Universidade AnhangueraCentro Universitrio Plnio Leite

Engenharia Civil 3 Perodo Nome: Andr Dias Xavier Ra: 3200489705Nome: Pierre de Moura Chapim Ra: 1099556164Nome: Pierre de Moura Chapim Ra: 1099556164Nome: Pierre de Moura Chapim Ra: 1099556164Nome: Pierre de Moura Chapim Ra: 1099556164Nome: Pierre de Moura Chapim Ra: 1099556164

Eletricidade AplicadaProfessor: Marcos Freaza

Outubro de 2012Niteri - RJ

1. Lei de Faraday

2. Lei de Lenz

3. Induo

4. Indutncia

5. Circuito RL

6. Produto Escalar

7. Produto Vetorial

Lei de Faraday e Lei de LenzEm meados de 1831, Faraday comeou a investigar, baseado nos trabalhos de Ampre e Oersted (1777-1851), o efeito inverso do fenmeno por eles estudado, onde campos magnticos produziam correntes eltricas em circuitos.Ele descobriu que um campo magntico estacionrio prximo a uma bobina, tambm estacionria e ligada a uma galvanmetro, no acusa a passagem de corrente eltrica, porm, observou-se que uma corrente eltrica temporria era registrada no galvanmetro quando o campo magntico sofria uma variao. Este efeito de produo de uma corrente em um circuito, causado pela presena de um campo magntico, chamado de induo eletromagntica e a corrente eltrica que aparece denominada de corrente induzida.Existem vrios modos de se obterem correntes induzidas em um circuito, conforme citamos abaixo: O circuito pode ser rgido e, no entanto, pode mover-se como um todo em relao a um campo magntico, de modo que o fluxo magntico atravs da rea do circuito varia no decorrer do tempo. Sendo o campo B estacionrio, o circuito pode ser deformvel de tal modo que o fluxo de B atravs do circuito varie no tempo. O circuito pode ser estacionrio e indeformvel, mas o campo magntico B, dirigido para a superfcie varivel no tempo.Em todos os trs experimentos, verificamos que o ponto chave da questo est na variao do fluxo magntico com o tempo. Isto se dFB/dt diferente de zero, ento uma corrente eltrica ser induzida no circuito. Estes resultados experimentais so conhecidos como lei de Faraday.A lei de Faraday pode ser enunciada da seguinte forma:A fora eletromotriz induzida (fem) em um circuito fechado determinada pela taxa de variao do fluxo magntico que atravessa o circuito.

Esta lei representada matematicamente pela equao;

onde a fora eletromotriz induzida (fem) eB fluxo magntico dado por;

sendo S a superfcie por onde flui o campo magntico. Sabendo que a forca eletromotriz pode ser expressa em funo do campo eltrico temos que:

Sabendo que a forca eletromotriz pode ser expressa em funo do campo eltrico temos que;

O experimento mostra que:

A fem induzida produz uma corrente cujo sentido cria um campo magntico cujo sentido se ope a variao do fluxo magntico original. Este fenmeno conhecido como lei de Lenz e justifica o sinal negativo na equao.

A lei de Lenz a garantia de que a energia do sistema se conserva. Isto significa que a direo da corrente induzida tem que ser tal que se oponha as mudanas ocorridas no sistema. Caso contrrio, a lei de conservao de energia seria violada.Temos uma representao esquemtica da induo de correntes e fora eletromotriz num circuito fechado.

Induo Magntica

A Figura mostra a induo de correntes eltricas numa espira rgida se movendo na presena de um campo magntico uniforme. Este fenmeno conhecido como induo eltrica.Enquanto a espira estiver completamente dentro da regio contendo o campo magnticoo fluxo de, que atravessa a rea delimitada pela espira, no varia com o tempo. Desta forma no h fora eletromotriz induzida.

Quando a espira comea a sair da regio contendo o campo, o fluxo de atravs da espira comea a diminuir ou variar com o tempo. Isto implica no aparecimento de uma fora eletromotriz induzida, criando assim uma corrente eltrica. O sentido da corrente induzida tal que o campo magntico criado por ela, produz um fluxo magntico para se opor a variao do fluxo que a induziu.Uma anlise matemtica deste problema pode ser feita atravs do fluxo magntico da seguintes forma;

O vetor rea definido ser sempre perpendicular a uma dada superfcie. Neste caso a superfcie aquela delimitada pela espira. O sentido o mesmo dado pelo campo magntico constante e uniforme.- A fora eletromotriz induzida ser igual a:

onde a largura da espira, x o comprimento lateral da expira que ainda permanece no interior da regio contendo o campo B e v a velocidade de arrastamento da espira.- A corrente induzida

- A Fora magntica

cujo mdulo ;

- A potncia

Se as espiras do solenoide que estamos usando como indutor conduzem uma corrente i, a corrente produz um fluxo magntico na regio central do indutor. A indutncia do indutor definida atravs da relao;

, onde N o nmero de espiras do solenoide. No sistema internacional a indutncia dada em henry ( H ).Clculo da indutncia em um solenoide.Temos um solenoide grande percorrido por uma corrente eltricai.

O fluxo magntico no interior do solenoide induzido pela correntei, igual a;

Onde N o nmero de espiras e Ao a rea interna a cada espira. Como o solenoide infinito formado por um nmero grande de espiras, ento podemos introduzir o conceito de densidade de espiras, por

Assim temos que

sendo a indutncia . Observamos que L funo apenas da geometria da espira.Autoindutncia e Indutncia MtuaUsando os dois circuitos eltricos mostrados abaixo:

Indutncia mtua: No caso de dois circuitos eltricos colocados um prximo ao outro, como na figura acima, uma mudana na corrente de um deles induzir uma fora eletromotriz no outro. De acordo com a lei de Faraday, a feminduzida no segundo circuito proporcional taxa de variao no fluxo magntico que o atravessa. Sendo o fluxo proporcional a corrente do circuito 1, proporcional a taxa de variao da corrente no circuito 1, isto . Ento podemos escrever a seguinte relao,

onde a constante de proporcionalidade, M, denominada de indutncia mtua. O sinal negativo deve-se a lei de Lenz. Indutncia mtua tem unidades de V.s/A =W.s, algumas vezes denominada porhenry (H), devido as importantes contribuies dadas por Joseph Henry: 1H =W.s. O valor de M depende da geometria e do material usado no circuito.

Autoindutncia: O conceito de indutncia discutido acima se aplica tambm a um nico circuito isolado. Uma variao na corrente deste circuito induzir nele prprio uma fora eletromotriz. A este conceito denominamos de autoindutncia, isto o circuito induzir nele prprio uma corrente para se opor variao fluxo magntico criado pela corrente real no circuito.A equao que descreve esta fem dada por;

A constante L denominada, neste caso, de autoindutncia ou simplesmente indutncia. Desta forma, podemos dizer que todo o circuito eltrico tem a sua prpria indutncia, assim como eles tm a sua prpria resistncia eltrica.

Uma anlise mais geral deste problema pode ser feita, tambm usando o conceito de fluxo magntico. O fluxo magntico total sob o circuito 2 devido a sua autoinduo e a induo mtua provocada pelo circuito 1 igual a;

e o seu equivalente para o circuito 1 ;

Destas equaes podemos determinar as fems induzidas nos referidos circuitos por;

Sabemos que M12= M21= M. Este mesmo fenmeno acontece se substitumos os circuitos eltricos por bobinas.O indutor representado esquematicamente num circuito eltrico pelo seguinte diagrama:

- Clculo da indutncia mtuaCalcularemos a indutncia mtua entre um fio e uma espira retangular como mostra a figura abaixo.

logo a indutncia mtua igual a;

a qual funo apenas da geometria da espira. Circuito RLOs resistores tm como caracterstica principal a transformao de energia eltrica em energia trmica, j os indutores transformam energia eltrica em energia magntica.

Para encontrar as equaes matemticas que descrevem o comportamento deste tipo de circuito eltrico, faremos uso das Leis de Kirchhoff.A aplicao destas leis se d considerando que, em cada ramo, existe uma nica corrente dotada de um certo sentido. Ao se aplicar a lei das malhas, ocorre uma queda de tenso, ao se percorrer o resistor no mesmo sentido daquele escolhido para a corrente, e um ganho de tenso ao atravessar uma fonte de fem do plo negativo (-) para o positivo (+). Se na soluo ocorrer uma soluo negativa para a corrente, isso quer dizer que a corrente real flui no sentido oposto quele que se sups.Aplicando a segunda lei de Kirchhoff para os circuitos apresentados na Fig. 16.1 temos;,

onde a fora eletromotriz induzida no circuito. Lembramos que todos os circuitos eltricos contm uma indutncia assim como uma resistncia eltrica prpria.

A fem induzidapode ser escrita em funo da taxa de variao do fluxo magntico em funo do tempo ou da corrente real no circuito, como a seguir,.

Substituindo encontramos uma equao diferencial para a corrente no circuito em funo do tempo. No limite em que a equao acima se torna uma equao diferencial do tipo homognea.

Analisando a equao acima notamos que a funo que descreve o comportamento da corrente i deve ser do tipo exponencial, pois a derivada dela a prpria funo, a menos de constantes. Isto nos sugere multiplicar ambos os lados de por uma exponencial como a seguir;

ou

Os dois termos do lado esquerdo da equao podem ser agrupados como a seguir;.Integrando a equao acima temos que;,

sendo A uma constante de integrao, cujo valor pode ser determinado usando condies de contorno a partir de uma anlise do circuito nos instantes iniciais. Neste caso assumimos que para o instante inicial, t = 0, a corrente no circuito igual zero. Isto implica no seguinte valor para a constante de integrao Substituindo na equao o valor encontrado para A temos que;

onde iindrefere-se corrente induzida no circuito eaconstante tempoou tempo caracterstico do circuito.

Para o instantea corrente no circuito igual a;

Isto significa que, para ,i igual a 63% do seu valor mximo.A fora eletromotriz induzida pode ser determinada pela taxa de variao do fluxo magntico em funo do tempo, isto ,ou ou

a qual estabelece que a corrente induzida tende a zero para um tempo infinitamente grande. Produto escalarEm matemtica, em lgebra linear, o produto escalar uma funo binria definida entre dois vetores que fornece um nmero real (tambm chamado "escalar") como resultado. o produto interno padro do espao euclidiano.O produto vetorial, que outra operao possvel de ser definir para vetores fornece, por outro lado, um novo vetor. Definio geomtrica:O produto escalar de dois vetores A e B o resultado do produto do comprimento (tambm chamado de norma ou mdulo) de A pela projeo escalar de B em A.

Onde o ngulo formado pelos vetores e ||A|| e ||B|| so seus comprimentos.Essa expresso somente contm uma definio do comprimento de um vetor como a raiz quadrada do seu produto escalar, mas no fornece meios de se calcular o comprimento do vetor.

Entretanto, essa expresso permite o clculo do ngulo entre os vetores:

Note que no necessrio mencionar nenhum sistema de coordenadas para se obter o valor do produto escalar. A formula acima vlida independente do sistema de coordenadas.Fisicamente, se A fosse uma fora, o produto escalar mediria o quanto da fora A estaria sendo aplicada na direo de B. Isto s vlido, entretanto, se o vetor B for unitrio. Do contrrio, a magnitude da projeo de A em B ("o quanto da fora A est aplicado na direo de B") deve ser obtida por A (B / |B|), visto que B / |B| representa o vetor unitrio na direo de B.

Definio algbrica:

Em um sistema de coordenadas ortonormal de n dimenses, onde escrevemos os vetores A e B em termos de componentes como:

O produto escalar entre A e B escrito como sendo:

Ainda pode ser escrito na Notao da Conveno de Somatrio de Einstein = Ou ainda pode ser escrito usando delta de Kronecker = Note que a interpretao do produto escalar como a projeo do vetor na direo de outro, neste caso, est longe de ser bvia. No entanto a expresso acima nos fornece uma forma de obter o comprimento de um vetor qualquer em termos de suas componentes:

PropriedadesO produto escalar de vetores tem as seguintes propriedades: (comutativa). (distributiva em relao soma de vetores).

Produto vetorialEm matemtica, o produto vetorial uma operao binria sobre vetores em um espao vetorial. Pode ser denominado tambm como produto externo. Seu resultado difere do produto escalar por ser tambm um vetor, ao invs de um escalar. Seu principal uso baseia-se no facto que o resultado de um produto vetorial sempre perpendicular a ambos os vetores originais.

Definio:A notao do produto vetorial entre dois vetores a e b do espao vetorial a b (em manuscritos, alguns matemticos escrevem a b para evitar a confuso com a letra x). Podemos defini-lo como

onde a medida do ngulo entre a e b (0 180) no plano definido pelos dois vetores, e o vetor unitrio perpendicular a tanto a quanto b.O problema com esta definio que existem dois vetores unitrios que so perpendiculares a a e b simultaneamente: se perpendicular, ento tambm o .O resultado correto depende da orientao do espao vetorial, i.e. da quiralidade do sistema de coordenadas (i, j, k). O produto vetorial a b definido de tal forma que (a, b, a b) se torna destro se (i, j, k) destro ou canhoto se (i, j, k) canhoto.Uma forma fcil de determinar o sentido do vetor resultante a "regra da mo direita". Se um sistema de coordenadas destro, basta apontar o indicador na direo do primeiro operando e o dedo mdio na direo do segundo operando. Desta forma, o vetor resultante dado pela direo do polegar.Como o produto vetorial depende do sistema de coordenadas, seu resultado referenciado como pseudovetor. Felizmente na natureza os produtos vetoriais aparecem aos pares, de maneira que a orientao do sistema de coordenadas cancelado pelo segundo produto vetorial. Significado geomtricoO comprimento do produto vetorial, |a b|, pode ser interpretado como a rea do paralelogramo definido pelos vetores a e b. Isto significa que o produto misto (ou triplo-escalar) resulta no volume do paraleleppedo formado pelos vetores a, b e c. Propriedades algbricasO produto vetorial anticomutativo,a b = -b a,distributivo sobre a adio,a (b + c) = a b + a c,e compatvel com a multiplicao escalar, tal que(ra) b = a (rb) = r(a b).No associativo, mas satisfaz a identidade de Jacobi:a (b c) + b (c a) + c (a b) = 0A distributividade, linearidade e identidade de Jacobi mostram que R3 junto com a adio de vetores e o produto vetorial formam uma lgebra de Lie.Alm disso, dois vetores no nulos a e b so paralelos se e somente se a b = 0. Frmula de LagrangeEsta uma frmula til e bem conhecida,a (b c) = b(a c) c(a b),a qual mais fcil de memorizar como BAC menos CAB. Esta frmula muito til para simplificar clculos com vetores na fsica. importante notar, entretanto, que esta frmula no se aplica quando do uso do operador nabla.Um caso especial com respeito a gradiente em clculo vetorial :

Este um caso especial da mais geral decomposio Hodge do Laplaciano Hodge.Outra identidade til de Lagrange

Este um caso especial da multiplicatividade da norma na lgebra de quaternion.[editar] Notao MatricialO vetor unitrio i, j e k para uma dado sistema ortogonal de coordenadas satisfaz as seguintes igualdades:i j = k j k = i k i = jCom estas regras, as coordenadas do resultado do produto vetorial de dois vetores podem ser calculadas facilmente, sem a necessidade de se determinar qualquer ngulo. Seja:a = a1i + a2j + a3k = [a1, a2, a3]eb = b1i + b2j + b3k = [b1, b2, b3].Entoa b = [a2b3 a3b2, a3b1 a1b3, a1b2 a2b1].A notao acima tambm pode ser escrita formalmente como o determinante de uma matriz:

O determinante de trs vetores pode ser recuperado comodet (a, b, c) = a (b c).Intuitivamente, o produto vetorial pode ser descrito pelo mtodo de Sarrus, onde

Para os primeiros trs vetores unitrios, multiplique os elementos na diagonal da direita (ex. a primeira diagonal conteria i, a2, e b3). Para os trs ltimos vetores unitrios, multiplique os elementos na diagonal da esquerda e ento os multiplique por -1 (ex. a ltima diagonal conteria k, a2, e b1). O produto vetorial seria definido pela soma destes produtos:

O produto vetorial tambm pode ser descrito em termos de quaternions. Note por exemplo que as relaes entre produtos vetoriais acima i, j, e k concordam com a relao multiplicativa entre os quaternions i, j, e k. Em geral, se representamos um vetor [a1, a2, a3] como o quaternion a1i + a2j + a3k, obtemos o produto vetorial tomando seus produtos e descartando a parte real do resultado (a parte real ser o negativo do produto escalar de dois vetores). Mais sobre a conexo entre multiplicao de quaternion, operaes de vetores e geometria pode ser encontrado em quaternions e rotao espacial. AplicaesO produto vetorial ocorre na frmula do operador vetorial rotacional. tambm utilizado para descrever a Fora de Lorentz experimentada por uma carga eltrica movendo-se em um campo magntico. As definies de torque e momento angular tambm envolvem produto vetorial.O produto vetorial pode tambm ser utilizado para calcular a normal de um tringulo ou outro polgono, o que importante no ramo da computao grfica e do desenvolvimento de jogos eletrnicos, para permitir efeitos que simulam iluminao, dentre outros.

Dimenses MaioresO produto vetorial para vetores 7-dimensionais pode ser obtido da mesma maneira, porm usando-se os octnions em vez dos quatrnions.Esse produto vetorial 7-dimensional tem as seguintes propriedades em comum com o habitual produto vetorial tridimensional: bilinear de forma que:x (ay + bz) = ax y + bx z(ay + bz) x = ay x + bz x. anticomutativo:x y + y x = 0 perpendicular a x e a y simultaneamente:x (x y) = y (x y) = 0 Temos:|x y|2 = |x|2 |y|2 (x y)2.Diferente do produto vetorial tridimensional, no satisfaz a identidade de Jacobi (a igualdade se manteria em 3 dimenses):x (y z) + y (z x) + z (x y) 0Para o caso geral (n-dimensional), no h anlogo direto do produto vetorial. Entretanto existe o wedge product produto exterior (literalmente produto cunha), que possui propriedades semelhantes, exceto que o produto exterior de dois vetores passa a ser um 2-vector em vez de um vetor comum. O produto vetorial pode ser interpretado como sendo o produto exterior em trs dimenses aps usar-se a dualidade de Hodge para se identificar 2 vetores.O produto exterior e o produto escalar podem ser combinados para formarem o produto de Clifford.