Trigonometria - 158

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Thiago Pacífico– Matemática

Curso de Matemática Básica

TRIGONOMETRIA

TRANSFORMAÇÃO DE GRAUS EM RADIANO

Para transformar um determinado ângulo de graus em radiano, basta dividir o ângulo por 180o e depois

multiplicar por .

Ex.: rad3003003003

5

180.

o

o

oo .

Veja alguns exemplos de ângulo escritos em graus e em radiano:

rad306

o rad90

2

o

rad454

o rad180o

rad603

o rad

3270

2

o

TRANSFORMAÇÃO DE RADIANO EM GRAUS

Para transformar um determinado ângulo de radiano em graus, basta dividir o ângulo por e depois

multiplicar por 180o.

Ex.: 15radrad o

12

180o.

1212

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO

Considere o triângulo retângulo ABC, com ângulo reto no vértice A, e os ângulos agudos e . Note que

+ = 90º (são ditos complementares) e que a é a hipotenusa, b e c são os catetos.

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Baseado na figura acima, definimos as razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente de um ângulo

agudo num triângulo retângulo, como sendo:

a

bsen

a

ccos

c

btg

a

csen

a

bcos

b

ctg

Como + = 90o, então:

sen = cos cos = sen tg = cotg

VARIAÇÃO DO SINAL



TABELA TRIGONOMÉTRICA

sen cos tg

30o 1/2 2/3 3/3

45o 2/2 2/2 1

60o 2/3 1/2 3

0o 0 1 0

90o 1 0 não existe

180o 0 –1 0

270o –1 0 não existe

360o 0 1 0

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

αcos

α senαtg

αtg

1αcotgou

αsen

α cosαcotg

αcos

1αsec

αsen

1αcosec

RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA

sen2 + cos2

= 1

sen2 = 1 - cos2

cos2 = 1 - sen2

FÓRMULAS DERIVADAS

sec2 = 1 + tg2

2

ππkα



cosec2 = 1 + cotg2

πkα

ADIÇÃO E DIFERENÇAS DE ARCOS

sen( ) = sen . cos sen . cos

cos( ) = cos . cos sen . sen

βtg.αtg1

βtgαtgβαtg

ARCO DUPLO

sen2 = 2 . sen . cos

cos2 = cos2 - sen2

cos2 = 2cos2 - 1 ou cos2 = 1 - 2sen

αtg1

αtg.22αtg

2

QUESTÕES DE CONCURSOS

01. (ESAF) A expressão dada por y = 4(cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é: a) - 4 ≤ y ≤ 8

b) 0 < y ≤ 8

c) -∞ ≤ y ≤ ∞

d) 0 ≤ y ≤ 4

e) 0 ≤ y ≤ 8

02. (ESAF) Se x é um arco do segundo quadrante e sen x = 4/5, então cos x é: a) -

5/3 b) 5/3

c) 3/5

d) 3/5 e) -

3/5

03. (ESAF) Sabe-se que o seno de 60º é igual a (31/2)/2, e que co-seno de 60º é igual a 1/2. Sabe-se, também, que o



seno do dobro de um ângulo é igual ao dobro do produto do seno de pelo co-seno de . Assim, a tangente do ângulo suplementar a 60o é: a) - 1/2

b) - (31/2)

c) 31/2

d) (31/2)/2

e) - (31/2)/2

04. (ESAF) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica (cosx + senx)2 + y.senx.cosx - 1 = 0 representa uma identidade é: a) 2

b) 0

c) -1 d) -

2 e) 1

05. (ESAF) A expressão dada por y = – 2senx + 5 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é

a) -1 y 7 b) y 3 ou y 7

c) 3 < y 5

d) 3 y 8

e) 3 y 7

06. (ESAF) Simplificando a expressão: (sen a. tg a. cossec a) /(cos a. cotg a. sec a), obtém-se:

a) 0 b) 1 c) sen2

a d) sec

2a e) tg2a

07. (ESAF) Se sen x = 0,5, então (1 / cotg x) vale:

a) 3

b) 3/3

c) 3/2

d) 2/3

e) 4/3

08. (ESAF) Sabendo que x é o ângulo correspondente a um arco do segundo quadrante, e que seno de x é igual a 12/13, então a tangente de x é igual a: a) - 12/5 b) - 10/13 c) 10/13 d) 12/13 e) 12/5

09. (ESAF) Simplificando a expressão 1-xsec

xcotg.x tg2

, obteremos:

a) sec2x



b) cot g 2 x

c) tg 2 x

d) cos sec 2 x

e) cos 2 x

10. (ESAF) O valor do determinante da matriz

oo

oo

cos10sen10

cos40sen40 é:

a) 2

1

b) 2

3

c) 2

2

d) 3

11. (ESAF) Seja a matriz

oo

o

cos390sen120

sen65coso

25 . O valor de seu determinante é:

a) 3

22

b) 3

33

c) 3

3

d) 1 e) 0

12. (FCC) Calcule o valor numérico da expressão:

E = sen2 10o + sen2 20o + sen2 30o + ... + sen2 80o a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

13. (CESGRANRIO) A expressão cos2x + cos2x . tg2x + tg2x

equivale a:

a) cos²x b) sec²x c) sen²x d) tg²x e) cotg²x

14. (FCC) A expressão senx

xcos1

xcos1

senx

é igual a:

a) 2sec x b) cossec x c) 2 cossec x d) 2 tg x e) 2 cotg x



15. (FUNRIO) A expressão cosxsecx

senxcossecx

é idêntica a:

a) tg²x + sec x b) sec²x c) sen²x + cosx d) cossec³x e) cotg³x

16. (FUNRIO) Para todo x pertencente ao intervalo (0, /2), a expressão xsec

tgx .x cossec2

2

é igual a:

a) tgx b) secx c) cossecx d) cotgx e) 1

17. (FGV) Se x está no primeiro quadrante e (1+ cotg2x).senx = 2, então o valor de cos4x é igual a:

a) 2

1

b) 2

3

c) 2

1

d) 2

3

e) 1

18. (ESAF) Simplificando a expressão: E = (1 + cotg2x).(1 – cos2x), teremos: a) E = tgx b) E = senx

c) E = 2

d) E = 1 e) E = -1

19. (FUNRIO) O valor da expressão: 30t.3

1020sen2010sen

o

oooo

g

cos.cos. é:

a) 2

1

b) 2

3

c) 1

d) 3

2

e) 0

(FCC) Se sen x – cos x = 2 , o valor de 1 + sen 2x é:

a) 2 b) 1 c) 0 d) - 1 e) - 2



A

5 0

3 0 °

6 0 °B

20. (FCC) Se sen x = 3/5 , um possível valor de sen 2x é: a) 4/5 b) 6/5 c) 5/12 d) 12/13 e) 24/25

21. (ESAF) Sabendo-se que 3 cos x + sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a a) - 4/3 b) 4/3 c) 5/3 d) - 5/3 e) 1/7

22. (ESAF) Para todo 2

.kx

, k Z, a expressão

sensec

coseccos é equivalente a:

a) cotg

b) - cotg

c) tg

d) - tg

e) sec . tg

23. Na figura abaixo determinar o valor AB. a) 50 b) 55 c) 60 d) 65 e) 75

24. (FCC) Com respeito aos pontos A, B, C, D e E, representados na figura abaixo, sabe-se que CD = 2. BC e que a distância de D a E é 12m. Então, a distância de A a C, em metros, é: a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

25. (ESAF) Se X = 3 sen(a) e Y = 4 cos(a), então, para qualquer ângulo (a), tem-se que a) 16 X² - 9 Y² = -144 b) 16 X² + 9 Y² = 144 c) 16 X² - 9 Y² = 144 d) -16 X² + 9 Y² = 144 e) 16 X² + 9 Y² = -144

26. (ACEP) Se A sen 120, B cos 120 e C tg 120, é verdade que

a) C A B



30° 60°x

100 m

b) C B A

c) B A C

d) B C A

e) A B C

27. (ACEP) Se x é um número real, então o menor valor da expressão xsen2

2

é

a) -1 b) - 2/3 c) 2/3 d) 1 e) 2

28. (ACEP) Calcular x indicando na figura.

a) 330

b) 30

c) 340

d) 40

e) 350

29. (ESAF/ 2008) Sabendo que x = arc cos2

2 e que y = arc sen

2

1, então o valor da expressão cos(x – y) é igual a

:

a) 4

26

b) 4

26

c) 2

2

d) 2

23

e) 2


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