Turma TTI | Informações, material de aula e …€¦ · Web viewQuanto se deve depositar no início de cada mês, numa instituição financeira que paga 4,86% a.m. durante 2 anos

Matemática Financeira – Eunice

Avaliação : Participação, assiduidade, provas (2/3)

Trabalhos Prova 8,0 – Trabalhos 2,0

Conteúdo programático

I Juros Simples (J.S.)

1. Introdução a J.S.2. J.S. Exato, Comercial e pela Regra dos Banqueiros3. Taxas proporcionais4. Taxas Equivalentes5. Montante6. Descontos

II Juros Compostos (J.C.)

1. Cálculo de montante e dos J.C.2. Taxas proporcionais3. Taxas equivalentes4. Taxa nominal5. Taxa efetiva6. Descontos7. Equivalência de capitais diferidos8. Rendas

a.a – ao anoa.m – ao mêsa.b – ao bimestrea.t – ao trimestrea.q – ao quadrimestrea.s – ao semestrea.d – ao dia

Formula Juros J = C . i . n onde:J= Juros C=Capital i =Taxa de juros n =período

Ano comercial = 360 dias mês comercial = 30 dias

Transforme sempre a taxa percentual em taxa diária3,2% 3,2 = 0,032

Taxa percentual 100 Taxa unitária

1. Juros Simples

Exemplos de cálculos:

Para achar o valor de Juros:1) J= C=R$ 1.900,00 i = 12,15 a.s n=1 ano

Passo 1) dividir juros por 100 12,15 = 0,1215 100

J= 1.900,00 . 0,1215 . *2 = R$ 461,70 *(2 semestres = 1 ano)

2) J= C=R$1.980,00 i =6,98 a.b n =1 mês e 17 dias Passo1) Achar o período 47 (dias) = 0,78333333

60 (1 bimestre) J= 1.980,00 . 0,0698 . 07833333 = 108,26

Para achar o prazo:3) J= R$ 1.980,11 C=R$ 1.900,00 i= 18,62% a.s. n=

Passo 1) dividir juros por 100 = 0,1862Passo 2) achar prazo da seguinte maneira : 1.980,11 = 5,370867645

1.980,00 . 0,1862Passo 3) Com o número 5,370867645 eu já sei que tenho 5 semestres de prazoPasso 4) Tirando esse 5 do valor ficamos com 0,370867645. Aqui vem um atalho que serve apenas para achar dias em juros simples (não vale para juros compostos). Pegue o valor 0,370867645 e multiplique pelo numero de dias solicitados nos juros (nesse caso semestre = 180dias) .

0,370867645 . 180 = 66,756176166,7561761 é o número de dias restantes no prazo. Então temos 5 semestres +

67 dias (66,7) o que corresponde a 2 anos 8 meses e 7 dias.

Exercícios I para Juros(J), Capital(C), taxas(i) e prazo(n):

Achar o juro (J)1) J = ?

C = R$ 1.900,00i= 12,15% a.s.n = 1 ano

2) J = ?C = R$ 1.980,00i = 6,98% a.b.n = 1 mês e 17 dias

3) J = ?C = R$ 965,00i = 23,18% a.a.n = 1 ano 4 meses e 3 dias

4) J = ?C = R$ 1.360,00i = 43,18% a.t.n = 2 meses e 19 dias

Achar o Capital (C)

5) J = R$ 113,50C = ?i= 16,8% a.s.n = 1 trimestre

6) J = R$ 152,00C = ?i= 12% a.a.n = 1 ano e 4 meses

Achar a taxa (i)

7) J = R$ 12,77C = R$ 380,00i= ? a.m.n = 18 dias

8) J = R$ 79,55C = R$ 976,44i= ? a.b.n = 1 mês e 17 dias

9) J = R$ 363,09C = R$ 1.260,00i= ? a.a.n = 1 ano e 7 meses

10) J = R$ 458,40C = R$ 5.000,00i= ? a.t.n = 1 mês e 18 dias

11) J = R$ 16,34C = R$ 600,00i= ? a.m.n = 19 dias

Achar o prazo (n)

12) J = R$ 363,79C = R$ 1.200,00i= 18,72% a.a.n = ?

13) J = R$ 1.980,11C = R$ 1.980,00i= 18,62% a.s.n = ?

14) J = R$ 187,31C = R$ 712,00i= 4,67% a.m.n = ?

15) J = R$ 160,72C = R$ 500,00i= 8,61% a.m.n = ?

Respostas:

1) R$ 461,70. 2) R$ 108,26 3) R$ 300,114) R$ 515,47 5) R$ 1.351,19 6) R$ 950,007) 5,6% a.m. 8) 10,40% a.b. 9) 18,2% a.a10) 17,19% a.t. 11) 4,3% a.m. 12) 1 ano, 7 meses e 13 dias13) 2 anos, 8 meses e 7 dias 14) 5 meses e 19 dias 15) 3 meses e 22 diasExercícios II para Juros(J), Capital(C), taxas(i) e prazo(n):

1) A que taxa anual devo aplicar R$ 1.200,00 para em 1 ano, 5 meses e 7 dias seja obtido o rendimento de R$ 238,16.

2) A aplicação de R$ 550,00 a taxa de juros simples de 8,76% a.m. teve um rendimento de R$ 227,30. Calcule o período dessa aplicação.

3) Calcule o rendimento da aplicação de R$ 4.980,00 a taxa de juros simples de 14,6% a.a. durante 5 meses e 10 dias.

4) Obtive juros simples de R$ 184,09 ao aplicar R$ 600,00 a taxa de 1,74% a.b. Calcule o período dessa aplicação

5) A que taxa semestral devo aplicar R$ 1.350,00 para em 1 ano, 5 meses e 19 dias obter um rendimento de R$ 3.716,23

6) A aplicação de R$ 3.680,00 teve um rendimento de R$ 6.500,00. Sabendo que a taxa de juros simples foi de 27,52% a.s. Calcule o período da aplicação.

7) A que taxa bimestral devo aplicar um certo capital de modo a obter juros simples de 72,18% deste mesmo capital, no final de 3 meses e 11 dias.

8) Ao fazer uma certa aplicação durante 1 ano, 2 meses e 11 dias a taxa de juros simples de 29,12% a.t. obtive um rendimento de R$ 5.550,21. Qual o valor aplicado.

9) Calcule o prazo em que uma aplicação no valor de R$ 3.680,00 precisa permanecer no banco para ter o rendimento de R$ 5.920,27 a taxa de juros de 45,17% a.a.

10) Na aplicação de R$ 32.500,00 durante 3 meses e 29 dias se obteve o lucro de R$ 5.930,17. Calcule a taxa de juros simples anual e mensal dessa aplicação.

11) Calcule o prazo que devo aplicar R$ 14.000,00 a taxa de 18,17% a.s. para obter o rendimento de R$ 5.300,00.

12) A qual taxa trimestral devo aplicar R$ 3.000,00 para em 2 anos, 2 meses e 7 dias obter um rendimento de R$ 1.545,14.

Respostas :

1) 13,82% a.a. 2) 4 meses e 22 dias 3) R$ 323,154) 2 anos 11 meses e 8 dias 5) 93,67 a.s. 6) 3 anos, 2 meses e 15 dias7) 42,88 a.b. 8) R$ 3.980,00 9) 3 anos, 6 meses e 22 dias10) 1,38 a.m. 18,87 a.a. 11) 1 ano e 15 dias 12) 5,89 a.t.

2. Juros Simples Exato, Comercial e pela Regra dos Banqueiros

2.1 Cálculo do número de dias

a) Pelo ano civil – Usa-se o calendário – 1 ano = 365 diasExemplo : 28/03 a 02/06Março - 31 – 28 = 3Abril 30Maio 31Junho 2

66 dias

b) Pelo ano comercial – Usa-se o ano comercial – 360 dias e mês de 30 diasExemplo : 28/03 a 02/0628/03 a 28/05 = 60 dias29/05, 30/05, 31/05, 01/06, 02/06 = 5 dias

65 dias

2.2 Juro Simples Exato

Contagem do número de dias pelo ano civilExemplo: n = 28/03 a 02/06 = 66 dias

J = C = R$ 2.000,00 i = 12,16 a.a. n = 66 dias

2.000,00 . 0,1216 . 66 = 43,98365

2.3 Juro Comercial

Contagem do número de dias pelo ano comercialExemplo: n = 28/03 a 02/06 = 65 dias

J = C = R$ 2.000,00 i = 12,16 a.a. n = 65 dias

2.000,00 . 0,1216 . 65 = 43,91360

2.4 Juro pela Regra dos Banqueiros

Contagem do número de dias pelo ano civilExemplo: n = 28/03 a 02/06 = 66 dias

J = C = R$ 2.000,00 i = 12,16 a.a. n = 66 dias

2.000,00 . 0,1216 . 66 = 44,59360

JE = C . i . nE

365

JC = C . i . nC

360

JRB= C . i . ne

360

1) O capital de R$ 3.200,00 foi aplicado em 29 de março deste ano e será resgatado em 3 de setembro. Se a taxa é de 48,29% a.a. calcule :

a) Juro simples exatob) Juro simples comercialc) Juro simples pela regra dos banqueiros

nC = 155 dias nE = 158 dias

JE = 3.200,00 . 0,4829 . 158 = 668,92365

JC = 3.200,00 . 0,4829 . 155 = 665,33360

JRB = 3.200,00 . 0,4829 . 158 = 678,21360

2) O capital de R$ 5.650,00 será aplicado no período de 9 de agosto a 15 de dezembro deste ano, a taxa de juros de 18,25 a.a. Calcule :

a) Juro simples exatob) Juro simples comercialc) Juro simples pela regra dos banqueiros


JE = 5.650,00 . 0,1825 . 128 = 361,60365

JC = 5.650,00 . 0,1825 . 126 = 360,89360

JRB = 5.650,00 . 0,1825 . 128 = 366,62360

3) Um certo capital foi aplicado em 5 de março e será resgatado em 8 de maio deste ano, a taxa de juro simples de 32,18 a.a. Sabendo que o juro simples exato obtido foi de R$ 36,68 calcule o valor desta aplicação.


36,68 = C . 0,3218 . 64 = 365

36,68 . 365 = C . 03218 . 64

36,68 . 365 = 650,060,3218 . 64

4) Calcule o juro simples exato, o juro simples composto e o juro simples pela regra dos banqueiros da aplicação de R$ 3.800,00 a taxa de juros de 48,12% a.a. no período de 26 abril a 02 de agosto deste ano


JE = 3.800,00 . 0,4812 . 98 = 490,96365

JC = 3.800,00 . 0,4812 . 97 = 492,70360

JRB = 3.800,00 . 0,4812 . 98 = 497,77360

5) Durante quanto tempo devo aplicar R$ 1.500,00 a taxa de juro simples de 18,12% a.a. para obter rendimento de R$ 666,67.

666,67 = 2.4527961741.500,00 . 0,1812

2,452796174 = 2 anos, 5 meses e 13 dias

6) Obtive rendimento de R$ 98,85 ao aplicar R$ 1.980,00 durante 1 mês e 19 dias. Calcule a taxa trimestral de juros simples dessa aplicação.

98,85 = 9,17% a.t.1.980,00 . 0,5444444

5. Montante (M)

Fórmula do Montante M = C (1+in)

C = R$ 2.000,00J = R$ 180,00M=R$ 2.180,00

Exemplo:

1) M = ?C = R$ 1.800,00i = 18,12% a.a.n = 1 mês e 19 dias (0,136111111)

M = 1.800,00 ( 1 + 0,1812 . 0,136111111)M = 1.800,00 (1.02466132) = 1.844,39

2) M = ?C = R$ 1.200,00i = 12% a.a.n = 2 anos, 2 meses e 22 dias (2,22777778)

M = 1.200,00 ( 1 + 0,12 . 2,22777778)M = 1.200,00 (1 + 0,2673) = 1.520,80

3) M = ?C = R$ 900,00i = 17% a.s.n = 1 mes e 18 dias (0,2666666)

M = 900,00 ( 1 + 0,17 . 0,2666666)M = 900,00 (1 + 0,4533322) = 940,80

4) M = R$ 1.657,44C = ?i = 7,68% a.m.n = 1 mes e 11 dias (1,3666666)

1.657,44 = C ( 1 + 0,0768 . 1,3666666)1.657,44 = C (1 + 0,10496)

1.657,44 = 1.500,001,10496

5) M = R$ 1.178,48C = ?i = 9,62% a.s.n = 1 ano e 3 meses (2,5)

1.178,48 = C ( 1 + 0,0962 . 2,5)1.178,48 = C (1 ,2405)

1.178,48 = 950,00 1,2405

6) M = R$ 3.130,68J = ?C = ?i = 22% a.a.n = 1 ano e 7 meses e 21 dias (1,641666667) Primeiro acha o Capital

3.130,68 = C ( 1 + 0,22 . 1,64666667)3.130,68 = 2.299,997551 = 2.300,00 (Capital)1,361166

Depois calcula o Juro

3.130,68 – 2.300,00 = 830,68 (Juro)

7) M = R$ 1.681,00C = R$ 750,00i = ? % a.t.n = 1 ano e 7 meses (6,3333333)

1.681,00 = 750,00 ( 1 + i . 6,3333333)

1.681,00 - 1 = 6,333333 i 750,00

1,24133333 = 0,1960 = 19,60% a.t.6,3333333

8) M = R$ 2.191,51C = R$ 1.600,00i = ? % a.a.n = 1 ano e 2 meses e 13 dias (1,202777778)

2.191,51 = 1.600,00 ( 1 + i . 1,202777778)

2.191,51 - 1 = 1,202777778 i 1.600,00

0,36969375 = 0,30736628 = 30,74% a.a. 1,202777778

9) M = R$ 2.757,49C = R$ 2.500,00i = ? % a.s. ? % a.a.n = 11 meses e 5 dias(1,861 semestre 0,9306 anual)Cálculo para semestre2.757,49 = 2.500,00 ( 1 + i . 1,861)

2.757.49 - 1 = 1,861 i2.500,00

0,102996 = 0,05534438 = 5,53% a.s. 1,861

Cálculo para anoSe você raciocinar verá que é só duplicar o juro do semestre pra achar o anual (2 . 5,53

= 11,06) mas se quiser calcular...2.757,49 = 2.500,00 ( 1 + i . 0,9305)

2.757.49 - 1 = 0,9305 i2.500,00

0,102996 = 0,110688876 = 11,07% a.a. * Diferença de 0,01 0,9305

10) M = R$ 2.980,11C = R$ 1.980,00i = 18,62% a.s.n = ?

2.980,11 = 1.980,00 ( 1 + 0,1862 n)

2.980,11 = 1 + 0,1862 n 1.980,00

inacabado

6. Descontos

Valor Nominal (N) x Valor Atual (A)

Antes do vencimento é SEMPRE valor Atual

Desconto é o abatimento que se obtém ao resgatar/saldar um título de crédito antes do seu vencimento.

Fórmula : N = A (1+i n)

Para isolar A : A= N 1+ i n

Tipos de Descontos

1) Desconto Racional (DR) – Desconto matemático ou desconto “por dentro”.

Fórmula : DR = N i n 1 + i n

Valor Atual Racional ou Valor Descontado Racional

Fórmula : AR = N 1 + i n

2) Desconto Comercial (DC) – Desconto “por fora”.Obtido através de Juro simples sobre o valor nominal.

Fórmula : DC = N i n

Valor Atual Comercial

Fórmula : AC = N (1 - i n)

3 meses

JUROS

Valor Atual (A)

Valor Nominal (N)

R$ 1.000,00

23/04

R$ 1.500,00

23/07

3) Desconto Bancário (DB) – Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa “h” sobre o valor nominal. Esta taxa “h” pode ser entendida como as despesas administrativas cobradas pelo banco.

Fórmula : DB = N (i n + h)

Valor Atual Bancário ou Valor descontado bancário

Fórmula : AB = N [ 1 – ( i n + h) ]

DICA : Não especificando o tipo de juros vale o JURO COMERCIAL

Exemplos :

1) Um título de crédito no valor de R$ 6.000,00 foi descontado 2 meses e 19 dias antes do vencimento a taxa de descontos simples de 9,87% a.m. Calcule em cada caso o valor doa) Desconto Racionalb) Desconto comercial

N= R$ 6.000,00i = 9,87 a.m. (0,0987)n = 2 meses 19 dias (2,633333)

Resposta a)DR = 6.000,00 . 0,0987 . 2,633333 = 1.237,76 1 + 0,0987 . 2.633333

AR= 6.000,00 = 4.762,24 1 + 0,0987 . 2.633333

Resposta b)DC = 6.000,00 . 0,0987 . 2.633333 = 1.559,46

AC = 6.000,00 ( 1 – 0,0987 . 2,633333) = 4.440,54

2) Um cliente descontou um título de crédito no valor de R$ 12.000,00 num banco, 2 meses antes do seu vencimento a taxa de desconto simples de 19,8% a.a. Sabendo que a taxa cobrada pelo banco é de 1,5%, calcule o desconto obtido pelo cliente.

N = R$ 12.000,00i = 19,8% a.a (0,198)n = 2 meses (0,166666)h = 1,5% (0,015)

DB = 12.000,00 ( 0,198 . 0,166666 + 0,015) = R$ 576,00

AB = 12.000,00 [ 1 – ( 0,198 . 0,166666 + 0,015 ) ] = R$ 11.424,00

3) Um título de crédito foi descontado 13 dias antes do vencimento à taxa de desconto simples de 9,3% a.m. Sabendo que o desconto obtido foi de R$ 36, 27 calcule :

a) O valor deste título de créditob) O valor do resgate

N = R$ 900,00i = 9,3% a.m. (0,093)n = 13 dias ( 0,433333)

a) R$ 36,27 = N . 0,093 . 0,433333 = N = 36,27 = R$ 900,00 0,093 . 0,433333

b) R$ 900,00 – R$ 36,27 = R$ 863,73

4) * Não copiei

5) Um título de crédito é descontado 1 mês e 10 dias antes do vencimento pelo valor de R$ 1.273,13. Se a taxa de descontos simples é de 18,6% a.a. calcule o desconto obtido.

i = 18,6 a.a. (0,186)n = 1 mês e 10 dias ( 0,11111)A = R$ 1.273,13AC = N . 0.186 . 0,11111 = 0,020666646Primeiro achamos o N

1.273,13 = N ( 1 – 0,186 . 0,11111)

1.273,13 = 1.299,996322 = 1.300,00 1 – 0,186 . 0,11111

DC = 1.300,00 – 1.273,13 = 26,87

6) Necessitando de um empréstimo uma pessoa assinou uma nota promissória no valor de R$ 2.746,06 para resgatá-la daqui 1 mês e 17 dias à taxa de juro simples de 21,82% a.a. Calcule o valor deste empréstimo.

7) Um título de crédito com vencimento para 75 dias foi resgatado a taxa de desconto simples de 2,1% a.m. Sabendo-se que o desconto racional obtido foi de R$ 249,41 calcule o valor de resgate.

8) Calcule o valor de um título de crédito com vencimento para 90 dias sabendo-se que a diferença entre seu desconto comercial e racional, num regime de capitalização simples a taxa de 24% a.a. é de R$ 7,81.

9) Um título de crédito no valor de R$ 2.000,00 vencível em 120 dias é descontado em um banco a taxa de desconto simples de 54% a.a. Sabendo-se que o líquido creditado foi de R$ 1.630,40 calcule a taxa cobrada pelo banco.

10) Ao ser resgatado antes do vencimento um título de crédito no valor de R$ 4.000,00 sofreu um desconto simples de R$ 420,25. Sabendo que a taxa de desconto é de 49,12% a.a. calcule o prazo deste resgate.

11) Um título de crédito no valor de R$ 6.300,00 foi resgatado 5 meses e 23 dias antes do vencimento por R$ 4.521,11. Calcule a taxa de desconto simples sabendo que a taxa cobrada pelo banco é de 0,22%.

Respostas :

6) R$ 2.667,837) R$ 4.750,678) R$ 2.299,619) 0,48%10) 2 meses e 17 dias11) 29,15% a.s.

Juros compostos

Montante

M= C (1+i)n

Juros

J = C[(1+i)n – 1]

Exemplos:

1) M = ?

C = R$ 3.200,00

i = 48,19 a.s.

n = 1 ano 3 meses e 17 dias (2,594444444)

M = 3.200,00 ( 1 + 0,4819) 2.594444444

M = 3.200,00 . 1,4819 2.5944444444

M = 3.200,00 . 2,774470688

J = R$ 8.878,31 – 3.200,00 = 5.678,31 ou

M= R$ 8.878,31

Para quem usa a CASIO FX82 - teclas para exponencial 1,4819 ^ 2.59444444 =

2) M = ?

C = R$ 1.350,00

i = 18,6 a.s.

n = 1 ano 2 meses (2,33333333)

M = 1.350,00 ( 1 + 0,186) 2.33333333

M = 1.350,00 . 1,186 2.3333333

M = 1.350,00 . 1.488895687

3) J = ?

C = R$ 3.000,00

i = 17,2 a.a.

n = 3 meses e 17 dias (0,29722222222)

M = 3.000,00 ( 1 + 0,172) 0,2972222222

M = 3.000,00 . 1,048302974

J = 3.200,00 [ ( 1 + 0,4819)2.594444444 – 1 ] = 5.678,31

M= R$ 2.010,01

M= R$ 3.144,91

4) M = ?

C = R$ 850,00

i = 12,6 a.m.

n = 3 meses e 19 dias (3.63333333)

M = 850,00 ( 1 + 0,126) 3.63333333

M = 850,00 . 1,126 3.63333333

5) M = R$ 3.613,17

C = ?

i = 7,62 a.m.

n = 13 dias (0.43333333)

3.613,17 = C ( 1 + 0,0762) 0.43333333

3.613,17

1,032334151

J = 3.144,91 – 3.000,00 = 144,91

M= R$ 1.308,20

C= R$ 3.500,00

6) J = R$ 5,06

C = ?

i = 8,16 a.b.

n= 7 dias (0,116666666)

5,06 = C [( 1 + 0,0816) 0,116666666 - 1 ]

5,06 = C [(1,009193503) - 1 ]

5,06

009193503 = 550,39

7) J = R$ 315,86

M= ?

i = 28,73 a.a.

n = 1 ano 4 meses 21 dias (1,3916666666)

315,86 = C [( 1 + 0,2873) 1,391666666 - 1 ]

315,86 = C [(1,421142668) - 1 ]

315,86

421142668 = 750,01

C= 750,01 M= 750,01 + 315,86 = 1.065,87

8) M = R$ 1.855,50

J= ?

i = 18,72 a.t.

n = 1 mes 19 dias (0,544444444)

1.855,50 = C [( 1 + 0,1872) 0,544444444 - 1 ]

1.855,50 = C [(1,097928646) - 1 ]

1.855,50

097928646 = 1.690,00

C= 1.690,00 J= 1.855,50 – 1.690,00 = 165,50

9) J = R$ 87,92

M= ?

i = 19,72 a.s.

n = 5 meses 12 dias (0,9)

M = C [( 1 + 0,1972) 0,9 - 1 ]

M = C [1,175844893 ]

87,92

175844893 = 499,99

C= 499,99 M= 499,99 + 87,92 = 587,91

10) M = ?

J = ?

C = R$ 2.600,00

i = 23% a.t.

n = 1 ano 19 dias (4,21111111)

M = 2.600,00 ( 1 + 0,23) 4,211111111 = 6.216,90

J = 2.600,00 [ (1 + 0,23) 4,211111111 – 1]

J = 2.600,00 [1.391114718 ] = 3.616,90

Cálculo da taxa (i)

1) M = R$ 2.613,02

C = R$ 2.000,00

i = a.b.

n = 3 meses e 11 dias (1,68333333)

2.613,02 = 2.000,00 ( 1 + i ) 1.683333333

2.613,02 = (1 + i ) 1,683

2.000,00

1.30651 = ( 1 + i ) 1.683333333

1,68333333√1,30651 = 1,68333333√(1 + i) 1,68333333

1,68333333√1,30651 = (1 + i)

1,172135621 – 1 = i = 0,17213562

Para quem usa a CASIO FX82 - teclas para raiz 1,683333333 shift √ 1,30651 = .

0,17213562 . 100 = 17,21 % a.b.

2) J = R$ 123,89

C = R$ 895,01

i = a.t.

n = 5 meses e 19 dias (1,8777777777)

M = 895,01 ( 1 + i ) 1.8777777777

1.018,90 = (1 + i ) 1,877777777

895,01

1.138423034 = ( 1 + i ) 1.87777777777

1,877777777√1,138423034 = 1,071480338 = 7,15% a.t.

3) M = R$ 2.375,42

C = R$ 1.680,00

i = a.b.

n = 3 meses e 14 dias (1,73333333333)

2.375,42 = 1.680,00 ( 1 + i ) 1.733333333333

2.375,42 = (1 + i ) 1,73333333333

1.680,00

1.413940476 = ( 1 + i ) 1.7333333333

1,7333333333√1,413940476 = 1,221201105 = 22,12% a.b.

4) J = R$ 1.320,36

C = R$ 1.980,00

i = a.a.

n = 1 ano 10 meses (1,8333333333)

3.300,36 = 1.980,00 ( 1 + i ) 1.8333333333

3.300,36 = (1 + i ) 1,8333333333

1.980,00

1.666848485 = ( 1 + i ) 1.8333333333

1,8333333333√1,666848485 = 1,32139984 = 32,14% a.a.

Cálculo do prazo (n)

1) M = R$ 40.290,58

C = R$ 2.700,00

i = 42,16% a.b.

n = ?

40.290,58 = 2.700,00 ( 1 + 0,4216) n

40.290,58 = 1,4216n

2.700,00

14.92243703 = 1,4216n

Propriedade Logaritmo - Log an = n log a

Log 14,92243703 = n log 1,4216

1,173839755 = n . 0,152777414

1,173839755

0,152777414 = 7,683333015

1 ano 3 meses e 11 dias

2) J = R$ 8.574,46

C = R$ 2.000,00

i = 37,42% a.s.

n = ?

M = 2.000,00 + 8.574,46 = 10.574,46

10.574,46 = 2.000,00 ( 1 + 0,3742) n

10.574,46 = 1, 3742n

2.000,00

5,28723 = 1, 3742n

Log 5,28723 = n log 1, 3742

0,723228203 = n . 0,138049944

0,723228203

0,138049944 = 5,23888805

2 anos 7 meses e 13 dias

3) M = R$ 1.251,45

C = R$ 980,00

i = 18,6% a.m.

n = ?

1.251,35 = 980,00 ( 1 + 0,186) n

1.251,45 = 1, 186n

980,00

1,276989796 = 1, 186n

Log 1,276989796 = n log 1, 186

0,106187426 = n . 0,074084689

0,106187426

0,074084689 = 1,433324853

1 mes e 13 dias

4) M = R$ 1.717,59

C = R$ 1.500,00

i = 15,72% a.s.

n = ?

1.717,59 = 1.500,00 ( 1 + 0,1572) n

1.717,59 = 1,1572n

1.500,00

1,14506 = 1,1572n

Log 1,14506 = n log 1,1572

0,058828243 = n . 0,063408424

0, 058828243

0, 063408424 = 0,92776698

5 meses e 17 dias

5) M = R$ 1.504,29

C = R$ 975,00

i = ? % a.b.

? a.t.

n = 7 meses e 12 dias (bimestre = 3,7 trimestre = 2,46666666)

1.504,29 = 975,00 ( 1 + i ) 2,466666666

1.504,29 = (1 + i ) 2,466666666

975,00

1.542861538 = ( 1 + i ) 2,466666666

2,466666666√1,542861538 = 1,192199037 = 19,22% a.t.

1.504,29 = 975,00 ( 1 + i ) 3,7

1.504,29 = (1 + i ) 3,7

975,00

1.542861538 = ( 1 + i ) 3,7

3,7√1,542861538 = 1,124343922 = 12,43% a.b.

Exercícios

1) M = R$ 2.542,79C = R$ 1.980,00

i = 23,12% a.a.

n = ?

2) J = R$ 1.508,52C = R$ 1.600,00

i = ? % a.a.

n = 7 meses e 11 dias

3) Calcule o montante e os juros obtidos na aplicação de R$ 7.000,00 durante 1 ano 4 meses e 2 dias, a taxa de J.C. 24,56% a.t

4) Uma pessoa fez uma aplicação financeira durante 2 meses e 17 dias a taxa de J.C. 19,27% a.a. obtendo o montante de R$ 3.115,23. Calcule o valor desta aplicação.

5) O capital de R$ 560,00 aplicada a taxa de J.C. de 31,12% a.a. transformou-se em R$ 883,87. Qual foi o prazo dessa aplicação?

6) A qual taxa trimestral devo aplicar R$ 1.700,00 para em 2 meses e 11 dias obter o montante de R$ 1.957,29, no regime de capital de J.C.

7) A qual taxa bimestral, no regime de capitalização composta deve-se aplicar um certo capital de modo a obter o rendimento igual a 85% deste capital aplicado no final de 3 anos, 7 meses e 4 dias.

8) Fiz uma aplicação de R$ 5.200,00 durante 5 meses e 17 dias a taxa de J.C. de 15,6% a.t. Qual foi o rendimento obtido?

9) O capital de R$ 2.200,00 aplicado durante 2 meses e 23 dias transformou-se em R$ 6.806,71. Calcule a taxa semestral de J.C. dessa aplicação.

10) Durante quanto tempo devo aplicar R$ 980,00 a taxa de J.C. de 36,72% a.a. para obter rendimento de R$ 2.033,63.

11) Um certo capital foi aplicado a taxa de J.C. de 45,16% a.a. Durante quanto tempo devo aplicá-lo para que ele quintuplique de valor.

12) No final de quanto tempo, no regime de capitalização composta, dois capitais, sendo o primeiro no valor de R$ 5.000,00 a taxa de J.C. 12% a.a. e o segundo no valor de R$ 5.300,00 aplicado a taxa de 11% a.a. terão atingido o mesmo montante.

A solução da questão 12: ( deve existir outra maneira mas eu achei essa ).

C1= R$ 5.000,00 C2= R$ 5.300,00

i1 = 12% a.a. i2= 11% a.a.

5.000,00 (1,12)n = 5.300,00 (1,11)n

5.000,00

5.300,00

0,943396226 (1,12)n = (1,11)n

(1,12)n

(1,11)n

(1,009009009)n = 0,943346226

log 1.009009009 = log 0,943346226

-0,02532883 3,895043884

Descomplicando é assim... divide C1 por C2, divide i1 por i2, acha os logaritmos de cada um e depois divide um logaritmo pelo outro. Daí é só converter em dias. Facinho...facinho

Respostas :

(1,12)n = (1,11)n

= 0,943396226

= 6,496280985 = 6 anos, 5 meses e 29 dias

1) 1 ano 2 meses 13 dias 2) 195,02 a.a. 3) R$ 22.693,60 4) R$ 3.000,00

5) 1 ano 8 meses 6 dias 6) 19,56 a.t. 7) 2,89 a.b. 8) R$ 1.604,95

9) 1058,15% a.s. 10) 3 anos 7 meses 3 dias 11) 4 anos 3 meses 25 d 12) 6 anos 5 meses 29 dias

Taxas Proporcionais

Duas taxas se dizem proporcionais se :

Exemplo:

id = ia - Taxa diária é o mesmo que a taxa anual dividida por 360 (nº dias/ano)

360

im = ia - Taxa mensal é o mesmo que taxa anual dividida por 12(nº meses/ano)

12

it = is - Taxa trimestral é o mesmo que semestral dividida por 2 (nº de trimestres

2

Notação:

ia - Taxa anual

is - Taxa semestral

ib - Taxa bimensal

im - Taxa mensal

iq - Taxa quadrimestral

id - Taxa diária

it - Taxa trimestral

Taxas equivalentes – São aquelas que referindo-se a períodos de tempo diferente fazem com que um capital produza o mesmo montante num mesmo tempo.

Exemplo:

Calcule o montante produzido pelo capital de R$ 1.300,00 aplicado durante 1 ano empregando :

a) A taxa de juros compostos de 1% a.m.b) A taxa de juros compostos de 12% a.a.

1% a.m. é proporcional a 12% a.a. mas serão equivalentes?

a) M1 = 1.300,00 ( 1 + 0,01)12 = 1.464,87b) M2 = 1.300,00 ( 1 + 0,12)1 = 1.456,00

Para duas taxas serem equivalentes temos que ter M1=M2

1.300,00 ( 1 + im )12 = 1.300,00 ( 1 + ia )1

( 1 + im )12 = (1 + ia )

Exemplo :

a) Calcular a taxa equivalente anual a taxa de juros compostos de 1% a.m.

( 1 + ia ) = (1 + im )12

( 1 + ia ) = (1 + 0,01 )12

( 1 + ia ) = 1,0112

ia = 1,0112 - 1

ia = 12,682503 ...

b) Calcular a taxa equivalente mensal a taxa de juros compostos de 12% a.a.

( 1 + ia ) = (1 + im )12

( 1 + 0,12 ) = (1 + im )12

12√1,12 = 1 + im

12√1,12 = -1

im = 0,95% a.m.

Exercícios:

1) im = 8,5% a.m.

a) ia = ( 1 + ia ) = (1 + im )12 ( 1 + ia ) = (1 + 0,085 )12 ia = 166,17% a.a.

b) is = ( 1 + is ) = (1 + im )6 ( 1 + is ) = (1 + 0,085 )6 is = 63,15% a.s.

c) it = ( 1 + it ) = (1 + im )3 ( 1 + it ) = (1 + 0,085 )3 ia = 27,73% a.t.

d) id = ( 1 + im ) = (1 + id )30 ia = 0,27% a.d.

2) Dada a taxa de 58,12% a.s., calcular, em cada caso, a taxa equivalente.a) Mensal b) Trimestral c) Anual d) Bimestral

3) Considerando a taxa de 15,18% a.b. calcular em cada caso, a taxa equivalente:a) Diária b) Mensal c) Semestral d) Anual e)

Quadrimestral

4) Obtive o rendimento de R$ 7.334,57 ao aplicar R$ 2.700,00 durante 1 ano, 3 meses e 19 dias. Calcule a taxa de juros compostos mensal, semestral e anual desta aplicação.

Respostas :

2) a) 7,94% a.m. b) 25,75% a.t. c) 150,02% a.a. d) 16,5% a.b.

3) a) 0,24% a.d. b) 7,32% a.m. c) 52,80% a.s. d) 133,49% a.a e)32,66 % a.b.

4) M= R$ 7.334,57 C = R$ 2.700,00 n = 1 ano 3 meses e 19 diasim = 8,76% a.m.

( 1 + is ) = (1 + im )6 ( 1 + is ) = (1 + 0,0876 )6 is = 65,51% a.s.

( 1 + is )2 = (1 + ia ) = ia = 173,93% a.a.

Taxa Nominal

É aquela cujo período de capitalização NÃO coincide com o período a que se refere.

Ex: 20% a.a. capitalizados semestralmente.

Neste caso precisamos calcular a taxa efetiva.

Taxa Efetiva

A taxa efetiva ou real é calculada por

( 1 + ie ) = ( 1 + i ) k

K

Onde :

i = Taxa Nominal

ie = Taxa Efetiva

K = Número de capitalizações

Ex: 20% a.a. capitalizados semestralmente

im = ia .

12 K

K = 2 ( 1 ano = 2 semestres )

i = 0,20

( 1 + ie ) = ( 1 + 0,20)2

2

( 1 + ie ) = ( 1 + 0,10)2

ie = 1,102 – 1 = 21

ie = 21% a.a.

Ex: 36,12% a.s. capitalizados bimestralmente

K = 3 ( 1 semestre = 3 bimestres )

i = 0,3612

( 1 + ie ) = ( 1 + 0,3612)3

3

( 1 + ie ) = ( 1 + 0,1204)3

ie = 1,12043 – 1 = 40,64

ie = 40,64% a.s.

Calcule em cada caso a taxa efetiva

a) 19,84% a.a. com capitalização trimestral

( 1 + ie ) = ( 1 + 0,1984)4

4

ie = 21,37% a.a.

b)10,92% a.m. com capitalização diária

( 1 + ie ) = ( 1 + 10,92)30

30

ie = 11,52% a.m.

Exercícios:

1) Obtenha o rendimento da aplicação de R$ 1.500,00 durante 1 mês e 19 dias a taxa de juros de 12,65% a.a. capitalizados trimestralmente.

2) Calcule o valor da aplicação que durante 2 meses e 23 dias aplicados a taxa de juros de 23,74% a.s. capitalizados mensalmente teve o rendimento de R$ 226,70.

3) Durante quanto tempo deve se aplicar R$ 900,00 a taxa de juros de 10,64% a.t. com capitalização diária para se obter o montante de R$ 990,27

4) Calcule o valor da aplicação que teve o rendimento de R$ 5.460,89 durante o período de 2 anos 5 meses e 23 dias a taxa de juros compostos de 28,79% a.s. com capitalizações bimestrais.

5) Durante quanto tempo devo aplicar R$ 1.200,00 a taxa de juros de 26,82% a.a. capitalizados trimestralmente para obter o rendimento de R$ 420,86

Respostas:

1 ie = 13,26% a.a. R$ 25,64

2 ie = 26,22% a.s. C= 2.000,02

3 ie = 11,22% a.t. 2 meses e 21 dias

4 ie = 31,64% a.s. R$ 1.875,90

5 ie = 29,64% a.a. 1 ano, 1 mês e 27 dias

Trabalho dado em aula para ser feito em dupla e que também serve como exercício.

1) 1 pessoa obteve rendimento de R$ 32.101,79 ao fazer a aplicação durante 2 anos, 5 meses e 2 dias. Calcule o capital aplicado sabendo que a taxa foi de 9,86% a.m. com capitalização diária.

2) Durante quanto tempo devo aplicar R$ 3.400,00 a taxa de juros de 58,17% a.s. capitalizados bimestralmente para obter o montante de R$ 15.842,76.

3) Calcule o montante da aplicação de R$ 1.350,00 durante 5 meses e 21 dias a taxa de juros de 28,15% a.b. capitalizados mensalmente.

4) Considerando a taxa de juros compostos de 69,17% a.a. calcular a taxa equivalente mensal e trimestral.

Respostas:

1 ie = 10,34% a.m. R$ 1.950,00

2 ie = 70,18% a.s. 1 ano, 5 meses e 11 dias

3 ie = 30,13% a.b. R$ 2.859,63

4 (mês) 4,48% a.m. (trimestre) 14,05% a.t.

Resultados meus, sujeitos a erro e correção

Descontos (revisando) Composto e Diferido

Valor Nominal (N) x Valor Atual (A)

Antes do vencimento é SEMPRE valor Atual

Valor Nominal .N = A ( 1 + i )nn

Valor Atual

ou

Desconto Composto (D)

D = N – AExemplos

1) Um título de crédito é descontado antes do vencimento por R$ 2.560,00. Sabendo que o desconto obtido foi de R$ 415,78 e a taxa de desconto de 34,18% a.a. capitalizados mensalmente, calcule o prazo de antecipação do resgate desse título.

A = R$ 2.560,00D = R$ 415,78N = (D+A) = R$ 2.975,78i = 34,18% a.a. capitaliz. Mensalmente ie = 40,08 a.a.n = ?

2.975,782.560,00 = 1.162414063 log = 0,065360855 ( 1 + i ) = 1,4008 log = 0,1463761330,65360855 / 0,146376133 = 0,446526722 = 161 dias = 5 meses e 11 dias

2) O valor de resgate de um título de crédito que foi descontado 1 mês e 13 dias antes do vencimento é de R$ 5.620,32. Calcule o desconto composto obtido sabendo que a taxa de juros dessa transação financeira é de 45,87% a.s. capitalizados bimestralmente.

A = R$ 5.620,32n = 43 dias (0,238888888)

3 meses

JUROS

Valor Atual (A)

Valor Nominal (N)

R$ 1.000,00

23/04

R$ 1.500,00

23/07

i = 45,87 a.s. capitaliz bimestral ie = 53,24% a.s.N = 5.620,32 ( 1 + 0,5324 ) 0,2388888888 = 6.223,64N = 6.223,64D = 603,32

3) Uma empresa vende determinada matéria prima por R$ 1.500,00 a tonelada sendo o pagamento feito 2 meses após a compra. Para pagamento à vista a empresa dá desconto de 5% sobre os R$ 1.500,00. Qual a taxa mensal de juros compostos pagos no financiamento.

N = R$ 1.500,00i = 5% a.b.

1.500,00 = 1.425,00 ( 1 + i ) 2 (*pra saber: 1.425,00 são os 1.500 menos 5%)

1.500,00 = 1.0526315791.425,00

2√1.052631579 = 1.025978352 = 2,6 i = 2,6% a.m.

4) Um título de crédito no valor de R$ 4.639,09 foi descontado 1 mês e 13 dias antes do vencimento. Calcule o desconto composto e o valor de resgate sabendo que a taxa de desconto foi de 47,22% a.s. capitalizados bimestralmente.

N = 4.639,09n = 43 dias (0,2388888888)i = 47,22% a.s. capitaliz bimestral ie = 55,04% a.s.

A = 4.639,09 ( 1 + 0,5504 ) -0,2388888888

A = 4.639,09 . 0,900544342A = 4.177,71D = 461,38

5) Um título de crédito foi resgatado 4 meses e 10 dias antes do vencimento por R$ 5.000,00. Calcule o desconto obtido sabendo que a taxa é de 53,12% a.a. capitalizados semestralmente.

A = 5.000,00n = 130 dias (0,3611111111)i = 53,12% a.a. ie = 60,17% a.a.

N = 5.000,00 ( 1 + 0,6017 )0,36111111111

N = 5.927,16D = 927,16

6) Calcule o desconto obtido num título de crédito Np valor de R$ 3.600,00 que é resgatado 1 mês e 10 dias antes do vencimento à taxa de desconto de 42,13% a.s. capitalizados mensalmente.

N = 3.600,00n = 40 dias (0,2222222222)i = 42,13% a.s. ie = 50,26% a.s.

A = 3.600,00 ( 1 + 0,50,26 ) -0,2222222222

A = 3.600,00 . 0913485105A = 3.288,55D = 311,45

7) Resgatei um título de crédito antes do vencimento por R$ 1.500,00. Sabendo que a taxa de desconto é de 29,12% a.t. e o desconto obtido é de R% 713,34, calcule o prazo de antecipação do resgate desse título.

A = 1.500,00i = 29,12% a.t.D = 713,34N = 2.213,34

2.213,34 = 1.47556 - log = 0,1689568731.500,00Log 1,2912 = 0,110993517 0,168956873 / 0,110993517 = 1,522329714 = 90 + 47 dias = 4 meses e 17 dias

Equivalência de capitais diferidos

Dois ou mais capitais diferidos são equivalentes em certa época quando seus valores atuais, nessa época, forem iguais.

Capitais diferidos são aqueles cujos vencimentos tem datas diferentes. Por exemplo : Títulos de crédito com datas de vencimento diferentes.

Exemplos:1) Um título de crédito no valor de R$ 2.600,00, vencível em 2 meses e 13 dias é trocado

por outro vencível em 5 meses. Calcule o valor desse novo título à taxa de juros compostos de 29,15% a.q.

N1 ( 1 + 0,2915 )-0,608333333 = N2 (1,02915) -1,25

2.600,00 ( 1,2915) -0,608333333 = 2,225312026 ( 1,2915) -1,25 = 0,726326662

2,225312026 / 0,726326662 = 3.063,789533N = 3.063,79

2) Uma TV vendida numa loja por R$ 1.200,00 `a vista ou 3 pagamentos mensais iguais vencíveis respectivamente em 30/60/90 à partir da data da compra. Calcule o valor destes pagamentos, sabendo que a taxa de juros cobrada pela loja é de 97,18% a.a.

1.200,00 = A1 + A2 + A3

1.200,00 = N (1,9718)-0,083333 + N (1,9718)-0,166666 + N (1,9718)-0,25

1.200,00 = N [ 0,944991921 + 0,893009731 + 0,843886976 ] = 2.681888664

1.200,00 = 447,452.681888664

3) Dois títulos de crédito, um no valor de R$ 1.600,00 e outro no valor de R$ 3.500,00, vencíveis respectivamente, em 2 e 5 meses deverão ser trocados por um único título vencível em 11 meses e 10 dias. Calcule o valor deste novo título de crédito sabendo que a taxa de desconto composto é de 46,98% a.a.

1.600,00A1 2 meses

N 3.500,00 A3 11 meses e 10 dias

A2 5 meses A1 + A2 = A3

1.600,00 ( 1 + ,4698 ) - + 3.500,00 ( 1 + ,4698 ) - = N ( 1 + ,4698 ) -

1.600,00 ( 1,4698 ) -0,16666666 + 3.500,00 ( 1,4698 ) -0,416666666 = N ( 1,4698 ) -0,94444444

1.600,00 (0,937828933) + 3.500,00 ( 0,851743965) = 4.481630171

1.4698 -0,944444444 = 0,695078543

4,481630171 / 0,695078543 = 6.447660075

N = R$ 6.447,66

Rendas

Capitalização e Amortização Composta

1) Capitalização – Constituir um capital.

Ex. Um investimento, por exemplo, depositar todos os meses uma quantia na caderneta de poupança.

2) Amortização – Resgatar uma dívida, depositando ou pagando certa quantia em épocas distintas.

Ex. Compra de um bem em parcelas pagas mensalmente.

3) Rendas – Renda é a sucessão de depósitos ou de prestações, em épocas diferentes, destinada a formar um capital ou pagar uma dívida.

Ex1 : Compra de uma TV em 5 prestações mensais de R$ 120,00

Têrmo de Renda : 5 prestações de R$ 120,00

Período : Mensal

Rendas ( Tipos)

Certas (ou anuidades) : O número de termos, vencimentos e valores são pré-fixados

Ex2 : Igual ao Ex1.

Aleatórias : Pelo menos um dos elementos não pode ser previamente determinado.

Ex3 : Pagamento de seguro de vida (Número de períodos não é determinado)

Período da Renda

Periódica – O período é sempre o mesmo (mensal ou trimestral, ...)

Não periódica – Contrário do acima citado

Data de Vencimento

a) Imediata

A renda pode ser b) Antecipada

c) Diferida

a) Renda Imediata

Quando o vencimento do 1º termo se dá no fim do período a contar da data zero (data da assinatura do contrato).

120,00 120,00 120,00 120,00 120,00

Mês 0 1 2 3 4 5

b) Renda Antecipada

Quando o vencimento do 1º termo se dá na data zero.

Ex5 : Compra de uma TV com a primeira prestação na data zero.

120,00 120,00 120,00 120,00 120,00

Mês 0 1 2 3 4

c) Renda Diferida

Quando o vencimento do 1º termo se dá após determinado número de períodos.

Ex6 : Compra na Renner, sendo a primeira após 3 meses da data da compra e após pagamento mensal.

120,00 120,00 120,00 120,00 120,00

Mês 0 1 2 3 4 5 6

Obs. : Quando o tipo de renda não é especificado, usa-se a Renda Imediata por ser a mais comum.

a) Renda Imediata

Ex1 : Uma pessoa deposita na poupança 10 prestações mensais de R$ 100,00. Calcule o valor a ser recebido numa aplicação a 8,5% a.m.

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

Mês 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

i= 8,5% a.m.

Montante ou M = T ( 1 + i ) n – 1Capitalização i

T = Termo da Renda = R$ 100,00n = Número de períodos = 10i = Taxa de Juros = 8,5% a.m.

Fator de ( 1 + i ) n – 1Capitalização i ou

M = T . Sn i

T ( 1 + 0,085 ) 10 – 1 = 100 . 14,83509932 = 1.483,51 0,085

J = R$ 483,51

Ex2 : Uma geladeira é comprada em 10 prestações mensais de R$ 100,00 à taxa de 8,5% a.m. Qual é o valor da dívida (Valor real da geladeira) ?

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

Mês 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

i= 8,5% a.m.

Fator de A = T ( 1 + i ) n – 1Amortização i ( 1 + i )n ou

A = T . An i

T ( 1 + 0,085 ) 10 – 1 = 100 . 1.260983442 = 100 . 6.561348059 = 656,13 0,085( 1 + 0,085 ) 10 0.192183592

J = R$ 343,87

Exercícios :

1) Uma pessoa deposita na poupança R$ 200,00 ao fim de cada mês. Sabendo que a taxa é de 7,86% a.m. Quanto ela terá no final de um ano e meio.

T ( 1 + 0,0786 ) 18 – 1 = 2,903799347 = 36,94401205 0,0786 0,0786

200 . 36,94401205 = 7.388,80

2) Uma pessoa faz um financiamento no valor de R$ 14.000,00. Sabendo que a taxa de juros é de 0,99% a.m. e o prazo do financiamento de um ano, calcule 0 valor da parcela mensal.

14.000 = T ( 1,0099 ) 12 – 1 = 0,125486956 0,0099 ( 1,0099 ) 12 0,171727606

14.000 = 1.243,1011.26219191

3) Um sofá custa à vista R$ 1.500,00. A prazo pode ser comprado em 6 prestações mensais a taxa de 9,8% a.m. Calcule o valor da prestação.

1.500 = T ( 1,098 ) 6 – 1 = 0,752322513 0,098 ( 1,098 ) 6 0,171727606

1.500 = 342,40 4,380906071

4) Uma pessoa depositou R$ 400,00 a cada mês numa instituição financeira que paga a taxa de 8,9% a.m. Após um certo período recebeu o valor de R$ 20.235,02. Calcule o número de pagamentos.

20.235,02 = 400,00 ( 1,089 ) n – 1 0,089

20.235,02 = ( 1,089 ) n – 1 400,00 0,089

50,58755 . 0,089 = 4,502291950 + 1 = 5,502291950

Log 5,502291950 = 0,74054363 = 19,99962326 = Log 1,089 = 0,037027879

20 parcelas mensais

5) Um carro é vendido em 24 prestações mensais de R$ 450,00, à taxa de juros de 2,89% a.m. Calcule o valor à vista deste carro.

A = 450 ( 1,0289 ) 24 – 1 = 0,98132634

0,0289 ( 1,0289 ) 24 0,057260331

450 . 17,13797875 = 7.712,09

6) A loja “B” vende uma geladeira em 24 parcelas mensais de R$ 56,00. Se a taxa de J.C. é de 2,89% a.m. Qual é o valor à vista da geladeira? Quais os juros cobrados a mais?.

A = 56 ( 1,0289 ) 24 – 1 = 0,98132634 0,0289 ( 1,0289 ) 24 0,057260331

56 . 17,13797875 = 959,73

J = 1.344,00 – 959,73 = 384,27

b) Renda Antecipada – É quando o vencimento do 1º termo se dá na “data zero”, (data da compra, por exemplo)

T1 T2 T3 ..................................Tn

Mês 0 1 2 3 4 n-1 n

Montante

M = T ( 1 + i ) n+1 – 1 i ou

M = T Sn+1 i – 1

Onde Sn+1 i = (1+i)n+1 – 1 i é o fator de capitalização1) Uma pessoa deposita no início de cada mês, durante 10 meses a quantia de R$

500,00. Calcule o montante obtido sabendo que essa financeira paga juros de 15,17% a.a.

n = 10 mesesT = R$ 500,00i = 15,17% a.a.

(1+im)12 = (1+ia)12√(1+im)12 = 12√(1+0,1517)

im = 1,18% a.m.

M = 500 (1+0,0118)11 - 1 0,0118

-1

-1

500 10.67252586 = 5.336,26

2) Quanto se deve depositar no início de cada mês, numa instituição financeira que paga 4,86% a.m. durante 2 anos para obter a quantia de R$ 20.000,

20.000 = T (1+0,0486)25 - 1 0,0486

20.000 45.81613522 = 436,53

Amortização

Fator de A = T ( 1 + i ) n-1 – 1Amortização i ( 1 + i )n-1 ou

A = T . An-1 i

Exemplo :

1) Que dívida pode ser amortizada em 5 prestações mensais antecipadas de R$ 1.000,00 sendo 6,78% a.m. a taxa de J.C.

A = 1000 ( 1 + 0,0678 ) 4 – 1 0,0678 ( 1 + 0,0678 ) 4

1000 . 4.404102135 = 4.404,10

2) Um sofá custa à vista R$ 1.500,00. A prazo pode ser comprado em 6 prestações mensais com a 1ª paga no ato da compra a txa de J.C. de 9,8% a.m. Calcule o valor da prestação.

311,843) Um carro é vendido em 24 prestações mensais de R$ 1.500, a taxa de J.C. 3,2% a.m.

Calcule o valor à vista desse carro sabendo que a primeira prestação deve ser paga no ato da compra.

25.600,244) Uma loja oferece um refrigerador em 10 parcelas mensais de R$ 120,00. A loja informa

que a taxa de J.C. é de 4,5% a.m. Qual o valor à vista do produto.

949,53

-1

+1

+1

5) Uma bicicleta é vendida numa loja por R$ 3.000,00 ou financiado em 15 parcelas mensais. Calcule o valor de cada parcela sabendo que a loja cobra J.C. de 8% a.m.

350,49

6) Idem ao 5 com a 1ª parcela sendo paga no ato da compra.

324,53

Exercícios de Revisão sobre de Juros compostos (Abrange todo material da segunda prova)

1) Uma pessoa obteve o rendimento de R$ 8.009,54 ao aplicar R$ 3.600,00 à taxa de juros compostos de 49,86% ao semestre. Qual foi o período desta aplicação?

2) A que taxa bimestral de juros compostos devo aplicar R$ 1.500,00 para em 1 ano, 9 meses e 26 dias obter o montante de R$ 7.701,21?

3) O capital de R$ 1.800,00 ao ser aplicado à taxa de juros compostos de 31,23% ao ano transformou-se em R$ 3.437,61. Calcule o tempo desta aplicação.

4) Uma geladeira é vendida numa loja por R$ 1.400,00 sendo o pagamento efetuado 3 meses após a compra. Sabendo que para pagamento à vista, a loja dá o desconto de 12% sobre os R$ 1.400,00. Calcule a taxa mensal de juros compostos pagos no financiamento.

5) Considerando a taxa de juros compostos de 28,12% ao trimestre, calcule a taxa equivalente anual e mensal.

6) Durante quanto tempo devo aplicar R$ 3.200,00 à taxa de juros de 26,82% ao ano capitalizados trimestralmente para obter o rendimento de R$ 1.128,78?

7) A que taxa semestral, no regime de capitalização composta, devo aplicar um certo capital para obter o rendimento de 86,75% deste mesmo capital, no final de 1 ano, 5 meses e 13 dias?

8) Calcule o valor do capital que aplicado durante 2 meses e 11 dias, à taxa de 34,18% ao ano capitalizados mensalmente, transformou-se em R$ 1.667,22.

9) Durante quanto tempo devo aplicar R$ 2.960,00, à taxa de 32,18% ao ano capitalizados bimestralmente para obter o montante de R$ 3.089,04?

10) Considerando a taxa de juros compostos de 52,18% ao semestre, calcular a taxa equivalente mensal, trimestral e diária.

Respostas :

1- 1 ano, 5 meses e 11 dias 2- 16,14% a.b. 3- 2 anos, 4 meses e 17 dias

4- 4,35% a.m. 5- 169,44% a.a. e 8,61% a.m. 6- 1 ano, 1 mês e 29 dias

7- 23,98% a.s. 8- R$ 1.560,00 9- 1 mês e 19 dias

10- 7,25% a.m., 131,59% a.a., 23,36% a.t. e 0,23% a.d.

Exercícios de Revisão(2) sobre de Juros compostos (Abrange todo material da segunda prova)

1) Um título de crédito no valor de R$ 6.500,00 sofreu o desconto de R$ 835,63. Se a taxa de juros de mercado for 51,11% ao ano, qual foi o prazo de antecipação?

2) João irá receber R$ 6.600,00 dentro de 1 ano, como parte de seus direitos de venda de um barco. Contudo, necessitando de dinheiro, transfere seus direitos a um amigo que os compra, entregando-lhe uma Nota Promissória no valor de R$ 6.000,00 com vencimento para 6 meses. João fez um bom negócio se a taxa de juros compostos de mercado for de 20% ao ano?

3) Uma financeira oferece a um cliente dois títulos de crédito, um no valor de R$ 15.000,00 vencível em 1 ano e outro no valor de R$ 25.000,00 vencível em um ano e meio. O cliente aceita a oferta assinando uma Nota Promissória, com vencimento para 6 meses. Sabendo-se que a taxa de desconto composto foi de 30% ao ano, qual o valor da Nota Promissória no seu vencimento?

4) Uma loja vende um conjunto de estofados por R$ 1.800,00, podendo este valor ser pago em 3 prestações mensais iguais, sendo a primeira paga na compra. Um cliente propõe o pagamento de R$ 1.000,00 como terceira parcela. De quanto devem ser as duas primeiras parcelas se forem de mesmo valor e a taxa de juros compostos adotada pela loja for de 8% ao mês?

5) Uma loja tem como norma facilitar os pagamentos, proporcionando a seus clientes a possibilidade de pagar 3 meses sem acréscimo. Neste caso, o preço à vista é dividido em 3 e a primeira parcela é dada como entrada e as demais em 30 e 60 dias. Qual o desconto, em percentual, sobre o preço à vista que a loja pode conceder, se a taxa de juros compostos no financiamento é de 7,5% ao mês?

6) Um carro é vendido por R$ 20.000,00 à vista ou em 12 prestações mensais de R$ 1.949,74, sem entrada. Qual o valor de cada parcela se a taxa de juros compostos é de 2,5% ao mês? Quais os juros pagos no financiamento?

7) Uma pessoa deseja comprar um carro por R$ 40.000,00 à vista, daqui a 12 meses. Admitindo-se que ela irá poupar uma certa quantia mensal que será aplicada em letras de câmbio rendendo 2,2% de juros compostos so mês, determinar quanto deve ser poupado mensalmente.

8) Uma loja vende uma TV em 12 prestações mensais de R$ 97,49 ou em 24 prestações mensais de R$ 61,50. Sabendo-se que a taxa de juros compostos de crédito pessoal é de 2,5% ao mês, pergunta-se qual é o melhor sistema para o comprador se: a) o cliente não der nenhuma entrada? B? o cliente pagar a primeira prestação na compra?

9) Uma loja vende uma geladeira por R$ 2.000,00 à vista ou financiada em 12 meses, a juros compostos de 3,5% ao mês. Qual será o valor da prestação mensal: a) Se não for dada nenhuma entrada? B) Se a primeira prestação for paga no ato da compra?

Respostas:

1- 4 meses 2- Ele não fez um bom negócio pois o valor atual do título antigo será maior que o novo em 6 meses.

3- R$ 32.386,64

4 – As duas primeiras parcelas devem ser de R$ 421,94 cada uma

5 – O desconto à vista será de no máximo 6,81%

6- O valor de cada parcela é R$ 1.949,74 e os juros, R$ 3.396,88

7- R$ 3.289,00 8- a) a melhor alternativa é a primeira pois o preço à vista é menor (R$ 1.000,03) do que a segunda alternativa (R$ 1.127,42)

9- a) R$ 206,97 b) R$ 199,97

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