teoria e exercecios sobre lei de Kepler

8/18/2019 teoria e exercecios sobre lei de Kepler

1/9

Gravitação1. INTRODUÇÃO

O sistema geocêntrico é um modelo devisão do mundo que admite a Terra nocentro do universo e os demais planetas, aLua e o Sol giram ao seu redor. Esse sistemateve como principal defensor o astrônomo,geógrafo e matemático Cláudio Ptolomeu (100-170 d.c).

O sistema heliocêntrico é um modelo devisão do mundo que admite o Sol no centrodo universo e os planetas girando ao seuredor em trajetórias circulares. Esse sistemateve como principal defensor o mongepolonês Nicolau Copérnico (1473-1543).A controvérsia gerada pelas duas teoriascriou um estímulo maior para que osastrônomos procurassem alcançar, nas suasobservações, dados mais precisos. Foi entãoque o dinamarquês Tycho Brahe (1546-

1601) compilou uma série de dados queposteriormente foram analisados einterpretados por um de seus discípulos,Johannes Kepler (1571-1630).Kepler encontrou certas regularidadesimportantes no movimento dos planetas.Essas regularidades que passaremos aestudar são conhecidas como leis de Kepler.

Nota:As leis de Kepler eram empíricas, semnenhuma interpretação teórica. Kepler não

dava o conceito de força.A partir das leis do movimento e da lei dagravitação de Newton as leis de Kepler foramdeduzidas.

Resumo:

Ptolomeu – Geocêntrico

Copérnico – Heliocêntrico

Observações e dados – Brahe

Análise dos dados e leis empíricas – Kepler

Dedução das leis empíricas de Kepler apartir da mecânica newtoniana – Newton

2. L EIS DE KEPLER

O movimento dos planetas em torno do Sol(e também o de um satélite em torno de umplaneta) está regido pelas leis de Kepler.

a) 1ª lei: Leis das órbitas

Todo planeta descreve em torno do Sol umaórbita elíptica na qual o Sol ocupa um dosfocos.

Observações:

• A 1ª Lei de Kepler não exclui a

possibilidade teórica de uma órbita sercircular, pois a circunferência pode serencarada como um caso particular de elipse

em que os focos coincidem.

• O ponto mais próximo do planeta emrelação ao Sol toma o nome de periélio,enquanto o mais afastado toma o nome deafélio.

b) 2ª lei: Leis das áreas

O segmento de reta que une o centro do Solao centro do planeta varre áreas iguais em

tempos iguais.

Podemos notar que se a área A1 varrida de Apara B é igual à área A2 varrida ao mesmotempo de C para D, então o planeta teve quepercorrer mais velozmente o arco AB que oarco CD.


2/9

Como conseqüência da 2ª lei de Kepler,podemos enunciar o seguinte:

A velocidade de translação de um planeta éfunção decrescente da distância do planetaao Sol.

Isso significa que, à medida que o planeta se

aproxima do Sol, sua velocidade detranslação aumenta. Da mesma forma, àmedida que o planeta se afasta do Sol, suavelocidade de translação diminui.

Observações:

Observe a figura:

Observemos que se a órbita for circular, oplaneta estará sempre à mesma distância doSol e portanto deverá ter sempre velocidadede intensidade constante, ou seja, estará emmovimento uniforme.Podemos observar ainda que em dois pontossimétricos em relação ao eixo maior, oplaneta estará a uma mesma distância doSol e, portanto, terá velocidades de mesmaintensidade.

Resumo:

Planeta no periélio: V máximo

Planeta no afélio: V mínimo

Órbita circular: tanV cons te

Pontos de órbitas simétricos em relação ao

eixo maior:1 2

V V

Nota:

Alguns autores preferem se referir a essa leidizendo que “a velocidade areolar doplaneta é constante”. Por velocidade areolar

se entende o quociente entre a área varrida(A) e o tempo gasto em varrê-la (t).

areolar

AV

t

Assim:Para o planeta 1 (no exemplo, a Terra)

temos:

1

1

areolar

AV

t

(I)

Para o planeta 2 (no exemplo, a Saturno)temos:

2

2

areolar

AV

t

(II)

Dividindo (I) por (II), temos:

1

1

2

2

areolar

areolar

A

V t

AV

t

1 2

1 2

A A

t t

c) 3ª lei: Leis dos períodos

O quadrado do período de qualquer planeta édiretamente proporcional ao cubo de seuraio médio ao Sol.

2 3T k R

A constante de proporcionalidade k dependesomente da massa do Sol.

2

mín máxmédio

r r r

Chamaremos de raio médio ( médior ) da órbita

de um planeta à média aritmética entre adistância do Sol ao periélio ( mínr ) e a

distância do Sol ao afélio ( máxr ).


3/9

De acordo com a terceira lei de Kepler,quanto mais afastado está o planeta do Sol,maior é seu período de translação em tornodo Sol.

Nota:

O período de revolução de um planeta (o seu

ano) depende de sua órbita, assim:Para o planeta A (no exemplo, a Terra),temos:

2 3

A AT k R (I)

Para o planeta B (no exemplo, Saturno),temos:

2 3

B BT k R (II)

Dividindo (I) por (II), temos:

2 3

2 3

A A

B B

T k R

T k R

2 3

2 3

A A

B B

T R

T R

Observações:

• A distância média da Terra ao Sol

denomina-se unidade astronômica (UA) e éusada como escala do Sistema Solar.

111 1, 49 10UA

• Entre Marte e Júpiter encontra-se a famosa

“faixa de asteróides”, onde existe um grandenúmero de planetóides.• Os planetas que possuem satélitesconhecidos são: Terra (um), Marte (dois),

Júpiter (doze), Saturno (dez), Urano (cinco) eNetuno (dois).

3. L EI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL DENEWTON

Examinando as leis de Kepler, Newton

chegou à lei da gravitação universal, que é aseguinte:

A força gravitacional entre dois corpos temintensidade diretamente proporcional aoproduto de suas massas e inversamenteproporcional ao quadrado da distância quesepara seus centros de massa.

Matematicamente, sendo m e M as massasque se atraem, e d a distância que as separa,essa lei pode ser assim representada:

2

G M m F

d

Onde G é uma constante, cujo valor depende

do sistema de unidades escolhido e que tomao nome de constante de gravitação universalou constante de Gauss.No sistema MKS, o valor de G determinadopor Lord Cavendish é o seguinte:

G = 6,67. 10-11 N.m2/kg2

Essa constante não depende do meio: seuvalor é o mesmo no ar, vácuo ou qualqueroutro meio interposto entre corpos.

Nota:

Como a constante G é muito pequena, aforça F só tem intensidade apreciável se aomenos uma das massas for elevada, como ade um planeta. Para corpos de pequenasmassas (pessoas, objetos, veículos), aatração gravitacional F tem intensidadedesprezível.

Curiosidades:

O Sol:• A luz do nosso astro-rei demora 8 min e 15s para chegar até nós.• A distância entre o Sol e a Terra é de148,45 milhões de quilômetros.• Sua massa é 334,672 vezes maior quemassa da Terra, e ele é 109 vezes maior queela.• Na sua superfície a temperatura chega a5500 oC.• Calcula-se que no seu centro atemperatura chega a 15 milhões ºC.• Ele sempre nasce do lado leste.

A Terra:• A massa do planeta é 5,9 sextilhões detoneladas!


4/9

• A população é de 5,2 milhões dehabitantes.• A Terra é o único planeta que possui águano estado líquido e uma combinação defatores (oceanos, atmosfera, etc..) que levamao desenvolvimento de formas de vida.• Distância média da Terra à Lua: 382.166km.

A Lua:• A lua é um satélite natural da Terra e é oastro mais próximo dela.• Ela não tem brilho próprio. A luz quevemos é a do Sol refletida nela, luz quedemora 1,25 segundos para chegar até a

Terra.

4. ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE TERRESTRE

Conforme a figura abaixo, vamos considerarM como sendo a massa da Terra, e m amassa de um corpo situado a uma distânciad do centro da Terra.

Onde:h = altura do corpo para a superfície da

Terra.R = raio da Terra

Assim:d h R

Esse corpo ficou sujeito a uma forçagravitacional F, calculada pela lei dagravitação universal como sendo:

2

G M m F

d

Porém, essa força nada mais é que o peso docorpo (F = P), podendo ser então substituídapor m g . Isto nos leva a igualdade:

2

G M mm g

d

2

G M g

d

ou

2

G M g

h R

Essa última expressão nos mostra de queforma varia a aceleração da gravidade g emfunção da altura h.Caso seja considerado o ponto na superfície

terrestre a expressão fica:

2 s

G M g R

Onde:

s g = aceleração da gravidade na superfície da

Terra.Nota:

Para h


5/9

O campo gravitacional em A é devido apenasa essa massa M.Assim, aplicando a fórmula para pontos nasuperfície esférica de raio r, temos:

2 A

G M g

r

(I)

A densidade d da esfera pode ser escrita: M

d V

, sendo 3

4

3V r o volume da

esfera imaginária à qual pertence A.

Portanto: 34

3 M d V M d r

Substituindo em (I), temos:

3

2

4

3 A

G d r g

r

4

3 A g G d r

ou

A g k r

Como4

3G d é uma constante (k),

concluímos que a aceleração da gravidadeem pontos internos da Terra é diretamenteproporcional à distância r do pontoconsiderado ao centro da Terra.

Particularmente no centro da Terra, r = 0 egc = 0.Em resumo, a aceleração da gravidade g, apartir do centro da Terra, varia com adistância d, de acordo com o gráficoseguinte:

5. EFEITO DA ROTAÇÃO DA TERRA NO VALORDA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE

Consideremos inicialmente um corpo em umponto do equador terrestre. Se adotarmosum referencial na Terra (referencial nãoinercial ), age no corpo uma força centrífuga(

cf F ), cuja intensidade é dada por:

2

cf F m R

A intensidade da força gravitacional é:

2

G M m F

R

O peso do corpo nessa posição teráintensidade dada por:

E cf P F F

Veja:

Sendo E P m g , onde E g é a aceleração da

gravidade no equador, teremos:


6/9

2

2 E

G M mm g m R

R

2

2 E

G M g R

R

O termo02

G M g

R

corresponde ao valor da

aceleração da gravidade, sem considerar arotação, isto é, em decorrência apenas daatração gravitacional. Então:

2

0 E g g R

Nos pólos da Terra não há influencia darotação e, portanto, a parcela 2 R não

comparece na expressão da gravidade P g :

0 P g g 2 P G M

g R

Podemos concluir, então, que a aceleraçãoda gravidade é máxima nos pólos e mínimano equador.

Observação:

Para pontos da superfície da Terra, situados

a uma latitude , ela terá valoresintermediários a P g e E g , conforme a tabela.

Sua direção não passa pelo centro da terra.

Observe a figura:

Latitude( ) g(m/s2)

0° 9,78039

10° 9,78195

20º 9,78641

30° 9,7932940°

45°

50°

60º

9,80171

9,80665

9,81071

9,81918

70° 9,82608

80° 9,83059

90° 9,83217

6. CORPOS EM ÓRBITA

Vamos considerar um caso de dois corpos de

massas M e m tais que M

m (M é muitomaior que m). É o caso, por exemplo, do Sole um planeta ou de um planeta e umsatélite. Desse modo, é possível que o corpode massa m gire em uma órbitaaproximadamente circular em torno do corpode massa M à altitude h. A força deinteração gravitacional entre M e m éresponsável pela força centrípeta necessáriapara manter m em órbita. Essa força é aprópria força gravitacional à altitude h.

22

2CP

m v G M m G M F F v

d d d

G M v

d

ou

G M v

h R

Onde:d = raio da órbita do planetaR = raio do Sol

A partir dessa igualdade, podemos tambémdeterminar o período de revolução do planetaem torno do Sol.

2

2CP

G M m F F m d

d

Sendo2

T

, vem:

2 22 3

3

2 4G M T d

T d G M

2 3T kd

Onde:


7/9

24

k G M

(constante)

Observação:

• A velocidade e o período independem damassa m do satélite;• A velocidade e o período dependem da

massa do Sol M e da distância d;• A fórmula do período é a própria terceira leide Kepler. Para o sistema solar, M é a massa

do Sol e a constante2

4k

G M

é comum para

todos os planetas, independentemente desuas massas.• Conhecida a velocidade do satélite, a uma

determinada altura, determinamos suaenergia cinética:

2G M G M v vd d

Como2

2

m v Ec

, temos:

2

G M m

d Ec

2

G M m Ec

d

• Demonstra-se que a energia potencialgravitacional, adotando-se referencial noinfinito, é dada por:

P

G M m E

d

O sinal negativo significa que, em todos ospontos do campo gravitacional, a energiapotencial gravitacional é menor do que no

infinito.No campo gravitacional, a energia mecânicase conserva, isto é, M C P E E E .

7. VELOCIDADE DE ESCAPE

Velocidade de escape é a menor velocidadecom que se deve lançar um corpo dasuperfície terrestre para que este se livre daatração da Terra, isto é, chegue ao infinitocom velocidade nula.

Para o cálculo dessa velocidade ( 0V ),desprezando a resistência do ar, aplicamos oprincípio da conservação da energiamecânica.

Corpo na Terra: 2

0

2

m v Ec

,

P

G M m E

d

Corpo no infinito: 0C E ; 0 P E (referencial

no infinito)

Portanto:

2

0

02

m v G M m

d

0

2 G M v

d

Substituindo os valores de G, M (massa da Terra) e R (raio médio da Terra), vem:

0 11, 3 /v km s

Planeta V0(km/s)Mercúrio 4,2

Vênus 10,3

Terra 11,23

Marte 5,0

Júpiter

Saturno

Urano

Netuno

60,5

35,2

21,7

24,0

Plutão 5,0

8. IMPONDERABILIDADE

Imponderabilidade é o estado em que nãopodemos discernir se estamos em um campode gravidade zero ou em queda livre.

Também é descrita como a sensação deausência de peso. Considerando-se porexemplo uma pessoa no interior de umanave espacial que cai livremente, observa-seque a taxa de aceleração desta pessoa e danave espacial são as mesmas, e que a pessoa

aparentemente não tem peso e flutualivremente. Durante a maior parte das fasesde uma viagem espacial, os astronautasestão em estado de imponderabilidade. Ocorpo humano não está acostumado a esteestado e em viagens muito longas, exercíciosespeciais devem ser realizados para que nãohaja efeitos negativos a longo prazo. Algunscosmonautas da antiga União Soviéticapassaram um ano sob condições deimponderabilidade e parece que nenhum

efeito de longo prazo resultou disso. Masatenção o verdadeiro estado deimponderabilidade só pode ser atingido noespaço distante, longe de qualquer estrela ouplaneta.


8/9

9. SATÉLITE GEOESTACIONÁRIO

Os satélites geoestacionários são satélitesque se encontram parados relativamente aum ponto fixo sobre a Terra, geralmentesobre a linha do equador. Como seencontram sempre sobre o mesmo ponto da

Terra, os satélites geostacionários sãoutilizados como satélites de comunicações ede observação de regiões específicas da

Terra. Note-se que um satélite que não égeoestacionário nunca está sobre a mesmazona da Terra e por isso não pode serutilizado para observar em permanência a

mesma região.Um ponto qualquer sobre a superfície da Terra move-se continuamente em torno doeixo da Terra com uma frequência de umavolta por dia. Isto significa que um satélitegeoestacionário tem que se mover com amesma velocidade angular. Os satélitesartificiais existentes descrevem as maisdiversas órbitas. Grande parte dos satélitesnão são geoestacionários e descrevem váriasórbitas por dia. Como é que é possívelcolocar satélites em órbita com velocidades

orbitais distintas? A resposta está naaltitude a que os satélites são colocados ena velocidade inicial que lhes é imprimida.Quanto mais alta for a órbita de um satélitemenor é a sua velocidade angular.A altitude para se colocar o satélite é de35.786 km, onde a força centrífuga e a forçacentrípeta do planeta se anulam.Note-se que, se a Terra fosse perfeitamenteesférica, a única posição geoestacionáriaseria sobre o equador. No caso real, a

assimetria na distribuição das massas entreos hemisférios faz com que os satélitesgeoestacionários devam ser posicionadosfora do equador

Além disso, a irregularidade do campogravitacional terrestre, junto comperturbações orbitais (tanto gravitacionais,como as atrações da Lua e do Sol, quantoforças não-inerciais, como a pressão daradiação solar) obrigam que a posição sejaperiodicamente corrigida, através demanobras orbitais.

10. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO

Seja1

g

o campo gravitacional produzido

num ponto P pela ação gravitacional de umadistribuição de massa 1. Seja

2 g

o campo

gravitacional produzido num ponto P poroutra distribuição de massa 2. O campogravitacional efetivo

ef g

no ponto P é dado

pelo vetor resultante:

1 2ef g g g

A soma de duas grandezas é tambémchamada de superposição das grandezasconsideradas. Poranto, o princípio dasuperposição é um princípio geral na físicaque pode ser aplicado para obter umagrandeza escalar resultante (através de umasoma algébrica) ou então podemos obteruma grandeza vetorial resultante (mediante

uma soma vetorial).O princípio da superposição pode serutilizado para determinação do campogravitacional no interior de um buracoesférico existente numa esfera homogênea.

Para resolver este problema, devemosinicialmente, tampar o buraco esféricoconsiderado mediante uma esfera hipotéticacom um raio igual ao raio do buraco e comdensidade gual à desnsidade da esferamaior. Com essa superposição de massas,resulta uma esfera maciça sem nenhumburaco. Então, de acordo com o princípio dasuperposição, o campo ef g

desta esfera

maciça é dado por:

ef B g g g

Ondeef

g

é o campo efetivo num ponto P no

interior doburaco esférico, B g

é o campo

produzido em P por uma esfera de mesmadensidade que tapa o buraco esférico e g é o

campo que existe no ponto P antes de sesuperpor a esfera que produz o campo B g

.

Portanto, o campo gravitacional em todos os


9/9

pontos do buraco esférico pode ser calculadopela relação:

ef B g g g

A determinação deef

g

e B

g

pode ser feita

facilmente utilizando-se o resultado

demonstrado abaixo:

O campo gravitacional na superfície de umaesfera maciça pode ser calculado mediante aequação:

2

G M g

R

(I)

Onde M é a massa existente no interior daesfera de raio R. Logo:

M d V 34

3 M d R (II)

Substituindo (II) em (I), temos:

4

3

Gd R g

Documents

teoria e exercecios sobre lei de Kepler