Teoria Eletromagnética - if.ufrgs.brziebell/fip00004/notas_proj.pdf · Eletromagnetismo, envolvendo campos eletromagnéticos e sua interaçao com a matéria. Ao longo do curso,

Teoria Eletromagnetica

Luiz F. Ziebell

Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil

March 6, 2018

Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 1 / 603

Sumula da Disciplina:

Estudo do comportamento de campos eletromagneticos e de sua descricaomatematica, tanto em situacoes estaticas quanto dinamicas.


Objetivos Gerais da Disciplina:

Esta disciplina tem por objetivo um estudo sistematico doEletromagnetismo, enfatizando seus fundamentos e sua estruturacao comoum todo coerente. Busca-se tambem desenvolver aplicacoes doEletromagnetismo, envolvendo campos eletromagneticos e sua interacaocom a materia. Ao longo do curso, sao utilizados metodos matematicos deaplicacao ampla, cuja utilidade nao se restringe ao estudo dos fenomenoseletromagneticos, sendo portanto importantes na formacao dos estudantes,qualquer que seja sua area de interesse.


Programa:

Semanas 1 a 17:

I - IntroducaoII - EletrostaticaIII - Materiais DieletricosIV - MagnetostaticaV - Campos dependentes do tempoVI - Equacoes de MaxwellVII - Ondas EletromagneticasVIII - Teoria Especial da RelatividadeIX - Relatividade e Campos EletromagneticosX - Radiacao de Sistemas SimplesXI - Radiacao por Cargas em Movimento

Semana 18 : Revisao

Semana 19 : Recuperacao


Introducao e Teorema Geral

A teoria eletromagnetica e uma teoria de campo; no caso, camposvetoriais, em que a cada ponto do espaco se atribui uma propriedadedescrita por 3 quantidades.

Algumas propriedades basicas podem ser estudadas,independentemente da fundamentacao empırica e do conteudo fısicoda teoria.

Vamos agora provar um teorema:

Dado o rotacional e o divergente de um vetor, e se as fontesse anulam no infinito, o campo vetorial fica definidounivocamente [Ver Panofsky & Phillips, secao 1-1].

Este teorema tem consequencia fundamental quando pensamos noscampos E e B e na forma diferencial das equacoes de Maxwell.


Seja V(x , y , z), tal que:

∇ ·V = s s : source density

∇× V = c c : circulation density (1)

De (1),∇ · (∇× V) = ∇ · c = 0 ,

pois∇ · (∇× a) ≡ 0 ,

∇ · c = 0 (2)


Vamos mostrar que as eqs (1) sao satisfeitas por

V = −∇Φ+∇× A , (3)

onde

Φ(x) =1

4π

∫

d3x ′s(x′)|x− x′| , A(x) =

1

4π

∫

d3x ′c(x′)|x− x′| . (4)

Assim,∇ · V = −∇2Φ+∇ · (∇× A)

= −∇2Φ = − 1

4π∇2

∫

d3x ′s(x′)|x− x′| ,

∇ ·V = − 1

4π

∫

d3x ′ s(x′)∇2

(1

|x− x′|

)

. (5)


Vamos considerar o seguinte, para x 6= x′,

∇2

(1

|x− x′|

)

=∑

i

∂2xi

1

√∑

j(xj − x ′j )2

=∑

i

∂xi

−

1

2

∑

j 2(xj − x ′j )δij[∑

j(xj − x ′j )2]3/2

=

∑

i

∂xi

−

(xi − x ′i )[∑

j(xj − x ′j )2]3/2

= −∑

i

1[∑

j(xj − x ′j )2]3/2

+∑

i

(xi − x ′i )3

2

∑

j 2(xj − x ′j )δij[∑

j(xj − x ′j )2]5/2


=1

[∑

j(xj − x ′j )2]3/2

[

−∑

i

+3

∑

i (xi − x ′i )2

∑

j (xj − x ′j )2

]

=1

[∑

j(xj − x ′j )2]3/2

[−3 + 3] = 0 . (6)

A partir da eq. (5), usando a eq. (6), vemos que [em x = x′,s(x′) = s(x)]

∇ ·V = −s(x)

4π

∫

d3x ′∇2

(1

|x− x′|

)

= −s(x)

4π

∫

d3x ∇2

(1

|x− x′|

)

.


Seja r = x− x′, de modo que

∫

d3x ∇2 1

|x− x′| =∫

d3r ∇2r

1

|r| =∫

d3r ∇2r

1

r=

∫

d3r1

r∂2r

(

r1

r

)

.

Continuarıamos a ter o problema de 0/0. Podemos entao escrever

∫

d3r1

r∂2r

(

r1

r

)

= lima→0

∫

d3r1

r∂2r

(r√

r2 + a2

)

= lima→0

∫

d3r1

r∂r

[

1√r2 + a2

− r2

(r2 + a2)3/2

]

= lima→0

∫

d3r1

r

[

−1

2

2r

(r2 + a2)3/2− 2r

(r2 + a2)3/2+

3

2

2r3

(r2 + a2)5/2

]


= lima→0

∫

d3r1

(r2 + a2)3/2

[

−1− 2 +3r2

r2 + a2

]

= lima→0

∫

d3r1

(r2 + a2)5/2

[−3a2 − 3r2 + 3r2

]

= −3 lima→0

a2 4π

∫ ∞

0dr

r2

(r2 + a2)5/2

= −12π∫ ∞

0dx

x2

(1 + x2)5/2= −4π.

Para a resolucao da integral na ultima linha, ver por exemplo aexpressao 3.241-4, da tabela de propriedades matematicas deGradshteyn e Ryzhik, 1980.

Logo,

∇ ·V = −s(x)

4π(−4π) = s(x),

que e exatamente a primeira das eqs. (1).


Obs.: Verificamos, ao longo desse calculo, que

∇2 1

|x− x′| = −4πδ(x − x′) (7)

Agora consideremos o rotacional,

∇× V = −∇×∇Φ+∇× (∇× A) = ∇(∇ ·A)−∇2A.

Usando a definicao de A que aparece na eq. (4),

∇× V =1

4π∇[

∇ ·∫

d3x ′c(x′)|x− x′|

]

− 1

4π

∫

d3x ′ c(x′)∇2 1

|x− x′|

∇ ×V =1

4π∇[

∇ ·∫

d3x ′c(x′)|x− x′|

]

+ c(x),

onde usamos a expressao recem obtida para ∇2(1/|x − x′|).


Agora, consideremos o seguinte:

∇ ·∫

d3x ′c(x′)|x− x′| =

∫

d3x ′∇ · c(x′)|x− x′|

=

∫

d3x ′[

1

|x− x′|∇ · c(x′) + c · ∇ 1

|x− x′|

]

=

∫

d3x ′[

c · ∇ 1

|x− x′|

]

,

uma vez que ∇ · c(x′) = 0.

Podemos agora trocar a variavel do operador ∇,∫

d3x ′[

−c · ∇′ 1

|x− x′|

]

= −∫

d3x ′[

∇′ ·(

c(x′)|x− x′|

)

− 1

|x− x′|∇′ · c(x′)

]


= −∫

d3x ′[

∇′ ·(

c(x′)|x− x′|

)]

,

uma vez que ∇ · c = 0, pela eq. (2).

Usando agora o teorema da divergencia,

−∫

d3x ′[

∇′ ·(

c(x′)|x− x′|

)]

= −∮

d2x ′ n′ · c(x′)|x− x′| .

Se a superfıcie estiver “no infinito” e as fontes forem a zero noinfinito, este termo e zero, de modo que obtemos o seguinte

∇× V = c(x), (8)

que e a segunda das eqs. (1).


Provamos entao que, se c(x) = 0 no infinito (nao ha fontes noinfinito), podemos obter V de um potencial escalar Φ e de umpotencial vetor A, tal que V satisfaz ∇ · V = s e ∇× V = c.

Ou seja, recapitulando,

V = −∇Φ+∇× A, onde

Φ(x) =1

4π

∫

d3x ′s(x′)|x− x′| ,

A(x) =1

4π

∫

d3x ′c(x′)|x− x′| , (9)

e solucao de ∇ ·V = s e ∇× V = c.

A questao entao e, sera esta solucao unica? Vamos entao tentarresponder a esta questao:


Sejam V1 e V2 duas solucoes de ∇ ·V = s e ∇×V = c.

Portanto, a funcao W = V1 − V2 obedece a

∇ ·W = 0 ∇×W = 0.

Como ∇×W = 0, podemos escrever W = ∇ψ.Por outro lado,

∇ ·W = ∇ · ∇ψ = ∇2ψ = 0.

Seja agora o vetor ψ∇ψ. Podemos escrever

∇ · (ψ∇ψ) = ψ∇2ψ + (∇ψ) · (∇ψ) = (∇ψ) · (∇ψ),

onde usamos o resultado da linha anterior, ∇2ψ = 0.


Portanto, ∫

d3x ∇ · (ψ∇ψ) =∫

d3x (∇ψ)2

=

∮

S

d2x (ψ∇ψ) · n =

∫

d3x |W|2 . (10)

Se as fontes sao limitadas espacialmente (nulas no infinito), ψ deve ira zero pelo menos com dependencia r−1 [lembrar queW = ∇ψ = V1 − V2, e que V = −∇Φ+∇× A];

portanto, com a superfıcie no infinito,∮

S

d2x (ψ∇ψ) · n = 0.

Sendo assim, ∫

d3x |W|2 = 0,

o que implica W = 0 em todos os pontos do espaco, o que implica

V1 = V2 (11)


Portanto, provamos que as equacoes ∇ ·V = s e ∇× V = c temsolucao unica em todo o espaco, desde que as fontes se anulem noinfinito.

Obs.: Uma consequencia importante de nossa demonstracao e que V

e derivavel de um potencial escalar e de um potencial vetor. Se asfontes s(x) e c(x) forem nulas em toda parte, os potenciais Φ(x) eA(x) tambem o serao, para qualquer x, e V(x) = 0 !!

Obs. 2: Se V for o gradiente de uma funcao escalar apenas (casoparticular), V = −∇Φ, teremos ψ = Φ1 − Φ2.Poderıamos ter entao duas situacoes:

∇Φ dado no infinito, o que implica

V1|∞ = V2|∞ ⇒ [W = ∇ψ]∞ = 0 ;

Φ dado no infinito, o que implica

[ψ = Φ1 − Φ2]∞ = 0 .

Em ambos os casos, terıamos∫

d2x (ψ∇ψ) · n = 0 →W = 0, V1 = V2 !


Eletrostatica:

Base empırica: Lei de Coulomb (forca entre corpos carregados).

forca proporcional ao produto das cargasforca inversamente proporcional a distancia entre as cargas ao quadradoforca dirigida ao longo da linha entre as cargasforca atrativa entre cargas opostas e repulsiva entre cargas iguais.

Campo eletrico:

E = limq0→0

F

q0(12)

Definido E, a forca sobre uma carga q sera

F = qE (13)


Diretamente a partir das cargas, podemos desenvolver o seguinte:

21

2 21

1F

xx

xqq

−−F

−x


F = kq1q2

|x1 − x2|3(x2 − x1),

E(x2) = kq1

|x1 − x2|3(x2 − x1).

Para um conjunto de n cargas, fazendo superposicao linear,

E(x2) = k

n∑

i=1

qix2 − xi

|xi − x2|3. (14)

(15)

Para uma distribuicao contınua de cargas,

E(x) = k

∫

d3x ′ ρ(x′)x− x′

|x− x′|3 . (16)

Obs.: No sistema (cgs), k = 1. No sistema (MKS), k = (4πǫ0)−1.


Lei de Gauss:

nE

q

θ

E · n da =q

r2cos θ da (r′ = 0) .


Lei de Gauss:

rda

n

θda cosθ

da cos θ = r2 dΩ .

→ E · n da = q dΩ .


∮

E · n da =

∫

dΩ q = 4π q, se q esta dentro da superfıcie S

e ∮

E · n da = 0, se q esta fora da superfıcie S .

θθ1 2

nn

1

2


Em 2: r2dΩ = da cos θ2

Em 1: r2dΩ = −da cos θ1 (cos θ1 < 0)

Se tivermos n cargas dentro da superfıcie,

∮

E · n da = 4πn∑

i=1

qi .

Para o caso de uma distribuicao contınua de carga,

∮

E · n da = 4π

∫

V

d3x ′ ρ(x′). (17)


Forma diferential:

∮

S

E · n da =

∫

V

d3x ∇ · E = 4π

∫

V

d3x ρ(x),

→ ∇ · E = 4π ρ(x) . (18)

Alem disso, como

E(x) =

∫

d3x ′ ρ(x′)(x− x′)|x− x′|3 ,

podemos ver o seguinte,

E(x) = −∇∫

d3x ′ρ(x′)|x− x′| .


Seja

Φ(x) =

∫

d3x ′ρ(x′)|x− x′| , (19)

de modo queE(x) = −∇Φ(x), (20)

o que garante que∇× E(x) = 0. (21)


Desse modo, a eletrostatica pode ser resumida da seguinte forma,

∇ · E = 4π ρ(x),

∇× E(x) = 0, (22)

E = −∇Φ(x), Φ(x) =

∫

d3x ′ρ(x′)|x− x′| .

(Ver “teorema geral”, com s(x) = 4π ρ(x)).


Alem disso, do teorema de Stokes,

∫

S

(∇× E) · n da =

∮

C

E · d l = 0. (23)

Energia potencial no campo eletrostatico:Em uma trajetoria fechada,

∮

C

E · d l = 0

→∫ B

A

E · d l+∫ A

B

E · d l = 0.


A

B1

2


Seja uma carga q. A forca eletrica atuando em q sera F = qE. Paralevar a carga sem aceleracao de um ponto a outro, deve haver umaforca F = −qE efetuada por um agente externo.

→∫ B

A

F · d l+∫ A

B

F · d l = 0,

→[∫ B

A

F · d l]

1

−[∫ B

A

F · d l]

2

= 0,

→[∫ B

A

F · d l]

1

=

[∫ B

A

F · d l]

2

, (24)

onde os ındices 1 e 2 indicam os caminhos ao longo dos quais e feitaa integracao. Como estes caminhos sao quaisquer, teremosdemonstrado a independencia de caminho da integracao.


Seja

WAB = −q∫ B

A

E · d l (25)

o trabalho realizado por um agente externo para levar a carga q desdeA ate B .

Como o trabalho e independente do caminho, podemos definir umaenergia potencial U:

∆U = −q∫ B

A

E · d l = WAB , (26)

que pode ser escrita como

∆U = q

∫ B

A

∇Φ · d l→ ∆U = q(ΦB −ΦA). (27)

OBS.: ∫ B

A

E · d l = −∫ B

A

∇Φ · d l = −(ΦB − ΦA).


Logo,

∆Φ = ΦB − ΦA = −∫ B

A

E · d l . (28)

Voltando ao “resumo” da eletrostatica, eqs. (22),

∇ · E = 4πρ e ∇× E = 0, com E = −∇Φ ,

podemos escrever:∇ · ∇φ = −4πρ ,

→ ∇2Φ = −4πρ(x) eq. de Poisson (29)

Onde nao ha densidade de carga,

→ ∇2Φ = 0 eq. de Laplace (30)


Portanto, podemos resumir a solucao de problemas em eletrostatica:

Conhecido ρ(x) em todo o espaco,

Φ(x) =

∫

d3x ′ρ(x′)

|x− x′|

Ou, conhecido ρ(x) em uma regiao finita, com condicoes de contorno,resolver ∇2Φ = −4πρ(x), usando as condicoes de contorno.

Nesse ultimo caso, com ρ(x) conhecida em uma regiao finita, comcondicoes de contorno, podemos usar a 2a. identidade de Green (outeorema de Green):

∫

V

d3x (Φ∇2Ψ−Ψ∇2Φ) =

∮

S

da

[

Φ∂Ψ

∂n−Ψ

∂Φ

∂n

]

, (31)

onde: Φ e Ψ sao campos escalares arbitrarios; V e um volumequalquer limitado pela superfıcie S ; ∂/∂n e a derivada normal asuperfıcie, dirigida para fora do volume V .


Sendo Φ o potencial eletrico, e escolhendo Ψ ≡ 1/|x − x′|, temos:

∫

V

d3x ′[

−Φ(x′)4πδ(x − x′) +4πρ(x′)|x− x′|

]

=

∮

S

da′[

Φ(x′)∂

∂n′

(1

|x− x′|

)

− 1

|x− x′|∂Φ

∂n′(x′)

]

, (32)

onde usamos∇2Φ = −4πρ

e∇2(1/|x − x′|) = −4πδ(x − x′) .


Para qualquer x no volume V ,

Φ(x) =

∫

d3x ′ρ(x′)|x− x′| (33)

+1

4π

∮

S

da′[

1

|x− x′|∂Φ

∂n′−Φ

∂

∂n′1

|x− x′|

]

.

Obs.:∂Φ

∂n′= ∇′Φ · n′ = −E(x′) · n′

(o campo e normal a superfıcie).


Se a superfıcie vai a infinito, e E sobre a superfıcie decresce maisrapidamente que R−1 (onde R e o raio da superfıcie), recuperamos oresultado anterior

Φ(x) =

∫

d3x ′ρ(x′)|x− x′| ,

para ρ(x′) conhecido em todo o espaco.

A eq. (33) e uma equacao integral para Φ(x) (nao e uma solucao daequacao de Poisson ou de Laplace). Seu merito aqui e mostrar quequando existem condicoes de contorno sobre a superfıcie de umvolume finito o potencial Φ(x) nao e dado simplesmente pelaexpressao familiar

Φ(x) =

∫

d3x ′ρ(x′)|x− x′| .


Energia potencial eletrostatica:

Ja vimos que

WAB = −q∫ B

A

E · d l = q(ΦB − ΦA) .

Assim, atribuindo valor zero a energia no infinito, a energia potencialassociada a cada carga qi , parte de um conjunto de cargas cujonumero total e n cargas, e dada por

Wi = qiΦ(xi ), Φ(xi ) =∑

j<i

qj|xi − xj |

, (34)

ou seja,

Wi = qi∑

j<i

qj|xi − xj |

.


Ao escrevermos a expressao anterior, estamos traduzindo o seguinteideia: o acrescimo de energia potencial do sistema quando se traz doinfinito uma carga i ate a posicao xi e igual ao trabalho realizadopara trazer do infinito esta carga, ou seja, o produto do valor da cargapelo potencial produzido por todas as demais cargas ja colocadas emsuas posicoes (j < i).

Prosseguindo com este raciocınio, para trazer todas as cargas teremos

WTOTAL ≡W =1

2

n∑

i ,j=1,(i 6=j)

qiqj|xi − xj |

, (35)

onde o fator (1/2) aparece para que nao sejam contadas em dobro asinteracoes entre os mesmos pares.


As contribuicoes com i = j levariam a W =∞. Estas contribuicoescorrespondem aos chamados termos de “auto-energia”, e foramomitidos na expressao (35). A auto-energia e infinita para partıculaspuntiformes, que tem raio nulo!

Para distribuicoes contınuas, por outro lado, nao ha problema emincluir os termos de auto-energia,

W =1

2

∫

d3x

∫

d3x ′ρ(x)ρ(x′)|x− x′| . (36)

A eq. (36) inclui as contribuicoes de auto-energia, mas representauma quantidade finita. Para distribuicoes contınuas,

ρ(x)d3x

|x− x′| →ρ d3r

r→ ρ r2 dr

r,

que e finita quando r → 0 [ A menos que ρ(r) cresca mais rapido doque r−1 ].


Vamos agora a outra abordagem. Da eq. (36),

W =1

2

∫

d3x ρ(x)Φ(x) ,

onde usamos a expressao para o potencial Φ da Eq. (22).

Entretanto,

ρ(x) = −∇2Φ

4π,

de modo que

W = − 1

8π

∫

d3x Φ(x)∇2Φ(x) = − 1

8π

∫

d3x Φ∇ · [∇Φ] .


Sabemos que ∇ · (ψa) = a · ∇ψ + ψ∇ · a, de modo queψ∇ · a = ∇ · (ψa)− a · ∇ψ;no caso, ψ = Φ e a = ∇Φ:

Φ∇ · (∇Φ) = ∇ · (Φ∇Φ)−∇Φ · ∇Φ = ∇ · (Φ∇Φ)− |∇Φ|2 .

Portanto,

W = − 1

8π

∫

d3x[∇ · (Φ∇Φ)− |∇Φ|2

](37)

= − 1

8π

[∫

S

(Φ∇Φ) · n da−∫

V

d3x |∇Φ|2]

.


A integracao na eq. (37) se faz sobre todo o espaco. A superfıcie S ,portanto, e no infinito.

Como Φ ≃ r−1, pelo menos, e ∇Φ ≃ r−2,Φ∇Φ · n da ≃ (r−3)r2 → 0, para r →∞.

Assim, usando a eq. (37) e E = −∇Φ,

W =1

8π

∫

d3x |E|2 .

Seja a densidade de energia

w =|E|28π⇒W =

∫

d3x w(x) . (38)

Chamamos mais uma vez a atencao para o fato de que a densidadede energia dada pela eq. (38) contem a auto-energia.


Multipolos, dieletricos e expansao multipolar:

Dada ρ(x), temos

Φ(x) =

∫

d3x ′ρ(x′)|x− x′| .

Se |x′| << |x|, para a regiao onde ρ(x′) e nao nula, podemos fazer

1

|x− x′| =1

(x2 + x ′2 − 2x · x′)1/2=

1

x (1 + x ′2/x2 − 2x · x′/x2)1/2

≃ 1

x

[

1 +x · x′x2

]

.

Assim,

Φ(x) =1

x

∫

d3x ′ ρ(x′) +x

x3·∫

d3x ′ x′ρ(x′) ,

Φ(x) =q

x+

p · xx3

, (39)


Na expressao anterior temos

q ≡∫d3x ′ ρ(x′) e a carga eletrica da distribuicao,

p ≡∫d3x ′ x′ρ(x′) e o momento de dipolo eletrico da distribuicao.

Seguindo o mesmo procedimento, podemos acrescentar mais termos aesta serie. Entretanto, ha um outro processo que pode serempregado, que e a expansao em harmonicos esfericos.

Os harmonicos esfericos sao definidos como:

Ylm(θ, φ) =

√

2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (cos θ)e imφ, (40)

onde l e um inteiro positivo ou nulo, e m e um inteiro com valores−l ,−(l − 1), ..., 0, ..., (l − 1), l .

Temos ainda a seguinte propriedade:

Yl ,−m(θ, φ) = (−1)mY ∗l ,m(θ, φ). (41)


Uma outra propriedade importante: Os harmonicos esfericos saoortogonais e normalizados:

∫ 2π

0dφ

∫ π

0dθ sin θ Y ∗

l ′,m′(θ, φ)Ylm(θ, φ) = δll ′δmm′ . (42)

Expansao de uma funcao f (θ, φ):

f (θ, φ) =

∞∑

l=0

l∑

m=−l

AlmYlm(θ, φ) , (43)

onde

Alm =

∫

dΩY ∗lm(θ, φ)f (θ, φ) ,

onde dΩ = sin θdθdφ.


Solucao geral de um problema de contorno em harmonicos esfericos:

Φ(r , θ, φ) =

∞∑

l=0

l∑

m=−l

[

Amlrl + Bml r

−(l+1)]

Ylm(θ, φ) . (44)

Aplicando eq. (44) para descrever o potencial criado em todo oespaco por uma certa distribuicao de cargas, precisamos ter Aml = 0,para qualquer para m, l , para que nao haja divergencia quandor →∞.

Φ(r , θ, φ) =

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Bml r−(l+1)Ylm(θ, φ) .

∫

d3x ′ρ(x′)|x− x′| =

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Bmlr−(l+1)Ylm(θ, φ) . (45)


Entretanto, temos (para prova posterior, ver eq. (3.70), Jackson 2a.ed.):

1

|x− x′| = 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l

1

2l + 1

r l<

r l+1>

Y ∗lm(θ

′, φ′)Ylm(θ, φ) . (46)

No caso, r< = r ′ e r> = r (para pontos fora da distribuicao).Voltando com esta informacao a eq. (45),

4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l

1

2l + 1

1

r l+1

∫

d3x ′ r ′l Y ∗lm(θ

′, φ′)ρ(x′)Ylm(θ, φ)

=∞∑

l=0

l∑

m=−l

BmlYlm(θ, φ)

r l+1..


Seja

qlm ≡∫

d3x ′ r ′l ρ(x′)Y ∗lm(θ

′, φ′) , (47)

de modo que

Bml =4π

2l + 1qlm .

Assim, podemos escrever

Φ(x) =∞∑

l=0

l∑

m=−l

4π

2l + 1qlm

Ylm(θ, φ)

r l+1, (48)

que e nossa expressao desejada.


Os coeficientes qlm sao chamados momentos de multipolo (Ver secoes40 e 41 do livro de Landau e Lifchitz para uma abordagemalternativa).

E de se notar que os qlm sao os momentos de multipolo emcoordenadas esfericas. Eles sao combinacoes lineares dos multipolosde ordem correspondente em coordenadas cartesianas.

Por exemplo:

q00 =

∫

d3x ′ ρ(x′)Y ∗00 =

∫

d3x ′ ρ(x′)1√4π

P00 (cos θ

′) =q√4π

,

onde q e o termo de “monopolo eletrico”.

q10 =

∫

d3x ′ ρ(x′)r ′ Y ∗10 =

∫

d3x ′ ρ(x′)r ′√

3

4πP01 (cos θ

′)

=

√

3

4π

∫

d3x ′ ρ(x′)r ′ cos θ′ =

√

3

4π

∫

d3x ′ ρ(x′)z ′ =

√

3

4πpz ,

pois pz =[∫

d3x ′ x′ρ(x′)]

z.


q11 =

∫

d3x ′ ρ(x′)r ′ Y ∗11 = −

√

3

8π

∫

d3x ′ ρ(x′)r ′ sin θ′ e−iφ′

= −√

3

8π

∫

d3x ′ ρ(x′)r ′ sin θ′ (cos φ′ − i sinφ′)

= −√

3

8π

∫

d3x ′ ρ(x′) (x ′ − iy ′) = −√

3

8π(px − ipy) ,

etc...

Obviamente, devido a definicao (47) e a propriedade (41), temos

ql ,−m = (−1)mq∗lm.

Obs.: Componentes do campo em coordenadas esfericas:Temos

∇ = e1∂r + e21

r∂θ + e3

1

r sin θ∂φ


Podemos escrever, usando a eq. (48),

Φ(x) =

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Φlm ,

Φlm ≡4π

2l + 1qlm

Ylm(θ, φ)

r l+1.

Logo, para cada contribuicao multipolar

Elm = −∇Φlm = e14π(l + 1)

2l + 1

qlmYlm

r l+2− e2

4π

2l + 1

qlmr l+2

∂θYlm

−e34π

2l + 1

qlmYlm

r l+2 sin θ(im) . (49)


Expansao multipolar e a energia de uma distribuicao de

cargas

Quando temos uma configuracao de potencial externo Φ(x) (ou seja,produzido por fontes externas a distribuicao de cargas que vamosconsiderar), uma distribuicao de cargas colocada neste potencialadquire uma energia eletrostatica dada por

W =

∫

d3x ρ(x)Φ(x) . (50)

(O potencial e externo, portanto nao temos aqui o fato 1/2 queapareceu anteriormente, em outra circunstancia).

Fazendo uma expansao de Φ(x) em torno da origem:

Φ(x) = Φ(0) + x · ∇Φ(0) + 1

2

∑

i

∑

j

xixj ∂xi∂xjΦ(0) + ...

Φ(x) = Φ(0)− x · E(0) − 1

2

∑

i

∑

j

xixj ∂xiEj (0) + ...


Φ(x) = Φ(0)− x · E(0)− 1

2

∑

j

[∑

i

xixj ∂xiEj(0) −r2

3∂xjEj(0)

]

+ ...

O termo adicionado e 16 r

2∇ · E(0) = −16 r

2∇2Φ = 0. Usamos∇2Φ = 0 porque se trata de um potencial externo.

Alem disso, ∑

j

∂xjEj =∑

ij

∂xiEj δij .

Logo, podemos escrever:

Φ(x) = Φ(0)−x·E(0)− 1

6

∑

i

∑

j

[3 xixj − r2 δij

](∂xiEj(0))+... (51)

W = Φ(0)

∫

d3x ρ(x)− E(0) ·∫

d3x xρ(x)

−1

6

∑

i

∑

j

(∂xiEj(0))

∫

d3x ρ(x)[3 xixj − r2 δij

]


Finalmente, podemos escrever

W = qΦ(0)− p · E(0)− 1

6

∑

i

∑

j

Qij∂xiEj (0) + ... , (52)

onde

Qij ≡∫

d3x[3xixj − r2 δij

]ρ(x), (53)

e o chamado momento de quadrupolo da distribuicao.

Resumindo, podemos escrever a energia da distribuicao no campoexterno como uma sucessao de termos,

carga c/potencial na origem,dipolo eletrico c/gradiente de potencial (campo E),quadrupolo c/gradiente do campo,etc ...


Eletrostatica em Meios Dieletricos

Seja um meio constituıdo de grande numero de atomos e moleculas.

Quando um campo externo e aplicado, a distribuicao de cargas destasmoleculas e distorcida.

Usualmente, o momento de ordem mais baixa da distribuicao (q)resulta nulo, ao menos seu valor medio em uma regiao infinitesimal(do ponto de vista macroscopico, porem suficientemente grande doponto de vista macroscopico).

Seja pi o momento de dipolo do i -esimo tipo de molecula. Seja Ni onumero de moleculas do tipo i , por unidade de volume, no ponto x .Alem disso, pode haver no ponto x uma densidade de cargas ρ(x), deorigem externa.


O potencial em um ponto x, devido as contribuicoes em todo oespaco, sera dado por:

Φ(x) =

∫

d3x ′[ρ(x′)|x− x′| +

P(x′) · (x− x′)|x− x′|3

]

, (54)

ondeP(x) =

∑

i

Ni < pi >

e a polarizacao eletrica do meio, ou seja, o momento de dipolo porunidade de volume.

Obs.: Com essa definicao, temos

P(x) d3x ⇒ p(x) .


Consideremos agora o seguinte: podemos demonstrar facilmente oseguinte:

(x− x′)|x− x′|3 = ∇′ 1

|x− x′| ,

de modo que

Φ(x) =

∫

d3x ′[ρ(x′)|x− x′| + P(x′) · ∇′

(1

|x− x′|

)]

,

Fazendo uma integracao por partes, com o termo integrado seanulando no infinito, ficamos com

Φ(x) =

∫

d3x ′1

|x− x′|[ρ(x′)−∇′ · P(x′)

]. (55)

Vemos que ρ(x)−∇ · P(x) representa uma densidade de cargas.


Logo,

E = −∇Φ→ ∇ · E =

∫

d3x ′[ρ(x′)−∇′ · P(x′)

]4π δ(x − x′)

∇ · E = 4π [ρ(x)−∇ · P(x)] , (56)

onde usamos a eq. (7).

Define-se entao o deslocamento eletrico D,

D = E+ 4π P , (57)

de modo que temos

∇ ·D = 4π ρ(x) . (58)


Obs. 1: Comentario a respeito dos resultados acima:1 E: suas fontes sao todas as cargas.

2 D: suas fontes sao as cargas livres.

Obs. 2: Os campos D e E nao satisfazem, em geral, as mesmasequacoes; isso acontece quando P tem rotacional nulo:

∇ · E = 4π [ρ(x) −∇ · P(x)] ,

∇ ·D = 4π ρ(x) ,

∇× E = 0 ,

∇×D = 4π∇× P .


Calculo da polarizacao (tratamento elementar):

Para campos suficientemente fracos, podemos escrever:

P = χeE , (59)

onde χe e a susceptibilidade eletrica do meio (supomos aqui o meioisotropico).

Nesse caso,

D = E+ 4πχeE = (1 + 4πχe)E ≡ ǫE ,

onde ǫ = (1 + 4πχe) e a constante dieletrica do meio.


Se o meio nao e isotropico, porem e valida a aproximacao linear,

Pi =∑

j

χijEj ,

Di = Ei + 4π∑

j

χijEj =∑

j

(δij + 4πχij )Ej ,

Di =∑

J

ǫijEj ,

onde os ǫij sao as componentes do tensor dieletrico.


Vamos retomar nossa abordagem do calculo da polarizabilidade:

Como vimos, para meios isotropicos e na aproximacao linear.

P = χeE .

Como∇ · E = 4π [ρ−∇ · P] ,

∇ · [E+ 4πχeE] = 4πρ⇒ ∇ ·D = 4πρ ,

ondeD = ǫE, ǫ = 1 + 4πχe .


Se temos N moleculas por unidade de volume (considerando apenasum tipo de molecula),

P = N < p > ,

onde p e o momento de dipolo de uma molecula.

Podemos escrever (na aproximacao linear):

< p >= γmolEmol = γmol(E+ Ei ) , (60)

onde Emol e o campo na posicao da molecula.

Este pode ser obtido com o seguinte raciocınio:

Emol = E− EP + Enear ,

onde EP e o campo medio devido as moleculas vizinhas, e Enear e ocampo “real” devido as moleculas vizinhas.


Segundo a notacao empregada no livro de Jackson, estas duasquantidades sao reunidas sob o nome de Ei , de modo que

Emol = E+ Ei ,

onde Ei = Enear − EP .

Portanto, usando eq. (60), podemos escrever

P = Nγmol (E+ Ei ) .

Para Ei usaremos (deixando a prova para mais adiante),

Ei =4π

3P ,

de modo que

P = Nγmol

(

E+4π

3P

)

.


P

[

1− 4π

3Nγmol

]

= NγmolE ,

P =Nγmol

1− 4π3 Nγmol

E = χeE .

⇒ χe =Nγmol

1− 4π3 Nγmol

. (61)

Esta expressao mostra a relacao entre a susceptibilidade eletrica (quee uma quantidade macroscopica) e a polarizabilidade molecular (umaquantidade microscopica).

Como temos ǫ = 1 + 4πχe ,

ǫ = 1 + 4πNγmol

1− 4π3 Nγmol


(

1− 4π

3Nγmol

)

ǫ = 1− 4π

3Nγmol + 4πNγmol

ǫ− 1 = 4πNγmol

(

1− 1

3+ǫ

3

)

⇒ γmol =3

4πN

(ǫ− 1

ǫ+ 2

)

eq. de Clausius-Mossotti.

(62)

Obs.: A relacao se verifica melhor para gases; para lıquidos e solidosa aproximacao nao e tao boa, especialmente se ǫ e grande [Ja75, p.155].


Obtencao da relacao entre Ei e P:

Seja ρ(x), dando origem a E(x).

Seja tambem uma esfera de raio R , contendo a distribuicao de carga,com a origem do sistema de coordenadas no centro da esfera.

Vamos calcular a seguinte integral:

∫

r<R

d3x E(x) = −∫

r<R

d3x ∇Φ = −∫

d2x Φn = −∫

dΩR2Φn .

Usando a expressao para o potencial,

Φ(x) =

∫

d3x ′ρ(x′)|x− x′| ,

I =

∫

r<R

d3x E(x) = −R2

∫

d3x ′ ρ(x′)∫

dΩn

|x− x′| .


n


Usando agora

n = sin θ cosφ i+ sin θ sinφ j+ cos θ k ,

e a eq. (46),

I = −R2

∫

d3x ′ ρ(x′)∫

dΩ [sin θ cosφ i+ sin θ sinφ j+ cos θ k]

×4π∞∑

l=0

l∑

m=−l

1

2l + 1

r l<

r l+1>

Y ∗lm(θ

′, φ′)Ylm(θ, φ) .


Usando agora as expressoes para os harmonicos esfericos, podemosfacilmente obter as seguintes expressoes:

sin θ cosφ = −√

8π

3

(Y11 + Y ∗

11

2

)

sin θ sinφ = i

√

8π

3

(Y11 − Y ∗

11

2

)

(63)

cos θ =

√

4π

3Y10 .

Escrevendo as funcoes trigonometricas em termos dos harmonicosesfericos, dessa forma, podemos fazer uso das propriedades deortogonalidade destes harmonicos.


Temos portanto

I = −R2

∫

d3x ′ ρ(x′) 4π∞∑

l=0

l∑

m=−l

1

2l + 1

r l<

r l+1>

Y ∗lm(θ

′, φ′)

×∫

dΩ

[

−1

2

√

8π

3(Y11 + Y ∗

11) i+i

2

√

8π

3(Y11 − Y ∗

11) j

+

√

4π

3Y10 k

]

Ylm(θ, φ) .

Usamos agora as relacoes de ortogonalidade

∫

dΩ Y11Ylm = (−1)∫

dΩ Y ∗1,−1Ylm = (−1) δl1δm,−1

(pois Yl ,−m = (−1)mY ∗lm).


∫

dΩ Y ∗11Ylm = δl1δm1 ,

∫

dΩ Y10Ylm

∫

dΩ Y ∗10Ylm = δl1δm0 .

Voltando a integral,

I = −R2

∫

d3x ′ ρ(x′)4π

3

r<r2>

×

−1

2

√

8π

3

[

−Y ∗1,−1(θ

′, φ′) + Y ∗11(θ

′, φ′)

]

i

+i

2

√

8π

3

[

−Y ∗1,−1(θ

′, φ′)− Y ∗11(θ

′, φ′)

]

j+

√

4π

3Y10(θ

′, φ′) k

.


Usando as eqs. (63),

I = −R2

∫

d3x ′ ρ(x′)4π

3

r<r2>

[sin θ′ cosφ′ i+ sin θ′ sinφ′ j+ cos θ′ k

]

= −R2

∫

d3x ′ ρ(x′)4π

3

r<r2>

n′ .

Como as cargas estao contidas na esfera de raio R , r< = r ′ e r> = R :

I = −4π

3

∫

d3x ′ ρ(x′) r ′ n′ = −4π

3

∫

d3x ′ ρ(x′) x′ = −4π

3p.


Seja

E =1

V

∫

V

d3x E(x) .

Identificamos esta quantidade como o campo medio devido asmoleculas vizinhas, contida em um esfera de raio R, ondeV = 4πR3/3. Ou seja, e a quantidade que chamamos anteriormentede EP .

Portanto,

EP = E =3

4πR3I = −4π

3

p

4πR3/3= −4π

3P . (64)


Como vimos E e o campo eletrico macroscopicos. Se subtrairmos ocampo medio devido as moleculas vizinhas polarizadas (EP), eacrescentarmos o campo realmente produzido pelas moeculas vizinhas(Enear ), teremos

Emol = E− EP + Enear ⇒ Ei = Enear − EP .

EP e o campo medio devido a polarizacao; e o mesmo E obtidoanteriormente, onde consideramos uma esfera de raio R :

EP = −4π

3P ⇒ Ei = Enear +

4π

3P.


O calculo de Enear e mais difıcil e depende da real configuracao. Epossıvel mostrar que Enear = 0 para um solido organizado na formade rede cubica simples [calculo devido a Lorentz; ver Ja75, p. 153].

Para outras simetrias, ou para sistemas amorfos, o calculo e maiscomplicado. Entretanto, para a maioria dos materiais Enear ≃ 0[Ja75, p. 154].

Dessa forma, Ei = (4π/3)P, conforme ja usamos.


Polarizabilidade molecular

Para a obtencao da polarizabilidade molecular, ou da constantedieletrica, e necessario fazer modelos para o material dieletrico.

No livro de Jackson, 2a. ed., secao 4.6, ha um modelo simples decargas harmonicamente ligadas. Vamos discutir os pontos essenciais edeixar os detalhes como exercıcio:

Vamos supor uma carga q, sujeita a um campo E. Podemos imaginarque cada carga tem uma posicao de equilıbrio, e que o campoaplicado a desloca pouco desta posicao.

Assim, usando a aproximacao harmonica, para cada carga q, haverauma forca restauradora

F = −mω20x (forca restauradora)


Por outro lado, F = −qE,

mω20x = qE⇒ pmol = qx =

q2

mω20

E

→ γmol =q2

mω20

(65)


Efeito de temperatura

Nao vamos nos aprofundar neste tema, apenas fazer algunscomentarios sobre aspectos principais:

Se as distribuicoes de carga do meio nao tem polarizacao permanente,o momento de dipolo e causado pela campo aplicado, como discutidoacima no caso sem temperatura. Fazendo depois a media sobredistribuicao de velocidades das partıculas, mostra-se que

< pmol >=q2

mω20

E = γmolE .

Ou seja, obtem-se para a polarizabilidade molecular a mesmaexpressao obtida quando se ignora o efeito da temperatura.


Efeito de temperatura

Por outro lado, se o meio dispuser de dipolos permanentes, o campoeletrico tera a tendencia de alinhar os dipolos, enquanto atemperatura tera a tendencia de desalinhar os dipolos. Ou seja, poreste tipo de argumento espera-se uma polarizabilidade proporcional aE e a T−1. De fato, mostra-se que

< pmol >≃1

3

p20kT

E .

Em geral,

γmol = γind +1

3

p20kT

, (66)

onde γind e a polarizabilidade devido a dipolos induzidos [em nossocaso, γind = q2/(mω2

0)].


Outro exemplo

Vamos a um outro exemplo: Vamos pegar uma situacao simples daFısica de Plasmas.

sem campo magneticoıons fixos, distribuicao uniforme (supondo oscilacoes de alta frequencia)movimento apenas na direcao x

Para os eletrons usaremos uma descricao de fluido:

mne [∂tve + (ve · ∇) ve ] = −eneE−∇p ,

onde ∇p = γkBT∇ne , γ =cpcv

,

∂tne +∇ · (neve) = 0 , (67)

∇ · E = 4πe (ni − ne) .


Oscilacoes de pequena amplitude (aprox. linear):

ne = n0 + n1 ,

ve = v0 + v1 ,

E = E0 + E1 .

Seja ∇n0 = v0 = E0 = 0; logo, ∂tn0 = ∂tv0 = ∂tE0 = 0 .

m(n0 + n1) [∂tv1 + (v1 · ∇) v1] = −e(n0 + n1)E1 − 3kBT∇n1 ,

∂tn1 +∇ · [(n0 + n1)v1] = 0 , (68)

∇ · E1 = 4πe (n0 − n0 − n1) .


Desprezando termos quadraticos (e lembrando que o movimento eapenas na direcao x),

mn0 [∂tv1] = −en0E1 − 3kBT∂xn1 ,

∂tn1 + n0∇ · v1 = 0 , (69)

∇ · E1 = − 4πe n1 ,

onde usamos γ = cp/cv = (cv + R)/cv = (R/2 + R)/(R/2) = 3,considerando o caso 1D.

Supondo agora oscilacoes com dependencia e i(kx−ωt),

−i mn0ωv1 = −en0E1 − 3 i kBTkn1 ,

−i ωn1 + i n0k v1 = 0 , (70)

i kE1 = − 4πe n1 .


Da segunda equacao,

v1 =ωn1n0k

→ n1 =n0k

ωv1 .

Combinando este resultado com a terceira equacao,

E1 = i4πen1k

= i4πe

k

n0k

ωv1 .

Voltando a primeira equacao,

i mn0ωv1 = en0 i4πen0ω

v1 + 3 i kBTkn0k

ωv1 .

ω2 =4πe2n0

m+

3kBT

mk2 = ω2

p + 3kBT

mk2 . (71)


Voltando a equacao para v1,

∂tv1 = ∂2t x1 → −ω2x1 ,

e portanto

−mn0ω2x1 = −en0E1 − 3 i kBTkn1,= −en0E1 − 3

kBTk2E1

4πe.

mn0ω2x1 =

(

en0 + 3kBTk

2

4πe

)

E1 .

Dividindo tudo por mn0ω2,

x1 =

(e

mω2+ 3

kBTk2

4πen0mω2

)

E1 =

(e

mω2+

3kBT

m

e

mω2

k2m

4πe2n0

)

E1

x1 =

(e

mω2+

3kBT

m

e

mω2

k2

ω2p

)

E1 =e

mω2

(

1 +3kBT

m

k2

ω2p

)

E1 ..


Como p1 = ex1 = γmolE1 ,

γmol =e2

mω2

(

1 +3kBT

m

k2

ω2p

)

. (72)

Usando agora a eq. (71),

γmol =e2

mω2p

. (73)


Meio anisotropico:

Vamos a uma discussao qualitativa:

Por exemplo, um plasma na presenca de um campo magneticouniforme. Seja B = Bk.

As partıculas carregadas sofrem forca magnetica que as leva aespiralar em torno das linhas de B. Ou seja, B introduz umaanisotropia no sistema. Esta e uma situacao em que se obtem

Di =∑

j

ǫijEj ,

com ǫij = δij + 4πχij .


Energia eletrostatica em dieletricos

Em meios eletrostaticos a energia de uma dada configuracao decargas livres representa nao somente a energia da interacao entre ascargas, mas tambem a energia envolvida na perturbacao dadistribuicao de cargas do meio.

Essa contribuicao nao esta incluıda em nossa expressao (35), quedava a energia eletrostatica de uma distribuicao de cargas, no vacuo.

( Para recordar,

WTOTAL ≡W =1

2

n∑

i ,j=1,(i 6=j)

qiqj|xi − xj |

,

)


Vamos entao adotar outro procedimento.

Seja um potencial Φ(x) e uma perturbacao δρ(x) na densidade decargas livres.

A mudanca na densidade, δρ(x), estara associada a uma quantidadede energia (trabalho que realiza a mudanca, dada por

δW =

∫

d3x δρ(x)Φ(x) . (74)

Obs.: Ver a eq. (34), para o caso discreto,

Wi = qiΦ(xi ) .


Da lei de Gauss para o vetor deslocamento temos

ρ(x) =1

4π∇ ·D→ δρ(x) =

1

4π∇ · (δD)

δW =1

4π

∫

d3x ∇ · (δD)Φ(x),

δW =1

4π

∫

d3x [∇ · (ΦδD) − δD · ∇Φ(x)] .

O termo com ∇ · (ΦδD) pode ser transformado em uma integral desuperfıcie. Supondo ρ(x) uma distribuicao localizada, a superfıciepode ser levada ao infinito, e a integral de superfıcie vai a zero.

Alem disso, usamos no outro termo E = −∇Φ, de modo que

δW =1

4π

∫

d3x E · δD , (75)

onde a integral agora e sobre todo o espaco.


Se o meio for linear e isotropico (so agora introduzimos essa hipotese),

E · δD = E · ǫδE =1

2δ(E ·D) ,

e

δW =1

8πδ

∫

d3x E ·D .

W =1

8π

∫

d3x (E ·D) . (76)


Portanto, em geral vale

δW =1

4π

∫

d3x E · δD ;

porem, se o meio e linear (e isotropico) vale

W =1

8π

∫

d3x (E ·D) .

E interessante notar que E = −∇Φ e ∇ ·D = 4πρ. De nossaexpressao (35), se fosse valida, terıamos

W =1

2

∫

d3x ρ(x)Φ(x) =1

8π

∫

d3x Φ(x)∇ ·D

=1

8π

∫

d3x [∇ · (Φ(x)D) −D · ∇Φ(x)]⇒ 1

8π

∫

d3x (E ·D) !!!

Note-se que o termo com o divergente se anula sobre a superfıcie.


A ultima equacao obtida e identica a eq. (76), e mostra que parameios lineares (e isotropicos) vale a expressao

W =1

2

∫

d3x ρ(x)Φ(x) ,

sendo equivalente a

W =1

8π

∫

d3x E ·D .

E interessante notar que, para meios nao lineares, a energiaeletrostatica (partindo de um estado com D = 0) e dada por:

W =1

4π

∫

d3x

∫ D

0E · δD . (77)

Ou seja, nesse calculo se ve que a energia em princıpio nao dependeapenas do estado final do sistema, mas tambem dos estadosintermediarios por que passou no processo de estabelecer aconfiguracao final.


Magnetostatica

O ponto de partida e a constatacao de que nao ha cargas

magneticas. Todo efeito magnetico provem de cargas eletricas emmovimento.

Vamos olhar a questao sob dois angulos: Producao do campo e efeitodo campo sobre as partıculas e correntes:

Dado um elemento d l′ de um condutor, pelo qual passa carga porunidade de tempo, I = dq/dt, esse elemento produzira na posicao x

uma inducao magnetica dB, dada por

dB(x) = k Id l′ × (x − x′)

|x− x′|3 . (78)

No sistema cgs gaussiano, a constante k e dada por k = 1/c , onde c ea velocidade da luz (c = 2, 998× 1010 cm/s).


x

x’−

I

x’

x

dl’

dB

A lei de Biot-Savart


Podemos definir uma densidade de corrente,

J(x′) d3x ′ = I d l′ .

dB(x) =1

c

J(x′)× (x− x′)|x− x′|3 d3x ′ ,

B(x) =1

c

∫

d3x ′J(x′)× (x− x′)|x− x′|3 . (79)


Essa equacao pode ser reescrita sob outra forma.

Como ja vimos,

∇ 1

|x− x′| = −(x− x′)|x− x′|3 ;

ficamos com

B(x) =1

c∇×

∫

d3x ′J(x′)|x− x′| . (80)


Obs.:

∇× (ψa) = ∇ψ × a+ ψ∇× a .

No caso, a = J(x′) e ψ = 1/|x − x′|.Portanto,

∇×[

J

|x− x′|

]

= ∇[

1

|x− x′|

]

× J+1

|x− x′|∇ × J(x′)

= −J×∇[

1

|x− x′|

]

= J× (x− x′)|x− x′|3

Como sabemos, ∇ · ∇ × A = 0, de modo que a partir da eq. (80)podemos concluir o seguinte:

∇ · B = 0 . (81)


Como nosso teorema da primeira aula nos demonstrou, se soubermoso divergente e o rotacional de um campo vetorial, e se as fontes docampo se anulam no infinito, o campo e univocamente definido.

Como ja conhecemos o divergente de B, vamos agora procurar obtero rotacional de B.

∇× B =1

c∇×∇×

∫

d3x ′J(x′)|x− x′|

=1

c

[

∇∇ ·∫

d3x ′J(x′)|x− x′| − ∇

2

∫

d3x ′J(x′)|x− x′|

]

(82)

Vamos considerar o primeiro termo no lado direito, na equacao (82):

∇∫

d3x ′∇ ·[

J(x′)|x− x′|

]


Continuando,

∇ ·[

J(x′)|x− x′|

]

= J · ∇ 1

|x− x′| +1

|x− x′|∇ · J(x′) = J · ∇ 1

|x− x′| ,

uma vez que a derivada e feita na variavel x, e J e funcao de x′.

Podemos agora somar e diminuir um termo nessa expressao, e trocara derivada de x por x′,

= −J · ∇′ 1

|x− x′| −1

|x− x′|∇′ · J(x′) + 1

|x− x′|∇′ · J(x′)

= −∇′ ·[

J(x′)|x− x′|

]

+1

|x− x′|∇′ · J(x′)


Retornando agora para a integral,

∇∫

d3x ′∇ ·[

J(x′)|x− x′|

]

= ∇∫

d3x ′[

−∇′ ·[

J(x′)|x− x′|

]

+1

|x− x′|∇′ · J(x′)

]

= ∇[

−∮

d2x ′[J(x′) · n′|x− x′|

]

+

∫

d3x ′1

|x− x′|∇′ · J(x′)

]

A integral de superfıcie se anula sobre a superfıcie que envolve adistribuicao de correntes.


No segundo termo do lado direito, na equacao (82), temos

∇2 J(x′)|x− x′| = −J(x

′) 4π δ(x − x′) .

∇× B =1

c∇∫

d3x ′∇′ · J(x′)|x− x′| +

4π

c

∫

d3x ′ J(x′) δ(x − x′)

∇× B =1

c∇∫

d3x ′∇′ · J(x′)|x− x′| +

4π

cJ(x) . (83)


Nesse ponto, podemos chamar a atencao sobre outro pontoimportante na magnetostatica:

Consideremos um volume V ; uma vez que nao ha criacao oudestruicao de cargas, a variacao da quantidade de cargas no volumeso pode ser devida a cargas entrando ou saindo atraves da superfıcie:

dq

dt= −

∮

S

da (J · n) .

Obs.: A dimensao de J e a dimensao de Q/T/L2.

Usando o teorema da divergencia:

dq

dt= −

∫

d3x ∇ · J→∫

d3x

[∂ρ

∂t+∇ · J

]

= 0 ,

⇒ ∂ρ

∂t+∇ · J = 0 , eq. da continuidade (84)


Portanto, na magnetostatica,

∂ρ

∂t= 0→ ∇ · J = 0 .

Ou seja, na magnetostatica,

∇× B =4π

cJ . (85)

Esta e a chamada lei de Ampere na forma diferencial.


Em resumo, no caso magnetostatico a inducao magnetica obedece asrelacoes seguintes:

∇ · B = 0 ,

∇× B =4π

cJ . (86)

Lembrando nossa aula introdutoria, temos um campo vetorial, doqual conhecemos o divergente e o rotacional, com a condicao de queas fontes se anulam no infinito. Conforme ja vimos, B fica entaounivocamente definido.


Obs.: Seja S uma superfıcie qualquer e C o seu contorno. Usando oteorema de Stokes,

∫

S

da (∇× B) · n =4π

c

∫

S

da (J · n)

→∮

B · d l = 4π

cI . (87)

Esta e a lei de Ampere na forma integral.


Efeito da inducao magnetica B sobre cargas eletricas

Como ja dissemos, os efeitos magneticos sao devidos a cargas emmovimento; da mesma forma, B atua sobre cargas em movimento:

dF =I

c(d l× B) . (88)

Esta expressao fornece a forca sobre um elemento d l, conduzindocorrente I .

Usando as eqs. (88) e (78), podemos calcular a forca exercida por umcircuito 2 sobre um circuito 1:

dF12 =I1c

[

d l1 ×∮

1

cI2d l2 × x12

|x12|3]

F12 =I1I2c

∮ ∮

d l1 ×(d l2 × x12)

|x12|3. (89)


2 1

2

1

F

−xx

x

x

=x12

12

I1 2III II

1 2

x


No caso mais geral, ao inves de um circuito podemos ter umadistribuicao de correntes de outro tipo. Definindo a densidade decorrente J(x), reescrevemos a eq. (88) como

dF =1

cd3x (J× B) ,

⇒ F =1

c

∫

d3x (J(x)× B(x)) . (90)

Obs.: Para uma carga,

J = qvδ(x − x′)⇒ F =q

cv × B .


Da mesma forma podemos definir torque:

dN = x× dF =1

cd3x [x× (J× B)]

⇒ N =1

c

∫

d3x x× (J(x) × B(x)) . (91)


Potencial vetor

Da mesma forma que fizemos para o campo eletrico, podemos definirum potencial associado a inducao magnetica; entretanto, ele nao seraum escalar.

Temos:∇ · B = 0

∇× B =4π

cJ .

Se ∇ ·B = 0, entao podemos escrever

B = ∇× A .

Da eq. (80), tınhamos

A(x) =1

c

∫

d3x ′J(x′)|x− x′| . (92)


Entretanto, como ∇× (∇f ) = 0, podemos acrescentar a eq. (92) umgradiente de uma funcao escalar arbitraria, a sem alterar a fısicadescrita pela inducao magnetica B (que e unıvoco, como ja vimos).

Seja entao

A(x) =1

c

∫

d3x ′J(x′)|x− x′| +∇ψ . (93)

Obs.: A transformacao A→ A+∇ψ e chamada uma transformacaode calibre, ou gauge transformation.


A arbitrariedade na definicao de A nos da uma liberdade que serausada da seguinte maneira:

B = ∇× A ,

∇× B =4π

cJ ,

→ ∇× (∇× A) =4π

cJ

→ ∇(∇ · A)−∇2A =4π

cJ . (94)


Se ∇ ·A = 0 na eq. (94), terıamos

∇2A = −4π

cJ .

Cada componente vetorial de A satisfaz entao uma equacao dePoisson, com solucao conhecida (com as fontes se anulando noinfinito). O resultado e

A(x) =1

c

∫

d3x ′J(x′)|x− x′| .

Ou seja, a escolha de ∇ · A = 0 equivale a escolha ψ= cte. Essaescolha, ∇ ·A = 0, e chamada de calibre de Coulomb. Existem outrasescolhas, segundo nossa conveniencia. Uma delas sera vista maisadiante.


Obs.: sabemos que B = ∇×A. Podemos adicionar a A um gradientede uma funcao arbitraria, e continuaremos a ter o mesmo B:

A(x)→ A+∇ψ .

Por outro lado, se exigirmos ∇ ·A = 0, resulta

∇ ·A(x)→ ∇ · A+∇2ψ .

Se o A original satisfazia essa equacao, o “novo” satisfara se∇2ψ = 0. Isso significa ψ = cte., se as fontes se anulam no infinito.Ou seja, o A fica definido, pois ∇ψ = 0:

A(x)→ A+ ∇ψ︸︷︷︸

=0

.

Por outro lado, da lei de Ampere vimos que, se ∇ ·A = 0,

→ ∇2A = −4π

cJ ,

o que tem como solucao (se as fontes se anulam no infinito),

A(x) =1

c

∫

d3x ′J(x′)|x− x′| .


Distribuicao localizada - Momento magnetico

Vamos supor uma distribuicao localizada de correntes, e um ponto decalculo do campo muito distante da distribuicao.

x

x’


Se |x′| << |x|, para a regiao onde ρ(x′) e nao nula, podemos fazer

1

|x− x′| =1

(x2 + x ′2 − 2x · x′)1/2

=1

x (1 + x ′2/x2 − 2x · x′/x2)1/2≃ 1

x

[

1 +x · x′x2

]

.

Portanto,

A(x) =1

c

∫

d3x ′J(x′)|x− x′|

=1

c |x|

∫

d3x ′ J(x′) +x

c |x|3 ·∫

d3x ′ x′J(x′) + ... .

onde o produto escalar refere-se a x · x′; ou seja, em termos decomponentes podemos escrever

Ai(x) =1

c |x|

∫

d3x ′ Ji(x′) +

x

c |x|3 ·∫

d3x ′ x′Ji (x′) + ... . (95)


Agora levamos em conta o seguinte: como ∇ · J = 0 namagnetostatica, podemos demonstrar que

∇ · (xiJ) = J · ∇xi + xi∇ · J = Ji .

Portanto,∫

d3x ′ Ji(x′) =

∫

d3x ′∇′ · (x ′i J) =∮

d2x ′ (x ′i J) · n = 0 ,

pois J · n = 0 na superfıcie (a distribuicao de corrente e limitada).

Ou seja, o termo em “monopolo” na eq. (95) e nulo, para umadistribuicao de correntes espacialmente limitadas. Resulta entao que

Ai (x) =x

c |x|3 ·∫

d3x ′ x′Ji (x′) .


Vamos entao discutir o termo que na equacao anterior:

x ·∫

d3x ′ x′Ji (x′) =

∑

j

xj

∫

d3x ′ x ′jJi (x′) .

Podemos agora usar o seguinte artifıcio:

Sejam f (x) e g(x) funcoes bem comportadas:

∫

d3x g(J · ∇f ) =∫

d3x [∇ · (gJf )− f∇ · (gJ)]

=

∮

d2x (gf J) · n−∫

d3x f [g∇ · J+ J · ∇g ] .

O termo de superfıcie se anula, pois a corrente e limitadaespacialmente, e o termo com ∇ · J se anula, na situacao estatica.


Portanto, ∫

d3x g(J · ∇f ) = −∫

d3x f (J · ∇g) ,

ou seja,∫

d3x g(J · ∇f ) +∫

d3x f (J · ∇g) = 0 , (96)

Se f = 1 e g = xi , a eq. (96) reduz-se a∫d3x Ji = 0, conforme

usamos na pagina anterior.


Se f = xi e g = xj ,

∫

d3x [xjJi + xiJj ] = 0

→∫

d3x ′ x ′j Ji = −∫

d3x ′ x ′i Jj .

Portanto,

∑

j

xj

∫

d3x ′ x ′jJi (x′) =

1

2

∑

j

xj

∫

d3x ′[x ′j Ji (x

′)− x ′i Jj(x′)]

=1

2

∫

d3x ′[(x · x′

)Ji (x

′)− x ′i(x · J(x′)

)].


Portanto,

Ai(x) =1

c |x|31

2

∫

d3x ′[(x · x′

)Ji(x

′)− x ′i(x · J(x′)

)],

de modo que

A(x) =1

c |x|31

2

∫

d3x ′[(x · x′

)J(x′)− x′

(x · J(x′)

)].

Entretanto, sabemos que

A× (B × C) = (A · C)B− (A ·B)C ,

de modo que

(x · x′)J− (x · J)x′ = x× (J× x′) ,

e

A(x) =1

2c |x|3∫

d3x ′[x× (J× x′)

]=

x

2c |x|3 ×∫

d3x ′(J× x′

).


Define-se a magnetizacao (ou momento magnetico por unidade

de volume) como sendo o seguinte:

M =1

2c[x× J(x)] , (97)

de modo que o momento magnetico m e dado por

m =

∫

d3xM(x) =1

2c

∫

d3x [x× J(x)] .

(98)


Dessa forma, para uma distribuicao localizada de correntes,

A(x) =m× x

|x|3 . (99)

Vamos agora olhar para a eq. (98) e verificar que ela pode sercolocada em uma forma mais simples e familiar, no caso deespiras planas de corrente.

Substituindo d3x J por I d l,

m =I

2c

∮

x× d l .


Se tivermos uma espira plana,

dl

x

I


Continuando,1

2|x× d l| = 1

2|x||d l⊥| = da

(onde d l⊥ e a projecao de d l perpendicularmente a x).

Desse modo,

m =I

2c

∮

x× d l .→ |m| = I

cArea ,

onde “Area” e a area da espira.


Outro resultado interessante e obtido quando consideramos a correntedevida a um grupo de partıculas, com massas Mi e cargas qi :

J =∑

i

qivi δ(x − xi ) ,

m =1

2c

∫

d3x∑

i

qi δ(x − xi ) (x× vi ) =1

2c

∑

i

qi (xi × vi )

=1

2c

∑

i

qiMi

Li

poisL = x× p = M (x× v) ,

para uma partıcula de massa M.

Se todas as partıculas tem a mesma razao qiMi

= qM, entao teremos

m =q

2McL .


Distribuicao localizada de corrente em uma inducao

magnetica externa

Ja vimos que a forca e o torque sobre uma distribuicao de corrente(um momento de dipolo magnetico) sao dadas por

F =1

c

∫

d3x J(x) × B(x)

e

N =1

c

∫

d3x x× [J(x) × B(x)] .

Se a inducao magnetica varia pouco na regiao onde se encontra acorrente, podemos utilizar uma expansao de B(x). Para cadacomponente de B, em torno de uma origem, teremos

Bk(x) = Bk(0) + (x · ∇)Bk(0) .

Portanto, para a i−esima componente da forca,

Fi =1

c

∑

j ,k

ǫijk

[

Bk(0)

∫

d3x ′ Jj(x′) +

∫

d3x ′ Jj(x′)(x′ · ∇′)Bk(0) + ...

]


O termo∫d3x ′ Jj(x′) = 0, como ja vimos. Portanto,

Fi =1

c

∑

j ,k

ǫijk∑

l

∫

d3x ′ Jj(x′) x ′l ∂

′lBk(0)

Fi =1

c

∑

j ,k

ǫijk∑

l

[∂lBk(0)]

∫

d3x ′ Jj(x′) x ′l

Fi =1

c

∑

j ,k

ǫijk∑

l

[∂lBk(0)]1

2

∫

d3x ′[Jj(x

′) x ′l − Jl(x′) x ′j

],

onde usamos a segunda equacao apos eq. (96), e onde nao aparecemais a ’linha’ no operador ∂′l porque trata-se da derivada calculadaem um dado ponto.

Temos portanto o seguinte,

Fi =1

2c

∑

j ,k

ǫijk

∫

d3x ′[Jj(x

′) (x′ · ∇)Bk(0)− x ′j (J(x′) · ∇)Bk(0)

].


Consideremos agora o seguinte:Temos

Jj x′ · ∇Bk(0)− x ′j J · ∇Bk(0) .

Seja ∇Bk(0) ≡ A, de modo que

Jj x′ · A− x ′j J · A = Jj A · x′ − x ′j A · J =

[A× (J× x′)

]

j,

onde comparamos com

A× (B× C) = B(A · C)− C(A · B) .

Por outro lado,

[A× (J× x′)

]

j=[(x′ × J)× A

]

j=[(x′ × J)×∇Bk(0)

]

j

=[(x′ × J)×∇

]

jBk(0) .


Retornando agora a equacao anterior,

Fi =1

2c

∑

j ,k

ǫijk

∫

d3x ′[(x′ × J)×∇Bk(0)

]

j,

Fi =∑

j ,k

ǫijk (m×∇)j Bk(0) . (100)

Escrevendo a forca na forma vetorial,

F = (m×∇)× B . (101)


Usando agora a seguinte relacao vetorial [Schaum, 22.19],

(A× B)× C = B(A · C)− A(B · C) ,

teremosF = [∇(m · B)−m(∇ ·B)]

F = ∇(m ·B) , (102)

uma vez que ∇ ·B = 0.

Interpretanto F como −∇U (energia potencial) podemos escrever

U = −m ·B . (103)

Para o torque, podemos usar um procedimento analogo e obter, emordem mais alta,

N = m× B . (104)


Obs.: Com base em F = ∇(m · B), podemos entender os chamadosespelhos magneticos:

B

m

q>0

m ·B = −mB → F = −m ∂B

∂s,

de modo que a partıcula espiralando e repelida das regioes de campomais intenso.


Equacoes macroscopicas; Magnetizacao; Campo magnetico

H

Pelo que vimos ate agora, conhecida a distribuicao de corrente J,podemos determinar B(x).

Entretanto, consideremos os casos seguintes:

correntes eletronicas rapidamente flutuantes (na materia). Paraaplicacoes “macroscopicas”, so nos interessa o valor medio.momentos magneticos intrınsecos, nao classicos.

Pela ausencia de monopolos magneticos, temos tanto

∇ · Bmic = 0

quanto∇ ·B = 0 ,

onde nessa ultima expressao B e o campo “macroscopico”.


Magnetizacao

Dessa forma, tambem para campos “macroscopicos” deve valer

B = ∇× A .

Magnetizacao (macroscopica):A definicao e analoga a definicao da polarizacao:

M(x) =∑

i

Ni < mi > .

Se tivermos densidade de corrente de cargas livres, J, em x o potencialvetor devido a um elemento de volume ∆V em x′ sera dado por:

∆A(x) =1

c

J(x′)|x− x′|∆V +

M(x′)× (x− x′)|x− x′|3 ∆V (105)

Obs.: Devemos lembrar que, para um dipolo na origem,

A =m× x

|x|3 .


Fazendo ∆V → d3x ′, e integrando sobre a contribuicao de todo oespaco,

A(x) =1

c

∫

d3x

[J(x′)|x− x′| + c

M(x′)× (x− x′)|x− x′|3

]

.

Podemos re-escrever a segunda integral:

(x− x′)|x− x′|3 = −∇ 1

|x− x′| = ∇′ 1

|x− x′| ,

⇒M×∇′ 1

|x− x′| .



∇× (f a) = (∇f )× a+ f (∇× a)→ (∇f )× a = ∇× (f a)− f (∇× a) ,

de modo que

M×∇′ 1

|x− x′| = −[

∇′ ×(

M

|x− x′|

)

− 1

|x− x′|∇′ ×M

]

.

Podemos entao escrever∫

d3xM× (x− x′)|x− x′|3 = −

∫

d3x ′∇′×(

M

|x− x′|

)

+

∫

d3x ′∇′ ×M

|x− x′| .


Re-escrevendo,

∫

d3xM× (x− x′)|x− x′|3 =

∫

d3x ′∇′ ×M

|x− x′| −∫

d3x ′∇′ ×(

M

|x− x′|

)

.

A(x) =1

c

∫

d3x ′[J(x′) + c∇′ ×M

|x− x′|

]

+1

c

∮

S

d2x ′cM× n′

|x− x′| , (106)

onde no ultimo termo foi usada a relacao (ver contra-capa doJackson, 2nd ed., John Wiley, 1975),

∫

V

d3x ∇×A =

∫

S

d2x n× A .


Densidades de corrente

Podemos agora introduzir duas novas definicoes:

Densidade de corrente de magnetizacao:

JM(x) = c∇×M(x) .

Densidade superficial de corrente de magnetizacao:

KM(x) = c M(x)× n .


Podemos agora introduzir uma densidade superficial de correnteslivres, KL(x), e escrever

A(x) =1

c

∫

d3x ′J(x′) + JM(x′)|x− x′| +

1

c

∮

d2x ′KM(x′) +KL(x

′)|x− x′| .

Caso M seja “localizada” (limitada espacialmente), com KM = 0 eKL = 0, teremos

A(x) =1

c

∫

d3x ′J(x′) + JM(x′)|x− x′| .

Fazendo ∇× (∇× A) = ∇(∇ ·A)−∇2A, aplicando os operadoresno lado direito, e levando em conta que na eletrostatica ∇ · J = 0 eque ∇ · JM = ∇ · (∇×M) = 0, e tambem usando a eq. (7), teremos

∇× B =4π

c(J+ JM) ,


Ficamos com

∇× B =4π

cJ+ 4π ∇×M . (107)

Definimos agora o vetor campo magnetico:

H = B− 4π M . (108)

Nesse caso,

∇×H =4π

cJ . (109)

Note que no lado direito das equacoes envolvendo o rotacional temos(termos de “fonte”):

Para H, a densidade de corrente “livre”.Para B, a densidade de corrente “total” (livre+magnetizacao).


Permeabilidade magnetica

Ao discutirmos materiais magneticos, introduzimos a permeabilidademagnetica µ, quando o material for isotropico e a relacao entre B e H

for linear.

Em geral, temos M = M(H).

Se a dependencia for linear (e o caso de materiais diamagneticos eparamagneticos), podemos escrever

Mi =∑

j

(χm)ij Hj ;

Se a dependencia for linear e isotropica, introduzimos asusceptibilidade magnetica χm, uma constante caracterıstica domaterial,

M = χm H ;


Nesse caso,

H = B− 4π M , ⇒ B = H+ 4π M = H (1 + 4π χm) .

Escrevendo µ = 1 + 4π χm, onde µ e a permeabilidade magnetica,temos

B = µ H . (110)

Obs.: Para materiais ferromagneticos, nao se verifica a linearidade.Variando H, obtemos uma curva de histerese para o campo B.Entretanto, mesmo nao havendo a linearidade, para aplicacoes emque H varia em uma faixa limitada, em que a dependencia epraticamente linear, muitas vezes define-se uma permeabilidadeefetiva para um material ferromagnetico.


Potencial escalar magnetico:

No vacuo:Se J = 0, teremos ∇×B = 0, de modo que B pode ser obtido de umpotencial ΦM ,

B = −∇ΦM .

Nesse caso, podemos usar as tecnicas empregadas na eletrostaticapara encontrar B.Como teremos ∇ ·B = 0, resulta a equacao de Laplace,

∇2ΦM = 0 .


Em materiais magneticos:

∇×H =4π

cJ ;

se J = 0, teremos ∇×H = 0, e em consequencia poderemos escreverH = −∇ΦM .

Nesse caso,

∇ · B = 0 , → ∇ · (H+ 4π M) = 0 ,

→ −∇2ΦM + 4π ∇ ·M = 0 , ∇2ΦM = 4π ∇ ·M .

Define-se entao a densidade de cargas de magnetizacao:

ρM = −∇ ·M . (111)


Alem disso, considerando a superfıcie de separacao entre a regiao comM 6= 0 (regiao 2) e a regiao com M = 0 (regiao 1), temos:

h

1

2


Temos, uma vez que ∇ · B = 0,

∇ ·H = −4π ∇ ·M ;∫

d3x ∇ ·H = −4π∫

d3x ∇ ·M ;

⇒∮

d2x H · n = −4π∮

d2x M · n .

Considerando uma superfıcie em forma de “pılula”, com altura h→ 0,

∮

d2x H · n ⇒∫

S

d2x (H1 · n−H2 · n)

⇒ −4π∫

S

d2x (M1 · n−M2 · n) = −4π∫

S

d2x (0−M · n) .


Como as integrais sao feitas sobre a mesma superfıcie S , que earbitraria, obtivemos,

(H1 · n−H2 · n) = 4π (M · n) .

Podemos definir uma densidade superficial de cargas de

magnetizacao,σM = M · n . (112)

Portanto, em um ponto x,

ΦM(x) = −∫

V

d3x ′∇′ ·M(x′)|x− x′| +

∮

d2x ′M(x′) · n′|x− x′| . (113)


Aplicacao:

Vamos considerar uma esfera de raio a, uniformemente magnetizada:

za

θθ

M = M0k

P

a’

’


Dentro da esfera,

M = M0 k , ⇒ ∇ ·M = 0 .

Alem disso,

M · n′ = M · a′

a′= M0 cos θ

′ , d2x ′ = a2dΩ′ .

O uso da eq. (113) nos leva a

ΦM(x) = M0a2

∫

dΩ′ cos θ′

|x− x′| .

Usamos agora

1

|x− x′| = 4π∞∑

ℓ=0

ℓ∑

m=−ℓ

1

2ℓ+ 1

r ℓ<

r ℓ+1>

Y ∗ℓm(θ

′, φ′)Yℓ,m(θ, φ) ,

cos θ′ =

√

4π

3Y10(θ

′, φ′) .


O uso dessas expressoes nos leva a

ΦM(x) = M0a2(4π)

∑

ℓ

∑

m

1

2ℓ+ 1

r ℓ<

r ℓ+1>

√

4π

3Yℓ,m(θ, φ)

×∫

dΩ′ Y ∗ℓm(θ

′, φ′)Y10(θ′, φ′)

︸︷︷︸

δℓ1δm0

= M0a2 4π

3

√

4π

3

r<r2>

Y1,0(θ, φ) ;

⇒ ΦM(x) = M0a2 4π

3

r<r2>

cos θ .


Na regiao interna, r < a; alem disso, r ′ = a. Portanto, r< = r ,r> = a;

ΦM(x) = M0a2 4π

3

r

a2cos θ ,

⇒ ΦM(x) =4π

3M0(r cos θ) .

Na regiao externa, r > a; alem disso, r ′ = a. Portanto, r< = a,r> = r ;

ΦM(x) = M0a2 4π

3

a

r2cos θ ,

⇒ ΦM(x) =4π

3

M0a3 cos θ

r2.


O campo magnetico pode ser entao obtido. Para r < a,

Hi = −∇ΦM

∣∣∣∣i

= −[

e1∂rΦM + e21

r∂θΦM + e3

1

r sin θ∂φΦM

]

i

.

O ultimo termo e nulo; ficamos com

Hi = e1

(

−4π

3M0 cos θ

)

+ e2

(4π

3M0 sin θ

)

,

Hi = −4π

3M0 (e1 cos θ − e2 sin θ) .


Para a regiao externa, com r > a,

He = −∇ΦM

∣∣∣∣e

= −e14π

3M0a

2 cos θ

(

− 2

r3

)

+ e24π

3M0 sin θ

a3

r3,

He = −4π

3M0

a3

r3(−e12 cos θ − e2 sin θ) .

Portanto,

(He −Hi)r=a =4π

3M0

[(2a3

r3cos θ + cos θ

)

e1 +

(a3

r3sin θ − sin θ

)

e2

]

=4π

3M0 (3 cos θ)e1 = 4πM0 cos θ n ,

onde usamosn =

a

a= r = e1 .


Podemos portanto escrever

(He −Hi)r=a·n = 4πM0 cos θ (n · n) = 4πM0 cos θ = 4πM·n , c.q.d.

Por outro lado, expressando em componentes cartesianas,

n = sin θ cosφ i+ sin θ sinφ j+ cos θ k .

Como ja vimos, esta quantidade e igual a e1.

Quanto a e2, sabemos que e perpendicular ao raio vetor. Fazportanto um angulo θ com a horizontal. Sua projecao horizontal edada por cos θ, e portanto

e2 = cos θ cosφ i+ cos θ sinφ j− sin θ k .

(ver figura)


Figura referente a discussao anterior:

e2

φ

θ

cosθsenφ

cosθ cosφ

θ

cosθ

senθ


Usando as expressoes obtidas na expressao para Hi ,

(e1 cos θ − e2 sin θ) = sin θ cosφ cos θ i+ sin θ cos θ sinφ j

+cos2 θ k− sin θ cosφ cos θ i− sin θ cos θ sinφ j+ sin2 θ k

=(sin2 θ + cos2 θ

)k .

Portanto,

Hi = −4π

3M0 k = −4π

3M .

Por outro lado, temos

Bi = Hi + 4π Mi = 4π M

(

1− 1

3

)

,

Bi =8π

3M .

Ou seja, mostramos que Bi e paralelo a M, e que Hi e anti-paralelo

a M, no interior da esfera uniformemente magnetizada!


Equacoes de Maxwell

Ate agora, estudamos fenomenos estaticos, obtendo as equacoesbasicas que governam os campos:

∇× E = 0,

∇ ·D = 4πρ, D = E+ 4πP,

∇×H =4π

cJ, H = B− 4πM,

∇ ·B = 0. (114)


Vamos agora introduzir uma equacao que expressa em formamatematica uma relacao entre campos eletricos e magneticos, frutode observacoes de Faraday (por volta de 1830).

a) movimento de um ima relativo a um circuito provoca corrente nocircuito.

b) movimento de um circuito conduzindo corrente estacionaria, relativo aoutro circuito, provoca corrente neste ultimo.

c) variacao da corrente em um circuito provoca corrente em outro.

Estas observacoes mostram dependencia na area e forma doscircuitos, na sua distancia e posicao relativa, ou na distancia eposicao relativa do ima, e na taxa de variacao temporal da corrente,ou na velocidade do ima.


Matematicamente, considerando-se um caminho fechado qualquer(C ), limitando uma superfıcie aberta (S), o comportamentoobservado pode ser expresso da forma seguinte

E =

∮

C

E′ · d l = −k d

dt

∫

S

d2x B · n . (115)

E′ e o campo eletrico atuando no elemento dl do circuito C , nosistema de referencia onde d l esta em repouso.E e a forca eletromotriz induzida no circuito.B e a inducao magnetica no “sistema laboratorio”.n e um vetor perpendicular a superfıcie em cada ponto, com sentidodado pela “regra da mao direita”.


C

n

v

B


Se o circuito C estiver se movendo com velocidade v relativamente aolaboratorio, encontrara B mudando devido a dependencia em t etambem devido a mudanca em x:

d

dtB = ∂tB+ ∂xB

dx

dt+ ∂yB

dy

dt+ ∂zB

dz

dt= ∂tB+ (v · ∇)B ,

(a chamada “derivada convectiva”).

∮

C

E′ · d l = − k

∫

S

d2x [∂tB+ (v · ∇)B] · n ,

Por outro lado,

∇× (B× v) = B(∇ · v) − v(∇ ·B) + (v · ∇)B− (B · ∇)v ,

onde devemos levar em conta que v, a velocidade do circuito, eapenas funcao de t (v = v(t)).


Portanto,∮

C

E′ · d l = − k

∫

S

d2x [∂tB+∇× (B× v)] · n

= − k

∫

S

d2x (∂tB) · n− k

∮

C

(B× v) · d l

⇒∮

C

[E′ + k (B× v)

]· d l = − k

∫

S

d2x (∂tB) · n .

O termo no integrando do lado esquerdo pode ser interpretado comosendo o campo E no laboratorio (usando invariancia de Galileu, ondeo tempo t e o mesmo nos dois referenciais).


Por outro lado, no sistema onde o circuito esta em repouso, umacarga q no circuito experimenta forca qE′. Vista do laboratorio, estaforca seria (forca de Lorentz):

q

[

E+1

cv × B

]

.

Portanto,

E′ = E+1

c(v × B), → k ≡ 1

c.

Portanto, podemos resumir as observacoes escrevendo a chamada Leide Faraday,

∮

C

E′ · d l = − 1

c

d

dt

∫

S

d2x B · n . (116)


No sistema onde o circuito esta em repouso, E e B definidos nomesmo sistema,

∮

C

E · d l = − 1

c

∫

S

d2x (∂tB) · n =

∫

S

d2x (∇× E) · n ,

de modo que podemos escrever

∇× E+1

c∂tB = 0 , (117)

que e a chamada lei de Faraday na forma diferencial.

Obs.: Devemos chamar a atencao para o seguinte: A lei de Faradaynao depende da invariancia de Galileu; a invariancia foi usada apenaspara verificar a constante de proporcionalidade 1

c.


A eq. (117) vem generalizar a primeira das eqs. (114), ∇× E.Ficamos entao com

1) ∇ ·D = 4πρ , (118)

2) ∇× E = −1

c∂tB , (119)

3) ∇ · B = 0 , (120)

4) ∇×H =4π

cJ . (121)

Fica evidente a falta de simetria nessas equacoes. As eqs. (1) e (3)nao tem simetria, devido a nao existencia de “cargas magneticas”.

Da mesma forma, existe um termo de “corrente de cargas eletricas”(J) na eq. (4), mas nao existe um JM em (2).

Entretanto, em (2) ha um termo do tipo ∂tB, e em (4) falta umcorrespondente com ∂tE.

Na verdade, na derivacao de (4) fizemos uso da hipotese de umasituacao estacionaria, quando consideramos ∇ · J = 0.


Da eq. (4),

∇ · (∇×H) =4π

c∇ · J ,

Como ∇ · (∇×H) = 0, fica evidente a condicao ∇ · J = 0, queimplica ∂tρ = 0, pela equacao da continuidade.

De (1),

∇ · J+ ∂tρ = ∇ · J+ 1

4π∂t(∇ ·D) = ∇ · J+ 1

4π∇ · (∂tD) = 0 ,

∇ ·(

J+1

4π∂tD

)

= 0 .

A expressao acima nos mostra uma nova grandeza cujo divergente enulo:

J⇒ J+1

4π∂tD .


Com esta grandeza utilizada em lugar de J, a eq. (4) fica

∇×H =4π

cJ+

1

c∂tD .

Aplicando o operador “divergencia”,

∇ · ∇ ×H =4π

c

[

∇ · J+ 1

4π∇ · ∂tD

]

=4π

c

[

∇ · J+ ∂t

(∇ ·D4π

)]

=4π

c[∇ · J+ ∂tρ] = 0 (equacao da continuidade).


Portanto, o conjunto de equacoes ficou transformado nas chamadasequacoes de Maxwell,

∇ ·D = 4πρ, D = E+ 4πP, (122)

∇× E = −1

c∂tB, (123)

∇ ·B = 0. (124)

∇×H =4π

cJ+

1

c∂tD, H = B− 4πM. (125)


Obs.: As equacoes de Maxwell nao sao independentes. Como javimos, de ∇ · (∇×H) = 0, temos [∇ · J+ ∂t(∇ ·D)/4π] = 0.

Da continuidade da carga, ∇ · J = −∂tρ, de modo que∂t [ρ−∇ ·D/4π] = 0.

A partir disso pode-se concluir que

∇ ·D = 4πρ+ cte.

A equacao ∇ ·D = 4πρ estabelece a “cte.” como sendo nula.

Tambem temos ∇ · (∇× E) = 0, de modo que ∂t(∇ ·B) = 0, o quenos leva a

∇ ·B = cte.

A equacao ∇ · B = 0 fixa o valor da “cte.” como sendo nula.


As equacoes de Maxwell e os potenciais escalar e vetorial

Na eq. (125) temos ∇ ·B = 0, o que implica

B = ∇× A .

Portanto,

∇× E = −1

c∂t(∇× A)→ ∇×

(

E+1

c∂tA

)

= 0

→ E+1

c∂tA = −∇Φ

E = −∇Φ− 1

c∂tA .


Ou seja, definindo os campos a partir de potenciais,

B = ∇× A

E = −∇Φ− 1

c∂tA . (126)

Para estabelecer o resultado acima fizemos uso das duas equacoeshomogeneas.


Vamos agora considerar as equacoes do ponto de vista microscopico,ou seja, vamos considerar que estamos no vacuo e que todas ascargas e correntes sao “livres”:

∇ · E = 4πρ, (127)

∇× E = −1

c∂tB, (128)

∇ · B = 0, (129)

∇× B =4π

cJ+

1

c∂tE , (130)

onde, segundo a argumentacao acima, ρ = ρtotal e J = Jtotal .


Usando as eqs. (126),

∇ ·(

−∇Φ− 1

c∂tA

)

= 4πρ→ −∇2Φ− 1

c∂t(∇ ·A) = 4πρ ,

∇× (∇× A) =4π

cJ+

1

c∂t

(

−∇Φ− 1

c∂tA

)

→ ∇(∇ · A)−∇2A =4π

cJ− 1

c∇(∂tΦ)−

1

c2∂2tA .

Com isto chegamos ao seguinte conjunto de equacoes:

∇2Φ+1

c∂t(∇ · A) = −4πρ

∇2A− 1

c2∂2tA−∇

(

∇ ·A+1

c∂tΦ

)

= −4π

cJ . (131)


De (126), vemos que temos liberdade na determinacao de A e Φ:

A⇒ A+∇Λ ,

sendo Λ uma funcao escalar arbitraria.

E = −∇Φ− 1

c∂tA−

1

c∂t∇Λ = −∇

(

Φ+1

c∂tΛ

)

− 1

c∂tA .

Assim, seA→ A+∇Λ

Φ→ Φ− 1

c∂tΛ ,

nao alteramos E e B.


Portanto, temos uma liberdade que pode ser explorada segundo aconveniencia.

Podemos, por exemplo, escolher A e Φ tais que

∇ · A+1

c∂tΦ = 0 , (132)

de modo que (131) se reduz a duas equacoes desacopladas:

∇2Φ− 1

c2∂2tΦ = −4πρ

∇2A− 1

c2∂2tA = −4π

cJ . (133)


O uso da condicao (132) nos leva a equacao da onda nao

homogenea para os potenciais. Esta condicao e chamada decondicao de Lorentz. Observa-se que a velocidade de propagacao ec .

Obs.: Ver nota de rodape na pagina 421 de D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3a. edicao, Prentice Hall:

“There is some question whether this should beattributed to H. A. Lorentz or to L. V. Lorenz (see J. vanBladel, IEEE Antennas and Propagation Magazine 33(2),69 (1991)). But all the standard textbooks include the tand to avoid possible confusion I shall adhere to thatpractice.”


. . .

Ver tambem J. D. Jackson and L. B. Okun, Reviews of ModernPhysics , volume 73, July 2001, Historical roots of gauge invariance:

Pag. 664: “... (Maxwell, 1865). Immediately after, the Danishphysicist Ludvig V. Lorenz, apparently independently by Maxwell,brilliantly developed the same basic equations about the kinshipof light and the electromagnetism of charges and currents(Lorenz, 1867b). With respect to gauge invariance, Lorenz’scontributions are most significant. He introduced the so-calledretarded scalar and vector potentials and showed that theysatisfied the relation almost universally known as “the Lorentzcondition, ”though he preceded the Dutch physicist H. A.Lorentz by more than 25 years.”


. . .

Pag. 665: “By the turn of the century, thanks to, among others,Clausius, Heaviside, Hertz, and Lorentz, who invented what wenow call microscopic electromagnetism with localized charges inmotion formed currents, the formal structure of electromagnetictheory, the role of potentials, the interaction with chargedparticles, and the concept of gauge transformations (not yetknown by that name) were in place. Lorentz’s encyclopediaarticles (Lorentz, 1904a, 1940b) and his book (Lorentz, 1909)established him as an authority in classical electrodynamics, tothe exclusion of earlier contributors such as Lorenz.”


. . .

Tendo A e Φ que satisfazem a condicao de Lorentz, podemos fazeruma transformacao.

A→ A′ = A+∇Λ

Φ→ Φ′ = Φ− 1

c∂tΛ .

Assim,

∇ · A′ +1

c∂tΦ

′ = ∇ · A+∇2Λ +1

c∂tΦ−

1

c2∂2t Λ

= ∇ ·A+1

c∂tΦ+∇2Λ− 1

c2∂2t Λ = ∇2Λ− 1

c2∂2t Λ,

pois Ae Φ satisfazem a condicao de Lorentz.


Se Λ for tal que

∇2Λ− 1

c2∂2t Λ = 0 ,

teremos que A′ e Φ′ tambem satisfazem a condicao de Lorentz.

O conjunto de todos os potenciais que se relacionam desta forma echamado de calibre de Lorentz:

A→ A′ = A+∇Λ

Φ→ Φ′ = Φ− 1

c∂tΛ ,

com ∇2Λ− 1

c2∂2t Λ = 0 . (134)


Na magnetostatica, usamos o calibre de Coulomb, ∇ ·A = 0.

Se usarmos o calibre de Coulomb nas equacoes (131), teremos:

∇2Φ = −4πρ ,

∇2A− 1

c2∂2tA = −4π

cJ+

1

c∇∂tΦ . (135)

Da primeira dessas equacoes, podemos escrever a solucao:

Φ(x, t) =

∫

d3x ′ρ(x′, t)|x− x′| .

O ultimo termo da segunda equacao e entao,

1

c∇∫

d3x ′∂tρ

|x− x′| = −1

c∇∫

d3x ′∇′ · J|x− x′| ,

onde usamos a equacao da continuidade,

∂tρ+∇ · J = 0.


Podemos escrever J = Jt + Jl , onde ∇ · Jt = 0 e ∇× Jl = 0 (veradiante).

Jl e chamada de corrente irrotacional (ou longitudinal).

Jt e chamada de corrente solenoidal (ou transversal).

Com estes elementos, mostra-se que

∇2A− 1

c2∂2tA = −4π

cJt .

O calibre de Coulomb e particularmente util na eletrodinamicaquantica (ver Jackson, p. 222).


. . .

Esses resultados podem ser mostrados na forma seguinte. Vamosescrever o lado esquerdo da lei de Ampere usando a expressao para opotencial vetor,

∇×∇×∫

d3x ′J(x′, t)|x− x′|

= ∇[

∇ ·∫

d3x ′J(x′, t)|x− x′|

]

−∇2

∫

d3x ′J(x′, t)|x− x′|

= ∇[

∇ ·∫

d3x ′J(x′, t)|x− x′|

]

+ 4π

∫

d3x ′ J(x′, t)δ(x − x′|)

= ∇[

∇ ·∫

d3x ′J(x′, t)|x− x′|

]

+ 4π J(x, t) .


. . .

O primeiro termo contem

∇ ·∫

d3x ′J(x′, t)|x− x′| =

∫

d3x ′[ ∇ · J|x− x′| + J · ∇ 1

|x− x′|

]

=

∫

d3x ′[

J · ∇ 1

|x− x′|

]

,

onde usamos ∇ · J(x′, t) = 0.

Mudando de variavel,

∇ ·∫

d3x ′J(x′, t)|x− x′| = −

∫

d3x ′[

J · ∇′ 1

|x− x′|

]

,

= −∫

d3x ′[

∇′ · J

|x− x′| −∇′ · J|x− x′|

]

= −∮

d2x ′J

|x− x′| · n′ +∫

d3x ′∇′ · J|x− x′| .


. . .

Integrando sobre todo o espaco, o termo de superfıcie vai a zero.

Retornando a equacao anterior, temos

∇×∇×∫

d3x ′J(x′, t)|x− x′| = ∇

∫

d3x ′∇′ · J|x− x′| + 4π J(x, t) ,

J(x, t) =1

4π∇×∇×

∫

d3x ′J(x′, t)|x− x′|

︸︷︷︸

Jt

+

[

− 1

4π∇∫

d3x ′∇′ · J|x− x′|

]

︸︷︷︸

Jl

.

Essas denominacoes se justificam porque ∇· aplicado a um rotacionale nulo, e ∇× aplicado a um gradiente e nulo.


. . .

Usando na equacao para A,

∇2A− 1

c2∂2tA = −4π

cJ+

1

c∇∂tΦ

= −1

c∇×∇×

∫

d3x ′J(x′, t)|x− x′|+

1

c∇∫

d3x ′∇′ · J|x− x′|−

1

c∇∫

d3x ′∇′ · J|x− x′| ,

Ou seja,

∇2A− 1

c2∂2tA = −1

c∇×∇×

∫

d3x ′J(x′, t)|x− x′| = −

4π

cJt , c.q.d. .


Equacao da onda e funcao de Green

Voltemos ao caso do calibre de Lorentz. Temos

∇2Φ− 1

c2∂2tΦ = −4πρ

∇2A− 1

c2∂2tA = −4π

cJ .

Genericamente,

∇2ψ − 1

c2∂2t ψ = −4πf (x, t) . (136)

A equacao homogenea e a seguinte:

∇2ψ − 1

c2∂2t ψ = 0 ,

e sua solucao e dada por

ψh ≃ e i(k·x−ωt), ω = ck .


A solucao particular e obtida considerando a seguinte equacao:

(

∇2 − 1

c2∂2t

)

G (x, x′; t, t ′) = −4πδ(x − x′)δ(t − t ′) , (137)

onde G e a funcao de Green.

Solucao:

ψp(x, t) =

∫

d3x ′∫

dt ′ G (x, x′; t, t ′)f (x′, t ′) . (138)

Supondo homogeneidade de espaco e tempo:

G (x, x′; t, t ′) = G (x− x′; t − t ′) .


Transformada de Fourier:

G (x− x′; t − t ′) =1

(2π)4

∫

d3kdω g(k, ω)e ik·(x−x′)e−iω(t−t′) ,

δ(x− x′) =1

(2π)3

∫

d3k e ik·(x−x′) ,

δ(t − t ′) =1

(2π)

∫

dω e−iω(t−t′) .


Voltando a eq. (136):

1

(2π)4

∫

d3kdω g(k, ω)

(

−k2 + ω2

c2

)

e ik·(x−x′)e−iω(t−t′)

= −4π 1

(2π)4

∫

d3kdωe ik·(x−x′)e−iω(t−t′) ,

→ g(k, ω) = − 4πc2

ω2 − c2k2,

and

G (x− x′; t − t ′) = − 4πc2

(2π)4

∫

d3kdωe ik·(x−x′)e−iω(t−t′)

ω2 − c2k2

= − 4πc2

(2π)4

∫

d3kdωe ik·(x−x′)e−iω(t−t′)

(ω − ck)(ω + ck).

Existem dois polos na integral. Podemos torna-la definida estendendoa integracao para o campo complexo (em ω).


De acordo com o teorema de Cauchy:

∮f (z)

z − z0dz = 2πi f (z0) .

Temos entao

G (x− x′; t− t ′) == − c2

4π3

∫

d3k e ik·(x−x′)

∫ ∞

−∞dω

e−iω(t−t′)

(ω − ck)(ω + ck)

= − c2

4π3

∫

d3k e ik·(x−x′) I .

No plano complexo, ω → ωr + i ωi ; vamos entao considerar o fatorque aparece no argumento da funcao exponencial: −i ω(t − t ′); aparte real e dada por −i (i ωi)(t − t ′) = ωi(t − t ′).

Se t − t ′ > 0, a integral deve ser fechada no semi-plano inferior.

Se t − t ′ < 0, a integral deve ser fechada no semi-plano superior.


Seja τ = t − t ′;

Se τ > 0:

I = limǫ→0

∫ ∞

−∞dω

e−iωτ

(ω − ck + iǫ)(ω + ck + iǫ).

ω

ωIm

Reε ε−ck−i +ck−i


Ha dois zeros no denominador. Um deles em ω = ck − iǫ, e o outroem ω = −ck − iǫ. Usando o teorema de Cauchy,

I = −2πi[e−ickτ

2ck+

e ickτ

−2ck

]

=πi

ck

(

e ickτ − e−ickτ)

,

onde o sinal aparece uma vez que usamos o sentido horario deintegracao.


Retornando a expressao de G ,

G = − c2

4π3πi

c

∫

d3ke ik·R

k

(


,

onde R ≡ x− x′.

Usando coordenadas esfericas,

d3k = k2 dk sin θ dθ dφ = −k2 dk d(cos θ) dφ .

Prosseguindo

G = − ci

(2π)2

∫ ∞

0dk

k2

k2π

∫ 1

−1d(cos θ) e ikR cos θ

(


= − ci

2π

∫ ∞

0dk k

[e ikR − e−ikR

ikR

](


= − c

2πR

∫ ∞

0dk(

e ikR − e−ikR)(


,


Continuando,

= − c

2πR

∫ ∞

0dk(

e ik(R+cτ) − e ik(R−cτ) − e−ik(R−cτ) + e−ik(R+cτ))

.

Trocando k por −k nas duas ultimas integrais,

G = − c

2πR

[∫ ∞

0dk e ik(R+cτ) −

∫ ∞

0dk e ik(R−cτ)

−∫ −∞

0(−dk) e ik(R−cτ) +

∫ −∞

0(−dk) e ik(R+cτ)

]

G = − c

2πR

[∫ ∞

−∞dk e ik(R+cτ) −

∫ ∞

−∞dk e ik(R−cτ)

]

− c

2πR(2π) [δ(R + cτ)− δ(R − cτ)]

=c

Rδ(R − cτ) =

1

Rδ

(

τ − R

c

)

.


Na ultima expressao usamos o seguinte:

cτ > 0, R = |x− x′| > 0 → δ(R + cτ) nunca e satisfeita.

Portanto,

G (x− x′; t − t ′ > 0) =1

|x− x′|δ[

t − t ′ − |x− x′|c

]

.

Podemos chamar esta funcao de funcao de Green retardada,

GR(x, x′; t, t ′(< t)) =

1

|x− x′|δ[

t ′ −(

t − |x− x′|c

)]

. (139)


Se τ < 0, procede-se analogamente, fechando o contorno nosemi-plano superior.

Nesse caso,

I = limǫ→0

∫ ∞

−∞dω

e−iωτ

(ω − ck − iǫ)(ω + ck − iǫ).

Deve-se chegar a funcao de Green avancada,

GA(x, x′; t, t ′(> t)) =

1

|x− x′|δ[

t ′ −(

t +|x− x′|

c

)]

. (140)


Resumindo,

GR(x, x′; t, t ′) =

1

|x− x′|δ[

t ′ −(

t − |x− x′|c

)]

,

t ′ < t ; 0, t ′ > t , (141)

GA(x, x′; t, t ′) =

1

|x− x′|δ[

t ′ −(

t +|x− x′|

c

)]

,

t ′ > t ; 0, t ′ < t . (142)

A GR propaga para o futuro (t > t ′) o efeito de fontes em t ′. A GA

“propaga” para o passado.


Dado ψin(x, t) (solucao da equacao homogenea) e f (x, t) comecandoem algum instante do tempo:

ψ(x, t) = ψin(x, t) +

∫

d3x ′∫ t

−∞dt ′ GR(x, x

′; t, t ′)f (x′, t ′) .

(143)

Dado ψout(x, t) (solucao da equacao homogenea) e f (x, t)comecando em algum instante do tempo:

ψ(x, t) = ψout(x, t) +

∫

d3x ′∫ ∞

t

dt ′GA(x, x′; t, t ′)f (x′, t ′).

(144)


Usando explicitamente a eq. (141), vemos que podemos escrever umasolucao em (x, t), a partir do comportamento das fontes, no caso emque ψin = 0:

ψ(x, t) =

∫

d3x ′[f (x′, t ′]ret|x− x′| .

O sımbolo [...]ret significa que o termo e calculado no temporetardado, dado por t ′ = t − |x− x′|/c . A velocidade de propagacaodo sinal no caso e “c”.


Energia no campo magnetico

Na eletrostatica, quando discutimos a energia acumulada em umaconfiguracao de cargas, obtivemos

W =1

2

∫

d3x ρ(x)Φ(x) .

No caso de dieletricos, foi preciso incluir o trabalho realizado paraproduzir o estado de polarizacao do meio.

Partimos da descricao da mudanca de energia δW devida a umamudanca δρ na densidade de cargas:

δW =

∫

d3x δρ(x)Φ(x) .

Chegamos a (para meios lineares),

W =1

8π

∫

d3x E ·D . (145)


Vamos agora procurar descricao semelhante para o caso de materiaismagneticos.

A primeira constatacao e que mesmo no caso de situacoes estaticas, ocalculo da energia envolvida em uma situacao de correntesestacionarias deveria envolver o perıodo e tempo durante o qual ascorrentes passaram desde zero ate o valor final.

Durante esse perıodo existem campos variando no tempo, portantoexistem processos induzidos que realizam trabalho sobre as cargas.

Sobre uma espira carregando corrente I , a potencia dissipada emprocessos induzidos e dada por

dW

dt|ind = − I

c

d

dt

∫

S

d2x B · n .

Obs.: Lembrar da definicao generica

P = εi .


Portanto, para construir a distribuicao de corrente, um agente externodeve fazer trabalho contra os processos induzidos:

dW

dt=

I

c

d

dt

∫

S

d2x B ·n =I

c

d

dt

∫

S

d2x (∇× A) ·n =I

c

d

dt

∮

C

A ·d l .

Construindo entao o campo usando incrementos δB,

⇒ δW =I

c

∮

C

δA · d l , (146)

whereδB = ∇× δA .

Podemos imaginar o meio conduzindo correntes como sendo divididoem grande numero de circuitos, ou “aneis” de corrente, com secaoreta δσ, de forma que escrevemos

Id l → Jδσd l → Jd3x ;∑

i

∮

Ci

→∫

V

.


Obs.: Supondo taxa infinitesimal de variacao:

⇒ ∇ · J ≃ 0 .

Portanto,

δW =∑

i

δW |i ⇒ 1

c

∫

V

δA ·(J d3x

),

⇒ 1

c

∫

V

δA ·( c

4π∇×H d3x

)

,

onde a taxa infinitesimal de variacao que foi suposta (variacao lenta)permite desprezar a corrente de deslocamento frente a J,

∂D

∂t→ 0 .


Portanto,

δW =1

4π

∫

V

d3x δA · (∇×H)

⇒ δW =1

4π

∫

V

d3x [H · (∇× δA) +∇ · (H× δA)] .

Uma vez que ∇× δA = δB, obtemos

δW =1

4π

∫

V

d3x [H · δB +∇ · (H× δA)] .

Fazendo uso do teorema da divergencia,

δW =1

4π

∫

V

d3x H · δB +1

4π

∮

S

d2x (H× δA) · n .

Se a distribuicao de fontes e localizada, podemos levar a superfıciepara o infinito, e o segundo termo e nulo.


Supondo agora que B = µH (meios diamagneticos ouparamagneticos),

H · δB = µ (H · δH) =µ

2δ (H ·H) =

1

2δ (H · B) .

Portanto,

W =

∫

δW =1

8π

∫

d3x

∫

δ (H ·B) = 1

8π

∫

d3x H · B ,

W =1

8π

∫

d3x H ·B , (147)

para meios lineares e isotropicos.


Teorema de Poynting e leis de conservacao

Aqui consideraremos leis de conservacao para camposeletromagneticos.

Consideraremos um sistema de cargas e correntes, e camposeletromagneticos E e B.

Em um volume V do meio, o trabalho (p/unidade de tempo)realizado pelos campos e dado por

dW

dt=

∫

V

d3x J · E . (148)

Entretanto, temos

∇×H =4π

cJ+

1

c∂tD ⇒ J =

c

4π

[

∇×H− 1

c∂tD

]

;


Continuando,

dW

dt=

1

4π

∫

V

d3x [c∇×H · E− ∂tD · E] ,

dW

dt=

1

4π

∫

V

d3x c [H · (∇× E)−∇ · (E×H)] − ∂tD · E .

Usando a lei de Faraday,

∇× E = −1

c∂tB ,

dW

dt= − 1

4π

∫

V

d3x [c∇ · (E×H) +H · ∂tB+ E · ∂tD] . (149)


Se os meios forem lineares nas propriedades eletricas e magneticas,

D = ǫE, B = µH ,

teremos

1

4π

∫

d3x H · ∂t(µH) =1

8π

∫

d3x ∂t (H · µH)

=1

8π

∫

d3x ∂t (H · B) =∫

d3x ∂tuB ,

onde uB e a densidade de energia magnetica.

Procedendo analogamente para E · ∂tD, chegamos a:

∫

V

d3x J · E = −∫

V

d3x

[∂u

∂t+

c

4π∇ · (E×H)

]

, (150)

onde

u ≡ 1

8π(E ·D+ B ·H) .


Seja

S ≡ c

4π(E×H) , (151)

o vetor de Poynting.

Para que a eq. (150) seja valida em um volume arbitrario,

∂u

∂t+∇ · S = −J · E . (152)

De um ponto de vista microscopico, as equacoes de Maxwell sao

∇ · E = 4πρ ,

∇× E = −1

c∂tB ,

∇ ·B = 0 , (153)

∇× B =4π

cJ+

1

c∂tE .


A energia total no campo eletromagnetico fica dada por

Efield =1

8π

∫

d3x (E · E+ B · B) ,

u ≡ 1

8π(E · E+ B · B) .

A variacao da energia mecanica das partıculas devido a troca deenergia com o campo e dada por:

d

dtEmec =

∫

V

d3x J · E . (154)

Com isso, obtemos a seguinte equacao,

d

dt(Emec + Efield ) = −

∮

S

d2x n ·S , (155)

que representa o seguinte:

Variacao da energia + fluxo = 0 .


Essa equacao expressa conservacao de energia em um volume V , oucontinuidade da energia, com S dado por

S =c

4π(E× B) .

Para o momentum, em um volume V ,

d

dtPmec =

∫

V

d3x

(

ρE+1

cJ× B

)

=

∫

V

d3x1

4π

[

E (∇ · E) + 1

cB× (∂tE) + (∇× B)× B

]

.

1

cB× (∂tE) =

1

c[E× (∂tB)− ∂t (E× B)]

=1

c[E× (−c∇× E)− ∂t (E× B)] .


Retornando a expressao para o momentum,

d

dtPmec =

1

4π

∫

V

d3x [E (∇ · E) +B (∇ ·B)

−E× (∇× E)− B× (∇× B)− 1

c∂t (E× B)

]

,

onde adicionamos ∇ · B = 0.

d

dt

[

Pmec +1

4πc

∫

V

d3x (E× B)

]

=1

4π

∫

V

d3x [E (∇ · E) + B (∇ ·B)

−E× (∇× E)− B× (∇× B)] .


Podemos fazer algumas consideracoes dimensionais:

As dimensoes de S sao [Energia/area/tempo], ou seja, dimensoes defluxo de energia.

Logo,[1

c(E× B) d3x

]

=

[Energia

area x tempo× T 2

L2× L3

]

[Energia

L× T

]

=

[ML2

T 2× T

L

]

=

[ML

T

]

= [Momentum] .

Podemos associar o termo com E× B ao momentum linear carregadopelos campos

Pfield =1

4πc

∫

V

d3x (E× B) . (156)


Assim,

d

dt[Pmec + Pfield ] =

1

4π

∫

V

d3x [E (∇ · E) + B (∇ · B)

−E× (∇× E)− B× (∇× B)] .

Mostra-se que

[E (∇ · E)− E× (∇× E)]α =∑

β

∂xβ

[

EαEβ −1

2(E · E)δαβ

]

,

ou seja, cada componente tem a forma de uma divergencia de umtensor de ordem 2. Analogamente para os termos com B.

Seja entao o tensor,

Tαβ =1

4π

[

EαEβ + BαBβ −1

2δαβ (E · E+ B ·B)

]

, (157)


Com essa definicao, o lado direito aparece como:

d

dt[Pmec + Pfield ]α =

∑

β

∫

V

d3x ∂xβTαβ

=

∮

d2x∑

β

Tαβnβ . (158)

A quantidade∑

β

Tαβnβ

representa a α-esima componente do fluxo de momentum por unidadede area, atraves da superfıcie S envolvendo o volume V (fluxo “paradentro”).


OBS.: Usamos o teorema da divergencia na eq. (158).

Vamos discutir seu uso:

∑

β

∫

V

d3x ∂xβTαβ →∫

d3x [∂x1Tα1 + ∂x2Tα2 + ∂x3Tα3]

=

∫

d3x ∇ · V ,

ondeV = (Tα1,Tα2,Tα3) .

∫

d3x ∇ · V =

∮

d2x V · n =

∮

S

d2x (Tα1n1 + Tα2n2 + Tα3n3)

=

∮

S

d2x∑

β

Tαβnβ .


Equacoes do eletromagnetismo macroscopico

Como ja vimos, os campos E e B satisfazem as seguintes equacoes,em termos das cargas e correntes livres:

∇ ·B = 0 ,

∇ ·D = 4πρ ,

∇× E+1

c∂tB = 0 ,

∇×H− 1

c∂tD =

4π

cJ .


De um ponto de vista microscopico, podemos simbolizar os campospor letras minusculas, e escrever

∇ · b = 0 ,

∇ · e = 4πη ,

∇× e+1

c∂tb = 0 ,

∇× b− 1

c∂te =

4π

cj .


Limites entre macroscopico e microscopico:

Consideremos fenomenos envolvendo a luz visıvel, como reflexao erefracao: sao bem descritos por equacoes de Maxwell, com constantedieletrica contınua.

Consideremos o fenomeno de difracao de raios X: revela a naturezaatomıstica da materia.

A escala desses fenomenos pode ser dada pelas seguintesconsideracoes:

Luz visıvel: λ ≃ 103 A;raios X: λ ≃ 100 A.

Podemos tomar L0 ≃ 102 A como limite entre processosmacroscopicos e microscopicos; em um volume dado por L30 ≃ 106 A3

ha ainda cerca de 106 nucleos e eletrons → detalhes individuais eflutuacoes “desaparecem” com uma media espacial.


Vamos entao prosseguir e definir a media espacial de uma quantidadeF (x, t) com respeito a uma funcao teste f (x):

〈F (x, t)〉 ≡∫

d3x ′ f (x′)F (x − x′, t) , (159)

onde f (x): funcao real, nao nula em uma vizinhanca de x, enormalizada a unidade

[∫d3x f (x) = 1

].

Por exemplo,

f (x) =

34πR3 , r < R

0, r > R

Este e apenas um exemplo. De maneira geral, entretanto, basta que af (x) seja significativa dentro de uma regiao L >> a, onde a e adimensao molecular tıpica, indo a zero rapidamente fora dessa regiao.


Visao esquematica das propriedades da f (x):

L

0


Usando a definicao de media, eq. (159),

∂xi 〈F (x, t)〉 =∫

d3x ′ f (x′)∂F

∂xi(x− x′, t) ≡ 〈∂xiF 〉 , (160)

∂t 〈F (x, t)〉 = 〈∂tF 〉 . (161)

Aplicando essas operacoes de media aos campos e e b,

E(x, t) = 〈e(x, t)〉 ,

B(x, t) = 〈b(x, t)〉 .Portanto, usando a eq. (160),

〈∇ · b〉 = 0 ⇒ ∇ ·B = 0 . (162)


Usando as eqs. (160) e (161),

⟨

∇× e+1

c∂tb

⟩

= 0 , ⇒ ∇× E+1

c∂tB = 0 . (163)

Ou seja, recobramos as equacoes homogeneas macroscopicas.

Para as equacoes nao homogeneas,

〈∇ · e〉 = 4π 〈η〉 ⇒ ∇ · E = 4π 〈η〉 . (164)

⟨

∇× b− 1

c∂te

⟩

=4π

cj ⇒ ∇×B− 1

c∂tE =

4π

c〈j〉 . (165)

Podemos agora nos perguntar:

〈η〉 =? 〈j〉 =?


Vamos escrever a densidade de cargas:

η(x, t) =∑

j

qjδ[x − xj(t)] .

Vamos separar essa densidade em duas partes,

η = ηf + ηb (166)

ηf (x, t) =∑

j(free)

qjδ[x − xj(t)], ← cargas livres ;

ηb(x, t) =∑

n(molecules)

ηn(x, t) ← cargas ligadas .

Cada ηn representa a densidade de cargas da n-esima molecula,

ηn(x, t) =∑

j(n)

qjδ[x − xj (t)] ;

ou seja, temos a soma sobre as cargas da n-esima molecula .


Vamos entao considerar a media de ηn,

〈ηn(x, t)〉 =∫

d3x ′ f (x′)ηn(x− x′), t)

=∑

j(n)

qj

∫

d3x ′ f (x′)δ[x − x′ − xj ] ,

=∑

j(n)

qj

∫

d3x ′ f (x′)δ[x − x′ − xjn − xn] ,

onde xj = xn + xjn (ver figura).

Portanto, a media espacial da densidade de carga da n-esimamolecula e dada por

〈ηn(x, t)〉 =∑

j(n)

qj f (x− xjn − xn) . (167)


x x

x

x jn

jn

jn

+x j = xn


Vamos agora considerar que as dimensoes da molecula sao muitopequenas, fazendo a seguinte aproximacao,

|xjn| << |x− xn|

⇒ f (x− xn − xjn) ≃ f (x− xn)− xjn · ∇f (x− xn)

+1

2

∑

αβ

(xjn)α(xjn)β∂2αβf (x− xn) + . . . .

Podemos entao definirqn =

∑

j(n)

qj ,

pn =∑

j(n)

qjxjn ,

(Qn)αβ = 3∑

j(n)

qj(xjn)α(xjn)β .


Alem disso,

qnf (x− xn) =

∫

d3x ′ f (x′)qnδ(x′ − x+ xn) = 〈qnδ(x − xn)〉 .

Temos tambem

pn · ∇f (x− xn) = ∇ · [pnf (x− xn)]− f∇ · pn = ∇ · [pnf (x− xn)] ,

uma vez que pn = pn(xjn) (nao depende de x).

Procedendo como no caso de qn,

pn · ∇f (x− xn) = ∇ · 〈pnδ(x − xn)〉 .


Procedendo da mesma forma para o proximo termo, e os demais,mostra-se que a molecula pode se vista como uma colecao de

multipolos localizados em um ponto:

〈ηn(x, t)〉 = 〈qnδ(x − xn)〉 − ∇ · 〈pnδ(x − xn)〉

+1

6

∑

αβ

∂2αβ 〈(Qn)αβδ(x − xn)〉+ . . . (168)

Voltando a expressao para a densidade total de cargas,

〈η(x, t)〉 = 〈ηf (x, t)〉+ 〈ηb(x, t)〉 ,

⇒ 〈η(x, t)〉 =⟨∑

j(free)

qjδ(x − xj) +∑

n(moleculas)

qnδ(x − xn)

⟩

−∇ ·⟨

∑

n(moleculas)

pnδ(x − xn)

⟩

+ . . . .


Podemos entao definir:

ρ(x, t) =

⟨∑

j(free)

qjδ(x − xj ) +∑

n(moleculas)

qnδ(x − xn)

⟩

,

P(x, t) =

⟨∑

n(moleculas)

pnδ(x − xn)

⟩

, (169)

Qαβ =1

6

⟨∑

n(moleculas)

(Qn)αβδ(x − xn)

⟩

,

. . . .

Portanto, voltando a eq. (164), ficamos com

∇ · E = 4π

ρ(x, t)−∇ · P(x, t) +∑

αβ

∂2αβQαβ(x, t) + . . .

.


Em outra forma,

∑

α

∂α

Eα + 4πPα − 4π∑

β

∂βQαβ + . . .

= 4πρ(x, t) .

Podemos definir

Dα ≡ Eα + 4πPα − 4π∑

β

∂βQαβ + . . . , (170)

e escrever∇ ·D = 4πρ(x, t) . (171)

Temos portanto uma generalizacao do que tınhamos obtidoanteriormente, que era

Dα = Eα + 4πPα ,

conforme se ve na eq. (57) .


Um procedimento semelhante pode ser adotado para a outra equacaonao-homogenea, eq. (165), calculando < j(x, t) >.

O processo e consideravelmente mais complicado do que este que foivisto para o caso de < η(x, t) > [Ver Jackson, 2nd ed., John Wiley,1975, p. 232];

Deve-se chegar ao seguinte:

∇×H− 1

c∂tD =

4π

cJ ,

onde . . .


. . .

Hα = Bα − 4π

Mα +

⟨∑

n(moleculas)

(

pn ×vn

c

)

αδ(x − xn)

⟩

−1

6

∑

βγδ

ǫαβγ ∂δ

⟨∑

n(moleculas)

(Qn)δβ(vn)γc

δ(x− xn)

⟩

+ . . .

, (172)

sendo que os vn sao as velocidades moleculares.

Usualmente, o resultado

H = B− 4πM

e uma aproximacao muito boa, uma vez que as velocidadesmoleculares sao tipicamente pequenas e resultam em mediamacroscopica nula (exceto no caso em que o meio como um todoesteja em movimento).


Rotacoes, reflexoes e reversao temporal

Vamos discutir (muito brevemente) algumas propriedades dos camposeletromagneticos e das fontes desses campos.

De maneira geral, as coordenadas de um ponto no espaco R3 saomodificadas por uma rotacao, da seguinte maneira:

x ′α =∑

β

aαβxβ (173)

Multiplicando por x ′α e somando sobre α,∑

α

x ′αx′α =

∑

α

∑

β

aαβxβ∑

γ

aαγxγ =∑

β

∑

γ

xβxγ∑

α

aαβaαγ

Se∑

α aαβaαγ = δβγ . teremos

∑

α

x ′2α =∑

β

x2β.


Ou seja,|x′|2 = |x|2.

Esta transformacao e uma transformacao ortogonal, ou seja, uma

transformacao em que (↔a )T = (

↔a )−1.

Quantidades que se transformam de acordo com a Eq. (173) saochamadas de vetores, ou tensores de ordem um.

Outras quantidades se transformam como

B ′αβ =

∑

γδ

aαγaβδBγδ. (174)

Essas quantidades sao os tensores de ordem 2 (frequentementechamados simplesmente de tensores).


Podemos tambem considerar a transformacao de quantidades perantereflexoes ou perante inversao espacial (troca de x por −x):Existem quantidades que se transformam tambem trocando o sinal,

V → V′ = −V,

quando x→ x′ = −x.Essas quantidades sao chamadas vetores polares, ou simplesmentevetores.

Outras quantidades obedecem a uma lei diferente, sem troca de sinal,

A → A′ = A,

quando x→ x′ = −x.Essas quantidades sao chamadas vetores axiais, ou pseudo-vetores.


Quando lidamos com quantidades tais como as coordenadas de umponto no espaco, essas definicoes ficam de aplicacao simples. Porexemplo, sejam os vetores x1 e x2:

Consideremos s = x1 + x2; se x1 → −x1 e x2 → −x2, teremoss→ −s.Conclusao: s e um vetor.

Consideremos agora P = x1 × x2; se x1 → −x1 e x2 → −x2, teremosP→ P.

Conclusao: P e um pseudo-vetor.

Para quantidades mais complexas, outras consideracoes estaraoenvolvidas.


Por exemplo, sabe-se que a carga eletrica e invariante frente atransformacoes de Galileu ou Lorentz, e e escalar frente a rotacoes.

Podemos convencionar que e tambem escalar frente a inversaoespacial e reversao temporal.Obs.: A reversao temporal e feita pela troca de t por −t.Exemplos:

x→ x′ = x (par frente a uma reversao temporal).

p→ p′ = −p (ımpar frente a uma reversao temporal).


Nesse caso, teremos, para o campo eletrico,

E =F

q, F =

dp

dt

Inversao espacial: p→ −p.Reversao temporal: p e ımpar, de modo que F e par.

Podemos entao concluir que E→ −E frente inversao espacial e que E

e par frente a uma reversao temporal.

Portanto, E e vetor polar, par frente a RT.


Com essas conclusoes sobre E, podemos olhar para a lei de Faraday:

∇× E+1

c

∂B

∂t= 0.

O ∇× E e pseudo-vetor, par frente a RT, de modo que B deve serpseudo-vetor, ımpar frente a RT (obs.: c nao e o vetor c esimplesmente uma constante, escalar).

Analogamente, da lei de Ampere-Maxwell,

∇×B− 1

c

∂E

∂t=

4π

cJ,

concluımos que J e vetor, ımpar frente a RT.


Outras quantidades de interesse no eletromagnetismo podem seranalisadas de forma similar. As propriedades das quantidades maisimportantes podem ser encontradas na Tabela 6.1, do livro deJackson, 2a. edicao [2].

Nao vamos nos aprofundar neste tema. Cabe apenas chamar atencaopara o fato de que diferentes termos nas equacoes envolvendoquantidades “eletromagneticas” devem sempre satisfazer as mesmaspropriedades frente a rotacoes, inversao espacial e reversao temporal(para exemplo, ver analise feita na lei de Faraday e na lei deAmpere-Maxwell).

Vamos prosseguir com uma breve discussao a respeito dapossibilidade de existencia de monopolos magneticos.


Breve discussao sobre monopolos magneticos

Vamos discutir brevemente sobre as consequencias da existencia demonopolos magneticos para o eletromagnetismo, e apresentar umaargumentacao semi-classica sobre a condicao de quantizacao de Dirac.

Supondo a existencia de cargas magneticas, podemos escrever asequacoes de Maxwell na forma seguinte:

∇ ·D′ = 4πρ′e , (175)

∇ · B′ = 4πρ′m , (176)

∇× E′ = −1

c∂tB

′ − 4π

cJ′m , (177)

∇×H′ =4π

cJ′e +

1

c∂tD

′ . (178)


Podemos agora definir uma transformacao de campos, de acordo coma seguinte regra:

E = E′ cos ξ +H′ sin ξ

D = D′ cos ξ + B′ sin ξ

H = −E′ sin ξ +H′ cos ξ

B = −D′ sin ξ + B′ cos ξ .

Da mesma forma, uma transformacao das fontes dos campos,

ρe = ρ′e cos ξ + ρ′m sin ξ

Je = J′e cos ξ + J′m sin ξ

ρm = −ρ′e sin ξ + ρ′m cos ξ

Jm = −J′e sin ξ + J′m cos ξ .


Consideremos agora as equacoes de Maxwell. Por exemplo,

∇ ·D = ∇ ·D′ cos ξ +∇ ·B′ sin ξ

= 4π(ρ′e cos ξ + ρ′m sin ξ

)= 4πρe .

Ou seja, o campo D satisfaz a mesma equacao que o campo D′, feitaa correspondente mudanca nas fontes.

Da mesma forma,

∇× E = ∇× E′ cos ξ +∇×H′ sin ξ

=

(

−1

c∂tB

′ − 4π

cJ′m

)

cos ξ +

(4π

cJ′e +

1

c∂tD

′)

sin ξ

= −1

c∂t(B′ cos ξ −D′ sin ξ

)− 4π

c

(J′m cos ξ − J′e sin ξ

)

= −1

c∂tB−

4π

cJm .


Ou seja, vemos que o campo E satisfaz a mesma lei de Faraday que ocampo E′, feita a mudanca nas fontes. Podemos mostrar o mesmopara as outras equacoes de Maxwell.

Da mesma forma, podemos discutir outras quantidades. Por exemplo,a densidade de energia, que e dada por

u =1

8π(E ·D+ B ·H) .

E ·D+ B ·H =[E′ cos ξ +H′ sin ξ

]·[D′ cos ξ + B′ sin ξ

]

+[−D′ sin ξ + B′ cos ξ

]·[−E′ sin ξ +H′ cos ξ

]

= E′ ·D′ cos2 ξ + E′ ·B′ cos ξ sin ξ +H′ ·D′ cos ξ sin ξ +H′ · B′ sin2 ξ

. . .


Continuando,

+E′ ·D′ sin2 ξ − E′ ·B′ cos ξ sin ξ −D′ ·H′ cos ξ sin ξ +H′ · B′ cos2 ξ

= E′ ·D′ + B′ ·H′ .

Ou seja, a densidade de energia e invariante perante a mudancaproposta.

Pode-se mostrar que outras quantidades, como E×H (da qualdepende o vetor de Poynting) e Tαβ (densidade de fluxo demomentum do campo) tambem permanecem invariantes.

Constatados esses pontos, pode-se mostrar que, se todos os tipos departıculas tiverem a mesma razao entre carga magnetica e cargaeletrica, e possıvel escolher ξ de tal maneira que ρm e Jm sejam nulos.

Ou seja, desse ponto de vista o aparecimento explıcito das cargas ecorrentes magneticas passaria a ser visto como uma questao deconveniencia, afetando a forma como sao definidos os campos.


A questao da razao entre densidades de carga magnetica e eletricaaparece da seguinte forma:

Suponhamos, por exemplo, que para eletrons e protons tenhamosrazoes diferentes:

ρemρee6= ρpmρpe

.

Considerando o caso dos eletrons,

ρe = ρ′e cos ξ + ρ′m sin ξ

ρm = −ρ′e sin ξ + ρ′m cos ξ .

Para termos ρm = 0, ξ deve ser tal que

tan ξ =ρe

′

m

ρe′e.


Da mesma forma, para zerarmos a densidade de carga magnetica dosprotons, deverıamos usar

tan ξ =ρp

′

m

ρp′

e

.

Se essas razoes sao diferentes (como supusemos acima), nao seriapossıvel encontrar ξ de forma a anular simultaneamente as cargasmagneticas.

A evidencia experimental disponıvel e que a mencionada razao entrecarga magnetica e carga eletrica seria a mesma para todos os tipos departıculas.

Ou seja, fica justificada a escolha de ρm = 0 e Jm = 0. Pelo menos,ate prova em contrario.


Um aspecto interessante que pode ser analizado refere-se aspropriedades de transformacao de ρm e Jm frente a rotacoes, inversaoespacial, e reversao temporal.

Partimos de algumas quantidades conhecidas:

E: vetor (ou vetor polar), par perante reversao temporal (idem paraD).

B: pseudo-vetor (ou vetor axial), ımpar perante reversao temporal(idem para H).

ρe : escalar (nao troca sinal na inversao espacial), par perante reversaotemporal.

Je : vetor polar, ımpar perante reversao temporal.


Analizando agora as equacoes de Maxwell que incorporam asdensidades magneticas:

∇ ·B = 4πρm ,

vemos que ρm deve ser pseudo-escalar, ımpar perante reversaotemporal (pseudo-escalar: troca sinal na inversao espacial).

Outra equacao que podemos analisar e a seguinte:

∇× E′ = −1

c∂tB

′ − 4π

cJ′m .

Vemos que Jm deve ser um pseudo-vetor, par perante reversaotemporal.

A conclusao importante e que tanto a inversao espacial quanto areversao temporal deixam de ser simetrias validas nas leis da Fısica, seexistir o monopolo magnetico.


Citando Jackson, 2nd ed., John Wiley, 1975, p. 253,

“Since the symmetries of ρm under both spatial inversionand time reversal are opposite to those of ρe , it is anecessary consequence of the existence of a particle withboth electric and magnetic charges that space inversion andtime reversal are no longer valid symmetries of the laws ofphysics. It is a fact, of course, that these symmetryprinciples are not exactly valid in the realm of elementaryparticle physics, but present evidence is that their violationis extremely small and associated somehow with the weakinteractions.”


Breve discussao levando a condicao de quantizacao de

Dirac

Nesse contexto, cabe inserir uma breve discussao, cfe. Jackson, 2nded., John Wiley, 1975, p. 254 [por sua vez, baseado em Goldhaber,Phys. Rev. 140, B1407 (1965)].

Consideremos um monopolo com carga magnetica g , na origem dosistema de coordenadas.

Na posicao r, essa partıcula produziria uma inducao magnetica

B =g

r3r .


x

rb

z

v

B

g

vt θm,q


Consideremos agora uma partıcula de massa m e carga eletrica q,passando com parametro de impacto b.

Essa partıcula sofreria uma forca magnetica dada por

F =q

cv × B .

Vamos supor que a partıcula mova-se com velocidade apontando nadirecao z ,

v = vez ,

⇒ Fy =q

cvB sin θ =

q

c

vg

(b2 + v2t2)

b

(b2 + v2t2)1/2

=q

c

vgb

(b2 + v2t2)3/2.


Supondo b suficientemente grande, de modo que a deflexao natrajetoria da partıcula pode ser desprezada, resulta um impulso nadirecao y , dado por

∆py =qgvb

c

∫ ∞

−∞dt

1

(b2 + v2t2)3/2=

2qg

cb.

Por outro lado, sabemos que L = r× p.

Usando r = (x , 0, z) = (b, 0, vt), teremos

Lx = ypz − zpy = −zpy ,

Ly = zpx − xpz ,

Lz = xpy − ypx = xpy = bpy .


Assim, se o monopolo magnetico causa uma mudanca ∆py nomomentum da partıcula (como vimos acima), resultara uma mudanca∆Lz no momento angular,

∆Lz = b δpy =2qg

c.

Aqui e que entra a parte quantica do argumento. Como o momentoangular e quantizado, teremos ∆Lz = n~, ou seja,

2qg

c= n~, n = 0,±1,±2, . . .

Esse e um argumento semi-classico ligando a carga eletrica e a cargamagnetica a uma condicao de quantizacao, mas o tratamentoquantico de Dirac leva essencialmente ao mesmo resultado.


Ondas eletromagneticas planas

Vamos considerar as equacoes de Maxwell, na ausencia de fontes,

∇ ·D = 0 , D = E+ 4πP , (179)

∇× E = −1

c∂tB , (180)

∇ ·B = 0 , (181)

∇×H =1

c∂tD , H = B− 4πM . (182)

Vamos agora considerar o caso de meios lineares, isotropicos ehomogeneos (ou seja, com µ e ǫ espacialmente uniformes)¡

D = ǫE , B = µH , (183)


Nesse caso, chegamos a

∇ · (ǫE) = 0 , ⇒ ∇ · E = 0 , (184)

∇× E = −1

c∂tB , (185)

∇ ·B = 0 , (186)

∇×(B

µ

)

=1

c∂t (ǫE) , ⇒ ∇× B =

µǫ

c∂tE . (187)

Podemos escrever os campos como ondas planas, com amplitudescomplexas:

E(x, t) =1

2

[

Ee ikn·x−iωt + c .c .]

, n · n = 1

B(x, t) =1

2

[

Be ikn·x−iωt + c .c .]

, (188)


Escrevendo dessa forma, garantimos que E e B sao quantidades reais.

. . .

Da eq. (187),

∇× (∇× E) +1

c∂t(∇× B) = 0

⇒ ∇(∇ · E︸︷︷︸

=0

)−∇2E+1

c∂t

[µǫ

c∂tE]

= 0 ,

⇒ ∇2E− µǫ

c2∂2t E = 0 . (189)

Procedendo de forma analoga, obtemos a mesma forma de equacaopara o campo B.

Prosseguindo, escrevemos os campos na forma (188), e portantotemos:


∇2E = ∇ · ∇E =∑

i

∂xi∂xi Eei∑

j knj xj−iωt

=∑

i

∂xi (inik)Eei∑

j knj xj−iωt = −k2∑

i

n2i E(x, t) = −k2 n · n E(x, t) .

⇒[

−k2 n · n+µǫ

c2ω2]

E = 0 ,

⇒ k2 n · n =µǫ

c2ω2 ,

ω2

k2=

c2

µǫ. (190)

Outros resultados simples e importantes podem ser obtidos:


∇ · E = 0 , ⇒∑

i

∂xiEi = 0 ;

da mesma forma,

∇ · B = 0 , ⇒∑

i

∂xiBi = 0 ,

⇒ n · E = 0 , n · B = 0 . (191)

Ou seja, vemos que E e B sao perpendiculares a direcao depropagacao (ondas transversais).


Outro resultado importante,

∇× E+1

c∂tB = 0 , ⇒ ik n× E− i

ω

cB = 0 ,

⇒ B =ck

ωn× E

⇒ B =√µǫ n× E . (192)

Ou seja, E e B sao perpendiculares entre si.


Descricao da onda e polarizacao

Podemos definir um sistema de vetores unitarios, (e1, e2,n), tal quen = e1 × e2

n

e1

e2


Podemos escrever duas formas de solucoes propagando-se na direcaon, com vetor de onda k:

1) E1 = e1 E1eik·x−iωt + c .c . , k = k n

B1 = e2

√µǫ

k|k× E1| =

√µǫ n× E1 .

n

E

B

1

1


2) E2 = e2 E2eik·x−iωt + c .c . , k = k n

B2 = −e1√µǫ

k|k× E2| =

√µǫ n× E2 .

B2

n

E2


Podemos agora escrever a solucao mais geral como combinacao dasduas solucoes anteriores:

E(x, t) =1

2(e1E1 + e2E2) e

ik·x−iωt + c .c . , (193)

onde E1 e E2 sao quantidades complexas (em geral). Formasemelhante pode ser escrita para o campo magnetico.

Casos particulares - Onda linearmente polarizada:Se E1 e E2 tem a mesma fase, os maximos e mınimos sao atingidossimultaneamente,

tan θ =E2

E1, θ = tan−1 E2

E1, |E| =

√

E 21 + E 2

2 .


θ

E

E

E

e

1

2

2e1


Onda circularmente polarizada:Se E1 e E2 tem a mesma magnitude, com diferenca de fase de 90,

E2 = E1 e±iπ/2 → ± iE1 .

Nesse caso, da eq. (193),

E(x, t) =1

2E1 (e1 ± ie2) e

ik·x−iωt + c .c . ,

E(x, t) =E0

2(e1 ± ie2) e

ik·x−iωt+iδ + c .c . ,

onde escrevemos E1 = E0eiδ.

Podemos tambem escrever em outra forma,

E(x, t) = e1 E0 cos(k · x− ωt + δ) ∓ e2 E0 sin(k · x− ωt + δ)


Nomenclatura utilizada para descricao das ondas:

e1 + ie2 : representa rotacao no sentido anti-horario, quando vistade frente; e a onda circularmente polarizada a esquerda, ou onda

com helicidade positiva.

e1 − ie2 : representa rotacao no sentido horario, quando vista defrente; e a onda circularmente polarizada a direita, ou onda com

helicidade negativa.

Em geral, as ondas sao ditas elipticamente polarizadas.


Ao inves de usar a equacao (193), que representa uma combinacaolinear de ondas linearmente polarizadas, podemos usar 2 ondascircularmente polarizadas.

Comecamos definindo os vetores e±:

e± =1√2(e1 ± ie2) , (194)

Os vetores e± sao tais que

e∗± · e± = 1 , ⇒ normalizados a unidade;

e∗± · e∓ = 0 , ⇒ ortogonais.


Usando os vetores e± como base, podemos escrever:

E(x, t) =1

2(E+e+ + E−e−) e

ik·x−iωt + c .c . . (195)

Obviamente, se E+ e E− sao de mesma fase,

E(x, t) =1

2[(E+ + E−)e1 + i(E+ − E−)e2] e

ik·x−iωt + c .c . ,

Como ja vimos, resulta que

E(x, t) = e1(E+ + E−) cos(k · x− iωt)− e2(E+− E−) sin(k · x− iωt) ,

ou seja, uma onda elipticamente polarizada, com semi-eixos nasdirecoes de e1 e e2.


Se E+ e E− tem fases diferentes, a eq. (195) ainda representa umaonda elipticamente polarizada, porem com os semi-eixos da elipsegirados em relacao a e1 e e2 (Ver Jackson 1975, p. 275-276).

. . .

Vamos agora mencionar brevemente os parametros de Stokes. Saoquatro grandezas que podem ser determinadas atraves de medidas deintensidade, e que permitem a determinacao das amplitudes e fases,permitindo descrever as ondas, seja da forma (193), usando e1 e e2como bases, seja da forma (195), usando e+ e e−.

Temos as amplitudes E1 e E2, no caso da base (e1, e2); seja

E1 = a1eiδ1 , E2 = a2e

iδ2 .


Definimos os parametros de Stokes como:

s0 = |e1 · E|2 + |e2 · E|2 = a21 + a22 ;

s1 = |e1 · E|2 − |e2 · E|2 = a21 − a22 ; (196)

s2 = 2Re [(e1 · E)∗(e2 · E)] = 2Re[

a1e−iδ1a2e

iδ2]

= 2a1a2 cos(δ2−δ1) ;

s3 = 2Im [(e1 · E)∗(e2 · E)] = 2Im[

a1e−iδ1a2e

iδ2]

= 2a1a2 sin(δ2−δ1) .

Referencias sobre as tecnicas para medida de s0, s1, s2 e s3 podem serencontradas no Jackson (ex.: Stone, Radiation and Optics, 1963). Apartir de s0, s1, s2 e s3 podemos obter a1, a2, δ1 e δ2, e portantoescrever a solucao da equacao da onda na forma da equacao (193).


Podemos tambem fazer uso da outra base, (e+, e−),

E+ = a+eiδ+ , E− = a−e

iδ− .

Para fazer a mudanca de base, escrevemos

e1 =1√2(e+ + e−) , e2 =

−i√2(e+ − e−) .

Dessa forma,

s0 =

∣∣∣∣

1√2(e+ + e−) · E

∣∣∣∣

2

+

∣∣∣∣

(−i)√2(e+ − e−) · E

∣∣∣∣

2

=1

2

∣∣∣a+e

iδ+ + a−eiδ−∣∣∣

2+

1

2

∣∣∣a+e

iδ+ − a−eiδ−∣∣∣

2


=1

2

[a2+ + a2− + 2a+a− cos(δ+ − δ−)

]+1

2

[a2+ + a2− − 2a+a− cos(δ+ − δ−)

],

⇒ s0 = a2+ + a2− = |e∗+ · E|2 + |e∗− · E|2 . (197)

Prosseguindo de maneira analoga,

s1 = · · · =1

2

[a2+ + a2− + 2a+a− cos(δ+ − δ−)

]

−1

2

[a2+ + a2− − 2a+a− cos(δ+ − δ−)

],

⇒ s1 = 2a+a− cos(δ+ − δ−) = 2Re[(e∗+ · E)∗(e∗− · E)

];

Mostra-se de forma similar que

s2 = 2a+a− sin(δ− − δ+) = 2Im[(e∗+ · E)∗(e∗− · E)

];

s3 = a2+ − a2− == |e∗+ · E|2 − |e∗− · E|2 ;


Reflexao e refracao em uma interface plana

Consideremos a interface plana de separacao entre dois meios:

r

r’i k’’

k’µ’ε’

µε k

n


Temos uma onda incidente, e podemos ter uma onda refratada e umaonda refletida.

Seja a onda incidente dada por (so a parte real e significativa):

E = E0ei(k·x−ωt) , B =

√µǫ

k× E

k.

Para onda refratada:

E′ = E′0e

i(k′·x−ωt) , B′ =√

µ′ǫ′k′ × E′

k ′.

Para onda refletida:

E′′ = E′′0e

i(k′′·x−ωt) , B′′ =√µǫ

k′′ × E′′

k ′′.


Em qualquer ponto da interface (z = 0), as variacoes espaciaisprevistas pelas tres ondas devem coincidir:

(k′ · x)z=0 = (k′′ · x)z=0 = (k · x)z=0 ,

⇒ k sin i = k ′ sin r = k ′′ sin r ′ .

Como k ′′ = k , obtemos

r ′ = i ; (198)

ou seja, o angulo de reflexao e igual ao angulo de incidencia.

Seja o ındice de refracao, n = ck/ω, de modo que n =√µǫ,

n sin i = n′ sin r , (199)

a lei de Snell!


Temos tambem as condicoes de contorno que devem ser respeitadaspelos campos; considerando os meios 1 e 2,

(D2 −D1) · n = 4π σ

(B2 − B1) · n = 0

n× (E2 − E1) = 0

n× (H2 −H1) =4π

cK .

No caso, teremos σ = 0, K = 0,

D2 = ǫ′E′ , D1 = ǫ(E+ E′′) , E2 = E′ , E1 = E+ E′′ ,

H2 =B2

µ′=

B′

µ′, H1 =

B1

µ=

(B + B′′)µ

.


As condicoes de contorno nos levam portanto a

[ǫ′E′ − ǫ(E+ E′′)

]· n = 0

(B′ − B− B′′) · n = 0

n×(E′ − E− E′′) = 0 (200)

n×[B′

µ′− 1

µ

(B+B′′)

]

= 0 .

As equacoes em B podem ser re-escritas, usando a relacao entre B eE,

(√

µ′ǫ′k′ × E′

k ′−√µǫ k× E

k−√µǫ k′′ × E′′

k

)

· n = 0 ;

n×[√

µ′ǫ′

µ′k′ × E′

k ′− 1

µ

(√µǫ

k× E

k+√µǫ

k′′ × E′′

k

)]

= 0 .


Como ja vimos, √µǫ

k=

√µ′ǫ′

k ′=

c

ω.

Usando esse resultado, as expressoes anteriores podem sersimplificadas. Usando tambem as condicoes(k · x)z=0 = (k′ · x)z=0 = (k′′ · x)z=0, os fatores exponenciais podemser cancelados, e podemos escrever as condicoes na interface emtermos das amplitudes. Ficamos com

[ǫ′E′

0 − ǫ(E0 + E′′0)]· n = 0

(k′ × E′

0 − k× E0 − k′′ × E′′0

)· n = 0 ;

n×(E′0 − E0 − E′′

0

)= 0 (201)

n×[1

µ′k′ × E′

0 −1

µ

(k× E0 + k′′ × E′′

0

)]

= 0 .


As equacoes (201) devem ser usadas na determinacao das amplitudesdos campos.O procedimento usual consiste em analisar dois casos limites:

E perpendicular ao plano de incidencia;

E paralelo ao plano de incidencia.

Obs.: Deve ser tomado cuidado com a correta interpretacao daexpressao “plano de incidencia”, nesse contexto.

Um caso de polarizacao mais geral pode ser analisado comocombinacao dos resultados obtidos nesses dois casos.


Vamos entao considerar o caso de E paralelo ao plano de incidencia:

r

r’i

µ’ε’

µε

n

E E’’

E’

n n^ ^

n


Considerando a onda incidente,

|E× n| = E sin |90 − i | = E cos i .

Procedendo da mesma forma para as outras ondas, podemos escreverem outra forma as duas ultimas equacoes (201). Partido da 3a. dasequacoes,

E ′0 cos r−E0 cos i−E ′′

0 (− cos i) = 0 ⇒ cos i(E0−E ′′0 )−cos rE ′

0 = 0 .

Para determinacao dos sinais dos diversos termos, levamos em contaque n× E e “para fora da pagina”, se o plano estiver “na pagina”, eque n× E′′ e “para dentro”.


Da 4a. equacao (201),[1

µ

(kE0 + k ′′E ′′

0

)− 1

µ′(k ′E ′

0

)]

e⊥ × n

⇒ 1

µk(E0 + E ′′

0

)− 1

µ′(k ′E ′

0

)= 0 .

Na expressao acima, e⊥ indica perpendicular ao plano.

Usando√µǫ = ck/ω obtemos k/µ = (ω/c)

√

ǫ/µ, de modo que aequacao anterior fica dada por

√ǫ

µ

(E0 + E ′′

0

)−√

ǫ′

µ′E ′0 = 0 .

A partir da outra equacao, temos

E ′0 =

(E0 − E ′′

0

) cos i

cos r.

Usando esse resultado na equacao anterior,


√ǫ

µ

(E0 + E ′′

0

)−√

ǫ′

µ′(E0 − E ′′

0

) cos i

cos r= 0 ,

E ′′0

(√ǫ

µ+

√

ǫ′

µ′cos i

cosr

)

=

√

ǫ′

µ′cos i

cosrE0 −

√ǫ

µE0 .

Multiplicando por µ cos r ,

E ′′0

(

n cos r +µ

µ′n′ cos i

)

= E0

(µ

µ′n′ cos i − n cos r

)

.

Agora, usamos

n′ cos r = n′√

1− sin2 r =√

n′2 − n′2 sin2 r =√

n′2 − n2 sin2 i .


Portanto,

E ′′0

(n

n′

√

n′2 − n2 sin2 i +µ

µ′n′ cos i

)

= E0

(µ

µ′n′ cos i − n

n′

√

n′2 − n2 sin2 i

)

.

Multiplicando por n′,

E ′′0

(

n√

n′2 − n2 sin2 i +µ

µ′n′2 cos i

)

= E0

(µ

µ′n′2 cos i − n

√

n′2 − n2 sin2 i

)

,

o que leva a


. . .

E ′′0

E0=

µµ′ n

′2 cos i − n√

n′2 − n2 sin2 i

µµ′ n

′2 cos i + n√

n′2 − n2 sin2 i.

Essa e a segunda das eqs. (7-41), do Jackson, 2a. ed. [2].

. . .

No caso de frequencias oticas, µ/µ′ ≃ 1. Nesse caso, e possıvel ter

E ′′0 = 0, se o angulo for tal que n′2 cos i = n

√

n′2 − n2 sin2 i ,

(n′

n

)4

cos2 i =

(n′

n

)2

− sin2 i ,

n′2

n2=

1±√

1− 4 cos2 i sin2 i

2 cos2 i.


Usando uma relacao trigonometrica (e depois outra),

sin(2i) = 2 sin i cos i ,

⇒ n′2

n2=

1± cos(2i)

2 cos2 i=

1± (2 cos2 i − 1)

2 cos2 i.

O sinal “+” nos leva a (n′/n)2 = 1; ou seja, o mesmo meio!

O sinal “−” nos leva a

(n′

n

)2

=2− 2 cos2 i

2 cos2 i= tan2 i ⇒ n′

n= tan i ;

esse angulo e o angulo de Brewster,

iB = tan−1

(n′

n

)

.


Uma consequencia que fica prevista por essa analise e a ocorrencia dapolarizacao por reflexao:

Suponhamos um raio de luz nao polarizada incidindo com i ≃ iB , sobrea superfıcie de separacao entre dois meios.A luz pode ser encarada como constituıda por duas componentes, umacom polarizacao paralela ao plano de incidencia, e outra compolarizacao perpendicular a esse plano.A componente com E paralelo ao plano sera totalmente refratada (ouseja, a amplitude da onda refletida, E ′′

0 , sera nula).

Conclusao: o raio refletido so tera polarizacao perpendicular ao planode incidencia (tera sido polarizado por reflexao).


Polarizacao por reflexao

µ’ε’

µεi iB>


Reflexao interna total

Outro aspecto interessante que podemos analisar e a ocorrencia dereflexao interna total.

Partimos da lei de Snell, n sin i = n′ sin r .Vemos que, se n > n′, teremos r > i .

Havera portanto um i = i0 para o qual r = π/2, e nao existe maisraio refratado.

µ’ε’

µε i0


Reflexao interna total . . .

Entretanto, nada impede que a luz incida sobre a superfıcie deseparacao com i > i0. Pela lei de Snell, portanto, teremos sin r > 1!Como nenhum angulo real r tem sin r > 1, r deve ser complexo!Admitindo isso,

cos r =√

1− sin2 r =

√

1− n2

n′2sin2 i =

√

1− sin2 i

sin2 i0,

cos r = i

√

sin2 i

sin2 i0− 1 .


Consideremos um ponto x = (x , 0, z), no meio 2:

rµ’ε’

µε

k’

x

zx

ik′ · x = ik ′(x sin r + z cos r) = ik ′xsin i

sin i0− k ′z

√

sin2 i

sin2 i0− 1 .


Usando a expressao anterior como argumento em e i(k·x−ωt), vemosque:

o primeiro termo representa movimento oscilatorio ao longo dainterface de separacao dos meios;o segundo termo representa atenuacao alem da interface.

Obs. 1: e importante ressaltar que se trata de atenuacao, naoabsorcao. Voltaremos brevemente a falar nesse tema.

Obs. 2: calculando-se a projecao do vetor de Poynting na direcao danormal, S · n = (c/8π)Re[(E′ ×H′∗) · n], verifica-se que essaquantidade e nula; nao ha fluxo de energia para o meio 2.


Otica geometrica

Vamos agora introduzir uma discussao um pouco mais geral a respeitoda otica geometrica. A abordagem esta inspirada naquela da Ref. [3].

Para uma onda plana, cada componente dos campos E ou B pode serescrita na forma

f = A e i(k·x−ωt+δ) . (202)

No caso de nao termos uma onda plana, apenas uma forma que seaproxima de uma onda plana, podemos escrever

f (x, t) = A(x, t) e iψ(x,t) , (203)

onde A(x, t) varia lentamente tanto no espaco quanto no tempo, eonde ψ(x, t) e o chamado eikonal do sistema.

Em regioes suficientemente pequenas, e para tempos suficientementepequenos, podemos expandir o eikonal em serie,

ψ(x, t) = ψ0 + x · ∇ψ + t ∂tψ . (204)


No caso limite, devemos recair na eq. (202), de modo que podemosfazer a identificacao

k = ∇ψ , e ω = −∂ψ∂t

. (205)

Por outro lado, sabemos que k2 = µǫ(ω2/c2); no vacuo, k2 = ω2/c2,de modo que k2 − ω2/c2 = 0. Usando a eq. (205) nessa equacao,obtemos a chamada equacao do eikonal,

(∇ψ)2 − 1

c2(∂tψ)

2 = 0 . (206)

Podemos agora fazer um paralelo com a Mecanica. A partir doformalismo Hamiltoniano, podemos obter a equacao deHamilton-Jacobi para descrever o movimento de uma partıcula (ver olivro de H. Goldstein, por exemplo):


Suponhamos uma transformacao canonica:

(q, p) ⇒ (Q,P) , tal que Q e P constantes.

Teremos

Q =∂H ′

∂P= 0 , P = −∂H

′

∂Q= 0 .

Tomamos H ′ = H + ∂tS = 0, com p = ∂qS , onde S e a funcaogeradora,

⇒ H(q, ∂qS , t)+∂tS = 0 , (eq. de Hamilton-Jacobi). (207)


Ou seja, temos p = ∂qS e H = −∂tS ; em tres dimensoes espaciais,isso corresponde a p = ∇S e H = −∂tS .Por outro lado, como ja vimos, no caso de ondas tambem temosexpressoes similares relacionadas ao gradiente ea derivada temporal.

Coletando as expressoes para partıculas, na Mecanica, e para ondas,na otica, temos

p = ∇S , e H = −∂S∂t

.

k = ∇ψ , e ω = −∂ψ∂t

. (208)


Fazendo uma analogia, relacionamos k com p e ω com H.

Prosseguindo na analogia, temos

p = −∇H , x = ∇pH ,

⇒ k = −∇ω , x = ∇kω .

Usando a relacao de dispersao, Λ(k, x, ω) = 0, obtemos

∇Λ + (∂ωΛ) ∇ω = 0 , ⇒ k =∇Λ∂ωΛ

,

∇kΛ + (∂ωΛ) ∇kω = 0 , ⇒ x = −∇kΛ

∂ωΛ. (209)

Essas sao equacoes para a “trajetoria do raio”, na otica geometrica (o“ray tracing”).


Propriedades dieletricas dos materiais; dispersao

Anteriormente falamos em atenuacao espacial, ao tratar da reflexaointerna total.

Vamos agora considerar outras situacoes, imaginando que uma ondase propaga no meio com um numero de onda complexo. Seja entao

k = β + iα

2. (210)

Se a propagacao e na direcao x , E (x) = E0 e i(kx−ωt),

⇒ E0 e i(βx−ωt)e−(α/2) x .

O ultimo fator, exp(−αx/2), evidencia que a amplitude da onda vaisendo atenuada a medida que a onda se propaga. O primeiro fator, eclaro, representa uma onda propagante.

Lembramos agora que temos uma relacao entre k e ω,

k2 =ω2

c2µǫ .


Vamos tomar µ ≃ 1 (o que e muito adequado, p. ex., parafrequencias oticas),

k2 =ω2

c2ǫ .

(

β2 − α2

4+ i αβ

)

=ω2

c2ǫ =

ω2

c2[Reǫ+ i Imǫ] ,

β2 − α2

4=ω2

c2Re ǫ ,

αβ =ω2

c2Im ǫ . (211)

Se α << β, teremos β2 = (ω2/c2) Re ǫ, αβ = β2 Imǫ/Reǫ ,

⇒ β =ω

c

√

Re ǫ(ω) , α =Im ǫ(ω)

Re ǫ(ω)β .


Concluımos que a existencia de atenuacao (ou absorcao) de uma ondaao se propagar em um meio esta ligada a existencia de uma constantedieletrica complexa.

Vamos agora discutir um pouco sobre essa possibilidade; tomando aequacao de Ampere-Maxwell, e supondo J = σE, com D = ǫ0E:

∇×H =4π

cJ+

1

c∂tD =

4π

cσE+

ǫ0c∂tE .

Supondo E ∼ e−iωt , ∂tE = −iωE ,

∇×H =4π

cσE− i

ω

cǫ0E = −i ω

c

[

ǫ0 + i4πσ

ω

]

E . (212)

Por outro lado, se considerarmos que nao ha cargas “livres”, e que acondutividade passa a ser descrita dentro da constante dieletrica domeio, teremos D = ǫ E,

∇×H = −i ωcǫE .


Comparando as duas expressoes obtidas, identificamos a constante

dieletrica complexa:

ǫ = ǫ0 + i4πσ

ω. (213)

. . .

Vamos agora discutir um outro aspecto da questao: para a obtencaode ǫ, ou de σ, e necessario um modelo para descrever o meio emquestao.

Por exemplo, sabemos que D = ǫE = E+ 4πP = E(1 + 4π χe).

Se tivermos N moleculas por unidade de volume, teremos

P = N p .


Supondo cada molecula constituıda de Z eletrons, harmonicamenteligados (possuindo entao uma frequencia caracterıstica), teremos aequacao de movimento para um eletron j , sujeito ao campo E,

m[x+ ω2

cx+ γc x]= −eE(x, t) ,

onde ωc representa a frequencia caracterıstica de oscilacao e γcrepresenta um termo de dissipacao de energia (que leva a umdecaimento da posicao, x ∼ e−γc t .Entre os Z eletrons da molecula, ha fj eletrons com uma dadafrequencia caracterıstica, que chamaremos de ωj (e portanto comuma constante de dissipacao γj). Ou seja, fj eletrons com um certotipo de ligacao na molecula.

Supondo x ∼ e−iωt ,

x = −eE

m

1

−ω2 + ω2j − iωγj

.

⇒ p =

∫

d3x ρx ⇒ p = −ex =e2E

m

1

(−ω2 + ω2j − iωγj)

.


Portanto,

P = N∑

j

pj = N∑

j

fj(−exj ) = Ne2E

m

∑

j

fj(−ω2 + ω2

j − iωγj).

Assim,

ǫ = 1+ 4π χe = 1+4π Ne2

m

∑

j

fj(−ω2 + ω2

j − iωγj)= ǫ(ω) .

(214)

Como vemos, obtivemos ǫ funcao de ω, o que representa um meiocom dispersao.


Se tivermos um certo numero de eletrons que sao livres, por molecula,podemos denotar esse numero por f0, e teremos

ǫ(ω) = 1+4π Ne2

m

∑

j(ligados)

fj(−ω2 + ω2

j − iωγj)− 4π Ne2

m

f0ω(ω + iγ0)

,

onde γ0 representa a atenuacao por eletrons “livres”.

Podemos batizar o primeiro termo como ǫ0, e escre

ǫ(ω) = ǫ0(ω) + i4π Ne2

m

f0ω(γ0 − iω)

.

Comparando com a expressao que tınhamos usado,

ǫ = ǫ0 + i4π σ

ω,

podemos identificar uma expressao para a condutividade,

σ(ω) =Ne2 f0

m(γ0 − iω). (215)


A expressao (215) representa o modelo de Drude (1900) para acondutividade. Nela, (Nf0) e o numero de eletrons livres por unidadede volume.

. . .

Voltando ao nosso modelo simplificado para a constante dieletrica:

ǫ(ω) = 1 +4π Ne2

m

∑

j

fj

(−ω2 + ω2j − iωγj)

.

Multiplicando numerador e denominador pelo complexo conjugado dodenominador,

ǫ(ω) = 1 +4π Ne2

m

∑

j

fj(ω2j − ω2 + iωγj)

(ω2j − ω2)2 + ω2γ2j

.


Separando parte real e imaginaria,

ǫ(ω) = 1 +4π Ne2

m

∑

j

fj(ω2j − ω2)

(ω2j − ω2)2 + ω2γ2j

+i4π Ne2

mω∑

j

fj γj

(ω2j − ω2)2 + ω2γ2j

.

Para ω longe de ωj , em geral γj pode ser desprezado; ou seja, para|γj | << |ω2

j − ω2|, podemos escrever em forma simplificada:

ǫ(ω) ≃ 1 +4π Ne2

m

∑

j

fj(ω2

j − ω2)+ i

4π Ne2

mω∑

j

fj γj(ω2

j − ω2)2.

Vemos que a parte imaginaria de ǫ(ω) torna-se mais significativaperto das ressonancias (onde ocorre a absorcao).


Empregando abordagem semelhante para a condutividade no modelode Drude:

σ(ω) =Ne2 f0m

(γ0 + iω)

γ20 + ω2.

Para ω2 << γ20 , σ e essencialmente real e independente da frequencia(nao dispersiva, portanto).

Para ω → γ0, ou alem, a condutividade passa a ter parte imaginariasignificativa, e apresenta dispersao.

. . .

Limite de alta frequencia:

Se ω2 >> ω2j (qualquer j), e desprezando a parte imaginaria, temos:

ǫ(ω) ≃ 1− 4πNe2

m

1

ω2

∑

j

fj

︸︷︷︸

Z

= 1−ω2p

ω2,

onde ω2p = 4πNZe2/m e a chamada frequencia de plasma.


Nesse caso (de alta frequencia) a relacao de dispersao fica dada por

k2 =ω2

c2ǫ =

ω2

c2

(

1−ω2p

ω2

)

,

c2k2 = ω2 − ω2p → k =

1

c

√

ω2 − ω2p .

Para ω2 > ω2p, k e real; ou seja, ha propagacao da onda. Cabe notar

que, para ω → ωp, λ→∞.

Para ω2 < ω2p, k e imaginario; ou seja, ha atenuacao da onda

(“cut-off”). Trata-se de atenuacao, nao de absorcao!

Obs.: Para ω < ωp, podemos escrever

k =1

c

√

ω2 − ω2p =

i

c

√

ω2p − ω2 =

i

δ, onde

δ =c

(ω2p − ω2)1/2

.

Vemos que no caso de ω < ωp, E ∼ e−x/δ; para ω → ωp, δ →∞.


Ondas em meios condutores ou dissipativos

Ja vimos que a constante dieletrica em um condutor (onde J = σE)pode ser dada pela eq. (213),

ǫ = ǫ0 + i4πσ

ω,

(esta constante dieletrica e complexa).

Por outro lado, pode-se separar formalmente ǫ em duas partes, uma“constante dieletrica” real e uma “condutividade”.

Nesse caso, temos:

k2 =ω2

c2µǫ =

ω2

c2µǫ0

(

1 + i4πσ

ǫ0ω

)

,


Podemos prosseguir, chamando simplesmente de ǫ a parte real, comofaz o Jackson a partir desse ponto; obtemos a eq. (7.34) do Jackson[2]:

k2 =ω2

c2µǫ

(

1 + i4πσ

ǫω

)

. (216)

Extraindo a raiz quadrada, podemos escrever:

k = β + iα

2, onde (217)

β =√µǫω

c

√

1 +(4πσωǫ

)2+ 1

2

1/2

α

2=√µǫω

c

√

1 +(4πσωǫ

)2 − 1

2

1/2

.


Seja

a =√µǫω

c

1√2, x =

4πσ

ωǫ;

β = a[√

1 + x2 + 1]1/2

,α

2= a

[√

1 + x2 − 1]1/2

Usando a expressao de k ,

k2 = β2 − α2

4+ i αβ

= a2[√

1 + x2 + 1]

− a2[√

1 + x2 − 1]

+ i 2a2[(1 + x2)− 1

]1/2

= 2a2 + i 2a2x = 2a2(1 + ix) ,

k2 =ω2

c2µǫ

(

1 + i4πσ

ǫω

)

, (OK).


Os dois casos limites sao interessantes:

1) Mau condutor, [x = (4πσ/ωǫ) << 1]:

β ≃ √µǫωc

[1 + x2/2 + 1

2

]1/2

≃ √µǫωc,

α

2≃ √µǫω

c

[1 + x2/2− 1

2

]1/2

≃ √µǫ ω2c

(4πσ

ωǫ

)

=2π

c

√µ

ǫσ .

Vemos que a atenuacao e independente da frequencia (exceto viaσ(ω) ou ǫ(ω)), e que

∣∣∣α

2

∣∣∣ << |β| .

1) Bom condutor, [x = (4πσ/ωǫ) >> 1]:

α

2≃ β ≃ √µǫω

c

1√2

(4πσ

ωǫ

)1/2

=

√µ 2πσω

c, ⇒ k ≃ (1 + i)

√2πωµσ

c. (218)


Campos em condutores

Podemos escrever

E = E0 e i [βn·x−ωt]e−(α/2)n·x

H = H0 e i [βn·x−ωt]e−(α/2)n·x ; (219)

Da lei de Faraday,

µH0 =c

ω

(

β + iα

2

)

n× E0 ;

Vemos que H0 e perpendicular a E0, mas fora de fase!


Distancia de penetracao (skin depth):

Na eq. (219) temos E ou H ∼ e−(α/2)n·x.

Ou seja, apos uma distancia δ = 2/α, a amplitude da onda tera caıdoa e−1 do seu valor na superfıcie do condutor.

Para bons condutores, usando a eq. (218),

δ ≃ c√2πωµσ

.

Observacoes interessantes: No caso do cobre, como exemplo,temos

ω ≃ 60 cps, δ ≃ 0, 85 cm;

ω ≃ 100 Mcps, δ ≃ 0, 71 × 10−3 cm.

Conclusao: Em circuitos de alta-frequencia, a corrente flui apenas nasuperfıcies dos condutores.


Superposicao de ondas planas

Em um dado meio, temos uma conexao entre ω e k ; podemos dizerque ω = ω(k), ou k = k(ω) (tratamento uni-dimensional).

Uma solucao geral pode ser construıda como combinacao linear deondas planas:

u(x , t) =1√2π

∫ ∞

−∞dk A(k)e i [kx−ω(k)t] . (220)

Portanto,

u(x , 0) =1√2π

∫ ∞

−∞dk A(k)e i kx ,

A(k) =1√2π

∫ ∞

−∞dx u(x , 0)e−i kx . (221)


Seja uma situacao em que A(k) e significativa apenas em torno dek = k0, e que ω(k) tenha dependencia suficientemente suave em kpara que nessa regiao se possa escrever

ω(k) ≃ ω(k0) +dω

dk

∣∣∣∣k0

(k − k0) ≡ ω0 + ω′0(k − k0) . (222)

Dessa forma, voltando a eq. (220),

u(x , t) ≃ 1√2π

∫ ∞

−∞dk A(k)e i [kx−ω0t−ω′

0(k−k0)t]

=1√2π

e i [k0ω′0−ω0]t

∫ ∞

−∞dk A(k)e i k[x−ω′

0t]

︸︷︷︸

u[x−ω′0t,0]

√2π

=⇒ u(x , t) = u[x − ω′0t, 0]

︸︷︷︸

forma do pulso

e i [k0ω′0−ω0]t

︸︷︷︸

fase oscilante


A velocidade com que a forma do pulso viaja e dada pela velocidade

de grupo:

vg ≡ ω′0 =

dω

dk

∣∣∣∣k0

. (223)

Fazendo uma analise em termos de n(ω), algumas consideracoesgerais podem ser obtidas a respeito da velocidade de grupo.

Para o nosso caso de meios lineares e isotropicos, temos:

v =c√µǫ

=c

n(k)=ω(k)

k⇒ ω(k) =

ck

n(k).

Portanto,

dω

dk=

cn(k)− ck n′(k)n2(k)

=c

n(k)− ωn′

n(k),

n(k)dω

dk= c − ω dn

dω

dω

dk= c − ω dn

dωω′ .


Isolando a vel. de grupo:

dω

dk

[

n + ωdn

dω

]

= c ,

dω

dk= vg =

c

n + ω dndω

. (224)

Se n > 1 e dn/dω > 0, teremos vg < c ; e a chamada dispersao

normal.

Se dn/dω < 0, vg pode ficar maior do que c! Nesse caso, perde osignificado de velocidade do fluxo de energia.

Duas figuras podem ajudar a visualizar essas duas situacoes:


ω

anomala

~

^

~

n( )

ω

1

Regiao de dispersao


anomala

~

^

~ ω

1

vg( )/cω

Regiao de dispersao


Obs.: a dispersao anomala ocorre perto da ressonancia; como javimos, nesses casos temos

ǫ(ω) ≃ 1 +cte.

ω2j − ω2

.

Ve-se que ǫ vai a infinito para ω → ω−j , e a menos infinito para

ω → ω+j .

Com a inclusao de γ (dissipacao), a curva e suavizada. O resultado ea formacao de uma regiao onde dn/dω < 0 (e de valor grande). Aıpode entao ocorrer a difusao anomala.

Cabe lembrar que n(ω) =√

ǫ(ω)µ ≃√

ǫ(µ), se µ ≃ 1.

Uma figura ajuda a ilustrar esse ponto:


Inclusao de dissipaçao ( )~~ γ

ωj ω

ε

Dispersao anomala~ ^


Pacotes de onda em meios dispersivos

Seja um pulso em um meio dispersivo, nao dissipativo.

Vamos escrever o pulso explicitamente como uma quantidade real:

u(x , t) =1

2

1√2π

∫ ∞

−∞dk A(k)e i [kx−ω(k)t] + c .c . , (225)

u(x , 0) =1

2

1√2π

∫ ∞

−∞dk A(k)e i [kx ] + c .c . ,

⇒ 1√2π

∫ ∞

−∞dx e−ik′xu(x , 0) =

1

2

1

2π

∫ ∞

−∞dk A(k)

∫ ∞

∞dx e i(k−k′)x

+1

2

1

2π

∫ ∞

−∞dk A∗(k)

∫ ∞

∞dx e−i(k+k′)x


1

2A(k) +

1

2A∗(−k) = 1√

2π

∫ ∞

−∞dx u(x , 0)e−ikx , (226)

Da eq. (225),

∂tu(x , 0) = −i

2

1√2π

∫ ∞

−∞dk A(k)ω(k)e i [kx ] + c .c . ,

⇒ 1√2π

∫ ∞

−∞dx e−ik′x∂tu(x , 0) = −

i

2

1

2π

∫ ∞

−∞dk A(k)ω(k)

×∫ ∞

∞dx e i(k−k′)x +

i

2

1

2π

∫ ∞

−∞dk A∗(k)ω∗(k)

∫ ∞

∞dx e−i(k+k′)x .

ω∗(k) = ω(k) (como o sistema e nao dissipativo, ω e real).

− i

2A(k)ω(k)+

i

2A∗(−k)ω(k) = 1√

2π

∫ ∞

−∞dx e−ikx∂tu(x , 0) .

(227)


Multiplicando a (227) por i/ω(k) e somando com a (226),

A(k) =1√2π

∫ ∞

−∞dx e−ikx

[

u(x , 0) +i

ω(k)∂tu(x , 0)

]

.

(228)

Como um exemplo, podemos considerar o “pacote” dado por

u(x , 0) = e−x2/2L2 cos(k0x) , ∂tu(x , 0) = 0 . (229)

Alem disso, seja

ω(k) = ν

(

1 +a2

2k2)

. (230)

(ver Jackson, 2a. ed., p. 303 [2]).


Nesse caso, mostra-se que vg = νa2k0 e

u(x , t) =1

2Re

exp

−[

(x−νa2k0t)22L2(1+ia2νt/L2)

]

(1 + ia2νt/L2)1/2e i[k0x−ν(1+a2k20/2)t]

+ [k0 → (−k0)]

=1

2Re

exp

−[(x−vg t)2(1−ia2νt/L2)

2L2[1+(a2νt/L2)2]

]

(1 + ia2νt/L2)1/2e i [k0x−ω(k0)t] + [k0 → (−k0)]

Vemos que o segundo fator do primeiro termo representa uma ondaplana com (ω0, k0).

No primeiro fator, multiplicamos numerador e denominador doargumento da funcao exponencial pelo complexo conjugado dodenominador. Vemos que esse primeiro fator representa umaamplitude complexa.


A amplitude complexa pode ser escrita da forma seguinte:

exp

−[

(x − vg t)2

2L2 [1 + (a2νt/L2)2]

]

exp

i

[

(x − vg t)2(a2νt/L2

)

2L2 [1 + (a2νt/L2)2]

]

.

A parte real dessa amplitude complexa contem

e−(x−vg t)2/(2L(t)2) , onde L(t) =

[

L2 +

(a2νt

L

)2]1/2

.

Vemos que L cresce com o tempo!

Resultado similar, valido para ω(k) mais geral, pode ser obtidoconsiderando mais termos na expressao de ω(k):

ω(k) ≃ ω(k0) + ω′0(k − k0) +

ω′′0

2(k − k0)

2 + . . . .

A inclusao do termo com a derivada segunda leva ao “spreading” dopacote.


Conexao entre D e E e causalidade

Ao tratar das propriedades dieletricas de um certo meio, podemosadmitir uma conexao linear, porem nao-local no tempo, entre D e E;seja

D(x, t) = E(x, t) +

∫ ∞

−∞dt ′ G (t ′)E(x, t − t ′) (231)

⇒ 1√2π

∫

dω D(x, ω)e−iωt =1√2π

∫

dω E(x, ω)e−iωt

+1

2π

∫

dt ′∫

dω

∫

dω′ G (ω)E(x, ω′)e−iωt′e−iω′(t−t′)

=1√2π

∫

dω E(x, ω)e−iωt

+1

2π

∫

dω

∫

dω′ G (ω)E(x, ω′)e−iω′t

∫

dt ′ e−iωt′e iω′t′

︸︷︷︸

(2π)δ(ω−ω′)


=1√2π

∫

dω E(x, ω)[

1 +√2πG (ω)

]

e−iωt ,

⇒ D(x, ω) = E(x, ω)[

1 +√2πG (ω)

]

︸︷︷︸

ǫ(ω)

.

Obtivemos entao:

G (ω) =1√2π

[ǫ(ω)− 1]

G (t) =1√2π

∫

dω G (ω)e−iωt

=1

2π

∫ ∞

−∞dω [ǫ(ω)− 1] e−iωt (232)


Da eq. (232), ve-se que, se ǫ(ω) = ǫ (ou seja, sem dependencia emω), terıamos:

G (t) =1

2π(ǫ− 1)

∫

dω e−iωt = (ǫ− 1)δ(t)

⇒ D(x, t) = E(x, t) +

∫

dt ′ (ǫ− 1)δ(t ′) E(x, t − t ′)

= E(x, t) + (ǫ− 1)E(x, t) = ǫ E(x, t) .

Dispersao [ǫ(ω)] ⇔ Relacao nao local entre D e E

(nao local no tempo!) (233)


Exemplo: seja um caso com apenas uma ressonancia,

ǫ(ω) = 1 +4πNZe2

m

1

ω20 − ω2 − iγω

,

ǫ(ω) = 1 +ω2p

ω20 − ω2 − iγω

. (234)

Usando a eq. (232), teremos

G (t) =1

2π

∫ ∞

−∞dω [ǫ(ω)− 1] e−iωt

=ω2p

2π

∫ ∞

−∞dω

e−iωt

ω20 − ω2 − iγω

. (235)


A integral obtida tem polos em ω20 − ω2 − iγω = 0, ou seja, onde

ω =−iγ ±

√

−γ2 + 4ω20

2

= − iγ

2±√

ω20 −

γ2

4= ±ν0 − i

γ

2,

onde ν0 =

√

ω20 −

γ2

4.

Os polos tem parte real −ν0 e +ν0, e estao situados abaixo do eixo,no plano complexo.

Podemos escrever

G (t) = −ω2p

2π

∫ ∞

−∞dω

e−iωt

(ω − ω+)(ω − ω−).


ω

ωIm

Re

ω+ω−

−γ/2

−ν ν0 0


Podemos tentar transformar a integral obtida em uma integral decontorno no plano complexo.

Se t < 0, teremos:

Fechando “por cima”: teremos Imω > 0, de modo quee−iωt → e Imωt = e−Imω|t| → 0.

Fechando “por baixo”: teremos Imω < 0, de modo quee−iωt → e Imωt = e−Imω|t| →∞.

Conclusao: se t < 0, o contorno deve ser fechado “por cima”, onde asemi-circunferencia acrescenta zero a integral.

Nao ha polos no semi-plano superior. Usando o teorema de Cauchy,concluımos entao que a integral e nula, para t < 0.


Se t > 0, ao contrario, o contorno deve ser fechado “por baixo”, ondea semi-circunferencia acrescenta uma quantidade nula.

G (t) = −ω2p

2π

∫ ∞

−∞dω

e−iωt

(ω − ω+)(ω − ω−)

=ω2p

2π

∮

c

dωe−iωt

(ω − ω+)(ω − ω−),

onde o caminho C e uma semi-circunferencia no semi-plano inferior,percorrida no sentido anti-horario.

⇒ω2p

2π(2πi)

[e−iω+t

ω+ − ω−+

e−iω−t

ω− − ω+

]

= i ω2p

[

e−i(ν0−iγ/2)t

ν0 − i γ2 + ν0 + i γ2+

e−i(−ν0−iγ/2)t

−ν0 − i γ2 − ν0 + i γ2

]


=iω2

p

2ν0e−γt/2

[e−iν0t − e iν0t

]=

iω2p

2ν0e−γt/2 [−(2i) sin(ν0t)]

=ω2p

ν0e−γt/2 sin(ν0t) .

Ou seja,

G (t) =ω2p

ν0e−γt/2 sin(ν0t) Θ(t) , (236)

onde Θ(t) = 1 para t > 0 e Θ(t) = 0, para t < 0.

O efeito de nao localidade no tempo e importante em intervalos detempo da ordem de γ−1.

Ou seja, quanto maior e a dissipacao, mais rapidamente desaparece ainfluencia dos campos.


Nao incluımos efeitos de nao localidade espacial.

Esses so devem ser importantes quando os efeitos dos campospuderem ser transmitidos a grandes distancias.

Como as dimensoes atomicas sao muito menores do que as dimensoestıpicas de variacao dos campos, usualmente e aproximacao muito boaconsiderar que os efeitos dos campos sao apenas locais.

Em condutores, entretanto, as cargas livres podem levar a informacaosobre os efeitos dos campos para outros pontos, e a constantedieletrica deve incorporar estes efeitos nao locais.

Tipicamente, nesses casos, o livre caminho medio entre colisoes (λ)fica maior do que o skin depth δ.


Causalidade e propriedades analıticas da ǫ(ω)

Em nosso exemplo, obtivemos G (t) ∼ Θ(t); ou seja, podemos voltara eq. (231) e escrever, para um meio linear e isotropico:

D(x, t) = E(x, t) +

∫ ∞

0dt ′ G (t ′)E(x, t − t ′) .

Como os campos D e E sao reais, G (t) tambem deve ser. Quanto aconstante dieletrica ǫ(ω),

ǫ(ω)− 1 =√2πG (ω) =

∫ ∞

0dt G (t)e iωt ,

ǫ(ω) = 1 +

∫ ∞

0dt G (t)e iωt .

Portanto, no plano ω complexo,

ǫ(ω∗) = 1 +

∫ ∞

0dt G (t)e iω

∗t .


Fazendo o conjugado dessa expressao,

ǫ∗(ω∗) = 1 +

∫ ∞

0dt G (t)e−iωt .

Por outro lado,

ǫ(−ω) = 1 +

∫ ∞

0dt G (t)e−iωt .

Obtivemos uma propriedade que vamos “guardar” para uso posterior:

ǫ(−ω) = ǫ∗(ω∗) .


Continuando: de

ǫ(ω) = 1 +

∫ ∞

0dt G (t)e iωt .

ve-se que ǫ(ω) e funcao analıtica no semi-plano superior, desde queG (t) seja finita para todo t.

No eixo real, e necessario que G (t)→ 0, para t →∞, para assegurara analiticidade de ǫ(ω) (no exemplo que vimos, G (t) ∼ e−γt/2).

Para condutores, ǫ = ǫ0 + i(4πσ/ω) = ǫ(ω),

ǫ(ω) = 1 +4πNe2

m

∑

j(lig .)

fj(ω2

j − ω2 − iωγj)︸︷︷︸

ǫ0(ω)

+i4πσ

ω

Portanto, ǫ(ω) tem um polo simples em ω = 0.


Conclusao: Fora um possıvel polo simples em ω = 0, a constantedieletrica e analıtica para Im ω ≥ 0.

Vamos explorar algumas das consequencias deste fato:

Segundo a formula integral de Cauchy (Butkov, p. 65),“se f (z) e analıtica no interior e sobre um contorno C , e se o pontoz = a esta no interior de C , entao

∮

C

dz f (z)

z − a= 2π i f (a) .”

Portanto,

2π i [ǫ(z)− 1] =

∮

C

dω′ [ǫ(ω′)− 1]

ω′ − z, (237)

onde C e um contorno fechado no semi-plano superior de ω complexo.


Supondo ǫ(ω) analıtica em ω = 0, por simplicidade (o que exclui, nocaso, os condutores), podemos escolher como contorno o eixo real euma semi-circunferencia no semi-plano superior.

Se ǫ(ω) se anula no infinito (ver os exemplos), esta integral e igual aintegral sobre o eixo real:

2π i [ǫ(z)− 1] =

∮

C

dω′ [ǫ(ω′)− 1]

ω′ − z

=

∫ ∞

−∞dω′ [ǫ(ω

′)− 1]

ω′ − z. (238)

(z no semi-plano superior).

Se z tende ao eixo ω real, z = ω + iǫ, de modo que

ǫ(z) = 1 +1

2πi

∫ ∞

−∞dω′ [ǫ(ω

′)− 1]

ω′ − ω − iǫ. (239)

(nao se deve confundir ǫ(ω) com a quantidade infinitesimal ǫ)


Para prosseguir na analise, vamos considerar a seguinte integral

∫ b

a

dz f (z)

z − z0,

onde a e b sao pontos sobre o eixo real e a integral e feita sobre umcaminho no plano complexo, com z = x + iy .

Seja f (z) analıtica para −ǫ < y < ǫ, com ǫ→ 0, para a ≤ x ≤ b.

Consideremos o seguinte caminho:

ε ε xxb

δa C

C

1

2

0


Temos entao:∫

C1

dzf (z)

z − x0+

∫

C2

dxf (x − iǫ)

x − iǫ− x0= −2πi f (x0) .

Agora, um outro caminho:

ε ε xb

δa

C

1

2

x

0

C’

’


Para esse caminho,

∫

C ′1

dzf (z)

z − x0+

∫

C ′2

dxf (x − iǫ)

x − iǫ− x0= 0 .

Comparando os caminhos,

∫

C ′2

· · · =∫

C2

. . . .

Somando,

∫

C1

dzf (z)

z − x0+

∫

C ′1

dzf (z)

z − x0+ 2

∫ a

b

dxf (x − iǫ)

x − iǫ− x0= −2πi f (x0) .

(240)


Analisando as duas integrais do lado esquerdo:

∫

C1

dzf (z)

z − x0=

∫ x0−δ

a

dxf (x)

x − x0+

∫ b

x0+δdx

f (x)

x − x0︸︷︷︸

P∫

dxf (x)x−x0

+

∫

u

dzf (z)

z − x0,

∫

C ′1

dzf (z)

z − x0=

∫ x0−δ

a

dxf (x)

x − x0+

∫ b

x0+δdx

f (x)

x − x0︸︷︷︸

P∫

dxf (x)x−x0

+

∫

d

dzf (z)

z − x0.

(os sımbolos u e d representam, respectivamente,semi-circunferencias passando por cima e por baixo do polo).


Voltando a (240),

2P∫

dx f (x)

x − x0+

∫

u

dzf (z)

z − x0+

∫

d

dzf (z)

z − x0

+2

∫ a

b

dx f (x − iǫ)

x − iǫ− x0= −2πi f (x0) ,

⇒∫ b

a

dx f (x − iǫ)

x − iǫ− x0= P

∫dx f (x)

x − x0+ i π f (x0)

+1

2

[∫

u

dzf (z)

z − x0+

∫

d

dzf (z)

z − x0

]

︸︷︷︸

?

. (241)

Vamos em seguida discutir quantidades que aparecem no termoindicado com (?).


Expansao da f (z) em serie de Taylor, em torno de x0:

f (z) = f (x0) +

∞∑

k=1

(z − x0)k

k!f (k)(x0)

⇒ f (z)

z − x0=

f (x0)

z − x0+

∞∑

k=1

(z − x0)k−1

k!f (k)(x0)

︸︷︷︸

g(z)

,

Portanto,

∫

u

dz f (z)

z − x0+

∫

d

dz f (z)

z − x0=

∫

u

dz f (x0)

z − x0+

∫

d

dz f (x0)

z − x0

+

∫

u

dz g(z) +

∫

d

dz g(z) .


Considerando uma semi-circunferencia de raio δ,

limδ→0

∫

u

dz g(z) = limδ→0

∫

d

dz g(z) = 0

(g(z) e analıtica, a integral entre dois pontos nao depende docaminho, apenas dos limites de integracao).

Portanto,

∫

u

dz f (z)

z − x0+

∫

d

dz f (z)

z − x0= −2π i f (x0)

2+ π i f (x0) = 0.

Logo, de (241),

∫ b

a

dx f (x − iǫ)

x − iǫ− x0= P

∫ b

a

dx f (x)

x − x0+ i π f (x0) .


O mesmo raciocınio poderia ser desenvolvido com os caminhospassando acima do eixo, ou seja,

∫ b

a

dx f (x + iǫ)

x + iǫ− x0= P

∫ b

a

dx f (x)

x − x0− i π f (x0) .

Portanto, se a→ −∞ e b →∞, temos

limǫ→0

∫ ∞

−∞

dx f (x)

x − x0 ± iǫ= P

∫ ∞

−∞

dx f (x)

x − x0∓ i π f (x0) . (242)

Formalmente, costuma-se escrever (para uso em uma integral):

1

x − x0 ± iǫ= P

(1

x − x0

)

∓ iπ δ(x − x0) . (243)

Essa e a chamada formula de Plemelj.


Usando a formula de Plemelj na eq. (239), temos

ǫ(ω) = 1 +1

2πiP∫ ∞

−∞dω′ [ǫ(ω

′)− 1]

ω′ − ω +iπ

2π i[ǫ(ω)− 1] ,

ǫ(ω) = 1 +1

2πiP∫ ∞

−∞dω′ [ǫ(ω

′)− 1]

ω′ − ω +1

2ǫ(ω)− 1

2,

⇒ ǫ(ω) = 1 +1

πiP∫ ∞

−∞dω′ [ǫ(ω

′)− 1]

ω′ − ω .

Separando as partes real e imaginaria, temos as chamadas relacoesde Kramers-Kronig:

Re ǫ(ω) = 1 +1

πP∫ ∞

−∞dω′ Im ǫ(ω′)

ω′ − ω

Im ǫ(ω) = − 1

πP∫ ∞

−∞dω′ [Re ǫ(ω

′)− 1]

ω′ − ω .


Podemos escrever essas relacoes em outra forma:

Como vimos, ǫ∗(ω∗) = ǫ(−ω); sobre o eixo real, como na (244), issosignifica ǫ∗(ω) = ǫ(−ω).Portanto, Re ǫ(ω)−i Imǫ(ω) = Re ǫ(−ω)+i Imǫ(−ω), ou seja,

Re ǫ(ω)= Re ǫ(−ω) ⇒ Re ǫ(ω) e funcao par em ω.Im ǫ(ω)= -Im ǫ(−ω) ⇒ Im ǫ(ω) e funcao ımpar em ω.

Logo,

Re ǫ(ω) = 1 +1

πP∫ ∞

−∞dω′ Im ǫ(ω′) (ω′ + ω)

ω′2 − ω2

O integrando do termo com ω e ımpar, de modo que a integral enula. Resulta . . .


. . .

Re ǫ(ω) = 1 +2

πP∫ ∞

0dω′ Im ǫ(ω′) ω′

ω′2 − ω2.

Analogamente,

Im ǫ(ω) = − 1

πP∫ ∞

−∞dω′ [Re ǫ(ω

′)− 1] (ω′ + ω)

ω′2 − ω2.

O integrando do termo com ω′ e ımpar, de modo que a integral enula. Resulta

Im ǫ(ω) = −2ω

πP∫ ∞

0dω′ [Re ǫ(ω

′)− 1]

ω′2 − ω2.

Em qualquer uma das formas, as relacoes de Kramers-Kronigevidenciam uma conexao entre as propriedades dispersivas [Re ǫ(ω)] eabsortivas [Im ǫ(ω)] do meio.


Exemplos, propriedades dieletricas

Aqui podemos apresentar um exemplo a respeito da descricao depropriedades dieletricas de um meio.

Vamos entao discutir propriedades de ondas em plasmas.

Para comecar, vamos supor um plasma infinito e homogeneo, ediscutir o caso de ondas eletrostaticas (E 6= 0, B = 0)propagando-se na direcao x .

Vamos considerar B0 = 0, T = 0, e ıons fixos (oscilacoes de altafrequencia).

Tratando o plasma como uma combinacao de dois fluidos, vamosescrever as equacoes associadas ao fluido de eletrons e a equacao deMaxwell utilizada para obter o campo eletrico.


As equacoes utilizadas sao

mne [∂tve + (ve · ∇) ve ] = −eneE

∂tne +∇ · ((neve) = 0

∇ · E = 4πe(ni − ne)

Vamos considerar oscilacoes de pequena amplitude,

ne = n0 + n1 (ni = n0)

E = E0 + E1

ve = v0 + v1

Consideremos entao E0 = 0, v0 = 0, ∇n0 = 0, ∂tn0 = 0, ∂tv0 = 0, e∂tE0 = 0.


Ficamos com

m(n0 + n1) [∂tv1 + (v1 · ∇) v1] = −e(n0 + n1)E1

∂tn1 +∇ · [(n0 + n1)v1] = 0

∇ · E1 = −4πen1Linearizando,

m [∂tv1] = −eE1

∂tn1 + n0∇ · v1 = 0

∇ · E1 = −4πen1


Considerando quantidades flutuantes ≃ e i(kx−ωt), e movimento nadirecao x ,

iωmv1 = −eE1

−iωn1 + in0kv1 = 0

ikE1 = −4πen1Da 3a. equacao obtemos

n1 = −ikE1

4πe

Substituindo na 2a. equacao,

(

−i kE1

4πe

)

(−iω) = −n0ikv1 ⇒ v1 =kE1

4πe

ω

n0ik= −i E1ω

4πn0e


Usando os resultados obtidos na 1a. equacao,

iωm

(

−i E1ω

4πn0e

)

= eE1, ⇒ ω2mE1

4πn0e= eE1

⇒ ω =

(4πn0e

2

m

)1/2

, (freq. angular de plasma, ωp)

Obs.: Se T 6= 0, terıamos no lugar da primeira equacao (linearizada)

mn0∂tv1 = −en0E1 − 3kBT∂xn1

⇒ ω2 = ω2p + 3

kBT

mk2


Outro exemplo: consideremos o caso de ondas eletromagneticas noplasma.

Novamente, consideremos B0 = 0, T = 0, e ıons fixos, com E0 = 0.

Consideremos tambem pequenas oscilacoes.

Teremos

∇× E1 = −1

c∂tB1

∇× B1 =1

c∂tE1 +

4π

cJ1

Aplicando o rotacional na 1a. e usando a 2a.,

∇× (∇× E1) = −1

c∂t

(1

c∂tE1 +

4π

cJ1

)

Portanto,

∇(∇ · E1︸︷︷︸

=0

)−∇2E1 = −1

c2∂2t E1 −

4π

c2∂tJ1


Considerando ondas planas para as flutuacoes.

−(ik)2E1 = −1

c2(−iω)2E1 +

4π

c2(iω)J1

Portanto,

k2E1 =ω2

c2E1 +

4π

c2(iω) (−n0ev1)

(ω2 − c2k2

)E1 = 4πnoeiωv1

Da equacao de movimento para os eletrons,

m∂tv1 = −eE1 ⇒ −iωmv1 = −eE1

iωv1 =e

mE1


Logo, temos(ω2 − c2k2

)E1 = (4πnoe)

e

mE1

(ω2 − c2k2

)E1 =

4πnoe2

mE1 = ω2

pE1

A relacao de dispersao fica portanto dada por

ω2 = ω2p + c2k2

Obs.: No caso de um plasma com B0 6= 0 (plasma magnetizado),supondo propagacao perpendicular ao campo magnetico (k ⊥ B0):

Se E1 ‖ B0, a relacao de dispersao seria a mesma obtida acima, paraum plasma nao magnetizado.Se E1 ⊥ B0, a situacao seria bem mais complicada . . .


Teoria Especial da Relatividade

Partimos da constatacao de que a descricao de um sistema fısico efeita em relacao a um sistema de coordenadas.

Se considerarmos outro sistema de coordenadas em movimentouniforme relativamente ao primeiro, coloca-se a questao de como setransforma esta descricao; em outras palavras, o que acontece asequacoes que descrevem o sistema?

x P

u

y

z

x’

y’

z’

S S’


Transformacoes de Galileu

Consideremos o sistema S e o sistema S ′, em movimento relativo comvelocidade u, ao longo do eixo z .Parece “obvio” considerar que

t ′ = t

x ′ = x

y ′ = y

z ′ = z − ut .


Leis de Newton e transformacoes de Galileu

No sistema S as leis de Newton podem ser escritas da seguinte forma,

md2x

dt2= Fx m

d2y

dt2= Fy m

d2z

dt2= Fz .

Usando as transformacoes de Galileu, imediatamente se ve o seguinte,

d2x

dt2=

d2x ′

dt ′2⇒ F ′

x = md2x ′

dt ′2.

Analogamente,

F ′y = m

d2y ′

dt ′2.


Para a coordenada z , temos

dz ′

dt ′=

dz ′

dt=

dz

dt− u

d2z ′

dt ′2=

d2z ′

dt2=

d2z

dt2⇒ F ′

z = md2z ′

dt ′2.

Aplicando as mesmas ideias as equacoes do Eletromagnetismo,consideremos o seguinte: A partir das equacoes de Maxwell, podemosdeduzir equacoes de onda para os campos e potenciais.

Consideremos a equacao de onda, no vacuo sem fontes:

∇2Ψ− 1

c2∂2tΨ = 0 . (244)


Continuando,

∂x = ∂x ′∂x ′

∂x+ ∂y ′

∂y ′

∂x+ ∂z ′

∂z ′

∂x+ ∂t′

∂t ′

∂x= ∂x ′ → ∂2x = ∂2x ′ .

Idem para as coordenadas y e z ,

∂2y = ∂2y ′ , ∂2z = ∂2z ′ ⇒ ∇2Ψ = ∇′2Ψ .

∂t = ∂t′∂t ′

∂t+ ∂x ′

∂x ′

∂t+ ∂y ′

∂y ′

∂t+ ∂z ′

∂z ′

∂t= ∂t′ − u∂z ′

→ ∂2t = (∂t′ − u∂z ′) (∂t′ − u∂z ′) = ∂2t′ − 2u∂t′∂z ′ + u2∂2z ′


Ou seja,

∇2Ψ− 1

c2∂2tΨ = 0 ,

(transf. Galileu) (245)

⇒ ∇′2Ψ− 1

c2[∂2t′Ψ+ u2∂2z ′Ψ− 2u∂t′∂z ′Ψ

]= 0 .

Conclusao: verificamos que a transformacao de Galileu nao preserva aforma da equacao da onda. As equacoes de Maxwell (oeletromagnetismo) nao sao invariantes frente a uma transformacao deGalileu.


Na forma como esta a eq. (246), existe um particular sistema decoordenadas para a qual temos

∇′2Ψ− 1

c2∂2t′Ψ = 0 ,

ou seja, o sistema para o qual u = 0. Este seria o sistema do eter, e ca velocidade das ondas eletromagneticas (luz) relativas ao eter.

Em qualquer outro sistema, a diferenca entre o valor de c e o valorobservado da velocidade da luz daria o valor da velocidade do sistemarelativamente ao eter.

Entretanto, experimentos como o de Michelson-Morley foramincapazes de detectar mudancas na velocidade da luz devido aomovimento orbital da Terra. O resultado obtido era sempre o mesmo,independentemente do fato da luz se propagar ao longo domovimento orbital, ou perpendicularmente a ele.


Hipoteses consideradas:

Arraste do eter

c

v

αα = v/c~

Contra-argumentos:aberracao estelarexperiencia de Fizeau, com propagacao de luz em fluidos emmovimento


. . .

Contracao dos corpos na direcao do movimento, por um fator(1− v2/c2

)1/2(contracao de Lorentz-Fitzgerald)

Etc., etc.

De maneira geral, essas hipoteses sao descartadas por comparacaocom experimentos. Nao vamos nos alongar nesses temas. Em vezdisso, vamos tentar uma abordagem logica e mais formal da teoria darelatividade restrita.


Postulados da Relatividade

Primeiro postulado da Relatividade (princıpio da relatividade):Todas as leis da natureza devem ser identicas em todos os referenciaisinerciais (todos aqueles que se movem com velocidade constante emrelacao aos outros).

Segundo postulado da Relatividade:A velocidade da luz no vacuo e a mesma, em todos os referenciaisinerciais.

Este segundo postulado e compatıvel com resultados experimentais ecom as equacoes de Maxwell, que preveem a velocidade depropagacao das ondas eletromagneticas como sendo c . Esse resultadoseria valido em qualquer sistema inercial.

Esses dois postulados nos forcam a rever a ideia da adicao develocidades contida nas transformacoes de Galileu.

Vamos entao desenvolver uma abordagem consistente, partindo dosdois postulados recem-expostos:


Transformacoes de Lorentz

Seja um sistema de referencia K e um sistema K ′, movendo-se comvelocidade relativa v ao longo do eixo z .

Em t = t1 um sinal de luz e emitido a partir da posicaox1 = (x1, y1, z1). O sinal atinge o ponto x2 = (x2, y2, z2) em t = t2.A velocidade de propagacao e c , de modo que

c2(t2 − t1)2 −

[(x2 − x1)

2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)

2]= 0

Como a velocidade de propagacao e a mesma nos dois sistemas, emK ′ poderemos escrever, analogamente:

c2(t ′2 − t ′1)2 −

[(x ′2 − x ′1)

2 + (y ′2 − y ′1)2 + (z ′2 − z ′1)

2]= 0

Podemos agora definir um conceito que sera de muita utilidade, oconceito de intervalo:


Dados dois eventos, um em (t1, x1) e outro em (t2, x2), definimos ointervalo entre os dois eventos como sendo

s12 =[c2(t2 − t1)

2 −[(x2 − x1)

2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)

2]]1/2

.(246)

De acordo com essa definicao, o intervalo entre emissao e recepcao deum sinal luminoso, em pontos diferentes, e nulo (ou seja, s212 = 0).

No sistema de coordenadas K ′ raciocınio analogo pode ser feito, demodo que para sinais se propagando com a velocidade da luz, s ′212 = 0.

Considerando intervalos infinitesimais,

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2

ds ′2 = c2dt ′2 − dx ′2 − dy ′2 − dz ′2 . (247)


Ja vimos que vale a seguinte propriedade,

ds2 = 0 → ds ′2 = 0 .

Por outro lado, no caso de intervalos nao nulos, ainda nao sabemoscomo se transformam. Por isso, escreveremos o seguinte,

ds2 6= 0 → ds2 = a ds ′2 .

Consideracoes sobre a constante a:

Nao pode depender de coordenadas e do tempo, se supusermosuniformidade do espaco e tempo.Nao pode depender da direcao da velocidade relativa, se supusermosisotropia do espaco.Ou seja, → a = a(v).

ds2 = a(v) ds ′2 (248)


Consideremos agora tres referenciais, K , K1 e K2.Suponhamos K1 movendo-se com velocidade de modulo v1relativamente a K , ao longo de uma dada direcao, enquanto K2

move-se com velocidade de modulo v2, relativamente a K , ao longode uma outra direcao qualquer.

K z

y

y’

x’

x z’

x’’

y’’

z’’K

v2

v1

K1

2


Com base no que ja discutimos, teremos

ds2 = a(v1) ds21

ds2 = a(v2) ds22

ds21 = a(v12) ds22

→ a(v1)a(v12) ds22 = a(v2) ds

22

→ a(v12) =a(v2)

a(v1).

Entretanto, v12 = |v2 − v1| depende das direcoes de v1 e v2,enquanto a(v1)a(v2) nao depende.


A maneira de tornar possıvel a igualdade e fazer a independente de v,de modo que:

a =a

a→ a = 1 .

Com isso, teremos→ ds2 = ds ′2 . (249)

Ou seja, a conclusao e que o intervalo entre dois eventos e uminvariante frente a mudancas entre referenciais inerciais.

Vamos entao considerar que em t1 = t ′1 = 0 a origem dos doissistemas e coincidente, de modo que (x1, y1, z1)= 0 e (x ′1, y

′1, z

′1) = 0.

Desse modo,

c2t2 − x2 − y2 − z2 = c2t ′2 − x ′2 − y ′2 − z ′2 . (250)


Vamos escrever a transformacao de coordenadas entre os doissistemas como uma transformacao linear, supondo que o sistema K ′

move-se em relacao ao sistema K com velocidade v = v k.

y

K K’

x

vt

vz

x’

y’

z’


Seja entao a seguinte transformacao:

x ′ = x

y ′ = y

z ′ = az + bt

t ′ = dz + et . (251)

Apos um tempo t, a origem de K ′ esta em z = vt, de modo que

0 = avt + bt → b = −av .


Usando as eqs. (251) na eq. (250), temos

c2t2 − (x2 + y2 + z2)

= c2(d2z2 + 2de zt + e2t2)− (x2 + y2 + a2z2 + a2v2t2 − 2a2vzt) .

Cancelando os termos com x e y ,

c2t2 + z2 = c2(d2z2 + 2de zt + e2t2)− (a2z2 + a2v2t2 − 2a2vzt) .

Comparando os coeficientes de z2, t2 e zt,

t2 → c2 = c2e2 − a2v2

z2 → 1 = c2d2 − a2

zt → 0 = 2dec2 + 2a2v .


Da primeira equacao obtemos o seguinte,

a2 =c2

v2(e2 − 1) . (1) .

Usando esse resultado na segunda equacao,

1 = c2d2 − c2

v2(e2 − 1) → c2d2 =

c2

v2(e2 − 1)− 1 .

Da terceira equacao temos

de = −a2 v

c2→ d2e2c4 = a4v2 → (c2d2)e2 = a4

v2

c2,

e2[c2

v2(e2 − 1)− 1

]

= a4v2

c2= a2(e2 − 1) ,

onde usamos a eq. (1).


Isolando (e2 − 1),

(e2 − 1)

[c2

v2e2 − a2

]

= e2

(e2 − 1)

[c2

v2e2 − c2

v2(e2 − 1)

]

= e2

(e2 − 1)c2

v2= e2 → e2

(v2

c2− 1

)

= −1

→ e = ± 1√

1− v2

c2

.

Voltando a eq. (1),

a2 =c2

v2

[

1

1− v2

c2

− 1

]

=c2

v2

[

1− 1 + v2/c2

1− v2

c2

]

→ a = ± 1√

1− v2

c2

.


Voltando a equacao obtida anteriormente,

de = −a2 v

c2→ d = −a2

e2ev

c2→ d = −e v

c2.

Dessa forma,

x ′ = x

y ′ = y

z ′ =1

√

1− v2

c2

[z − vt]

t ′ =1

√

1− v2

c2

[

− v

c2z + t

]

. (252)

Podemos utilizar uma notacao que torne mais uniformes asexpressoes.


Sejax0 = ct, x1 = x , x2 = y , x3 = z ,

~β =v

c, β = |~β|, γ =

(1− β2

)−1/2. (253)

Usando eqs. (253), as eqs. (252) ficam:

x ′0 = γ(x0 − βx3)x ′1 = x1

x ′2 = x2

x ′3 = γ(x3 − βx0) . (254)

Essas equacoes, bem como as eqs. (252), sao as conhecidastransformacoes de Lorentz.

Obs.: A escolha do sinal foi feita usando o fato de que o limite parabaixas velocidades da eq. (252) deve resultar nas transformacoes deGalileu.


Antes da escolha do sinal, terıamos nas eqs. (252) o seguinte:

z ′ = ± 1√

1− v2

c2

[z − vt] → z ′ = ±(z − vt) → z ′ = z − vt

t ′ =1

√

1− v2

c2

[

∓ v

c2z ± t

]

→ t ′ = ±t → t ′ = t .

Considerando a transformacao inversa, que deve ser a mesma, com atroca do sinal de β, terıamos

x0 = γ(x ′0 + βx ′3)

x1 = x ′1x2 = x ′2x3 = γ(x ′3 + βx ′0) . (255)


Se os eixos de K e K ′ sao ainda paralelos, mas v fica em uma direcaoarbitraria, temos as transformacoes de Lorentz dadas por:

x ′0 = γ(x0 − ~β · x)

x′ = x+(γ − 1)

β2(~β · x)~β − γ~βx0 . (256)

O significado da segunda expressao pode ser melhor entendidofazendo

x′ · ~ββ≡ x ′‖

x′ × ~β

β≡ x′⊥ ,

de modo que ficamos com

x ′‖ = x‖ +(γ − 1)

β2βx‖β

2

β− γβ2x0

β= γ(x‖ − βx0) ,

que corresponde a ultima das eqs. (254).


Portanto,

x′⊥ = x⊥ +(γ − 1)

β2(βx‖)

(~β × ~β)

β− γx0

β(~β × ~β) = x⊥ ,

que corresponde as equacoes para x1 e x2 em (254).

Quanto a equacao para x ′0,

x ′0 = γ(x0 − βx‖) ,

corresponde a primeira das eqs. (254).


Discussao sobre o conceito de intervalo

Voltemos agora a discussao sobre o conceito de intervalo:A definicao de intervalo tem interpretacao mais facil se considerarmosum espaco de quatro dimensoes, tres delas espaciais e uma temporal.Cada ponto nesse espaco representa um evento.A cada partıcula corresponde uma linha nesse espaco, chamada linhado mundo, ou linha do universo, para a partıcula.

Cada ponto sera entao representado por um vetor de quatrodimensoes:

A = (ctA, x1A, x2A, x3A), B = (ctB , x1B , x2B , x3B) ,

ouA = (ctA, xA), B = (ctB , xB) .

A distancia entre dois pontos (ou intervalo), sera dada por:

sAB = |B − A| =√

c2(tB − tA)2 − |xB − xA|2 .O sinal “-” que aparece na expressao que define o intervalo e o quefaz a diferenca em relacao a geometria euclidiana.


Classificacao de intervalos

Sejas2AB = c2(tB − tA)

2 − |xB − xA|2

Vamos agora discutir dois casos:

Caso 1: s2AB < 0:

Nesse caso,

c2(tB − tA)2 − |xB − xA|2 = c2(t ′B − t ′A)

2 − |x′B − x′A|2 < 0 .

E possıvel encontrar um sistema K ′ tal que t ′B = t ′A, ou seja, no qual oseventos A e B sejam simultaneos. Nao e possıvel fazer com que os doiseventos ocorram no mesmo local. Nesse caso, diz-se que os eventos Ae B possuem uma separacao do tipo espacial (spacelike separation).


Caso 2: s2AB > 0:

Nesse caso,

c2(tB − tA)2 − |xB − xA|2 = c2(t ′B − t ′A)

2 − |x′B − x′A|2 > 0 .

E possıvel fazer com que os eventos sejam coincidentes, em um dadosistema K ′ (x′B = x′A). Nao e possıvel fazer com que os dois eventossejam simultaneos. Nesse caso, diz-se que os eventos A e B possuemuma separacao do tipo temporal (timelike separation).


Cone de luz

Vamos discutir esse conceito considerando apenas uma dimensaoespacial. A extensao para mais de uma dimensao pode ser feita deforma trivial.

FUTURO

PASSADO

ct

x

A

B

C

O


Para o caso do ponto A, temos

s20A = c2t2A − x2A > 0 (timelike)

Ou seja, em algum sistema em movimento relativo, teremoss20A = c2t ′2A .

Para o caso do ponto B , temos

s20B = c2t2B − x2B < 0 (spacelike)

Ou seja, em algum sistema em movimento relativo, teremoss20B = −x ′2B .

No caso do ponto C , temos

s20C = c2t2C − x2C > 0 (timelike)


Velocidade da luz como velocidade limite

So usamos em nossas demonstracoes os dois postulados, o darelatividade e o da invariancia da velocidade da luz.

Nao parece haver a priori nenhum afirmativa indicando que avelocidade da luz e um limite superior de velocidades.

Entretanto, consideremos as transformacoes de Lorentz:

x ′0 = γ(x0 − βx3)x ′3 = γ(x3 − βx0) .

Em primeiro lugar, se v > c (onde v e a velocidade relativa entre doissistemas inerciais), x ′3 e x ′0 ficariam quantidades imaginarias,enquanto para o sistema original e para os sistemas movendo-se comv < c essas quantidades sao reais.


Alem disso, consideremos que algum sinal possa se propagar comvelocidade vs > c . Em K , o sinal viaja uma distancia∆x3 = vs∆t = (vs/c)∆x0. Em K ′, temos:

∆x ′0 = γ [∆x0 − β∆x3]

= γ∆x0

[

1− β vsc

]

= γ∆x0

[

1− vvsc2

]

.

Essa quantidade pode ser negativa, se vvs > c2.

Ou seja, se existisse um sinal que pudesse se propagar com velocidadevs > c , haveria possibilidade de que em algum sistema ocorresseviolacao de causalidade, com o sinal chegando antes de ter partido.


Tempo proprio

Vamos ver esse e mais alguns outros conceitos e ideias gerais, antesde passar a aplicacoes de interesse direto no Eletromagnetismo.Ja vimos que

ds2 = ds ′2 → c2dt2 − |dx|2 = c2dt ′2 − |dx′|2 .Vamos considerar um corpo movendo-se com velocidade vrelativamente ao sistema K . No sistema que viaja com o corpo, esteesta em repouso, de modo que nesse sistema |dx′|2 = 0. Portanto,podemos escrever

dt ′2 = dt2 − |dx|2

c2= dt2

[

1− 1

c2|dx|2dt2

]

= dt2(1− β2

)=

dt2

γ2.

O tempo medido no sistema onde o corpo esta em repouso echamado tempo proprio,

dτ =dt

γ(t). (257)


Adica de velocidades

Em qualquer outro sistema de referencia, o intervalo de tempomedido entre dois eventos e maior do que o medido no sistema ondeo evento esta em repouso.

Vamos agora discutir a adicao de velocidades:

Suponhamos uma partıcula movendo-se com velocidade u′ relativa aorigem de K ′, que move-se com velocidade v relativamente a K .

Seja u′ a velocidade desse corpo no sistema K ′ e u a velocidade nosistema K :

u′ ≡ dx′

dt ′= c

dx′

dx ′0e

u ≡ dx

dt= c

dx

dx0.


Prosseguindo,

u‖c

=dx‖dx0

=γ[

dx ′‖ + βdx ′0

]

γ[

dx ′0 + βdx ′‖

] =dx ′0dx ′0

[dx ′

‖

dx ′0+ β

]

[

1 + βdx ′

‖

dx ′0

] ,

onde usamos as eqs. (255).

u‖c

=1

c

[dx ′

‖

dt′+ v

]

[

1 + vc2

dx ′‖

dt′

] ,

u‖ =u′‖ + v[1 + v·u′

c2

] , (258)


Analogamente,

u⊥c

=dx⊥dx0

=dx′⊥

γ(dx ′0 + βdx ′‖)=

1

c

(dx′⊥/dt ′)

γ

[

1 + βc

dx ′‖

dt′

] ,

u⊥ =u′⊥

γ[1 + v·u′

c2

] , (259)

Uma outra forma de ver a transformacao de velocidades e consideraro seguinte:

Seja o sistema K ′ movendo-se com velocidade de modulo v ao longodo eixo z , relativamente ao sistema K . A velocidade u′ faz um anguloθ′ com esse mesmo eixo, no sistema K ′.


Fazendo u2‖ + u2⊥, usando as eqs. (258) e (259), encontramosfacilmente a seguinte relacao,

u =

√

u′2 + v2 + 2u′v cos θ′ − (u′v sin θ′/c)2

1 + u′vc2

cos θ′. (260)

y

x

z

x’

y’

z’

K K’

v

u’

θ’


Portanto, no sistema K a velocidade u faz o angulo θ com o eixo z ,sendo θ dado por

tan θ =u⊥u‖

=u′⊥

γ(u′‖ + v).

tan θ =u′ sin θ′

γ(u′ cos θ′ + v).


Outro olhar sobre a transformacao de velocidades

Ja vimos que os eventos podem ser representados por quantidadesquadridimensionais (x0, x1, x2, x3), as quais se transformam segundoas transformacoes de Lorentz,

x0 = γ(x ′0 + βx ′3)

x1 = x ′1x2 = x ′2x3 = γ(x ′3 + βx ′0) .

Segundo acabamos de ver, as velocidades, definidas como dx/dt emseus respectivos sistemas de coordenadas, transformam-se segundooutra regra, qual seja,

u‖ =u′‖ + v[1 + v·u′

c2

] u⊥ =u′⊥

γ[1 + v·u′

c2

] .


Entretanto, ha uma quantidade relacionada que tambem setransforma segundo as transformacoes de Lorentz. Seja a seguintequantidade:

γvγu′

(

1 +u′ · vc2

)

=1

√

1− v2

c2

1√

1− u′2

c2

(

1 +u′ · vc2

)

=

(

1 + u′·vc2

)

[

1−(v2+u′2

c2

)

+ v2u′2

c4

]1/2. (261)

Usando eq. (260), temos

u2(

1 +u′ · vc2

)2

= u′2 + v2 + 2u′v cos θ′ −(u′v sin θ′

c

)2

.


Essa expressao pode ser re-escrita como

u′2 + v2

c2=

u2

c2

(

1 +u′ · vc2

)2

− 2u′vc2

cos θ′ +1

c2

(u′v sin θ′

c

)2

=u2

c2

(

1 +u′ · vc2

)2

− 2u′ · vc2

+1

c2

(u′v sin θ′

c

)2

.

Portanto, no denominador da eq. (261) teremos

[

1−(v2 + u′2

c2

)

+v2u′2

c4

]1/2

=

[

1 +v2u′2

c4

−u2

c2

(

1 +u′ · vc2

)2

+ 2u′ · vc2− 1

c2

(u′v sin θ′

c

)2]1/2

.


Prosseguindo,

=

[

1 +v2u′2

c4(1− sin2 θ′

)− u2

c2

(

1 +u′ · vc2

)2

+ 2u′ · vc2

]1/2

=

[

1 +v2u′2

c4cos2 θ′ − u2

c2

(

1 +u′ · vc2

)2

+ 2u′ · vc2

]1/2

=

[(

1 +u′ · vc2

)2

− u2

c2

(

1 +u′ · vc2

)2]1/2

=

(

1 +u′ · vc2

)(

1− u2

c2

)1/2

.


Portanto, a eq. (261) fica dada por

γvγu′

(

1 +u′ · vc2

)

=

(

1 + u′·vc2

)

[

1−(v2+u′2

c2

)

+ v2u′2

c4

]1/2

=

(

1 + u′·vc2

)

(1 + u′·v

c2

) (

1− u2

c2

)1/2=

1(

1− u2

c2

)1/2

γvγu′

(

1 +u′ · vc2

)

= γu . (262)


Podemos usar esse resultado da seguinte forma:

γuu‖ = γvγu′

(

1 +u′ · vc2

) u′‖ + v[1 + v·u′

c2

]

= γv

(

γu′u′‖ + βγu′c

)

= γ(

γu′u′‖ + βγu′c

)

= γγu′(u′‖ + v) ,

onde usamos a eq. (258), bem como a notacao γv ≡ γ.Tomando a componente perpendicular, e usando a eq. (259),

γuu⊥ = γvγu′

(

1 +u′ · vc2

)u′⊥

γ[1 + v·u′

c2

] = γ′uu′⊥ .


Introduzimos entao a seguinte definicao:

U ′0 ≡ γu′c

U′ ≡ γu′u′ . (263)

Como se pode ver facilmente, essas quantidades recem definidasformam um conjunto que se transforma de acordo com astransformacoes de Lorentz, na passagem entre sistemas inerciais, damesma forma que o conjunto (x0, x1, x2, x3).

Ou seja, se v = vez , usando as transformacoes de Lorentz (255), oconjunto (U0,U1,U2,U3) deveria se transformar da seguinte forma:

U0 = γ(U ′0 + βU ′

3)

U1 = U ′1

U2 = U ′2

U3 = γ(U ′3 + βU ′

0) .


De fato, da primeira dessas relacoes, obtemos

γ(γu′c + βγu′u

′3

)= γγu′c

(

1 +vu′3c2

)

= γuc = U0 ,

usando a eq. (262).

Para as componentes perpendiculares, U1 e U2, ja vimos acima que

U1 = U ′1

U2 = U ′2 ,

como previsto tambem pelas transf. de Lorentz.

Para a componente paralela, U3, das transformaces de Lorentz,terıamos

U3 = γ(U ′3 + βU ′

0) = γ(γu′u

′3 + βγu′c

)= γγu′

(u′3 + v

),

que corresponde a mesma expressao que ja obtivemos acima, quandoestudando a transformacao das quantidades Ui .

Vimos entao que o conjunto (U0,U1,U2,U3) se transforma da mesmaforma que o conjunto (x0, x1, x2, x3). Podemos generalizar o conceito,definindo os quadrivetores.


Quadrivetores

Os quadrivetores serao definidos como conjuntos de quatroquantidades que se transformam de acordo com as transformacoes deLorentz.

Sejam entao (A0,A1,A2,A3) as componentes de um quadrivetor.Portanto, em outro sistema de coordenadas em movimento relativo,

A′0 = γ(A0 − βA3)

A′1 = A1

A′2 = A2

A′3 = γ(A3 − βA0) . (264)

O modulo quadrado de um quadrivetor sera definido por

(A0)2 −[(A1)2 + (A2)2 + (A3)2

]≡ modulo quadrado de Aα .

(265)


Vamos agora introduzir a ideia de dois tipos de componentes dequadrivetores, indicadas segundo a posicao do ındice:

Vetor contravariante:

Aα, com componentes A0,A1,A2,A3

Vetor covariante:

Aα, com componentes A0,A1,A2,A3 ,

sendo que

A0 = A0

A1 = −A1

A2 = −A2

A3 = −A3 . (266)


Modulo quadrado de Aα,

(A0)2−[(A1)2 + (A2)2 + (A3)2

]= (A0)

2−[(A1)

2 + (A2)2 + (A3)

2].

Devido a propriedade (266), podemos escrever

∑

α

AαAα = A0A0+A1A1+A2A2+A3A3 = (A0)2−(A1)2−(A2)2−(A3)2 .

Em geral, emprega-se a chamada convencao de soma, em que ficaimplıcito um somatorio sobre ındices repetidos. A expressao anteriorentao fica

AαAα = modulo quadrado de Aα . (267)

O produto escalar entre dois vetores e definido de forma similar:

AαBα = A0B0 + A1B1 + A2B2 + A3B3 . (268)


Notacao para as formas contravariante e covariante:

Seja um quadrivetor. As formas contravariante e covariante,respectivamente, podem ser escritas na forma seguinte:

Aα = (A0,A)

Aα = (A0,−A) , (269)

onde separamos a componente temporal e a componente espacial.

Definiremos os vetores contravariantes como sendo aqueles queobedecem a seguinte lei de transformacao:

A′α =∂x ′α

∂xβAβ . (270)


Comecaremos aplicando essa lei de transformacao a componenteα = 0,

A′0 =∂x ′0

∂x0A0 +

∂x ′0

∂x1A1 +

∂x ′0

∂x2A2 +

∂x ′0

∂x3A3 .

Para fazer as derivadas, consideremos que as quantidades(x0, x1, x2, x3) (que denotavamos anteriormente com o ındice inferior)sao aquelas que se transformam de acordo com as transformacoes deLorentz (254),

x ′0 = γ(x0 − βx3)x ′1 = x1

x ′2 = x2

x ′3 = γ(x3 − βx0) .

Fazendo as derivadas, obtemos

A′0 = γA0 − γβA3 = γ(A0 − βA3) .


Prosseguindo da mesma forma para as demais componentes,obtem-se facilmente o seguinte conjunto de transformacoes:

A′0 = γ(A0 − βA3)

A′1 = A1

A′2 = A2

A′3 = γ(A3 − βA0) .

Ou seja, verificamos que os quadrivetores contravariantes sao aquelesque se transformam de acordo com as transformacoes de Lorentz.

A eq. (270) e uma forma compacta de expressar a transformacao. Nocaso de movimento relativo ao longo do eixo z , ela corresponde aforma dada pelas eqs. (254).


Vetores covariantes

Definiremos os vetores covariantes como sendo aqueles queobedecem a seguinte lei de transformacao:

A′α =

∂xβ

∂x ′αAβ . (271)

Comecaremos aplicando essa lei de transformacao a componenteα = 0,

A′0 =

∂x0

∂x ′0A0 +

∂x1

∂x ′0A1 +

∂x2

∂x ′0A2 +

∂x3

∂x ′0A3 .

Para fazer as derivadas, consideremos a transformacao inversa dadapor (255),

x0 = γ(x ′0 + βx ′3)

x1 = x ′1

x2 = x ′2

x3 = γ(x ′3 + βx ′0) .


Fazendo as derivadas, obtemos

A′0 = γA0 + γβA3 = γ(A0 + βA3) .

Prosseguindo da mesma forma para as demais componentes,obtem-se facilmente o seguinte conjunto de transformacoes:

A′0 = γ(A0 + βA3)

A′1 = A1

A′2 = A2

A′3 = γ(A3 + βA0) .

Ou seja, verificamos que os quadrivetores covariantes sao aqueles quese transformam de acordo com as transformacoes de Lorentz inversas.


Obs. 1:

Juntando o que obtivemos, podemos lancar mais luz sobre osignificado das leis de transformacao que escrevemos acima,considerando o seguinte:

BαAα = δ β

α BβAα =

∂xβ

∂xαBβA

α =∂xβ

∂x ′γ∂x ′γ

∂xαBβA

α

=

(∂xβ

∂x ′γBβ

)(∂x ′γ

∂xαAα)

= B ′γA

′γ .

No ultimo passo usamos as relacoes de transformacao de vetorescontravariantes e covariantes, eqs. (270) e (271). O resultado finalmostra o resultado esperado, a invariancia do produto escalar.


Obs. 2:

E importante salientar que escolhemos denotar com o ındice superioras quantidades (x0, x1, x2, x3) que obedecem as transformacoes dadaspor (254), reservando o ındice inferior para aquelas que obedecem astransformacoes (255). Essa definicao foi contraria ao uso queanteriormente fazıamos do ındice. Nesse contexto, entao, sera precisocuidado para fazer uso consistente do ındice.


Quadritensores de ordem n

Podemos definir quadritensores de ordem n.

Um escalar e um tensor de ordem zero, nao afetado pela mudanca decoordenadas.

Os vetores, como ja vimos, sao tensores de ordem um.

Para ordem dois, podemos definir quadritensores de ordem dois, oumais simplesmente, quadritensores, como sendo um conjunto de 16quantidades Aαβ que se transformam como produtos de componentesde quadrivetores, na mudanca do sistema de coordenadas.

Os quadritensores de ordem dois podem ser:

contravariantes: Aαβ

covariantes: Aαβ

mistos: Aαβ (em geral, uma quantidade diferente de Aβα) .

Obs.: O primeiro ındice refere-se a linha, enquanto o segundo ındicerefere-se a coluna.


Regra pratica:

“A elevacao ou abaixamento de um ındice temporal (0) naomuda o sinal da componente; a elevacao ou abaixamento deum ındice espacial muda o sinal da componente”.

Exemplos:

A00 = A00

A01 = −A01

A11 = A11

A00 = A00

A 10 = A01

A01 = −A01

etc.


Traco de um tensor

O traco de um tensor sera definido por

Aαα ≡ A00 + A1

1 + A22 + A3

3 = A αα . (272)

Como se ve, o traco de um tensor de ordem 2 e um escalar. Aoperacao que da como resultado o traco chama-se contracao dotensor.

O produto escalar tambem e uma contracao. Dados Aα e Bα, aquantidade AαBα representa o traco do tensor AαBβ.


Tensor metrico

Seja

gαβ = gαβ =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(273)

A contracao de um tensor metrico com um quadrivetor contravarianteresulta na forma covariante do quadrivetor:

gαβAβ =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

A0

A1

A2

A3

=

A0

−A1

−A2

−A3

=

A0

A1

A2

A3

= Aα .

Ou seja,gαβA

β = Aα . (274)


Da mesma forma,gαβAβ = Aα . (275)

Portanto, pode-se escrever o produto escalar entre Aα e Bα,

AαBα = gαβAβBα = AαgαβBβ = AβB

β . (276)

Contracao do tensor metrico:

Verifica-se facilmente o seguinte resultado (por mera multiplicacao dematrizes):

gαγgγβ = δαβ, gαγgγβ = δ β

α , (277)

onde δ βα e a delta de Kronecker em quatro dimensoes, ou seja,

δ βα = 1, para α = β, e δ β

α = 0, para α 6= β .


Podemos generalizar a contracao de um vetor com gαβ , definida em(274) e (275).

Assim, por exemplo,A..α.... = gαβA.. ....β

G ......α. = gαβG

...β... . . (278)


Observacao sobre o tensor metrico:

Usando o que vimos na eq. (276), podemos escrever um intervaloinfinitesimal usando o tensor metrico:

ds2 = gαβdxαdxβ .

No caso de termos o tensor metrico para o espaco de Minkowski, emcoordenadas cartesianas, como o que definimos anteriormente, resulta

ds2 = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2 .

Entretanto podemos ter outras situacoes. Por exemplo,

ds2 = (dx0)2 − (dr)2 − r2(dθ)2 − r2 sin2 θ(dφ)2 ;


ou seja,

gαβ =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −r2 00 0 0 −r2 sin2 θ

,

etc., etc. (inclusive situacoes em que o tensor metrico pode se tornarnao-diagonal, como na Relatividade Geral).

Para finalizar essa secao, vamos discutir o comportamento dasderivadas parciais com respeito a xα e xα.

Vamos comecar com as derivadas com relacao as componentescontravariantes xα. Usando a regra da cadeia, podemos escrever

∂

∂x ′α=∂xβ

∂x ′α∂

∂xβ. (279)


Essa relacao pode ser facilmente obtida considerando o seguinte.Podemos escrever uma componente do vetor posicao comocombinacao linear das componentes no outro sistema de coordenadas(transformacoes de Lorentz):

x ′β = x ′β(xα) .

Portanto,

∂x ′β

∂x ′γ=∂x ′β

∂xα∂xα

∂x ′γ→ ∂

∂x ′γ=∂xα

∂x ′γ∂

∂xα.

Mudando os ındices γ → α, α→ β, teremos

∂

∂x ′α=∂xβ

∂x ′α∂

∂xβ.


Comparando a eq. (279) com a eq. (271), lei de transformacao dequadrivetores covariantes,

A′α =

∂xβ

∂x ′αAβ ,

vemos que a derivada com relacao a uma componente contravariante,dada pela eq. (279), se transforma como uma componente de umquadrivetor covariante.

Devido a isso, esse tipo de derivada e chamado de derivadacovariante, sendo empregada a seguinte notacao:

∂α ≡∂

∂xα. (280)


Analogamente, define-se a derivada contravariante,

∂α ≡ ∂

∂xα. (281)

Escrevendo explicitamente esses dois tipos de derivadas,

∂α =∂

∂xα=

(∂

∂x0,−∇

)

, ∂α =∂

∂xα=

(∂

∂x0,∇)

,

onde

∇ = i∂

∂x1+ j

∂

∂x2+ k

∂

∂x3.


Divergencia:

∂αAα = ∂αAα =

∂A0

∂x0+∇ ·A . (282)

Como a divergencia de um quadrivetor e um produto escalar entre umoperador representado por um quadrivetor e um quadrivetor,conclui-se que e um escalar de Lorentz, ou seja, invariante namudanca de sistemas de coordenadas.

Laplaciano:

∂α∂α =

∂2

∂(x0)2−∇2 . (283)

Esse operador e tambem conhecido como D’Alembertiano.

Podemos agora partir para aplicacoes no Eletromagnetismo.


A Relatividade Especial e o Eletromagnetismo

De acordo com o estabelecido no princıpio da relatividade, vamosmostrar que de fato as equacoes do eletromagnetismo mostraminvariancia de forma na mudanca de referencial, ou covariancia.

Inicialmente, lembramos que a carga eletrica e um invariante (o que eobjeto de comprovacao experimental): a carga eletrica nao dependeda velocidade.

Dessa forma, o produto ρdV e invariante (um escalar).Podemos construir um quadrivetor multiplicando esse escalar porcomponentes de um quadrivetor,

ρdVdxα = ρdVdtdxα

dt.

Como dVdt e um escalar, concluımos que

ρdxα

dte um quadrivetor.


Seja entao o quadrivetor corrente,

Jα = ρdxα

dt→ Jα = (cρ, J) . (284)

As componentes desse quadrivetor sao

J0 = ρdx0

dt= cρ , J1 = ρ

dx1

dt= ρvx , etc.

Facilmente podemos obter outro resultado importante,

∂αJα = ∂0J

0 + ∂1J1 + ∂2J

2 + ∂3J3 = ∂tρ+∇ · J = 0 .

Essa quantidade e nula, pois e a propria expressao da equacao dacontinuidade.


Em forma covariante, portanto, podemos escrever a equacao dacontinuidade da forma seguinte,

∂αJα = 0 . (285)

Prosseguindo, pode ser definido tambem um potencial quadrivetor:

Aα = (Φ,A) . (286)

A equacao da onda e a condicao de Lorentz, dadas por:

1

c2∂2A

∂t2−∇2A =

4π

cJ

1

c2∂2Φ

∂t2−∇2Φ = 4πρ

1

c∂tΦ+∇ · A = 0 ,

ficam escritas em forma covariante evidente,

∂β∂βAα =

4π

cJα

∂αAα = 0 . (287)


Para os campos eletrico e magnetico, temos as relacoes (126),

B = ∇× A

E = −∇Φ− 1

c∂tA.

Tomemos, por exemplo, as componentes x dessas equacoes,

Bx =∂

∂yAz −

∂

∂zAy = −(∂2A3 − ∂3A2) ,

Ex = −1

c

∂

∂tAx −

∂

∂xΦ = −(∂0A1 − ∂1A0) , etc..

Os campos E e B representam seis componentes. As demaiscomponentes podem ser escritas de forma similar as componentes xescritas acima. Em conjunto, elas podem ser escritas na forma de umtensor anti-simetrico de ordem 2, o tensor de campo eletromagnetico,

Fαβ = ∂αAβ − ∂βAα . (288)


Explicitamente, esse tensor fica dado por

Fαβ =

0 −Ex −Ey −Ez

Ex 0 −Bz By

Ey Bz 0 −Bx

Ez −By Bx 0

. (289)

Lembrando que o produto de um tensor com gαβ ou gαβ pode fazerdescer ou subir um ındice, podemos escrever o tensor comcomponentes covariantes:

Fαβ = gαγFγδgδβ . (290)


Esse tensor resulta ser igual a Fαβ com E no lugar de −E,

Fαβ =

0 Ex Ey Ez

−Ex 0 −Bz By

−Ey Bz 0 −Bx

−Ez −By Bx 0

.

As equacoes de Maxwell podem ser re-escritas apos a definicao deFαβ:

∇ · E = 4πρ

∇× B− 1

c∂tE =

4π

cJ

→ ∂αFαβ =

4π

cJβ . (291)


Essas foram as equacoes nao homogeneas.

As homogeneas sao facilmente obtidas a partir de uma identidadesatisfeita pelo tensor Fαβ ,

∇ · B = 0

∇× E+1

c∂tB = 0

→ ∂αF βγ + ∂βF γα + ∂γFαβ = 0 . (292)


Forca de Lorentz

A partir de consideracoes mecanicas, pode-se mostrar que omomentum p e parte de um quadrivetor energia-momentum (veremosmais adiante uma breve exposicao a respeito):

pα = (p0,p) = m(U0,U), com p0 =Ec. (293)

A forca de Lorentz e dada por:

dp

dt= q

[

E+v × B

c

]

=q

c[cE+ v × B]

=q

γvc[(γv c)E+ (γvv)× B] =

q

γvc[U0E+U× B] .

Escrevendo em termos do tempo proprio, τ = t/γv ,

→ dp

dτ=

q

c[U0E+U× B] (294)


Por outro lado, temos,

dEdt

=

∫

V

d3x J · E ;

Para uma partıcula puntiforme movendo-se com velocidade v,

J = qv δ(x− x′) .

→ dEdt

= q v · E =q

γvU · E → dE

dτ= qU · E

→ dp0

dτ=

q

cU · E . (295)

As expressoes (294) e (295) podem entao ser postas em formacovariante, usando a definicao de Fαβ :

dpα

dτ= m

dUα

dτ=

q

cFαβUβ . (296)


Transformacao de campos eletromagneticos

Ja vimos que as componentes de xα se transformam conforme a regra:

x ′α =∂x ′α

∂xβxβ .

Alem disse, em geral,

A′α =∂x ′α

∂xβAβ .

Para um tensor de ordem dois, como o tensor Fαβ , temos

F ′αβ =∂x ′α

∂xγ∂x ′β

∂xδF γδ . (297)

Os elementos ∂x ′α/∂xγ formam uma matriz 4× 4. Para o caso deum sistema K ′ movendo-se com velocidade v ao longo do eixo z ,resulta o seguinte:


. . .

E ′x = γ(Ex − βBy )

E ′y = γ(Ey + βBx)

E ′z = Ez

B ′x = γ(Bx + βEy )

B ′y = γ(By − βEx)

B ′z = Bz . (298)

Ou seja, sao afetados as componentes perpendiculares a direcao domovimento.

No caso de v em direcao qualquer, temos expressoes mais gerais:

E′ = γ(E+ β × B)− γ2

γ + 1~β(~β · E)

B′ = γ(B− ~β × E)− γ2

γ + 1~β(~β ·B) (299)


Podemos tambem escrever as equacoes (298) em outra forma. Seja osistema K ′ movendo-se com velocidade v relativamente a K .

E′⊥ = γ(E⊥ + ~β ×B)

E ′‖ = E‖

B′⊥ = γ(B⊥ − ~β × E)

B ′‖ = B‖ . (300)


Partıcula com carga q movendo-se uniformemente

Como aplicacao, consideremos uma partıcula com carga qmovendo-se com velocidade v ao longo de z :

y

v

K K’

vt

x

r

qz

P

b


No sistema de coordenadas K ′, que viaja com a partıcula,

E′ =q

r ′3r′ , B′ = 0 . (301)

No sistema K ,

E⊥ = γ(E′⊥ − ~β × B′) = γE′

⊥E‖ = E ′

‖

B⊥ = γ(B′⊥ + ~β × E′) = γ~β × E′

B‖ = B ′‖

~β = βk .


Em termos de componentes,

Ex = γE ′x

Ey = γE ′y

Ez = E ′z

Bx = −γβE ′y

By = γβE ′x

Bz = B ′z = 0 . (302)


Para partıculas extremamente relativısticas, as componentestransversais do campo E tornam-se muito mais intensas do que ascomponentes longitudinais; alem disso, aparece um campo magneticotransversal, que tende a mesma magnitude que o campo E, parav → c .

E interessante analisar o comportamento temporal observado:

Seja um observador sobre o eixo x1, a uma distancia b da origem (b eo parametro de impacto); seja t = 0 o instante em que as origens deK e K ′ coincidem:

No sistema K ′, as componentes dos campos em P sao:

E ′x =

q

r ′3x ′ , E ′

y = 0 , E ′z =

q

r ′3z ′ , B′ = 0 .


Em K , conforme vimos:Ez = E ′

z

Ey = γE ′y = 0

Ex = γE ′x =

q

r ′3γx ′ =

qγx ′

(x ′2 + z ′2)3/2

=qγx

[x2 + γ2(z − vt)2]3/2, since x ′ = x , z ′ = γ(z − vt) .

No sistema K , as coordenadas de P sao (b, 0, 0). Queremos Ex nesseponto, de modo que x = b, y = 0, z = 0, → (z − vt)2 = v2t2,

Ex =qγb

[b2 + γ2v2t2]3/2.


Voltando ao campo longitudinal,

Ez = E ′z =

q

r ′3z ′ =

qγ(z − vt)

[x2 + γ2(z − vt)2]3/2

→ Ez = − qγvt

[x2 + γ2v2t2]3/2.

Vamos analisar o comportamento dessas componentes.


Consideremos inicialmente a componente Ex :Para t → ±∞,

Ex →qγb

γ3v3|t|3 → 0 .

Para t → 0,

Ex →qγ

b2.

t

Ex


Quanto a componente Ez , temos:Para t → ±∞,

Ez → ∓qγv |t|γ3v3t3

= ∓ q

γ2v2t2→ 0∓ .

Para t → 0,Ez → 0 .

t

Ez


O valor maximo de Ez nao e afetado por β. Pode-se verificar issofazendo ∂tEz = 0. Obtem-se que o maximo ocorre para

t = ± b

2γv,

e que

Ez |max =q

2b2

(2

3

)3/2

.

A medida que β → 1, aumenta o pico representando Ex , enquanto seestreita. Vai tambem ficando menor a regiao em torno de t = 0 paraa qual Ez e relevante.

A passagem de uma partıcula carregada extremamente relativıstica evista como um forte pulso eletrico perpendicularmente a sua direcaode propagacao, acompanhado de um pulso magnetico perpendicularde magnitude similar (no sistema cgs gaussiano).


Alguns comentarios sobre Mecanica Relativıstica;

momentum, energia, Lagrangiano da partıcula livre, etc.

Antes de passar a outros temas de interesse no Eletromagnetismo,vamos falar brevemente sobre o momentum e a energia de umapartıcula relativıstica. Na eq. (293), usamos p como parte de umquadrivetor energia-momentum, tal que pα = (p0,p), com p0 = E/c .Vamos agora justificar o uso dessas expressoes.

Na secao 11.5 de Jackson, 2nd ed., John Wiley, 1975, encontramosesse assunto discutido do ponto de vista de leis de conservacao deenergia e momentum. Vamos adotar um ponto de vista diferente,mais formal, para chegar aos mesmos resultados basicos. Aabordagem sera inspirada naquela dos paragrafos 8 e 9, do livro deLandau & Lifschitz.


Vamos comecar discutindo o caso de uma partıcula livre.

De acordo com o princıpio de mınima acao, a evolucao da partıculadesde o evento a, (x0, x1, x2, x3)a, ate o evento b, (x0, x1, x2, x3)b,deve se proceder de forma a fazer com que uma integral S (a integralde acao) seja um extremo.

As equacoes de movimento sao determinadas pela condicao δS = 0.

...

Vamos exigir que a integral S seja um invariante de Lorentz, o quegarantira que as equacoes de movimento dela derivadas sejam asmesmas em todos os referenciais inerciais.

A integral que leva de a a b e uma integral em ds. Como naoconhecemos a forma da acao, vamos multiplicar o elemento deintegracao por uma quantidade (−α) (o sinal foi escolhido assim deforma proposital; α deve ser uma quantidade positiva, como veremosa seguir).


Essa quantidade α nao deve depender da posicao, para uma partıculalivre,

S = −α∫ b

a

ds . (303)

Como ja sabemos,

ds2 = c2dt2 − |dx|2 = c2dt ′2 − |dx′|2 .

Multiplicando e dividindo o integrando de (303) por c , teremos

S = −αc∫ b

a

ds

c.


Vamos considerar intervalos do tipo timelike; ou seja, os eventos a e bnunca serao simultaneos em nenhum referencial, de modo que existeuma evolucao temporal entre a e b em qualquer referencial.

Para cada ds, existe um referencial no qual os eventos estao nomesmo ponto, de modo que

ds

c= dt ′ ≡ dτ .

Ou seja,∫ b

a(ds/c) e a soma dos tempos proprios ao longo da

trajetoria, desde a ate b:

S = −αc∫ b

a

ds

c= −αc

∫ tb

ta

dt

γ= −αc

∫ tb

ta

dt√

1− β2 ,

pois ds/c = dτ = dt/γ.

→ S = −αc∫ tb

ta

dt√

1− β2 . (304)


Considerando que a integral de acao e uma integral do Lagrangiano,

S =

∫ tb

ta

dt L ,

concluımos que

L = −αc√

1− β2 , (305)

para uma partıcula livre relativıstica.

Por outro lado, sabemos que no caso nao relativıstico, o Lagrangianode uma partıcula livre e dado por

Lnr =1

2mv2 .


Assim, fazendo o limite,

limβ→0

L = −αc(

1− β2

2

)

= −αc + 1

2αcβ2 .

−αc e uma constante; pode ser adicionada a Lnr sem afetar asequacoes de movimento. Dessa forma para que nossa mecanicarelativıstica tenha o limite correto, devemos ter

αcβ2 = mv2 → αv2

c= mv2 → α = mc .

Portanto, para uma partıcula relativıstica livre,

L = −mc2√

1− β2 , ou L = −mc2

γ. (306)


Sabemos que

p =∂L

∂x= −mc2

1

2c2−2x

√

1− β2=

mx√

1− β2.

p = γmv , (307)

e o momentum de uma partıcula de massa m na MecanicaRelativıstica.

A partir de L, podemos construir o Hamiltoniano H, que no caso seraigual a energia da partıcula:

E = p·v−L = γmv2+mc2

γ= γmc2

[

β2 +1

γ2

]

= γmc2[β2 + (1− β2)

]=

→ E = γmc2 . (308)

Portanto, em repouso, E = mc2.


EscrevendoT = E −mc2 ,

definimos a energia cinetica de uma partıcula de massa m.

Vamos agora discutir a relacao entre energia e momentum.

p = γmv → p2c2 = γ2m2v2c2 .

Somando m2c4,

p2c2 +m2c4 = γ2m2v2c2 +m2c4 = m2c4(1 + γ2β2)

= m2c4[

1 +β2

1− β2]

= m2c4[1− β2 + β2

1− β2]

= γ2m2c4

E2 = p2c2 +m2c4 . (309)


Ja tınhamos visto anteriormente o quadrivetor velocidade, Uα:

Uα = (U0,U) = (γc , γu) .

Portanto,p = γmv = mU ;

Alem disso,

E = γmc2 = mc(γc) = mcU0 → mU0 =Ec.

Ou seja, podemos construir um quadrivetor momentum, dado por

pα =

(Ec,p

)

,

conforme a eq. (293), com

p0 =Ec.


O quadrivetor momentum pode ser escrito tambem em termos doquadrivetor velocidade,

pα = m(U0,U

).

O modulo quadrado desse quadrivetor e dado por

pαpα =E2c2− p2 = γ2m2c2 − γ2m2v2 = m2c2γ2

(

1− v2

c2

)

= m2c2

pαpα = m2c2 . (310)

(Como todo escalar, a massa de repouso e um invariante frente amudanca de referencial inercial).


Aplicacao:

Vamos agora calcular a energia mınima necessaria para que ocorra areacao entre dois protons, produzindo tres protons e um anti-proton,

p + p → p + p + p + p .

No sistema LAB, temos uma partıcula em repouso e outra emmovimento,

p1 6= 0 , E1 = γmc2

p2 = 0 , E2 = mc2 .

No sistema CM, teremos

p′1 = −p′2 , E ′1 = E ′2 .


Usando equacao de conservacao de energia-momentum, temos omomentum antes da reacao igual ao momentum depois da reacao:

(p′µ)1 + (p′µ)2 = (p′µ)f ,

onde o f refere-se a ’final’ e ’1’ e ’2’ referem-se as partıculas 1 e 2.

Fazendo o modulo quadrado desse quadrivetor

(p′µ)f (p′µ)f = (p′0)f (p

′0)f = m2

f c2 ,

onde mf = 4m.

Portanto, da equacao de conservacao,

[(p′µ)1 + (p′µ)2

] [(p′µ)1 + (p′µ)2

]

= (p′µ)1(p′µ)1 + (p′µ)2(p

′µ)2 + (p′µ)1(p

′µ)2 + (p′µ)2(p

′µ)1


O ultimo termo e igual ao terceiro,

(p′µ)2(p′µ)1 = (p′µ)2(p

′µ)1 ,

e os dois primeiros resultam simplesmente m2c2.

Desse modo,

2(p′µ)1(p′µ)2 = m2

f c2 − 2m2c2 = (4m)2c2 − 2m2c2

= 16m2c2 − 2m2c2 = 14m2c2 ,

resultando entao(p′µ)1(p

′µ)2 = 7m2c2 .

Essa quantidade e um invariante.


Passando para o sistema LAB, teremos

(pµ)2 = 0 , µ = 1, 2, 3

(p0)2 =mc2

c6= 0 .

(p0)1(p0)2 = 7m2c2 → E1c

E2c

= 7m2c2 .

E1 =7m2c4

E2=

7m2c4

mc2

→ E1 = 7mc2 ,

a energia mınima do proton incidente para que se produza a reacao.

Obs.: Esse E e a energia total do proton incidente, E = 7mc2; suaenergia cinetica deve ser T = 6mc2.


Partıcula em um campo eletromagnetico dado

Para uma carga q em um campo dado, podemos escrever

S =

∫ b

a

[

−mc ds − q

cAαdx

α]

−q

cAαdx

α = −q

c

[A0dx

0 + A1dx1 + A2dx

2 + A3dx3].

Essa expressao e invariante de Lorentz, como deve ser; alem disso,temos

S =

∫ b

a

[

−mc2 dt√

1− β2 − q

cAαdx

α]

=

∫ tb

ta

dt

[

−mc2√

1− β2 + q

cA · dx

dt− qΦ

]

,

onde usamos Aα = (Φ,−A).


No limite |dx/dt| << c , a expressao que acrescentamos aoLagrangiano de partıcula livre recai em −qΦ, ou seja, −U (energiapotencial de uma carga em um potencial dado).

Ou seja, obtivemos desta forma o Lagrangiano de uma partıcula demassa m e carga q, em um campo EM dado:

L = −mc2√

1− β2 + qA · ~β − qΦ , (311)

Quanto ao momentum, nesse caso temos:

P =∂L

∂v= −mc2

1√

1− β2

(−vc2

)

+q

cA = γmv +

q

cA .

P = γmv +q

cA = p+

q

cA , (312)

onde p e o momentum usual.

P e o momentum canonico de uma partıcula de carga q e massa m,em um campo externo.


Usando a definicao de Hamiltoniano,

H = P · v − L = γmv2 +q

cA · v + mc2

γ− qA · ~β + qΦ

H = γmc2(v2

c2+

1

γ2

)

+ qΦ .

H = γmc2 + qΦ . (313)

Por outro lado,γmc2 = E =

√

p2c2 +m2c4

γmc2 = E =

√(

P− q

cA)2

c2 +m2c4

γmc2 = E =

√

(cP− qA)2 +m2c4 .


. . .

H =

√

c2(

P− q

cA)2

+m2c4 + qΦ . (314)

Alem disso,

(H − qΦ)2 = c2(

P− q

cA)2

+m2c4

1

c2(H − qΦ)2 −

(

P− q

cA)2

=(m2c2

).

Isso e a mesma coisa que pαpα = (mc)2, com

pα ≡[1

c(H − qΦ),P− q

cA

]

,

o quadrivetor energia-momentum.


Equacoes de movimento

Lagrangiano,

L = −mc2

γ+ qA · ~β − qΦ .

Equacoes de Lagrange:

∂L

∂x i− d

dt

∂L

∂x i= 0

∂L

∂x i→ ∂L

∂x= q∇(A · ~β)− q∇Φ

∂L

∂x i→ ∂L

∂x= P = p+

q

cA .

Dessa forma, a equacao de Lagrange fica

q∇(A · ~β)− q∇Φ− d

dt

(

p+q

cA)

= 0 .


Agora, de uma relacao vetorial, temos

∇(A · B) = (A · ∇)B+ (B · ∇)A+ A× (∇× B) + B× (∇× A) .

Usando ~β em lugar de B, sabendo que ∇~β = 0 e ∇× ~β = 0, temos

q[

(~β · ∇)A+ ~β × (∇×A)]

− q∇Φ− d

dt

(

p+q

cA)

= 0 .

⇒ d

dt

(

p+q

cA)

= q[

(~β · ∇)A+ ~β × (∇× A)]

− q∇Φ .

(315)


. . .

dp

dt= −q

c

[dA

dt− (v · ∇)A

]

︸︷︷︸

+q[

~β × (∇× A)−∇Φ]

.

[dA

dt− (v · ∇)A

]

︸︷︷︸

=∂A

∂t+ (v · ∇)A− (v · ∇)A ,

onde usamos a definicao da derivada convectiva,

dA

dt=∂A

∂t+ (v · ∇)A .


Portanto,

dp

dt= −q

c

∂A

∂t+ q

[

~β × (∇× A)−∇Φ]

. (316)

Por outro lado,

E = −1

c

∂A

∂t−∇Φ, B = ∇× A

⇒ dp

dt= q

[

E+1

cv × B

]

, a forca de Lorentz . (317)


Obtencao da equacao de movimento das partıculas a

partir de H

Temos

H =

√

c2(

P− q

cA)2

+m2c4 + qΦ

x =∂H

∂PP = −∂H

∂x.

Componente i ,

x i =c2(P i − qAi/c)

H − qΦ= c2

pi

γmc2,

usando (312) e a equacao seguinte.

pi = γmx i (318)


Da equacao para a componente i do momentum,

P i = −[

−qcc2(P− q

cA)·(∂A∂x i

)

H − qΦ+ q

∂Φ

∂x i

]

P i = −[

−qcc2p ·

(∂A∂x i

)

γmc2+ q

∂Φ

∂x i

]

= −[

−qcp ·(∂A∂x i

)

γm+ q

∂Φ

∂x i

]

→ P i = −[

−q

cv ·(∂A

∂x i

)

+ q∂Φ

∂x i

]

= −q[∂Φ

∂x i− 1

cv ·(∂A

∂x i

)]

.

Por outro lado,

P i = pi +q

c

dAi

dt= pi +

q

c

[∂Ai

∂t+ (v · ∇)Ai

]

.

Usando esse resultado na equacao anterior,

pi = −q[∂Φ

∂x i− 1

cv ·(∂A

∂x i

)

+1

c

∂Ai

∂t+

1

c(v · ∇)Ai

]

.


Para interpretar essa equacao de uma outra forma, vamos considerarcomponente a componente.

Para a componente i = 1,

p1 = −q[

∂x1Φ+1

c

(

∂tA1 + v1∂x1A

1

︸︷︷︸+v2∂x2A

1 + v3∂x3A1

)

− 1

cv1∂x1A

1

︸︷︷︸

−1

cv2∂x1A

2 − 1

cv3∂x1A

3

]

.

onde os sımbolos v2, A2, etc. significam as componentes, naopotencias das quantidades.

Cancelando os termos assinalados, e re-escrevendo,

p1 = −q[

∂x1Φ+1

c∂tA

1

︸︷︷︸

+v2

c

(∂x2A

1 − ∂x1A2)

︸︷︷︸+v3

c

(∂x3A

1 − ∂x1A3)

︸︷︷︸

]

p1 = −q[

−E 1−v2

c(∇× A)3 +

v3

c(∇× A)2

︸︷︷︸

]

.

(onde novamente temos as componentes, e nao potencias).


Temos

p1 = −q[

−E 1−v2

c(∇× A)3 +

v3

c(∇× A)2

︸︷︷︸

]

p1 = q

[

E 1 +1

c[v × (∇× A)]1

]

.

Fazendo o mesmo para as demais componentes, teremos

p = q

[

E+1

c(v × B)

]

,

que e novamente a expressao para a forca de Lorentz, como a eq.(317).


Formulacoes Lagrangiana e Hamiltoniana para o campo

eletromagnetico

Ja escrevemos a acao para uma partıcula em um campoeletromagnetico, na forma

S =

∫ b

a

[

−mc ds − q

cAαdx

α]

.

Para o campo propriamente dito, podemos considerar que suas“coordenadas” sao os Aα e suas “velocidades” sao os ∂βAα.

Como se recorda, para sistemas contınuos o Lagrangiano passa a sersubstituıdo por uma densidade Lagrangiana, de modo que

L →∫

d3x L(Φ, ∂αΦ) , (319)

onde Φ e o campo, ou seja, a “coordenada”.


Para a equacao de Euler-Lagrange, terıamos

∂L

∂q− d

dt

∂L∂q

= 0 → ∂L∂Φ− ∂β

[∂L

∂(∂βΦ)

]

= 0 ,

onde fica implıcito um somatorio sobre β.

Ou seja, para o termo devido ao campo, teremos:

Sc =

∫

dt L =

∫

dt

∫

d3x L ⇒∫

d4x L .

O L nao deve depender dos potenciais, que nao sao univocamentedefinidos; deve ser invariante de Lorentz (o que garante que asequacoes de movimento dele originadas tambem o sejam), eesperamos que seja quadratico nas velocidades, a semelhanca do Lpara partıculas.


Satisfazendo esses requisitos, podemos escrever

L ∝ FαβFαβ ,

adotando como constante de proporcionalidade a quantidade(−1/16π).Obs.: A quantidade FαβF

αβ e um escalar de Lorentz; ver o problema11.12, Jackson, 2nd ed., John Wiley, 1975.

Com a adocao dessa contribuicao correspondente ao campo, aintegral de acao fica dada por:

S =

∫ b

a

[

−mc ds − q

cAαdx

α]

− 1

16π

∫

d4x FαβFαβ .


Se ao inves de uma partıcula tivermos um conjunto de partıculas,teremos:

S =∑

i

∫ b

a

ds [−mic]−∫

d4x

[ρ

cAα

dxα

dt+

1

16πFαβF

αβ

]

,

pois∑

i

qiAα(xi ) dxα →

∫

d3x ρAαdxα .

Lembrando a definicao do quadrivetor corrente, teremos

S =∑

i

∫ b

a

ds [−mic]−∫

d4x

[1

cAαJ

α +1

16πFαβF

αβ

]

,

de modo que (usando d4x = d3xdt)

S = −∑

i

∫ b

a

ds mic −∫

d4x

[1

cJαA

α +1

16πFαβF

αβ

]

. (320)


A partir dessa acao que obtivemos, ou seja, do Lagrangiano obtido,podem ser derivadas as equacoes de Euler-Lagrange.

Para obter as equacoes de movimento de partıculas, sujeitas aoscampos, consideramos os campos dados.

Nesse caso, o termo com FαβFαβ aparece como uma constante, e as

equacoes de Euler-Lagrange resultam na forca de Lorentz, como em(317).

Por outro lado, quando procuramos equacoes para os campos,conhecidas as posicoes e momenta das partıculas, as quantidades Jαsao constantes, e as equacoes para os campos sao derivadas daseguinte densidade Lagrangiana,

L = − 1

16πFαβF

αβ − 1

cJαA

α . (321)


Agora, consideremos a seguinte derivada;

∂AγL = −1

cδαγ Jα = −1

cJγ . (322)

∂L∂(∂µAν)

= − 1

16π

∂

∂(∂µAν)

[

gαγFγδgδβF

αβ]

= − 1

16πgαγgδβ

∂

∂(∂µAν)

[

(∂γAδ − ∂δAγ)(∂αAβ − ∂βAα)]

= − 1

16πgαγgδβ

[

(δ γµ δ

δν − δ δ

µ δγν )(∂αAβ − ∂βAα)

+(∂γAδ − ∂δAγ)(δ αµ δ

βν − δ β

µ δαν )]


= − 1

16πgαγgδβ

[

(δγµδδν − δ δ

µ δγν)(∂

αAβ − ∂βAα)

+(∂γAδ − ∂δAγ)(δ αµ δ

βν − δβµδ α

ν )]

= − 1

16π

[

(gαµgνβ − gµβgαν)(∂αAβ − ∂βAα)

+(∂γAδ − ∂δAγ)(gµγgδν − gδµgνγ)]

No ultimo termo trocamos os ındices mudos:

γ → α δ → β ,

→ − 1

16π

[

(gαµgνβ − gµβgαν)(∂αAβ − ∂βAα)

+(∂αAβ − ∂βAα)(gµαgβν − gβµgνα)]


= − 1

16π(∂αAβ − ∂βAα) [(gαµgνβ − gµβgαν) + (gµαgβν − gβµgνα)]

= − 1

16πFαβ [(gαµgνβ − gµβgαν) + (gµαgβν − gβµgνα)]

= − 2

16πFαβ [gαµgνβ − gµβgαν ] ,

onde no ultimo passo usamos a simetria de gαβ = gβα.

Continuando,

→ − 2

16π

[

gαµFαβgνβ − gµβF

αβgαν

]

= − 2

16π

[

gµαFαβgβν − gναF

αβgβµ

]

,

= − 2

16π[Fµν − Fνµ] = −

4

16πFµν ,

uma vez que Fνµ = −Fµν .Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 491 / 603

Ou seja,∂L

∂(∂µAν)= − 1

4πFµν . (323)

Juntando a eq. (322) e a eq. (323), a equacao de Euler-Lagrange ficadada por

∂AνL = ∂µ[

∂L∂(∂µAν)

]

⇒ −1

cJν = − 1

4π∂µFµν .

1

4π∂µFµν =

1

cJν . (324)

Aqui temos as equacoes nao-homogeneas de Maxwell, na formacovariante, as mesmas que ja tınhamos na eq. (291).


Quanto as equacoes homogeneas de Maxwell, sao satisfeitasidenticamente pelos campos Fαβ = ∂αAβ − ∂βAα; como lembramos,os potenciais foram definidos de maneira a satisfazer as equacoeshomogeneas,

B = ∇× A → ∇ ·B = 0 ,

E = −1

c∂tA−∇Φ → ∇× E = −1

c∂tB .

Em notacao covariante, como ja vimos,

∂αF βγ + ∂γFαβ + ∂βF γα = 0 . (325)


Vamos agora tentar obter uma generalizacao para o conceito deHamiltoniano, para descrever os campos:

Quanto temos apenas o tempo como variavel independente, temos

L(q, q, t) , pi =∂L

∂qi, H =

∑

i

pi qi − L .

No caso de sistemas contınuos, onde temos uma densidadeLagrangiana,

L(Φi , ∂tΦi , t) , Πi =∂L

∂(∂tΦi ),

H =∑

i

∂L∂(∂tΦi)

(∂tΦi)− L .


No caso de uma descricao de campos, como estamos nos propondo afazer, temos quatro variaveis independentes; baseados na formahabitual do Hamiltoniano vamos sugerir uma generalizacao, na formado tensor canonico das tensoes (canonical stress tensor),

Tαβ =∑

k

∂L∂(∂αΦk)

∂βΦk − gαβL , (326)

onde os φk sao os campos usados para descrever o sistema.

O tensor Tαβ satisfaz uma propriedade muito importante, que vamosdemonstrar agora.

Consideremos o seguinte:

∂αTαβ =

∑

k

∂α

[∂L

∂(∂αΦk)∂βΦk

]

− ∂αgαβL

=∑

k

[

∂α∂L

∂(∂αΦk)∂βΦk +

∂L∂(∂αΦk)

∂α∂βΦk

]

− ∂βL .


Por outro lado, a equacao de Euler-Lagrange para os campos Φk seriadada por

∂L∂Φk

− ∂α∂L

∂(∂αΦk)= 0 ,

ou, o que e a mesma coisa,

∂L∂Φk

− ∂α ∂L∂(∂αΦk)

= 0 .

Portanto, ficamos com

∂αTαβ =

∑

k

[∂L∂Φk

∂βΦk +∂L

∂(∂αΦk)∂β∂αΦk

]

− ∂βL ,

onde usamos ∂α∂βΦk = ∂β∂αΦk .


Ou seja, continuando,

∂αTαβ =

∑

k

[∂L∂Φk

∂βΦk +∂L

∂(∂αΦk)∂β∂αΦk

]

− ∂βL ,

Se L for apenas funcao de Φk e de suas derivadas,

∂αTαβ = ∂βL(Φk , ∂

αΦk)− ∂βL = 0 .

Provamos entao um resultado muito significativo, e que usaremos noque segue:

∂αTαβ = 0 . (327)


Vamos agora tentar interpretar o significado do tensor pela eq. (326),considerando inicialmente o caso de um campo eletromagnetico novacuo (ausencia de fontes). Nesse caso,

L = − 1

16πFµνF

µν , (328)

Os Φk sao, nesse caso, as componentes Aα.

Usando a definicao (326),

Tαβ =∂L

∂(∂αAλ)∂βAλ − gαβL .

Sabemos que∂L

∂(∂µAν)= − 1

4πFµν ,

→ ∂L∂(∂µAν)

= − 1

4πFµν = −

1

4πgµαFαν ,

Tαβ = − 1

4πgαµFµλ∂

βAλ − gαβL . (329)


Antes de tentar interpretar a eq. (329), consideramos o seguinte:

Fλβ = ∂λAβ − ∂βAλ → ∂βAλ = ∂λAβ − Fλβ .


Tαβ = − 1

4πgαµFµλ

[

∂λAβ − Fλβ]

− gαβL .

= − 1

4πgαµFµλ

[

∂λAβ − Fλβ]

+1

16πgαβFµνF

µν ,

=1

4π

[

gαµFµλFλβ +

1

4gαβFµνF

µν

]

− 1

4πgαµFµλ∂

λAβ ,

onde usamos a eq. (328), valida para o caso sem fontes.


Tomando o ultimo termo da equacao obtida, podemos escrever:

− 1

4πgαµFµλ∂

λAβ = − 1

4πFαλ∂

λAβ

= − 1

4πFαγgγλ∂

λAβ = − 1

4πFαγ∂γA

β = − 1

4πFαλ∂λA

β

=1

4πFλα∂λA

β =1

4π

[

Fλα∂λAβ + Aβ ∂λF

λα

︸︷︷︸

]

,

onde somamos o termo assinalado por ...︸︷︷︸

, que e nulo,

∂λFλα =

4π

cJα = 0 .


Dessa forma,

1

4π

[

Fλα∂λAβ + Aβ ∂λF

λα

︸︷︷︸

]

=1

4π∂λ

[

FλαAβ]

≡ TαβD .

(330)

Ou seja, temos o seguinte:

Tαβ =1

4π

[

gαµFµλFλβ +

1

4gαβFµνF

µν

]

+ TαβD .

Agora, podemos definir o tensor das tensoes simetrico (symmetricstress tensor), Θαβ:

Θαβ ≡ Tαβ − TαβD =

1

4π

[

gαµFµλFλβ +

1

4gαβFµνF

µν

]

.

(331)

Precisamos agora justificar o nome desse tensor, que mencionasimetria. O segundo termo acima e evidentemente simetrico. Vamosagora discutir em detalhe a simetria do primeiro termo.


Simetria do termo gαµFµλFλβ:

gαµFµλFλβ = FαλF

λβ = FανgνλFλβ = FανF β

ν = FανFνµgµβ .

Trocando ν → λ,

FαλFλµgµβ = gβµFλαFµλ = gβµFµλF

λα .

Mostramos a simetria desse termo. Portanto,

Θαβ = Θβα , (332)

c.q.d.


Agora podemos partir para a interpretacao do significado do tensordado pela equacao (331).

Calculando explicitamente,

Θ00 =1

8π

(E 2 + B2

)

Θ0i =1

4π(E× B)i (i= 1, 2, 3) (333)

Θij = − 1

4π

[

EiEj + BiBj −1

2δij(E 2 + B2

)]

.

Ou seja, verificamos o seguinte:

Θ00 e a densidade de energia eletromagnetica;Θ0i e a componente i do vetor de Poynting (dividida por c);Θij , (i , j = 1, 2, 3) representa o negativo do “Maxwell stress tensor”(ver cap. VI), representando o fluxo de momentum.


Agora, apliquemos uma divergencia no tensor TαβD ,

∂αTαβD =

1

4π∂α∂λ

[

FλαAβ]

=1

8π∂α∂λ

[

FλαAβ]

+1

8π∂α∂λ

[

FλαAβ]

=1

8π∂α∂λ

[

FλαAβ]

− 1

8π∂α∂λ

[

FαλAβ]

︸︷︷︸

,

onde usamos a anti-simetria do tensor Fαβ.

Fazendo λ→ α e α→ λ no termo com ...︸︷︷︸

, ficamos com

∂αTαβD =

1

8π∂α∂λ

[

FλαAβ]

− 1

8π∂λ∂α

[

FλαAβ]

= 0 .

Fazendo a divergencia do tensor Θαβ , usando o resultado acima, elevando em conta que podemos usar a eq. (327) uma vez que Ldepende apenas das derivadas dos Aµ, obtemos

∂αTαβ = ∂αΘ

αβ = 0 ,


Portanto, usando os Θαβ , as leis de conservacao ficam expressas daforma seguinte:

∂αΘαβ = 0 . (334)

Ou seja, explicitamente,

β = 0 → ∂αΘα0 = 0 → 1

c

(∂u

∂t+∇ · S

)

= 0 ;

β = i → ∂αΘαi = 0 → ∂gi

∂t−

3∑

j=1

∂

∂xjT

(M)ij = 0 ,

onde gi e uma componente de

g =1

4πc(E× B) =

1

c2S ,

o momentum eletromagnetico.


No caso de campos eletromagneticos interagindo com partıculascarregadas, podemos generalizar as leis de conservacao.

Partimos da eq. (328), incorporando um termo com as fontes,

L = − 1

16πFµνF

µν − 1

cJαA

α , (335)

Usando a definicao (326),

Tαβ =∂L

∂(∂αAλ)∂βAλ − gαβL . (336)

Sabemos que∂L

∂(∂µAν)= − 1

4πFµν ,


→ ∂L∂(∂µAν)

= − 1

4πFµν = − 1

4πgµαFαν ,

Tαβ = − 1

4πgαµFµλ∂

βAλ − gαβL , (337)

a mesma expressao que aquela dada pela eq. (329).

Como ja vimos,

Fλβ = ∂λAβ − ∂βAλ → ∂βAλ = ∂λAβ − Fλβ .


Tαβ = − 1

4πgαµFµλ

[

∂λAβ − Fλβ]

− gαβL ,


= − 1

4πgαµFµλ

[

∂λAβ − Fλβ]

+1

16πgαβFµνF

µν +1

cgαβJµA

µ ,

=1

4π

[

gαµFµλFλβ +

1

4gαβFµνF

µν

]

− 1

4πgαµFµλ∂

λAβ +1

cgαβJµA

µ ,

onde usamos a eq. (335), valida para o caso com fontes.

Tomando o penultimo termo da equacao obtida, podemos escrever:

− 1

4πgαµFµλ∂

λAβ = − 1

4πFαλ∂

λAβ

= − 1

4πFαγgγλ∂

λAβ = − 1

4πFαγ∂γA

β = − 1

4πFαλ∂λA

β

=1

4πFλα∂λA

β =1

4π

[

Fλα∂λAβ + Aβ∂λF

λα − Aβ∂λFλα]

=1

4π

[


λα − Aβ4π

cJα]

,

onde usamos a eq. (324), no ultimo termo.


Dessa forma, ficamos com

1

4π

[


λα − Aβ4π

cJα]

=1

4π∂λ

[

FλαAβ]

− 1

4πAβ

4π

cJα ≡ Tαβ

D − 1

cAβJα . (338)

Ou seja, temos o seguinte na expressao de Tαβ :

Tαβ =1

4π

[

gαµFµλFλβ +

1

4gαβFµνF

µν

]

+TαβD −

1

cAβJα+

1

cgαβJµA

µ ,

Tαβ = Θαβ + TαβD − 1

cAβJα +

1

cgαβJµA

µ ,

onde usamos o tensor das tensoes simetrico (symmetric stress tensor),Θαβ, definido na eq. (331).


Agora, apliquemos uma divergencia nesse tensor. Podemos partir daequacao que aparece pouco antes da eq. (327),

∂αTαβ =

∂L∂Aλ

∂βAλ +∂L

∂(∂αAλ)∂β∂αAλ − ∂βL

Considerando a forma explıcita de L, dada pela eq. (335),

L = − 1

16πFµνF

µν − 1

cJαA

α = L(Aλ, ∂αAλ, Jα) ,

teremos

∂βL =∂L∂Aλ

∂βAλ +∂L

∂(∂αAλ)∂β∂αAλ +

∂L∂Jα

∂βJα

Portanto (usando α→ µ no ultimo termo),

∂L∂Aλ

∂βAλ +∂L

∂(∂αAλ)∂β∂αAλ = ∂βL− ∂L

∂Jµ∂βJµ


Usando essa relacao na expressao anterior, teremos

∂αTαβ = ∂βL − ∂L

∂Jµ∂βJµ − ∂βL = − ∂L

∂Jµ∂βJµ

Portanto,

∂αTαβ = ∂αΘ

αβ + ∂αTαβD − 1

c∂α(A

βJα) +1

c∂α(g

αβJµAµ)

= − ∂L∂Jµ

∂βJµ =1

cAµ∂βJµ

Uma vez que ja vimos que ∂αTαβD = 0, ficamos com

∂αΘαβ − 1

c∂α(A

βJα) +1

c∂α(g

αβJµAµ)− 1

cAµ∂βJµ = 0


Na expressao anterior, temos

−∂α(AβJα) + ∂α(gαβJµA

µ) = −Jα∂αAβ − Aβ∂αJα + ∂β(JµA

µ)

= −Jα∂αAβ + ∂β(JµAµ) ,

onde usamos a eq. da continuidade, ∂αJα = 0.

Fazendo α→ µ no primeiro termo, ficamos com

= −Jµ∂µAβ + ∂β(JµAµ) = −Jµ∂µAβ + Jµ∂

βAµ + Aµ∂βJµ

= −JµFµβ + Aµ∂βJµ = F βµJµ + Aµ∂βJµ .

Retornando com essa expressao para a expressao do divergente dotensor Θαβ,

∂αΘαβ = −1

cF βµJµ −

1

cAµ∂βJµ +

1

cAµ∂βJµ

→ ∂αΘαβ = −1

cF βµJµ .


Podemos fazer de outra forma, partindo diretamente da eq. (331),

∂αΘαβ =

1

4π∂α

[

gαµFµλFλβ +

1

4gαβFµνF

µν

]

,

∂αΘαβ =

1

4π

[

∂µFµλFλβ +

1

4∂βFµλF

µλ

]

,

onde trocamos ν → λ, no segundo termo, uma vez que se trata deum ındice mudo.

Prosseguindo,

∂αΘαβ =

1

4π

[

(∂µFµλ)Fλβ + Fµλ∂

µFλβ +1

4(∂βFµλ)F

µλ +1

4Fµλ∂

βFµλ]

∂αΘαβ =

1

4π

[4π

cJλF

λβ + Fµλ∂µFλβ +

1

4(∂βFµλ)Fµλ +

1

4Fµλ∂

βFµλ]

,


∂αΘαβ =

1

cJλF

λβ +1

4π

[

Fµλ∂µFλβ +

1

2Fµλ∂

βFµλ]

,

∂αΘαβ =

1

cJλF

λβ +1

8πFµλ

[

∂µFλβ + ∂µFλβ + ∂βFµλ]

.

Usando as equacoes homogeneas de Maxwell, dadas pela eq. (325),

∂αΘαβ =

1

cJλF

λβ +1

8πFµλ

[

∂µFλβ − ∂λF βµ]

,

∂αΘαβ =

1

cJλF

λβ +1

8πFµλ

[

∂µFλβ + ∂λFµβ]

,

∂αΘαβ =

1

cJλF

λβ +1

8π

[

Fµλ∂µFλβ + Fλµ∂

µFλβ]

,

onde no ultimo termo trocamos os ındices mudos λ→ µ e µ→ λ.


Agora, levando em conta a anti-simetria do tensor Fµλ, ocorrecancelamento dos termos entre colchetes, e ficamos com

∂αΘαβ =

1

cJλF

λβ .

Ou seja, as leis de conservacao ficam da forma seguinte (ver Jackson,2nd ed., John Wiley, 1975, Sec. 12.10, (c)):

∂αΘαβ = −1

cF βλJλ . (339)

Escrevendo explicitamente,

β = 0 → ∂αΘα0 = −1

cF 0λJλ ,

→ 1

c

(∂u

∂t+∇ · S

)

= −1

cJ · E ;


Prosseguindo,

β = i → ∂αΘαi = −1

cF iλJλ ,

→ ∂gi∂t−

3∑

j=1

∂

∂xjT

(M)ij = −

[

ρEi +1

c(J× B)i

]

,

onde gi e uma componente de

g =1

4πc(E× B) =

1

c2S ,

o momentum eletromagnetico.

Definindo o quadrivetor densidade de forca de Lorentz,

f β ≡ 1

cF βλJλ =

[1

cJ · E , ρE+

1

c(J× B)

]

,

temos

∂αΘαβ + f β = 0 . (340)


Sistemas radiantes simples

Vimos anteriormente que podemos escolher um conjunto depotenciais que obedecem ao calibre de Lorentz, ∇ ·A+(1/c)∂tΦ = 0.

Esses potenciais entao obedecem a equacao da onda, nao-homogenea:

∇2Φ− 1

c2∂2

∂t2Φ = −4πρ ,

∇2A− 1

c2∂2

∂t2A = −4π

cJ .

Ja vimos tambem que a solucao da equacao da onda (solucaoparticular) pode ser expressa na forma:

A(x, t) =1

c

∫

d3x′∫

dt ′J(x′, t ′)|x− x′| δ

[

t ′ −(

t − |x− x′|c

)]

, (341)

com uma expressao similar para Φ(x, t).


Sejaρ(x, t) = ρ(x)e−iωt , J(x, t) = J(x)e−iωt . (342)

Usando a expressao de J e fazendo a integracao em t ′,

A(x, t) =1

c

∫

d3x′J(x′)|x− x′|e

i(ω/c)|x−x′ |e−iωt ,

⇒ A(x) =1

c

∫

d3x′J(x′)|x− x′|e

ik|x−x′| , (343)

onde k = ω/c e o chamado numero de onda.

No denominador temos

|x− x′| =[x2 + x ′2 − 2x · x′

]1/2.


Se fonte tiver dimensao da ordem de “d ′′, e se r = |x| >> d , teremos

|x− x′| ≃[r2 − 2rn · x′

]1/2 ≃ r[

1− n

r· x′]

= r − n · x′ . (344)

Usando a eq. (344) na eq. (343), e mantendo apenas o primeirotermo,

A(x) =1

c

∫

d3x′J(x′)r

e ikr =e ikr

cr

∫

d3x′ J(x′) .

Vamos considerar a componente i da integral que aparece naexpressao anterior, ∫

d3x′ Ji = ?

Consideremos o seguinte:

∇ · (xiJ) = J · ∇xi + xi∇ · J = Ji + xi∇ · J ,

⇒ Ji = ∇ · (xiJ)− xi∇ · J .Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 519 / 603

Portanto,∫

d3x′ Ji =

∫

d3x ′ ∇′ · (x ′i J)−∫

d3x ′ x ′i (∇′ · J)

=

∮

d2x ′ (x ′i J) · ns −∫

d3x ′ x ′i (∇′ · J) .

Como a fonte e localizada, o termo de superfıcie e nulo, e ficamoscom

∫

d3x′ Ji = −∫

d3x ′ x ′i (∇′ · J) .

Usando esse resultado,

A(x) = −e ikr

cr

∫

d3x′ x′(∇′ · J) .

Da equacao da continuidade,,

∂tρ+∇ · J = 0 , ⇒ −iωρ = −∇ · J ,


. . .

⇒ A(x) = −e ikr

cr

∫

d3x′ (iωρ)x′ .

⇒ A(x) = −e ikr

cr(iω)

∫

d3x′ ρx′

︸︷︷︸

p

.

⇒ A(x) = − iω

cre ikrp . = − ik

re ikrp . (345)

Podemos obter os campos, fazendo

B = ∇× A , (346)

∇× B =4π

cJ+

1

c∂tE ;


Fora da fonte, J = 0, de modo que

∇× B = − iω

cE ,

E =i

k∇× B . (347)

Usando a expressao de A,

B = ∇×[

− ik

re ikrp

]

= −ik∇×(e ikr

rp

)

,

= −ik

∇(e ikr

r

)

× p+e ikr

r∇× p︸︷︷︸

=0

,


B = −ik ikre ikr

[

1− 1

ikr

]

(n× p)

B = k2e ikr

r

(

1− 1

ikr

)

(n× p) (348)

Usando a eq. (347),

E =i

k∇× B =

i

kk2∇× (aψ) ,

onde

a = n× p , ψ =e ikr

r

(

1− 1

ikr

)

.

⇒ E = ik [∇ψ × a+ ψ∇× a] .


Detalhando os calculos,

∇× a = ∇× (n× p) = n(∇ · p)− p(∇ · n) + (p · ∇)n− (n · ∇)p .

Os termos com operadores aplicados a p sao nulos (p nao depende der), o que nos leva a

∇× a = (p · ∇)n− p(∇ · n) .

∇ψ = ∂r

[e ikr

r

(

1− i

ikr

)]

n

=

[

ikψ + e ikr(

− 1

r2+

2

ikr3

)]

n

=

[

ikψ +e ikr

r2

(

−1 + 2

ikr

)]

n .


E = ik

ikψ[n× (n× p)] +e ikr

r2

(

−1 + 2

ikr

)

[n× (n× p)]

+ ψ [(p · ∇)n− p(∇ · n)]

Temos

p(∇ · n) = p∇ · xr= p

[

x · ∇(1

r

)

+1

r∇ · x

]

= p

[

x ·(

− 1

r2

)

n+3

r

]

= p

[

−x · xr3

+3

r

]

=2

rp .


Temos tambem

(p · ∇)n =∑

i

pi∂in =∑

i

pi∂ix

r=∑

i

pi

[∂ix

r+ x∂i

1

r

]

=p

r+ x

∑

i

pi

(

− 1

r2

)

∂i r︸︷︷︸

xi/r

=p

r− x

r3(p · x)

=p

r− n(p · n)

r.

Usando esses resultados,

E = −k2ψ[n× (n× p)] + ike ikr

r2

(

−1 + 2

ikr

)

[n× (n× p)]

+ ike ikr

r

(

1− 1

ikr

)[p

r− n(p · n)

r− 2

rp

]

.


Prosseguindo,

E = −k2 eikr

r

(

1− 1

ikr

)

[n× (n× p)]

+ ike ikr

r2

(

−1 + 2

ikr

)

[n× (n× p)]

+ ike ikr

r

(

1− 1

ikr

)[

−p

r− n(p · n)

r

]

= −k2 eikr

r[n× (n× p)]

+

[k

ir2e ikr +

ik

r2e ikr

(

−1 + 2

ikr

)]

[n× (n× p)]

− ike ikr

r2

(

1− 1

ikr

)

[p− n(p · n)] .


Usando n× (n× p) = [n(p · n)− p], e re-escrevendo,

E = −k2 eikr

r[n× (n× p)]

+ [n(p · n)]eikr

r

(

− ik

r− ik

r+

2

r2− ik

r+

1

r2

)

+ pe ikr

r

(ik

r+

ik

r− 2

r2− ik

r+

1

r2

)

,

E = k2e ikr

r[(n× p)× n]

+ [3n(p · n)](

1

r3− ik

r2

)

e ikr

− pe ikr(

1

r3− ik

r2

)


Ou seja,

E = k2e ikr

r[(n× p)× n] (349)

+ [3(n · p)n− p]

(1

r3− ik

r2

)

e ikr .

Obs.:

B ∼ (n× p) , ⇒ ⊥ a n ;

E tem componentes ‖ e ⊥ a n !


Na chamada zona de radiacao, onde r >> λ >> d , temos

B = k2(n× p)e ikr

r,

E = B× n . (350)

Vemos que, na zona de radiacao, E e B sao ∼ (1/r), e E ⊥ B!

Na chamada zona proxima, onde d << r << λ, temoskr = (2πr/λ) << 1, de modo que ficamos com

B =ik

r2(n× p) ,

E =3(n · p)n− p

r3. (351)

Vemos que E e o mesmo campo de um dipolo eletrico estatico, poremaqui oscilando no tempo; |B| e um fator (kr) menor do que |E|.


Potencia irradiada

Vamos escrever o vetor de Poynting na forma seguinte:

S =1

2

c

4π(E× B∗) .

O vetor S representa a media temporal do fluxo de energia (ver p.272, Jackson 1975 [2]).

FazendodP = S · n r2dΩ

︸︷︷︸

da

,

teremosdP

dΩ=

c

8π

[r2n · (E× B∗]

Re .

Usando os campos de radiacao,

E×B∗ = (B×n)×B∗ = −B∗×(B×n) = − [(B∗ · n)B − (B∗ · B)n] .


Como B ⊥ n, o primeiro termo e nulo, e temos E× B∗ = B2n.

⇒ dP

dΩ=

c

8π

[r2B2

]=

c

8πk4

r2

r2|n× p|2 = c

8πk4|n× p|2 .

Fazendo θ o angulo entre as direcoes de p e de n

|n× p|2 = p2 sin2 θ ,

dP

dΩ=

c

8πk4|p|2 sin2 θ . (352)

A eq. (352) nos da a distribuicao angular da radiacao de dipoloeletrico.

Para obter a potencia total irradiada,

P =

∫

dΩdP

dΩ=

c

8πk4|p|2

∫ 2π

0dφ

︸︷︷︸

2π

∫ π

0dθ sin3 θ

︸︷︷︸

4/3

,

⇒ P =ck4

3|p|2 . (353)


Vamos agora incluir termos de ordem mais alta:

A(x) =1

c

∫

d3x ′J(x′)e ik(r−n·x′)

r − n · x′

=e ikr

cr

∫

d3x ′J(x′)e−ik(n·x′)

1− n·x′r

≃ e ikr

cr

∫

d3x ′ J(x′)e−ik(n·x′)[

1 +n · x′r

]

≃ e ikr

cr

∫

d3x ′ J(x′)

[

1 +n · x′r− ik(n · x′)− ik

r(n · x′)2

]

.

O 1o. termo fornece a contribuicao de dipolo eletrico, ja discutida.

O ultimo termo e de ordem 2 em (n · x′), e sera portantodesconsiderado.


Denotando A1 como a contribuicao de dipolo, ficamos com

A(x) = A1(x) +e ikr

cr

∫

d3x ′ J(x′)(n · x′)[1

r− ik

]

. (354)


(x′ × J)× n = (x′ · n)J− x′(J · n)

⇒ 1

c(n · x′)J(x′) = 1

2c

[(n · x′)J+ (J · n)x′

]+

1

2c(x′ × J)

︸︷︷︸

M

×n ,

onde M e a magnetizacao.

Portanto . . .


. . .

A(x) = A1(x) +e ikr

r

∫

d3x ′(1

r− ik

)

×[1

2c

[(n · x′)J+ (J · n)x′

]+M× n

]

.

O termo com a magnetizacao pode ser re-escrito:

AM(x) =e ikr

r

∫

d3x ′(1

r− ik

)

[M× n] ,

AM(x) =e ikr

r

(1

r− ik

)[∫

d3x ′ M

]

︸︷︷︸

m

×n ,

AM(x) = ik(n×m)e ikr

r

(

1− 1

ikr

)

. (355)


Portanto, B devido a este termo de magnetizacao sera dado por

B = ∇×AM =1

k∇×

[

k2(n×m)e ikr

r

(

1− 1

ikr

)]

.

O calculo do rotacional pode ser feito mediante consulta as eqs.(348) e (349), resultando

B = k2e ikr

r[(n×m)× n] (356)

+ [3(n ·m)n−m]

(1

r3− ik

r2

)

e ikr .

Prosseguindo, com o uso da lei de Faraday,

∇× E = −1

c∂tB = i

ω

cB


⇒ B = − i

k∇× E .

Por outro lado, B = ∇× A, de modo que reconhecemos

− i

kE = A , ou E = ikA ;

usando a eq. (355), temos

E = −k2 eikr

r

(

1− 1

ikr

)

(n×m) . (357)


Os campos gerados por distribuicoes do tipo dipolo magnetico sao domesmo tipo que os gerados por distribuicoes do tipo dipolo eletrico,com as trocas:

Dipolo eletrico Dipolo magnetico

p m

E B

B −E

Quanto a polarizacao:

Dipolo eletrico: E no plano formado por p e n.

Dipolo magnetico: E ⊥ ao plano formado por m e n.


Temos ainda outro termo no potencial vetor, que podemos denotarcom o ındice θ,

Aθ(x) =e ikr

r

(1

r− ik

)∫

d3x ′1

2c

[(n · x′)J+ (J · n)x′

].

Esse termo pode ser manipulado, e mostra-se que, na regiaor >> λ >> d , os campos sao dados por:

B = ik(n× A) , E = ik(n× A)× n ;

Vemos que E ⊥ B, e E e B sao ⊥ a n.

Alem disso, mostra-se que

B = − ik3

6

e ikr

r(n×Q(n)) , (358)

onde Q(n) tem componentes Qα =∑

β Qαβnβ.


Mostra-se, ainda, que a potencia total irradiada devido a esse termo edada por

P =ck6

360

∑

αβ

|Qαβ|2 . (359)

O aspecto a ser enfatizado aqui e a dependencia ω6, enquanto que nocaso de dipolos a dependencia era ω4.

Esse processo de expansao multipolar pode prosseguir, mas torna-secada vez mais difıcil. Existe uma abordagem sistematica, que naoveremos, cujos elementos basicos sao apresentados a seguir.

Segundo essa abordagem sistematica, a solucao geral das equacoes deMaxwell longe das fontes pode ser escrita como (ver eq. (16.46) daRef. [2]):

. . .


. . .

B =∑

ℓm

[

aE (ℓ,m)fℓ(kr)Xℓm −i

kaM(ℓ,m)∇× gℓ(kr)Xℓm

]

E =∑

ℓm

[i

kaE (ℓ,m)∇× fℓ(kr)Xℓm + aM(ℓ,m)gℓ(kr)Xℓm

]

(360)

Os coeficientes aE (ℓ,m) e aM(ℓ,m) informam os “pesos” com queentram os campos multipolares de ordem ℓ e m, eletricos emagneticos.

fℓ(kr) e gℓ(kr) sao do tipo A(1)ℓ h

(1)ℓ (kr) + A

(2)ℓ h

(2)ℓ (kr), onde

h(1,2)ℓ (x) =

( π

2x

)1/2 [Jℓ+1/2(x)± iNℓ+1/2(x)

],

(Jν e Nν sao funcoes de Bessel e Neumann).

Xℓ,m(θ, φ) =1

√

ℓ(ℓ+ 1)LYℓ,m(θ, φ) , L =

1

i(r ×∇) .


Aplicacao: espalhamento

Vamos discutir apenas algumas breves nocoes sobre espalhamento,como uma das muitas aplicacoes do estudo de radiacao.

A ideia basica e: uma onda incidente induz alteracoes na distribuicaode cargas e correntes. A distribuicao gerada pode ser expressa naforma de uma expansao multipolar.

Se λ >> d (tamanho tıpico dos “centros espalhadores”), osmultipolos de ordem mais baixa serao os mais importantes.

Se tivermos uma onda incidente, com um campo de amplitude E0 epolarizacao ǫ0, teremos o campo incidente,

Einc = ǫ0E0eikn0·x .


O campo gerado pelo espalhamento, na aproximacao de momentosdipolares, sera dado por (na regiao r >> λ >> d):

Eesp = EDE + EDM = k2e ikr

r[(n× p)× n− (n×m)] . (361)

Define-se a secao de choque de espalhamento diferencial, comosendo a potencia irradiada na direcao n, com polarizacao ǫ, porunidade de angulo solido, por unidade de fluxo incidente na direcaon0 com polarizacao ǫ0:

dσ

dΩ(n, ǫ,n0, ǫ0) =

r2(c/8π)|ǫ∗ · Eesp |2(c/8π)|ǫ∗0 · Einc |2

. (362)


Usando a eq. (362) e a expressao para Einc ,

dσ

dΩ=

r2(c/8π)(k4/r2)|ǫ∗ · (n× p)× n− ǫ∗ · (n×m)|2(c/8π)|E0|2

=k4

E 20

∣∣∣∣−ǫ∗ ·

[(n · p)n− n2p

]− ǫ∗ · (n×m)

∣∣∣∣

2

.

O primeiro termo e nulo, pois ǫ∗ e ⊥ a n.

No segundo termo, usaremos n2 = 1.

No terceiro termo, podemos usar a seguinte propriedade:

ǫ∗ · (n×m) = −ǫ∗ · (m× n) = −m · (n× ǫ∗) .

O resultado e

dσ

dΩ=

k4

E 20

∣∣∣∣ǫ∗ · p+ (n× ǫ∗) ·m

∣∣∣∣

2

. (363)


A secao de choque de espalhamento mostra uma dependencia λ−4.Essa dependencia e tıpica de espalhamento dipolar, e e conhecidacomo lei de Rayleigh.

Se tivermos uma colecao de centros espalhadores, cada um naposicao xj , generalizamos a expressao (363),

dσ

dΩ=

k4

E 20

∣∣∣∣

∑

j

(ǫ∗ · pj + (n× ǫ∗) ·mj) ei(kn−kn0)·xj

∣∣∣∣

2

.

Obs.: momentos proporcionais ao campo incidente; fator de fasee−ikn·xj .

Se todos os centros espalhadores forem identicos:

dσ

dΩ=

k4

E 20

∣∣∣∣ǫ∗ · p+ (n× ǫ∗) ·m

∣∣∣∣

2 ∣∣∣∣

∑

j

e i(kn−kn0)·xj∣∣∣∣

2

︸︷︷︸

F(q)

,

onde q = kn0 − kn.


A quantidade F(q) e conhecida como fator de estrutura.

Se os espalhadores estiverem distribuıdos aleatoriamente,F(q)→ NT , uma vez que

∣∣∣∣

∑

j

e iq·xj∣∣∣∣

2

=∑

j

∑

k

e iq·(xj−xk) .

Os termos com j 6= k tendem a se anular e so restam os termos comj = k .

Nesse caso, o espalhamento e dito uma superposicao incoerente decontribuicoes individuais.

Obs.: NT : numero de moleculas.


Vamos considerar agora o espalhamento por moleculas do ar.

Cada molecula tem m = 0 e pj = γmolE(xj ). Portanto,

dσ

dΩ=

k4

E 20

|γmol |2|ǫ∗ · ǫ0|2E 20F(q)

= NT k4|γmol |2|ǫ∗ · ǫ0|2 .

Constante dieletrica do gas,

ǫ = 1 + 4πNγmol ,

onde N e o numero de moleculas por unidade de volume.

dσ

dΩ= NT k

4 |ǫ− 1|216π2N2

|ǫ∗ · ǫ0|2 .

|ǫ∗ · ǫ0|2 = cos2 θ ,

⇒ σ = NTk4 |ǫ− 1|216π2N2

∫

dΩ cos2 θ

︸︷︷︸

8π/3

.


A secao de choque de espalhamento por molecula sera dada entao por

σM =k4

6πN2|ǫ− 1|2 .

Quando a radiacao atravessa uma espessura dx , ha uma perda defluxo por espalhamento, a qual depende da fracao do volume ocupadopelas moleculas, dI = −(NσMdx)I ,

⇒ I (x) = I0e−αx , onde α = NσM .

Portanto,

σM =k4

6πN2|ǫ− 1|2 = k4

6πN2|n2 − 1|2 =

k4

6πN2(n − 1)2(n + 1)2 .

Teremos (n − 1) << 1, e (n + 1)2 ≃ 4, de modo que

α = NσM =2

3

k4

πN|n − 1|2 .


Alguns dados numericos relativos a intensidade (relativa) podem serobtidos na Ref. [2], p. 423:

Vermelho (λ ≃ 6500A): no zenite, 0,96; no por-do-Sol, 0,21.

Verde (λ ≃ 5200A): no zenite, 0,90; no por-do-Sol, 0,024.

Violeta (λ ≃ 4100A): no zenite, 0,76; no por-do-Sol, 0,000665.


Radiacao por cargas moveis

Vamos agora ver alguns topicos a respeito da emissao de radiacao porcargas moveis.

Conforme ja vimos, podemos escrever o quadrivetor Jα,

Jα = (cρ, J) .

Assim, se tivermos uma distribuicao localizada de cargas e correntes,o quadrivetor potencial pode ser obtido de

Aµ(x, t) =1

c

∫

d3x ′∫

dt ′Jµ(x′, t ′)|x− x′| δ

[

t ′ −(

t − |x− x′|c

)]

. (364)

Se a distribuicao for uma carga puntiforme movendo-se comvelocidade v,

Jα = (cq, qv)δ[x − r(t)] = cq(1, ~β)δ[x − r(t)] . (365)


Isso nos leva a

Aµ(x, t) = q

∫

dt ′βµ(t ′)R(t ′)

δ

[

t ′ −(

t − R(t ′)c

)]

, (366)

βµ = (1, ~β) ,

R(t ′) = |x− r(t ′)| ,

δ

[

t ′ −(

t − R(t ′)c

)]

=δ(t ′ − t0)

∣∣∣ddt′

(

t ′ + R(t′)c

)∣∣∣

,

onde t0 e solucao de t ′ + R(t ′)/c = t.


Queremos calcular uma quantidade na posicao x.

Vamos fazer n o vetor unitario ao longo de x, r o vetor que apontapara a posicao da partıcula, e R o vetor que aponta da partıcula parao ponto de observacao.

r

R

x

P

n


Teremos entaoR = x− r .

Para pontos distantes,

R(t ′) ≃ |x| − n · r ,

⇒ dR

dt ′= −n · v ,

(

v =dr

dt ′

)

.

Dessa forma,

d

dt ′

(

t ′ +R(t ′)c

)

= 1 +1

c

dR

dt ′=(

1− n · ~β)

.


Voltando a eq. (366),

Aµ(x, t) = q

∫

dt ′βµ(t ′)R(t ′)

δ(t ′ − t0)

|1− n · ~β|,

Aµ(x, t) = q

[

βµ(t ′)

R |1− n · ~β|

]

t′=t−R(t′)/c

, (367)

Explicitamente, podemos escrever os chamados potenciais deLienard-Wiechert para uma partıcula puntiforme,

Φ(x, t) =

[

q

R |1− n · ~β|

]

ret

, A(x, t) =

[

q~β(t ′)

R |1− n · ~β|

]

ret

,

(368)

onde (ret) significa “calculado em t ′ = t − R(t ′)/c”.


A partir dos potenciais, podem ser obtidos os campos (comosabemos, na formulacao covariante temos Fαβ = ∂αAβ − ∂βAα).Omitindo os detalhes: os campos produzidos por uma carga emmovimento, obtidos a partir dos potenciais de Lienard-Wiechert, saodados por:

E(x, t) = q

[

n− ~β

γ2(1− n · ~β)3R2

]

ret

+q

c

n×[

(n− ~β)× ~β]

(1− n · ~β)3R

ret

,

B(x, t) = [n× E]ret . (369)

Os termos contendo ~β sao chamados “campos de aceleracao”, e

caem com R−1. Os termos que nao contem ~β sao chamados “camposde velocidade”, e caem com R−2.


Interpretacao dos campos de velocidade

Os campos de velocidade, calculados no tempo “retardado”,representam os campos gerados por uma carga em movimento comuma dada velocidade. A expressao que aparece em (369) coincidecom a expressao obtida via transformacao de Lorentz.

Consideremos uma carga q, movendo-se com velocidade v eobservada na posicao O (ver figura).

d e a distancia que a partıcula percorre enquanto a luz percorre adistancia R :

∆t =R

c, ⇒ d = v∆t =

v

cR = βR .

A luz que percorre a distancia R chega a O no instante em que apartıcula chega ao ponto P .


r

q

n

R

Q

P

O

θ

b

d

v

^


Chamando de −t o instante de tempo em que a luz chega a O, et = 0 o instante em que a partıcula passa pela origem, teremos¿

r2 = v2t2 + b2 .

Portanto,

OQ = R − d cos θ = R − (Rβ) cos θ = R(1− n · ~β) .

Por outro lado,R2(1− n · ~β)2 = r2 − PQ

2,

R2(1− n · ~β)2 = r2 − β2R2 sin2 θ = r2 − β2b2 = b2 + v2t2 − β2b2

= b2(1− β2) + v2t2 =b2

γ2+ v2t2 =

1

γ2(b2 + γ2v2t2

). (370)


Das transformacoes de Lorentz, tınhamos:

E‖ =qγvt

(b2 + γ2v2t2)3/2

E⊥ =qγb

(b2 + γ2v2t2)3/2e⊥ . (371)

Das eqs. (369), os campos de velocidade sao

E‖ = q

[

|n‖| − βγ2(1− n · ~β)3R2

]

ret

,

E⊥ = q

[

Rn⊥

γ2(1− n · ~β)3R3

]

ret

.

Nessa ultima expressao, temos Rn⊥ = R sin θ e⊥ = b e⊥.


Portanto,

E⊥ =

[

qγbe⊥

γ3(1− n · ~β)3R3

]

ret

=

[qγbe⊥

(b2 + γ2v2t2)3/2

]

ret

.

Vemos que essa expressao concorda com a eq. (371).

Por outro lado, Rn‖ = R cos θ, de modo que

E‖ = q

[

R cos θ − βRγ2(1− n · ~β)3R3

]

ret

= q

[

βR + vt − βRγ2(1− n · ~β)3R3

]

ret

=

[qγvt

(b2 + γ2v2t2)3/2

]

ret

,

que tambem concorda com a eq. (371).


Campos de uma carga acelerada

Vamos considerar inicialmente o caso nao-relativıstico. A grandedistancia da carga, considerando apenas os termos em R−1, temos

E(x, t) =q

c

n×[

n× ~β]

R

ret

, B(x, t) = [n× E]ret , (372)

onde usamos (1− n · ~β) ≃ 1.

Escrevendo o vetor de Poynting:

S =c

4πE× B =

c

4πE× (n× E)

=c

4π

(E · E)n− (E · n)︸︷︷︸

=0

E

=c

4π|E|2n .


A potencia irradiada por unidade de angulo solido fica dada por:

dP

dΩ= (S · n) R2 =

c

4π|RE|2 = q2

4πc

∣∣∣n× (n× ~β)

∣∣∣

2

. (373)

Seja θ o angulo entre v e n,

dP

dΩ=

q2

4πc3|v|2 sin2 θ . (374)

Potencia total irradiada:

P =q2

4πc3|v|2(2π)

∫ π

0dθ sin3 θ =

q2

2c3|v|2

∫ 1

−1dx (1− x2)

︸︷︷︸

4/3

.

O resultado obtido e a chamada Formula de Larmor,

P =2

3

q2

c3|v|2 . (375)


Para uma generalizacao relativıstica, vamos propor (para discussaoposterior) que a potencia irradiada seja dada pelo seguinte expressao:

P = −2

3

e2

m2c3

(dpµ

dτ

dpµdτ

)

. (376)

Obs.: −(dpµ

dτ

dpµdτ

)

= −[(

1

c

dE

dτ

)2

−∣∣∣∣

dp

dτ

∣∣∣∣

2]

.

No caso particular de movimento linear,

∣∣∣∣

dp

dτ

∣∣∣∣=

dp

dτ, onde p = |p| .

Portanto,

−(dpµ

dτ

dpµdτ

)

⇒ −[(

1

c

dE

dτ

)2

−(dp

dτ

)2]

.


TemosE =

(m2c4 + p2c2

)1/2;

1

c

dE

dτ=

1

c

1

2E2c2p

dp

dτ=

pc

E

dp

dτ,

⇒ 1

c

dE

dτ=

v

c

dp

dτ= β

dp

dτ,

onde usamos E = γmc2 = γmv(c2/v) = p(c2/v) .

Portanto,

−(dpµ

dτ

dpµdτ

)

= −[(

1

c

dE

dτ

)2

−(dp

dτ

)2]

=

(dp

dτ

)2(1− β2

)=

1

γ2

(dp

dτ

)2

=

(dp

dt

)2

,

pois τ = t/γ.


Portanto, no caso de movimento linear, a generalizacao da formula deLarmor pode ser escrita como

P =2

3

q2

m2c3

(dp

dt

)2

.

Podemos re-escrever essa expressao, usando

p =d

dt(γmv) = γmv +

mv2

c2γ3v = γmv

(1 + γ2β2

)

= γ3mv(1− β2 + β2

)= γ3mv .

⇒ P =2

3

q2

m2c3γ6m2(v)2 =

2

3

q2

c3v2γ6 .

(ver eq. (381), um pouco mais adiante).

O fator γ6 pode fazer uma diferenca notavel, entre partıculasrelativısticas e nao-relativısticas.


Consideremos a partıcula acelerada movendo-se uma distancia ∆x :

∆E =dp

dt∆x ⇒ P =

2

3

q2

m2c3

(dE

dx

)2

=2

3

q2

m2c3

(dE

dx

)dE

dt

dt

dx.

Ou seja,P

(dE/dt)=

2

3

q2

m2c31

v

(dE

dx

)

.

P e a potencia irradiada pela partıcula, dE/dt e a potencia fornecidapor uma fonte externa.

Vemos que, para que P ≃ dE/dt, devemos ter

∆E

∆x∼ mc2

(q2/mc2).

Ou seja,∆E

∆x∼ 0, 511 MeV

2, 82 × 1013≃ 2× 1014 MeV/m .


Tipicamente, dE/dx ≃ 10 MeV/m; ou seja, podemos concluir queperdas por radiacao sao desprezıveis em aceleradores lineares.

Vamos agora examinar o caso de aceleradores circulares. Lembremosque, em geral,

P =2

3

q2

m2c3

[∣∣∣∣

dp

dτ

∣∣∣∣

2

−(1

c

dE

dτ

)2]

.

Em um acelerador circular, o ganho de energia por revolucao epequeno.

Por outro lado, o termo com a variacao de momentum pode sergrande, se a frequencia angular for grande. pois

∣∣∣∣

dp

dτ

∣∣∣∣= γ

∣∣∣∣

dp

dt

∣∣∣∣= γω |p| .

Logo,

P ≃ 2

3

q2

m2c3γ2ω2 |p|2 .


Para movimento circular, ω = v/ρ = cβ/ρ, onde ρ e o raio da orbita,

P =2

3

q2

m2c3γ2

c2β2

ρ2|p|2 = 2

3

q2

m2c3γ2

c2β2

ρ2γ2m2v2

=2

3

q2c

ρ2γ4β4 .

A perda de energia por revolucao pode ser dada por:

δE = PT = P2π

ω= P

2πρ

cβ,

δE =4π

3

q2

ρβ3γ4 . (377)


Como exemplo, podemos considerar o caso de um “low energysynchrotron”, com ρ = 1 m, Emax ≃ 0,3 GeV= 3× 105 keV; Nessecaso, o resultado e δEmax ≃ 1 keV [2].

Essa quantidade e nao desprezıvel comparada com o ganho de energiapor revolucao (que e de apenas alguns keV).

Aplicacao: O sıncrotron como fonte de radiacao.

wigglers e undulators.


Distribuicao angular da radiacao emitida por uma carga

acelerada:

Novamente, partimos dos campos de aceleracao,

E(x, t) =q

c

n×[

(n− ~β)× ~β]

(1− n · ~β)3R

ret

,

B(x, t) = [n× E]ret .

⇒ S =c

4π|E|2n .

(S · n) = q2

4πc

[1

κ6R2

∣∣∣n×

[

(n− ~β)× ~β]∣∣∣

2]

ret

, (378)

onde κ = 1− n · ~β.


Vamos definir a potencia irradiada por unidade de angulo solido (notempo da fonte) pela seguinte expressao:

dP

dΩ(t ′) = R2 (S · n) dt

dt ′︸︷︷︸

d2Edtda

dtdt′

= d2Edt′da

. (379)

Temos

t = t ′ +R(t ′)c

, ⇒ dt

dt ′= 1− n · ~β = κ ,

dP

dΩ= κR2(S · n)

dP

dΩ= κR2 q2

4πcR2

1

κ6

∣∣∣n×

[

(n− β)× ~β]∣∣∣

2

.

Definindo θ como o angulo entre ~β e n, no caso em que β e ~β saoparalelos, temos

dP

dΩ=

q2

4πc3|v|2 sin2 θ

(1− β cos θ)5. (380)


θ vβ << 1

β −−> 1 v

P( )θ

θ

P( )θ


A potencia total irradiada, nesse caso de β e ~β paralelos, pode serdada por

P =

∫

dΩdP

dΩ=

q2

4πc3|v|2

∫

dΩsin2 θ

(1− β cos θ)5

P =2

3

q2

c3|v|2γ6 . (381)

Obs.: Da eq. (381),

P =2

3

q2

m2c3|γmv|2γ4 = 2

3

q2

m2c3

∣∣∣∣

p

γ2

∣∣∣∣

2

γ4

=2

3

q2

m2c3|p|2 ,

onde usamos p = γ3mv (demonstrado anteriormente).


Tambem ja vimos que, para movimento linear,

|p|2 =∣∣∣∣

dp

dt

∣∣∣∣

2

=1

γ2

(dp

dτ

)2

= −(1

c

dE

dτ

)2

+

(dp

dτ

)2

= −dpµ

dτ

dpµdτ

.

Ou seja, usando na expressao para P ,

P = −2

3

q2

m2c3dpµ

dτ

dpµdτ

.

Essa e a eq. (376), que fica entao justificada.


Distribuicao angular e espectral da radiacao

Ja vimos em aulas anteriores os potenciais de Lienard-Wiechert, e oscampos obtidos a partir deles:

E(x, t) = q

[

n− ~β

γ2κ3R2

]

ret

+q

c

n×[

(n− ~β)× ~β]

κ3R

ret

,

B(x, t) = [n× E]ret .

Podemos escrever a energia por unidade de angulo solido que flui nadirecao do observador como

dW

dΩ=

∫

dt R2 c

4π(E× B) · n . (382)


Para pontos distantes, considerando apenas a contribuicao doscampos de aceleracao, ficamos com:

dW

dΩ=

∫

dtq2

4πc

∣∣∣∣∣∣∣

n×[

(n− ~β)× ~β]

κ3

∣∣∣∣∣∣∣

2

ret

=

∫

dt |F(t)|2ret , (383)

onde

|F(t)|2ret =cR2

4π|E|2ret ,

Definimos agora a transformada de Fourier:

F(t) =1√2π

∫

dω e−iωtF(ω) .


E(t) e real, F(t) tambem, de modo que F∗(ω) = F(−ω)

⇒ dW

dΩ=

∫

dt1

2π

∫

dω′∫

dω e−i(ω−ω′)tF(ω) · F∗(ω′)

=

∫

dω′∫

dω δ(ω − ω′)F(ω) · F∗(ω′) =∫

dω F(ω) · F∗(ω)

=

∫ ∞

−∞dω F(ω)·F(−ω) = 2

∫ ∞

0dω F(ω)·F(−ω) = 2

∫ ∞

0dω |F(ω)|2 .

Ou seja,

dW

dΩ=

1

π

∫ ∞

0dω

∣∣∣∣

∫

dt e iωtF(t)

∣∣∣∣

2

d2W

dΩdω=

q2

4π2c

∣∣∣∣∣∣∣

∫

dt e iωt

n×[

(n− β)× ~β]

κ3

ret

∣∣∣∣∣∣∣

2

, (384)

dt =dt

dt ′dt ′ = κ dt ′ .


Mudando de variavel de t para t ′,

d2W

dΩdω=

q2

4π2c

∣∣∣∣∣∣∣

∫

dt ′ e iω[t′−n·r(t′)/c]

n×[

(n− β(t ′))× ~β(t ′)]

κ2(t ′)

ret

∣∣∣∣∣∣∣

2

(385)onde t ′ = t − R(t ′)/c .

Mostra-se que

d

dt

[

n× (n× ~β)

1− ~β · n

]

=n×

[

(n− ~β)× ~β]

(1− ~β · n)2=

n×[

(n− ~β)× ~β]

κ2.

Ou seja,

d2W

dΩdω=

q2

4π2c

∣∣∣∣∣

∫

dt ′ e iω[t′−n·r(t′)/c] d

dt ′

[

n× (n× ~β)

κ

]∣∣∣∣∣

2

, (386)


A integral pode ser resolvida por partes, introduzindo no integrandoum fator e−ǫ|t

′|, e tomando o limite ǫ→ 0, apos a avaliacao daintegral.

Resulta

d2W

dΩdω=

q2ω2

4π2c

∣∣∣∣

∫ ∞

−∞dt ′

[

n× (n× ~β)]

e iω[t′−n·r(t′)/c]

∣∣∣∣

2

,

(387)


Vamos agora aplicar esses resultados a um caso particular, a serestudado mais a fundo.

Seja uma regiao com B0 = B0k.

Seja um eletron sujeito a este campo magnetico, e consideremos umaonda se propagando no plano xz .

Consideremos que a perda de energia por revolucao e desprezıvelfrente a energia do eletron; nesse caso, temos

~β(t) =1

c

[v⊥ cos(Ω0t), v⊥ sin(Ω0t), v‖

]

r(t) =

[v⊥Ω0

sin(Ω0t),−v⊥Ω0

cos(Ω0t), v‖t

]

, (388)

Ω0 =|Ωe |γ

, Ωe = −eB0

mec.

Com a geometria proposta, temos

n = (sin θ, 0, cos θ) .


O argumento do exponencial, na eq. (387), fica dado por

iω

[

t ′ − rx sin θ

c− rz cos θ

c

]

= iω

[

t ′ − v⊥cΩ0

sin θ sin(Ω0t′)−

v‖ccos θ t ′

]

= iω

[

t ′(1− β‖ cos θ

)− v⊥

cΩ0sin θ sin(Ω0t

′)

]

.

⇒ eiω

[

t′(1−β‖ cos θ)−v⊥cΩ0

sin θ sin(Ω0t′)]

.

Podemos usar a seguinte propriedade:

e iz sinα =∞∑

m=−∞e imαJm(z) . (389)


Ficamos entao com

e iωt′(1−β‖ cos θ)

∑

m

e−imΩ0t′Jm

(ω

Ω0

v⊥c

sin θ

)

=

∞∑

m=−∞e i[ω(1−β‖ cos θ)−mΩ0]t′Jm

(ω

Ω0β⊥ sin θ

)

. (390)

Dessa forma, a integral em t ′ se reduziu a uma integral deexponencial. Fazendo-se a integral, pode-se obter o seguinte:

d2W

dΩdω=

e2ω2

4π2c

∣∣∣∣∣(2π)

[

−cos θ

sin θ(cos θ − β‖)

∞∑

m=−∞Jm(z) i

− iβ⊥

∞∑

m=−∞J ′m(z) j+ (cos θ − β‖)

∞∑

m=−∞Jm(z) k

]

δ(ym)

∣∣∣∣∣

2

,

ondez =

ω

Ω0β⊥ sin θ , ym = mΩ0 − ω(1− β‖ cos θ) .


Temos ω > 0, de modo que ω(1− β‖ cos θ) > 0.

Portanto, devemos ter m > 0, para satisfazer δ(y).

Ao calcularmos o modulo quadrado, as deltas nao podem sersatisfeitas simultaneamente para n 6= m; isso resulta no aparecimentode δ2(ym), ou seja

d2W

dΩdω=

e2ω2

c

∞∑

m=1

[(cos θ − β‖

sin θ

)2

J2m(z) + β2⊥J′2m(z)

]

δ2(ym)

=e2ω2

c

∞∑

m=1

1

2π

∫ ∞

−∞dt e−iymt

×[(

cos θ − β‖sin θ

)2

J2m(z) + β2⊥J′2m(z)

]

δ(ym) .


Portanto, podemos definir a emissividade espectral η,

d3W

dΩdωdt≡ η(ω, β, θ) = e2ω2

c

∞∑

m=1

δ[mΩ0 − ω

(1− β‖ cos θ

)]

×[(

cos θ − β‖sin θ

)2

J2m(z) + β2⊥J′2m(z)

]

. (391)

Cada termo da soma em m e conhecido como emissividade

espectral por harmonico.


Vamos agora apenas discutir alguns resultados, sem entrar emdetalhes matematicos (ver, por exemplo, o livro de Bekefi [1]).

Tomando o harmonico m em η (ou seja, ηm) e integrando em dωdΩ,obtemos a potencia emitida neste harmonico:

Pm =2e2Ω2

e

c

1− β20β0

(392)

×[

mβ20J′2m(2mβ0)−m2(1− β20)

∫ β0

0dt J2m(2mt)

]

,(393)

β0 ≡β⊥

1− β2‖.

Pode-se mostrar que a potencia total e dada por [1]

P(β) =

∞∑

m=1

Pm =2

3

e2Ω2e

c

β2⊥1− β2 . (394)


Vamos agora olhar alguns casos limites:

. . .

Caso nao relativıstico:

Se mβ << 1 (e β‖ = 0, para simplificar):

Pm =2e2Ω2

e

c

(m + 1)(m2m+1

)

(2m + 1)!β2m . (395)

Resulta um espectro de linhas discretas.

Intensidade ∼ β2; com isso, se β2 ≤ 1× 10−3, por exemplo, so oharmonico fundamental e relevante.


Caso extremamente relatıstico:

A medida que consideramos β maior, aumenta a importancia dosharmonicos de ordem mais alta;

no limite extremamente relativıstico, a radiacao e predominante emharmonicos com m >> 1.

Quando γ >> 1 e m >> 1 (para β‖ = 0) a partir de (393) obtem-se[1]

Pm =e2Ω2

e

2πcγ

√3ω

ωc

∫ ∞

ω/ωc

dt K5/3(t) , (396)

onde ωc = (3/2)γ2|Ωe |, e Kν e a funcao de Hankel de ordem ν.

Os picos sucessivos aparecem em frequencias ωm = m|Ωe |/γ. Assim,

ωm+1 − ωm = ∆ω =(m + 1)|Ωe |

γ− m|Ωe |

γ=|Ωe |γ

⇒ ∆ω

|Ωe |=

1

γ<< 1.


Os resultados obtidos mostram que os harmonicos sucessivos estaoseparados por intervalos de frequencia muito pequenos; a emissaopode ser considerada contınua.

Pm

1 2 3 4 ω/ωc


O maximo da curva ocorre para ω ≃ 0, 3ωc ; ou seja,ω ≃ 0, 45γ3Ω0 = mΩ0.

Como γ >> 1, vemos que mmax >> 1, como ja foi dito.

. . .

Vamos agora examinar a emissao por um conjunto de partıculas

(supondo plasma tenue, partıculas emitindo independentemente umasdas outras).

Para uma partıcula, ja vimos a emissividade η. Para um conjunto departıculas (no caso, eletrons), com distribuicao de velocidades f ,define-se o coeficiente de emissao

j(r, θ, φ, ω) =

∫

d3p′ η(p′, r, θ, φ, ω) ne f (p′, r) . (397)


Eexemplo: Vamos considerar o caso nao relativıstico, em equilıbriotermico;

f (p) =1

(2π)3/2p30e−p2/2p20 , p0 =

√

mekBT .

Tomando a expressao para η, eq. (391), e considerando apenas oharmonico m = 1 (caso nao relativıstico),

J21 (z) ≃z2

4, J ′21 (z) ≃ 1

4.

⇒ η =e2ω2

8πcβ2⊥

[(cos θ − β‖

sin θ

)2( ω

Ω0sin θ

)2

+ 1

]

×δ[Ω0 − ω(1− β‖ cos θ)

].


Da condicao de ressonancia,

ω

Ω0=

1

1− β‖ cos θ.

Usando esse resultado no termo entre colchetes (e cancelando sin θ nonumerador e denominador),

(cos θ − β‖1− β‖ cos θ

)2

+ 1 =(cos θ − β‖)2 + (1− β‖ cos θ)2

(1− β‖ cos θ

)2

=cos θ2 − 2β‖ cos θ + β2‖ + 1− 2β‖ cos θ + β2‖ cos

2 θ(1− β‖ cos θ

)2≃ 1 + cos2 θ .

Ficamos com

η =e2ω2

8πcβ2⊥(1 + cos2 θ

)δ[Ω0 − ω(1− β‖ cos θ)

].


Usando a eq. (397), integramos sobre a funccao distribuicao, eobtemos

j(θω) =ω2pω

2me

16π2√πcβ20

(1 + cos2 θ)

|∆| e−(ω−|Ωe |)2/∆2, (398)

β0 =p0m0c

, ω2p =

4πnee2

me

,

∆ =√2ωβ0 cos θ ,

Obtivemos uma linha gaussiana, alargada por efeito Doppler.

Obs.: Para propagacao perpendicular, θ ≃ 90, efeitos relativısticosdevem ser incluıdos na condicao de ressonancia:

ω(1− β‖ cos θ)−Ω0

γ≃ ω − Ω0

γ.


Perda de energia por radiacao

Ate agora temos estudado o movimento de partıculas carregadas semlevar em conta a perda de energia por radiacao. Tambem estudamosa emissao de radiacao, restringindo-nos aos casos em que a perda deenergia por radiacao pode ser desprezada.

Vamos supor uma partıcula de carga e, com aceleracao a durante umtempo T . Usando a formula de Larmor, podemos estimar a energiairradiada pela seguinte expressao,

Erad =2

3

e2

c3(a2)T .

Em geral, se Erad << E , onde E e uma energia caracterıstica dapartıcula, podemos desprezar a emissao de radiacao ao analisarmos omovimento da partıcula. Por outro lado, se Erad comeca a ser damesma ordem de E , comeca a ser importante levar em conta aemissao de radiacao.


Por exemplo, se a partıcula parte do repouso e sofre aceleracaoconstante, ao fim do tempo T tera atingido uma energia cinetica

E =1

2m(aT )2 .

Para que a emissao de radiacao seja relevante no problema, acondicao e

Erad ≃ E ,2

3

e2

c3(a2)T ≃ 1

2ma2T 2, T ≃ 1

3

e2

mc3.

Como esse e um criterio em termos de ordem de grandeza,costuma-se definir o tempo caracterıstico para caracterizar aimportancia da emissao de radiacao como sendo

τ =2

3

e2

mc3.


Ou seja, a razao entre a energia irradiada e a energia que a partıculaadquire apos um tempo T e dada por

Erad

E=

2

3

e2

c3(a2)T

(1

2m(aT )2

)−1

=4

3

e2

mc3T= 2

τ

T.

Portanto, se T >> τ os efeitos de emissao de radiacao podem serdesprezados. Apenas se a aceleracao e grande o suficiente para queτ ≃ T o efeito de emissao se torna essencial.

Para eletrons, que sao as menos massivas partıculas dotadas de carga,τ ≃ 6.26 × 10−24 segundos, o que mostra que e normalmente muitoboa a aproximacao de desprezar a perda de energia por radiacao.

Raciocınio similar pode ser feito no caso de partıculas em movimentoperiodico.


Uma forma aproximada de incluir a perda de energia por

radiacao

Vamos desenvolver um argumento baseado em conservacao deenergia, para uma partıcula nao relativıstica.

Consideremos uma partıcula de massa m e carga e, sob a acao deuma forca Fext . Essa partıcula sofre uma aceleracao e irradia energia.

Podemos representar a perda de energia por radiacao por meio de umaforca de reacao radiativa, de modo que a equacao de movimento fica

mv = Fext + Frad .

A forca Frad deve obedecer aos seguintes requerimentos:1 Deve ser nula para v = 0, uma vez que nesse caso nao ha radiacao;2 ser proporcional a e2 (uma vez que essa e a dependencia da potencia

irradiada; o sinal da carga nao deve influenciar);3 deve envolver o tempo caracterıstico τ .


Vamos agora exigir que o trabalho feito pela forca de reacao radiativaem um dado intervalo de tempo seja igual ao negativo da energiairradiada,

∫ t2

t1

dt Frad · v = −∫ t2

t1

dt2

3

e2

c3v · v .

Integrando por partes,

∫ t2

t1

dt Frad · v =2

3

e2

c3

∫ t2

t1

dt v · v − 2

3

e2

c3(v · v)

∣∣∣

t2

t1.

Se o movimento for periodico, ou for tal que (v · v) = 0 em t = t1 eem t = t2, teremos

∫ t2

t1

dt

(

Frad −2

3

e2

c3v

)

· v = 0 .


Dessa forma, podemos identificar

Frad =2

3

e2

c3v = mτ v .

Ou seja,

m (v − τ v) = Fext . (399)

Essa e a chamada equacao de Abraham-Lorentz. E uma equacao queinclui de forma aproximada o efeito da emissao de radiacao.


A equacao de Abraham-Lorentz apresenta alguns aspectos inusitadosou indesejaveis.

Por exemplo, ela contem uma derivada segunda da velocidade, eportanto nao se ajusta ao que se espera das leis dinamicas (ma = F ).Ela admite solucoes nao fısicas, como as chamadas solucoes runaway.

Ou seja, em uma situacao em que a forca externa e nula, podemos terduas solucoes,

v = 0, e v = aet/τ ,

onde a e a aceleracao em t = 0.

A primeira solucao e aceitavel, mas a segunda implica em aceleracaocrescente mesmo sem forca aplicada.

Alem disso, essa segunda solucao viola a condicao utilizada naderivacao, (v · v) = 0 em t = t1 e t = t2.


Uma possıvel tentativa de ir alem dessa equacao envolve o uso deuma forma integro-diferencial (Jackson, 2nd ed., John Wiley, 1975,equacao (17.51)),

mv =

∫ ∞

0ds e−sF(t + τs) .

A forca pode ser escrita na forma de uma expansao em serie de Taylor.

F(t + τs) =∞∑

n=0

(τs)n

n!

dnF(t)

dtn,

de modo que a equacao fica

mv =

∞∑

n=0

τn

n!

dnF(t)

dtn

∫ ∞

0ds sne−s ,

mv =∞∑

n=0

τndnF(t)

dtn,

uma vez que o resultado da integral em s e n!.


O termo n = 0 representa a equacao usual, sem efeito da radiacao.

Os termos subsequentes representam correcoes radiativas de ordenssucessivas.

As solucoes dessa equacao sao tambem solucoes da equacao deAbraham-Lorentz.

Essa equacao nao apresenta as solucoes runaway. Entretanto,tambem apresenta peculiaridades.

Por exemplo, podemos ver que a aceleracao em um dado instante tdepende dos valores da forca em tempos posteriores a t.

Isso pode ser visto na propria equacao de movimento, que mostra aaceleracao em t e no lado direito a F em tempos posteriores.


Ou seja, uma violacao da causalidade! Por exemplo, (Jackson, 2nded., John Wiley, 1975, p. 797), pode-se mostrar que no caso de umaforca constante atuando a partir de t = 0, a equacao obtida preveuma aceleracao nao-nula para tempos t < 0, ou seja, aceleracao antesda aplicacao da forca.

Entretanto, a escala de tempo do efeito e extremamente pequena.Como nao se pode atingir tal definicao no tempo para “ligar” a forca,na pratica o efeito de nao-causalidade nao chega a ser observavel.

Essas consideracoes nao pretendem esgotar o assunto. Servem paradar uma palida ideia a respeito de problemas ainda em aberto comrelacao a esse tema.


Bibliografia basica:

G. Bekefi. Radiation Processes in Plasmas. John Wiley, New York,1975, 1a. ed.

J. D. Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley, New York,1975, 2a. ed.

L. Landau & E. Lifchitz. Theorie des Champs. Mir, Moscou, 1970, 3a.ed.

W. K. H. Panofsky & M. Phillips. Classical Electricity and Magnetism.Addison-Wesley, Reading, 1962, 2a. ed.


Documents

Teoria Eletromagnética - if.ufrgs.brziebell/fip00004/notas_proj.pdf · Eletromagnetismo, envolvendo campos eletromagnéticos e sua interaçao com a matéria. Ao longo do curso,