ∼, quemanda cada ponto em sua classe de equivalência, é chamado de mapa quociente. A coleção

𝜏/ ∼:= {𝑉 ⊂ 𝑋/ ∼ : 𝜋−1(𝑉 ) ∈ 𝜏}

é tal que (𝑋/ ∼, 𝜏/ ∼) é um espaço topológico. Dizemos que 𝜏/ ∼ é a topologia quocientede 𝑋/ ∼.

Um espaço topológico (𝑋, 𝜏) também pode ser descrito pela família de seus subespaços fechados𝜌. De fato, o par (𝑋, 𝜏) é um espaço topológico se e somente se o conjunto 𝜌 := {𝐹 ⊂ 𝑋 : 𝑋∖𝐹 ∈ 𝜏}satisfaz as condições:

(i) ∅ e 𝑋 ∈ 𝜌;

(ii) Se {𝐹𝑛}16𝑛6𝑘 ⊂ 𝜌 então ∪𝑘𝑛=1𝐹𝑛 ∈ 𝜌;

(iii) Se {𝐹𝜆}𝜆∈Λ ⊂ 𝜌 então ∩𝜆∈Λ𝐹𝜆 ∈ 𝜌.

Definição 1.1.3. Se (𝑋, 𝜏) é um espaço topológico e 𝑆 ⊂ 𝑋, denotamos por 𝑆 o subespaço fechadode 𝑋 que é dado pela interseção de todos os subespaços fechados de 𝑋 que contém 𝑆.

Os espaços Euclideanos, são os exemplos de espaços topológicos mais importantes desta se-ção, pois, em certo sentido, são as variedades mais simples de variedade possíveis. Em especial,queremos que todas as variedades possuam algumas propriedades em comum com os espaços Eu-clideanos. Uma delas é a noção de distância entre pontos como veremos na próxima definição.

Definição 1.1.4. Seja 𝑋 um conjunto com uma função d: 𝑋 × 𝑋 → R satisfazendo, para cada𝑥, 𝑦 e 𝑧 em 𝑋:

(i) d(𝑥, 𝑦) = 0 se e somente se 𝑥 = 𝑦;

(ii) d(𝑥, 𝑦) = d(𝑦, 𝑥);

(iii) d(𝑥, 𝑦) 6 d(𝑥, 𝑧) + d(𝑧, 𝑥).

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Neste caso, dizemos que (𝑋, d) é um espaço (topológico) métrico e que d é a métrica de 𝑋. Porconveniência, quando a métrica de (𝑋, d) estiver clara no contexto, nos referiremos a 𝑋 como umespaço métrico e omitiremos a métrica d.

Exemplo 1.1.5. (a) Seja d: R𝑛 × R𝑛 → R a função dada por

d(𝑥, 𝑦) =𝑛∑𝑖=1

(𝑥𝑖 − 𝑦𝑖)2,

para todos 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) e 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) em R𝑛. O par (R𝑛, d) é um espaço métrico ed é chamada de métrica Euclideana.

(b) Outra métrica importante nos espaços euclideanos é a métrica do supremo dsup. Esta édefinida pela igualdade

d(𝑥, 𝑦) = sup{|𝑥𝑖 − 𝑦𝑖|}𝑛𝑖=1,

para todos 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) e 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) em R𝑛.

Os espaços topológicos métricos são assim chamados pois suas métricas induzem topologias.

Definição 1.1.6. Seja (𝑋, d) um espaço métrico.

• Para cada 𝑥 ∈ 𝑋 e 𝜀 > 0, denotemos por 𝐵(𝑥, 𝜀) o conjunto

{𝑦 ∈ 𝑋 : d(𝑥, 𝑦) < 𝜀}.

Chamamos 𝐵(𝑥, 𝜀) de bola aberta de raio 𝜀 centrada em 𝑥;

• A coleção𝜏 = {∅, 𝑋} ∪ {∪𝑖∈𝐼𝐵(𝑥𝑖, 𝜀𝑖) : 𝑥𝑖 ∈ 𝑋, 𝜀𝑖 > 0}

é chamada de topologia induzida por d em 𝑋.

Segue direto da definição de espaço topológico que, de fato, (𝑋, 𝜏) é um espaço topológico se𝜏 é a topologia induzida por uma métrica d em um espaço métrico (𝑋, d).

Observação 1.1.7. As topologias de R𝑛 induzidas pelas métricas Euclideana e do supremo sãoiguais. Mais do que isto, elas coincidem com a topologia canônica de R𝑛. Pelo menos umademonstração de tal fato é acessível ao leitor, porém é um tanto trabalhosa. O leitor pode, porexemplo, utilizar como lema o artifício a seguir, que ele mesmo pode demonstrar. Para provarque a topologia 𝜏 de um espaço topológico 𝑋 coincide com a topologia induzida por métrica de 𝑋basta verificar que:

• Para cada ponto 𝑦 de uma bola aberta 𝐵(𝑥, 𝜀) existe um 𝑈 ∈ 𝜏 tal que 𝑦 ∈ 𝑈 ⊂ 𝐵(𝑥, 𝜀).(Ou seja, toda bola aberta é um aberto de (𝑋 < 𝜏));

• Para cada ponto 𝑦 de um aberto 𝑈 da topologia 𝜏 existe 𝛿 > 0 tal que 𝑦 ∈ 𝐵(𝑥, 𝜀) ⊂ 𝑈 . (Ouseja, toda aberto em (𝑋, 𝜏) está na topologia induzida pela métrica).

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Definição 1.1.8. Sejam 𝑋 e 𝑌 espaços topológicos. Um mapa 𝜙 : 𝑋 → 𝑌 é dito contínuose a imagem inversa 𝜙−1(𝑉 ) de qualquer aberto 𝑉 de 𝑌 é um conjunto aberto em 𝑋. Se ummapa bijetivo 𝜙 : 𝑋 → 𝑌 e seu inverso 𝜙−1 : 𝑌 → 𝑋 são contínuos então dizemos que 𝜙 é umhomeomorfismo e que 𝑋 é homeomorfo a 𝑌 (relação denotada por 𝑋 ≃ 𝑌 ).

Exemplo 1.1.9. (a) O mapa identidade id𝑋 : 𝑋 → 𝑋 (que leva um ponto nele mesmo) de umespaço topológico é sempre um homeomorfismo.

(b) A noção de continuidade dos cursos de cálculo coincidem com as definições acima. Isto é,𝐹 : R𝑛 → R𝑚 é contínua se e somente se, para todos 𝑥 ∈ R𝑛 e 𝜀 > 0, existe 𝛿 > 0 tal qued(𝑥, 𝑦) < 𝛿 implica que d(𝐹 (𝑥), 𝐹 (𝑦)) < 𝜀.

(c) Segue do exemplo anterior que toda aplicação linear R𝑛 → R𝑚 é contínua.

Definição 1.1.10. Dizemos que um espaço topológico (𝑋, 𝜏) é Hausdorff se dados pontos distintos𝑥1 e 𝑥2 em 𝑋 existem abertos 𝑈1 e 𝑈2 de 𝑋 tais que

(i) 𝑥1 ∈ 𝑈1 e 𝑥2 ∈ 𝑈2;

(ii) 𝑈1 ∩ 𝑈2 = ∅.

Exemplo 1.1.11. (a) Se (𝑋, d) é um espaço métrico então a topologia induzida pela métrica dé Hausdorff. De fato, dados 𝑥 e 𝑦 em 𝑋, tomando 𝜀 = d(𝑥, 𝑦)/2, temos que 𝐵(𝑥, 𝜀) e 𝐵(𝑦, 𝜀)são abertos em 𝑋 contendo, respectivamente, 𝑥 e 𝑦 e tais que 𝐵(𝑥, 𝜀) ∩𝐵(𝑦, 𝜀) = ∅.

(b) Pelo exemplo anterior e pela observação 1.1.7, o espaço Euclideano R𝑛, para qualquer 𝑛 > 1,com sua topologia canônica, é um espaço topológico Hausdorff.

(c) O espaço topológico (𝑋, 𝜏), onde 𝑋 = {𝑥, 𝑦} e 𝜏 = {∅, 𝑋}, não é Hausdorff.

(d) Se {𝑋𝑖}𝑛𝑖=1 é uma coleção finita de espaços Hausdorff então 𝑋 = 𝑋1 × · · · × 𝑋𝑛 (com atopologia produto) é um espaço Hausdorff. Sejam 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) e 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) em 𝑋,com algum 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖, e 𝑈𝑖 e 𝑉𝑖 abertos de 𝑋𝑖 contendo 𝑥𝑖 e 𝑦𝑖, respectivamente. Temos que𝑈 = 𝑋1 × · · · ×𝑋𝑖−1 × 𝑈𝑖 ×𝑋𝑖+1 × · · · ×𝑋𝑛 e 𝑉 = 𝑋1 × · · · ×𝑋𝑖−1 × 𝑉𝑖 ×𝑋𝑖+1 × · · · ×𝑋𝑛

são abertos de 𝑋 contendo, respectivamente, 𝑥 e 𝑦 e tais que 𝑈 ∩ 𝑉 é o conjunto vazio.

(e) Se {𝑋𝑖}𝑖∈𝐼 é uma coleção de espaços Hausdorff então a união disjunta 𝑋 = ⊔𝑖∈𝐼𝑈𝑖 (com atopologia união) é um espaço Hausdorff.

(f) Todo subespaço de um espaço topológico de Hausdorff é Hausdorff.

(g) Nem sempre o espaço topológico 𝑋/ ∼ (com a topologia quociente) é Hausdorff, onde 𝑋 éum espaço topológico com uma relação de equivalência ∼. Veja o exemplo 1.1.14 a seguir.

Definição 1.1.12. Seja 𝑋 um espaço topológico.

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• Um par (𝑈,𝜙), onde 𝑈 é um aberto em 𝑋 e 𝜙 : 𝑈 → �� é um homeomorfismo entre 𝑈 e umaberto de um espaço Euclideano, é chamado de carta local em 𝑋.

• Um atlas de de dimensão 𝑛 de 𝑋 é uma coleção {(𝑈𝛼, 𝜙𝛼)}𝛼∈Λ de cartas locais em 𝑋 tal que𝑋 = ∪𝛼∈Λ𝑈𝛼 e a imagem 𝜙𝛼(𝑈𝛼) é um aberto de R𝑛, para cada 𝛼 ∈ Λ.

• Se 𝑋 possuir um atlas de dimensão 𝑛, dizemos que 𝑋 é localmente Euclideano de dimensão𝑛. Neste caso, denotaremos 𝑛 por dim𝑋.

Exemplo 1.1.13. (a) Todo espaço Euclideano é localmente Euclideano.

(b) O espaço topológico (𝑋, 𝜏), onde 𝑋 = {𝑥, 𝑦} e 𝜏 = {∅, {𝑥}, 𝑋}, não é localmente Euclidiano.De fato, não existe vixinhança de 𝑦 que seja homeomorfa a um espaço Euclideano.

(c) Se {𝑋𝑖}𝑛𝑖=1 é uma coleção finita de espaços localmente Euclideanos então 𝑋 = 𝑋1 × · · · ×𝑋𝑛

(com a topologia produto) é localmente euclideano. Podemos tomar cartas 𝜙𝛼1,...,𝛼𝑛 : 𝑈𝛼1 ×· · · × 𝑈𝛼𝑛 → ��𝛼1 × · · · × ��𝛼𝑛 , onde (𝜙𝛼𝑖

, 𝑈𝛼𝑖) é uma carta em 𝑋𝑖 e

𝜙𝛼1,...,𝛼𝑛(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) =(𝜙𝛼1(𝑥1), . . . , 𝜙𝛼𝑛(𝑥𝑛)

),

para cada (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ∈ 𝑋.

(d) Se {𝑋𝑖}𝑖∈𝐼 é uma coleção de espaços localmente Euclideanos então a união disjunta 𝑋 =⊔𝑖∈𝐼𝑋𝑖 (com a topologia união) é um espaço localmente Euclideano.

(e) Todo subespaço aberto de um espaço localmente Euclideano é localmente Euclideano.

(f) O quociente de um espaço localmente Euclideano nem sempre é localmente Euclideano. Porexemplo, 𝑋 = R/𝑠𝑖𝑚, com as classes de equivalência

[𝑥] ={

{𝑦 ∈ R : 𝑦 6 0}, caso 𝑥 6 0,{𝑦 ∈ R : 𝑦 > 0}, caso 𝑥 > 0,

tem topologia {∅, {[1]}, 𝑋}, que não é localmente Euclideana.

Como os espaços Euclideanos são Hausdorff, o leitor pode ter, à primeira vista, a impressãode que todo espaço localmente Euclideano também é Hausdorff. O próximo exemplo é sobre umespaço topológico, conhecido como a ‘reta com duas origens’, localmente euclideano que não éHausdorff. De onde concluimos que não basta um espaço topológico possuir um atlas para queeste seja Hausdorff.

Exemplo 1.1.14. Considetemos os espaços topológicos R𝑎 = R × {𝑎} e R𝑏 = R × {𝑏} com atopologia produto e o espaço 𝑋 = R𝑎 ∪ R𝑏 com a topologia união. Podemos definir uma relaçãode equivalência ∼ em 𝑋 tal que a classe de equivalência [x,c] do elemento (𝑥, 𝑐) de 𝑋 é dada por

[𝑥, 𝑐] ={

{(𝑥, 𝑎), (𝑥, 𝑏)}, caso 𝑥 = 0{(0, 𝑐)}, caso 𝑥 = 0.

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Tomemos 𝑌 := 𝑋/ ∼ com a topologia quociente. Se 𝑈 é uma vizinhança de [0, 𝑎] em 𝑌 que nãocontém [0, 𝑏] então

𝜋−1(𝑈) =(

(𝑥, 𝑦) × {𝑎})

∪(

((𝑥, 𝑦)∖{0}) × {𝑏}),

onde 𝑥 < 0 < 𝑦 e (𝑥, 𝑦) é o intervalo aberto dos pontos 𝑧 entre 𝑥 e 𝑦. Analogamente, se 𝑉 é umavizinhança de [0, 𝑏] em 𝑌 que não contém [0, 𝑎] então

𝜋−1(𝑉 ) =(

((𝑥′, 𝑦′)∖{0}) × {𝑎})

∪(

(𝑥′, 𝑦′) × {𝑏}),

onde 𝑥 < 0 < 𝑦 e (𝑥, 𝑦). Segue daí que a interseção entre 𝑈 e 𝑉 , como acima, nunca é vazia. Em,particular, não existem abertos disjuntos 𝑈 e 𝑉 de 𝑌 contendo [0, 𝑎] e [0, 𝑏], respectivamente. Comisso, concluímos que 𝑌 não é Hausdorff. Por outro lado, 𝑌 possui um atlas {(𝑈𝑎, 𝜙𝑎), (𝑈𝑏, 𝜙𝑏)},onde 𝑈𝑐 = 𝜋(R𝑐) e 𝜙𝑐 : 𝑈𝑐 → R é dado pela igualdade

𝜙𝑐([𝑥, 𝑐]) = 𝑥.

Definição 1.1.15. Um espaço topológico (𝑋, 𝜏) é dito segundo enumerável se existe uma famíliaenumerável {𝑈𝑛}𝑛∈Z+ contida em 𝜏 tal que, para todo 𝑈 ∈ 𝜏 , existe 𝐼 ⊂ Z+ tal que 𝑈 = ∪𝑛∈𝐼𝑈𝑛.

Exemplo 1.1.16. (a) Todo espaço Euclideano é segundo enumerável.

(b) Se {𝑋𝑖}𝑛𝑖=1 é uma coleção finita de espaços segundo enumerável então 𝑋 = 𝑋1 × · · · × 𝑋𝑛

(com a topologia produto) é segundo enumerável.

(c) Se {𝑋𝑖}𝑛𝑖=1 é uma coleção finita de espaços segundo enumerável então a união disjunta 𝑋 =⊔𝑛𝑖=1𝑋𝑖 (com a topologia união) é um espaço segundo enumerável.

(d) Todo subespaço de um espaço segundo enumerável é segundo enumerável.

(e) O quociente de um espaço topológico segundo enumerável é sempre segundo enumerável.

Lembremos, dos cursos de Cálculo, que uma mapa (𝑓1, . . . , 𝑓𝑚) : 𝑈 → 𝑉 , de um aberto 𝑈 deR𝑛 para um aberto 𝑉 de R𝑚 é suave (ou 𝐶∞) se as funções coordenadas 𝑓𝑖 : 𝑈 → R possuemderivadas parciais de todas as ordens em todos os pontos.

Definição 1.1.17. Dizemos que um espaço topológico 𝑀 munido de um atlas 𝒜 = {(𝑈𝛼, 𝜙𝛼)}𝛼∈Λde dimensão 𝑛 = dim𝑀 é uma variedade suave de dimensão 𝑛 se

(i) 𝑀 é Haussdorf e segundo enumerável;

(ii) Dadas duas cartas locais (𝑈𝛼, 𝜙𝛼) e (𝑈𝛽, 𝜙𝛽) em 𝒜 tais que 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 = ∅, o mapa

𝜙𝛽 ∘ 𝜙−1𝛼 : 𝜙𝛼(𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽) → 𝜙𝛽(𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽)

é suave.

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(iii) Se (𝑉, 𝜓), com 𝜓(𝑉 ) sendo um aberto de R𝑛, for tal que, para todo 𝛼 ∈ Λ com 𝑈𝛼 ∩ 𝑉 = ∅,o mapa

𝜓 ∘ 𝜙−1𝛼 : 𝜙𝛼(𝑈𝛼 ∩ 𝑉 ) → 𝜓(𝑈𝛼 ∩ 𝑉 )

é suave então 𝜙 ∈ 𝒜.

Por conveniência, quando o atlas 𝒜 da variedade suave (𝑀,𝒜) estiver claro no contexto, nosreferiremos a 𝑀 como a variedade suave e omitiremos o atlas 𝒜. Os elementos de 𝒜 são chamadosde cartas suaves em 𝑀 .

Observação 1.1.18. A condição (iii) da definição acima é essencial. Porém se temos um espaçotopológico 𝑀 com um atlas 𝒜 satisfazendo as condições (i) e (ii), existe (pelo Lema de Zorn) umúnico atlas 𝒜 de 𝑀 contendo 𝒜 e satisfazendo as condições (ii) e (iii). Por isso, ao descrevermosuma variedade no restante destas notas nos restringiremos a descrever um atlas que satisfaça acondição (ii) e ficará subentendido que a variedade suave em questão é munida do único altas quecompleta os pré-requisitos da definição.

Exemplo 1.1.19. (a) Todo espaço Euclideano de dimensão 𝑛 é uma variedade de dimensão 𝑛.

(b) Seja 𝑉 um espaço vetorial real de dimensão finita 𝑛. Tomando um isomorfismo linear 𝑇 : 𝑉 →R𝑛 podemos considerar uma topologia em 𝑉 pela qual 𝑇 é um homeomorfismo (isto é, naqual 𝐵 ⊂ 𝑉 é um aberto se e somente se 𝑇 (𝐵) é um aberto de R𝑛). A carta (𝑉, 𝑇 ) forma,por si só, um atlas para 𝑉 , fazendo deste uma variedade suave.

(c) Se {𝑀𝑖}𝑘𝑖=1 é uma coleção finita de variedades suaves, com 𝑛𝑖 = dim𝑀𝑖, então o produto𝑀 = 𝑀1 × · · · × 𝑀𝑘 (com a topologia produto) é uma varidade suave de dimensão 𝑛 =𝑛1 · 𝑛2 · · · · · 𝑛𝑘. O atlas de 𝑀 é formado pelas cartas locais (𝑈1 × · · · × 𝑈𝑘, 𝜙1 × · · · × 𝜙𝑘)onde (𝑈𝑖, 𝜙𝑖) é uma carta local de 𝑀𝑖.

(d) Dada uma família {𝑀𝑖}𝑘𝑖=1 finita de variedades suaves de dimensão 𝑛 então a união disjunta𝑀 = ⊔𝑘

𝑖=1𝑀𝑖 (com a topologia união) é uma variadede suave de dimensão 𝑛. Um atlas suavepara 𝑀 pode ser dado pela união dos atlas de cada 𝑀𝑖.

(e) Se 𝑈 é um aberto de uma variedaded suave 𝑀 de dimensão 𝑛 então 𝑈 (com a topologia desubespaço) é uma variedade suave de dimensão 𝑛. O atlas de 𝑈 é descrito como sendo o atlascomposto pelas cartas (𝑈 ∩𝑉, 𝜓|𝑈∩𝑉 ) onde (𝑉, 𝜓) é uma carta local de 𝑀 tal que 𝑈 ∩𝑉 = ∅.

Agora, passemos para alguns exemplos mais sofisticados de variedades suaves.

Exemplo 1.1.20. Seja S𝑛 o subespaço de R𝑛 formado pelos pontos 𝑥 tais que |𝑥| = 1. Considere-mos os abertos 𝑈𝑁 = S𝑛∖{𝑒𝑛+1} e 𝑈𝑆 = 𝑆𝑛∖{−𝑒𝑛+1} (onde 𝑒𝑛+1 é o vetor (0, . . . , 0, 1) em R𝑛+1).Podemos definir mapas 𝜙𝑁 : 𝑈𝑁 → R𝑛∖{0} e 𝜙𝑆 : 𝑈𝑁 → R𝑛∖{0} pela igualdades

𝜙𝑁(𝑥) =(

𝑥1

1 + 𝑥𝑛+1 , . . . ,𝑥𝑛

1 + 𝑥𝑛+1

), 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛+1) ∈ 𝑈𝑁 ,

e𝜙𝑆(𝑥) =

(𝑥1

1 − 𝑥𝑛+1 , . . . ,𝑥𝑛

1 − 𝑥𝑛+1

), 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛+1) ∈ 𝑈𝑆.

7

Tais mapas possuem inversos dados por

𝜙−1𝑁 (𝑦) =

(2𝑦1

1 +∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖)2 , . . . ,

2𝑦𝑛1 +∑𝑛

𝑖=1(𝑦𝑖)2 ,1 −∑𝑛

𝑖=1(𝑦𝑖)2

1 +∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖)2

), 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) ∈ R𝑛∖{0},

e

𝜙−1𝑆 (𝑦) =

(2𝑦1

1 +∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖)2 , . . . ,

2𝑦𝑛1 +∑𝑛

𝑖=1(𝑦𝑖)2 ,−1 −∑𝑛

𝑖=1(𝑦𝑖)2

1 +∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖)2

), 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) ∈ R𝑛∖{0}.

Segue destas descrições de 𝜙𝑁 , 𝜙𝑆, 𝜙−1𝑁 e 𝜙−1

𝑆 que os mapas 𝜙𝑁 e 𝜙𝑆 são homeomorfismos, ou seja,(𝑈𝑛, 𝜙𝑁) e (𝑈𝑆, 𝜙𝑆) são cartas locais de S𝑁 . Por fim, como 𝜙𝑁 ∘ 𝜙−1

𝑆 e 𝜙𝑆 ∘ 𝜙−1𝑁 são dadas por

𝜙𝑁 ∘ 𝜙−1𝑆 (𝑦) = 𝜙𝑆 ∘ 𝜙−1

𝑁 (𝑦) =(

2𝑦1

1 +∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖)2 , . . . ,

2𝑦𝑛1 +∑𝑛

𝑖=1(𝑦𝑖)2

), 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) ∈ R𝑛∖{0},

estes mapas são suaves e, portanto, o atlas {(𝑈𝑛, 𝜙𝑁), (𝑈𝑆, 𝜙𝑆)} fornece à S𝑛 uma estrutura devariedade suave.

Exemplo 1.1.21. Consideremos a relação de equivalência ∼ em R𝑛+1∖{0} dada por

𝑥 ≃ 𝑦 ⇐⇒ 𝑥 = 𝜆𝑦, para algum 𝜆 ∈ R∖{0}.

Definimos o espaço projetivo 𝑛-dimensional RP𝑛 como sendo o quociente(R𝑛+1∖{0}

)/ ∼. Os

conjuntos𝑈 𝑖 := {[𝑥1, . . . , 𝑥𝑛+1] ∈ RP𝑛 : 𝑥𝑖 = 0}, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛+ 1,

são abertos em RP𝑛 (onde [𝑥1, . . . , 𝑥𝑛+1] denota a classe de equivalência do elemento (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛+1) ∈R𝑛+1 pela relação ∼. Os mapas 𝜙𝑖 : 𝑈 𝑖 → R𝑛, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛+ 1, dados por

𝜙𝑖[𝑥1, . . . , 𝑥𝑛+1] =(𝑥1

𝑥𝑖, . . . ,

𝑥𝑖−1

𝑥𝑖,𝑥𝑖+1

𝑥𝑖, . . . ,

𝑥𝑛+1

𝑥𝑖

), [𝑥1, . . . , 𝑥𝑛+1] ∈ 𝑈 𝑖,

são bem definidos e possuem inversos (𝜙𝑖)−1 : 𝑈 𝑖 → R𝑛, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛+ 1, dados por

(𝜙𝑖)−1(𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) = [𝑦1, . . . , 𝑦𝑖−1, 1, 𝑦𝑖, . . . , 𝑦𝑛], (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) ∈ R𝑛.

Denotemos por 𝜋 a projeção R𝑛+1∖{0} → RP𝑛 dada pela relação ∼. A restrição 𝜏 𝑖 de 𝜋 aosubespaço

�� 𝑖 := {(𝑥1, . . . , 𝑥𝑖−1, 1, 𝑥𝑖+1, . . . , 𝑥𝑛+1) ∈ R𝑛+1 : (𝑥1, . . . , 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖+1, . . . , 𝑥𝑛+1) ∈ R𝑛}

é um homeomorfismo (pelo fato de 𝜋 ser a aplicação quociente e 𝜏 𝑖 bijetivo). Assim, como 𝜙𝑖 ∘ 𝜏 𝑖 éum homeomorfismo (pois é o mapa (𝑥1, . . . , 𝑥𝑖−1, 1, 𝑥𝑖+1, . . . , 𝑥𝑛+1) → (𝑥1, . . . , 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖+1, . . . , 𝑥𝑛+1))segue que 𝜙𝑖 = (𝜙𝑖∘𝜏 𝑖)∘𝜏 𝑖 é um homeomorfismo. Se 𝑖 = 𝑗 então o mapa 𝜙𝑖∘(𝜙𝑗)−1 : 𝜙𝑗(𝑈 𝑖∩𝑈 𝑗) →𝜙𝑖(𝑈 𝑖 ∩ 𝑈 𝑗) é dado por

𝜙𝑖 ∘ (𝜙𝑗)−1(𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) =(𝑦1

𝑦𝑖, . . . ,

𝑦𝑖−1

𝑦𝑖,𝑦𝑖+1

𝑦𝑖, . . . ,

𝑦𝑗−1

𝑦𝑖,

1𝑦𝑖,𝑦𝑗

𝑦𝑖, . . . ,

𝑦𝑛

𝑦𝑖

),

8

(𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) ∈ 𝜙𝑗(𝑈 𝑖 ∩ 𝑈 𝑗), caso 𝑖 < 𝑗, e

𝜙𝑖 ∘ (𝜙𝑗)−1(𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) =(𝑦1

𝑦𝑖−1 , . . . ,𝑦𝑗−1

𝑦𝑖−1 ,1𝑦𝑖−1 ,

𝑦𝑗

𝑦𝑖−1 , . . . ,𝑦𝑖−2

𝑦𝑖−1 ,𝑦𝑖

𝑦𝑖−1 , . . . ,𝑦𝑛

𝑦𝑖−1

),

(𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) ∈ 𝜙𝑗(𝑈 𝑖 ∩ 𝑈 𝑗), caso 𝑖 > 𝑗. Como estes mapas são suaves, concluímos que o atlas{(𝑈 𝑖, 𝜙𝑖)}𝑛𝑖=1 fornece à RP𝑛 uma estrutura de variedade suave.

As variedades definidas no próximo exemplo são uma generalização do conceito de espaçoprojetivo, que é o espaço cujos pontos são as retas de um espaço Euclideano.

Exemplo 1.1.22. A varieade Grassmaniana Gr(𝑘, 𝑛) é o conjunto dos subespaços de dimensão𝑘 < 𝑛 de R𝑛. O modelo que apresentaremos deste espaço é o espaço quociente do subconjunto

𝑋 := {𝐴 ∈ M𝑛×𝑘(R) : as colunas de A são linearmente independentes em R𝑛}

do conjunto M𝑛×𝑘(R) das matrizes 𝑛× 𝑘 reais quocientado pela relação ∼, que é definida por

𝐴 ∼ 𝐵 ⇐⇒ 𝐴𝑔 = 𝐵, para algum 𝑔 ∈ Mk×k(R) invertível.

Denotaremos por 𝜋 o mapa quociente 𝑋 → Gr(𝑘, 𝑛).Se 𝐴 é uma matriz 𝑛× 𝑘 e 𝐿 é um subconjunto de 𝑁 := {1, . . . , 𝑛} com 𝑚 elementos, denota-

remos por 𝐴𝐿 a submatriz 𝑚× 𝑘 de 𝐴 formada pelas 𝑙-ésimas linhas de 𝐴, 𝑙 ∈ 𝐿.Para cada subconjunto 𝐼 de 𝑁 = {1, . . . , 𝑛} com 𝑘 elementos, definimos

𝑆𝐼 := {𝐴 ∈ M𝑛×𝑘 : 𝐴𝐼 = 𝐼𝑘×𝑘} ⊂ 𝑋,

onde 𝐼𝑘×𝑘 denota a matriz identidade 𝑘 × 𝑘, e o homeomorfismo 𝜙𝐼 : 𝑆𝐼 → M(𝑛−𝑘)×𝑘, dado por

𝜙𝐼(𝐴) = 𝐴𝑁∖𝐼 , 𝐴 ∈ 𝑆𝐼

Dado uma matriz 𝐴 ∈ 𝑆𝐼 , para qualquer matriz 𝑔 ∈ M𝑘×𝑘(R) temos que (𝐴𝑔)𝐼 = 𝐼𝑘×𝑘𝑔 = 𝑔.Logo, o mapa quociente 𝜋 é injetivo em 𝑆𝐼 e, consequentemente, 𝜋|𝑆𝐼

é um homeomorfismo. Comisso, concluímos que o mapa 𝜙𝐼 : 𝑈𝐼 → 𝑀(𝑛−𝑘)×𝑘(R), onde 𝑈𝐼 := 𝜋(𝑆𝐼) e 𝜙𝐼 := 𝜙𝐼 ∘ (𝜋|𝑈𝐼

)−1, éum homeomorfismo (pois é uma composição de homeomorfismos). O subespaço 𝑈𝐼 de Gr(𝑛, 𝑘) éaberto pois sua imagem inversa por 𝜋 é o aberto

{𝐴 ∈ M𝑛×𝑘 : det𝐴𝐼 = 0}

de 𝑋. Como 𝑀(𝑛−𝑘)×𝑘(R) é, a menos de reindexação das coordenadas, o espaço R(𝑛−𝑘)𝑘, podemosconsiderar, sem perda de generalidade, que (𝑈𝐼 , 𝜙𝐼) é uma carta local de Gr(𝑛, 𝑘).

Dado um elemento 𝐴 de 𝑋, deve existir (pelo método da eliminação de Gauss) um subconjunto𝐼 de 𝑁 = {1, . . . , 𝑛} de 𝑘 elementos tal que 𝐴𝐼 = 𝑔 é uma matriz 𝑘 × 𝑘 invertível. Destaforma, a classe de equivalência [𝐴] de 𝐴 possui o elemento 𝐵 = 𝐴𝑔−1, que pertence a 𝑆𝐼 pois𝐵𝐼 = (𝐴𝑔−1)𝐼 = 𝑔𝑔−1 = 𝐼𝑘×𝑘. Logo, [𝐴] ∈ 𝑈𝐼 = 𝜋(𝑆𝐼). Com isso, concluimos que

Gr(𝑘, 𝑛) = 𝑋/ ∼=⋃

𝐼⊂𝑁,|𝐼|=𝑘𝑈𝐼

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e, consequentemente,{(𝑈𝐼 , 𝜙𝐼) : 𝐼 ⊂ 𝑁, |𝐼| = 𝑘}

é um atlas para Gr(𝑘, 𝑛).Por fim, verificaremos que, para subconjuntos 𝐼 e 𝐽 de 𝑁 = {1, . . . , 𝑛}, 𝜙𝐼 ∘𝜙−1

𝐽 : 𝜙𝐽(𝑈𝐼∩𝑈𝐽) →𝜙𝐼(𝑈𝐼 ∩𝑈𝐽) é um mapa suave e, daí, concluiremos que Gr(𝑘, 𝑛) é uma variedade suave de dimensão(𝑛− 𝑘)𝑘.

Sejam 𝐼 e 𝐽 subconjuntos de 𝑁 := {1, . . . , 𝑛} com 𝑘 elementos. Fixemos 𝑃 ∈ 𝜙𝐽(𝑈𝐼 ∩ 𝑈𝐽).Temos que 𝜙−1

𝐽 (𝑃 ) = [𝐴], para 𝐴 = 𝜙−1𝐽 (𝑃 ) ∈ 𝑆𝐽 com [𝐴] ∈ 𝑈𝐼 ∩ 𝑈𝐽 . Como [𝐴] ∈ 𝑈𝐼 = 𝜋(𝑆𝐼),

(𝐴𝑔)𝐼 = 𝐼𝑘×𝑘 para algum 𝑔 ∈ M𝑘×𝑘(R) invertível e, consequentemente, 𝐴𝐼 = 𝑔−1 é invertível.Assim,

𝜙𝐼 ∘ 𝜙−1𝐽 (𝑃 ) = 𝜙𝐼 [𝐴]

= 𝜙𝐼 [𝐴𝐴−1𝐼 ]

= 𝜙𝐼(𝐴𝐴−1𝐼 ) (pois 𝐴𝐴−1

𝐼 ∈ 𝑆𝐼)= 𝜙𝐼

(𝜙−1𝐽 (𝑃 )

(𝜙−1𝐽 (𝑃 )

)−1

𝐼

).

Como os mapas 𝜙𝐼 , 𝜙𝐽 , a inversão e multiplicação de matrizes são mapas suaves, temos, pelaexpressão de 𝜙𝐼 ∘ 𝜙−1

𝐽 (𝑃 ) acima que 𝜙𝐼 ∘ 𝜙−1𝐽 é um mapa suave.

Definição 1.1.23. Sejam 𝑀 e 𝑁 variedades suaves e 𝐹 : 𝑀 → 𝑁 um mapa. Dizemos que o mapa𝐹 é suave se, para cada 𝑝 ∈ 𝑀 existem cartas suaves (𝑈,𝜙) em 𝑀 e (𝑉, 𝜓) em 𝑁 tais que 𝑝 ∈ 𝑈 ,𝐹 (𝑈) ⊂ 𝑉 e o mapa

𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1 : 𝜙(𝑈) → 𝜓(𝑉 )é suave. Se, além disso, 𝐹 possuir uma inversa 𝐹−1 : 𝑁 → 𝑀 que também é suave então dizemosque 𝐹 é um difeomorfismo e que 𝑀 e 𝑁 são variedades difeomorfas (denotando esta relação por𝑀 ≃ 𝑁).

Observação 1.1.24. Suponhamos 𝑀 e 𝑁 são variedades suaves com estrutura dada pelos atlas𝒜 e ℬ, respectivamente, e 𝐹 : 𝑀 → 𝑁 seja um mapa entre estas duas variedades.

• Todo mapa suave é contínuo e, em particular, todo difeomorfismo é um homeomorfismo. Defato, supondo que 𝐹 é suave, podemos mostrar que, para cada ponto 𝑝 ∈ 𝑀 , existem umaberto 𝑈 em 𝑀 contendo 𝑝 e um aberto 𝑉 em 𝑁 contendo 𝐹 (𝑈) tais que 𝐹 |𝑈 : 𝑈 → 𝑉 écontínuo. Segue daí que o mapa 𝐹 : 𝑀 → 𝑁 é contínuo. Dado 𝑝 ∈ 𝑀 , podemos tomar cartaslocais (𝑈,𝜙) ∈ 𝒜 e (𝑉, 𝜓) ∈ ℬ tais que 𝑝 ∈ 𝑈 , 𝐹 (𝑈) ⊂ 𝑉 e o mapa 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1 é contínuo.Como 𝜙 e 𝜓−1 são mapas contínuos, temos que

𝐹 |𝑈 = 𝜓−1 ∘ (𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1) ∘ 𝜙

é um mapa de 𝑈 em 𝑉 contínuo (pois é uma composição de mapas contínuos).

• Se 𝐹 é suave então, para cada par de cartas locais (𝑈 ′, 𝜙′) ∈ 𝒜 e (𝑉 ′, 𝜓′) ∈ ℬ tais que𝑈 ′ ∩ 𝐹−1(𝑉 ′) = ∅, o mapa

𝜓′ ∘ 𝐹 ∘ (𝜙′)−1 : 𝜙′(𝑈 ′ ∘ 𝐹−1(𝑉 ′)) → 𝜓′(𝑉 ′)

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é suave. Esta afirmação segue do fato de podermos mostrar que para cada 𝜙′(𝑝) ∈ 𝜙′(𝑈 ′∩𝐹−1)existe um aberto �� de 𝜙′(𝑈 ′ ∩ 𝐹−1) tal que 𝜙′(𝑝) ∈ �� e o mapa

𝜓′ ∘ 𝐹 ∘ (𝜙′)−1|�� : �� → 𝜓′(𝑉 ′)

é suave. De fato, como 𝐹 é suave e 𝜙′(𝑈 ′ ∘ 𝐹−1(𝑉 ′)) é aberto (pois 𝐹 é contínua e 𝜙′ é umhomeomorfismo), devem existir cartas locais (𝑈,𝜙) ∈ 𝒜 e (𝑉, 𝜓) ∈ ℬ tais que1 𝑝 ∈ 𝑈 ⊂𝑈 ′ ∩ 𝐹−1(𝑉 ′), 𝐹 (𝑈) ⊂ 𝑉 ⊂ 𝑉 ′ e 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙 suave. Assim, para �� := 𝜙′(𝑈), temos que

𝜓′ ∘ 𝐹 ∘ (𝜙′)−1|�� = (𝜓′ ∘ 𝜓−1) ∘ (𝜓 ∘ 𝐹𝜙−1) ∘ (𝜙 ∘ (𝜙′)−1|��)

é um mapa suave, pois é a composição dos mapas suaves 𝜓′ ∘ 𝜓−1 : 𝜓(𝑉 ) → 𝜓′(𝑉 ′), 𝜓 ∘ 𝐹 ∘𝜙−1) : 𝜙(𝑈) → 𝜓(𝑉 ) e 𝜙 ∘ (𝜙′)−1|�� : �� → 𝜙(𝑈).

• Se 𝐹 é um difeomorfismo então, para quaisquer par de cartas locais (𝑈,𝜙) ∈ 𝒜 e (𝑉, 𝜓) ∈ ℬtais que 𝐹 (𝑈) = 𝑉 , o mapa

𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1 : 𝜙(𝑈) → 𝜓(𝑉 )é um difeomorfismo entre abertos de um espaço Euclideano. De fato, pela observação anterior,tanto 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1 quanto (𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1)−1 = 𝜙 ∘ 𝐹−1 ∘ 𝜓−1 são suaves.

Exemplo 1.1.25. Se 𝐹 : 𝑀1 → 𝑀2 e 𝐺 : 𝑀2 → 𝑀3 são mapas suaves entre variedades suavesentão 𝐺 ∘ 𝐹 : 𝑀1 → 𝑀3 é um mapa suave entre variedades suaves.

Exemplo 1.1.26. Mostraremos que o mapa 𝐹 : RP1 → S1, dado por

𝐹 [𝑥, 𝑦] = (𝑥+ 𝑖𝑦)2

𝑥2 + 𝑦2 , [𝑥, 𝑦] ∈ RP1,

é um difeomorfismo. A esfera S1 pode ser descrita como o conjunto

{𝑧 ∈ C : |𝑧| = 1}

com estrutura de variedade suave dada pelo atlas formado pelos abertos

𝑉𝑁 = S1∖{−1}

e𝑉𝑆 = S1∖{1}

e os homeomorfismos 𝜓𝑁 : 𝑉𝑁 → R e 𝜓𝑆 : 𝑉𝑆 → R, dadas por

𝜓𝑁(𝑥+ 𝑖𝑦) = 𝑦

1 + 𝑥, 𝑥+ 𝑖𝑦 ∈ 𝑉𝑁 , 𝑥, 𝑦 ∈ R,

e𝜓𝑆(𝑥+ 𝑖𝑦) = 𝑦

1 − 𝑥, 𝑥+ 𝑖𝑦 ∈ 𝑉𝑆, 𝑥, 𝑦 ∈ R,

1Podemos tomar (𝑈,𝜙) e (𝑉, 𝜓) como na definição de função suave e, se necessário, restringi-las às cartas(𝑈 ∩ (𝑈 ′ ∩ 𝐹−1(𝑉 ′)), 𝜙|𝑈∩(𝑈 ′∩𝐹 −1(𝑉 ′))) e (𝑉 ∩ 𝑉 ′, 𝜓|𝑉 ∩𝑉 ′).

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cujos mapas inversos 𝜓−1𝑁 : R → 𝑉𝑁 e 𝜓−1

𝑆 : R → 𝑉𝑆 são dados por

𝜓−1𝑁 (𝑡) = 1 − 𝑡2

1 + 𝑡2+ 𝑖

2𝑡1 + 𝑡2

, 𝑡 ∈ R,

e𝜓−1𝑆 (𝑡) = −1 − 𝑡2

1 + 𝑡2+ 𝑖

2𝑡1 + 𝑡2

, 𝑡 ∈ R.

O espaço projetivo R𝑃 1 tem sua estrutura de variedade suave dada pelo atlas formado pelos abertos

𝑈1 = {[1, 𝑡] ∈ RP1 : 𝑡 ∈ R}

e𝑈2 = {[1, 𝑡] ∈ RP1 : 𝑡 ∈ R}

e os mapas 𝜙1 : 𝑈1 → R e 𝜙2 : 𝑈2 → R, dados por

𝜙1[1, 𝑡] = 𝑡, [1, 𝑡] ∈ 𝑈1,

e𝜙2[𝑡, 1] = 𝑡, [1, 𝑡] ∈ 𝑈2.

Como𝐹 (𝑈1) =

{(1 + 𝑖𝑡)2

1 + 𝑡2: 𝑡 ∈ R

}

={

1 − 𝑡2

1 + 𝑡2+ 𝑖

2𝑡1 + 𝑡2

: 𝑡 ∈ R}

= 𝜓−1𝑁 (R)

= 𝑉𝑛

e𝐹 (𝑈2) = 𝑉𝑆,

a suavidade de 𝐹 segue do fato de as funções 𝜙1 ∘ 𝐹 ∘ 𝜓−1𝑁 e 𝜙2 ∘ 𝐹 ∘ 𝜓−1

𝑆 : R → R serem o mapaidentidade em R. O mapa 𝐹 possui um mapa inverso 𝐺 : S1 → RP1 dado pela igualdade

𝐺(𝑧) = [𝑥, 𝑦], 𝑧 ∈ S1,

onde 𝑥 e 𝑦 ∈ R são tais que (𝑥+ 𝑖𝑦)2 = 𝑧. Como os mapas

𝜓𝑁 ∘𝐺 ∘ 𝜙−11 = (𝜙1 ∘ 𝐹 ∘ 𝜓−1

𝑁 )−1

e𝜓𝑆 ∘𝐺 ∘ 𝜙−1

2 = (𝜙2 ∘ 𝐹 ∘ 𝜓−1𝑆 )−1

são o mapa identidade em R, temos que 𝐺 também é suave. Portanto, 𝐹 é um difeomorfismo.

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Exemplo 1.1.27. Para 𝑛 > 1, mostraremos que o espaço projetivo RP𝑛 não é difeomorfo à esferaS𝑛. Em particular, estes espaços não são homeomorfos. Tal fato pode ser demonstrado utilizandoas ferramentas da Topologia Algébrica (o grupo fundamentald e RP𝑛 é Z2 enquanto o de S𝑛 é ogrupo trivial).

Para o caso 𝑛 = 2, podemos utilizar um argumento que envolve a conexidade destes espaços.O espaço projetivo RP2 é dado como a união disjunta

RP2 = 𝑈 ∪ {[0, 0, 1]},

onde𝑈 := {[𝑥1, 𝑥2, 𝑡] ∈ RP2 : (𝑥1, 𝑥2) ∈ S1, 𝑡 ∈ R} ≃ S1 × R).

Suponhamos que haja um homeomorfismo 𝐹 : RP2 → S2. Seja 𝑝 o ponto de 𝐹 ([0, 0, 1]) e 𝜙𝑝 : S2∖{𝑝} →R2 um homeomorfismo dado por uma projeção estereográfica (como no atlas de S𝑛 exibido noExemplo 1.1.20). Então, 𝜙𝑝 ∘ 𝐹 |𝑈 : 𝑈 → R2 é um homeomorfismo entre 𝑈 ≃ S1 × R e R2. Porém,isto é impossível já que, tirando uma reta 𝑟 de 𝑈 ≃ S1 ×R, obtemos um espaço 𝑈∖𝑟 ≃ R2 que nãopode ser escrito como união de dois abertos disjuntos enquanto que, tirando a curva 𝜙𝑝 ∘ 𝐹 (𝑟) deR2, obtemos o espaço R2∖𝜙𝑝∘𝐹 (𝑟) que é uma união de dois subespaços abertos disjuntos (Teoremada Curva de Jordan).

Definição 1.1.28. Sejam 𝑀 e 𝑁 variedades suaves e 𝐹 : 𝑀 → 𝑁 um mapa suave.• O mapa 𝐹 é dito de posto constante 𝑟 se, dadas cartas locais (𝑈,𝜙) em 𝑀 e (𝑉, 𝜓) em 𝑁

tais que 𝐹 (𝑈) ⊂ 𝑉 , o diferencial do mapa 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1 : 𝜙(𝑈) → 𝜓(𝑉 ) tem posto 𝑟 em cadaponto de 𝜙(𝑈).

• Dizemos que 𝐹 é uma imersão suave se 𝐹 tem posto constante igual à dim𝑀 .

• Se 𝐹 for uma imersão suave, injetiva e, para cada aberto 𝑈 de 𝑀 , existir um aberto 𝑉 de 𝑁tal que 𝐹 (𝑈) = 𝐹 (𝑀) ∩𝑉 então dizemos que 𝐹 é um mergulho suave. Em outros termos, 𝐹é um mergulho suave se é uma imersão suave tal que 𝐹 : 𝑀 → 𝐹 (𝑀) é um homeomorfismo.

• Dizemos que 𝐹 é uma submersão suave se 𝐹 tem posto constante igual à dim𝑁 .Da análise real em multiplas variáveis, conhecemos o Teorema do Posto, que diz: Dado um

mapa 𝐹 : 𝑈 → 𝑉 , de uma aberto 𝑈 ⊂ 𝑅𝑚 para um aberto 𝑉 ⊂ 𝑅𝑛, suave e de posto constante 𝑟,e um ponto 𝑝 ∈ 𝑈 , existem abertos 𝑈0, ��0 ⊂ 𝑅𝑚, 𝑉0, 𝑉0 ⊂ R𝑛 e difeomorfismos 𝜙0 : 𝑈0 → ��0 e𝜓0 : 𝑉0 → 𝑉0 tais que 𝑝 ∈ 𝑈0, 𝐹 (𝑈0) ⊂ 𝑉0 e o mapa suave 𝜓0 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1

0 : ��0 → 𝑉0 é dado por

𝜓0 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−10 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑟, 0, . . . , 0), (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈ ��0.

O Teorema do Posto pode ser adaptado de forma natural para variedades suaves como a seguir:Teorema 1.1.29 (Teorema do Posto). Sejam 𝑀 e 𝑁 variedades suaves de dimensão 𝑚 e 𝑛,respectivamente, e 𝐹 : 𝑀 → 𝑁 um mapa suave de posto constante 𝑟. Para cada ponto 𝑝 ∈ 𝑀 ,existem cartas locais (𝑈,𝜙) em 𝑀 e (𝑉, 𝜓) em 𝑁 tais que 𝑝 ∈ 𝑈 , 𝐹 (𝑈) ⊂ 𝑉 e 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1 : 𝜙(𝑈)é dado pela igualdade

𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑟, 0, . . . , 0), (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈ 𝜙(𝑈).

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Observe que, nas condições do enunciado do Teorema do Posto, podemos encolher o domínio𝜙(𝑈) ⊂ 𝑅𝑚 de forma que a imagem de 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1 seja o conjunto

{(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ∈ 𝜓(𝑉 ) : 𝑥𝑟+1 = · · · = 𝑥𝑛 = 0}.

Neste caso, dizemos que 𝐹 (𝑈) é uma 𝑟-fatia de 𝑉 . Supondo que 𝐹 seja uma imersão, teremosque 𝐹 (𝑈) é uma 𝑛-fatia de 𝑉 . Mas, por outro lado, 𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉 não seria uma necessariamenteuma 𝑛-fatia de 𝑉 . Porém, como veremos na próxima proposição, se 𝐹 : 𝑀 → 𝐹 (𝑀) for umhomeomorfismo podemos diminuir 𝑉 suficientemente a ponto de 𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉 ser uma 𝑚-fatia.

Proposição 1.1.30. Sejam 𝑀 e 𝑁 variedades suaves de dimensão 𝑚 e 𝑛, respectivamente, e𝐹 : 𝑀 → 𝑁 um mapa suave. As condições a seguir são equivalentes:

(a) 𝐹 é um mergulho;

(b) Para cada ponto 𝑝 ∈ 𝑀 , existem cartas suaves (𝑈,𝜙) em 𝑀 e (𝑉, 𝜓) em 𝑁 tais que 𝑝 ∈ 𝑈 ,𝑈 = 𝐹−1(𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉 ) e o mapa 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1 : 𝜙(𝑈) → 𝜓(𝑉 ) sendo dado por

𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚, 0, . . . , 0), (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈ 𝜙(𝑈),

com𝜓 ∘ 𝐹 (𝑈) = {(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ∈ 𝜓(𝑉 ) : 𝑥𝑚+1 = · · · = 𝑥𝑛 = 0}.

Demonstração. Primeiramente, mostremos que o item (a) implica o item (b).Seja 𝑝 ∈ 𝑀 .Pelo Teorema do Posto, existem cartas locais (�� , 𝜙) em 𝑀 e (𝑉 , 𝜓) em 𝑁 tais que 𝑝 ∈ �� ,

𝐹 (��) ⊂ 𝑉 e o mapa 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1 : 𝜙(𝑈) → 𝜓(𝑉 ) send dado por

𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚, 0, . . . , 0), (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈ 𝜙(𝑈).

Podemos restringir as cartas locais (�� , 𝜙) e (𝑉 , 𝜓) para cartas locais (𝑈,𝜙) em 𝑀 e (𝑉 ′, 𝜓′)tais que 𝜓(𝑉 ′) é uma bola aberta centrada em 𝜓 ∘𝐹 (𝑝), 𝜓′ = 𝜓|𝑉 ′ , 𝑈 ⊂ �� é o aberto de 𝑀 tal que

𝜓′ ∘ 𝐹 (𝑈) = {(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ∈ 𝜓′(𝑉 ) : 𝑥𝑚+1 = · · · = 𝑥𝑛 = 0}

e 𝜙 = 𝜙|𝑈 .Como 𝑈 é um aberto em 𝑀 , existe um aberto 𝑊 de 𝑁 tal que 𝐹 (𝑈) = 𝐹 (𝑀) ∩𝑊 . Tomemos

𝑉 = 𝑊 ∩ 𝑉 ′ e 𝜓 = 𝜓′|𝑉 . Desta forma, pela escolha de 𝑈 ⊂ 𝐹−1(𝑉 ′), temos que

𝐹 (𝑈) = (𝐹 (𝑀) ∩𝑊 ) ∩ 𝑉 ′ = 𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉

e, como 𝐹 é injetivo𝑈 = 𝐹−1(𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉 ).

Além disso, como 𝜙 e 𝜓 são restrições de 𝜙 e 𝜓, o mapa 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1 : 𝜙(𝑈) → 𝜓(𝑉 ) é dado por

𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚, 0, . . . , 0), (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈ 𝜙(𝑈),

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com𝜓 ∘ 𝐹 (𝑈) = {(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ∈ 𝜓(𝑉 ) : 𝑥𝑚+1 = · · · = 𝑥𝑛 = 0}.

Agora, mostraremos que o item (b) implica no item (a).Sejam (�� , 𝜙) em 𝑀 e (𝑉 , 𝜓) em 𝑁 cartas locais tais que 𝐹 (��) ⊂ 𝑉 . Para cada 𝑝 ∈ �� ,

tomemos cartas suaves (𝑈,𝜙) em 𝑀 e (𝑉, 𝜓) em 𝑁 do enunciado do item (b). Pela descrição domapa 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1 : 𝜙(𝑈) → 𝜓(𝑉 ), a diferencial deste tem posto 𝑚 em cada ponto de 𝑈 . Assim, odiferencial do mapa

𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1|𝜙(��∩𝑈) = (𝜓 ∘ 𝜓−1) ∘ (𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1) ∘ (𝜙 ∘˜𝜙−1)

no ponto 𝜙(𝑝) é 𝑚 pois o diferencial de 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1|𝜙(��∩𝑈) é a composição dos diferenciais de𝜓∘𝜓−1, 𝜓∘𝐹 ∘𝜙−1 e 𝜙 ∘𝜙−1. Logo, o diferencial de 𝜓∘𝐹 ∘𝜙−1 em 𝜙(𝑝) é 𝑚. Com isso, concluimosque 𝐹 é uma imersão.

Verificaremos, agora, que o mapa 𝐹 é injetivo. Dados dois pontos distintos 𝑝 e 𝑞 ∈ 𝑀 , existemcartas suaves (𝑈𝑝, 𝜙𝑝), (𝑈𝑞, 𝜙𝑞) em 𝑀 e (𝑉𝑝, 𝜓𝑝), (𝑉𝑞, 𝜓𝑞) em 𝑁 tais que 𝑝 ∈ 𝑈𝑝, 𝑞 ∈ 𝑈𝑞, 𝑈𝑝 =𝐹−1(𝐹 (𝑀)∩𝑉𝑝), 𝑈𝑞 = 𝐹−1(𝐹 (𝑀)∩𝑉𝑞) e os mapas 𝐹 |𝑈𝑝 : 𝑈𝑝 → 𝐹 (𝑀)∩𝑉𝑝 e 𝐹 |𝑈𝑞 : 𝑈𝑞 → 𝐹 (𝑀)∩𝑉𝑞são bijeções. Se 𝑝 ∈ 𝑈𝑞 ou 𝑞 ∈ 𝑈𝑝 então devemos ter que 𝐹 (𝑝) = 𝐹 (𝑞) já que 𝐹 |𝑈𝑝 e 𝐹 |𝑈𝑞 sãobijeções. Caso, 𝑞 /∈ 𝑈𝑝 devemos ter que 𝐹 (𝑞) /∈ 𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉𝑝 e, consequentemente, 𝐹 (𝑞) é diferentede 𝐹 (𝑝), que pertence à 𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉𝑝. Analogamente, 𝐹 (𝑝) é diferente de 𝐹 (𝑞) caso 𝑝 /∈ 𝑈𝑞. Logo,𝐹 é injetiva.

Seja 𝑈 um aberto em 𝑀 . Para cada 𝑝 ∈ 𝑈 , tomemos abertos 𝑈𝑝 em 𝑀 e 𝑉𝑝 em 𝑁 tais que𝑝 ∈ 𝑈𝑝 e 𝑈𝑝 = 𝐹−1(𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉𝑝). Desta forma, como 𝐹 é injetivo

𝑈 ∩ 𝑈𝑝 = 𝐹−1(𝐹 (𝑈)) ∩ 𝐹−1(𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉𝑝) = 𝐹−1(𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉𝑝),

para todo 𝑝 ∈ 𝑈 . Logo, definindo 𝑉 = ∪𝑝∈𝑈𝑉𝑝, temos que 𝑉 é um aberto de 𝑁 tal que

𝑈 = ∪𝑝∈𝑈(𝑈 ∩ 𝑈𝑝) = ∪𝑝∈𝑈

(𝐹−1(𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉𝑝)

)= 𝐹−1

(𝐹 (𝑀) ∩ (∪𝑝∈𝑈𝑉 )

)= 𝐹−1(𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉 ).

Portanto, 𝐹 é um mergulho suave.

Definição 1.1.31. Sejam 𝑀 e 𝑁 varieades suaves de dimensão 𝑚 e 𝑛, respectivamente, e 𝑆 ⊂ 𝑁a imagem de um mapa 𝐹 : 𝑀 → 𝑁 .

• Se 𝐹 for uma imersão suave injetiva então dizemos que 𝑆 é uma subvariedade imersa de 𝑁de dimensão 𝑚.

• No caso em que 𝐹 é um mergulho suave, dizemos que 𝑆 é uma subvariedade mergulhada de𝑀 de dimensão 𝑚.

As subvariedades imersas e mergulhadas, como os próprios nomes sugerem, são naturalmentevariedades por sí só. Dada uma subvariedade imersa 𝑆 que é a imagem da imersão injetiva suave𝐹 : 𝑀 → 𝑁 , 𝑆 pode ser munida da topologia

{𝑈 ′ ⊂ 𝑆 : 𝐹−1(𝑈 ′) é aberto em 𝑀}.

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e um atlas{(𝐹 (𝑈), 𝜙 ∘ 𝐹−1) : (𝑈,𝜙) é uma carta local de 𝑀}.

No caso em que 𝐹 é um mergulho, esta topologia coincide com a topologia de 𝑆 como subespaçode 𝑀 e, pela Proposição 1.1.30, o atlas de 𝑆 é induzido por restrições de cartas locais de 𝑁 . Poroutro lado, no caso em que 𝐹 é somente uma imersão, a topologia descrita acima pode ter maisabertos que a topologia de 𝑆 como subespaço de 𝑁 .

Observação 1.1.32. Convencionamos que sempre que 𝑆 for uma subvariedade (imersa ou mer-gulhada), assumiremos que 𝑆 possui a estrutura de variedade suave descrita acima. Sendo assim,podemos dizer, sem perda de generalidade, que as subvariedades imersas (mergulhadas) de 𝑁 sãoos subespaços 𝑆 de 𝑁 com estrutura de variedade tal que a inclusão 𝑖 : 𝑆 → 𝑁 seja uma imersão(mergulho) suave.

Exemplo 1.1.33. Se 𝑈 é um aberto de uma variedade suave 𝑀 munido da estrutura de variedadesuave como no Exemplo 1.1.19, a inclusão 𝑖 : 𝑈 → 𝑀 é um mergulho suave. Logo, 𝑈 é umasubvariedade mergulhada de 𝑀 .

Proposição 1.1.34. Seja 𝑀 uma variedade suave de dimensão 𝑚 e 𝑆 um subespaço de 𝑀 . Ascondições a seguir são equivalentes:

(a) 𝑆 é uma subvariedade mergulhada de 𝑀 de dimensão 𝑘.

(b) Para cada 𝑝 ∈ 𝑆, existe uma carta local (𝑉, 𝜓) de 𝑀 tal que 𝑝 ∈ 𝑉 e

𝑆 ∩ 𝑉 = 𝜓−1({(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈ 𝜓(𝑉 ) : 𝑥𝑘+1 = · · · = 𝑥𝑚 = 0}).

Demonstração. Segue das observações acima e da Proposição 1.1.30.

Teorema 1.1.35. Sejam 𝑀 e 𝑁 variedades suaves e 𝐹 : 𝑀 → 𝑁 um mapa suave de postoconstante 𝑟. Então, para cada ponto 𝑞 ∈ 𝐹 (𝑀), 𝐹−1(𝑞) é uma subvariedade mergulhada de 𝑀 dedimensão 𝑚− 𝑟, onde 𝑚 é a dimensão de 𝑀 .

Demonstração. Denotemos 𝐹−1(𝑞) por 𝑆. Utilizaremos a caracterização das variedades mergulha-das dada na Proposição 1.1.34.

Seja 𝑝 ∈ 𝐹−1(𝑞). Pelo Teorema do Posto, existem cartas locais existem cartas locais (𝑈,𝜙) em𝑀 e (𝑉, 𝜓) em 𝑁 tais que 𝑝 ∈ 𝑈 , 𝐹 (𝑈) ⊂ 𝑉 e 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1 : 𝜙(𝑈) é dado pela igualdade

𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑟, 0, . . . , 0), (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈ 𝜙(𝑈).

Podemos supor, sem perda de generalidade, que 𝜙(𝑝) = 0 ∈ R𝑚 e 𝜓(𝐹 (𝑝)) = 0 ∈ R𝑛. Desta forma,

𝜙(𝑆) = 𝜙(𝐹−1(𝑞)) = (𝐹∘𝜙)−1(𝑞) = (𝜓∘𝐹∘𝜙−1)−1(0) = {(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈∈ 𝜙(𝑈) : 𝑥1 = · · · = 𝑥𝑟 = 0}

e, consequentemente,

𝑆 ∩ 𝑈 = 𝜙−1({(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈∈ 𝜙(𝑈) : 𝑥1 = · · · = 𝑥𝑟 = 0}).

Assim, 𝑆 satisfaz a condição (b) da Proposição 1.1.34 e, portanto, 𝑆 é uma subvariedade dedimensão 𝑚− 𝑟.

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Proposição 1.1.36. Sejam 𝑀 e 𝑁 uma variedades suaves e 𝐹 : 𝑀 → 𝑁 um mapa suave. Dadauma subvariedade imersa 𝑆 de 𝑀 , a restrição 𝐹 |𝑆 : 𝑆 → 𝑁 é um mapa suave.

Demonstração. Como 𝑖 : 𝑆 → 𝑀 é um mapa (uma imersão) suave e 𝐹 : 𝑀 → 𝑁 é um mapa suave,a composição 𝐹 |𝑆 = 𝐹 ∘ 𝑖 é um mapa suave.

Um dos principais motivos para exigirmos por definição que as variedades suaves sejam segundocontáveis é a garantia de existência de partições da unidade (um conceito que definiremos maisadiante). De fato, a condição de ser segundo enumerável e localmente euclideana fornecem a umespaço topológico uma propriedade conhecida como paracompacidade. A paracompacidade dasvariedades suaves está expressa no Lema 1.1.38.

Definição 1.1.37. Seja 𝑋 um espaço topológico e 𝒰 uma família de abertos em 𝑋. Dizemos que𝒰 é uma cobertura aberta de 𝑋 se 𝑋 é a união dos elementos de 𝒰 . Se, além disso, para cadaponto 𝑝 ∈ 𝑋 existir um aberto 𝑉 de 𝑋 tal que 𝑝 ∈ 𝑉 e 𝑉 ∩ 𝑈 = ∅ somente para uma quantidadefinita de elementos 𝑈 de 𝒰 então dizemos que 𝒰 é uma cobertura aberta localmente finita.

Proposição 1.1.38. Seja 𝑀 uma variedade suave de dimensão 𝑚 e 𝒰 uma cobertura de 𝑀 . Existeuma família {(𝐵𝑖, 𝜙𝑖)}𝑖∈𝐼 de cartas suaves em 𝑀 tais que:

• 𝜙𝑖(𝐵𝑖) = 𝐵(0, 2) (a bola aberta aberta centrada em 0 ∈ R𝑚 de raio 2);

• {𝜙−1𝑖 (𝐵(0, 1))}𝑖∈𝐼 é uma cobertura localmente finita de 𝑀 ;

• Cada aberto aberto 𝐵𝑖 está contido em um elemento de 𝒰 .

Para não nos estendermos demais em propriedades topológicas nas quais não temos interessepara além desta seção, a demonstração do Lema 1.1.38 será omitida. Esta segue facilmente atravésde argumentos topológicos rotineiros com o uso das propriedades que definem uma variedadetopológica.

Definição 1.1.39. Seja 𝑀 um espaço topológico e 𝒰 = {𝑈𝜆}𝜆∈Λ uma cobertura aberta de 𝑀 .Uma partição da unidade subordinada à 𝒰 é uma família {𝜑𝜆 : 𝑀 → R}𝜆∈Λ de funções em 𝑀satisfazendo as seguintes condições:

• Para cada 𝜆 ∈ Λ e 𝑝 ∈ 𝑀 , 0 6 𝜑𝜆(𝑝) 6 1;

• Para cada 𝜆 ∈ Λ, o suporte supp𝜑𝜆 de 𝜑𝜆, isto é, o fecho em 𝑀 do conjunto

{𝑝 ∈ 𝑀 : 𝜙𝜆(𝑝) = 0},

está contido em 𝑈𝜆;

• Para cada 𝑝 ∈ 𝑀 , existe um aberto 𝑉 de 𝑀 tal que 𝑝 ∈ 𝑉 e 𝑉 ∩ supp𝜑𝜆 = ∅ somente parauma quantidade finita de 𝜆’s;

• Para cada 𝑝 ∈ 𝑀 , ∑𝜆∈Λ 𝜑𝜆(𝑝) = 1 (isto é, a soma dos números reais 𝜑𝜆(𝑝) para os quais𝜑𝜆(𝑝) = 0, que pelo item anterior é uma soma finita, é igual a 1).

17

Se 𝑀 for uma variedade suave e as funções 𝜑𝜆 da partição da unidade {𝜑𝜆}𝜆∈Λ forem suaves entãodizemos que {𝜑𝜆}𝜆∈Λ é uma partição da unidade suave.

Proposição 1.1.40. Uma cobertura aberta 𝒰 de uma variedade suave 𝑀 sempre admite umapartição da unidade suave subordinada à ela.

Demonstração. Seja 𝑈 = {𝑈𝜆}𝜆∈Λ uma cobertura aberta da variedade 𝑀 . Mostraremos que existeuma partição da unidade sauve {𝜑𝜆}𝜆∈Λ subordinada à 𝒰 .

Primeiramente, consideremos uma família de cartas suaves {(𝐵𝑖, 𝜙𝑖)}𝑖∈𝐼 como no Lema 1.1.38.Isto é,

• 𝜙𝑖(𝐵𝑖) = 𝐵(0, 2) (a bola aberta aberta centrada em 0 ∈ R𝑚 de raio 2);

• {𝐴𝑖}𝑖∈𝐼 , onde 𝐴𝑖 = 𝜙−1𝑖 (𝐵(0, 1)), é uma cobertura localmente finita de 𝑀 ;

• Cada aberto aberto 𝐵𝑖 está contido em 𝑈𝜆, para algum 𝜆.

Utilizando-se de ferramentas de análise em espaços euclideanos, podemos mostrar que existeuma função suave 𝑏 : 𝐵(0, 2) → R tal que 𝑏(𝑥) > 0, para todo 𝑥 ∈ 𝐵(0, 1), e 𝑏(𝑥) = 0, para todo𝑥 ∈ 𝐵(0, 2)∖𝐵(0, 1).

Consideremos, para cada 𝑖 ∈ 𝐼, as funções 𝑓𝑖 : 𝑀 → R, dadas por

𝑓𝑖(𝑝) ={𝑏 ∘ 𝜙𝑖(𝑝), 𝑝 ∈ 𝐵𝑖;0, 𝑝 ∈ 𝑀∖𝐵𝑖.

Observemos que a função 𝑓𝑖 é identicamente nula no aberto 𝑀∖𝐴𝑖 = 𝑀∖𝜙−1𝑖 (𝐵(0, 1)). Logo, 𝑓𝑖 é

suave nos abertos 𝐵𝑖 e 𝑀∖𝐴𝑖. Como 𝑀 = 𝐵𝑖 ∪(𝑀∖𝐴𝑖

), devemos ter que 𝑓𝑖 é suave em 𝑀 .

Seja 𝑝 ∈ 𝑀 . Como a cobertura {𝐴𝑖} é localmente finita, existe somente uma quantidade finitade elementos 𝑖 no conjunto de índices 𝐼 tais que 𝑝 ∈ 𝐴𝑖. Umas vez que as funções 𝑓𝑖 são nulas em𝑀∖𝐴𝑖, devemos ter que 𝑓𝑖(𝑝) = 0 somente para uma quantidade finita de 𝑖 ∈ 𝐼. Assim, a soma∑𝑖∈𝐼 𝑓𝑖(𝑝) de todos os números 𝑓𝑖(𝑝), 𝑖 ∈ 𝐼, não nulos é um número positivo (pois em particular

𝑓𝑖(𝑝) = 0 ou 𝑓𝑖(𝑝) > 0).Pelo comentário acima, podemos definir uma função 𝑓 : 𝑀 → R tal que 𝑓(𝑝) é o número

positivo ∑𝑖∈𝐼 𝑓𝑖(𝑝) em cada 𝑝 ∈ 𝑃 . Além disso, para cada 𝑝 ∈ 𝑀 existe um aberto 𝑉 de 𝑀 talque 𝑓 é suave em 𝑉 . De fato, podemos escolher um 𝑉 aberto em 𝑀 tal que 𝑉 ∩ 𝐴𝑖 = ∅ somentepara 𝑖 = 𝑖1, 𝑖2, . . . , 𝑖𝑘. E, assim, 𝑓 coincide em 𝑉 com a função suave 𝑓𝑖1 + 𝑓𝑖2 + · · · + 𝑓𝑖𝑘 . Portanto,𝑓 é uma função suave cuja a imagem está contida no conjunto dos números reais positivos.

Usando o axioma da escolha e as propriedades das coberturas {𝐴𝑖}𝑖∈𝐼 , {𝐵𝑖}𝑖∈𝐼 e {𝑈𝜆}𝜆∈Λ,podemos garantir a existência de uma função 𝛿 : 𝐼 → Λ tal que 𝛿(𝑖) = 𝜆 implica 𝐵𝑖 ⊂ 𝑈𝜆.

Com um raciocínio análogo ao que fizemos para 𝑓 , podemos concluir que as funções 𝜑𝜆 : 𝑀 → Rficam bem definidas pela igualdade

𝜑𝜆(𝑝) =∑𝛿(𝑖)=𝜆

𝑓𝑖𝑓

(𝑝), 𝑝 ∈ 𝑀,

18

e são suaves (no caso, utilizamos o fato de 𝑓𝑖/𝑓 ser uma função suave). Em particular, verifica-seque

supp𝜑𝜆 = ∪𝛿(𝑖)=𝜆𝐴𝑖 ⊂ ∪𝛿(𝑖)=𝜆𝐴𝑖 ⊂ ∪𝛿(𝑖)=𝜆𝐵𝑖 ⊂ 𝑈𝜆.

Segue diretamente desta definição que 0 6 𝜑𝜆(𝑝) 6 1 já que

0 6∑𝛿(𝑖)=𝜆

𝑓𝑖(𝑝) 6∑𝑖∈𝐼

𝑓𝑖(𝑝) = 𝑓(𝑝).

Seja 𝑝 ∈ 𝑀 . Usando o fato de {𝐴𝑖} ser uma cobertura localmente finite e 𝑀 ser um espaçoeuclideano, podemos concluir que existe um aberto 𝑉 de 𝑀 contendo 𝑝 tal que o conjunto

𝐽 = {𝑖 ∈ 𝐼 : 𝑉 ∩ 𝐴𝑖 = ∅}

é finito. Se 𝑉 ∩ supp𝜑𝜆 = ∅ então, pela inclusão supp𝜑𝜆 ⊂ ∪𝛿(𝑖)=𝜆𝐴𝑖, deve existir um 𝑖 ∈ 𝐼 tal que𝑉 ∩ 𝐴𝑖 e 𝛿(𝑖) = 𝜆. Logo, o conjunto

{𝜆 ∈ Λ: 𝑉 ∩ supp𝜑𝜆 = ∅} ⊂ 𝛿(𝐽)

é finito.Por fim, para cada 𝑝 ∈ 𝑀 ,

∑𝜆∈Λ

𝜑𝜆(𝑝) =∑𝜆∈Λ

∑𝛿(𝑖)=𝜆

𝑓𝑖(𝑝)𝑓(𝑝) =

∑𝑖∈𝐼 𝑓𝑖(𝑝)𝑓(𝑝) = 1.

Portanto, {𝜑𝜆}𝜆∈Λ é uma partição da unidade subordinada a 𝒰 .

1.2 Grupos de LieDefinição 1.2.1. Quando um grupo 𝐺, com operação de multiplicação 𝑚 : 𝐺 × 𝐺 → 𝐺 e mapade inversão de elementos2 𝑖 : 𝐺 → 𝐺, é munido de uma estrutura de variedade suave tal que osmapas 𝑚 e 𝑖 são suaves, dizemos que 𝐺 é um grupo de Lie.

Observação 1.2.2. Seja 𝐺 um grupo com uma estrutura com uma estrutura de variedade suave.Então 𝐺 é um grupo de Lie se e somente se o mapa 𝜎 : 𝐺×𝐺 → 𝐺 dado por

𝜎(𝑔, ℎ) = 𝑔ℎ−1, 𝑔, ℎ ∈ 𝐺,

é suave.

Definição 1.2.3. Sejam 𝐻 e 𝐺 grupos de Lie. Dizemos que 𝐹 : 𝐻 → 𝐺 é um homomorfismo degrupos de Lie se 𝐹 é um mapa suave e um homomorfismo de grupos.

2O mapa dado por 𝑖(𝑔) = 𝑔−1, para todo 𝑔 ∈ 𝐺

19

Exemplo 1.2.4 (Gl(𝑛,R) - Grupo Linear Geral Real). O conjunto 𝑀𝑛(R) de todas as matrizesreais 𝑛 × 𝑛 é, como visto na seção anterior, uma variedade suave com a sua identificação comR2. Seja Gl(𝑛,R) o grupo formado por tadas as matrizes invertíveis em 𝑀𝑛(R). Este grupo éa imagem inversa do conjunto aberto R∖{0} em R pela função determinante det : 𝑀𝑛(R) → R.Como a função determinante é contínua, Gl(𝑛,R) é um aberto de 𝑀𝑛(R). Assim, como vimos noExemplo 1.1.33, Gl(R) é uma subvariadade mergulhada de 𝑀𝑛(R). A multiplicação de matrizes éum mapa suave Gl(𝑛,R) × Gl(𝑛,R) → Gl(𝑛,R) (pois é polinomial em cada uma das coordenadasde Gl(𝑛,R)). E, pela regra de Crammer, a inversão de matrizes Gl(𝑛,R) → Gl(𝑛,R) também ésuave. Então, com esta estrutura de variedade suave e as operações usuais, Gl(𝑛,R) é um grupode Lie.

Definição 1.2.5. Sejam 𝐺 um grupo de Lie e 𝐻 um subgrupo de 𝐺 que é uma subvariedademergulhada de 𝐺. Neste caso, dizemos que 𝐺 é um subgrupo de Lie mergulhado de 𝐺. Além disso,se 𝐺 = Gl(𝑛,R), para algum 𝑛 ∈ Z+, dizemos que 𝐻 é um grupo de Lie matricial.

Se 𝐻 é um subgrupo de Lie mergulhado de um grupo de Lie 𝐺 segue que 𝐻 é um grupo de Liepor si só. De fato, pel Proposição 1.1.36, a restrição da multiplicação de 𝐺 à 𝐻 é um mapa suavepois 𝐻 é uma subvariedade mergulhada.

Exemplo 1.2.6 (O(𝑛) - Grupo Ortogonal). Seja O(𝑛,R) o subgrupo de Gl(𝑛,R) descrito por

{𝐴 ∈ Gl(𝑛,R) : 𝐴𝐴𝑇 = 𝐼},

onde 𝐴𝑇 é a matriz transposta de 𝐴 e 𝐼 é a matriz identidade em Gl(𝑛,R). Tal conjunto é imageminversa de {𝐼} ⊂ GL(𝑛,R) pelo mapa suave 𝜏 : Gl(𝑛,R) → Gl(𝑛,R), dado por

𝜏(𝐴) = 𝐴𝐴𝑇 ,

onde 𝐴 ∈ Gl(𝑛,R). Como o mapa 𝜏 tem posto constante igua à 𝑛(𝑛+ 1)/2, pelo Teorema 1.1.35,O(𝑛) é uma subvariedade mergulhada de Gl(𝑛,R) de dimensão 𝑛(𝑛 − 1)/2 = 𝑛2 − 𝑛(𝑛 + 1)/2.Logo, O(𝑛) é um grupo de Lie matricial.

O conjunto 𝑀𝑛(C) das matrizes complexas 𝑛 × 𝑛 é uma subvariedade mergulhada de 𝑀2𝑛(R)pelo mergulho 𝜎 : 𝑀𝑛(C) → 𝑀2𝑛(R), dado por

𝜎(𝐴+ 𝑖𝐵) =(

𝐴 𝐵−𝐵 𝐴

),

onde 𝐴 e 𝐵 ∈ 𝑀𝑛(R). Perceba que, dadas matrizes 𝑋 e 𝑌 ∈ 𝑀𝑛(C), vale a igualdade

𝜎(𝑋𝑌 ) = 𝜎(𝑋)𝜎(𝑌 ).

Segue daí que se 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C) é invertível então 𝜎(𝑋) ∈ Gl(2𝑛,R). Assim, se 𝐺 é uma subvariedademergulhada de 𝑀𝑛(C) tal que, com a multiplicação de matrizes usual em 𝑀(𝑛,C), 𝐺 é um grupoentão 𝜎(𝐺) ⊂ Gl(2,R) é um grupo de Lie matricial. Neste caso, identificamos 𝐺 com 𝜎(𝐺) e oconsideramos um grupo de Lie (matricial) por si só.

20

Exemplo 1.2.7 (Gl(𝑛,C) - Grupo Linear Geral Complexo). Denotamos por Gl(𝑛,C) o subcon-junto de 𝑀𝑛(C) das matrizes complexas 𝑛×𝑛 invertíveis. De maneira semelhante à que fizemos noExemplo 1.2.4 para Gl(𝑛,R), mostra-se que Gl(𝑛,C) é um subespaço aberto de 𝑀𝑛(C). Logo, 𝐺é uma subvariedade mergulhada de 𝑀𝑛(C). Assim, pelos comentários acima, Gl(𝑛,C) é um grupode Lie (matricial).

Exemplo 1.2.8 (U(𝑛) - Grupo Unitário). O mapa 𝜏 : 𝑀𝑛(C) → 𝑀𝑛(C), dado por

𝜏(𝑋) = 𝑋𝑋*,

onde 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C) e 𝑋* é a matriz transposta e conjungada de 𝑋, é suave e tem posto constanteigual a 𝑛2. Desta forma, pelo Teorema 1.1.35, U(𝑛) := 𝜏−1(𝐼) é uma subvariedade mergulhada de𝑀𝑛(C) de dimensão 𝑛2 = 2𝑛2 − 𝑛2. Como segue facilmente da definição de 𝜏 , U(𝑛) é um grupocom a operação usual de multiplicação de matrizes. Portanto, 𝑈(𝑛) é um grupo de Lie (matricial).Os elementos de U(𝑛) são chamados de matrizes unitárias.

Exemplo 1.2.9 (SU(𝑛) - Grupo Unitário Especial). O grupo unitário especial SU(𝑛), definidocomo o grupo das matrizes unitárias 𝑛 × 𝑛 de traço 0, é também um grupo de Lie mergulhadoem 𝑀𝑛(C). De fato, a função traço tr : 𝑈(𝑛) → C é uma função suave de posto constante igual a1(pois é uma restrição da função suave tr : 𝑀𝑛(C) → C e U(𝑛) é uma subvariedade mergulhada de𝑀𝑛(C)) e, por definição, SU(𝑛) = tr−1(0). Logo, pelo Teorema 1.1.35, SU(𝑛) é uma subvariedademergulhada de U(𝑛) de dimensão 𝑛2 − 1 = dim U(𝑛) − 1. Assim, como U(𝑛) é uma subvariedademergulhada de 𝑀𝑛(C), SU(𝑛) é uma subvariedade mergulhada de 𝑀𝑛(C).

Proposição 1.2.10. Para cada 𝑋 = (𝑥𝑖𝑗) ∈ 𝑀𝑛(C), definimos

|𝑋| :=⎛⎝ ∑

16𝑖,𝑗6𝑛|𝑥𝑖𝑗|2

⎞⎠ 12

.

As seguintes propriedades, para cada 𝑋 e 𝑌 ∈ 𝑀𝑛(C) e 𝜆 ∈ C, são válidas:

(a) |𝑋𝑌 | 6 |𝑋||𝑌 |;

(b) |𝑋 + 𝑌 | 6 |𝑋| + |𝑌 |;

(c) |𝜆𝑋| = |𝜆||𝑋|;

(d) |𝑋| > 0 ⇐⇒ 𝑋 = 0.

Demonstração. Para cada 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) e 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) ∈ C𝑛, vale a desigualdade deSchwartz:

|𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖𝑦𝑖|2 6𝑛∑𝑗=1

|𝑥𝑗|2𝑛∑𝑘=1

|𝑦𝑘|2.

21

Assim, dadas duas matrizes 𝑋 = (𝑥𝑖𝑗) e 𝑌 = (𝑦𝑖𝑗) ∈ 𝑀𝑛(C), temos que

|𝑋𝑌 |2 =∑

16𝑝,𝑞6𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑝𝑖𝑦𝑖𝑞

2

=∑

16𝑝,𝑞6𝑛

⎛⎝ 𝑛∑𝑗=1

|𝑥𝑝𝑗|2𝑛∑𝑘=1

|𝑦𝑘𝑞|2⎞⎠

=⎛⎝ ∑

16𝑗,𝑝6𝑛|𝑥𝑝𝑗|2

⎞⎠⎛⎝ ∑16𝑘,𝑞6𝑛

|𝑦𝑘𝑞|2⎞⎠

= |𝑋|2|𝑌 |2

e, consequentemente,|𝑋𝑌 | 6 |𝑋||𝑌 |.

Por isso, o item (a) é valido.As demais propriedades podem ser demontradas de modo análogo às propriedades da norma

hermitiana em C𝑛. Por isso, omitiremos as suas demonstrações.

Proposição 1.2.11. Para cada 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C), a série

exp(𝑋) =∞∑𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

é convergente e exp(𝑋) ∈ Gl(𝑛,C). A função exponencial exp: 𝑀𝑛(C) → Gl(𝑛,C) é um mapacontínuo.

Demonstração. A norma de cada termo 𝑋𝑚/𝑚! da série exp(𝑋) é majorada por |𝑋|𝑚/𝑚! (Pro-posição 1.2.10). Como a série

𝑒|𝑋| =∞∑𝑚=0

|𝑋|𝑚

𝑚!

é convergente, segue, pelo M-Teste de Wierstrass que a série ∑∞𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚! é convergente e que o mapaexp é contínuo.

A demonstração de que exp(𝑋) ∈ Gl(𝑛,C) para todo 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C) segue do item (d) daProposição 1.2.12, cuja demonstração só depende da convergência das séries ∑∞

𝑚=0𝑋𝑚

𝑚! .

Proposição 1.2.12. A função exponencial possui as seguintes propriedades:

(a) exp(𝑋*) =(

exp(𝑋))*

, para todo 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C);

(b) exp(𝐴−1𝑋𝐴) = 𝐴−1 exp(𝑋)𝐴, para todo 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C) e 𝐴 ∈ Gl(𝑛,C);

(c) exp(𝑋 + 𝑌 ) = exp(𝑋) exp(𝑌 ), para todos 𝑋 e 𝑌 ∈ 𝑀𝑛(C) são tais que 𝑋𝑌 = 𝑌 𝑋;

(d) exp(−𝑋) =(

exp(𝑋))−1

, para todo 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C);

22

(e) Para cada 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C), o mapa

𝑡 ∈ R → exp(𝑡𝑋) ∈ Gl(C)

é suave edd 𝑡 exp(𝑡𝑋)

𝑡=𝑡0

= exp(𝑡0𝑋)𝑋.

(f) det(exp(𝑋)) = 𝑒tr(𝑋), para todo 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C).

Demonstração. Seja 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C). Para todo 𝑘 ∈ Z+, temos que

𝑘∑𝑚=0

(𝑋*)𝑚𝑚! =

𝑘∑𝑚=0

(𝑋𝑚)*

𝑚! =(

𝑘∑𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

)*

.

Assim, pela continuidade do mapa 𝑌 → 𝑌 *, temos que

exp(𝑋*) = lim𝑘→∞

𝑘∑𝑚=0

(𝑋*)𝑚𝑚! = lim

𝑘→∞

(𝑘∑

𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

)*

=(

lim𝑘→∞

𝑘∑𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

)*

= (exp(𝑋))*.

Logo, temos o item (a).O item (b) é provado utilizando-se a continuidade da função 𝑌 → 𝐴−1𝑌 𝐴 como fizemos para

a função 𝑌 → 𝑌 * no item (a).Sejam 𝑋 e 𝑌 ∈ 𝑀𝑛(C) tais que 𝑋𝑌 = 𝑌 𝑋. Para cada 𝑚 ∈ Z>0, vale (por causa da comutati-

vidade de 𝑋 e 𝑌 ), que

(𝑋 + 𝑌 )𝑚 =𝑚∑𝑖=0

𝑚!(𝑚− 𝑖)!𝑖!𝑋

𝑚−𝑖𝑌 𝑖.

Assim, para cada 𝑘 ∈ Z+,(𝑘∑

𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

)(𝑘∑

𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

)=

2𝑘∑𝑚=0

𝑚∑𝑖=0

𝑋𝑚−𝑖𝑌 𝑖

(𝑚− 𝑖)!𝑖!

=2𝑘∑𝑚=0

1𝑚!

𝑚∑𝑖=0

𝑚!(𝑚− 𝑖)!𝑖!𝑋

𝑚−𝑖𝑌 𝑖

=2𝑘∑𝑚=0

1𝑚! (𝑋 + 𝑌 )𝑚.

Logo,

exp(𝑋) exp(𝑌 ) =(

lim𝑘→∞

𝑘∑𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

)(lim𝑘→∞

𝑘∑𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

)

= lim𝑘→∞

(𝑘∑

𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

)(𝑘∑

𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

)

= lim𝑘→∞

2𝑘∑𝑚=0

1𝑚! (𝑋 + 𝑌 )𝑚

= exp(𝑋 + 𝑌 ).

23

Com isso, temos o item (c).Usando o fato de que exp(0) = 𝐼 (que segue diretamente da definição da função exponencial)

e o item (c), concluimos o item (d).Provemos, agora, o item (e). Sejam 𝑡0 ∈ R e 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C). Para todo 𝑡 = 0,

exp((𝑡0 + 𝑡)𝑋) − exp(𝑡0𝑋)𝑡

= lim𝑘→∞

∑𝑘𝑚=0

(𝑡0+𝑡)𝑚𝑋𝑚

𝑚! −∑𝑘𝑚=0

𝑡𝑚0 𝑋𝑚

𝑚!𝑡

= lim𝑘→∞

𝑘∑𝑚=0

((𝑡0 + 𝑡)𝑚 − 𝑡𝑚0

𝑡

)𝑋𝑚

𝑚!

= lim𝑘→∞

𝑋 +𝑘∑

𝑚=2

(𝑚!𝑡𝑚−1

0 + 𝑡𝑚∑𝑖=2

𝑡𝑚−𝑖0 𝑡𝑖−2

)𝑋𝑚

𝑚!

= lim𝑘→∞

𝑋 +(

𝑘∑𝑚=2

𝑡𝑚−10 𝑋𝑚−1

(𝑚− 1)!

)𝑋 + 𝑡

𝑘∑𝑚=2

(𝑚∑𝑖=2

𝑡𝑚−𝑖0 𝑡𝑖−2

)𝑋𝑚

𝑚!

= lim𝑘→∞

(𝑘−1∑𝑚=0

𝑡𝑚0 𝑋𝑚

𝑚!

)𝑋 + 𝑡

𝑘∑𝑚=2

(𝑚∑𝑖=2

𝑡𝑚−𝑖0 𝑡𝑖−2

)𝑋𝑚

𝑚!

=( ∞∑𝑚=0

𝑡𝑚0 𝑋𝑚

𝑚!

)𝑋 + 𝑡

∞∑𝑚=2

(𝑚∑𝑖=2

𝑡𝑚−𝑖0 𝑡𝑖−2

)𝑋𝑚

𝑚!

= exp(𝑡0𝑋)𝑋 + 𝑡∞∑𝑚=2

(𝑚∑𝑖=2

𝑡𝑚−𝑖0 𝑡𝑖−2

)𝑋𝑚

𝑚! .

Com isso, concluimos que

dd 𝑡 exp(𝑡𝑋)

𝑡=𝑡0

= lim𝑡→0

exp((𝑡0 + 𝑡)𝑋) − exp(𝑡0𝑋)𝑡

= exp(𝑡0𝑋)𝑋 + lim𝑡→0

𝑡∞∑𝑚=2

(𝑚∑𝑖=2

𝑡𝑚−𝑖0 𝑡𝑖−2

)𝑋𝑚

𝑚!= exp(𝑡0𝑋)𝑋.

E, por indução em 𝑛, mostra-se que

dd 𝑡𝑛 exp(𝑡𝑋)

𝑡=𝑡0

= exp(𝑡0𝑋)𝑋𝑛.

Portanto, temos o item (e).Por fim, provemos o item (f).Seja 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C). Seja 𝐵 ∈ Gl(𝑛,C) uma matriz tal que 𝑋 = 𝐵𝐽𝐵−1, onde 𝐽 ∈ 𝑀𝑛(C) é uma

matriz de Jordan

𝐽 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝜆1 * · · · *0 . . . * ...... . . . *0 · · · 0 𝜆𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .

24

Como

exp(𝐽) =∞∑𝑚=0

𝐽𝑚

𝑚! =∞∑𝑚=1

1𝑚!

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝜆𝑚1 * · · · *0 . . . * ...... . . . *0 · · · 0 𝜆𝑚𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

∑∞𝑚=0

𝜆𝑚1𝑚! * · · · *

0 . . . * ...... . . . *0 · · · 0 ∑∞

𝑚=0𝜆𝑚

𝑛

𝑚!

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝑒𝜆1 * · · · *0 . . . * ...... . . . *0 · · · 0 𝑒𝜆𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ,

temos quedet(exp(𝑋)) = det(exp(𝐵𝐽𝐵−1)) = det(𝐵 exp(𝐽)𝐵−1)

= det(exp(𝐽)) = 𝑒𝜆1𝑒𝜆2 . . . 𝑒𝜆𝑛

= 𝑒𝜆1+𝜆2+···+𝜆𝑛 = 𝑒tr(𝐽)

= 𝑒tr(𝑋).

Observação 1.2.13. Segue diretamente da definição da função exponencial que exp(𝑋) ∈ 𝑀𝑛(R)sempre que 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(R). Desta forma, podemos considerar exp como um mapa 𝑀𝑛(R) → 𝑀𝑛(R).Em particular, todas as afirmações da Proposição 1.2.12 são verdadeiras trocando-se C por R.

Proposição 1.2.14. Sejam𝑈𝐼 = {𝐴 ∈ Gl(C) : |𝐴− 𝐼| < 1}

e𝑉0 = {𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C) : |𝑋| < log 2}.

Para cada 𝐴 ∈ 𝑈𝐼 , a série

log(𝐴) =∞∑𝑚=1

(−1)𝑚+1 (𝐴− 𝐼)𝑚𝑚

é convergente e log(𝐴) ∈ 𝑉0. A função

log : 𝑈𝐼 → 𝑉0

é um homeomorfismo cujo inverso éexp: 𝑉0 → 𝑈𝐼 .

Demonstração. Para cada 𝐴 ∈ 𝑈𝐼 e 𝑚 ∈ Z+, temos, pela Proposição 1.2.10, que(−1)𝑚+1 (𝐴− 𝐼)𝑚

𝑚

= |(𝐴− 𝐼)𝑚|

𝑚6

|𝐴− 𝐼|𝑚

𝑚.

25

Como |𝐴− 𝐼| < 1 se 𝐴 ∈ 𝑈𝐼 , a série∞∑𝑚=1

|𝐴− 𝐼|𝑚

𝑚

é convergente. Assim, pelo M-teste de Wiestrass, segue que a série ∑∞𝑚=1(−1)𝑚+1 (𝐴−𝐼)𝑚

𝑚é conver-

gente e o mapa log é contínuo.Seja 𝑋 ∈ 𝑉0. Temos, pela Proposição 1.2.10, que

| exp(𝑋) − 𝐼| =

∞∑𝑚=1

𝑋𝑚

𝑚!

6

∞∑𝑚=1

𝑋𝑚

𝑚!

6

∞∑𝑚=1

|𝑋|𝑚

𝑚! = 𝑒|𝑋| − 1

< 𝑒log(2) − 1 = 1.

Logo, exp(𝑋) ∈ 𝑈𝐼 .A seguir, mostraremos que log(exp(𝑋)) = 𝑋, para todo 𝑋 ∈ 𝑉0, e exp(log(𝐴)) = 𝐴, para

todo 𝐴 ∈ 𝑈𝐼 . Com isso, concluímos que todo 𝐴 ∈ 𝑈𝐼 é da forma exp(𝑋) para algum 𝑋 ∈ 𝑉0.Assim, | log(𝐴)| = |𝑋| < log(2) e, consequentemente, log(𝐴) ∈ 𝑉0. Portanto, concluiremos quelog : 𝑈𝐼 → 𝑉0 é o mapa inverso de exp: 𝑉0 → 𝑈𝐼 .

Sejam𝑋 ∈ 𝑉0 e𝐴 ∈ 𝑈𝐼 . Separaremos as demonstrações de que log(exp(𝑋)) = 𝑋 e exp(log(𝐴)) =𝐴 nos casos em que 𝑋 e 𝐴 são matrizes diagonais e nos casos gerais (em que 𝑋 e 𝐴 podem nãoser diagonais).

Suponhamos que 𝑋 seja a matriz diagonalizável, isto é 𝑋 = 𝑇 diag(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛)𝑇−1, para alumamatriz 𝑇 ∈ Gl(𝑛,C) e uma matriz diagonal diag(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛). Desta forma,

exp(𝑋) =∞∑𝑚=0

diag(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛)𝑚𝑚! =

∞∑𝑚=0

diag(𝑧𝑚1𝑚! , . . . ,

𝑧𝑚𝑛𝑚!

)= diag

( ∞∑𝑚=0

𝑧𝑚1𝑚! , . . . ,

∞∑𝑚=0

𝑧𝑚𝑛𝑚!

)= diag(𝑒𝑧1 , . . . , 𝑒𝑧𝑛).

e, pela Proposição 1.2.12,

log(exp(𝑋)) = log(𝑇 exp(diag(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛))𝑇−1)= log(𝑇 diag(𝑒𝑧1 , . . . , 𝑒𝑧𝑛)𝑇−1)

=∞∑𝑚=1

(−1)𝑚+1 (𝑇 diag(𝑒𝑧1 , . . . , 𝑒𝑧𝑛)𝑇−1 − 𝐼)𝑚𝑚

=∞∑𝑚=1

(−1)𝑚+1𝑇(diag(𝑒𝑧1 , . . . , 𝑒𝑧𝑛) − 𝐼)𝑚

𝑚𝑇−1

=∞∑𝑚=1

𝑇 diag(

(−1)𝑚+1 (𝑒𝑧1 − 1)𝑚𝑚

, . . . , (−1)𝑚+1 (𝑒𝑧𝑛 − 1)𝑚𝑚

)𝑇−1

= 𝑇 diag( ∞∑𝑚=1

(−1)𝑚+1 (𝑒𝑧1 − 1)𝑚𝑚

, . . . ,∞∑𝑚=1

(−1)𝑚+1 (𝑒𝑧𝑛 − 1)𝑚𝑚

)𝑇−1

= 𝑇 diag(log(𝑒𝑧1), . . . , log(𝑒𝑧𝑛))𝑇−1

= 𝑇 diag(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛)𝑇−1

= 𝑋.

26

De modo análogo, mostra-se que se 𝐴 é uma matriz diagonalizável então exp(log(𝐴)) = 𝐴.Se 𝑃 ∈ 𝑀𝑛(C), existe uma sequência (𝐷𝑘) de matrizes diagonalizáveis em 𝑀𝑛(C) tal que

𝑃 = lim𝑘→∞ 𝐷𝑘. De fato, existe 𝑇 ∈ Gl(𝑛,C) tal que 𝑇𝑃𝑇−1 = 𝑆 + 𝑁 , onde3 𝑆 é uma matrizdiagonal, 𝑁 é uma matriz triangular superior e 𝑆𝑁 = 𝑁𝑆. Para cada 𝑘 ∈ Z+ existe uma matrizdiagonal 𝑆𝑘 tal que |𝑆𝑘| < 1

𝑘e 𝑆+𝑆𝑘 é uma matriz cujas 𝑛 entradas da diagonal principal possuem

𝑛 valores diferentes. Definimos, para cada 𝑘 ∈ Z+,

𝐷𝑘 = 𝑃 + 𝑇−1𝑆𝑘𝑇.

Os autovalores da matriz𝑇𝐷𝑘𝑇

−1 = (𝑆 + 𝑆𝑘) +𝑁

são os autovalores de 𝑆 + 𝑆𝑘. Como 𝑆 + 𝑆𝑘 possui 𝑛 autovalores distintos 𝑇𝐷𝑘𝑇−1 possui 𝑛

autovalores distintos. Logo, 𝑇𝐷𝑘𝑇−1 é diagonalizável e, consequentemente, 𝐷𝑘 é diagonalizável.

Além disso,|𝐷𝑘 − 𝑃 | = |𝑇−1𝑆𝑘𝑇 | 6 |𝑇 ||𝑇−1|

𝑘

e, logo,lim𝑘→∞

𝐷𝑘 = 𝑃.

Seja (𝐷𝑘) uma sequência de matrizes diagonalizáveis tal que lim𝑘→∞ 𝐷𝑘 = 𝑋. Pela continuidadedos mapas log e exp e pelo caso anterior, temos que

log(exp(𝑋)) = log(exp( lim𝑘→∞

𝐷𝑘)) = lim𝑘→∞

log(exp(𝐷𝑘))= lim

𝑘→∞𝐷𝑘 = 𝑋.

De maneira análoga, prova-se, no caso em que 𝐴 é uma matriz qualquer, que exp(log(𝐴)) =𝐴.

1.3 Funções Suaves e Vetores TangentesDenotamos por 𝐶∞(𝑀) o conjunto das funções suaves 𝑀 → R definidas em uma variedade 𝑀 .

Exemplo 1.3.1. Considere uma carta suave (𝑈,𝜙) de uma variedade suave 𝑀 de dimensão 𝑚.As funções suaves 𝑥𝑖 : 𝑈 → R, 𝑖 = 1, . . . , 𝑚, definidas por

𝑥𝑖(𝑝) = 𝑝𝑖, 𝑝 = 𝜙−1(𝑝1, . . . , 𝑝𝑚) ∈ 𝑈,

são chamadas de funções coordenadas. Como 𝑈 é uma variedade suave por si só, temos que𝑥𝑖 ∈ 𝐶∞(𝑈), 𝑖 = 1, . . . , 𝑚. Por comodidade, denotamos 𝜙 por (𝑥𝑖) quando estivermos maisinteressados nas funções coordenadas do que em 𝜙 em sí.

A seguir usaremos os seguinte resultados sobre funções suaves em espaços euclideanos:3𝑆 +𝑁 é a forma de Jordan de 𝑃

27

Lema 1.3.2. (i) Sejam 𝑉 um aberto de R𝑛 e 𝑔 : 𝑉 → R uma função suave. Dado 𝑥0 ∈ 𝑉 ,existem abertos 𝑉0 ⊂ R𝑛 e 𝑉1 de R𝑛 e uma função suave 𝑔0 : 𝑉 → R tais que:

– 𝑥0 ⊂ 𝑉0 ⊂ 𝑉1 ⊂ 𝑉1 ⊂ 𝑈 ;– 𝑔0|𝑉0 = 𝑔|𝑉0 ;– 𝑔0(𝑉 ∖𝑉1) = {0}.

(ii) Sejam 𝑉 um aberto de R𝑛 e 𝑥0 ∈ 𝑉 . Existem uma função suave 𝑏 : 𝑉 → R e um aberto𝑉0 ⊂ R𝑛 tais que:

– 𝑥0 ∈ 𝑉0 ⊂ 𝑉0 ⊂ 𝑉 ;– 𝑏(𝑥0) = 0;– 𝑏(𝑉 ∖𝑉0) = {1}.

Lema 1.3.3. (i) Sejam 𝑈 um aberto de uma variedade suave 𝑀 e 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑈). Dado 𝑝 ∈ 𝑈 ,existe um aberto 𝑈0 de 𝑀 e uma função suave 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀) tal que

– 𝑝 ∈ 𝑈0 ⊂ 𝑈 ;– 𝑓 |𝑈0 = 𝑓 |𝑈0 .

(ii) Sejam 𝑈 um aberto em uma variedade suave 𝑀 e 𝑝 ∈ 𝑈 . Existem uma função suave𝑏 ∈ 𝐶∞(𝑀) tal que

– 𝑏(𝑝) = 0;– 𝑏(𝑀∖𝑈) = {1}.

Demonstração. (i)

Seja 𝑝 ∈ 𝑈 .Consideremos uma carta suave (𝑉, 𝜓) de 𝑀 tal que 𝑝 ∈ 𝑉 ⊂ 𝑈 . Temos que 𝑔 = 𝑓∘𝜓−1 : 𝜓(𝑉 ) →

R é uma função suave definida no aberto 𝜓(𝑉 ) ⊂ Rdim𝑀 que contém 𝑥0 = 𝜓(𝑝). Assim, pelo item(i) do Lema 1.3.2, existem um abertos 𝑉0 e 𝑉1 ⊂ R𝑛 e uma função suave 𝑔0 : 𝜓(𝑉 ) → R tais que:𝑥0 ⊂ 𝑉0 ⊂ 𝑉1𝑉1 ⊂ 𝜓(𝑉 ); 𝑔0|𝑉0 = 𝑔|𝑉0 ; e 𝑔0(𝜓(𝑉 )∖𝑉1) = {0}. Denotemos 𝜓−1(𝑉0) e 𝜓−1(𝑉1) por 𝑈0e 𝑈1.

Uma vez que 𝑈1 ⊂ 𝑉 , 𝑉 e 𝑀∖𝑈1 são dois abertos de 𝑀 tais que 𝑀 = 𝑉 ∪ (𝑀∖𝑈1). Assim,como 𝑔0 ∘ 𝜓(𝑉 ∖𝑈1) = 𝑔0(𝜓(𝑉 )∖𝑉1) = {0}, podemos definir uma função 𝑓 : 𝑀 → R tomando𝑓 |𝑉 = 𝑔0 ∘ 𝜙−1 e 𝑓 |𝑀∖𝑈1

= 0. Como 𝑓 é suave tanto em 𝑉 quanto em 𝑀∖𝑈1, devemos ter que𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀).

Por fim,𝑓 |𝑈0 = 𝑔0 ∘ 𝜓|𝑈0 = 𝑔 ∘ 𝜓|𝑈0 = 𝑓 |𝑈0 .

(ii)

28

Consideremos uma carta suave (𝑉, 𝜓) tal que 𝑝 ∈ 𝑉 ⊂ 𝑈 . Pelo item (ii) do Lema 1.3.2,existem uma função suave 𝑏0 : 𝜙(𝑉 ) → R e um aberto 𝑉0 ⊂ R𝑛 tais que: 𝜙(𝑝) ∈ 𝑉0 ⊂ 𝑉0 ⊂ 𝜙(𝑉 );𝑏0(𝜙(𝑝)) = 0; e 𝑏0(𝜙(𝑉 )∖𝑉0) = {1}. Denotemos 𝜙−1(𝑉0) por 𝑈0.

Uma vez que 𝑈0 ⊂ 𝑉 , 𝑉 e 𝑀∖𝑈0 são dois abertos de 𝑀 tais que 𝑀 = 𝑉 ∪(𝑀∖𝑈0). Assim, como𝑏0 ∘ 𝜓(𝑉 ∖𝑈0) = 𝑏0(𝜓(𝑉 )∖𝑉0) = {1}, podemos definir uma função 𝑏 : 𝑀 → R tomando 𝑏|𝑉 = 𝑏0 ∘ 𝜓e 𝑏|𝑀∖𝑈0

= 1. Como 𝑏 é suave tanto em 𝑉 como em 𝑀∖𝑈0 devemos ter que 𝑏 é suave.Por fim, 𝑏(𝑝) = 𝑏0 ∘ 𝜓(𝑝) = 0 e 𝑏(𝑀∖𝑈) ⊂ 𝑏(𝑀∖𝑈0) = {1}.

Para cada 𝑓 e 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑀), as funções 𝑓 ·𝑔 e 𝑓+𝑔 : 𝑀 → R, definidas por 𝑓 ·𝑔(𝑝) = 𝑓(𝑝) ·𝑔(𝑝) e(𝑓 + 𝑔)(𝑝) = 𝑓(𝑝) + 𝑔(𝑝), 𝑝 ∈ 𝑀 , são suaves. Com estas operações, 𝐶∞(𝑀) é um anel comutativo.Além disso, 𝐶∞(𝑀) é um espaço vetorial real com a soma de funçõe que acabamos de definir e amultiplicação por escalar definida, para cada 𝜆 ∈ R e 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), por (𝜆𝑓)(𝑝) = 𝜆𝑓(𝑝), 𝑝 ∈ 𝑀 .

Definição 1.3.4. Seja 𝑝 um ponto de uma variedade 𝑀 . Dizemos que uma transformação linear𝑋𝑝 : 𝐶∞(𝑀) → R é um vetor tangente em 𝑝 se, dadas funções suaves 𝑓 e 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑀), vale aigualdade

𝑋𝑝(𝑓 · 𝑔) = 𝑋𝑝(𝑓) · 𝑔(𝑝) + 𝑓(𝑝) ·𝑋𝑝(𝑔).

O espaço tangente de 𝑀 em 𝑝 é o espaço vetorial real, denotado por T𝑝𝑀 , formado por todos osvetores tangentes em 𝑝 (onde a soma e a multiplicação por escalares são as usuais empregadas emespaços vetorias de transformações lineares).

Exemplo 1.3.5. Para cada 𝑝 ∈ R𝑛, podemos definir os vetores 𝜕𝜕𝑥𝑖

𝑝

∈ T𝑝R𝑛, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛, pelaigualdade

𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

(𝑓) = 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖(𝑝), 𝑓 ∈ 𝐶∞(R𝑛).

Lema 1.3.6. Seja 𝑋𝑝 um vetor tangente em um ponto 𝑝 de uma variedade 𝑀 .

(i) Se 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀) é uma função constante então 𝑋𝑝(𝑓) = 0.

(ii) Se 𝑓 e 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑀) coincidem em um aberto 𝑈 de 𝑀 que contém 𝑝 então 𝑋𝑝(𝑓) = 𝑋𝑝(𝑔).

Demonstração. (i)

Primeiramente, consideremos o caso em que 𝑓 é a função constante igual à 1, denotada sim-plesmente por 1. Neste caso, temos que

𝑋𝑝(𝑓) = 𝑋𝑝(1) = 𝑋𝑝(1 · 1) = 𝑋𝑝(1) · 1(𝑝) + 1(𝑝) ·𝑋𝑝(1) = 2𝑋𝑝(1) = 2𝑋𝑝(𝑓)

e, consequentemente, 𝑋𝑝(𝑓) = 0.No caso geral, 𝑓 = 𝑐1 para algum 𝑐 ∈ R. Desta forma,

𝑋𝑝(𝑓) = 𝑐𝑋𝑝(1) = 𝑐 · 0 = 0.

(ii)

29

Pelo item (ii) do Lema 1.3.3, existe uma função suave 𝑏 ∈ 𝐶∞(𝑀) tal que 𝑏(𝑝) = 0 e 𝑏(𝑀∖𝑈) ={1}.

Seja ℎ a função suave 𝑓 − 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑀). Como ℎ|𝑈 = 0 e 𝑏|𝑀∖𝑈 = 1, temos que ℎ = 𝑏 ·ℎ. Assim,

𝑋𝑝(ℎ) = 𝑋𝑝(𝑏 · ℎ) = 𝑋𝑝(𝑏)ℎ(𝑝) + 𝑏(𝑝)𝑋𝑝(ℎ) = 𝑋𝑝(𝑏)0 + 0𝑋𝑝(ℎ) = 0

e, consequentemente,𝑋𝑝(𝑓) = 𝑋𝑝(𝑔 + ℎ) = 𝑋𝑝(𝑔) +𝑋𝑝(ℎ) = 𝑋𝑝(𝑔).

Na demonstração da próxima proposição utilizamos um resultado de análise em espaços R𝑛, afórmula de Taylor: Se 𝑈 é um aberto convexo de R𝑛, 𝑝 = (𝑝1, . . . , 𝑝𝑛) ∈ 𝑈 e 𝑓 : 𝑈 → R é suaveentão

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝) +𝑛∑𝑖=1

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖(𝑝)(𝑥𝑖 − 𝑝𝑖) +

𝑛∑𝑖,𝑗=1

(𝑥𝑖 − 𝑝𝑖)(𝑥𝑗 − 𝑝𝑗)∫ 1

0(1 − 𝑡) 𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗(𝑝+ 𝑡(𝑥− 𝑝)) d 𝑡,

para todo 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ∈ 𝑈 .

Proposição 1.3.7. Os vetores tangentes 𝜕𝜕𝑥𝑖

𝑝, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛, formam uma base para o espaço

tangente T𝑝R𝑛 de R𝑛 em 𝑝 ∈ R𝑛.

Demonstração. O conjunto { 𝜕𝜕𝑥𝑖

𝑝} é linearmente independente em T𝑝R𝑛 pois se ∑𝑛

𝑖=1 𝜆𝑖 𝜕𝜕𝑥𝑖 = 0

então𝜆𝑗 =

𝑛∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕

𝜕𝑥𝑖(𝑥𝑗) = 0,

onde 𝑥𝑗 é a 𝑗-ésima funçao coordenada.Seja 𝑋𝑝 ∈ T𝑝R𝑛. Concluiremos que

𝑋𝑝 =𝑛∑𝑖=1

𝑋𝑝(𝑥𝑖)𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

mostrando que estes vetores coincidem em todo 𝑓 ∈ 𝐶∞(R𝑛). Observemos que

𝑋𝑝

((𝑥𝑖 − 𝑝𝑖)(𝑥𝑗 − 𝑝𝑗)

∫ 1

0(1 − 𝑡) 𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗(𝑝+ 𝑡(𝑥− 𝑝)) d 𝑡

)

= 𝑋𝑝(𝑥𝑖 − 𝑝𝑖)(𝑝𝑗 − 𝑝𝑗)∫ 1

0(1 − 𝑡) 𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗(𝑝+ 𝑡(𝑝− 𝑝)) d 𝑡

+(𝑝𝑖 − 𝑝𝑖)𝑋𝑝

((𝑥𝑗 − 𝑝𝑗)

∫ 1

0(1 − 𝑡) 𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗(𝑝+ 𝑡(𝑥− 𝑝)) d 𝑡

)

= 𝑋𝑝(𝑥𝑖 − 𝑝𝑖)0 + 0𝑋𝑝

((𝑥𝑗 − 𝑝𝑗)

∫ 1

0(1 − 𝑡) 𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗(𝑝+ 𝑡(𝑥− 𝑝)) d 𝑡

)= 0

30

e, consequentemente,

𝑋𝑝

⎛⎝ 𝑛∑𝑖,𝑗=1

(𝑥𝑖 − 𝑝𝑖)(𝑥𝑗 − 𝑝𝑗)∫ 1

0(1 − 𝑡) 𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗(𝑝+ 𝑡(𝑥− 𝑝)) d 𝑡

⎞⎠ = 0.

Além disso, pelo Lema 1.3.6, 𝑋𝑝(𝑓(𝑝)) = 0 e 𝑋𝑝(𝑝𝑖) = 0. Então,

𝑋𝑝(𝑓) =

= 𝑋𝑝

⎛⎝𝑓(𝑝) +𝑛∑𝑖=1

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖(𝑝)(𝑥𝑖 − 𝑝𝑖) +

𝑛∑𝑖,𝑗=1

(𝑥𝑖 − 𝑝𝑖)(𝑥𝑗 − 𝑝𝑗)∫ 1

0(1 − 𝑡) 𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗(𝑝+ 𝑡(𝑥− 𝑝)) d 𝑡

⎞⎠= 𝑋𝑝

(𝑛∑𝑖=1

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖(𝑝)(𝑥𝑖 − 𝑝𝑖)

)

=𝑛∑𝑖=1

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖(𝑝)(𝑋𝑝(𝑥𝑖) −𝑋𝑝(𝑝𝑖))

=𝑛∑𝑖=1

𝑋𝑝(𝑥𝑖)𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖(𝑝)

=𝑛∑𝑖=1

𝑋𝑝(𝑥𝑖)𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

(𝑓)

=⎛⎝ 𝑛∑𝑖=1

𝑋𝑝(𝑥𝑖)𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

⎞⎠ (𝑓).

Observação 1.3.8. Dado um aberto 𝑈 de R𝑛, podemos definir os vetores tangentes 𝜕𝜕𝑥𝑖

𝑝, 𝑖 = 1,

. . . , 𝑛, em T𝑝 𝑈 , onde 𝑝 ∈ 𝑈 , da mesma forma que definimos em 𝑇𝑝R𝑛. Em especial para𝑈 = 𝐵(0, 1) (a bola aberta de raio 1 centrada em 0) a com os mesmos argumentos da Proposição1.3.7 podemos mostrar que { 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝}𝑛𝑖=1 é uma base de T𝑝𝐵(0, 1).

Suponhamos que 𝐹 : 𝑀 → 𝑁 seja um mapa suave. Como a composição de mapas suave éum mapa suave, dado 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑁), o mapa 𝑔 ∘ 𝐹 é um mapa suave em 𝑀 . Dado 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀 , atransformação linear 𝑌𝐹 (𝑝) : 𝐶∞(𝑁) → R, definida por

𝑌𝐹 (𝑝)(𝑔) = 𝑋𝑝(𝑔 ∘ 𝐹 ), 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑁),

é um vetor tangente em 𝐹 (𝑝). De fato, se 𝑓 e 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑁) então

𝑌𝐹 (𝑝)(𝑓 · 𝑔) = 𝑋𝑝((𝑓 · 𝑔) ∘ 𝐹 )= 𝑋𝑝((𝑓 ∘ 𝐹 ) · (𝑔 ∘ 𝐹 ))= 𝑋𝑝(𝑓 ∘ 𝐹 )(𝑔 ∘ 𝐹 )(𝑝) + (𝑓 ∘ 𝐹 )(𝑝)𝑋𝑝(𝑔 ∘ 𝐹 )= 𝑌𝐹 (𝑝)(𝑓)𝑔(𝐹 (𝑝)) + 𝑓(𝐹 (𝑝))𝑌𝐹 (𝑝)(𝑔).

Além disso, verifica-se que a aplicação que manda 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀 para 𝑌𝐹 (𝑝) ∈ T𝐹 (𝑝) 𝑁 é linear.

31

Definição 1.3.9. Seja 𝐹 : 𝑀 → 𝑁 um mapa suave entre variedades suaves. O diferencial de 𝐹em 𝑝 ∈ 𝑀 é a transformação linear 𝐹* : T𝑝𝑀 → T𝐹 (𝑝) 𝑁 , cuja imagem 𝐹*(𝑋𝑝) ∈ T𝐹 (𝑝) 𝑁 do vetortangente 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀 é definida por

(𝐹*(𝑋𝑝))(𝑔) = 𝑋𝑝(𝑓 ∘ 𝐹 ), 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑁).

Proposição 1.3.10. (i) Se 𝐹 : 𝑀1 → 𝑀2 e 𝐺 : 𝑀2 → 𝑀3 mapas suaves entre variedades então,em cada ponto 𝑝 ∈ 𝑀1, vale a igualdade (𝐹 ∘𝐺)* = 𝐹* ∘𝐺*;

(ii) (id𝑀)* = 1T𝑝 𝑀 (o diferencial do mapa identidade 𝑀 → 𝑀 no ponto 𝑝 ∈ 𝑀 é o mapaidentidade T𝑝𝑀 → T𝑝𝑀);

(iii) Se 𝐹 : 𝑀 → 𝑁 é um difeomorfismo então, para cada 𝑝 ∈ 𝑀 , 𝐹* : T𝑝 → T𝐹 (𝑝) 𝑁 é umisomorfismo linear e (𝐹*)−1 = (𝐹−1)*.

Demonstração.(i)

Seja 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀1. Para todo 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀3), temos que

(𝐹* ∘𝐺*(𝑋𝑝))(𝑓) = (𝐹*(𝐺*(𝑋𝑝)))(𝑓) = (𝐺*(𝑋𝑝))(𝑓 ∘ 𝐹 )= 𝑋𝑝((𝑓 ∘ 𝐹 ) ∘𝐺) = 𝑋𝑝(𝑓 ∘ (𝐹 ∘𝐺))= ((𝐹 ∘𝐺)*(𝑋𝑝))(𝑓).

Logo, 𝐹* ∘𝐺*(𝑋𝑝) = (𝐹 ∘𝐺)*(𝑋𝑝).

(ii)

Seja 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀 . Para todo 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀),

((id𝑀)*(𝑋𝑝))(𝑓) = 𝑋𝑝(𝑓 ∘ id𝑀) = 𝑋𝑝(𝑓) = ((1T𝑝 𝑀)(𝑋𝑝))(𝑓).

Logo, (id𝑀)*(𝑋𝑝) = (1T𝑝 𝑀)(𝑋𝑝).

(iii)

Segue dos itens (i) e (ii) que

𝐹* ∘ (𝐹−1)* = (𝐹 ∘ 𝐹−1)* = (id𝑀)* = 1T𝑝 𝑀 .

Como vimos no Exemplo 1.3.5, as derivadas particiais em relação às coordenadas de R emum ponto 𝑥 contido em um aberto �� de R𝑛 fornecem vetores tangentes 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑥

∈ T𝑥 �� . Assim, se(𝑈,𝜙) é uma carta suave do atlas de uma variedade 𝑀 tal que 𝜙(𝑈) = �� e 𝑥 = 𝜙(𝑝), temos que adiferencial (𝜙−1)* leva os vetores tangentes 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑥

∈ T𝑥 �� à vetores tangentes 𝜕𝜕𝑥𝑖

𝑝

∈ T𝑥𝑀 . Comoveremo a seguir, { 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝}𝑛𝑖=1 é uma base de T𝑝𝑀 da mesma forma que { 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑥}𝑛𝑖=1 é uma base de

T𝑥 �� (Observação 1.3.8).

32

Proposição 1.3.11. Seja 𝑀 uma variedade suave de dimensão 𝑛 e 𝑝 ∈ 𝑀 .

(i) Se 𝑈 é um aberto de 𝑀 então a diferencial da inclusão 𝑈 → 𝑀 é um isomorfismo linearT𝑝 𝑈 → T𝑝𝑀 ;

(ii) Os vetores tangentes 𝜕𝜕𝑥𝑖

𝑝, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛, (da imagem da diferencial (𝜙−1)*, onde 𝜙 = (𝑥𝑖) é

uma carta suave que contém 𝑝) formam uma base de T𝑝𝑀 .

Demonstração.(i)

Seja 𝑖 : 𝑈 → 𝑀 o mapa inclusão de 𝑈 em 𝑀 . Construiremos um mapa 𝜏 : T𝑝𝑀 → T𝑝 𝑈que é o mapa inverso do diferencial 𝑖* : T𝑝 𝑈 → T𝑝𝑀 , de onde poderemos concluir que 𝑖* é umisomorfismo.

Seja 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀 . Verificaremos que uma função 𝜏(𝑋𝑝) : 𝐶∞(𝑈) → R fica bem definida, em𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑈), pela igualdade

(𝜏(𝑋𝑝))(𝑔) = 𝑋𝑝(𝑔),onde 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑀) coincide com 𝑔 um aberto �� de 𝑀 tal que 𝑝 ∈ �� ⊂ 𝑈 . Primeiramente, peloLema 1.3.3, sempre existem um aberto �� e uma função 𝑔 tais que 𝑝 ∈ �� ⊂ 𝑈 e 𝑔|�� = 𝑔|�� . Alémdisso, (𝜏(𝑋𝑝))(𝑔) não depende da escolha de �� ou de 𝑔. De fato, se 𝑔1 e 𝑔2 ∈ 𝐶∞(𝑀), ��1 e ��2 sãoabertos de 𝑀 tais que 𝑝 ∈ ��1, ��2 ⊂ 𝑈 , 𝑔|��1

= 𝑔1|��1e 𝑔|��2

= 𝑔1|��2então 𝑝 ∈ �� := ��1 ∩ ��2 ⊂ 𝑀 ,

𝑔1|�� = 𝑔2|�� e, pelo Lema 1.3.6(ii), 𝑋𝑝(𝑔1) = 𝑋𝑝(𝑔2).Para concluirmos que 𝜏(𝑋𝑝) : 𝐶∞(𝑈) → R, 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀 , como definido acima, é de fato um

vetor tangente à 𝑝 em 𝑀 , devemos verificar que, para 𝑔1 e 𝑔2 ∈ 𝐶∞(𝑈) e 𝜆 ∈ R, valem as igualdades

(𝜏(𝑋𝑝))(𝑔1 + 𝜆𝑔2) = (𝜏(𝑋𝑝))(𝑔1) + 𝜆(𝜏(𝑋𝑝))(𝑔2)

e(𝜏(𝑋𝑝))(𝑔1 · 𝑔2) = (𝜏(𝑋𝑝))(𝑔1)𝑔2(𝑝) + 𝑔1(𝑝)(𝜏(𝑋𝑝))(𝑔2).

Consideremos �� um aberto de 𝑀 tal que 𝑝 ∈ �� ⊂ 𝑀 e 𝑔1 e 𝑔2 ∈ 𝐶∞(𝑀) tais que 𝑔1|�� = 𝑔1|�� e𝑔1|�� = 𝑔1|�� . Desta forma devemos ter que

(𝑔1 + 𝜆𝑔2)|�� = (𝑔1 + 𝜆𝑔2)|��

e(𝑔1 · 𝑔2)|�� = (𝑔1 · 𝑔2)|�� .

Logo,

(𝜏(𝑋𝑝))(𝑔1 + 𝜆𝑔2) = 𝑋𝑝(𝑔1 + 𝜆𝑔2) = 𝑋𝑝(𝑔1) + 𝜆𝑋𝑝(𝑔2) = (𝜏(𝑋𝑝))(𝑔1) + 𝜆(𝜏(𝑋𝑝))(𝑔2)

e(𝜏(𝑋𝑝))(𝑔1 · 𝑔2) = 𝑋𝑝(𝑔1 · 𝑔2)

= 𝑋𝑝(𝑔1)𝑔2(𝑝) + 𝑔1(𝑝)𝑋𝑝(𝑔2)= (𝜏(𝑋𝑝))(𝑔1)𝑔2(𝑝) + 𝑔1(𝑝)(𝜏(𝑋𝑝))(𝑔2).

33

Assim, concluimos que o mapa 𝜏 : T𝑝𝑀 → T𝑝 𝑈 está bem definido. Segue diretamente daexpressão de 𝜏(𝑋𝑝) acima que o mapa 𝜏 é uma transformação linear.

Por fim, concluimos que 𝑖* ∘ 𝜏 = 1T𝑝 𝑀 pois, dados 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀 e 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), temos que

((𝑖* ∘ 𝜏)(𝑋𝑝))(𝑓) = (𝑖*(𝜏(𝑋𝑝))(𝑓) = 𝜏(𝑋𝑝)(𝑓 |𝑈) = 𝑋𝑝(𝑓) = (1T𝑝 𝑀(𝑋𝑝))(𝑓).

(ii)

Consideremos uma carta suave 𝜙 : 𝑈 → �� em 𝑀 tal que 𝑝 ∈ 𝑈 e 𝑥𝑖 são as funções coordenadas.Como 𝜙 : 𝑈 → �� é um difeomorfismo, temos, pela Proposição 1.3.10, que (𝜙−1)* : T𝜙(𝑝) �� → T𝑝 𝑈é um isomorfismo. E, pelo item anterior, 𝑖* : T𝑝 𝑈 → T𝑝𝑀 também é um isomorfismo. Logo,𝑖* ∘ (𝜙−1)* : T𝜙(𝑝) �� → T𝑝𝑀 é um isomorfismo. Sendo { 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

}dim𝑀𝑖=1 uma base de T𝜙(𝑝) �� (veja a

Proposição 1.3.7), a sua imagem { 𝜕𝜕𝑥𝑖

𝑝}dim𝑀𝑖=1 pelo isomorfismo 𝑖* ∘(𝜙−1)* é uma base de T𝑝𝑀 .

Pelo item (i) da Proposição 1.3.11, podemos identificar T𝑝 𝑈 e T𝑝𝑀 quando 𝑈 for um abertoda variedade suave 𝑀 e 𝑝 ∈ 𝑈 . Em particular, se (𝑈,𝜙) é uma carta suave assumiremos que odomínio de (𝜙−1)* é T𝑝𝑀 .

Seja 𝑋𝑝 um vetor tangente à um ponto 𝑝 de uma variedade 𝑀 de dimensão 𝑚. Tomando umacarta suave (𝑈, (𝑥𝑖)), com 𝑝 ∈ 𝑈 , temos, do item (ii) da Proposição 1.3.11, que existem 𝜆𝑖 ∈ R taisque,

𝑋𝑝 =𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

.

Como𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

(𝑥𝑗) ={

1, 𝑖 = 𝑗;0, 𝑖 = 𝑗;

devemos ter que

𝜆𝑗 =𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

(𝑥𝑗) = 𝑋𝑝(𝑥𝑗).

Com isso, concluímos que todo vetor tangente 𝑋𝑝 à um ponto 𝑝 e em uma variedade 𝑀 dedimensão 𝑚 é descrito por uma carta (𝑈, (𝑥𝑖)), com 𝑝 ∈ 𝑈 , por

𝑋𝑝 =𝑚∑𝑖=1

𝑋𝑝(𝑥𝑖)𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

.

Exemplo 1.3.12. Seja 𝑝 um ponto de uma variede suave 𝑀 , de dimensão 𝑚, e 𝑋𝑃 um vetor

tangente à 𝑀 em 𝑝. Existe uma curva suave 𝛾 : (−𝜀, 𝜀) → 𝑀 tal que 𝛾(0) = 𝑝 e 𝛾*

(dd 𝑡

0

)= 𝑋𝑝.

De fato, seja (𝑈,𝜙) uma carta suave em 𝑀 , com funções coordenadas 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, . . . ,𝑚 , tal que𝑝 ∈ 𝑈 e 𝜙(𝑝) = 0 ∈ R𝑚. Consideremos uma curva 𝛾 : (−𝜀, 𝜀) → 𝑈 dada (para 𝜀 suficientementepequeno) por

𝛾(𝑡) = 𝑡(𝜆1, . . . , 𝜆𝑚), 𝑡 ∈ (−𝜀, 𝜀),

34

onde as coordenadas 𝜆𝑖 vem da igualdade

𝑋𝑝 = 𝜆1 𝜕

𝜕𝑥1

𝑝

+ · · · + 𝜆𝑚𝜕

𝜕𝑥𝑚

𝑝

.

Desta forma, tomando-se 𝛾 = 𝜙−1 ∘ 𝛾 temos, para toda 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), que(𝛾*

(dd 𝑡

0

))(𝑥𝑖) = d

d 𝑡

0

(𝑥𝑖 ∘ 𝜙−1 ∘ 𝛾) = d(𝑥𝑖 ∘ 𝜙−1 ∘ 𝛾)d 𝑡 (0) = 𝜆𝑖, 𝑖 = 1, . . . ,𝑚,

já que 𝑥𝑖 ∘ 𝜙−1 ∘ 𝛾(𝑡) = 𝑡𝜆𝑖, 𝑡 ∈ (−𝜀, 𝜀). Logo, concluimos que

𝛾(0) = 𝜙−1 ∘ 𝛾(0) = 𝜙−1(0) = 𝑝

e 𝛾*

(dd 𝑡

0

)= 𝑋𝑝 pois (

𝛾*

(dd 𝑡

0

))(𝑥𝑖) = 𝜆𝑖 = 𝑋𝑝(𝑥𝑖).

Proposição 1.3.13 (Regra da Cadeia). Seja 𝐹 : 𝑀 → 𝑁 um mapa suave entre as variedadessuaves 𝑀 , de dimensão 𝑚, e 𝑁 de dimensão 𝑛. Dados 𝑝 ∈ 𝑀 e cartas suaves (𝑈,𝜙) em 𝑀 e(𝑉, 𝜓) em 𝑁 , com funções coordenadas 𝑥𝑖 e 𝑦𝑗, respectivamente, e tais que 𝑝 ∈ 𝑈 e 𝐹 (𝑝) ∈ 𝑉 , odiferencial de 𝐹 em 𝑝 é descrito por

𝐹*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

⎞⎠ =𝑛∑𝑗=1

𝜕𝐹 𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝜙(𝑝)) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝐹 (𝑝)

,

onde 𝐹 𝑗 := 𝜕𝑦𝑗 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1.

Demonstração. Sejam �� := 𝜙(𝑈) ⊂ R𝑚 e 𝑉 := 𝜓(𝑉 ) ⊂ R𝑛 e consideremos as funções coordenadas��𝑖 ∈ 𝐶∞(��) e 𝑦𝑗 ∈ 𝐶∞(𝑉 ).

Como 𝐹 é suave, o mapa 𝜓 ∘𝐹 ∘𝜙−1 : 𝜙(𝑈 ∩𝐹−1(𝑉 )) → 𝜓(𝐹 (𝑈) ∩𝑉 ) também é suave e temoso diferencial (𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1)* : T𝜙(𝑝) �� → 𝑇𝜓∘𝐹 (𝑝)𝑉 . Sendo 𝑦𝑗 = 𝑦𝑗 ∘ 𝜓, temos que⎛⎝(𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1)*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

⎞⎠⎞⎠ (𝑦𝑗) = 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

(𝑦𝑗 ∘ 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1)

= 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

(𝑦𝑗 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1)

= 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

(𝐹 𝑗)

= 𝜕𝐹 𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝜙(𝑝)).

35

Assim,

(𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1)*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

⎞⎠ =𝑛∑𝑗=1

𝜕𝐹 𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝜙(𝑝)) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝜓∘𝐹 (𝑝)

.

Então,

𝐹*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

⎞⎠ = (𝜓−1)* ∘ (𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1)* ∘ 𝜙*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

⎞⎠= (𝜓−1)* ∘ (𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1)*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

⎞⎠= (𝜓−1)* ∘ (𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1)*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

⎞⎠= (𝜓−1)*

⎛⎝ 𝑛∑𝑗=1

𝜕𝐹 𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝜙(𝑝)) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝜓∘𝐹 (𝑝)

⎞⎠=

𝑛∑𝑗=1

𝜕𝐹 𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝜙(𝑝)) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝐹 (𝑝)

.

Corolário 1.3.14. Seja 𝑝 um ponto em uma variedade suave 𝑀 de dimensão 𝑚. Se (𝑈, (𝑥𝑖)) e(𝑉, (𝑦𝑗)) são cartas suaves em 𝑀 com 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 então

𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

=𝑚∑𝑗=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝑝

,

onde𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) = 𝜕(𝑦𝑗 ∘ 𝜙−1)

𝜕𝑥𝑖(𝜙(𝑝)).

Demonstração. Sejam 𝜙 = (𝑥𝑖) e 𝜓 = (𝑦𝑗). Pela Regra da Cadeia, temos que

(𝜓 ∘ 𝜙−1)*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

⎞⎠ =𝑚∑𝑗=1

𝜕(𝜓 ∘ 𝜙−1)𝑗𝜕𝑥𝑖

(𝜙(𝑝)) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝜓(𝑝)

=𝑚∑𝑗=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝜓(𝑝)

.

Assim,𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

= (𝜙−1)*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

⎞⎠= (𝜓−1)* ∘ (𝜓 ∘ 𝜙−1)*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

⎞⎠= (𝜓−1)*

⎛⎝ 𝑚∑𝑗=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝜓(𝑝)

⎞⎠=

𝑚∑𝑗=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝑝

.

36

1.4 Fibrados TangentesSeja 𝑀 uma variedade suave de dimensão 𝑚. Esta seção será dedicada a construir uma estru-

tura de variedade suave no fibrado tangente de 𝑀 que definiremos a seguir.

Definição 1.4.1. O conjuntoT𝑀 :=

⨆𝑝∈𝑀

T𝑝𝑀.

munido do mapa 𝜋 : T𝑀 → 𝑀 , dado por

𝜋(𝑋𝑝) = 𝑝, 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀 ⊂ T𝑀,

é chamado de fibrado tangente de 𝑀 .

O mapa 𝜋 : T𝑀 → 𝑀 é chamado de projeção do fibrado tangente. Com a estrutura devariedade suave que daremos a T𝑀 , a projeção será um mapa suave.

Seja (𝑈,𝜙) uma carta suave em 𝑀 com funções coordenadas 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, . . . , 𝑚. Consideremoso mapa 𝜙 : 𝜋−1(𝑈) → 𝑈 × R𝑚 definido por

𝜙(𝑋𝑝) = (𝑝, (𝜆1, . . . , 𝜆𝑚)), 𝑋𝑝 =𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

∈ T𝑝𝑀, 𝑝 ∈ 𝑈.

Pelo fato de { 𝜕𝜕𝑥𝑖

𝑝}𝑚𝑖=1 ser uma base de T𝑝𝑀 , 𝜙 é uma bijeção. Denotando por 𝜋1 : 𝑈 ×R𝑚 → 𝑀

o mapa descrito por𝜋1(𝑝, 𝑣) = 𝑝, (𝑝, 𝑣) ∈ 𝑈 × R𝑚 → 𝑀,

temos que o diagrama𝜋−1(𝑈) 𝜙 //

𝜋##

𝑈 × R𝑚

𝜋1{{

𝑈

é comutativo.Os mapas 𝜙 : 𝜋−1(𝑈) → 𝑈 × R𝑚 construídos a partir de uma carta suave (𝑈,𝜙) de 𝑀 como

acima são chamados de trivializações locais de T𝑀 .Suponhamos que (𝑈,𝜙) e (𝑉, 𝜓) sejam outra carta suaves em 𝑀 , tais que 𝑈 ∩ 𝑉 = ∅, com

funções coordenadas 𝑥𝑖 e 𝑦𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1, . . . ,𝑚, e 𝜙 : 𝜋−1(𝑈) → 𝑈×R𝑚 e 𝜓 : 𝜋−1(𝑉 ) → 𝑉 ×R𝑚 sejama trivializações local de T𝑀 dadas por

𝜙(𝑋𝑝) = (𝑝, (𝜆1, . . . , 𝜆𝑚)), 𝑋𝑝 =𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

∈ T𝑝𝑀, 𝑝 ∈ 𝑈,

e𝜓(𝑋𝑝) = (𝑝, (𝜇1, . . . , 𝜇𝑚)), 𝑋𝑝 =

𝑚∑𝑖=1

𝜇𝑗𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝑝

∈ T𝑝𝑀, 𝑝 ∈ 𝑉.

37

Pela regra da cadeia temos, para (𝑝, 𝑣) ∈ (𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚, que

𝜓 ∘ 𝜙−1(𝑝, (𝜆1, . . . , 𝜆𝑚)

)= 𝜓

⎛⎝ 𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

⎞⎠= 𝜓

⎛⎝ 𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖

⎛⎝ 𝑚∑𝑗=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝑝

⎞⎠⎞⎠= 𝜓

⎛⎝ 𝑚∑𝑗=1

(𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝))

𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝑝

⎞⎠=

(𝑝,

(𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕𝑦1

𝜕𝑥𝑖(𝑝), . . . ,

𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕𝑦𝑚

𝜕𝑥𝑖(𝑝)))

Como as funções𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖:= 𝜕(𝑦𝑗 ∘ 𝜙−1)

𝜕𝑥𝑖∘ 𝜙

são suaves em 𝑈 ∩ 𝑉 , segue da expressão acima que 𝜓 ∘ 𝜙−1 : (𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚 → (𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑛 ésuave. Além disso, 𝜓 ∘ 𝜙−1 é um difeomorfismo tendo 𝜙 ∘ 𝜓−1 como inverso.

Dado uma carta suaves (𝑈,𝜙) em 𝑀 , a trivialização 𝜙 : 𝜋−1(𝑈) → 𝑈×R𝑚 induz uma topologia𝜏𝜋−1(𝑈) em 𝜋−1(𝑈). Esta topologia é a única que faz de 𝜙 um homeomorfismo e é definida por𝜏𝜋−1(𝑈) := {𝒰 ⊂ 𝜋−1(𝑈) : 𝜙(𝒰) é aberto em 𝑈 × R𝑚}.

Se (𝑈,𝜙) e (𝑉, 𝜓) são cartas suaves em 𝑀 e 𝒰 é um aberto de 𝜋−1(𝑈) (com a topologia𝜏𝜋−1(𝑈)) então 𝒰 ∩ 𝜋−1(𝑉 ) é um aberto em 𝜋−1(𝑉 ) (com a topologia 𝜏𝜋−1(𝑉 )). De fato, como𝜙(𝒰) é aberto em 𝑈 × R𝑚, 𝜙(𝒰) ∩

((𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚

)é aberto em (𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚. Logo, já que

𝜓 ∘ 𝜙−1 : (𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚 → (𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚 é um homeomorfismo,

𝜓(𝒰 ∩ 𝜋−1(𝑉 )) = (𝜓 ∘ 𝜙−1)(𝜙(𝒰) ∩

((𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚

))é um aberto de 𝑉 × R𝑚. Ou seja, 𝒰 ∩ 𝜋−1(𝑉 ) é aberto em 𝜋−1(𝑉 ).

O conjunto T𝑀 admite uma topologia 𝜏 na qual os abertos são os subconjuntos 𝒲 de T𝑀 taisque, para toda carta suave (𝑈,𝜙) de 𝑀 , 𝒲 ∩ 𝜋−1(𝑈) seja aberto em (𝜋−1(𝑈), 𝜏𝜋−1(𝑈)). Segue doparágrafo anterior que, dada uma carta suave (𝑈,𝜙) de 𝑀 , a topologia de 𝜋−1(𝑈) como subespaçode (T𝑀, 𝜏) é a mesma que a de (𝜋−1(𝑈), 𝜏𝜋−1(𝑈)).

Por fim, construiremos um atlas suave para T𝑀 , utilizando as trivializações locais, de modoque T𝑀 seja uma variedade de dimensão 2𝑚.

Seja (𝑈,𝜙) uma carta suave em 𝑀 . Como 𝜙 : 𝑈 → 𝜙(𝑈) é um homeomorfismo, o mapa𝜙× 1R𝑚 : 𝑈 × R𝑚 → 𝜙(𝑈) × R𝑚, dado por

(𝜙× 1R𝑚)(𝑝, 𝑣) =(𝜙(𝑝), 𝑣

), (𝑝, 𝑣) ∈ 𝑈 × R𝑚,

é um homeomorfismo. Assim, (𝑈,𝜙) induz uma carta (𝜋−1(𝑈),Φ) definida por

Φ := (𝜙× 1R𝑚) ∘ 𝜙 : 𝜋−1(𝑈) → 𝜙(𝑈) × R𝑚.

38

Suponhamos que (𝜋−1(𝑈),Φ) e (𝜋−1(𝑉 ),Ψ) sejam as cartas induzidas, respectivamente, pelascartas suaves (𝑈,𝜙) e (𝑉, 𝜓) em 𝑀 . Desta forma, dado (𝑥, (𝜆1, . . . , 𝜆𝑚)) ∈ 𝜙(𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚,

Ψ ∘ Φ−1(𝑥, (𝜆1, . . . , 𝜆𝑚)

)= (𝜓 × 1R𝑚) ∘ (𝜓 ∘ 𝜙−1) ∘ (𝜙−1 × 1R𝑚)

(𝑥, (𝜆1, . . . , 𝜆𝑚)

)= (𝜓 × 1R𝑚) ∘ (𝜓 ∘ 𝜙−1)

(𝜙−1(𝑥), (𝜆1, . . . , 𝜆𝑚)

)= (𝜓 × 1R𝑚)

(𝜙−1(𝑥),

(𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕𝑦1

𝜕𝑥𝑖(𝑝), . . . ,

𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕𝑦𝑚

𝜕𝑥𝑖(𝑝)))

=(𝜓 ∘ 𝜙−1(𝑥),

(𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕𝑦1

𝜕𝑥𝑖(𝑝), . . . ,

𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕𝑦𝑚

𝜕𝑥𝑖(𝑝)))

.

Segue da expressão acima que Ψ ∘ Φ−1 : 𝜙(𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚 → 𝜓(𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚 é um mapa suave.Portanto, as cartas em T𝑀 induzidas por cartas suaves em 𝑀 formam um atlas suave em

T𝑀 . Assim, com o atlas maximal que contém o atlas que acabamos de construir, T𝑀 é umavariedade suave de dimensão 2𝑚.

Definição 1.4.2. Seja 𝑀 uma variedade suave. Um mapa suave 𝑋 : 𝑀 → T𝑀 é dito um campovetorial em 𝑀 se o diagrama

T𝑀

𝜋��

𝑀 id𝑀

//

𝑋

<<

𝑀

é comutativo. Para simplificar a notação, denotaremos 𝑋(𝑝) simplesmente por 𝑋𝑝. O conjunto detodos os campos vetoriais em 𝑀 é denotado por Γ(T𝑀).

Um mapa 𝑋 : 𝑀 → T𝑀 definido em uma variedade 𝑀 é dito uma seção do fibrado tangentese 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀 , 𝑝 ∈ 𝑀 .

Seja 𝑋 uma seção do fibrado tangente de uma variedade 𝑀 de dimensão 𝑚.Em uma carta suave (𝑈, (𝑥𝑖)) de 𝑀 , 𝑋 é descrito pelas funções 𝑋 𝑖 : 𝑀 → R, 𝑖 = 1, . . . ,𝑚 ,

definidas pela igualdade

𝑋𝑝 = 𝑋1(𝑝) 𝜕

𝜕𝑥1

𝑝

+ · · · +𝑋𝑚(𝑝) 𝜕

𝜕𝑥𝑚

𝑝

, 𝑝 ∈ 𝑈.

Tais funções são chamadas de funções coordenadas de 𝑋 na carta (𝑈, (𝑥𝑖)).Dada uma função suave 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑈) em um aberto 𝑈 de 𝑀 , podemos definir uma função

𝑋𝑓 : 𝑈 → R definindo(𝑋𝑓)(𝑝) = 𝑋𝑝𝑓, 𝑝 ∈ 𝑈

(observe que a definição acima faz sentido graças a identificação T𝑝 𝑈 = T𝑝𝑀 feita pela Proposição1.3.11). Segue que as funções coordenadas de 𝑋 na carta (𝑈, (𝑥𝑖)) são justamente 𝑋 𝑖 = 𝑋𝑥𝑖,𝑖 = 1, . . . ,𝑚.

Proposição 1.4.3. Seja 𝑋 uma seção do fibrado tangente de uma variedade suave 𝑀 de dimensão𝑚. São equivalentes as seguintes afirmações:

39

(i) 𝑋 é um campo vetorial;

(ii) As funções coordenadas de 𝑋 em qualquer carta suave de 𝑀 são suaves.

(iii) 𝑋𝑓 é uma função suave para toda função suave 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀);

Demonstração.(i)⇔(ii)

Dada uma carta suave (𝑈,𝜙) em 𝑀 , temos uma carta suave (𝜋−1(𝑈),Φ) em T𝑀 tal que

Φ ∘𝑋 ∘ 𝜙−1(𝑥) =(𝑥,(𝑋1 ∘ 𝜙−1(𝑥), . . . , 𝑋𝑚 ∘ 𝜙−1(𝑥)

)), 𝑥 ∈ 𝜙(𝑈),

onde 𝑋 𝑖, 𝑖 = 1, . . . ,𝑚, são as funções coordenadas de 𝑋 em (𝑈,𝜙). Desta forma, concluimos queΦ ∘ 𝑋 ∘ 𝜙−1 : 𝜙(𝑈) → 𝜙(𝑈) × R𝑛 é suave se e somente se 𝑋 𝑖 ∘ 𝜙−1 : 𝜙(𝑈) → R, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 , sãosuaves. Logo, 𝑋 é suave em 𝑈 se e somente se 𝑋 𝑖 : 𝑈 → R, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛, são suaves.

Portanto, 𝑋 é suave se e somente se as funções coordenadas de 𝑋 em qualquer carta são suaves.

(ii)⇒(iii)

Seja 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀).Dada uma carta suave (𝑈,𝜙) em 𝑀 , com funções coordenadas 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, . . . ,𝑚 , temos que

(𝑋𝑓)(𝜙−1(𝑥)) =⎛⎝𝑋1(𝜙−1(𝑥)) 𝜕

𝜕𝑥1

𝜙−1(𝑥)

+ · · · +𝑋𝑚(𝜙−1(𝑝)) 𝜕

𝜕𝑥𝑚

𝜙−1(𝑥)

⎞⎠ (𝑓)

= 𝑋1 ∘ 𝜙−1(𝑥)𝜕(𝑓 ∘ 𝜙−1)𝜕𝑥1 (𝑥) + · · · +𝑋𝑚 ∘ 𝜙−1(𝑥)𝜕(𝑓 ∘ 𝜙−1)

𝜕𝑥𝑚(𝑥),

para todo 𝑥 ∈ 𝜙(𝑈), onde 𝑋 𝑖, 𝑖 = 1, . . . ,𝑚 , são as funções coordenadas de 𝑋. Como 𝑋 𝑖 ∘ 𝜙−1 e𝜕𝑓∘𝜙−1

𝜕𝑥1 são funções suaves em 𝜙(𝑈), segue que (𝑋𝑓) ∘𝜙−1 é suave em 𝜙(𝑈). Logo, 𝑋𝑓 é suave em𝑈 .

Portanto, 𝑋𝑓 é suave em qualquer carta de 𝑀 e, por isso, é suave em 𝑀 .

(ii)⇐(iii)

Sejam (𝑈,𝜙) uma carta suave em 𝑀 , com funções coordenadas 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, . . . ,𝑚 , e 𝑋 𝑖, 𝑖 =1, . . . ,𝑚 , as funções coordenadas de 𝑋 em

Provaremos que para cada 𝑝 ∈ 𝑈 existe um um aberto 𝑈0 de 𝑈 tal que 𝑝 ∈ 𝑈0 ⊂ 𝑈 e 𝑋 𝑖|𝑈0 ésuave. De onde poderemos concluir que 𝑋 𝑖 ∈ 𝐶∞(𝑈).

Pelo Lema 1.3.3, exitem um aberto 𝑈0 em 𝑈 e uma função suave 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀) tais que 𝑝 ∈𝑈0 ⊂ 𝑈 e 𝑓 |𝑈0 = 𝑥𝑖|𝑈0 . Assim, pelo Lema 1.3.6, temos que

(𝑋𝑓)(𝑞) = 𝑋𝑞(𝑓) = 𝑋𝑞(𝑥𝑖) = (𝑋𝑥𝑖)(𝑞), 𝑞 ∈ 𝑈0.

40

Logo,𝑋 𝑖|𝑈0 = (𝑋𝑥𝑖)|𝑈0 = (𝑋𝑓)|𝑈0 .

Como 𝑋𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), concluimos que 𝑋 𝑖|𝑈0 é suave.

Com a proposição acima, podemos munir o conjunto Γ(T𝑀) dos campos vetoriais em umavariedade 𝑀 de uma estrutura de espaço vetorial definindo, para cada 𝑋 e 𝑌 ∈ Γ(T𝑀) e 𝜆 ∈ R,

(𝜆𝑋)𝑝(𝑓) := 𝜆𝑋𝑝(𝑓), 𝑝 ∈ 𝑀, 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀),

e(𝑋 + 𝑌 )𝑝(𝑓) := 𝑋𝑝(𝑓) + 𝑌𝑝(𝑓), 𝑝 ∈ 𝑀, 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀).

Seja 𝑆 uma subvariedade mergulhada de uma variedade suave 𝑀 . Para cada 𝑝 ∈ 𝑆, o diferencial𝑖* : T𝑝 𝑆 → T𝑝𝑀 da inclusão de 𝑆 em𝑀 é um monomorfismo linear. Com isso, podemos identificarT𝑝 𝑆 com a sua imagem 𝑖* T𝑝𝑀 em T𝑝𝑀 . Desta forma, podemos considerar também o fibradotangente T𝑆 como um subconjunto T𝑀 .

Proposição 1.4.4. Sejam 𝑀 uma variedade suave e 𝑆 uma subvariedade mergulhada de 𝑆. Ofibrado tangente T𝑆 é uma subvariedade mergulhada de T𝑀 .

Demonstração. Sejam 𝑚 = dim𝑀 , 𝑑 = dim𝑆 e 𝑖 : 𝑆 → 𝑀 o mapa inclusão de 𝑆 em 𝑀 .Para provarmos que T𝑆 é uma subvariedade mergulhada de T𝑀 , utilizaremos a caracterização

de subvariedades mergulhadas dada na Proposição 1.1.34.Consideremos 𝑋𝑝 ∈ T𝑝 ⊂ T𝑆.Tomemos (𝑉, 𝜓) uma carta suave de 𝑀 tal que 𝑝 ∈ 𝑉 e

𝑆 ∩ 𝑉 = 𝜓−1({(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈ 𝜓(𝒱) : 𝑥𝑑+1 = · · · = 𝑥𝑚 = 0}).

Pela construção de T𝑀 , esta carta induz uma carta suave (𝜋−1(𝑉 ),Ψ) em T𝑀 dada por

Ψ⎛⎝ 𝑚∑𝑖=1

𝑣𝑖𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑞

⎞⎠ = (𝜓(𝑞), 𝑣1, . . . , 𝑣𝑚).

As funções coordenadas 𝑥1, . . . , 𝑥𝑚 de (𝜋−1(𝑉 ),Ψ) são as funções coordenadas de (𝑉, 𝜓)enquanto que as funções coordenadas 𝑣1, . . . , 𝑣𝑚 são dadas por

𝑣𝑗(𝑌𝑞) = 𝑌𝑞(𝑥𝑗), 𝑌𝑞 ∈ 𝜋−1(𝑉 ).

Desta forma, se 𝑗 > 𝑑 e 𝑌𝑞 = 𝑖*𝑌𝑞 ∈ T𝑆 ∩ 𝜋−1(𝑉 ) então

𝑣𝑗(𝑌𝑞) = 𝑌𝑞(𝑥𝑗) = 𝑖*𝑌𝑞(𝑥𝑗) = 𝑌𝑞(𝑥𝑗 ∘ 𝑖) = 𝑌𝑞(0) = 0.

Por outro lado, se 𝑌𝑞 ∈ 𝜋−1(𝑉 ) é tal que

𝑣𝑑+1(𝑌𝑞) = · · · = 𝑣𝑚(𝑌𝑞) = 0

41

então𝑌𝑞 =

𝑚∑𝑖=1

𝑣𝑖(𝑌𝑞)𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑞

=𝑑∑𝑖=1

𝑣𝑖(𝑌𝑞)𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑞

∈ T𝑞 𝑆 ⊂ T𝑆.

Logo,

T𝑆∩𝜋−1(𝑉 ) = Ψ−1({(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚, 𝑣1, . . . , 𝑣𝑚) ∈ Ψ(𝜋−1(𝑉 )) : 𝑥𝑑+1 = · · · = 𝑥𝑚 = 0 = 𝑣𝑑+1 = · · · = 𝑣𝑚 = 0}).

Portanto, pela Proposição 1.1.34, T𝑆 é uma subvariedade mergulhada de T𝑀 .

1.5 Álgebras de LieDefinição 1.5.1 (Álgebra de Lie). Seja g um K-espaço vetorial munido de uma aplicação [·, ·] :g × g → g tal que

(i) [·, ·] é bilinear e alternada;

(ii) Para cada 𝑋, 𝑌 e 𝑍 ∈ g vale a identidade de Jacobi:

[𝑋, [𝑌, 𝑍]] + [𝑌, [𝑍,𝑋]] + [𝑍, [𝑋, 𝑌 ]] = 0.

Neste caso, dizemos que (g, [·, ·]) é uma álgebra de Lie.

Exemplo 1.5.2. Seja K um corpo e gl(𝑛,K) o espaço vetorial das matrizes 𝑛 × 𝑛 com entradasem K. Temos que o comutador [·, ·] : gl(𝑛,K) × gl(𝑛,K) → gl(𝑛,K), definido por

[𝑋, 𝑌 ] = 𝑋 ∘ 𝑌 − 𝑌 ∘𝑋, 𝑋, 𝑌 ∈ gl𝑛(K),

fornece uma estrutura de álgebra de Lie para gl(𝑛,K).

Naturalmente, temos uma noção de categoria para a estrutura definida acima:

Definição 1.5.3 (homomorfismo de álgebras de Lie). Sejam g e h álgebras de Lie sobre um corpoK e 𝜙 : g → h uma transformação linear que satisfaz

𝜙[𝑋, 𝑌 ] = [𝜙𝑋,𝜙𝑌 ],

para todos 𝑋 e 𝑌 ∈ g. Dizemos que 𝜙 é um homomorfismo de álgebras de Lie. Se, além disso, 𝜙for bijetiva dizemos que 𝜙 é um isomorfismo de álgebras de Lie. Quando h = gl(𝑉 ), para algumespaço K-vetorial 𝑉 , dizemos que 𝜙 é uma representação de g em 𝑉 .

Exemplo 1.5.4 (representação adjunta). Seja ad : g → gl(g) a transformação linear dada por

ad(𝑋)𝑌 = [𝑋, 𝑌 ],

para todo 𝑋, 𝑌 ∈ g. A identidade de Jacobi garante que ad é uma representação de g.

42

Seja 𝐺 um grupo de Lie. Como a multiplicação em 𝐺 é suave, para cada 𝑔 ∈ 𝐺, temos umdifeomorfismo 𝐸𝑔 : 𝐺 → 𝐺, definido por 𝐸𝑔(ℎ) = 𝑔ℎ, ℎ ∈ 𝐺. Com isso, temos (veja a Proposição1.3.10) isomorfismos lineares (𝐸𝑔)* : 𝑇ℎ𝐺 → 𝑇𝑔ℎ𝐺, 𝑔 e ℎ ∈ 𝐺.

Definição 1.5.5 (Campos Invariantes à Esquerda). Seja 𝑋 um campo vetorial em um grupo deLie 𝐺. Dizemos que 𝑋 é um campo invariante à esquerda se, para cada 𝑔 e 𝑔′ ∈ 𝐺, tem-se

(𝐸𝑔)*𝑋𝑔′ = 𝑋𝑔𝑔′ ,

onde 𝑋ℎ ∈ 𝑇ℎ𝐺 denota a imagem do elemento ℎ ∈ 𝐺 pelo campo 𝑋 em 𝐺. Denotamos por Lie(𝐺)o conjunto dos campos invariantes à esquerda em 𝐺.

Segue diretamente da definição acima que Lie(𝐺) é um subesespaço vetorial de Γ(T𝐺).

Proposição 1.5.6. Sejam 𝐺 um grupo de Lie e Lie(𝐺) o conjunto dos seus campos invariantes àesquerda. Com o colchete [·, ·] definido por

[𝑋, 𝑌 ]𝑔(𝑓) = 𝑋𝑔(𝑌 𝑓) − 𝑌𝑔(𝑋𝑓), 𝑔 ∈ 𝐺, 𝑋 e 𝑌 ∈ Lie(𝐺) e 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), (1.5.1)

Lie(𝐺) é uma álgebra de Lie de dimensão dim𝐺.

O primeiro passo para demonstrar a Proposição 1.5.6 é verificar que a seção [𝑋, 𝑌 ] do fibradotangente de 𝐺, descrito na equação 1.5.1, de fato é um campo invariante à esquerda.

Sejam 𝑋 e 𝑌 campos vetoriais em 𝐺 e [𝑋, 𝑌 ] a seção do fibrado tangente de 𝐺 definida pelaequação 1.5.1. Pela Proposição 1.4.3, para todo 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺), 𝑋𝑓 e 𝑌 𝑓 são funções suaves em𝐺. Desta forma 𝑋𝑔(𝑌 𝑓) − 𝑌𝑔(𝑋𝑓) ∈ R para todo 𝑔 ∈ 𝐺 e 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺). Dadas funções 𝑓1 e𝑓2 ∈ 𝐶∞(𝐺), temos, paracada 𝑔 ∈ 𝐺, que

𝑋(𝑓1𝑓2)(𝑔) = 𝑋𝑔(𝑓1𝑓2) = 𝑋𝑔(𝑓1)𝑓2(𝑔) + 𝑓1(𝑔)𝑋𝑔(𝑓2) = (𝑋𝑓1 · 𝑓2 + 𝑓1 ·𝑋𝑓2)(𝑔)

e, consequentemente,𝑋(𝑓1𝑓2) = 𝑋𝑓1 · 𝑓2 + 𝑓1 ·𝑋𝑓2.

Analogamente,𝑌 (𝑓1𝑓2) = 𝑌 𝑓1 · 𝑓2 + 𝑓1 · 𝑌 𝑓2, 𝑓1 e 𝑓2 ∈ 𝐶∞(𝐺).

Com isso,

[𝑋, 𝑌 ](𝑓1𝑓2) = 𝑋(𝑌 (𝑓1𝑓2)) − 𝑌 (𝑋(𝑓1𝑓2))= 𝑋(𝑌 𝑓1 · 𝑓2 + 𝑓1 · 𝑌 𝑓2) − 𝑌 (𝑋𝑓1 · 𝑓2 + 𝑓1 ·𝑋𝑓2)= 𝑋(𝑌 𝑓1 · 𝑓2) +𝑋(𝑓1 · 𝑌 𝑓2) − 𝑌 (𝑋𝑓1 · 𝑓2) − 𝑌 (𝑓1 ·𝑋𝑓2)= 𝑋(𝑌 𝑓1) · 𝑓2 + (𝑌 𝑓1)(𝑋𝑓2) + (𝑋𝑓1)(𝑌 𝑓2) + 𝑓1 ·𝑋(𝑌 𝑓2)

−𝑌 (𝑋𝑓1) · 𝑓2 − (𝑋𝑓1)(𝑌 𝑓2) − (𝑌 𝑓1)(𝑋𝑓2) − 𝑓1 · 𝑌 (𝑋𝑓2)= 𝑓1 · (𝑋(𝑌 𝑓2) − 𝑌 (𝑋𝑓2)) + (𝑋(𝑌 𝑓1) − 𝑌 (𝑋𝑓1)) · 𝑓2= 𝑓1 · [𝑋, 𝑌 ]𝑓2 + [𝑋, 𝑌 ]𝑓1 · 𝑓2.

Logo, [𝑋, 𝑌 ] é uma seção do fibrado tangente de 𝐺.

43

Agora, vamos verificar que as funções coordenadas de [𝑋, 𝑌 ], para campos vetoriais 𝑋 e 𝑌 em𝐺, em uma carta suave (𝑈,𝜙) em 𝐺 são suaves. Desta forma, concluiremos que [𝑋, 𝑌 ] é um campovetorial em 𝐺 (Proposição 1.4.3). Sejam 𝑥𝑖 as funções coordenadas de carta (𝑈,𝜙) e 𝑋 𝑖 e 𝑌 𝑖 asfunções coordenadas de 𝑋 e 𝑌 nesta carta. Temos que

[𝑋, 𝑌 ](𝑥𝑖) = 𝑋(𝑌 𝑥𝑖) − 𝑌 (𝑋𝑥𝑖) = 𝑋𝑌 𝑖 − 𝑌 𝑋 𝑖.

Logo, as funções coordenadas de [𝑋, 𝑌 ] são da forma 𝑋𝑌 𝑖−𝑌 𝑋 𝑖. Como 𝑋 𝑖 e 𝑌 𝑖 são suaves, deve-mos ter que 𝑋𝑌 𝑖 −𝑌 𝑥𝑖 é uma função suave em 𝐺. Então, concluimos que as funções coordenadasde [𝑋, 𝑌 ] devem ser suaves.

Sabendo que [𝑋, 𝑌 ] é um campos vetorial em 𝐺 sempre que 𝑋 e 𝑌 forem campos vetoriais em𝐺, verificaremos que [𝑋, 𝑌 ] é um campo invariante à esquerda sempre que 𝑋 e 𝑌 forem camposinvariantes à esquerda. Sejam 𝑋 e 𝑌 campos invariantes à esquerda em 𝐺. Provaremos, para 𝑔 e𝑔′ ∈ 𝐺, que

(𝐸𝑔)*[𝑋, 𝑌 ]𝑔′ = [𝑋, 𝑌 ]𝑔𝑔′ . (1.5.2)Observemos que, para toda 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺), a função suave 𝑋(𝑓 ∘𝐸𝑔) é igual a função suave 𝑋𝑓 ∘𝐸𝑔.De fato, para cada 𝑔′ ∈ 𝐺, (

𝑋(𝑓 ∘ 𝐸𝑔))

(𝑔′) = 𝑋𝑔′(𝑓 ∘ 𝐸𝑔)= (𝐸𝑔)*𝑋𝑔′(𝑓)= 𝑋𝑔𝑔′(𝑓)= 𝑋𝑓(𝑔𝑔′)= 𝑋𝑓 ∘ 𝐸𝑔(𝑔′).

Com isso, temos, para cada 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺), que((𝐸𝑔)*[𝑋, 𝑌 ]𝑔′

)(𝑓) = [𝑋, 𝑌 ]𝑔′(𝑓 ∘ 𝐸𝑔)

= 𝑋𝑔′

(𝑌 (𝑓 ∘ 𝐸𝑔)

)− 𝑌𝑔′

(𝑋(𝑓 ∘ 𝐸𝑔)

)= 𝑋𝑔′(𝑌 𝑓 ∘ 𝐸𝑔) − 𝑌𝑔′(𝑋𝑓 ∘ 𝐸𝑔)= (𝐸𝑔)*𝑋𝑔′(𝑌 𝑓) − (𝐸𝑔)*𝑌𝑔′(𝑋𝑓)= 𝑋𝑔𝑔′(𝑌 𝑓) − 𝑌𝑔𝑔′(𝑋𝑓)= [𝑋, 𝑌 ]𝑔𝑔′(𝑓)

e, consequentemente, a igualdade (1.5.2) é válida.Portanto, a equação (1.5.1) de fato define um mapa [·, ·] : Lie(𝐺) Lie(𝐺) → Lie(𝐺). Para

concluirmos que (Lie(𝐺), [·, ·]) é uma álgebra de Lie, devemos verificar as igualdades

[𝑋, 𝑌 ] = −[𝑌,𝑋], (1.5.3)

[𝑋, 𝑌 + 𝜆𝑍] (1.5.4)e

[𝑋, [𝑌, 𝑍]] + [𝑌, [𝑍,𝑋]] + [𝑍, [𝑋, 𝑌 ]] = 0, (1.5.5)

44

para 𝜆 ∈ R e 𝑋, 𝑌 e 𝑍 ∈ Lie(𝐺).Sejam 𝜆 ∈ R e 𝑋, 𝑌 e 𝑍 ∈ Lie(𝐺). A igualdade (1.5.3) se verifica pelas igualdades

[𝑋, 𝑌 ](𝑓) = 𝑋(𝑌 𝑓) − 𝑌 (𝑋𝑓) = −(𝑌 (𝑋𝑓) −𝑋(𝑌 𝑓)

)= −[𝑌,𝑋](𝑓),

para todo 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺). Para a igualdade (1.5.4), temos que

[𝑋, 𝑌 + 𝜆𝑍](𝑓) = 𝑋((𝑌 + 𝜆𝑍)𝑓

)− (𝑌 + 𝜆𝑍)

(𝑋𝑓)

= 𝑋(𝑌 𝑓 + 𝜆𝑍𝑓

)− 𝑌 (𝑋𝑓) − 𝜆𝑍(𝑋𝑓)

= 𝑋(𝑌 𝑓) + 𝜆𝑋(𝑍𝑓) − 𝑌 (𝑋𝑓) − 𝜆𝑍(𝑋𝑓)= 𝑋(𝑌 𝑓) − 𝑌 (𝑋𝑓) + 𝜆

(𝑋(𝑍𝑓) − 𝑍(𝑋𝑓)

)= [𝑋, 𝑌 ](𝑓) + 𝜆[𝑋,𝑍](𝑓)=

([𝑋, 𝑌 ] + 𝜆[𝑋,𝑍]

)(𝑓),

para todo 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺).Por fim, verificaremos a igualdade (1.5.5), para 𝑋, 𝑌 e 𝑍 ∈ Lie(𝐺). Segue das definições que,

para todo 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺),

[𝑋, [𝑌, 𝑍]]𝑓 = 𝑋([𝑌, 𝑍]𝑓

)− [𝑌, 𝑍](𝑋𝑓)

= 𝑋(𝑌 (𝑍𝑓) − 𝑍(𝑌 𝑓)

)− 𝑌

(𝑍(𝑋𝑓)

)+ 𝑍

(𝑌 (𝑋𝑓)

)= 𝑋

(𝑌 (𝑍𝑓)

)−𝑋

(𝑍(𝑌 𝑓)

)− 𝑌

(𝑍(𝑋𝑓)

)+ 𝑍

(𝑌 (𝑋𝑓)

).

Analogamente, temos que

[𝑌, [𝑍,𝑋]]𝑓 = 𝑌(𝑍(𝑋𝑓)

)− 𝑌

(𝑋(𝑍𝑓)

)− 𝑍

(𝑋(𝑌 𝑓)

)+𝑋

(𝑍(𝑌 𝑓)

)e

[𝑍, [𝑋, 𝑌 ]]𝑓 = 𝑍(𝑋(𝑌 𝑓)

)− 𝑍

(𝑌 (𝑋𝑓)

)−𝑋

(𝑌 (𝑍𝑓)

)+ 𝑌

(𝑋(𝑍𝑓)

),

para toda 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺). Assim, somando as igualdade acima,([𝑋, [𝑌, 𝑍]] + [𝑌, [𝑍,𝑋]] + [𝑍, [𝑋, 𝑌 ]]

)𝑓 = [𝑋, [𝑌, 𝑍]]𝑓 + [𝑌, [𝑍,𝑋]]𝑓 + [𝑍, [𝑋, 𝑌 ]]𝑓 = 0,

para toda 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺). Portanto, a igualdade (1.5.5) segue.Para concluirmos a demonstração da Proposição 1.5.6, demonstraremos o seguinte lema:

Lema 1.5.7. Seja𝐺 um grupo de Lie e 𝑒 o elemento neutro de𝐺. O mapa 𝜀 que associa𝑋 ∈ Lie(𝐺)ao vetor tangente 𝑋𝑒 ∈ T𝑒𝐺 é um isomorfismo linear Lie(𝐺) → T𝑒𝐺.

Demonstração. É fácil verificar que o mapa 𝜀 : Lie(𝐺) → T𝑒𝐺 definido no enunciado é linear.Para concluirmos que 𝜀 é injetivo (isto é, que ker 𝜀 = 0), basta tomarmos 𝑋 ∈ Lie(𝐺) tal que

𝑋𝑒 = 0 e concluírmos que 𝑋 = 0. De fato, para cada 𝑔 ∈ 𝐺 devemos ter que

𝑋𝑔 = 𝑋𝑔𝑒 = (𝐸𝑔)*𝑋𝑒 = (𝐸𝑔)*0 = 0.

45

Passaremos, agora, para a demonstração de que 𝜀 é sobrejetivo. Isto é, para cada 𝑋𝑒 ∈ T𝑒𝐺existe (𝑋𝑒)𝐺 ∈ Lie(𝐺) tal que 𝑋𝑒 = (𝑋𝑒)𝐺𝑒 .

Fixemos 𝑋𝑒 ∈ T𝑒𝐺, uma curva 𝛾 : (−𝛿, 𝛿) → 𝐺 tal que 𝛾(0) = 𝑒 e 𝛾*

(𝜕

𝜕𝑡

0

)= 𝑋𝑒 (veja o

Exemplo 1.3.12). Desta forma, definimos uma seção (𝑋𝑒)𝐺 do fibrado tangente de 𝐺 por

(𝑋𝑒)𝐺𝑔 = (𝐸𝑔)*𝑋𝑒, 𝑔 ∈ 𝐺.

Segue da Proposição 1.3.10 que

(𝑋𝑒)𝐺𝑒 = (𝐸𝑒)*𝑋𝑒 = 1T𝑒 𝐺𝑋𝑒 = 𝑋𝑒

e(𝐸𝑔)*(𝑋𝑒)𝐺𝑔′ = (𝐸𝑔)* ∘ (𝐸𝑔′)*𝑋𝑒 = (𝐸𝑔 ∘ 𝐸𝑔′)*𝑋𝑒 = (𝐸𝑔𝑔′)*𝑋𝑒 = (𝑋𝑒)𝐺𝑔𝑔′ , 𝑔 e 𝑔′ ∈ 𝐺.

Logo, basta verificarmos que (𝑋𝑒)𝐺 para concluirmos que este é um campo invariante à esquerdaem 𝐺. Para tanto, basta provarmos que, dado 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺), a função (𝑋𝑒)𝐺𝑓 é suave, Proposição1.4.3.

Fixemos 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺). Os mapas

𝐺× (−𝛿, 𝛿) → 𝐺×𝐺(𝑔, 𝑡) → (𝑔, 𝛾(𝑡))

e𝐺×𝐺 → 𝐺(𝑔, 𝑔′) → 𝑔𝑔′

são suaves. Logo, a composição 𝐹 : 𝐺× (−𝛿, 𝛿) → R destes dois mapas com a função suave 𝑓 , istoé 𝐹 (𝑔, 𝑡) = 𝑓(𝑔𝛾(𝑡)), (𝑔, 𝑡) ∈ 𝐺× (−𝛿, 𝛿), é suave. Desta forma,(

(𝑋𝑒)𝐺𝑓)(𝑔) = (𝑋𝑒)𝐺𝑔 𝑓 =

((𝐸𝑔)*𝑋𝑒

)(𝑓)

= 𝑋𝑒(𝑓 ∘ 𝐸𝑔) =(𝛾*

𝜕

𝜕𝑡

0

)(𝑓 ∘ 𝐸𝑔)

= 𝜕

𝜕𝑡

0

(𝑓 ∘ 𝐸𝑔 ∘ 𝛾) = 𝜕(𝑓 ∘ 𝐸𝑔 ∘ 𝛾)𝜕𝑡

(0)

= 𝜕𝐹

𝜕𝑡(𝑔, 0).

Ou seja, (𝑋𝑒)𝐺𝑓 é a função suave 𝑔 ∈ 𝐺 → 𝜕𝐹

𝜕𝑡(𝑔, 0) ∈ R.

Agora, passaremos à caracterização das álgebras de Lie dos grupos de Lie matriciais apresen-tados nas seções anteriores.

Sendo um aberto de 𝑀𝑛(R) = R𝑛2 , o grupo de Lie Gl(𝑛,R) tem como espaço tangente na matrizidentidade T𝐼 Gl(𝑛,R) o próprio espaço tangente T𝐼𝑀𝑛(R) (Proposição 1.3.11). Este espaço por

46

sua vez (considerando-se a carta suave canônica de R𝑛2 na qual as funções coordenadas 𝑥𝑖𝑗 sãodadas por 𝑥𝑖𝑗(𝑎𝑝𝑞) = 𝑎𝑖𝑗, (𝑎𝑝𝑞) ∈ 𝑀𝑛(R) = R𝑛2) tem como base o conjunto{

𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

: 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑛}.

Como na demonstração do Lema 1.5.7, denotemos por (𝑋𝐼)Gl(𝑛,R) o campo invariante à esquerdade Gl(𝑛,R) tal que (𝑋𝐼)Gl(𝑛,R)

𝐼 = 𝑋𝐼 ∈ T𝐼 Gl(𝑛,R).Proposição 1.5.8. As ágebras de Lie gl(𝑛,R) e Lie(Gl(𝑛,R)) são isomorfas por meio do mapa

(𝑎𝑖𝑗) ∈ gl(𝑛,R) →𝑛∑

𝑖,𝑗=1𝑎𝑖𝑗(

𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

∈ Lie(Gl(𝑛,R)).

Para concluirmos o resultado da Proposição 1.5.8 nos resta verificar que o mapa acima preservaos colchetes de Lie. Isto é, basta verificarmos que⎡⎣( 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

,

(𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑙

𝐼

)Gl(𝑛,R)⎤⎦ = 𝛿𝑗𝑘

(𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑙

𝐼

)Gl(𝑛,R)

− 𝛿𝑙𝑖(

𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

, (1.5.6)

onde𝛿𝑝𝑞 =

{1, se 𝑝 = 𝑞;0, se 𝑝 = 𝑞.

Para cada 𝑔 = (𝑔𝑝𝑞) ∈ Gl(𝑛,R), vale a igualdade

𝑥𝑖𝑗 ∘ 𝐸𝑔 =𝑛∑𝑠=1

𝑔𝑖𝑠𝑥𝑠𝑗.

De fato, para cada ℎ = (ℎ𝑝𝑞) ∈ Gl(𝑛,R),

𝑥𝑖𝑗 ∘ 𝐸𝑔(ℎ) = 𝑥𝑖𝑗(𝑔ℎ) =𝑛∑𝑠=1

𝑔𝑖𝑠ℎ𝑠𝑗

=𝑛∑𝑠=1

𝑔𝑖𝑠𝑥𝑠𝑗(ℎ) =(

𝑛∑𝑠=1

𝑔𝑖𝑠𝑥𝑠𝑗)

(ℎ).

Nosso próximo passo é provar a igualdade(𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

𝑥𝑘𝑙 = 𝛿𝑙𝑗𝑥𝑘𝑖.

Para cada 𝑔 = (𝑔𝑝𝑞) ∈ Gl(𝑛,R),⎛⎝( 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

𝑥𝑘𝑙

⎞⎠ (𝑔) = 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

(𝑥𝑘𝑙 ∘ 𝐸𝑔)

= 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

(𝑛∑𝑠=1

𝑔𝑘𝑠𝑥𝑠𝑙)

= 𝛿𝑖𝑗𝑔𝑘𝑖

= 𝛿𝑖𝑗𝑥𝑘𝑖(𝑔).

47

Das igualdades acima, podemos concluir que⎡⎣( 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

,

(𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑙

𝐼

)Gl(𝑛,R)⎤⎦𝐼

(𝑥𝑝𝑞)

= 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

⎛⎝( 𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑙

𝐼

)Gl(𝑛,R)

𝑥𝑝𝑞

⎞⎠− 𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑙

𝐼

⎛⎝( 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

𝑥𝑝𝑞

⎞⎠= 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

(𝛿𝑙𝑞𝑥𝑝𝑘) − 𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑙

𝐼

(𝛿𝑗𝑞𝑥𝑝𝑖)

= 𝛿𝑖𝑝𝛿𝑗𝑘𝛿𝑙𝑞 − 𝛿𝑘𝑝𝛿𝑙𝑖𝛿𝑗𝑞

= 𝛿𝑗𝑘𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑙

𝐼

(𝑥𝑝𝑞) − 𝛿𝑖𝑙𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑗

𝐼

(𝑥𝑝𝑞)

=(𝛿𝑗𝑘

𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑙

𝐼

− 𝛿𝑖𝑙𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑗

𝐼

)(𝑥𝑝𝑞).

=⎛⎝𝛿𝑗𝑘 ( 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑙

𝐼

)Gl(𝑛,R)

𝐼

− 𝛿𝑖𝑙(

𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

𝐼

⎞⎠ (𝑥𝑝𝑞)

Segue daí que⎡⎣( 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

,

(𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑙

𝐼

)Gl(𝑛,R)⎤⎦𝐼

= 𝛿𝑗𝑘(

𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑙

𝐼

)Gl(𝑛,R)

𝐼

− 𝛿𝑖𝑙(

𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

𝐼

.

Como os campos⎡⎣( 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

,

(𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑙

𝐼

)Gl(𝑛,R)⎤⎦ , (

𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑙

𝐼

)Gl(𝑛,R)

e(

𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

𝐼

.

são invariantes à esquerda, a igualdade acima implica que a igualdade 1.5.6 é válida.Com isso, concluimos a demonstração da Proposição 1.5.8.Um resultado análogo ao vale para a álgebra de Lie de Gl(𝑛,C). Como Gl(𝑛,C) é um aberto de

𝑀𝑛(C), existem funções coordenadas 𝑥𝑖𝑗 e 𝑦𝑖𝑗 definidas em todo Gl(𝑛,C) pelas igualdade 𝑥𝑖𝑗(𝑎𝑝𝑞 +𝑖𝑏𝑝𝑞) = 𝑎𝑖𝑗 e 𝑦𝑖𝑗(𝑎𝑝𝑞 + 𝑖𝑏𝑝𝑞) = 𝑏𝑖𝑗, (𝑎𝑝𝑞 + 𝑖𝑏𝑝𝑞) ∈ Gl(𝑛,C). Assim, os vetores tangentes

𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

e 𝜕

𝜕𝑦𝑖𝑗

𝐼

, 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑛,

formam uma base de T𝐼 Gl(𝑛,C) e, pelo Lema 1.5.7, os campos invariantes à esquerda(

𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,C)

e(

𝜕

𝜕𝑦𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,C)

, 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑛,

formam uma base de Lie(Gl(𝑛,C)).

48

Proposição 1.5.9. As ágebras de Lie gl(𝑛,C) e Lie(Gl(𝑛,C)) são isomorfas por meio do mapa

(𝑎𝑖𝑗 + 𝑖𝑏𝑖𝑗) ∈ gl(𝑛,R) →𝑛∑

𝑖,𝑗=1

⎛⎝𝑎𝑖𝑗 ( 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,C)

+ 𝑏𝑖𝑗(

𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,C)⎞⎠ ∈ Lie(Gl(𝑛,R)).

Em vista das Proposições 1.5.8 e 1.5.9, podemos identificar naturalmente Lie(Gl(𝑛,R)) eLie(Gl(𝑛,R)) com gl(𝑛,R) e gl(𝑛,C).

A Proposição 1.5.9 pode ser demonstrada de modo análogo a demonstração da Proposição 1.5.9.Porém, para demonstrar esta proposição, podemos usar a descrição de Gl(𝑛,C) como subgrupo esubvariedade mergulhada de Gl(2𝑛,R):

Gl(𝑛,C) ={(

𝐴 𝐵−𝐵 𝐴

)∈ Gl(2𝑛,R) : 𝐴 e 𝐵 ∈ 𝑀𝑛(R)

}.

De fato, a caracterização das ágebras de Lie dos grupos de Lie matriciais dada na Proposição1.5.11 e o mapa da Proposição 1.5.8 garantem que o mapa do enunciado da Proposição 1.5.9 é umisomorfismo de álgebras de Lie.

Proposição 1.5.10. Seja 𝐹 : 𝐻 → 𝐺 um homomorfismo de grupos de Lie. O diferencial 𝐹* : T𝑒𝐻𝐻 →

T𝑒𝐺𝐺, entre o espaço tangente de 𝐻 no elemento neutro 𝑒𝐻 de 𝐻 e o espaço tangente de 𝐺 no

elemento neutro 𝑒𝐺 de 𝐺, induz um homomorfismo de álgebras de Lie 𝐹* : Lie(𝐻) → Lie(𝐺) dadopor

𝐹*𝑋 = (𝐹*𝑋𝑒𝐻)𝐺, 𝑋 ∈ Lie(𝐻).

Demonstração. Verifica-se imediatamente que o mapa 𝐹* : Lie(𝐻) → Lie(𝐺) como definido noenunciado é bem definido e linear.

Resta verificarmos que, dados 𝑋 e 𝑌 ∈ Lie(𝐻), então

𝐹*[𝑋, 𝑌 ] = [𝐹*𝑋,𝐹*𝑌 ].

Sejam 𝑋 ∈ Lie(𝐻) e 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺). A igualdade de funções suaves((𝐹*𝑋)𝑓

)∘ 𝐹 = 𝑋(𝑓 ∘ 𝐹 )

é válida. De fato, para cada ℎ ∈ 𝐻,((𝐹*𝑋)𝑓

)∘ 𝐹 (ℎ) = (𝐹*𝑋)𝐹 (ℎ)𝑓

= (𝐹*𝑋𝑒𝐻)𝐺𝐹 (ℎ)𝑓

=((𝐸𝐹 (ℎ))* ∘ 𝐹*𝑋𝑒𝐻

)𝑓 (pois (𝐹*𝑋𝑒𝐻

)𝐺 ∈ Lie(𝐺) )=

((𝐸𝐹 (ℎ) ∘ 𝐹 )*𝑋𝑒𝐻

)𝑓 (pela Proposição 1.3.10)

=((𝐹 ∘ 𝐸ℎ)*𝑋𝑒𝐻

)𝑓 (𝐸𝐹 (ℎ) ∘ 𝐹 = 𝐹 ∘ 𝐸ℎ pois 𝐹 é homomorfismo)

=(𝐹* ∘ (𝐸ℎ)*𝑋𝑒𝐻

)𝑓 (pela Proposição 1.3.10)

=(𝐹*𝑋ℎ

)𝑓 (pois 𝑋 ∈ Lie(𝐻) )

= 𝑌ℎ(𝑓 ∘ 𝐹 )=

(𝑋(𝑓 ∘ 𝐹 )

)(ℎ)

49

Suponhamos que 𝑋 e 𝑌 ∈ Lie(𝐻). Temos, para toda 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺), que

(𝐹*[𝑋, 𝑌 ])𝑒𝐺(𝑓) = (𝐹*[𝑋, 𝑌 ]𝑒𝐻

)𝐺𝑒𝐺(𝑓)

= 𝐹*[𝑋, 𝑌 ]𝑒𝐻(𝑓)

= [𝑋, 𝑌 ]𝑒𝐻(𝑓 ∘ 𝐹 )

= 𝑋𝑒𝐻

(𝑌 (𝑓 ∘ 𝐹 )

)− 𝑌𝑒𝐻

(𝑋(𝑓 ∘ 𝐹 )

)= 𝑋𝑒𝐻

(((𝐹*𝑋)𝑓

)∘ 𝐹

)− 𝑌𝑒𝐻

(((𝐹*𝑌 )𝑓

)∘ 𝐹

)= 𝐹*𝑋𝑒𝐻

((𝐹*𝑋)𝑓

)− 𝐹*𝑌𝑒𝐻

((𝐹*𝑌 )𝑓

)= (𝐹*𝑋)𝑒𝐺

((𝐹*𝑋)𝑓

)− (𝐹*𝑌 )𝑒𝐺

((𝐹*𝑌 )𝑓

)= [𝐹*𝑋,𝐹*𝑌 ]𝑒𝐺

(𝑓)

Logo, (𝐹*[𝑋, 𝑌 ])𝑒𝐺= [𝐹*𝑋,𝐹*𝑌 ]𝑒𝐺

e, consequentemente, 𝐹*[𝑋, 𝑌 ] = [𝐹*𝑋,𝐹*𝑌 ].

Sejam 𝐺 um grupo de Lie e 𝐻 um subgrupo de Lie mergulhado de 𝐺 e 𝑖 : 𝐻 → 𝐺 o mapa deinclusão. Pela Proposição 1.5.10, podemos identificar a álgebra de Lie Lie(𝐻) com a subálgebra𝑖* Lie(𝐻) ⊂ Lie(𝐺).

Se 𝑋 ∈ Lie(𝐻) ⊂ Lie(𝐺) temos que4 𝑋ℎ ∈ Tℎ𝐻 ⊂ Tℎ𝐺. De fato, sendo 𝑋𝑒 = 𝑖*��𝑒, para�� ∈ L 𝑖𝑒(𝐻), temos que

𝑋ℎ = (𝐸ℎ)*𝑋𝑒 = (𝐸ℎ)* ∘ 𝑖*��𝑒 = (𝐸ℎ ∘ 𝑖)*��𝑒 = (𝑖 ∘ 𝐸ℎ)*𝑋𝑒 = 𝑖*((𝐸ℎ)*��𝑒) = 𝑖*��ℎ ∈ i* 𝑇ℎ𝐻.

Utilizaremos estes fatos para caracterizar as álgebras de Lie dos grupos de Lie matriciais.

Proposição 1.5.11. Seja 𝐺 um subgrupo de Lie mergulhado de Gl(𝑛,K), K = R ou C. Então,

Lie(𝐺) = {𝑋 ∈ gl(𝑛,K) : existe 𝜀 > 0 tal que exp(𝑡𝑋) ∈ 𝐺 para todo 𝑡 ∈ (−𝜀, 𝜀)}.

Demonstração. Denotemos por g o conjunto

{𝑋 ∈ gl(𝑛,K) : existe 𝜀 > 0 tal que exp(𝑡𝑋) ∈ 𝐺 para todo 𝑡 ∈ (−𝜀, 𝜀)}.

Seja 𝑋 gl(𝑛,K). Pela Proposição 1.2.12, a curva 𝛾𝑋 : R → Gl(𝑛,K) dada por

𝛾𝑋(𝑡) = exp(𝑡𝑋), 𝑡 ∈ R,

é suave e seu diferencial (𝛾𝑋)* : T𝑡0 R → T𝛾𝑋(𝑡0) Gl(𝑛,K) satisfaz, para cada 𝑡0 ∈ R, a igualdade

d 𝛾d 𝑡

𝑡0

= 𝛾𝑋(𝑡0)𝑋.

Logo, para cada 𝑡 ∈ R,

(𝛾𝑋)*

(dd 𝑡

𝑡

)=

∑𝑖,𝑗

𝑎𝑖𝑗𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝛾𝑋(𝑡)

(onde (𝑎𝑝𝑞) = 𝛾𝑋(𝑡)𝑋)

= (𝐸𝛾𝑋(𝑡))*𝑋𝐼

= 𝑋𝛾𝑋(𝑡)

4Com a identificação de Tℎ 𝐻, ℎ ∈ 𝐻, com 𝑖* Tℎ 𝐻 ⊂ Tℎ 𝐺.

50

Tomemos 𝑋 ∈ Lie(𝐺). Como 𝐺 é uma subvariedade mergulhada de Gl(𝑛,K) existe uma cartasuave (𝑉, 𝜓) de Gl(𝑛,K), com funções coordenadas (𝑥𝑖), tal que 𝐼 ∈ 𝑉 e

𝐺 ∩ 𝑉 = {𝑔 ∈ Gl(𝑛,K) : 𝑥𝑖(𝑔) = 0, para todo 𝑖 > dim𝐺}.

Como 𝛾−1𝑋 (𝑉 ) é aberto 𝛾𝑋(0) = 𝐼 ∈ 𝑉 , existe 𝜀 > 0 tal que (−𝜀, 𝜀) ⊂ 𝛾−1

𝑋 (𝑉 ). Desta forma, como

(𝛾𝑋)*

(dd 𝑡

𝑡

)= 𝑋𝛾𝑋(𝑡) =

dim𝐺∑𝑖=1

𝑋𝛾𝑋(𝑡)(𝑥𝑖)𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑡

∈ T𝛾𝑋(𝑡) 𝐺, 𝑡 ∈ (−𝜀, 𝜀),

devemos ter que

𝜕(𝑥𝑖 ∘ 𝛾𝑋)𝜕𝑡

(𝑡) = (𝛾𝑋)*

(dd 𝑡

𝑡

)(𝑥𝑖) = 𝑋𝛾𝑋(𝑡)(𝑥𝑖) = 0, 𝑡 ∈ (−𝜀, 𝜀),

para todo 𝑖 > dim𝐺. Logo, do fato de que 𝑥𝑖(𝛾𝑋(0)) = 𝑥𝑖(𝐼) = 0, para 𝑖 > dim𝐺, devemos terque

𝛾𝑋(−𝜀, 𝜀) ⊂ {𝑔 ∈ Gl(𝑛,K) : 𝑥𝑖(𝑔) = 0, para todo 𝑖 > dim𝐺} = 𝐺 ∩ 𝑉.

Portanto, 𝑋 ∈ g.Suponhamos que 𝑋 ∈ g. Desta forma, existe 𝜀 > 0 tal que 𝛾𝑋(−𝜀, 𝜀) ⊂ Gl(𝑛,K). Logo, temos

uma função suave 𝛾𝑋 : (−𝜀, 𝜀) → 𝐺. Desta forma,

𝑋𝑒 = 𝑋𝛾𝑋(0) = (𝛾𝑋)*

(dd 𝑡

0

)∈ T𝐼 𝐺.

Portanto, 𝑋 ∈ Lie(𝐺).

Exemplo 1.5.12 (so(𝑛,R)). Seja

so(𝑛,R) := {𝑋 ∈ gl(𝑛,R) : 𝑋 +𝑋𝑇 = 0}.

Mostraremos que so(𝑛,R) é a algebra de Lie do grupo de Lie matricial

O(𝑛,R) := {𝐴 ∈ Gl(𝑛,R) : 𝐴𝐴𝑇 = 𝐼}

Dado 𝑋 ∈ so(𝑛,R), pela Proposição 1.2.12, segue que

exp(𝑡𝑋) exp(𝑡𝑋)𝑇 = exp(𝑡𝑋) exp(𝑡𝑋𝑇 ) = exp(𝑡𝑋 + 𝑡𝑋𝑇 ) = exp(0) = 𝐼, 𝑡 ∈ R,

e, consequentemente, pela Proposição 1.5.11, 𝑋 ∈ Lie(

O(𝑛,R)). Se 𝑋 ∈ Lie

(O(𝑛,R)

)então,

pela Proposição 1.5.11, existe 𝜀 > 0 tal que

exp(𝑡𝑋) ∈ O(𝑛,R), 𝑡 ∈ (−𝜀, 𝜀).

Logo, para 𝑋 ∈ Lie(

O(𝑛,R)),

exp(𝜀

2(𝑋 +𝑋𝑇 ))

= exp(𝜀

2𝑋)

exp(𝜀

2𝑋𝑇)

= exp(𝜀

2𝑋)

exp(𝜀

2𝑋)𝑇

= 𝐼

e, consequentemente, 𝑋 +𝑋𝑇 = 0. Assim, 𝑋 ∈ so(𝑛,R) se 𝑋 ∈ Lie(

O(𝑛,R)).

51

Exemplo 1.5.13 (su(𝑛,C)). Seja

su(𝑛,C) = {𝑋 ∈ gl(𝑛,C) : 𝑋 +𝑋* = 0 e tr(𝑋) = 0}.

Mostraremos que su(𝑛,C) é a álgebra de Lie do grupo de Lie matricial

SU(𝑛,C) = {𝐴 ∈ Gl(𝑛,C) : 𝐴𝐴* = 𝐼 e det𝐴 = 1}.

Pela Proposição 1.2.12,

exp(𝑋 + 𝑌 ) = exp(𝑋) exp(𝑌 ), exp(𝑋*) = exp(𝑋)* e det(exp(𝑋)) = 𝑒tr(𝑋),

para todos 𝑋 e 𝑌 ∈ gl(𝑛,C). Assim, um elemento 𝑋 ∈ gl(𝑛,C) satisfas 𝑋 + 𝑋* = 0 se esomente se exp(𝑋) exp(𝑋)* = 𝐼. E, um elemento 𝑋 ∈ gl(𝑛,C) satisfaz tr(𝑋) = 0 se e somente sedet(exp(𝑋)) = 1. Portanto, pela Proposição 1.5.11, su(𝑛,C) = Lie

(SU(𝑛,C)

).

1.6 Álgebra Exterior em VariedadesDefinição 1.6.1. Seja 𝑀 uma variedade suave. Em cada ponto 𝑝 ∈ 𝑀 , definimos o espaçocotangente T*

𝑝𝑀 de 𝑀 em 𝑝 como sendo o espaço vetorial dual (T𝑝𝑀)* do espaço tangente T𝑝𝑀de 𝑀 em 𝑝. Os elementos de T*

𝑝𝑀 são chamados de covetores tangentes de 𝑀 em 𝑝.

Exemplo 1.6.2. Sejam (𝑈,𝜙) uma carta suave na variedade suave 𝑀 , com funções coordenadas𝑥1, . . . , 𝑥𝑚, e 𝑝 um ponto de 𝑈 . A base de T𝑝𝑀 formada pelos vetores tangentes

𝜕

𝜕𝑥1

𝑝

, . . . ,𝜕

𝜕𝑥𝑚

𝑝

∈ T𝑝𝑀

induz uma base de T*𝑝𝑀 formada por covetores

d𝑥1𝑝, . . . , d𝑥𝑚𝑝 ∈ T*

𝑝𝑀,

descritos por

d𝑥𝑗𝑝

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

⎞⎠ ={

1, se 𝑖 = 𝑗;0, se 𝑖 = 𝑗.

Proposição 1.6.3 (Regra da Cadeia). Sejam 𝑀 uma variedade suave e (𝑈,𝜙) e (𝑉, 𝜓) cartassuaves em 𝑀 tais que 𝑈 ∩ 𝑉 = ∅. Se 𝑥1, . . . , 𝑥𝑚 são as funções coordenadas (𝑈,𝜙) e 𝑦1, . . . , 𝑦𝑚são as funções coordenadas (𝑉, 𝜓) então, em cada 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 , valem as igualdades

d 𝑦𝑗𝑝 =𝑚∑𝑖=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) d𝑥𝑖𝑝,

onde𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) = 𝜕(𝑦𝑗 ∘ 𝜙−1)

𝜕𝑥𝑖(𝜙(𝑝)).

52

Demonstração. Pela definição dos covetores tangentes d𝑥𝑖 e d 𝑦𝑗, devemos ter que

d 𝑦𝑗𝑝 =𝑚∑𝑖=1

d 𝑦𝑗𝑝

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

⎞⎠ d𝑥𝑖𝑝.

Por outro lado, pela Regra da Cadeia para vetores tangentes (Corolário 1.3.14),

𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

=𝑚∑𝑗=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝑝

e, consequentemente,

d 𝑦𝑗⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

⎞⎠ = 𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝).

Logo,

d 𝑦𝑗𝑝 =𝑚∑𝑖=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) d𝑥𝑖𝑝.

Definição 1.6.4. Seja 𝑀 uma variedade suave. O cojunto

T* 𝑀 = ⊔𝑝∈𝑀 T*𝑝𝑀

munido do mapa 𝜋 : T* 𝑀 → 𝑀 , dado por

𝜋(𝛼𝑝) = 𝑝, 𝛼𝑝 ∈ T*𝑝𝑀,

é chamado de fibrado cotangente de 𝑀 .

Seja 𝑀 uma variedade suave de dimensão 𝑚. Através de uma construção análoga ao quefizemos para o fibrado tangente T𝑀 , podemos munir o fibrado cotangente T* 𝑀 de uma estruturade variedade suave tal que a projeção 𝜋 : T* 𝑀 → 𝑀 seja um mapa suave.

Seja (𝑈,𝜙) uma carta suave de 𝑀 . Definimos um mapa Φ: 𝜋−1(𝑈) → 𝜙(𝑈) × R𝑚 por

Φ(

𝑚∑𝑖=1

𝑤𝑖 d𝑥𝑖𝑝)

=(𝜙(𝑝), (𝑤1, . . . , 𝑤𝑚)

),

𝑚∑𝑖=1

𝑤𝑖 d𝑥𝑖𝑝 ∈ T*𝑝𝑀 ⊂ 𝜋−1(𝑈).

O mapa Φ é uma bijeção. Com isso, podemos considerar uma topologia em 𝜋−1(𝑈) na qual Φ éum homeomorfismo.

A topologia em T* 𝑀 é a topologia induzida pelos conjuntos 𝜋−1(𝑈), onde (𝑈,𝜙) é uma cartasuave em 𝑀 . Isto é, os abertos de T* 𝑀 são os subconjuntos 𝒲 de T* 𝑀 tais que 𝒲 ∩ 𝜋−1(𝑈) éum aberto de 𝜋−1(𝑈).

Dada uma carta suave (𝑈,𝜙) em 𝑀 , prova-se que 𝜋−1(𝑈) é um aberto de T* 𝑀 e, além disso,a topologia de 𝜋−1(𝑈) coincide com a topologia de 𝜋−1(𝑈) como subespaço de T* 𝑀 .

53

Por fim, o atlas de T* 𝑀 é o atlas maximal que contém as cartas (𝜋−1(𝑈),Φ), induzida porcartas suaves (𝑈,𝜙) em 𝑀 como acima.

O fato de 𝜋 : 𝑇 *𝑀 → 𝑀 ser suave segue da comutatividade dos diagramas

𝜋−1(𝑈) Φ //

𝜙∘𝜋$$

𝜙(𝑈) × R𝑚

𝜋1xx𝜙(𝑈)

, onde (𝑈,𝜙) é uma carta suave em 𝑀 , (𝜋−1(𝑈),Φ) a carta suave de T* 𝑀 induzida por (𝑈,𝜙)como acima e 𝜋1 : 𝜙(𝑈) × R𝑚 é a projeção na primeira coordenada.

Definição 1.6.5. Seja 𝑀 uma variedade suave. Para cada 𝑝 ∈ 𝑀 , definimos o espaço dos tensoresmistos do tipo (𝑘, 𝑙) de 𝑀 em 𝑝 pela igualdade

T(𝑘,𝑙)𝑝 =

(⊗𝑘𝑖=1 T𝑝𝑀

)⊗(⊗𝑙𝑗=1 T*

𝑝𝑀).

Os elementos são chamados de (𝑘, 𝑙)-tensores mistos de 𝑀 em 𝑝.

Exemplo 1.6.6. Seja (𝑈,𝜙) uma carta suave de uma variedade suave 𝑀 de dimensão 𝑚 e funçõescoordenadas 𝑥1, . . . , 𝑥𝑚. Para cada 𝑝 ∈ 𝑈 , os vetores

𝜕

𝜕𝑥𝑖1

𝑝

⊗ · · · ⊗ 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑘

𝑝

⊗ d𝑥𝑗1𝑝 ⊗ · · · ⊗ d𝑥𝑗𝑙𝑝 ∈ T(𝑘,𝑙)𝑝 , 𝑖1, . . . , 𝑖𝑘, 𝑗1, . . . , 𝑗𝑙 = 1, . . . ,𝑚,

formam uma base para T(𝑘,𝑙)𝑝 𝑀 .

Definição 1.6.7. Seja 𝑀 uma variedade suave. O conjunto

T(𝑙,𝑘) 𝑀 = ⊔𝑝∈𝑀 T(𝑘,𝑙)𝑝 𝑀

munido do mapa 𝜋 : T(𝑘,𝑙) 𝑀 → 𝑀 , dado por

𝜋(𝜔𝑝) = 𝑝, 𝜔𝑝 ∈ T(𝑘,𝑙)𝑝 𝑀,

é chamado de fibrado dos (𝑘, 𝑙)-tensores de 𝑀 .

O fibrado dos (𝑘, 𝑙)-tensores de uma variedade suave 𝑀 , assim como os fibrados tangente ecotangente, possue uma estrutura suave tal que a projeção 𝜋 : T(𝑘,𝑙) 𝑀 → 𝑀 é um mapa suave.

De modo análogo aos casos do fibrado tangente e cotangente, a estrutura suave de 𝑇 (𝑘,𝑙)𝑀 é dadapelas cartas suaves (𝜋−1(𝑈),Φ), onde (𝑈,𝜙) é uma carta suave em 𝑀 e Φ: 𝜋−1(𝑈) → 𝜙(𝑈)×R𝑚𝑘+𝑙

o mapa dado por

Φ⎛⎝ 𝑚∑𝑖1,...,𝑖𝑘,𝑗1,...,𝑗𝑙=1

𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘𝑗1,...,𝑗𝑙(𝑝) 𝜕

𝜕𝑥𝑖1

𝑝

⊗ · · · ⊗ 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑘

𝑝

⊗ d𝑥𝑗1𝑝 ⊗ · · · ⊗ d𝑥𝑗𝑙𝑝

⎞⎠ =(𝜙(𝑝), (𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘𝑗1,...,𝑗𝑙

(𝑝))),

54

para todo𝑚∑

𝑖1,...,𝑖𝑘,𝑗1,...,𝑗𝑙=1𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘𝑗1,...,𝑗𝑙

(𝑝) 𝜕

𝜕𝑥𝑖1

𝑝

⊗ · · · ⊗ 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑘

𝑝

⊗ d𝑥𝑗1𝑝 ⊗ · · · ⊗ d𝑥𝑗𝑙𝑝 ∈ T(𝑘,𝑙)𝑝 𝑀 ⊂ 𝜋−1(𝑈).

Dada uma variedade suave 𝑀 , é possível identificarmos naturalmente T(1,0) 𝑀 e T(1,0 𝑀 comT𝑀 e T* 𝑀 , respectivamente.

Definição 1.6.8. Um mapa 𝜔 : 𝑀 → T(𝑘,𝑙) 𝑀 é uma seção do fibrado dos (𝑘, 𝑙)-tensores de umavariedade sauve 𝑀 se e somente se o diagrama

T(𝑘,𝑙) 𝑀

𝜋��

𝑀 id𝑀

//

𝜔

::

𝑀

é comutativo.

Sejam 𝑀 uma variedade suave de dimensão 𝑚 e 𝜔 : 𝑀 → T(𝑘,𝑙) 𝑀 uma seção do fibrado dos(𝑘, 𝑙)-tensores de 𝑀 . Em uma carta suave (𝑈,𝜙) de 𝑀 a seção 𝜔 deve ser dada por

𝜔𝑝 =𝑚∑

𝑖1,...,𝑖𝑘,𝑗1,...,𝑗𝑙=1𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘𝑗1,...,𝑗𝑙

(𝑝) 𝜕

𝜕𝑥𝑖1

𝑝

⊗ · · · ⊗ 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑘

𝑝

⊗ d𝑥𝑗1𝑝 ⊗ · · · ⊗ d𝑥𝑗𝑙𝑝 ,

em cada 𝑝 ∈ 𝑈 , para funções 𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘𝑗1,...,𝑗𝑙: 𝑈 → R. As funções 𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘𝑗1,...,𝑗𝑙

são chamadas de funçõescoordenadas de 𝜔 na carta (𝑈,𝜙).

Pela definição das cartas que definem o atlas de T(𝑘,𝑙) 𝑀 , temos o seguinte resultado:

Proposição 1.6.9. Sejam 𝑀 uma variedade suave e 𝜔 : 𝑀 → T(𝑘,𝑙) 𝑀 uma seção do fibrado dos(𝑘, 𝑙)-tensores de 𝑀 . O mapa 𝜔 é suave se e somente se as suas funções coordenadas são suavesem cada carta suave de 𝑀 .

A Proposição 1.6.9 tem como corolário que a soma de seções suaves do fibrado (𝑘, 𝑙)-tensoresde uma variedade suave 𝑀 é uma soma de seções suaves do fibrado (𝑘, 𝑙)-tensores de 𝑀 . Assimcomo a multiplicação de uma seção suave do fibrado dos (𝑘, 𝑙)-tensores por uma função suave de𝑀 é uma seção suave do fibrado dos (𝑘, 𝑙)-tensores. Isto é, o conjunto Γ(𝑇 (𝑘,𝑙)𝑀) das seções suavesdo fibrado dos (𝑘, 𝑙)-tensores de uma variedade suave 𝑀 é um 𝐶∞(𝑀)-módulo.

Definição 1.6.10. Seja 𝑀 uma variedade suave. Uma 𝑘-forma de 𝑀 em um ponto 𝑝 de 𝑀 é umelemento do espaço vetorial ⋀𝑘 T*

𝑝𝑀 .

Exemplo 1.6.11. Seja (𝑈,𝜙) uma carta suave de uma variedade suave 𝑀 de dimensão 𝑚 e funçõescoordenadas 𝑥1, . . . , 𝑥𝑚. Para cada 𝑝 ∈ 𝑈 , os 𝑘-tensores em 𝑝

d𝑥𝑖1𝑝 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑖𝑘𝑝 ∈ T(𝑘,𝑙)𝑝 , 1 6 𝑖1 < · · · < 𝑖𝑘 6 𝑚,

formam uma base para ⋀𝑘 T*𝑝𝑀 .

55

Definição 1.6.12. Seja 𝑀 uma variedade suave. O conjunto

𝑘⋀T* 𝑀 = ⊔𝑝∈𝑀

𝑘⋀T*𝑝𝑀

munido do mapa 𝜋 : ⋀𝑘 T* 𝑀 → 𝑀 , dado por

𝜋(𝜔𝑝) = 𝑝, 𝜔𝑝 ∈𝑘⋀

T*𝑝𝑀,

é chamado de fibrado das 𝑘-formas de 𝑀 .

Novamente em analogia com a construção feita para os fibrados tangentes, o fibrado ⋀𝑘 T* 𝑀das 𝑘-formas em uma variedade 𝑀 possue uma estrutura suave tal que a projeção 𝜋 : ⋀𝑘 T* 𝑀 →𝑀 é um mapa suave.

Esta estrutura suave de ⋀𝑇 *𝑀 é dada pelas cartas suaves (𝜋−1(𝑈),Φ), onde (𝑈,𝜙) é uma cartasuave em 𝑀 e Φ: 𝜋−1(𝑈) → 𝜙(𝑈) × R(𝑚

𝑘 ) o mapa dado por

Φ⎛⎝ ∑

16𝑖1<···<𝑖𝑘6𝑚𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘(𝑝) d𝑥𝑖1𝑝 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑖𝑘𝑝

⎞⎠ =(𝜙(𝑝), (𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘(𝑝))

),

para todo ∑16𝑖1<···<𝑖𝑘6𝑚

𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘(𝑝) d𝑥𝑖1𝑝 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑖𝑘𝑝 ∈𝑘⋀

T*𝑝𝑀 ⊂ 𝜋−1(𝑈).

Definição 1.6.13. Um mapa 𝜔 : 𝑀 → ⋀𝑘 T* 𝑀 é uma seção do fibrado das 𝑘-formas de umavariedade sauve 𝑀 se e somente se o diagrama

⋀T* 𝑀

𝜋��

𝑀 id𝑀

//

𝜔::

𝑀

é comutativo. Se, além disso, 𝜔 é um mapa suave então dizemos que 𝜔 é uma 𝑘-forma em 𝑀 . Oconjunto das 𝑘-formas em 𝑀 é denotado por Ω𝑘(𝑀).

Sejam 𝑀 uma variedade suave de dimensão 𝑚 e 𝜔 : 𝑀 → ⋀𝑘 T* 𝑀 uma seção do fibrado das𝑘-formas de 𝑀 . Em uma carta suave (𝑈,𝜙) de 𝑀 a seção 𝜔 deve ser dada por

𝜔𝑝 =∑

16𝑖1<···<𝑖𝑘6𝑚𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘(𝑝) d𝑥𝑖1𝑝 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑖𝑘𝑝 ,

em cada 𝑝 ∈ 𝑈 , para funções 𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘 : 𝑈 → R. As funções 𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘 são chamadas de funçõescoordenadas de 𝜔 na carta (𝑈,𝜙).

Pela definição das cartas que definem o atlas de ⋀T* 𝑀 , temos o seguinte resultado:

56

Proposição 1.6.14. Sejam 𝑀 uma variedade suave e 𝜔 : 𝑀 → ⋀T* 𝑀 uma seção do fibrado das𝑘-formas de 𝑀 . O mapa 𝜔 é suave se e somente se as suas funções coordenadas são suaves emcada carta suave de 𝑀 .

Segue da Proposição 1.6.14 que Ω𝑘(𝑀) é um 𝐶∞(𝑀)-módulo.

Proposição 1.6.15. Sejam 𝛼 uma 𝑘-forma e 𝛽 uma 𝑙-forma em uma variedade suave 𝑀 . A seção𝛼 ∧ 𝛽 : 𝑀 → ⋀𝑘+𝑙 T* 𝑀 do fibrado das 𝑘 + 𝑙-formas em 𝑀 dada por

(𝛼 ∩ 𝛽)𝑝 = 𝛼𝑝 ∧ 𝛽𝑝, 𝑝 ∈ 𝑀,

é uma 𝑘 + 𝑙-forma em 𝑀 .

Demonstração. Seja 𝑚 a dimensão de 𝑀 . Utilizaremos o resultado da Proposição 1.6.14 paraconcluirmos que 𝛼 ∩ 𝛽 é suave.

Em um ponto 𝑝 contido em uma carta (𝑈, (𝑥𝑖)) de 𝑀 ,

(𝛼 ∧ 𝛽)𝑝

=⎛⎝ ∑

16𝑖1<···<𝑖𝑘6𝑚𝛼𝑖1,...,𝑖𝑘(𝑝) d𝑥𝑖1𝑝 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑖𝑘𝑝

⎞⎠ ∧

⎛⎝ ∑16𝑗1<···<𝑗𝑙6𝑚

𝛽𝑖1,...,𝑖𝑘(𝑝) d𝑥𝑗1𝑝 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑗𝑙𝑝

⎞⎠=

∑16𝑟1<···<𝑟𝑘+𝑙

⎛⎝ ∑{𝑖1,...,𝑖𝑘,𝑗1,...,𝑗𝑙}={𝑟1,...,𝑟𝑘+𝑙}

𝑐𝑖1,...,𝑖𝑘,𝑗1,...,𝑗𝑙𝛼𝑖1,...,𝑖𝑘(𝑝)𝛽𝑖1,...,𝑖𝑘(𝑝)⎞⎠ d𝑥𝑟1

𝑝 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑟𝑘+𝑙𝑝 ,

onde 𝑐𝑖1,...,𝑖𝑘,𝑗1,...,𝑗𝑙 = ±1. Assim, as funções coordenadas de 𝛼 ∧ 𝛽 são suaves em (𝑈, (𝑥𝑖)) uma vezque as coordenas de 𝛼 e 𝛽 nesta mesma carta são suaves.

1.7 OrientabilidadeSeja 𝑉 um espaço vetorial real de dimensão finita 𝑛. Dizemos que duas bases ordenadas

(𝑣1, . . . , 𝑣𝑛) e (𝑤1, . . . , 𝑤𝑛) de 𝑉 tem a mesma orientação se o determinante

det(𝑎𝑖𝑗), onde 𝑤𝑗 =𝑛∑𝑗=1

𝑎𝑖𝑗𝑣𝑖,

for um número real positivo. Esta relação entre bases oredenas é uma relação de equivalência. Alémdisso, o conjunto de todas as bases ordenadas de 𝑉 tem exatamente duas classes de equivalências.Cada uma dessas classes é chamada de orientação de 𝑉 .

Dadas duas bases ordenadas (𝑣1, . . . , 𝑣𝑛) e (𝑤1, . . . , 𝑤𝑛) de 𝑉 temos que

𝑤1 ∧ · · · ∧ 𝑤𝑛 = det(𝑎𝑖𝑗)𝑣1 ∧ · · · ∧ 𝑣𝑛, onde 𝑤𝑗 =𝑛∑𝑗=1

𝑎𝑖𝑗𝑣𝑖,

em ⋀𝑛 𝑉 . Desta forma, as bases ordenadas (𝑣1, . . . , 𝑣𝑛) e (𝑤1, . . . , 𝑤𝑛) tem a mesma orientação see somente se

𝑤1 ∧ · · · ∧ 𝑤𝑛 = 𝜆𝑣1 ∧ · · · ∧ 𝑣𝑛

57

para algum número positivo 𝜆. Assim, um elemento não nulo 𝜔 de ⋀𝑛 𝑉 determina uma orientaçãode 𝑉 , a orientação das bases ordenadas (𝑣1, . . . , 𝑣𝑛) de 𝑉 tais que

𝑣1 ∧ · · · ∧ 𝑣𝑛 = 𝜆𝜔,

para algum 𝜆 > 0.

Definição 1.7.1. Seja 𝑀 uma variedade de dimensão 𝑚. Dizemos que uma 𝑚-forma 𝜔 em 𝑀 éuma orientação se 𝜔𝑝 = 0 ∈ ⋀𝑚 T*

𝑝𝑀 para todo 𝑝 ∈ 𝑀 . A variedade suave 𝑀 é dita orientávelse Ω𝑚(𝑀) possuir uma orientação de 𝑀 . Um par (𝑀 ,𝜔) formado por uma variedade suave 𝑀 euma orientação 𝜔 de 𝑀 é chamado de variedade suave orientada.

Suponhamos que (𝑈, (𝑥𝑖)) e (𝑉, (𝑦𝑖)) sejam cartas suaves de uma variedade suave𝑀 de dimensão𝑚. Pela Regra da Cadeia (Proposição 1.6.3), temos, nos pontos 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 , que

d 𝑦𝑗𝑝 =𝑚∑𝑖=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) d𝑥𝑖𝑝,

onde𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) = 𝜕(𝑦𝑗 ∘ 𝜙−1)

𝜕𝑥𝑖(𝜙(𝑝)).

Logo, em cada 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 ,

(d 𝑦1 ∧ · · · ∧ d 𝑦𝑚)𝑝 = det(𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝))

(d𝑥1 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑛)𝑝.

Desta forma, (d𝑥1 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑛)𝑝 e (d 𝑦1 ∧ · · · ∧ d 𝑦𝑚)𝑝 definem a mesma orienção em 𝑇 *𝑝𝑀 se e

somente sedet

(𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝))> 0.

Teorema 1.7.2. Seja 𝑀 uma variedade suave de dimensão 𝑚. As afirmações são equivalentes:

(i) A variedade 𝑀 é orientável;

(ii) Existe uma família 𝒞 de cartas suaves de 𝑀 , tal que 𝑀 = ∪(𝑈,𝜙)∈𝒞𝑈 e, para cada par decartas (𝑈, (𝑥𝑖)) e (𝑉, (𝑦𝑖)),

det(𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝))> 0, 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 ;

(iii) Existe um difeomorfismo 𝐹 : 𝑀 × R → ⋀𝑚 T* 𝑀 tal que 𝐹 (𝑝, 𝑡) ∈ ⋀𝑚 T*𝑝𝑀 para todo

(𝑝, 𝑡) ∈ 𝑀 × R.

58

Demonstração.(i)⇒(ii)

Sejam 𝜔 ∈ ⋀𝑚 T* 𝑀 uma orientação de 𝑀 e 𝒞 ′ uma família de cartas suave de 𝑀 tais que𝑀 = ∪(𝑈,𝜙)∈𝒞′𝑈 .

Suponhamos que (𝑈,𝜙) ∈ 𝒞 ′ tenha com funções coordenadas 𝑥1,. . . ,𝑥𝑚. Como 𝜔 é uma 𝑚-forma que não se anula, a função coordenada 𝜆 : 𝑈 → R de 𝜔 na carta (𝑈,𝜙) é suave e não seanula pois

𝜔𝑝 = 𝜆(𝑝)(d𝑥1 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑛)𝑝, 𝑝 ∈ 𝑈.

Logo, a função 𝜆 é estritamente positiva ou estritamente negativa. Tomando 𝑇 : R𝑚 → R𝑚 comosendo a transformação linear dada por

𝑇 (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑚) = (−𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑚), (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑚) ∈ R𝑚,

temos que (𝑈, 𝑇 ∘ 𝜙) é uma carta suave em 𝑀 com funções coordenadas 𝑦1 = −𝑥1, 𝑦2 = 𝑥2, . . . ,𝑦𝑚 = 𝑥𝑚. Assim, para todo 𝑝 ∈ 𝑈 ,

𝜔𝑝 = 𝜆(𝑝)(d𝑥1 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑚)𝑝 = −𝜆(𝑝)(d 𝑦1 ∧ · · · ∧ d 𝑦𝑚)𝑝

e, consequentemente, −𝜆 é a função coordenda de 𝜔 na carta suave (𝑈, 𝑇 ∘𝜙). Com isso, podemosconcluir que existe uma carta suave (𝑈, 𝜓) de 𝑀 tal que a função coordenada de 𝜔 nesta carta éestritamente positiva.

Pela conclusão acima, deve existir uma família 𝒞 de cartas suaves em 𝑀 nas quais as funçõescoordenada de 𝜔 são estritamente positivas e 𝑀 = ∪(𝑈,𝜙)∈𝒞𝑈 .

Desta forma, dadas cartas (𝑈, (𝑥𝑖)) e (𝑉, (𝑦𝑖)) ∈ 𝒞, devemos ter que

𝜆(𝑝)(d𝑥1 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑚)𝑝 = 𝜔𝑝 = 𝜇(𝑝)(d 𝑦1 ∧ · · · ∧ d 𝑦𝑚)𝑝, 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉,

para funções suaves estritamente positivas 𝜆 : 𝑈 → R e 𝜇 : 𝑉 → R. Logo,

𝜆(𝑝)𝜇(𝑝)(d𝑥1 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑚)𝑝 = (d 𝑦1 ∧ · · · ∧ d 𝑦𝑚)𝑝 = det

(𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝))

(d𝑥1 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑛)𝑝, 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉,

e, consequentemente,

det(𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝))

= 𝜆(𝑝)𝜇(𝑝) > 0, 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉.

(ii)⇒(i)

Suponhamos que 𝒞 = {(𝑈𝜆, 𝜙𝜆)}𝜆∈Λ seja uma família de cartas suaves em 𝑀 com as proprie-dades do item (ii).

Como 𝒰 = {𝑈𝜆}𝜆∈Λ é uma cobertura aberta de 𝑀 , podemos considerar uma partição daunidade suave {𝜑𝜆}𝜆∈Λ subordinada à 𝒰 .

59

Mostraremos que a igualdade

𝜔 =∑

(𝑈𝜆,(𝑥𝑖))∈𝒞𝜑𝜆 d𝑥1 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑚

define uma orientação de 𝑀 .Primeiramente, observemos que, para qualquer (𝑈𝜆, (𝑥𝑖)) ∈ 𝒞, 𝜑𝜆 d𝑥1 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑚 é suave pois

supp𝜑𝜆 ⊂ 𝑈𝜆 (implicando que 𝜑𝜆 d𝑥1 ∧· · ·∧d𝑥𝑚 é nula em 𝑀∖ supp𝜑𝜆 ⊂ 𝑀∖𝑈𝜆) e 𝜑𝜆 d𝑥1 ∧· · ·∧d𝑥𝑚 é uma multiplicação de uma 𝑚-forma por uma função suave em 𝑈𝜆.

Seja 𝑝 ∈ 𝑀 . Existe um aberto 𝑉 de 𝑀 contendo 𝑝 tal que 𝑉 ∩ supp𝜑𝛼 = ∅ somente para𝜆 = 𝜆1, 𝜆2, . . . , 𝜆𝑘 ∈ Λ. Desta forma,

𝜔𝑞 = (𝜑𝜆1 d𝑥11 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑚1 )𝑞 + · · · + (𝜑𝜆𝑘

d𝑥1𝑘 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑚𝑘 )𝑞, 𝑞 ∈ 𝑉,

onde 𝑥1𝑗 , . . . , 𝑥𝑚𝑗 são as funções coordenadas de (𝑈𝜆𝑗

, 𝜙𝜆𝑗). Segue daí que 𝜔 é bem definido e suave

em 𝑉 . De onde conclui-se que 𝜔 é bem definido e suave em 𝑀 .Por fim, mostraremos que 𝜔𝑝 = 0 para todo 𝑝 ∈ 𝑀 . Fixemos 𝑝 ∈ 𝑀 . Devemos ter que

𝜑𝜆(𝑝) = 0 somente para 𝜆 = 𝜆 = 𝜆1, 𝜆2, . . . , 𝜆𝑘 ∈ Λ. Como supp𝜑𝜆 ⊂ 𝑈𝜆, devemos ter que𝑝 ∈ 𝑈𝜆1 ∩ · · · ∩ 𝑈𝜆𝑘

. Assim,

𝜔𝑝 = 𝜑𝜆1(𝑝)(d𝑥11 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑚1 )𝑝 + 𝜑𝜆2(𝑝)(d𝑥1

2 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑚2 )𝑝 + · · · + 𝜑𝜆𝑘(𝑝)(d𝑥1

𝑘 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑚𝑘 )𝑝= 𝜑𝜆1(𝑝)(d𝑥1

1 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑚1 )𝑝+

+𝜑𝜆2(𝑝) det(𝜕𝑥𝑗2𝜕𝑥𝑖1

(𝑝))

(d𝑥11 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑚1 )𝑝 + · · · + 𝜑𝜆𝑘

(𝑝) det(𝜕𝑥𝑗𝑘𝜕𝑥𝑖1

(𝑝))

(d𝑥11 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑚1 )𝑝

=(𝜑𝜆1(𝑝) + 𝜑𝜆2(𝑝) det

(𝜕𝑥𝑗2𝜕𝑥𝑖1

(𝑝))

+ · · · + 𝜑𝜆𝑘(𝑝) det

(𝜕𝑥𝑗𝑘𝜕𝑥𝑖1

(𝑝)))

(d𝑥11 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑚1 )𝑝

é não nulo pois

𝜑𝜆1(𝑝) + 𝜑𝜆2(𝑝) det(𝜕𝑥𝑗2𝜕𝑥𝑖1

(𝑝))

+ · · · + 𝜑𝜆𝑘(𝑝) det

(𝜕𝑥𝑗𝑘𝜕𝑥𝑖1

(𝑝))> 0.

(i)⇒(iii)

Seja 𝜔 uma orientação de 𝑀 .Como 𝜔𝑝 = 0, cada 𝜏𝑝 ∈ ⋀𝑚 T*

𝑝𝑀 é escrito unicamente como 𝑡𝜔𝑝 para algum 𝑡 ∈ R. Assim,podemos definir um mapa 𝐹 : 𝑀 × R → ⋀𝑚 T* 𝑀 por

𝐹 (𝑝, 𝑡) = 𝑡𝜔𝑝, (𝑝, 𝜆) ∈ 𝑀 × R.

Fica também definido o mapa 𝐹−1 : ⋀𝑚 T* 𝑀 → 𝑀 × R por

𝐹−1(𝑡𝜔𝑝) = (𝑝, 𝜆), 𝑡𝜔𝑝 ∈𝑚⋀

T*𝑝𝑀.

60

Seja (𝑈,𝜙) uma carta suave em 𝑀 com funções coordenadas 𝑥1, . . . , 𝑥𝑚. Esta carta induzcartas suaves (𝜋−1(𝑈),Φ) em ⋀𝑚 T* 𝑀 e (𝑈 × R, 𝜙× 1), onde

Φ(𝑠(d𝑥1 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑛)𝑝) = (𝜙(𝑝), 𝑠), 𝑠(d𝑥1 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑛)𝑝 ∈𝑚⋀

T*𝑝𝑀.

Seja 𝜆 : 𝑈 → R a função coordenada de 𝜔 na carta (𝑈,𝜙). Como 𝜔 é suave e não se anula temosque 𝜆 é uma função suave que não se anula. Assim, para todo (𝜙(𝑝), 𝑠) ∈ 𝜙(𝑈) × R, temos que

(𝜙× 1) ∘ 𝐹−1 ∘ Φ−1(𝜙(𝑝), 𝑠) = (𝜙× 1) ∘ 𝐹−1(𝑠(d𝑥1 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑛)𝑝) = (𝜙× 1) ∘ 𝐹−1(

𝑠

𝜆(𝑝)𝜔𝑝)

= (𝜙× 1)(𝑝,

𝑠

𝜆(𝑝)

)=

(𝜙(𝑝), 𝑠

𝜆(𝑝)

).

Logo, (𝜙× 1) ∘ 𝐹−1 ∘ Φ−1 é um difeomorfismo.Com isso, concluímos que 𝐹 é um difeomorfismo.

(iii)⇒(i)

Seja 𝐹 : 𝑀 × R → ⋀𝑚 T* 𝑀 um difeomorfismo. Podemos definir uma orientação em 𝑀 pelaigualdade

𝜔𝑝 = 𝐹 (𝑝, 1), 𝑝 ∈ 𝑀.

Uma variedade suave orientada (𝑀,𝜔) tem uma orientação em cada T𝑝𝑀 , 𝑝 ∈ 𝑀 , definidapor 𝜔. De fato, as bases ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) de T𝑝𝑀 tais que 𝜔𝑝((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) > 0 formamuma orientação de 𝑀 . Podemos verificar este fato mostrando que se ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) é uma baseordenada de 𝑇𝑝𝑀 tal que 𝜔𝑝((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) > 0 então uma base ordenada ((𝐸 ′

1)𝑝, . . . , (𝐸 ′𝑚)𝑝) de

T𝑝𝑀 pertence à mesma orientação que ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) se e somente se 𝜔𝑝((𝐸 ′1)𝑝, . . . , (𝐸 ′

𝑚)𝑝) >0. Seja ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) uma base ordenada de T𝑝𝑀 tal que 𝜔𝑝((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) > 0. Comodim⋀𝑚 T*

𝑝𝑀 = 1, devemos ter, para algum 𝜆 > 0, que𝜔𝑝 = 𝜆(𝐸*

1)𝑝 ∧ · · · ∧ (𝐸*𝑚)𝑝,

onde ((𝐸*1)𝑝, . . . , (𝐸*

𝑚)𝑝) é a base ordenada de T*𝑝𝑀 dual a ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝). Assim, se ((𝐸 ′

1)𝑝,. . . ,(𝐸 ′

𝑚)𝑝) é outra base ordenada de T𝑝𝑀 , com

(𝐸 ′𝑗)𝑝 =

𝑚∑𝑖=1

𝑎𝑖𝑗(𝐸𝑖)𝑝,

então𝜔𝑝((𝐸 ′

1)𝑝, . . . , (𝐸 ′𝑚)𝑝) = 𝜆(𝐸*

1)𝑝 ∧ · · · ∧ (𝐸*𝑚)𝑝((𝐸 ′

1)𝑝, . . . , (𝐸 ′𝑚)𝑝) = 𝜆 det(𝑎𝑖𝑗).

Logo, ((𝐸 ′1)𝑝, . . . , (𝐸 ′

𝑚)𝑝) pertence à mesma orientação que ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) se e somente 𝜔𝑝((𝐸 ′1)𝑝,

. . . , (𝐸 ′𝑚)𝑝) > 0.

Definição 1.7.3. Se (𝑀,𝜔) é uma variedade suave orientada, dizemos que uma base ordenada((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) de T𝑝𝑀 é uma base orientada se e somente se

𝜔𝑝((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) > 0.

61

1.8 Variedades RiemannianasDefinição 1.8.1. Uma métrica Riemanniana 𝑔 em uma variedade suave 𝑀 é uma seção suavede T(0,2) 𝑀 tal que 𝑔𝑝 ∈ T(0,2)

𝑝 𝑀 = T*𝑝 ⊗ T*

𝑝𝑀 é um produto interno em T*𝑝𝑀 para cada 𝑝 ∈

𝑀 . Quando 𝑔 é uma métrica Riemanniana em 𝑀 , dizemos que o par (𝑀, 𝑔) é uma variedadeRiemanniana.

Exemplo 1.8.2. Seja 𝑈 um subespaço aberto de R𝑛. Podemos definir uma métrica Riemanniana

𝑔 =𝑛∑𝑖=1

d𝑥𝑖 ⊗ d𝑥𝑖

em 𝑈 . De fato, 𝑔 é suave pois suas funções coordenadas na carta (𝑈, 1R𝑛) são as funções constantesigual a 1. Além disso, em cada 𝑥 ∈ 𝑈 ,

𝜕

𝜕𝑥1

𝑥

, . . . ,𝜕

𝜕𝑥𝑛

𝑥

é uma base ortonormal de T𝑥 𝑈 munido da aplicação bilinear 𝑔𝑥.

Seja 𝑀 uma variedade suave de dimensão 𝑚 e atlas 𝒜 = {(𝑈𝜆, 𝜙𝜆)}𝜆∈Λ. Mostraremos a seguirque existe uma métrica Riemanniana 𝑔 em 𝑀 .

Seja (𝑈𝜆, 𝜙𝜆) uma carta suave do atlas 𝒜 de 𝑀 com funções coordenadas 𝑥1, . . . , 𝑥𝑚. Podemosdefir em 𝑈𝜆 uma métrica Riemanniana 𝑔𝜆 dada por

𝑔𝜆 =𝑚∑𝑖=1

d𝑥𝑖 ⊗ d𝑥𝑖.

Consideremos uma partição da unidade suave {𝜑𝜆}𝜆∈Λ em 𝑀 subordinada à cobertura aberta{𝑈𝜆}𝜆∈Λ.

Para cada 𝜆 ∈ Λ, podemos definir uma seção 𝜑𝜆𝑔𝜆 de T(0,2) 𝑀 dada por

(𝜑𝜆𝑔𝜆)𝑝 ={𝜑(𝑝)𝑔𝜆𝑝 , 𝑝 ∈ 𝑈𝜆;0, 𝑝 ∈ 𝑀∖𝑈𝜆.

Como supp𝜑𝜆 ⊂ 𝑈𝜆, seção 𝜑𝜆𝑔𝜆 é identicamente nula no aberto 𝑀∖ supp𝜑𝜆. Logo, 𝜑𝜆𝑔𝜆 é suaveem 𝑀∖ supp𝜑𝜆. Já em 𝑈𝜆, a seção 𝜑𝜆𝑔𝜆 é o produto de uma função suave com uma seção suave deT(0,2) 𝑈𝜆 ⊂ T(0,2) 𝑀 e, consequentemente, é suave. Logo, como 𝑀 = (𝑀∖ supp𝜑𝜆)∪𝑈𝜆, concluímosque 𝜑𝜆𝑔𝜆 é suave em 𝑀 .

Dado um ponto 𝑝 de 𝑀 , existe uma quantidade finita de 𝜆 ∈ Λ tais que 𝜑𝜆(𝑝) = 0. Por isso,faz sentido definir uma seção 𝑔 de T(0,2) 𝑀 pela igualdade

𝑔𝑝 = 𝜑𝜆1(𝑝)𝑔𝜆1𝑝 + · · · + 𝜑𝜆𝑘

(𝑝)𝑔𝜆𝑘𝑝 ,

onde 𝜆1, . . . , 𝜆𝑘 são os elementos 𝜆 ∈ Λ tais que 𝜑𝜆(𝑝) = 0. Ou seja,

𝑔 =∑𝜆∈Λ

𝜑𝜆𝑔𝜆.

62

Suponhamos que 𝑝 ∈ 𝑀 e 𝜆1, . . . , 𝜆𝑘 são os elementos 𝜆 ∈ Λ tais que 𝜑𝜆(𝑝) = 0. Como 𝑔𝜆𝑖𝑝 é

um produto interno em T𝑝𝑀 e 𝜑𝜆𝑖(𝑝) > 0, segue que 𝜑𝜆𝑖

(𝑝)𝑔𝜆𝑖𝑝 é também um produto interno em

T𝑝𝑀 . Assim,𝑔𝑝 = 𝜑𝜆1(𝑝)𝑔𝜆1

𝑝 + · · · + 𝜑𝜆𝑘(𝑝)𝑔𝜆𝑘

𝑝 ,

é um produto interno em T𝑝𝑀 pois é uma soma de produtos internos.Por fim, concluiremos que 𝑔 é uma seção suave de mostrando que para cada 𝑝 ∈ 𝑀 existe

uma aberto 𝑉 de 𝑀 contendo 𝑝 tal que 𝑔 é suave em 𝑉 . De fato, como a família {supp𝜑𝜆}𝜆∈Λ élocalmente finita existe um aberto 𝑉 de 𝑀 contendo 𝑝 tal que 𝑉 ∩ supp𝜑𝜆 = ∅ somente para umaquantidade finita de elementos de Λ. Sejam 𝜆1, . . . , 𝜆𝑘 os elementos 𝜆 ∈ Λ tais que 𝑉 ∩supp𝜑𝜆 = ∅.Pela definição de 𝑔 e a propriedade do aberto 𝑉 , temos que

𝑔𝑞 = 𝜑𝜆1(𝑞)𝑔𝜆1𝑞 + · · · + 𝜑𝜆𝑘

(𝑞)𝑔𝜆𝑘𝑞 , 𝑞 ∈ 𝑉.

Logo,𝑔|𝑉 = (𝜑𝜆1𝑔

𝜆1 + · · · + 𝜑𝜆𝑘𝑔𝜆𝑘)|𝑉 .

Ou seja, 𝑔 coincide em 𝑉 com uma soma se seções suaves de T(0,2) 𝑀 . Então, 𝑔 é suave em 𝑉 .Portanto, (𝑀, 𝑔) é uma variedade Riemanniana.

Definição 1.8.3. Seja (𝑈, (𝑥𝑖)) uma carta suave em uma variedade Riemanniana (𝑀, 𝑔). Sejam𝑔𝑖𝑗 ∈ 𝐶∞(𝑈) as funções coordenadas de 𝑔 na carta (𝑈, (𝑥𝑖)), isto é, as funções suaves dadas pelaigualdade

𝑔|𝑈 =𝑚∑

𝑖,𝑗=1𝑔𝑖𝑗 d𝑥𝑖 ⊗ d𝑥𝑗.

Dizemos que a matriz de funções suaves em 𝑈

𝐺 = (𝑔𝑖𝑗)

é a matriz da métrica 𝑔 na carta suave (𝑈, (𝑥𝑖)).

Consideremos duas cartas suaves (𝑈, (𝑥𝑖)) e (𝑉, (𝑦𝑖)) em uma variedade Riemanniana (𝑀, 𝑔) dedimensão 𝑚 e suas respectivas matrizes 𝐺𝑈 = (𝑔𝑖𝑗) e 𝐺𝑉 = (𝑔𝑖𝑗) da métrica 𝑔. Suponhamos que𝑈 ∩ 𝑉 = ∅. Pela Regra da Cadeia (Proposição 1.6.3),

d 𝑦𝑗 =𝑚∑𝑖=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖d𝑥𝑖,

onde 𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖é a função suave em 𝑈 ∩ 𝑉 dada por

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) = 𝜕(𝑦𝑗 ∘ 𝜙−1)

𝜕𝑥𝑖(𝜙(𝑝)), 𝜙 = (𝑥𝑖) e 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉.

63

Logo,

𝑔𝑖𝑗(𝑝) = 𝑔𝑝

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑦𝑖

𝑝

,𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝑝

⎞⎠=

𝑚∑𝑘,𝑙=1

𝑔𝑘𝑙(𝑝)⎛⎝d𝑥𝑘𝑝

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑦𝑖

𝑝

⎞⎠⎞⎠⎛⎝d𝑥𝑙𝑝

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝑝

⎞⎠⎞⎠=

𝑚∑𝑘,𝑙=1

𝑔𝑘𝑙(𝑝)(𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑦𝑖(𝑝))(

𝜕𝑥𝑙

𝜕𝑦𝑗(𝑝))

=𝑚∑𝑘=1

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑦𝑖(𝑝)

(𝑚∑𝑙=1

𝑔𝑘𝑙(𝑝)𝜕𝑥𝑙

𝜕𝑦𝑗(𝑝)),

para todo 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 . Assim, para todo 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 ,

𝐺𝑉 (𝑝) =(𝑔𝑖𝑗(𝑝)

)=(𝜕𝑥𝑗

𝜕𝑦𝑖(𝑝))(

𝑔𝑖𝑗(𝑝))(𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑦𝑗(𝑝))

= 𝐽(𝑝)𝑇𝐺𝑈(𝑝)𝐽(𝑝),

onde 𝐽(𝑝) =(𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑦𝑗 (𝑝)). Portanto,

𝐺𝑉 = 𝐽𝑇𝐺𝑈𝐽. (1.8.1)

Proposição 1.8.4. Seja (𝑀, 𝑔) uma variedade Riemanniana orientável de dimensão 𝑚. Existeuma orientação d𝑉 de 𝑀 tal que, considerando a variedade orientada (𝑀, d𝑉 ), a igualdade

d𝑉𝑝 = (𝐸1)𝑝 ∧ · · · ∧ (𝐸𝑚)𝑝

vale para toda base ordenada ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) de T*𝑝𝑀 dual à uma base ortonormal e orientada

de (T𝑝𝑀, 𝑔𝑝).

Observação 1.8.5. A 𝑚-forma d𝑉 como na Proposição 1.8.4 é única a menos de sinal. Ou seja,se (𝑀,𝜔) é uma variedade orientada com uma métrica Riemanniana 𝑔, existe uma única 𝑚-formad𝑉 tal que

d𝑉𝑝((𝐸1), . . . , (𝐸𝑚)𝑝) = 1

para toda base ((𝐸1), . . . , (𝐸𝑚)𝑝) ortonormal e orientada (isto é 𝜔((𝐸1), . . . , (𝐸𝑚)𝑝) > 0) de(T𝑝𝑀, 𝑔𝑝).

Definição 1.8.6. Seja 𝑀 uma variedade suave munida de uma métrica Riemanniana 𝑔 e umaorientação 𝜔. A 𝑚-forma d𝑉 que satisfaz a igualdade

d𝑉𝑝((𝐸1), . . . , (𝐸𝑚)𝑝) = 1

para toda base ordenada ((𝐸1), . . . , (𝐸𝑚)𝑝) ortonormal e orientada de (T𝑝𝑀, 𝑔𝑝), é chamada deforma volume de 𝑀 .

64

da Proposição 1.8.4. Pelo Teorema 1.7.2, existe uma família 𝒞 de cartas suaves de 𝑀 , tal que𝑀 = ∪(𝑈,𝜙)∈𝒞𝑈 e, para cada par de cartas (𝑈, (𝑥𝑖)) e (𝑉, (𝑦𝑖)), vale

det 𝐽(𝑝) > 0,

onde 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 e

𝐽(𝑝) =(𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑦𝑗(𝑝))

Seja (𝑈, (𝑥𝑖)) ∈ 𝒞 e 𝐺 sua matriz de 𝑔. Mostraremos que d𝑉 fica bem definida em 𝑈 pelaigualdade

d𝑉𝑝 =√

det𝐺(𝑝)(d𝑥1 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑚)𝑝, 𝑝 ∈ 𝑈. (1.8.2)

Primeiramente, observemos que como 𝐺(𝑝) é a matriz de um produto interno, o determinantedet(𝐺(𝑝)) é um número positivo. Logo, o coeficiente

√det𝐺(𝑝) na equação (1.8.2) está bem

definido.Sejam (𝑈, (𝑥𝑖)) e (𝑉, (𝑦𝑖)) cartas suaves da família 𝒞, com 𝑈 ∩ 𝑉 = ∅, e 𝐺𝑈 e 𝐺𝑉 as matrizes

de 𝑔 nestas cartas. Pela equação 1.8.1, temos que√𝐺𝑉 (𝑝) = sqrt 𝐽(𝑝)𝑇𝐺𝑈(𝑝)𝐽(𝑝) = GU(p) det 𝐽(𝑝).

Assim, para todo 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 ,√

det𝐺𝑉 (𝑝)(d 𝑦1 ∧ · · · ∧ d 𝑦𝑚)𝑝 = (GU(p) det 𝐽(𝑝))(det 𝐽(𝑝)−1(d𝑥1 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑛)𝑝)=

√det𝐺𝑈(𝑝)(d𝑥1 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑚)𝑝

Logo, d𝑉 está bem definido pela equação (1.8.2). Além disso, ele é suave em toda carta suavede 𝑀 pertencente a 𝒞. Portanto, d𝑉 é uma 𝑚-forma.

Sejam ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) uma base ordenada ortonormal e orientada de (T𝑝𝑀, 𝑔𝑝), ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝)a base dual em 𝑇 *

𝑝𝑀 e (𝑈, (𝑥𝑖)) uma carta suave de 𝑀 pertencente à 𝒞 tal que 𝑝 ∈ 𝑈 e com matrixde 𝑔 dada por 𝐺. Como ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) é uma base orientada em do espaço tangente T𝑝𝑀 de𝑝 em (𝑀, d𝑉 ), temos que

d𝑉 ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) > 0.

E, sendo ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) uma base ortogonal de (T𝑝𝑀, 𝑔𝑝), a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗), dada pelasigualdades

𝐸𝑗 =𝑚∑𝑖=1

𝑎𝑖𝑗𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

,

é tal que𝐴𝑇𝐺(𝑝)𝐴 = 𝐼.

65

Assim, denotando por 𝛿 o número real det(𝐴)/| det(𝐴)|, temos que

d𝑉𝑝((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) =√

det𝐺(𝑝)(d𝑥1 ∧ · · · ∧ d𝑥𝑚)𝑝((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝)=

√det𝐺(𝑝) det(𝐴)

=√

det𝐺(𝑝)𝛿√

det(𝐴)2

= 𝛿√

det(𝐴𝑇 ) det(𝐺(𝑝)) det(𝐴)= 𝛿

√det(𝐴𝑇𝐺(𝑝)𝐴)

= 𝛿.

Então, sendo d𝑉 ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) > 0 e 𝛿 = ±1, devemos ter que

d𝑉𝑝((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) = 1

e, consequentemente,d𝑉𝑝 = (𝐸1)𝑝 ∧ · · · ∧ (𝐸𝑚)𝑝.

Definição 1.8.7. Seja 𝑈 um aberto de uma variedade Riemanniana (𝑀, 𝑔) de dimensão 𝑚. Da-dos campos vetoriais 𝐸1, . . . , 𝐸𝑚 em 𝑈 tais que ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) é uma base ortonormal de(T𝑝, 𝑔𝑝), dizemos que (𝐸1, . . . , 𝐸𝑚) é um referencial local ortonormal em 𝑈 . Se (𝑀, 𝑔) for orien-tada pela forma volume d𝑉 , um referencial local ortonormal (𝐸1, . . . , 𝐸𝑚) em 𝑈 é dito orientadose ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) é uma base orientada de (T𝑝, 𝑔𝑝).

Seja (𝑀, 𝑔, d𝑉 ) uma variedade Riemanniana orientada. Dada uma carta suave (𝑈, (𝑥𝑖)) em 𝑀 ,existe um referencial ortonormal orientado (𝐸1, . . . , 𝐸𝑚) em 𝑈 . De fato, podemos contruir camposvetoriais 𝐸 ′

1, . . . , 𝐸 ′𝑚 em 𝑈 definindo (pelo método de Gram-Schimidt),

𝐸 ′𝑗 = 𝜕

𝜕𝑥𝑗−

𝑗−1∑𝑖=1

𝑔

(𝐸 ′𝑖,

𝜕

𝜕𝑥𝑗

)𝐸 ′𝑖.

Desta forma, definindo𝐸 ′′𝑗 = 1

𝑔(𝐸𝑗, 𝐸𝑗)𝐸𝑗,

temos que (𝐸 ′′1 , . . . , 𝐸

′′𝑚) é um referencial ortogonal em 𝑈 . Por fim, aplicando uma permutação na

𝑚-upla (𝐸 ′′1 , . . . , 𝐸

′′𝑚) se necessário, temos um referencial ortonormal orientado (𝐸1, . . . , 𝐸𝑚) em 𝑈 .

1.9 Estrela de HodgeNesta seção 𝑀 denota uma variedade Riemanniana orientada com métrica 𝑔, forma volume

d𝑉 e dimensão 𝑚.

66

Sejam 𝛼 e 𝛽 1-formas em 𝑀 . Definire uma função suave ⟨𝛼, 𝛽⟩ ∈ 𝐶∞(𝑀). Seja (𝑈, (𝑥𝑖)) umacarta suave em 𝑀 , 𝐺 = (𝑔𝑖𝑗) a matriz de 𝑔 em (𝑈, (𝑥𝑖)) e 𝛼𝑗𝑖 e 𝛽𝑗𝑖 ∈ 𝐶∞(𝑈) as funções coordenadasdefinidas por

𝛼𝑝 = 𝛼1(𝑝) d𝑥1𝑝 + · · · + 𝛼𝑚(𝑝) d𝑥𝑚𝑝

e𝛽𝑝 = 𝛽1(𝑝) d𝑥1

𝑝 + · · · + 𝛽𝑚(𝑝) d𝑥𝑚𝑝 .

Verifica-se que ⟨𝛼, 𝛽⟩ fica bem definido em 𝑈 pela igualdade

⟨𝛼, 𝛽⟩(𝑝) =(𝛼1(𝑝) . . . 𝛼𝑚(𝑝)

)𝐺(𝑝)

⎛⎜⎜⎝𝛽1(𝑝)

...𝛽𝑚(𝑝)

⎞⎟⎟⎠ , 𝑝 ∈ 𝑈.

As funções ⟨𝛼, 𝛽⟩ definidas acimas são induzidas por produtos internos nos espaços cotangentes𝑇 *𝑝𝑀 de 𝑀 em 𝑝 ∈ 𝑀 . De fato, podemos definir ⟨·, ·⟩𝑝 : T*

𝑝𝑀 → R por

⟨𝛼𝑝, 𝛽𝑝⟩ = 𝑔𝑝(𝑋𝑝, 𝑌𝑝), 𝛼𝑝 e 𝛽𝑝 ∈ T*𝑝𝑀,

onde 𝑋𝑝 e 𝑌𝑝 são os vetores tangentes tais que

𝛼𝑝 = 𝑔𝑝(·, 𝑋𝑝) e 𝛽𝑝 = 𝑔𝑝(·, 𝑌𝑝).

Desta forma, para todas as 1-formas 𝛼 e 𝛽, temos que

⟨𝛼, 𝛽⟩(𝑝) = ⟨𝛼𝑝, 𝛽𝑝⟩𝑝,

para todo 𝑝 ∈ 𝑀 .Se 𝛼 e 𝛽 𝑘-formas em 𝑀 decomponíveis, isto é, 𝛼 = 𝛼1 ∧ · · · ∧ 𝛼𝑘 e 𝛽 = 𝛽1 ∧ · · · ∧ 𝛽𝑘, para

1-formas 𝛼1, . . . , 𝛼𝑘, 𝛽1 , . . . , 𝛽𝑘 em 𝑀 , então podemos definir uma função suave ⟩𝛼, 𝛽⟨∈ 𝐶∞(𝑀)por

⟨𝛼, 𝛽⟩(𝑝) = det(⟨𝛼𝑖, 𝛽𝑗⟩(𝑝)

), 𝑝 ∈ 𝑀.

Construiremos isomorfismos lineares * : Ω𝑘(𝑀) → Ω𝑚−𝑘(𝑀) tal que, dadas 𝑘-formas 𝛼 =𝛼1 ∧ · · · ∧ 𝛼𝑘 e 𝛽 = 𝛽1 ∧ · · · ∧ 𝛽𝑘 em 𝑀 , 𝛼𝑖 e 𝛽𝑖 ∈ Ω1(𝑀), vale a igualdade

𝛼 ∧ (*𝛽) = ⟨𝛼, 𝛽⟩ d𝑉. (1.9.1)

O isomorfismo * é chamado de operador estrela de Hodge.

Lema 1.9.1. Seja 𝑉 um espaço vetorial real com produto interno ⟨·, ·⟩ e uma base ortonormalformada por vetores 𝑒1, . . . , 𝑒𝑚. Existe um único isomorfismo linear * : ⋀𝑘 𝑉 → ⋀𝑚−𝑘 𝑉 tal que

(𝑣1 ∧ · · · ∧ 𝑣𝑘) ∧ *(𝑤1 ∧ · · · ∧ 𝑤𝑘) = det(⟨𝑣𝑖, 𝑤𝑗⟩)𝑒1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑛, (1.9.2)

para quaisquer 𝑣1, . . . , 𝑣𝑘, 𝑤1, . . . , 𝑤𝑘 ∈ 𝑉 .

67

O lema acima pode ser demonstrado tomando-se

*𝑒𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑖𝑘 = sgn(𝑖)𝑒𝑖𝑘+1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑖𝑚 ,

onde sgn(𝑖) é o sinal da permutação 𝑖 : {1, . . . ,𝑚} → {1, . . . ,𝑚} dada por 𝑖(𝑙) = 𝑖𝑙, 1 6 𝑖1 < · · · <𝑖𝑘 6 𝑚 e 1 6 𝑖𝑘+1 < · · · < 𝑖𝑚 6 𝑚. A unicidade segue diretamente da equação (1.9.2).

Usando o produto interno ⟨·, ·⟩𝑝 em T*𝑝𝑀 definido acima, podemos definir o operador estrela

de Hodge * : ⋀𝑘 T*𝑝𝑀 → ⋀𝑚−𝑘 𝑇 *

𝑝𝑀 , satisfazendo (pela Proposição 1.8.4) a equação

(𝛼1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝛼𝑘𝑝) ∧ (*𝛽1

𝑝 ∧ · · · ∧ 𝛽𝑘𝑝 ) = det(⟨𝛼𝑖𝑝, 𝛽𝑗𝑝⟩𝑝) d𝑉𝑝,

para 𝛼1𝑝, . . . , 𝛼𝑘𝑝, 𝛽1

𝑝 , . . . , 𝛽𝑘𝑝 ∈ T*𝑝𝑀 .

Assim, verifica-se que * : Ω𝑘(𝑀) → Ω𝑚−𝑘(𝑀) pode ser definido por

(*𝛼)𝑝 = *𝛼𝑝.

Proposição 1.9.2 (Propriedades do Operador Estrela de Hodge). (i) Se 𝐸1, . . . , 𝐸𝑚 são 1-formas tais que (𝐸1

𝑝 , . . . , 𝐸𝑚𝑝 ) é a base dual de uma base ortogonal orientada de T𝑝𝑀 então

*𝐸1 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑘 = 𝐸𝑘+1 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑚;

(ii) * d𝑉 = 1 ∈ Ω0(𝑀);

(iii) *1 = d𝑉 ;

(iv) * ∘ * = (−1)𝑘(𝑚−𝑘) : Ω𝑘(𝑀) → Ω𝑘(𝑀).

Demonstração.(i)

Pela equação (1.9.1), temos, para cada 𝑝 ∈ 𝑀 , que

(𝐸𝑖1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑘

𝑝 ) ∧ (*𝐸1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑘

𝑝 ) ={𝐸1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑘

𝑝 , (𝑖1, . . . , 𝑖𝑘) = (1, . . . , 𝑘);0, (𝑖1, . . . , 𝑖𝑘) = (1, . . . , 𝑘).

Logo, *𝐸1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑘

𝑝 = 𝐸𝑘+1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑚

𝑝 , para cade 𝑝 ∈ 𝑀 .

(ii)

Seja (𝐸1𝑝 , . . . , 𝐸

𝑚𝑝 ) uma base de T*

𝑝𝑀 dual a uma base ortonormal e ordenada de T𝑝𝑀 . PelaProposição 1.8.4,

d𝑉𝑝 = 𝐸1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑚

𝑝 .

Assim,d𝑉𝑝 ∧ * d𝑉𝑝 = (𝐸1

𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑚𝑝 ) ∧ *(𝐸1

𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑚𝑝 ) = 𝐸1

𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑚𝑝 = d𝑉𝑝

68

e, consequentemente,d𝑉𝑝 = 1.

(iii)

Pela equação (1.9.1),1 ∧ *1 = d𝑉.

Logo, *1 = d𝑉 .

(iv)

Seja (𝐸1𝑝 , . . . , 𝐸

𝑚𝑝 ) uma base de T*

𝑝𝑀 dual a uma base ortonormal e ordenada de T𝑝𝑀 . Mos-traremos, para 𝑝 ∈ 𝑀 e 1 6 𝑖1 < · · · < 𝑖𝑘 6 𝑚, que

* * 𝐸𝑖1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑘

𝑝 = (−1)𝑘(𝑚−𝑘)𝐸𝑖1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑘

𝑝 .

Desta forma, concluiremos que * ∘ * : ⋀𝑘 T*𝑝𝑀 → ⋀𝑘 T*

𝑝𝑀 é igual à (−1)𝑘(𝑚−𝑘). Logo, * ∘* : Ω𝑘(𝑀) → Ω𝑘(𝑀) é (−1)𝑘(𝑚−𝑘).

Consideremos a permutação 𝑖 : {1, . . . ,𝑚} → {1, . . . ,𝑚} tal que 1 6 𝑖1 < · · · < 𝑖𝑘 6 𝑚 e1 6 𝑖𝑘+1 < · · · < 𝑖𝑚 6 𝑚.

Pela equação (1.9.1),

(𝐸𝑖𝑘+1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑚

𝑝 ) ∧ (*𝐸𝑖𝑘+1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑚

𝑝 ) = 𝐸1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑚

𝑝 .

Logo,*𝐸𝑖𝑘+1

𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑚𝑝 = 𝜆𝐸𝑖1

𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑘𝑝 ,

para algum 𝜆 ∈ R.Assim,

𝐸1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑚

𝑝 = (𝐸𝑖𝑘+1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑚

𝑝 ) ∧ (*𝐸𝑖𝑘+1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑚

𝑝 )= 𝜆𝐸𝑖𝑘+1

𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑚𝑝 ∧ 𝐸𝑖1

𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑘𝑝

= 𝜆𝐸𝑖1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑘

𝑝 ∧ 𝐸𝑖𝑘+1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑚

𝑝

= 𝜆(−1)𝑘(𝑚−𝑘) sgn(𝑖)𝐸1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑚

𝑝 .

Desta forma, 𝜆 = (−1)𝑘(𝑚−𝑘) sgn(𝑖) e, consequentemente,

*𝐸𝑖𝑘+1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑚

𝑝 = (−1)𝑘(𝑚−𝑘) sgn(𝑖)𝐸𝑖1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑘

𝑝 .

Por fim,* * 𝐸𝑖1

𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑘𝑝 = sgn(𝑖) * 𝐸𝑖𝑘+1

𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑚𝑝

= sgn(𝑖)(−1)𝑘(𝑚−𝑘) sgn(𝑖)𝐸𝑖1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑘

𝑝

= (−1)𝑘(𝑚−𝑘)𝐸𝑖1𝑝 ∧ · · · ∧ 𝐸𝑖𝑘

𝑝 .

69

Proposição 1.9.3. Se 𝑀 é uma variedade Riemanniana orientada de dimensão 4 então

Ω2(𝑀) = Ω2− ⊕ Ω2

+,

ondeΩ2

− = {𝜔 ∈ Ω2(𝑀) : * 𝜔 = −𝜔}

eΩ2

+ = {𝜔 ∈ Ω2(𝑀) : * 𝜔 = +𝜔}.

Demonstração. Seja 𝜔 ∈ Ω2. Pela Proposição 1.9.2, * * 𝜔 = 𝜔. Assim,

*(1

2(𝜔 + *𝜔))

= 12(*𝜔 + * * 𝜔) = 1

2(*𝜔 + 𝜔) = 12(𝜔 + *𝜔)

e*(1

2(𝜔 − *𝜔))

= 12(*𝜔 − * * 𝜔) = 1

2(*𝜔 − 𝜔) = −12(𝜔 − *𝜔)

Logo,𝜔 = 1

2(𝜔 − *𝜔) + 12(𝜔 + *𝜔) ∈ Ω2(𝑀) ⊕ Ω2(𝑀).

70

Índice Remissivo

𝑘-forma, 56álgebra de Lie, 42

base orientada de um espaço tangente, 61bola aberta, 3

campo invariantes à esquerda, 43campo vetorial, 39cobertura, 17

diferencial de um mapa suave, 31

esfera, 7espaço cotangente, 52espaço projetivo, 8espaço tangente, 29espaço topológico , 1

aberto de um, 1atlas de um, 4carta local de um, 4Euclideano, 1fechado de um, 1Hausdorff, 4localmente euclideano, 4ponto de um, 1segundo enumerável, 6topologia de um, 1

espaços topológicosmétricos, 2

estrela de Hodge, 67exponencial

de matrizes, 22

fecho, 2fibrado cotangente, 53fibrado das 𝑘-formas, 56fibrado dos tensores mistos, 54

fibrado tangente, 37forma volume, 64funções coordenadas, 27

grupoO(𝑛,R), 20Gl(𝑛,C), 20Gl(𝑛,R), 19SU(𝑛), 21U(𝑛), 21

Grupo de Lie, 19Grupo de Lie

matricial, 20

homeomorfismo, 4homomorfismo

de álgebras de Lie, 42homomorfismo

de grupos de Lie, 19

imersão suave, 13isomorfismo

de álgebras de Lie, 42

localemnte finitacobertura, 17

logaritmode matrizes, 25

métrica , 2do supremo, 3Euclideana, 3

métrica Riemanniana, 62mapa

contínuo, 4quociente, 1suave, 10

71

matriz da métrica Riemanniana, 63mergulho suave, 13

partição da unidade, 17

referencial localortonormal, 66

regra da cadeia, 35representação

adjunta, 42

subgrupo de Lie mergulhado, 20submersão suave, 13subvariedade

imersa, 15mergulhada, 15

tensores mistos, 54Teorema

do Posto, 13topologia , 1

canônica de R, 1canônica de R𝑛, 1de subespaço, 1induzida por uma métrica, 3produto, 1quociente, 1união, 1

variedade Grassmaniana, 9variedade Riemanniana, 62variedade sauve

orientável, 58orientada, 58

vetor tangente, 29

72