Trabalho individual de Matemática A 11.º Ano

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO /SOLUÇÕES (AULA NÃO PRESENCIAL 3)

ATUALIZADO EM 17 DE ABRIL 2020

1. Considere π π

,

− 2 2

: ( )tan − =2 2 5 . Determine o valor exato de ( )π

cos cos

− − −

3

2.

RESOLUÇÃO:

1º 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 −3𝜋

2) − 𝑐𝑜𝑠(−𝛼) = −𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛼

2º 2𝑡𝑎𝑛(−𝛼) = 2√5 ⇔ −𝑡𝑎𝑛𝛼 =2√5

2⇔ 𝑡𝑎𝑛𝛼 = −√5

3º Através da fórmula trigonométrica 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝛼 =1

𝑐𝑜𝑠2𝛼

tem-se, 1 + (−√5)2

=1

𝑐𝑜𝑠2𝛼⇔ 6 =

1

𝑐𝑜𝑠2𝛼⇔ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 =

1

6⇔ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = ±

√6

6⇒⏟

𝛼∈]−𝜋

2,𝜋

2 ]

𝑐𝑜𝑠𝛼 =√6

6

4º Através da fórmula trigonométrica 𝑡𝑎𝑛𝛼 =𝑠𝑖𝑛𝛼

𝑐𝑜𝑠𝛼⇔ 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 × 𝑡𝑎𝑛𝛼

tem-se, 𝑠𝑖𝑛𝛼 =√6

6× (−√5) ⇔ 𝑠𝑖𝑛𝛼 = −

√30

6.

5º Assim, −𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛼 =√30

6−

√6

6=

√30−√6

6.

Resposta: √30−√6

6

2. Considere o intervalo π π

,

7 5

6 3. Qual das seguintes equações não tem solução neste intervalo?

(A) cos x = −1

2 (B) sin x = −

1

2 (C) cos x = −

9

10 (D) sin x = −

9

10

Resposta: Opção (C)

3. Seja f a função definida em π π

, − 2 2

por ( )sin cos

cos

x xf x

x

+ +=1

.

Qual é o valor exato de

π

π

f

f

−

3

3

?

(A) +3 3 (B) −3 3 (C) 3 3 (D) +2 3

Resposta: Opção (D)

4. Considere a função real de variável real definida por:

( )( )

sin se

cos se

x x xf x

x x

+ =

0

2 0

4.1. Resolva a condição ( )f x x x= − 1

02

RESOLUÇÃO:

⇔ 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥 −1

2⇔ 𝑠𝑖𝑛𝑥 = −

1

2⇔ 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 (−

𝜋

6) ⇔

⇔ (𝑥 = −𝜋

6+ 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 = 𝜋 +

𝜋

6+ 2𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍 ⇔ (𝑥 = −

𝜋

6+ 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 =

7𝜋

6+ 2𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍

Assim, (𝑥 = −𝜋

6+ 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 =

7𝜋

6+ 2𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 > 0

Resposta:

4.2. Determine os valores de x tais que ( )π π

03 3

f x f x

= −

.

RESOLUÇÃO:

⇔ 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) =𝜋

3+ 𝑠𝑖𝑛 (

𝜋

3) −

𝜋

3⇔ 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) =

√3

2⇔ 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (

𝜋

6) ⇔

⇔ 2𝑥 = ±𝜋

6+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 ⇔ 𝑥 = ±

𝜋

12+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍

Resposta: (𝑥 = ±𝜋

12+ 𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ≤ 0 ⇔ 𝑥 =

𝜋

12+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 − ∨ 𝑥 = −

𝜋

12+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍0

−

5. Determine, caso existam, os valores de π , πx 2 , tais que:

tanx

− =

12 2 02

RESOLUÇÃO:

⇔ 𝑡𝑎𝑛 (𝑥

2) =

2√3

2⇔ 𝑡𝑎𝑛 (

𝑥

2) = √3 ⇔

𝑥

2=

𝜋

3+ 𝑘𝜋 ⇔ 𝑥 =

2𝜋

3+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍

Resposta: { }

6. Resolva, em IR, cada uma das seguintes equações:

6.1. ( )sin x =2 3 3 6

RESOLUÇÃO:

⇔ 𝑠𝑖𝑛(3𝑥) =√6

2√3⇔ 𝑠𝑖𝑛(3𝑥) =

√2

2⇔ 𝑠𝑖𝑛(3𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 (

𝜋

4) ⇔

⇔ (3𝑥 =𝜋

4+ 2𝑘𝜋 ∨ 3𝑥 = 𝜋 −

𝜋

4+ 2𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍 ⇔ (𝑥 =

𝜋

12+

2

3𝑘𝜋 ∨ 𝑥 =

𝜋

4+

2

3𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍

( )f x x x= − 1

02

( )π π

03 3

f x f x

= −

tanx

− =

12 2 02

( )sin x =2 3 3 6

6.2. cos cosx

x

= − 3

RESOLUÇÃO:

⇔ 𝑐𝑜𝑠 (𝑥

3) = 𝑐𝑜𝑠(𝜋 − 𝑥) ⇔

𝑥

3= 𝜋 − 𝑥 + 2𝑘𝜋 ∨

𝑥

3= −(𝜋 − 𝑥) + 2𝑘𝜋 ⇔

⇔𝑥

3+ 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨

𝑥

3− 𝑥 = −𝜋 + 2𝑘𝜋 ⇔

4𝑥

3= 𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨ −

2𝑥

3= −𝜋 + 2𝑘𝜋 ⇔

⇔ (𝑥 =3𝜋

4+

3

2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 =

3

2𝜋 − 3𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝐼𝑅

7. Determine, usando intervalos de números reais, os valores de m para os quais é possível a

condição: π

sin , πm

−

=

2 9

7 2

RESOLUÇÃO:

0 <𝑚2−9

7< 1 ⇔ 0 < 𝑚2 − 9 < 7 ⇔ 𝑚2 − 9 > 0 ∧ 𝑚2 − 9 < 7

Cálculos auxiliares:

𝑚2 − 9 = 0 ⇔ 𝑚 = ±3

𝑚2 − 9 > 0 ⇔ 𝑚 ∈ ]−∞, −3[ ∪ ]3, +∞[

𝑚2 − 16 = 0 ⇔ 𝑚 = ±4

𝑚2 − 16 < 0 ⇔ 𝑚 ∈ ]−4, 4[

Depois de efetuar a interseção dos dois conjuntos …

Resposta: 4 ,33 ,4 −−m

8. Prove a seguinte igualdade para tal que cos 0 e sin 0 .

RESOLUÇÃO:

( )( ) ( )

( ) ( )

tan2

tan1

cos

sin2

tan1

sin2

tan1cos

cossin2

tan1cos

cossin2

cos

sin1cos

cossin2

1sincos

cossin2

sincossincos

cossin2

sincos

22222

2

2

2

22222244

−=

−=

−=

−=

=

−

=−

=+−

=−

9. Considere as funções f e g, ambas de domínio IR, definidas por:

( ) ( )cos cos e sinf x x x g x x= − =2 2

Determine todas as abcissas dos pontos de interseção dos gráficos de f e de g, quando estão

representados no mesmo referencial.

cos cosx

x

= − 3

cos sin tan

sin cos tan

− −=

4 4 21

2 2

RESOLUÇÃO:

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ⇔ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ⇔ 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 0

⇔ 𝑐𝑜𝑠𝑥 =1±√1−4×2×(−1)

2×2⇔ 𝑐𝑜𝑠𝑥 =

1±√9

4⇔ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 ∨ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −

1

2⇔

⇔ 𝑥 = 2𝑘𝜋 ∨ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋

3) ⇔ (𝑥 = 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 = ±

2𝜋

3+ 2𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍

10. A equação 022 2 =+ xsen para ,−x tem:

(A) Uma solução.

(B) Duas soluções.

(C) Quatro soluções.

(D) Nenhuma das opções anteriores está correta.

Resposta: Opção (D)

11. Considere a função h definida em IR, por ( )π

sinh x x

= + +

3 6 23

.

11.1. Determine o contradomínio da função h. Resposta: 𝐷′ = [−3,9]

11.2. Determine os zeros de h pertencentes ao intervalo π , π− .

RESOLUÇÃO:

3 + 6𝑠𝑖𝑛 (2𝑥 +𝜋

3) = 0 ⟺ 𝑠𝑖𝑛 (2𝑥 +

𝜋

3) = −

1

2

⟺ (2𝑥 +𝜋

3= −

𝜋

6+ 2𝑘𝜋 ∨ 2𝑥 +

𝜋

3= 𝜋 +

𝜋

6+ 2𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍 ⟺

⟺ (2𝑥 = −𝜋

3−

𝜋

6+ 2𝑘𝜋 ∨ 2𝑥 = −

𝜋

3+

7𝜋

6+ 2𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍 ⟺

⟺ (2𝑥 = −𝜋

2+ 2𝑘𝜋 ∨ 2𝑥 =

5𝜋

6+ 2𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍 ⟺ (𝑥 = −

𝜋

4+ 𝑘𝜋 ∨ 𝑥 =

5𝜋

12+ 𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍

Atribuindo valores inteiros a k … ( 𝑘 = 0, 𝑘 = −1 e 𝑘 = 1)

Resposta:

−−4

3 ;

12

5 ;

4 ;

12

7

11.3. Calcule o valor exato de π π

h h − + −

5

6 24. Resposta: 23336 ++

RESOLUÇÃO:

ℎ (−5𝜋

6) + ℎ (−

𝜋

24) = 3 + 6𝑠𝑖𝑛 [2 × (−

5𝜋

6) +

𝜋

3] + 3 + 6𝑠𝑖𝑛 [2 × (−

𝜋

24) +

𝜋

3] =

= 6 + 6𝑠𝑖𝑛 [2 × (−5𝜋

6) +

𝜋

3] + 6𝑠𝑖𝑛 [2 × (−

𝜋

24) +

𝜋

3] = 6 + 6𝑠𝑖𝑛 (−

5𝜋

3+

𝜋

3) + 6𝑠𝑖𝑛 (−

𝜋

12+

𝜋

3)

= 6 + 6𝑠𝑖𝑛 (−4𝜋

3) + 6𝑠𝑖𝑛 (

3𝜋

12) = 6 + 6𝑠𝑖𝑛 (−𝜋 −

𝜋

3) + 6𝑠𝑖𝑛 (

𝜋

4) = 6 + 6 (

√3

2) + 6 (

√2

2) =

= 6 + 3√3 + 3√2

12. Em IR, a equação 2sin =x

(A) admite a solução x=0

(B) admite a solução x=1

(C) admite a solução x=360

(D) é impossível

Resposta: Opção (D)

13. Considere a sucessão ( )nu definida por 3 5

2n

n nu

n

− += .

13.1. Determine a ordem do termo da sucessão ( )nu que é igual a 11

8 .

RESOLUÇÃO:

nnnnnnnnn

nnu

n−=+−=+−=+−=

+−= 541154122

8

1153

8

11

2

53

8

11

Elevando ambos os membros ao quadrado,

( ) 4 202

5761608016801654 222

2

−==

==−−=+=+ nnnnnnnnn

Resposta: Como INn então n=20 e, assim, 8

11 é o termo de ordem 20 da sucessão.

13.2. Calcule o valor de lim nu .

Resposta: 2

3

14. Considere a sucessão ( )nw definida por 1

3

2

n

n nw

+= , para todo o n .

14.1. Prove que a sucessão ( )nw é uma progressão geométrica.

Resposta: ( )n

w é uma progressão geométrica de razão 2

3

14.2. Defina ( )nw por recorrência.

Resposta:

=

=

+INn

ww

w

n

n,

2

3

4

3

1

1

14.3. Calcule 1002

1000

w

w

Resposta: 9

4

15. Considere a sucessão definida por:

1

1

2

,4

nn

w

ww n+

= −

=

Determine lim nS e interprete o valor obtido, sendo nS a soma dos n primeiros termos da sucessão

( )nw .

RESOLUÇÃO:

Como 𝑤𝑛+1

𝑤𝑛=

𝑤𝑛4

𝑤𝑛=

1

4∈ 𝐼𝑅, a sucessão é uma progressão geométrica de razão

1

4.

=𝑤1

1−𝑟=

−2

1−1

4

= −2 ×4

3= −

8

3

Resposta: 3

8−

16. Seja ( )na a sucessão cujo termo geral é dado pela área de cada um dos quadrados que se obtém

como mostra a figura ao lado. O lado do quadrado inicial é igual a

4 unidades. O lado de cada quadrado é metade do quadrado

anterior. A soma das áreas de todos os quadrados é:

(A) 4

1 (B)

3

64 (C) 8 (D) 32

Resposta: Opção (B)

17. Numa progressão aritmética com quinze termos, o oitavo termo é igual a 12.

A soma dos quinze termos é igual a:

(A) 180 (B) 12 (C) 15 (D) 90

lim nS

Resposta: Opção (A)

18. Calcule o limite da sucessão cujo termo geral se indica, identificando o tipo de indeterminações

encontradas.

18.1. ( )2 5

4

3

5nu n n n

n n= + −

+ Resposta: -∞

18.2.

2 4 5n

n nu

n

+ += Resposta: 1

18.3. 24 2 3 2nu n n n= + − − Resposta:

2

1

19. A figura representa parte do gráfico de um9a função g e domínio IR.

Considere a sucessão de termo geral un = 2 + 1

1−𝑛 .

Qual é o valor do lim [g(un)]?

(A) 2 (B) – 3 (C) + (D) não existe

Resposta: Opção (B)

20. Considere uma sucessão ( )nw tal que lim nw = −

Qual das seguintes expressões não pode ser uma expressão do termo geral de nw ?

(A)

2

3

n n

n

+

− (B) 1 2n− (C) 2 n−− (D) 2n−

Resposta: Opção (C)

21. Considere as sucessões ( )n

a e ( )n

b tais que: 1

13

+

−=

n

na

n e nnb

n214 2 −−=

21.1. Determine a menor das ordens a partir da qual os termos da sucessão ( )n

a pertencem à vizinhança )3(025,0

V

RESOLUÇÃO:

+

−−−−

+

−− 025,0

1

3313025,03

1

13025,03)3(

025,0

n

nn

n

naVa

nn.

y

x 2

2

-3

0

1591601025,01

4025,0

1

4+

+

+

− nn

nn

Resposta: A menor ordem é a 160.

21.2. Mostre que a sucessão ( )n

a é crescente.

RESOLUÇÃO:

( )

( )( ) ( )( )INn

nnnn

nnnn

n

n

n

naa

nn

++=

++

+−−++=

+

−−

+

−+=−

+ ,0

12

4

12

253253

1

13

2

113 22

1 dado que

4 é um número positivo e que (n+1)(n+2) é, também, sempre positivo qualquer que seja o valor de n

natural.

Assim a sucessão ( )n

a é crescente pois INnaann

−+

,01

21.3. Prove, por definição, que 3lim =n

a .

RESOLUÇÃO:

Seja + IR qualquer

144

11

4

1

43

1

133 −+

+

+

−−

+

−−

nn

nnn

na

n

Considerando 14

−

pINp tem-se que − 3,n

apnINn .

Logo 3lim =n

a .

21.4. Calcule n

blim .

RESOLUÇÃO:

( ) ( )( )( )

( )( )

=+−

−−=

+−

+−−−=−−−

nn

nn

nn

nnnnnn

214

414lim

214

214214lim214lim

2

22

2

2

22)(2

( ) ( ) ( )0

1

2

1

214

1lim

214

414lim

22

22

=+

−=

+++

−=

+−

−=

+−

−−=

nnnn

nn

22. Seja 𝑢𝑛 = 2 +1

𝑛. De uma certa função f, sabe-se que 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑢𝑛) = +∞.

Em qual das seguintes opções pode estar representada parte da função f?

Resposta: Opção (C)

23. Considere a função real de variável real, definida por: f(x) = 123

52

+

+−

x

x.

Resolva analiticamente as seguintes questões.

23.1.Determine a, b, c e d, de modo que f (x) = b + cdx

a

−.

RESOLUÇÃO:

−2𝑥 + 52𝑥 + 8

13 −

3𝑥 + 122

3

f(x) = 123

52

+

+−

x

x⇔ 𝑓(𝑥) = −

2

3+

13

3𝑥+12

Resposta:𝑎 = 13; 𝑏 = −2

3; 𝑐 = −12 e 𝑑 = 3

23.1. Calcule o domínio e o contradomínio da função.

Resposta:𝐷𝑓 = 𝐼𝑅\{−4} e 𝐷𝑓´ = 𝐼𝑅\ {−

2

3}

23.2. Resolve, em IR, a inequação seguinte: 483

2)(

2 −

xxf .

RESOLUÇÃO:

⇔−2𝑥 + 5

3(𝑥 + 4)−

2

3(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)≤ 0 ⇔

(−2𝑥 + 5)(𝑥 − 4) − 2

3(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)≤ 0 ⇔

−2𝑥2 + 13𝑥 − 22

3(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)≤ 0

Cálculos auxiliares:

Zeros do numerador:

−2𝑥2 + 13𝑥 − 22 = 0 ⇔ 𝑥 =−13±√169−4×(−2)×(−22)

−4⇔ 𝑥 =

−13±√−7

−4 Condição impossível em IR. O numerador da

fração não tem zeros. O seu sinal é sempre negativo.

Zeros do denominador:

3(𝑥 − 4)(𝑥 + 4) = 0 ⇔ 𝑥 = 4 ∨ 𝑥 = −4

Tabela de sinais:

x −∞ -4 4 +∞

−2𝑥2 + 13𝑥 − 22 - - - - -

3 + + + + +

(𝑥 − 4) - - - 0 +

(𝑥 + 4) - 0 + + +

−𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 − 𝟐𝟐

𝟑(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟒)

- n.d. + n.d. -

Resposta: 𝑥 ∈ ]−∞, −4[ ∪ ]4, +∞[

24. Seja f uma função de domínio IR. Sabe-se que 3 é um zero da função f.

Seja g a função definida por g (x) = f (x – 1) + 4 para qualquer número real x.

Qual dos seguintes pontos pertence garantidamente ao gráfico da função g?

(A) ( )4,2 (B) ( )7,1 (C) ( )8,4 (D) ( )4,4

Resposta: Opção (D)

25. Considere as funções reais de variável real, definidas por:

xxf 332)( −−= e ( )22

43

+

−=

x

xxg .

RESOLUÇÃO:

25.1.Cálculos auxiliares: 3 − 3𝑥 ≥ 0 ⇔ −3𝑥 ≥ −3 ⇔ 𝑥 ≤ 1

Resposta: 𝐷𝑓 = ]−∞, 1] e 𝐷𝑔 = 𝐼𝑅\{−1}

25.1.1. 1)( −=xf ⇔ 2 − √3 − 3𝑥 = −1 ⇔ √3 − 3𝑥 = 3

Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado,

3 − 3𝑥 = 9 ⇔ 𝑥 = −2

Efetuar a verificação: √3 − 3(−2) = 3 obtém-se 3=3 Proposição verdadeira.

𝑆 = {−2}

25.1.2. ( ) 1xg ⇔3−4𝑥

2𝑥+2≤ 1 ⇔

3−4𝑥

2𝑥+2− 1 ≤ 0 ⇔

3−4𝑥−2𝑥−2

2𝑥+2≤ 0 ⇔

−6𝑥+1

2𝑥+2≤ 0

Zeros do numerador: −6𝑥 + 1 = 0 ⇔ 𝑥 =1

6

Zeros do denominador: 2𝑥 + 2 = 0 ⇔ 𝑥 = −1

Tabela de sinais:

x −∞ -1 1

6

+∞

−6𝑥 + 1 + + + 0 -

2𝑥 + 2 - 0 + + + −6𝑥 + 1

2𝑥 + 2

- n.d. + 0 -

Resposta: 𝑥 ∈ ]−∞, −1[ ∪ [1

6, +∞[

26. Qual é o valor de 2

2

5

32lim

x

xx −

−+→

?

(A) 5

2− (B)

5

3 (C) -∞ (D) +∞

Resposta: Opção (B)

Resposta: Opção (D)

28. Calcula cada um dos seguintes limites.

28.1. 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞

𝟒+𝟓𝒙𝟒

−𝟐𝒙𝟒−𝟖𝒙=⏞

(∞

∞)

𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞

𝟓𝒙𝟒

−𝟐𝒙𝟒 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞

𝟓

−𝟐= −

𝟓

𝟐

28.2. 𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟏

𝒙𝟑−𝟕𝒙−𝟔

𝒙+𝟏=⏞

(𝟎

𝟎)

𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟏

(𝒙+𝟏)(𝒙𝟐−𝒙−𝟔)

𝒙+𝟏= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→−𝟏(𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔) = (−𝟏)𝟐 − (−𝟏) − 𝟔 = −𝟒

Cálculos auxiliares:

27.

−1 1 0 −7↓ −1 11 −1 −6

−66

0 = 𝑅

28.3. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏+

𝟏−𝟒𝒙

𝟏−𝒙𝟐 =𝟏−𝟒

𝟏−(𝟏+)𝟐 =−𝟑

𝟎− = +∞

28.4. 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞

(−𝒙𝟑 + 𝒙𝟑 + 𝟓) =⏞(−∞+∞)

𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞

(−𝒙𝟑) = − 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞

(𝒙𝟑) = − ∞

28.5.𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏

𝒙𝟓−𝟏

𝒙𝟐−𝟏=⏞

(𝟎

𝟎)

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏

(𝒙−𝟏)(𝒙𝟐−𝒙−𝟔)

(𝒙+𝟏)(𝒙−𝟏)= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟏

(𝒙−𝟏)(𝒙𝟒+𝒙𝟑+𝒙𝟐+𝒙+𝟏)

(𝒙+𝟏)(𝒙−𝟏)= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟏

𝒙𝟒+𝒙𝟑+𝒙𝟐+𝒙+𝟏

𝒙+𝟏=

𝟏+𝟏+𝟏+𝟏+𝟏

𝟏+𝟏=

𝟓

𝟐

Cálculos auxiliares:

1 1 0 0↓ 1 11 1 1

011

011

−11

0 = 𝑅

28.6. Atenção ao domínio…

𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 − 2 ≥ 0 ∧ 𝑥2 − 2𝑥 > 0} = [2, +∞[⋂(]−∞, 0[⋃]2, +∞[) = ]2, +∞[

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐+

√𝒙 − 𝟐

√𝒙𝟐 − 𝟐𝒙= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟐

√𝒙 − 𝟐

√𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=⏞

(𝟎𝟎)

√𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐

𝒙 − 𝟐

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙= √𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟐

𝒙 − 𝟐

𝒙(𝒙 − 𝟐)= √𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟐

𝟏

𝒙= √

𝟏

𝟐=

√𝟐

𝟐