UNESP Bauru-SP Flexao Simples Vigas Notas de Aula Paulo Bastos Nov 2010

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP

FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil

Disciplina: 2117 - ESTRUTURAS DE CONCRETO I

NOTAS DE AULA

FLEXO NORMAL SIMPLES - VIGAS

Prof. Dr. PAULO SRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.feb.unesp.br/pbastos)

Bauru/SP novembro/2010

APRESENTAO

Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 1288 Estruturas

de Concreto I, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da Universidade

Estadual Paulista UNESP, Campus de Bauru/SP.

O texto apresentado est de acordo com as prescries contidas na norma NBR 6118/2003

(Projeto de estruturas de concreto Procedimento), conforme a verso corrigida de maro de

2004, para o projeto e dimensionamento das vigas de concreto armado flexo normal simples.

A apostila apresenta o estudo das sees retangulares com armaduras simples e dupla e das

sees T com armadura simples, para solicitao de flexo simples.

Visando iniciar o clculo prtico das vigas dos edifcios, so introduzidos alguns tpicos

adicionais, como o clculo das cargas verticais sobre as vigas e algumas prescries na norma

para as vigas simples e contnuas.

O texto constante desta apostila no inclui todos os tpicos relativos ao projeto das vigas,

como o dimensionamento aos esforos cortantes e aos momentos torores, ancoragem nos apoios,

etc. Nas apostilas da disciplina 1309 - Estruturas de Concreto II - esses temas sero abordados.

Quaisquer crticas e sugestes sero bem-vindas, pois assim a apostila poder ser

melhorada.

O autor agradece ao tcnico derson dos Santos Martins, pela confeco dos desenhos.

SUMRIO 1. INTRODUO ....................................................................................................................... 1 2. DEFINIO DE VIGA........................................................................................................... 1 3. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SUBMETIDAS FLEXO E FORA CORTANTE.................................................................................................................................... 2 4. COMPARAO DOS DOMNIOS 2, 3 E 4 .......................................................................... 5 5. HIPTESES DE CLCULO................................................................................................... 7 6. SEO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES..................................................... 8

6.1 EQUAES DE EQUILBRIO.......................................................................................... 8 6.2 CLCULO COM COEFICIENTES K ............................................................................. 12 6.3 EXEMPLOS NUMRICOS ............................................................................................. 13

7. SEO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA...................................................... 31 7.1 EQUAES DE EQUILBRIO........................................................................................ 31 7.2 CLCULO MEDIANTE FRMULAS COM COEFICIENTES K................................. 35 7.3 EXEMPLOS NUMRICOS ............................................................................................. 36

8. SEO T ............................................................................................................................... 43 8.1 LARGURA COLABORANTE ......................................................................................... 50 8.2 SEO T COM ARMADURA SIMPLES....................................................................... 53

8.2.1 EQUAES DE EQUILBRIO................................................................................. 53 8.2.2 CLCULO COM EQUAES COM COEFICIENTES K...................................... 56 8.2.3 EXEMPLOS NUMRICOS ...................................................................................... 57

9. PRESCRIES GERAIS PARA AS VIGAS....................................................................... 68 9.1 VO EFETIVO................................................................................................................. 68 9.2 DEFINIO DA ALTURA E DA LARGURA ............................................................... 68 9.3 CARGAS VERTICAIS NAS VIGAS............................................................................... 69

9.3.1 Peso Prprio ............................................................................................................... 69 9.3.2 Paredes........................................................................................................................ 70 9.3.3 Lajes ........................................................................................................................... 70 9.3.4 Outras Vigas ............................................................................................................... 70

9.4 DISPOSIES CONSTRUTIVAS DAS ARMADURAS............................................... 70 9.4.1 Armaduras Longitudinais Mximas e Mnimas ......................................................... 70 9.4.2 Armadura Mnima de Trao ..................................................................................... 71

1. 71 9.4.3 Armadura Longitudinal Mxima................................................................................ 71 9.4.4 Armadura de Pele ....................................................................................................... 72

9.5 ARMADURAS DE LIGAO MESA-ALMA ............................................................... 72 9.6 ESPAAMENTO LIVRE ENTRE AS BARRAS............................................................ 73

10. EXERCCIOS PROPOSTOS................................................................................................. 73 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.......................................................................................... 79 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR......................................................................................... 80 TABELAS ANEXAS.................................................................................................................... 81

2117 - Estruturas de Concreto I Flexo Normal Simples - Vigas

UNESP(Bauru/SP) Prof. Dr. Paulo Srgio dos Santos Bastos

1

FLEXO NORMAL SIMPLES - VIGAS 1. INTRODUO A flexo simples definida como a flexo sem fora normal. Quando a flexo ocorre acompanhada de fora normal tem-se a flexo composta. Solicitaes normais so aquelas cujos esforos solicitantes produzem tenses normais (perpendiculares) s sees transversais dos elementos estruturais. Os esforos que provocam tenses normais so o momento fletor (M) e a fora normal (N). Nas estruturas de concreto armado so trs os elementos estruturais mais importantes: as lajes, as vigas e os pilares. E dois desses elementos, as lajes e as vigas, so sumetidas flexo normal simples, embora possam tambm, eventualmente, estarem submetidas flexo composta. Por isso, o dimensionamento de sees retangulares e sees T sob flexo normal simples a atividade diria mais comum aos engenheiros projetistas de estruturas de concreto armado (SANTOS, 1983). De modo que o estudo da flexo simples muito importante. O estudo da flexo normal simples tem como objetivo proporcionar ao aluno o correto entendimento dos mecanismos resistentes proporcionados pelo concreto sob compresso e pelo ao sob trao, em sees retangulares e T, visando lev-lo a bem dimensionar ou verificar a resistncia dessas sees. O equacionamento para a resoluo dos problemas da flexo simples deduzido em funo de duas equaes de equilbrio da esttica, e que proporciona as aqui chamadas equaes tericas, que podem ser facilmente implementadas para uso em programas computacionais. Tambm apresentado o equacionamento com base em coeficientes tabelados tipo K, largamente utilizado no Brasil. importante esclarecer o aluno que no estudo desta apostila ele aprender a dimensionar as sees transversais das vigas aos momentos fletores mximos, e fazer o detalhamento das armaduras de flexo apenas na seo transversal correspondente. Nesta disciplina o estudo das vigas est apenas iniciando. O estudo completo das vigas simples ou contnuas, com dimensionamentos aos esforos cortantes e momentos torores, bem como o detalhamento completo e ancoragem das armaduras, s ser alcanado ao trmino da disciplina 2123 - Estruturas de Concreto II. Alm disso, outros tpicos relativos s vigas, como fissurao e flecha, sero estudados na disciplina 2158 Estruturas de Concreto IV. 2. DEFINIO DE VIGA

So elementos lineares em que a flexo preponderante (NBR 6118/03, item 14.4.1.1). Elementos lineares so aqueles em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos trs vezes a maior dimenso da seo transversal, sendo tambm denominada barras.



2

3. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SUBMETIDAS FLEXO E FORA CORTANTE

Considere uma viga de concreto armado biapoiada (Figura 1), submetida a duas foras concentradas P crescentes e de igual intensidade. A armadura composta por armadura longitudinal, resistente s tenses de trao provenientes da flexo, e armadura transversal, dimensionada para resistir aos esforos cortantes, composta por estribos verticais no lado esquerdo da viga e estribos e barras dobradas no lado direito da viga.

A Figura 2a mostra as trajetrias das tenses principais de trao e de compresso da viga ainda no estdio I. Observe que no trecho de flexo pura as trajetrias das tenses de compresso e de trao so paralelas ao eixo longitudinal da viga. Nos demais trechos as trajetrias das tenses so inclinadas devido influncia dos esforos cortantes.

Enquanto a resistncia trao do concreto superior s tenses principais de trao, no surgem fissuras na viga. As primeiras fissuras de flexo s surgem na regio de mximos momentos fletores, no instante que as tenses de trao atuantes igualam e superam a resistncia do concreto trao na flexo (Figura 2b). Para este nvel de carregamento a viga apresenta trechos fissurados, no estdio II, e trechos no fissurados, no estdio I. Note que a direo ou inclinao das fissuras aproximadamente perpendicular direo das tenses principais de trao, ou seja, a inclinao das fissuras depende da inclinao das tenses principais de trao. Por esta razo, na regio de flexo pura, as fissuras so verticais.

A Figura 2c mostra os diagramas de deformaes e de tenses nas sees a e b da viga, nos estdios I e II, respectivamente. No estdio I a mxima tenso de compresso (c) ainda pode ser avaliada de acordo com a lei de Hooke, o mesmo no valendo para o estdio II. Com o carregamento num patamar superior comeam a surgir fissuras inclinadas nas proximidades dos apoios, por influncia das foras cortantes atuando em conjunto com os momentos fletores. Essas fissuras inclinadas so chamadas de fissuras de cisalhamento (Figura 2d), que no um termo adequado porque tenses de cisalhamento no ocorrem por ao exclusiva de fora cortante. Sugerimos fissura de flexo com cortante. Com carga elevada, a viga, em quase toda a sua extenso, apresenta-se no estdio II. Apenas nas proximidades dos apoios a viga permanece no estdio I.

Armadura Transversal (somente estribos)

Armadura Transversal(estribos e barras dobradas)

P

l

+

+-

M

V

P

Figura 1 Viga biapoiada e diagramas de esforos solicitantes.

(LEONHARDT e MNNIG - 1982).



3

a

a

b

b

Estdio I Estdio II Estdio I

Seo a-a Seo b-b c

s

c

s

c c

s t

c= e Ec

ct,f<

trao

compressoa)

b)

c)

b

b

Estdio II

Seo b-b

s

c

s

c = f c

> f y

d)

e)

Figura 2 - Comportamento resistente de uma viga biapoiada. (LEONHARDT e MNNIG - 1982).

No caso de uma viga bi-apoiada sob carregamento uniformemente distribudo, no estdio I, as tenses principais na altura da linha neutra (a meia altura da viga) apresentam inclinao de 45 (ou 135) em relao ao eixo longitudinal da viga, como mostrado na Figura 3. Observe que nas regies prximas aos apoios as trajetrias das tenses principais inclinam-se por influncia das foras cortantes, mantendo, no entanto, a perpendicularidade entre as trajetrias.



4

+

-

+

III

Direo de (tenses de trao) Direo de (tenses de compresso)

IIIM

V

x

Figura 3 - Trajetria das tenses principais de uma viga bi-apoiada no estdio I sob

carregamento uniformemente distribudo (LEONHARDT e MNNIG, 1982).

O carregamento induz o surgimento de diferentes estados de tenso nos infinitos pontos que compem a viga, e que podem ser representados por um conjunto de diferentes componentes, em funo da orientao do sistema de eixos considerados. Como exemplo, a Figura 4 mostra a representao dos estados de tenso em dois pontos da viga, conforme os eixos coordenados x-y e os eixos principais. O estado de tenso segundo os eixos x-y define as tenses normais x, as tenses y e as tenses de cisalhamento xy e yx. O estado de tenso segundo os eixos principais definem as tenses principais de trao I e de compresso II .

A tenso y pode ser em geral desprezada, tendo importncia apenas nos trechos prximos introduo de cargas. O dimensionamento das estruturas de concreto armado toma como base normalmente as tenses x e xy .

X

y

X

y y= 0

x

X

y

( - )

( + )

III

( - )( + )

+xy

yx

Figura 4 Componentes de tenso segundo os estados de tenso relativos aos eixos principais e

aos eixos nas direes x e y (LEONHARDT e MNNIG, 1982).



5

4. COMPARAO DOS DOMNIOS 2, 3 E 4

As deformaes nos materiais componentes das vigas de concreto armado submetidas flexo simples encontram-se nos domnios de deformaes 2, 3 ou 4, conforme definidos na NBR 6118/03 (item 17.2.2). A anlise das Figura 5 e Figura 6 permite fazer as seguintes consideraes das vigas na flexo simples em relao aos domnios 2, 3 e 4: a) Domnio 2

No domnio 2 a deformao de alongamento na armadura tracionada (sd) fixa e igual a

10 , e a deformao de encurtamento na fibra mais comprimida de concreto (cd) varia entre zero e 3,5 (0 cd 3,5 ). Sob a deformao de 10 a tenso na armadura corresponde mxima permitida no ao (fyd), como se pode verificar no diagrama x do ao mostrado na Figura 6. No domnio 2, portanto, a armadura tracionada econmica, isto , a mxima tenso possvel no ao pode ser implementada nessa armadura.

Na questo relativa segurana, a ruptura, se vier a ocorrer, ser chamada com aviso prvio, isto , como a armadura continuar escoando alm dos 10 , a fissurao na viga ser intensa e ocorrer antes de uma possvel ruptura por esmagamento do concreto na regio comprimida. A intensa fissurao ser visvel e funcionar como um aviso aos usurios do comportamento inadequado da viga, alertando-os, de modo que sejam tomadas medidas visando a evacuao da construo, antes que uma possvel ruptura possa vir a ocorrer. As vigas dimensionadas no domnio 2 so, por vezes, chamadas subarmadas. Embora esse termo conste na NBR 6118/03 ele no ser utilizado neste texto, pois inadequado, dando a falsa idia de que a seo tem armadura insuficiente. Na verdade, a seo no domnio 2 tem a rea de armadura necessria, nem mais nem menos.

Conforme definido na Eq. 31 do item 9.9 da apostila de Fundamentos do Concreto Armado (BASTOS, 2006), o valor de x2lim fixo e igual a 0,26d.

SuperarmadaSeo

x

B

3,5 0

0 A

10

2

3

4

Zona tilyd

As

2lim

3limx

Figura 5 Diagrama de deformaes dos domnios 2, 3 e 4.



6

Zona til

10 s

ydf

s

yd Sees

Superarmadas

Figura 6 - Zonas de dimensionamento em funo da deformao no ao.

b) Domnio 3

No domnio 3 a deformao de encurtamento na fibra mais comprimida corresponde ao valor ltimo ou mximo, de 3,5 . A deformao de alongamento na armadura tracionada varia entre yd (deformao de incio de escoamento do ao) e 10 , o que significa que a armadura escoa de um certo valor. Verifica-se na Figura 6 que a tenso na armadura a mxima permitida, igual a fyd, pois qualquer que seja a deformao entre yd e 10 (zona til), a tenso ser fyd. Isso implica que, assim como no domnio 2, a armadura tambm econmica no domnio 3. Neste domnio, portanto, tanto o concreto como o ao so aproveitados ao mximo, ao contrrio do domnio 2, onde o concreto tem deformaes menores que a mxima de 3,5 . A ruptura no domnio 3 tambm chamada com aviso prvio, pois a armadura, ao escoar, acarretar fissuras visveis na viga, antes que o concreto possa romper-se por esmagamento

Quando a viga tem as deformaes ltimas de 3,5 no concreto e 10 na armadura alcanadas simultaneamente, costuma-se dizer que a seo normalmente armada. A linha neutra coincide com o x2lim, e a seo est no limite entre os domnios 2 e 3.

Na Tabela 1 constam os valores da deformao de incio de escoamento do ao (yd), o limite da posio da linha neutra entre os domnios 3 e 4 (x3lim) e x3lim , para os diferentes tipos de ao existentes para concreto armado.

Tabela 1 - Valores de yd, x3lim e x3lim em funo da categoria do ao.

AO yd () x3lim x3lim CA-25 laminado a quente 1,04 0,77 d 0,77 CA-50 laminado a quente 2,07 0,63 d 0,63

CA-60 trefilado a frio 2,48 0,59 d 0,59 c) Domnio 4

No domnio 4 a deformao de encurtamento na fibra mais comprimida est com o valor mximo de 3,5 , e a armadura tracionada no est escoando, pois a sua deformao menor que yd. Neste caso, conforme se pode notar no diagrama x do ao mostrado na Figura 6, a tenso



7

na armadura menor que a mxima permitida. A armadura resulta, portanto, anti-econmica, pois no aproveita a mxima capacidade do ao. Diz-se ento que a armadura est folgada e a seo chamada superarmada, como mostrado nas Figura 5 e Figura 6. O projeto das vigas no domnio 4 deve ser evitado, pois alm da questo da economia a ruptura ser do tipo frgil, ou sem aviso prvio, onde o concreto rompe por compresso (cd > 3,5 ), causando o colapso da estrutura antes da intensa fissurao provocada pelo aumento do alongamento na armadura tracionada. Como concluso pode-se afirmar: No se deve projetar as vigas flexo simples no domnio 4, e sim nos domnios 2 e 3, com preferncia ao domnio 3 por ser mais econmico. 5. HIPTESES DE CLCULO Na determinao dos esforos resistentes de elementos fletidos, como vigas, lajes e pilares, so admitidas as seguintes hipteses bsicas (NBR 6118/03 item 17.2.2): a) As sees transversais permanecem planas at a ruptura, com distribuio linear das deformaes na seo; b) A deformao em cada barra de ao a mesma do concreto no seu entorno. Essa propriedade ocorre desde que haja aderncia entre o concreto e a barra de ao; c) No estado limite ltimo (ELU) despreza-se obrigatoriamente a resistncia do concreto trao; d) O encurtamento de ruptura convencional do concreto nas sees no inteiramente comprimidas de 3,5 (domnios 3, 4 e 4a); e) O alongamento mximo permitido ao longo da armadura de trao de 10 , a fim de prevenir deformaes plsticas excessivas; f) A distribuio das tenses de compresso no concreto ocorre segundo o diagrama tenso-deformao parbola-retngulo. Porm, permitida a substituio desse diagrama pelo retangular simplificado, com altura y = 0,8x, e a mesma tenso de compresso cd, como mostrado na Figura 7.

h

3,5

2

x

y =

0,8

xc c

LN

Figura 7 Diagramas x parbola-retngulo e retangular simplificado para

distribuio de tenses de compresso no concreto. A tenso de compresso no concreto (cd) definida como:

f1) no caso da largura da seo, medida paralelamente linha neutra, no diminuir da linha neutra em direo borda comprimida (Figura 8), a tenso :

c

ckcdcd

f85,0f85,0 == (Eq. 1)



8

LN

Figura 8 - Sees com tenso de compresso igual a 0,85 fcd .

f2) em caso contrrio, isto , quando a seo diminui (Figura 9), a tenso :

c

ckcdcd

f8,0f8,0 == (Eq. 2)

LN

Figura 9 - Sees com tenso de compresso igual a 0,8 fcd .

g) A tenso nas armaduras a correspondente deformao determinada de acordo com as hipteses anteriores e obtida nos diagramas tenso-deformao do ao (ver Figura 6). 6. SEO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES Embora as vigas possam ter a seo transversal com qualquer forma geomtrica, na maioria dos casos da prtica a seo a retangular. Define-se viga com armadura simples a seo que necessita apenas de uma armadura longitudinal resistente tracionada. No entanto, por questes construtivas so colocadas barras longitudinais tambm na regio comprimida, para a amarrao dos estribos, no sendo esta armadura considerada no clculo de flexo como armadura resistente, ou seja, na seo com armadura simples as tenses de compresso so resistidas unicamente pelo concreto.

No item 7 ser estudada a seo com armadura dupla, que aquela que necessita tambm de uma armadura resistente comprimida, alm da armadura tracionada.

Na seqncia sero deduzidas as equaes vlidas apenas para a seo retangular. As equaes para outras formas geomtricas da seo transversal podem ser deduzidas de modo semelhante deduo seguinte. 6.1 EQUAES DE EQUILBRIO A formulao dos esforos internos resistentes da seo feita com base nas equaes de equilbrio das foras normais e dos momentos fletores: - 0N = - 0M = (Eq. 9) A Figura 10 mostra a seo transversal de uma viga sob flexo simples, de forma retangular e solicitada por momento fletor positivo, com largura bw e altura h, armadura As e rea



9

Ac de concreto comprimido, delimitada pela linha neutra (LN). A linha neutra demarcada pela distncia x, contada a partir da fibra mais comprimida da seo transversal. A altura til d, considerada da fibra mais comprimida at o centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada.

O diagrama de deformaes ao longo da altura da seo, com as deformaes notveis cd (mxima deformao de encurtamento do concreto comprimido) e sd (deformao de alongamento na armadura tracionada) e o diagrama retangular simplificado de distribuio de tenses de compresso, com altura y = 0,8x, e as respectivas resultantes de tenso (Rcc e Rst) esto tambm mostrados na Figura 10.

As

h d

sdd - x

Rst

wb

cA'

sA

M

ccRx y = 0,8x

LN

cd

stR

zcc

ccR

0,85 f cdcd

Figura 10 Distribuio de tenses e deformaes em viga de seo

retangular com armadura simples. Para ilustrar melhor a forma de distribuio das tenses de compresso na seo, a Figura 11 mostra a seo transversal em perspectiva, com os diagramas parbola-retngulo e retangular simplificado, como apresentados no item 5. O equacionamento apresentado a seguir ser feito segundo o diagrama retangular simplificado, que conduz a equaes mais simples e com resultados muito prximos queles obtidos com o diagrama parbola-retngulo.

z

0,4x0,8x

0,85 fcdbw

ccR

As

x

cd

ccR

Rst

As

wb

x

LN LN

stR

0,85 f

Figura 11 Distribuio de tenses de compresso segundo os diagramas

parbola-retngulo e retangular simplificado. a) Equilbrio de Foras Normais Considerando que na flexo simples no ocorrem foras normais solicitantes, e que a fora resultante das tenses de compresso no concreto deve estar em equilbrio com a fora resultante das tenses de trao na armadura As, como indicadas na Figura 10, pode-se escrever:



10

stcc RR = (Eq. 10)

Tomando da Resistncia dos Materiais que AR= , a fora resultante das tenses de

compresso no concreto, considerando o diagrama retangular simplificado, pode ser escrita como:

ccdcc 'AR = Considerando a rea de concreto comprimido (Ac) correspondente ao diagrama retangular

simplificado com altura 0,8 x fica:

wcdcc bx8,0f85,0R =

cdwcc fxb68,0R = (Eq. 11) e a fora resultante das tenses de trao na armadura tracionada: ssdst AR = (Eq. 12) com sd = tenso de clculo na armadura tracionada; As = rea de ao da armadura tracionada. b) Equilbrio de Momentos Fletores Considerando o equilbrio de momentos fletores na seo, o momento fletor solicitante deve ser equilibrado por um momento fletor resistente, proporcionado pelo concreto comprimido e pela armadura tracionada. Assumindo valores de clculo, por simplicidade de notao ambos os momentos fletores devem ser iguais ao momento fletor de clculo Md, tal que:

Msolic = Mresist = Md

As foras resistentes internas, proporcionadas pelo concreto comprimido e pela armadura tracionada, formam um binrio oposto ao momento fletor solicitante, podendo ser escrito: Md = Rcc . zcc (Eq. 13)

Md = Rst . zcc (Eq. 14)

onde: Rcc . zcc = momento interno resistente, proporcionado pelo concreto comprimido; Rst . zcc = o momento interno resistente, proporcionado pela armadura tracionada. Com zcc = d 0,4x e aplicando a Eq. 11 na Eq. 13 fica: ( )x4,0dfxb68,0M cdwd = (Eq. 15) onde: bw = largura da seo; x = posio da linha neutra; fcd = resistncia de clculo do concreto compresso; d = altura til.



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Md definido como o momento interno resistente proporcionado pelo concreto comprimido. O valor de Md deve ser considerado em valor absoluto na Eq. 15.

Substituindo a Eq. 12 na Eq. 14 define-se o momento interno resistente proporcionado pela armadura tracionada:

( )x4,0dAM ssdd = (Eq. 16) Isolando a rea de armadura tracionada:

( )x4,0dMA

sd

ds = (Eq. 17)

As Eq. 15 e 17 proporcionam o dimensionamento das sees retangulares com armadura simples. Nota-se que so sete as variveis contidas nas duas equaes, o que leva, portanto, na necessidade de se adotarem valores para cinco das sete variveis. De modo geral, na prtica fixam-se os materiais (concreto e ao) e a seo transversal, e o momento fletor solicitante geralmente conhecido, ficando como incgnitas apenas a posio da linha neutra (x) e a rea de armadura (As).

Com a Eq. 15 determina-se a posio x para a linha neutra, e comparando x com os valores x2lim e x3lim defini-se qual o domnio em que a viga se encontra (2, 3 ou 4). Nos domnios 2 ou 3 a tenso na armadura tracionada (sd) igual mxima tenso possvel, isto , fyd (ver diagramas nas Figura 5 e Figura 6). Definidos x e sd calcula-se a rea de armadura tracionada (As) com a Eq. 17.

Se resultar o domnio 4, a seo dever ser dimensionada com armadura dupla, como se ver no item 8. Caso no se queira dimensionar a viga com armadura dupla, alguma alterao deve ser feita de modo a tornar x x3lim , e resultar, como conseqncia, os domnios 2 ou 3. Portanto, algum parmetro deve ser alterado para diminuir o valor de x. Conforme a Eq. 15 verifica-se que para diminuir x pode-se:

- diminuir o valor do momento fletor solicitante (Md); - aumentar a largura ou a altura da viga (> d); - aumentar a resistncia do concreto. Dessas possibilidades, geralmente a mais vivel de ser implementada na prtica o

aumento da altura da viga (h). Seno, resta ainda estudar a possibilidade de fazer a armadura dupla.

No caso da seo transversal da viga for de apoio ou de ligao com outros elementos estruturais, h ainda outras consideraes a serem feitas. Segundo a NBR 6118/03 (item 14.6.4.3), a capacidade de rotao dos elementos estruturais funo da posio da linha neutra no ELU. Quanto menor for x/d, tanto maior ser essa capacidade. Com o intuito de melhorar a ductilidade das vigas nessas situaes, a norma impe que a posio da linha neutra deve obedecer aos seguintes limites: a) x = x/d 0,50 para concretos C35 ou de menor resistncia (fck 35 MPa); ou b) x = x/d 0,40 para concretos superiores ao C35 (fck > 35 MPa). (Eq. 18)

Com esses limites deseja-se aumentar a ductilidade das vigas, que a sua capacidade de alcanar maior deformao at a ruptura.



12

c) Permanncia da Seo Plana

Do diagrama de deformaes mostrado na Figura 10 define-se a relao entre as deformaes de clculo na armadura (sd) e no concreto correspondente fibra mais comprimida:

xdx

sd

cd

=

(Eq. 19)

Considerando-se a varivel x , que relaciona a posio da linha neutra com a altura til d,

tem-se:

dx

x = (Eq. 20) Substituindo x por x . d na Eq. 19 fica:

sdcd

cdx +

= (Eq. 21) 6.2 CLCULO COM COEFICIENTES K Com o intuito de facilitar o clculo manual, h muitos anos vem se ensinando no Brasil a utilizao de tabelas com coeficientes K. Para diferentes posies da linha neutra, expressa pela relao x = x/d, so tabelados coeficientes Kc e Ks, relativos resistncia do concreto e tenso na armadura tracionada. Os coeficientes Kc e Ks encontram-se apresentados nas Tabela A-1 e Tabela A-2, constantes do Anexo no final desta apostila. A Tabela A-1 para apenas o ao CA-50 e a Tabela A-2 para todos os tipos de ao para Concreto Armado. Considerando a Eq. 15, ( )x4,0dfxb68,0M cdwd = , substituindo x por x . d encontram-se: ( )d4,0dfdb68,0M xcdxwd =

( )xcd2xwd 4,01fdb68,0M = Introduzindo o coeficiente Kc:

c

2w

d KdbM =

com ( )xcdxc

4,01f68,0K1 = (Eq. 22) Isolando o coeficiente Kc tem-se:

d

2w

c MdbK = (Eq. 23)

O coeficiente Kc est apresentado na Tabela A-1. Observe na Eq. 22 que Kc depende da

resistncia do concreto compresso (fcd) e da posio da linha neutra, expressa pela varivel x.



13

O coeficiente tabelado Ks definido substituindo-se x por x . d na Eq. 17:

( )x4,0dMA

sd

ds = ( ) d4,01

MAxsd

ds =

com ( )xsds 4,011K = (Eq. 24)

a rea de armadura tracionada As, em funo do coeficiente Ks :

d

MKA dss = (Eq. 25)

O coeficiente Ks est apresentado na Tabela A-1. Observe que Ks depende da tenso na armadura tracionada (sd) e da posio da linha neutra, expressa por x. 6.3 EXEMPLOS NUMRICOS As vigas tm basicamente dois tipos de problemas para serem resolvidos: de dimensionamento e de verificao. Os trs primeiros exemplos apresentados so de dimensionamento e os dois ltimos so de verificao.

O dimensionamento consiste em se determinar qual a armadura necessria para uma viga, sendo previamente conhecidos: os materiais, a seo transversal e o momento fletor solicitante. Esse tipo de clculo normalmente feito durante a fase de projeto das estruturas, para a sua futura construo.

Nos problemas de verificao a incgnita principal o mximo momento fletor que a seo pode resistir. Problemas de verificao normalmente ocorrem quando a viga pertence a uma construo j executada e em utilizao, e se deseja conhecer a capacidade de carga de uma viga. Para isso necessrio conhecer os materiais que compem a viga, como a classe do concreto (fck), o tipo de ao, a quantidade de armadura e o seu posicionamento na seo transversal, as dimenses da seo transversal, etc.

Na grande maioria dos casos da prtica os problemas so de dimensionamento, e esporadicamente ocorrem os problemas de verificao e, por este motivo, ser dada maior nfase aos problemas de dimensionamento.

Aps o estudo dos exemplos seguintes o aluno deve fazer os exerccios propostos no item 10.

1) Para uma viga que tem ligao com outros elementos estruturais (Figura 12), calcular para o momento fletor mximo: a rea de armadura longitudinal de flexo e as deformaes na fibra de concreto mais comprimida e na armadura de flexo tracionada. So conhecidos:

Mk,mx = 10.000 kN.cm h = 50 cm c = f = 1,4 ; s = 1,15 bw = 20 cm concreto C20 (fck = 20 MPa) d = 47 cm (altura til)

ao CA-50 c = 2,0 cm (cobrimento nominal) t = 5 mm (dimetro do estribo) concreto com brita 1 (dmx = 19 mm)



14

Mk,mx

A

A

lef

bw20 cm

h = 50 cm

Figura 12 - Viga bi-apoiada.

RESOLUO O problema de dimensionamento, aquele que mais ocorre no dia a dia do engenheiro estrutural. A incgnita principal a rea de armadura tracionada (As), alm da posio da linha neutra, dada pela varivel x, que deve ser determinada primeiramente. A resoluo ser feita segundo as equaes tericas deduzidas do equilbrio da seo (Eq. 15 e 17), e tambm com aplicao das equaes com coeficientes tabelados K. O momento fletor de clculo : kN.cm 000.1410000.4,1M.M kfd === com f o coeficiente de segurana que majora os esforos solicitantes.

O valor que delimita os domnios 2 e 3 dado por x2lim, definido na Eq. 30 da apostila de Fundamentos do Concreto Armado (BASTOS, 2006), sendo x2lim fixo e igual a 0,26d:

cm 2,1247.26,0d26,0x lim2 === A delimitao entre os domnios 3 e 4 dada por x3lim. Para o ao CA-50, conforme a Tabela A-1, x3lim : x3lim = 0,63 d = 0,63 . 47 = 29,6 cm a) Resoluo com as Equaes Tericas Com a Eq. 15 determina-se a posio (x) da linha neutra para a seo:

( )x4,0dfxb68,0M cdwd = ( )x4,0474,10,2x20.68,014000 =

08,1801x5,117x2 =+

==

cm 1,18xcm 4,99x

2

1

A primeira raiz no interessa, pois 99,4 cm > h = 50 cm. Portanto, x = 18,1 cm, como mostrado na Figura 13. Como o momento fletor solicitante tem sinal positivo, a posio da linha neutra deve ser medida a partir da borda superior comprimida. Observe que as unidades adotadas para as variveis da Eq. 15 foram o kN e o cm. Se outras unidades diferentes forem adotadas deve-se tomar o cuidado de mant-las em todas as variveis. importante observar que o momento fletor deve ser colocado na equao com o seu valor absoluto. O momento fletor positivo traciona a parte inferior da viga, e para resistir a ele



15

colocada uma armadura longitudinal chamada armadura positiva. No caso de momento fletor negativo colocada a armadura negativa, prxima borda superior da viga. Comparando a posio da linha neutra (x) com os limites x2lim e x3lim determina-se o domnio em que a viga se encontra: cm 6,29xcm1,18xcm2,12x lim3lim2 =



16

d

MKA dss = = 04,84714000027,0 = cm2

Comparando os resultados obtidos segundo as duas formulaes verifica-se que os valores so muito prximos. c) Detalhamento da armadura na seo transversal Inicialmente deve-se comparar a armadura calculada (As = 8,10 cm2) com a armadura mnima longitudinal prescrita pela NBR 6118/03. Conforme a Tabela 2, para concreto C20 e seo retangular, pode-se considerar a armadura mnima de flexo como: As,mn = 0,15 % bw h = 0,0015 . 20 . 50 = 1,50 cm2 Verifica-se que a armadura calculada de 8,10 cm2 maior que a armadura mnima. Quando a armadura calculada for menor que a armadura mnima, deve ser disposta a rea da armadura mnima na seo transversal da viga. A escolha do dimetro ou dos dimetros e do nmero de barras para atender rea de armadura calculada admite diversas possibilidades. Um ou mais dimetros podem ser escolhidos, preferencialmente dimetros prximos entre si. A rea de ao escolhida deve atender rea de armadura calculada, preferencialmente com uma pequena folga, mas segundo sugesto do autor admite-se uma rea at 5 % inferior calculada. O nmero de barras deve ser aquele que no resulte numa fissurao significativa na viga e nem dificuldades adicionais durante a confeco da armadura. A fissurao diminuda quanto mais barras finas so utilizadas. Porm, deve-se cuidar para no ocorrer exageros. Para a rea de armadura calculada neste exemplo, de 8,10 cm2, com auxlio das Tabela A-3 e Tabela A-4, podem ser enumeradas as seguintes combinaes:

- 16 8 mm = 8,00 cm2; - 10 10 mm = 8,00 cm2; - 7 12,5 mm = 8,75 cm2; - 4 16 mm = 8,00 cm2; - 3 16 mm + 2 12,5 mm = 8,50 cm2; - 3 20 mm = 9,45 cm2; - 2 20 mm + 1 16 mm = 8,30 cm2; - 2 20 mm + 2 12,5 mm = 8,80 cm2.

Outras combinaes de nmero de barras e de dimetros podem ser enumeradas. A escolha

de uma das combinaes listadas deve levar em conta os fatores: fissurao, facilidade de execuo, porte da obra, nmero de camadas de barras, exeqibilidade (largura da viga principalmente), entre outros.

Detalhamentos com uma nica camada resultam sees mais resistentes que sees com duas ou mais camadas de barras, pois quanto mais prximo estiver o centro de gravidade da armadura borda tracionada, maior ser a resistncia da seo. Define-se como camada as barras que esto numa mesma linha paralela linha de borda da seo. O menor nmero possvel de camadas deve ser um dos objetivos do detalhamento.

Das combinaes listadas, 16 8 e 10 10 devem ser descartadas porque o nmero de barras excessivo, o que aumentaria o trabalho do armador (operrio responsvel pela confeco das armaduras nas construes). Por outro lado, as trs ltimas combinaes, com o dimetro de 20 mm, tm um nmero pequeno de barras, no sendo o ideal para a fissurao, alm do fato da barra de 20 mm representar maiores dificuldades no seu manuseio, confeco de ganchos, etc. Entre todas as combinaes, as melhores alternativas so 7 12,5 e 4 16 mm, sendo esta ltima



17

pior para a fissurao, mas que certamente ficar dentro de valores mximos recomendados pela NBR 6118/03. O estudo da fissurao nas vigas ser apresentado na disciplina 1365 Estruturas de Concreto IV.

Na escolha entre 7 12,5 e 4 16 mm deve-se tambm atentar para o porte da obra. Construes de pequeno porte devem ter especificados dimetros preferencialmente at 12,5 mm, pois a maioria delas no tm mquinas eltricas de corte de barras, onde so cortadas com serras ou guilhotinas manuais, com capacidade de corte de barras at 12,5 mm. Guilhotinas maiores so praticamente inexistentes nas obras de pequeno porte. Alm disso, as armaduras so feitas por pedreiros e ajudantes e no armadores profissionais. No h tambm bancadas de trabalho adequadas para o dobramento das barras. De modo que recomendamos dimetros de at 12,5 mm para as obras de pequeno porte, e acima de 12,5 mm apenas para as obras de maior porte, com trabalho de armadores profissionais.

Como o momento fletor solicitante tem sinal positivo, extremamente importante que a armadura As calculada seja disposta na posio correta da viga, isto , nas proximidades da borda sob tenses de trao, que no caso em questo a borda inferior. Um erro de posicionamento da armadura, como as barras serem colocadas na borda superior, pode resultar no srio comprometimento da viga em servio, podendo-a levar inclusive ao colapso imediatamente retirada dos escoramentos.

A disposio das barras entre os ramos verticais do estribo deve proporcionar uma distncia livre entre as barras suficiente para a passagem do concreto, a fim de evitar o surgimento de nichos de concretagem, chamados na prtica de bicheira. Para isso, conforme apresentado no item 6.3 (Eq. 7), o espaamento livre horizontal mnimo entre as barras dado por:

agrmx,

mn,h

d 2,1

cm 2e l

Quando as barras de uma mesma camada tm dimetros diferentes, a verificao do

espaamento livre mnimo (eh,mn) entre as barras deve ser feita aplicando-se a Eq. 7 acima. Por outro lado, quando as barras da camada tm o mesmo dimetro, a verificao pode ser feita com auxlio da Tabela A-4, que mostra a Largura bw mnima para um dado cobrimento nominal (c). Determina-se a largura mnima na interseco entre a coluna e a linha da tabela, correspondente ao nmero de barras da camada e o dimetro das barras, respectivamente. O valor para a largura de bw mnimo depende do dimetro mximo da brita de maior dimenso utilizada no concreto.

A Figura 14 mostra o detalhamento da armadura na seo transversal da viga, onde foi adotada a combinao 4 16 mm (a combinao 7 12,5 mm deve ser feita como atividade do aluno). Para 4 16 mm, na Tabela A-4 encontra-se a largura mnima de 19 cm para concreto com brita 1 e cobrimento de 2,0 cm. Como a largura da viga 20 cm, maior que a largura mnima, possvel alojar as quatro barras numa nica camada, atendendo ao espaamento livre mnimo.

Alm da armadura tracionada As devem ser dispostas tambm no mnimo duas barras na borda superior da seo, barras construtivas chamadas porta-estribos, que servem para a amarrao dos estribos da viga. Armaduras construtivas so muito comuns nos elementos estruturais de concreto armado, auxiliam na confeco e montagem das armaduras e colaboram com a resistncia da pea, embora no sejam levadas em conta nos clculos.

A distncia a, medida entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a fibra mais tracionada da seo transversal, neste caso dada pela soma do cobrimento, do dimetro do estribo e metade do dimetro da armadura:

a = 2,0 + 0,5 + 1,6/2 = 3,3 cm



18

A altura til d, definida como a distncia entre o centro de gravidade da armadura tracionada fibra mais comprimida da seo transversal, conforme o detalhamento da Figura 14 :

d = h a = 50 3,3 = 46,7 cm O valor inicialmente adotado para a altura til d foi 47 cm. Existe, portanto, uma pequena

diferena de 0,3 cm entre o valor inicialmente adotado e o valor real calculado em funo do detalhamento escolhido. Pequenas diferenas, de at 1cm ou 2 cm podem, de modo geral, serem desconsideradas em vigas de dimenses correntes, no havendo a necessidade de se recalcular a armadura, pois a diferena de armadura geralmente pequena.

50 d

a

20

416 (8,00 cm)

Figura 14 Detalhamento da armadura longitudinal As na seo transversal.

d) Deformaes na fibra mais comprimida (concreto) e na armadura tracionada

No domnio 3 a deformao de encurtamento na fibra de concreto mais comprimida fixa e igual a 3,5 . A deformao na armadura As varia de yd (2,07 para o ao CA-50) a 10 , podendo ser calculada pela Eq. 19. Considerando d = h a = 50 3,3 = 46,7 cm:

xd

x

sd

cd

=

1,187,461,185,3

sd = sd = 5,5

A Figura 15 ilustra as deformaes nos materiais e os domnios 2 e 3 de deformao.



19

=10 yd 0

3,5 0

5,5

x 2lim

3limx

2,07

2

3

4

x = 18,1 cmLN

cd

d

Figura 15 Diagrama de domnios e deformaes no concreto comprimido e na armadura tracionada.

2) Calcular a altura til (d) e a armadura longitudinal de flexo (As), para o mximo momento fletor positivo da viga de seo retangular, mostrada na Figura 16. Dados: concreto C25 t = 5 mm (dimetro do estribo) ao CA-50 c = 2,5 cm bw = 20 cm concreto com brita 1 Mk,mx = 12.570 kN.cm c = f = 1,4 ; s = 1,15

M = 12.570 kN.cmk,mx

Figura 16 Esquema esttico e diagrama de momentos fletores.

RESOLUO Como a altura da viga no est fixada, dado que a altura til d uma incgnita, o problema admite infinitas solues, tanto no domnio 2 como no domnio 3. No domnio 4 no se admite o dimensionamento, como j explicado.

O problema resolvido fixando-se a posio da linha neutra, isto , adotando-se um valor para x, e para cada x adotado resulta um par d / As.

A posio da linha neutra pode se estender at o limite entre os domnios 3 e 4, isto , a posio da linha neutra (x) pode variar de zero a x3lim. Com o objetivo de mostrar duas solues entre as infinitas existentes, o exemplo ser resolvido com a posio da linha neutra fixada em



20

duas diferentes posies: no limite entre os domnios 2 e 3 (x = x2lim) e 3 e 4 (x = x3lim) ver Figura 5.

Ambas as solues visam dimensionar a viga com armadura simples, pois outras solues

possveis com armadura dupla no sero apresentadas neste exemplo. A resoluo do exerccio ser feita segundo as equaes do tipo K, ficando a resoluo pelas equaes tericas como tarefa para o aluno. O clculo pelas equaes tericas (Eq. 15 e 17) faz-se arbitrando valores para x (x2lim e x3lim por exemplo) na Eq. 15, donde obtm-se um valor correspondente para d. A rea de armadura calculada ento com a Eq. 17, tendo todas as suas variveis conhecidas.

O momento fletor de clculo : kN.cm 598.1712570.4,1MM kfd === a) Linha neutra passando por x2lim Com a linha neutra em x2lim implica que x = x2lim = 0,26 (ver Eq. 31 no item 10.9 da apostila Fundamentos do Concreto Armado, de BASTOS, 2006). Com x = 0,26, na Tabela A-1 para concreto C25 e ao CA-50 encontram-se:

==

026,0K5,3K

s

c

Com a Eq. 23 calcula-se a altura til d:

d

2w

c MdbK = cm 5,55

2017598.5,3

bMKdw

dc === A rea de armadura As (Eq. 25) resulta:

2dss cm 24,85,5517598026,0

dMKA ===

Um arranjo possvel de barras para a rea calculada 3 16 mm + 2 12,5 mm = 8,50

cm2. H vrias outras combinaes ou arranjos possveis. A posio da linha neutra (x) pode ser obtida com a Eq. 20:

cm 4,145,55.26,0dx x dx

lim2xlim2x ===== A Figura 17 mostra a posio da linha neutra, os domnios e o diagrama de deformaes para a seo em anlise. Observe que, com a linha neutra passando por x2lim, a deformao de encurtamento no concreto comprimido (cd) igual a 3,5 , e a deformao de alongamento na armadura (sd) igual a 10,0 , ambas iguais aos mximos valores permitidos pela NBR 6118/03.



21

10 yd

2limx

0 3,5

x = 14,42lim

= 3,5 cd

sd As

LN

As

20

55,5

2

3

cA'

h

Figura 17 Diagrama de domnios e deformaes nos materiais

com a linha neutra passando em x2lim . A Figura 18 mostra o detalhamento da armadura na seo transversal. Como j observado

no exerccio anterior, extremamente importante posicionar corretamente a armadura As, dispondo-a prxima face tracionada da seo, que neste caso a face inferior, pois a viga est solicitada por momento fletor positivo.

Inicialmente, deve-se tentar colocar as cinco barras na primeira camada, prxima borda tracionada. Como foram escolhidos dois dimetros diferentes para a armadura no possvel utilizar a Tabela A-4 para verificar a possibilidade de alojar as cinco barras numa nica camada. Neste caso, a verificao deve ser feita comparando o espaamento livre existente entre as barras com o espaamento mnimo preconizado pela NBR 6118/03. Considerando a barra de maior dimetro e concreto com brita 1 (dmx,agr = 19 mm), o espaamento mnimo entre as barras, conforme a Eq. 7 :

===

cm3,29,12,1d2,1cm6,1

cm2e

agr,mx

mn,h l eh,mn = 2,3 cm

O espaamento livre existente entre as barras, considerando as cinco barras numa nica camada :

( )[ ] 7,14

6,1.325,15,05,2220eh =+++= cm Como eh = 1,7 < eh,mn = 2,3 cm, as cinco barras no podem ser alojadas numa nica camada. Como uma segunda tentativa uma barra 12,5 deve ser deslocada para a segunda camada (acima da primeira), o que resulta para eh:

( )[ ] 7,23

25,16,1.35,05,2220eh =+++= cm Como eh = 2,7 > eh,mn = 2,3 cm, as quatro barras podem ser alojadas na primeira camada. A barra 12,5 da segunda camada fica amarrada num dos ramos verticais dos estribos.



22

x = x = 14,4

55,5

60

20

3 16

a

2 12,5

e = 2,7h

c

LN2lim

1 cam.

Figura 18 Detalhamento da armadura na seo transversal

e posio da linha neutra em x = x2lim.

No h a necessidade de determinar a posio exata do centro de gravidade da armadura As, a posio aproximada suficiente, no conduzindo a erro significativo. No exemplo, o centro de gravidade pode ser tomado na linha que passa pela face superior das barras 16 mm.

A distncia (a) entre o centro de gravidade (CG) da armadura longitudinal tracionada (As) fibra mais tracionada da seo neste caso :

a = c + t + l/2 = 2,5 + 0,5 + 1,6 = 4,6 cm

A altura da viga a soma da altura til d com a distncia a: h = d + a = 55,5 + 4,6 = 60,1 cm 60 cm Para as vigas recomenda-se adotar alturas com valores mltiplos de 5 cm ou 10 cm. A armadura mnima de flexo, conforme a Tabela 2, : hb%15,0A wmn,s = 2mn,s cm 80,160200015,0A == As = 8,24 cm2 > As,mn = 1,80 cm2 dispor a armadura calculada. b) Linha neutra passando por x3lim Com a linha neutra em x3lim implica que x = x3lim = 0,63 (ver Tabela 13 na apostila Fundamentos do Concreto Armado, de BASTOS, 2006). Com x = 0,63, na Tabela A-1 para concreto C25 e ao CA-50, encontram-se:

==

031,0K7,1K

s

c



23

Com a Eq. 23 calcula-se a altura til d:

d

2w

c MdbK = cm 7,38

2017598.7,1

bMKdw

dc === A rea de armadura As (Eq. 25) resulta:

2dss cm 10,147,3817598031,0

dMKA ===

Um arranjo de barras composto por 7 16 mm = 14,00 cm2. Outros arranjos podem ser

utilizados. A posio da linha neutra (x) pode ser obtida com a Eq. 20:

cm4,247,38.63,0dx x dx

lim3xlim3x ===== A Figura 19 mostra a posio da linha neutra, os domnios e o diagrama de deformaes para a seo em anlise. Observe que, com a linha neutra passando por x3lim, a deformao de encurtamento no concreto comprimido (cd) igual a 3,5 , e a deformao de alongamento na armadura (sd) igual a yd, igual a 2,07 para o ao CA-50 (ver Tabela 1).

10 ydsA

x 3lim

sd

3,5

LN

0

B

24,43limx

= 3,5 cd

20

sA

38,7

A'c

h

2

3

Figura 19 Diagrama de domnios e deformaes nos materiais

com a linha neutra passando em x3lim . Na distribuio das sete barras 16 mm na seo transversal pode-se fazer uso Tabela A-4, para se determinar quantas camadas de barras so necessrias. O intuito de alojar o maior nmero de barras numa primeira camada. Na Tabela A-4 verifica-se que a largura bw mnima necessria para alojar 7 16 mm de 31 cm, maior que a largura existente, de 20 cm, no sendo possvel, portanto, alojar as sete barras. Cinco barras tambm no podem, j que bw,mn = 23 cm supera a largura existente. Mas quatro barras podem ser alojadas numa nica camada, como mostrado na Tabela A-4, a largura bw,mn de 20 cm igual largura da viga.

As trs outras barras restantes devem ser dispostas numa segunda camada, posicionadas com o espaamento livre mnimo (ev,mn) relativo face superior das barras da primeira camada. Duas das trs barras so amarradas nos ramos verticais dos estribos, e a terceira barra pode ser colocada no meio, apoiada em pequenos segmentos de barra de ao com dimetro idntico ao do estribo, como mostrado na Figura 20.



24

O espaamento livre mnimo vertical entre as barras, conforme a Eq. 8 :

===

cm0,19,15,0d5,0cm6,1

cm2e

agr,mx

mn,v l ev,mn = 2,0 cm

De modo geral, o espaamento livre entre camadas resulta igual a 2,0 cm.

C.G.

20

38,743,8

3 limx = x = 24,4A'c

a

3 16

4 16

ev

t

c0,

5

Figura 20 Detalhamento da armadura na seo transversal e posio da linha neutra em x = x3lim.

Adotando-se a posio do centro de gravidade da armadura de forma aproximada, numa linha passando a 0,5 cm acima da superfcie superior das barras 16 mm da primeira camada, a distncia a (distncia do centro de gravidade CG - da armadura longitudinal tracionada (As) fibra mais tracionada da seo) : a = 2,5 + 0,5 + 1,6 + 0,5 = 5,1 cm Para a altura da viga resulta: h = d + a = 38,7 + 5,1 = 43,8 cm A altura calculada para a viga, de 43,8 cm no uma medida padro de execuo na prtica das construes. comum adotarem alturas mltiplas de 5 cm ou 10 cm para as vigas, o que levaria altura de 45 cm.

a3) Comparao dos resultados Os clculos efetuados com a linha neutra fixada em x2lim e x3lim forneceram as solues: a) x2lim: h = 60 cm , As = 8,24 cm2;



25

b) x3lim: h = 45 cm , As = 14,10 cm2. Os resultados permitem tecer as seguintes consideraes:

- quanto menor for o valor de x ou a profundidade da linha neutra dentro da seo transversal, maior ser a altura resultante para a viga e menor ser a rea de armadura tracionada. Com a maior altura da seo o brao de alavanca z entre as foras resultantes internas tambm maior, o que leva a menor necessidade de armadura;

- as vigas dimensionadas no domnio 2 resultam vigas com maior altura e menor armadura que as vigas dimensionadas no domnio 3;

- a considerao anterior implica que as vigas dimensionadas no domnio 2 consomem maiores volumes de concreto e maiores quantidades de frma, escoramento, mo-de-obra, etc. Um estudo de custos deve constatar que o dimensionamento no domnio 2 resulta num custo maior que o dimensionamento no domnio 3, apesar do menor consumo de ao proporcionado pelo domnio 2;

- outro aspecto importante que o dimensionamento no domnio 3, com vigas de menor altura, resultam vigas mais flexveis, sujeitas a flechas de maior magnitude.

3) Calcular a armadura As de uma viga submetida flexo simples, sendo dados: concreto C25 c = 2,5 cm ao CA-50 t = 6,3 mm (dimetro do estribo) h = 60 cm concreto com brita 1 bw = 22 cm c = f = 1,4 ; s = 1,15

Mk = - 15.000 kN.cm (momento fletor negativo no apoio da viga) RESOLUO

Neste caso, como todas as variveis esto fixadas, com exceo da posio da linha neutra (x) e da rea de armadura As, existe apenas uma soluo, dada pelo par x - As. A resoluo iniciada pela determinao de x e em seguida pelo clculo de As. A questo ser resolvida utilizando-se as equaes tericas e tambm com as equaes com coeficientes K.

A altura til d no conhecida porque no se conhece o arranjo da armadura na seo transversal. necessrio estimar d, que a altura da viga menos a distncia entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a fibra mais tracionada (chamada distncia a). A distncia a depende da armadura As, da largura da viga, do dimetro do estribo e principalmente da espessura do cobrimento de concreto, que, quanto maior, maior ser a distncia a. De modo geral, para as vigas correntes, o valor de a varia de 3 cm a 6 cm. A soluo adotar um valor para a e depois verificar o valor exato no detalhamento da armadura na seo transversal. Normalmente no necessrio recalcular a armadura para o valor de a determinado no detalhamento, dado que a variao de armadura geralmente pequena. Para a distncia a desta questo ser adotado o valor de 5 cm, e conseqentemente d : d = h 5 cm = 60 5 = 55 cm

O clculo ser feito segundo as equaes tericas e do tipo K. O momento fletor de clculo

: kN.cm 000.2115000.4,1MM kfd ===

(o sinal do momento fletor negativo no deve ser considerado nos clculos). a) Resoluo com Equaes Tericas Os limites entre os domnios 2,3 e 4 so:



26

x2lim = 0,26d = 0,26 . 55 = 14,3 cm x3lim = 0,63d = 0,63 . 55 = 34,7 cm (para o ao CA-50)

Com a Eq. 15 determina-se a posio da linha neutra para a seo:

( )x4,0dfxb68,0M cdwd = ( )x4,0554,15,2x22.68,021000 =

x = 16,2 cm

Comparando a posio da linha neutra (x) com os limites x2lim e x3lim determina-se qual o domnio em que a viga se encontra:

cm 7,34xcm2,16xcm3,14x lim3lim2 === a seo est no domnio 3. Como a seo de apoio da viga, os limites fornecidos na Eq. 18 necessitam ser obedecidos. Sendo concreto C25 tem-se:

x/d = 16,2/55 = 0,29 < 0,5 como o limite foi atendido existe soluo com

armadura simples. A rea de armadura calculada pela Eq. 17:

( )x4,0dMA

sd

ds = ( ) 95,92,16.4,055

15,150

21000As =

= cm2

b) Resoluo com Equaes com Coeficientes K A posio da linha neutra determinada com o clculo de Kc (Eq. 23):

d

2w

c MdbK = 2,3

2100055.22K

2

c == Observe que o momento fletor de clculo (Md) considerado com o seu valor absoluto no clculo de Kc.

Com Kc = 3,2, para concreto C25 e ao CA-50 na Tabela A-1 encontram-se: Ks = 0,026, x = 0,29 e domnio 3. Para momento fletor negativo no apoio da viga, a norma limita a relao x = x/d em 0,50 para o concreto C25, conforme mostrado na Eq. 18. A viga atende, portanto, a esta limitao, pois x = 0,29 < 0,50. Isso significa que a seo pode ser dimensionada com armadura simples, sem necessidade de se fazer qualquer alterao nos dados iniciais.

A rea de armadura (Eq. 25) resulta:

2dss cm 93,95521000026,0

dMKA === (5 16 mm = 10,00 cm2)

A armadura mnima para a viga, conforme a Tabela 2, :

hb%15,0A wmn,s = 2mn,s cm 98,160.22.0015,0A ==

As > As,mn = 1,98 cm2



27

O detalhamento da armadura na seo transversal est mostrado na Figura 21. Como o momento fletor negativo, a armadura deve obrigatoriamente ser disposta prxima face superior tracionada da seo. Seria um erro gravssimo fazer o contrrio, com a armadura As no lado inferior da viga. Tanto no projeto quanto na execuo das vigas, especial ateno deve ser dada a este detalhe. A posio do centro de gravidade da armadura foi adotada de forma aproximada, a 5 mm da face inferior das barras da primeira camada. Para vigas de pequeno porte no h a necessidade de se determinar com rigor a posio exata do centro de gravidade da armadura. Na distribuio das barras da armadura longitudinal negativa nas sees transversais das vigas importante deixar espao suficiente entre as barras para a passagem da agulha do vibrador. Deve-se ter em mente qual o dimetro da agulha do vibrador que ser utilizado. Os dimetros de agulha mais comuns utilizados na prtica so de 25 mm e 49 mm. De preferncia o espaamento entre as barras deve ser um pouco superior ao dimetro da agulha, para permitir a penetrao da agulha com facilidade, sem que se tenha que forar a sua passagem. Para quatro e trs barras na primeira camada os espaamentos livres horizontais entre as barras so:

( )[ ] 1,33

6,1463,05,2222e 4,h =++= cm

( )[ ] 5,52

6,1363,05,2222e 3,h =++= cm Considerando o dimetro da agulha do vibrador igual a 49 mm, verifica-se que devem ser dispostas apenas trs barras na primeira camada, e as duas outras na segunda camada. O espaamento livre mnimo horizontal entre as barras (Eq. 7):

==

cm 2,3 = 1,9 1,2 d 1,2cm 1,6

cm 2e

agrmx,

mn,h l eh,mn = 2,3 cm

O espaamento livre mnimo vertical entre as barras das camadas (Eq. 8):

==

cm 1,0 = 1,9 . 0,5d0,5cm 1,6

cm 2e

agrmx,

mn,v l ev,mn = 2,0 cm

A distncia entre o centro de gravidade da armadura e a face tracionada da viga, adotada

inicialmente como 5 cm, : a = 2,5 + 0,63 + 1,6 + 0,5 = 5,2 cm



28

C.G.

ae = 2 cmv0.5

1 cam.

2 cam.

5 1610,00 cm

60

c t

C.G.a

d

22

Figura 21 Detalhamento da armadura negativa na seo transversal. 4) Dada a seo retangular de uma viga, como mostrada na Figura 22, calcular qual o momento fletor admissvel (de servio). So conhecidos:

46

20

50 A = 8,00 cms

bw = 20 cm f = c = 1,4 h = 50 cm s = 1,15 d = 46 cm As = 8,00 cm2 concreto C20 ao CA-50

Figura 22 Caractersticas da seo transversal. RESOLUO O problema agora no de dimensionamento, e sim de verificao. As variveis a serem determinadas so a posio da linha neutra (x) e o momento fletor de servio ou admissvel (Mk). A resoluo deve ser feita por meio das equaes tericas. A primeira equao a considerar a de equilbrio das foras resultantes na seo transversal (Eq. 10).

Rcc = Rst As resultantes de compresso no concreto comprimido e de trao na armadura so (Eq. 11 e 12):

wcdcc bx8,0f85,0R = ssdst AR =



29

Inicialmente deve-se supor que a seo foi dimensionada nos domnios 2 ou 3, onde tem-se:

15,150ff

s

ykydsd ===

Aplicando a Eq. 10 determina-se a posio da linha neutra (x):

ssdwcd Abx8,0f85,0 =

cm 9,17x 00,815,15020.x8,0

4,10,285,0 ==

necessrio verificar se a hiptese inicialmente considerada da viga estar nos domnios 2 ou 3 verdadeira, o que se faz comparando x com os valores limites x2lim e x3lim: x2lim = 0,26 d = 0,26 . 46 = 12,0 cm x3lim = 0,63 d = 0,63 . 46 = 29,0 cm x2lim = 12,0 < x = 17,9 < x3lim = 29,0 cm

Verifica-se que a seo encontra-se no domnio 3, e realmente sd igual a fyd. O momento fletor de servio pode ser calculado pelas Eq. 15 ou 16:

( )x4,0dfxb68,0M cdwd = ou ( )x4,0dAM sdsd =

( ) kN.cm650.9=M 9,17.4,04615,15000,8M4,1 kk =

Portanto, o momento fletor caracterstico a que a seo pode resistir 9.650 kN.cm (momento positivo). 5) Determinar o mximo momento fletor que pode suportar uma viga com a seo mostrada na Figura 23. Dados:

40

20

3

3 209,45 cm

concreto C25 ao CA-50 As = 9,45 cm2 c = f = 1,4

s = 1,15 d = 36 cm

Figura 23 - Seo transversal da viga. RESOLUO



30

Como no exerccio anterior, o problema de verificao e a incgnita principal do problema o momento fletor caracterstico (Mk) a que a seo transversal pode resistir.

Da equao de equilbrio de foras normais (Eq. 10), tem-se o equilbrio das foras resultantes:

Rcc = Rst As resultantes de compresso no concreto comprimido e de trao na armadura so (Eq. 11 e 12):

wcdcc bx8,0f85,0R =

ssdst AR =

Supondo-se inicialmente que a seo foi dimensionada nos domnios 2 ou 3, a tenso na armadura :

15,150ff

s

ykydsd ===

Aplicando a Eq. 10 determina-se a posio da linha neutra (x):

ssdwcd Abx8,0f85,0 =

cm 9,16x 45,915,15020.x8,0

4,15,285,0 ==

necessrio verificar se a hiptese inicialmente considerada da viga estar nos domnios 2 ou 3 verdadeira, o que se faz comparando x com os valores limites x2lim e x3lim. Para x2lim tem-se: x2lim = 0,26 d = 0,26 . 36 = 9,4 cm O valor de x3lim pode variar em funo da verso da norma que foi considerada quando do clculo de dimensionamento da viga. Na NBR 6118/80 o valor para x3lim era de 0,63d e na NBR 6118/03 o valor foi reduzido para 0,50d (para fck 35 MPa) no caso de se tratar de seo de apoio da viga ou ocorrer ligao com outros elementos estruturais. Como a armadura negativa muito provvel que se trate de seo de apoio. Deste modo tem-se: x3lim = 0,63 d = 0,63 . 36 = 22,7 cm (NBR 6118/80) ou x3lim = 0,50 d = 0,50 . 36 = 18,0 cm (NBR 6118/03). x2lim = 9,4 < x = 16,9 < x3lim = 22,7 cm ou 18,0 cm Verifica-se que, para qualquer que seja o valor de x3lim considerado, a viga foi dimensionada no domnio 3, o que muito comum de ocorrer na prtica. Desse modo, a hiptese inicial foi confirmada e realmente tem-se sd = fyd. O momento fletor de servio pode ser calculado pelas Eq. 15 ou 16: ( )x4,0dfxb68,0M cdwd = ou ( )x4,0dAM sdsd = ( ) kN.cm8.581=M 9,16.4,036

15,15045,9M4,1 kk =

Portanto, o momento fletor caracterstico a que a seo pode resistir 8.581 kN.cm (momento negativo).



31

7. SEO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA

Define-se seo com armadura dupla a seo que, alm da armadura resistente tracionada, contm tambm armadura longitudinal resistente na regio comprimida, ali colocada para auxiliar o concreto na resistncia s tenses de compresso. A armadura dupla um artifcio que permite dimensionar as sees cujas deformaes encontram-se no domnio 4, sem que haja a necessidade de se alterar algum dos parmetros inicialmente adotados. A seo com armadura dupla surge como soluo ao dimensionamento anti-econmico e contra a segurana (ruptura frgil, sem aviso prvio) proporcionado pelo domnio 4. Este domnio evitado alterando-se a posio da linha neutra para o limite entre os domnios 3 e 4, ou seja, com a linha neutra passando por x3lim , no que resulta na mxima seo comprimida possvel no domnio 3. Ao se fazer assim, a rea de concreto comprimido no mais considerada para a resistncia da seo compensada pelo acrscimo de uma armadura longitudinal prxima borda comprimida, que ir auxiliar o concreto no trabalho de resistncia s tenses de compresso. Por outro lado, os novos limites impostos pela NBR 6118/03 (item 14.6.4.3) para a posio da linha neutra (mostrados na Eq. 18), a fim de melhorar a ductilidade das estruturas nas regies de apoio das vigas ou de ligao com outros elementos estruturais, so tambm motivos para a utilizao de armadura dupla. Quando a linha neutra excede os limites, ao invs de se aumentar a altura da seo, por exemplo, geralmente possvel manter todos os dados iniciais acrescentando uma armadura na regio comprimida da viga, e desse modo no ultrapassar os limites impostos pela norma. Na maioria dos casos da prtica a necessidade de armadura dupla surge nas sees sob momentos fletores negativos, nos apoios intermedirios das vigas contnuas. Como os momentos fletores negativos so significativamente maiores que os momentos fletores mximos positivos nos vos, eles requerem sees transversais com alturas bem maiores que os momentos positivos. Mas fixar a altura das vigas em funo dos momentos negativos aumenta o seu custo, pois se na seo de apoio a altura fixada a ideal, nas sees dos vos a altura resulta exagerada. Da que uma soluo simples e econmica pode ser fixar a altura da viga de tal forma que resulte armadura dupla nos apoios e armadura simples nos vos.

7.1 EQUAES DE EQUILBRIO Do mesmo modo como feito na deduo das equaes para a seo com armadura simples, a formulao ser desenvolvida com base nas duas equaes de equilbrio da esttica (Eq. 9). A Figura 24 mostra a seo retangular de uma viga, com armadura tracionada As e armadura comprimida As, submetida a momento fletor positivo. O diagrama de distribuio de tenses de compresso no concreto aquele retangular simplificado, com altura 0,8x.



32

sA'Rsc 'sd sc

R

scz

b

y = 0,8x

M

sA

A'sd'

h d

d - x

x

w

LN

sA

Rst

ccR

cd

sd

Rcc

stR

cd

zcc

0,85 f cd

cA'

Figura 24 - Seo retangular com armadura dupla.

a) Equilbrio de Foras Normais

Na flexo simples no ocorre a fora normal, de forma que existem apenas as foras

resultantes relativas aos esforos resistentes internos, que devem se equilibrar, de tal forma que:

stsccc RRR =+ (Eq. 26) sendo: Rcc = fora resultante de compresso proporcionada pelo concreto comprimido; Rsc = fora resultante de compresso proporcionada pela armadura comprimida; Rst = fora resultante de trao proporcionada pela armadura tracionada; sd = tenso de clculo na armadura comprimida; sd = tenso de clculo na armadura tracionada.

Considerando que R = . A, as foras resultantes, definidas com auxlio da Figura 24, so: Rcc = 0,85 fcd 0,8 x bw (Eq. 27) Rsc = As sd (Eq. 28) Rst = As sd (Eq. 29) b) Equilbrio de Momentos Fletores O momento fletor solicitante tem que ser equilibrado pelo momento interno resistente, proporcionado pelo concreto comprimido e pelas armaduras tracionada e comprimida, que podem ser representados pelo momento fletor de clculo Md:

Msolic = Mresist = Md Fazendo o equilbrio de momentos fletores em torno da linha de ao da fora resultante Rst, o momento resistente compresso ser dado pelas foras resultantes de compresso multiplicadas pelas suas respectivas distncias linha de ao de Rst (braos de alavanca zcc e zsc): Md = Rcc . zcc + Rsc . zsc Substituindo Rcc e Rsc pelas Eq. 27 e 28 fica:



33

Md = 0,85 fcd 0,8 x bw (zcc) + A's 'sd (zsc) Aplicando as distncias zcc e zsc a equao torna-se:

Md = 0,68 bw x fcd (d - 0,4x) + A's 'sd (d - d') (Eq. 30) Com o intuito de facilitar o clculo pode-se decompor o momento fletor Md em duas parcelas, como indicado na Figura 25, tal que: Md = M1d + M2d (Eq. 31)

As

LN

sA' A's

d

d'0,4 x

z = d - 0,4xcc

z = d - d'sc= +

sAMd

==

s1

MA

1d

++

s2AM2d

a) b) c)

As2s1A

0,8xx

Figura 25 - Decomposio da seo com armadura dupla.

O momento fletor M1d corresponde ao primeiro termo da Eq. 30, cujo significado fsico o de ser o momento interno resistente proporcionado por uma parcela As1 da armadura tracionada e pela rea de concreto comprimido com a maior altura possvel, conforme esquema mostrado na Figura 25b.

( )x4,0dfxb68,0M cdwd1 = (Eq. 32) O valor de x deve ser adotado conforme os critrios da NBR 6118/03 j apresentados,

havendo as seguintes possibilidades: a) x = x3lim (0,77d para o ao CA-25, 0,63d para CA-50 e 0,59d para CA-60) nas sees que no sejam de apoio da viga nem de ligao com outros elementos estruturais; b) x = 0,5d para concretos at C35 nas sees de apoio da viga ou de ligao com outros elementos estruturais; c) x = 0,4d para concretos de classes acima do C35 nas sees de apoio da viga ou de ligao com outros elementos estruturais.



34

Determinada a primeira parcela M1d do momento fletor total, pode-se calcular a segunda parcela como: d1dd2 MMM = (Eq. 33)

A armadura comprimida As equilibra a parcela As2 da armadura tracionada total (As), e surge do equilbrio de momentos fletores na seo da Figura 25c, como a fora resultante na armadura comprimida multiplicada pela distncia armadura tracionada: M2d = Rsc . zsc Aplicando a Eq. 28 de Rsc fica: ( )ddAzAM sdsscsdsd2 == Isolando a rea de armadura comprimida:

( )ddMA

sd

d2s = (Eq. 34)

A tenso sd na armadura comprimida depende do tipo de ao e da posio dessa armadura dentro da seo transversal, expressa pela relao d/d, e da posio x assumida para a linha neutra, conforme um dos trs valores indicados (x3lim, 0,5d ou 0,4d). Os valores para a tenso na armadura comprimida (sd) esto mostrados nas Tabela A-5, Tabela A-7 e Tabela A-9, em funo da relao d/d, da posio assumida para a linha neutra e do tipo de ao. As parcelas As1 e As2 da armadura tracionada resultam do equilbrio de momentos fletores nas sees b e c indicadas na Figura 25. So dadas pelas foras resultantes nas armaduras tracionadas multiplicadas pelos respectivos braos de alavanca, isto , a distncia entre as resultantes que se equilibram na seo. Para a seo b da Figura 25: ( )x4,0dAzAM sd1sccsd1sd1 == Isolando a parcela As1 da armadura tracionada:

( )x4,0dMA

sd

d11s = (Eq. 35)

Para a seo c da Figura 25: ( )ddAzAM sd2sscsd2sd2 == Isolando a parcela As2 da armadura tracionada:

( )ddMA

sd

d22s = (Eq. 36)

A armadura total tracionada a soma da parcelas As1 e As2:



35

2s1ss AAA += (Eq. 37) onde:

As1 = parcela da armadura tracionada As que equilibra o momento fletor resistente proporcionado pela rea de concreto comprimido com altura x;

As2 = parcela da armadura tracionada As que equilibra o momento fletor resistente proporcionado pela armadura comprimida A's.

c) Permanncia das Sees Planas

Conforme o diagrama de deformaes mostrado na Figura 24 definem-se as relaes entre as deformaes de clculo nas armaduras tracionada (sd) e comprimida (sd) e no concreto da fibra mais comprimida da seo.

xdx

sd

cd

=

(Eq. 38)

xddxxsdsdcd

=

= (Eq. 39) Assumindo a relao entre a posio da linha neutra e a altura til d pode-se tambm

escrever:

dx

x =

sdcd

cdx +

= (Eq. 40) 7.2 CLCULO MEDIANTE FRMULAS COM COEFICIENTES K O clculo de dimensionamento das vigas flexo simples pode ser feito com equaes mais simples, fazendo-se uso dos coeficientes K, como mostrados nas Tabela A-1 e Tabela A-2. Inicialmente deve-se definir qual ser a posio da linha neutra na seo transversal. Se for seo de apoio ou de ligao com outro elemento estrutural, a varivel x ser adotada em funo da classe do concreto: a) x = x/d = 0,5 para concretos at C35; b) x = x/d = 0,4 para concretos de resistncia acima do C35. Se a seo no for de apoio ou de ligao, a posio da linha neutra poder ser assumida passando por x3lim, isto , no limite entre os domnios 3 e 4. Para o ao CA-50 dever ser assumido, portanto, x = 0,63. Definida a posio da linha neutra, deve-se determinar os valores correspondentes de Kclim e de Kslim na Tabela A-1 ou Tabela A-2, conhecendo-se a classe do concreto e a categoria do ao. O momento fletor M1d fica assim determinado:

limc

2w

d1 KdbM = (Eq. 41)



36

A parcela M2d do momento total tambm fica determinada: d1dd2 MMM = (Eq. 42)

A rea total de armadura tracionada fica determinada por:

( )ddfM

dMKA

yd

d2d1limss += (Eq. 43)

A rea de armadura comprimida :

dd

MKA d2ss = (Eq. 44) O coeficiente Ks o inverso da tenso na armadura comprimida, assumindo diferentes valores em funo da relao d/d e da posio adotada para a linha neutra, que pode estar localizada em x3lim, 0,5d ou 0,4d. Os valores de Ks esto mostrados nas Tabela A-6, Tabela A-8 e Tabela A-10:

sd

s1K = (Eq. 45)

7.3 EXEMPLOS NUMRICOS 1) Dimensionar e detalhar a armadura longitudinal de flexo para o momento fletor negativo no apoio intermedirio de uma viga contnua, considerando os dados a seguir:

bw = 20 cm h = 50 cm Mk = - 15.700 kN.cm concreto C25 ao CA-50 c = 2,5 cm t = 6,3 mm brita 1

-

Mk

RESOLUO O problema em questo de dimensionamento da rea de armadura e as incgnitas so a posio da linha neutra (x) e a rea de armadura (As). Inicialmente no se conhece o domnio de deformao da seo, o que significa que uma incgnita se a seo ser dimensionada com armadura simples ou dupla. Para essa definio necessrio determinar x e o domnio em que a seo se encontra. O momento fletor de clculo, em valor absoluto, : Md = f . Mk = 1,4 . 15700 = 21.980 kN.cm Como no se conhece o detalhamento da armadura, no possvel determinar a altura til d, de modo que deve ser adotado inicialmente um valor para d, que igual a altura da viga menos a distncia entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a face tracionada da seo (a ver Figura 26). Adotando a = 5 cm, d resulta:



37

d = h - 4 cm = 50 - 5 = 45 cm Para a distncia d entre o centro de gravidade da armadura comprimida face

comprimida da seo ser adotado o valor de 3 cm (ver Figura 26).

Os limites entre os domnios 2, 3 e 4 so:

x2lim = 0,26 d = 0,26 . 45 = 11,7 cm x3lim = 0,63 d = 0,63 . 45 = 28,4 cm (para o ao CA-50) a) Resoluo com Equaes Tericas A posio da linha neutra (x) determinada pela Eq. 15, com o valor absoluto de Md: ( )x4,0dfxb68,0M cdwd =

( )x4,0454,15,2x20.68,021980 = x = 26,2 cm

Observe que x2lim = 11,7 < x = 26,2 < x3lim = 28,4 cm, o que significa que a seo se

encontra no domnio 3.

A relao x/d :

x/d = 26,2/45 = 0,58 Como a seo de apoio deve-se ter, para o concreto C25, x/d 0,5. Para fazer a seo atender a este limite necessrio modificar algum dos dados de entrada. Analisando a Eq. 15, que fornece x, verificam-se as seguintes alternativas:

- diminuir a solicitao (Md); - aumentar as dimenses da seo transversal, principalmente a altura (h); - aumentar a resistncia do concreto (fck). Das alternativas listadas, de modo geral, a nica que resulta exeqvel o aumento da

altura da seo. Diminuir a solicitao depende de outros fatores, como diminuir o carregamento, o vo, etc., o que geralmente invivel. Aumentar a largura da seo tambm no uma soluo prtica, pois normalmente as vigas so projetadas para ficarem completamente embutidas nas paredes. No usual tambm fazer os elementos estruturais de um mesmo pavimento com concretos de diferentes resistncias.

Uma outra soluo, que ser adotada neste exemplo e ser mostrada em seguida, dimensionar a seo com armadura dupla, sem se fazer qualquer alterao nos dados de entrada iniciais.

A nova posio para a linha neutra pode ser assumida em infinitos valores, at o limite de 0,5d. Geralmente, assume-se o maior valor possvel:

x = 0,5 d = 0,5 . 45 = 22,5 cm

Aplicando o novo valor de x na Eq. 32 determina-se o valor para M1d:



38

( )x4,0dfxb68,0M cdwd1 =

( ) kN.cm 671.195,22.4,0454,15,25,22.20.68,0M d1 ==

Aplicando a Eq. 33 determina-se o valor da segunda parcela do momento fletor resistente: M2d = Md - M1d = 21980 - 19671 = 2.309 kN.cm Para CA-50 e d/d = 3/45 = 0,07, conforme a Tabela A-7 a tenso na armadura comprimida (sd) 435 MPa = 43,5 kN/cm2. Do momento fletor M2d, aplicando a Eq. 34, resulta a armadura comprimida:

( )ddMA

sd

d2s = ( ) 2cm26,13455,43

2309 == (2 10 = 1,60 cm2)

As reas de armaduras tracionadas so determinadas com as Eq. 35 e 36, considerando que

no domnio 3 a tenso sd na armadura igual a fyd:

( ) ( )2

sd

d11s cm 57,12

5,22.4,04515,150

19671x4,0d

MA =

==

( ) ( )2

sd

d22s cm 26,1

34515,150

2309dd

MA =

==

A rea total de armadura tracionada :

22s1ss cm 82,1326,157,12AAA =+=+= (3 20 + 2 16 = 13,45 cm2) b) Resoluo com Equaes com Coeficientes K O coeficiente Kc calculado pela Eq. 23:

8,121980

45.20M

dbK2

d

2w

c === Na Tabela A-1, com concreto C25 e ao CA-50, verifica-se que a seo est no domnio 3 e x = 0,58 > 0,5, o que no pode por se tratar de seo de apoio. Neste caso, uma soluo para atender ao limite mximo, entre outras possveis, dimensionar a seo com armadura dupla. Com x = 0,5, na Tabela A-1 encontram-se:

==

029,0K1,2K

lims

limc

A primeira parcela do momento fletor resistente (Eq. 41) :



39

kN.cm 286.191,245.20

KdbM

2

limc

2w

d1 === A segunda parcela do momento fletor resistente (Eq. 42) : M2d = Md - M1d = 21.980 19286 = 2.694 kN.cm Com d = 3 cm, e sendo d/d = 3/45 = 0,07, para o CA-50 na Tabela A-8 tem-se Ks = 0,023. As reas de armadura comprimida e tracionada (Eq. 44 e 43) so:

2d2ss cm 48,13452694023,0

ddMKA === (2 10 = 1,60 cm

2)

( )ddfM

dMKA

yd

d2d1limss += ( )

2cm 90,13345

15,150

269445

19286029,0 =

+=

O detalhamento das armaduras na seo transversal est mostrado na Figura 26. Outros

arranjos com nmero de barras e dimetros diferentes poderiam ser utilizados. Como j comentado em outros exemplos numricos anteriores, importante posicionar

corretamente as armaduras na seo transversal. Como o momento fletor solicitante negativo a armadura tracionada As deve obrigatoriamente ser posicionada prxima borda superior da viga, sendo esta chamada armadura negativa, e a armadura comprimida (As) deve ser posicionada na borda inferior, que est comprimida pelo momento fletor negativo. O valor d foi inicialmente adotado igual a 3 cm. O seu valor, conforme o detalhamento da armadura:

d' = 2,0 + 0,63 + 1,0/2 = 3,1 cm O espaamento vertical livre mnimo entre as faces das barras das primeira e segunda

camadas da armadura negativa (Eq. 8):

==

cm 1,0 = 1,9 . 0,50,5dcm 2,0

cm 2e

agrmx,

mn,v l cm 0,2e mn,v =



40

2 10

d'

CG

2 163 20

eh

e v,mn

d

a

20

50

0,63

2,02,0

2,0

0,5a

CG

1 camada

2 camada

Figura 26 Detalhamento das armaduras longitudinais de flexo na seo transversal.

A distncia a, que definiu a altura til d, foi adotada inicialmente igual a 4 cm.

Considerando aproximadamente que o centro de gravidade da armadura est posicionado 0,5 cm abaixo da face inferior das barras da primeira camada (ver Figura 26), a distncia a segundo o detalhamento adotado resulta:

a = 2,0 + 0,63 + 2,0 + 0,5 = 5,1 cm O valor de 5,0 cm previamente adotado para a praticamente o valor resultante do

detalhamento. Diferenas de at um ou dois centmetros no valor de a no justificam o reclculo das armaduras, em funo dos acrscimos serem muito pequenos.

A Tabela A-4 mostra que a largura mnima necessria para alojar 3 20 mm numa nica camada de 16 cm, menor que a largura existente, de 20 cm, o que mostra que possvel alojar as trs barras. Isso fica confirmado pela comparao entre eh,mn (Eq. 8) e eh, como calculados a seguir:

==

cm 2,3 = 1,9 . 1,21,2dcm 2,0

cm 2e

agrmx,

mn,h l cm 3,2e mn,h =

( )[ ] cm37,42

0,2.363,00,2220eh =++= > eh,mn = 2,3 cm A distncia livre entre as barras da primeira camada, de 4,37 cm, no suficiente para a passagem do vibrador com dimetro da agulha de 49 mm. Neste caso, deve-se utilizar uma agulha de menor dimetro, como por exemplo 25 e 35 mm. 2) Calcular e detalhar a armadura longitudinal da seo de apoio de uma viga contnua (Figura 27), considerando: concreto C30 c = 2,5 cm



41

ao CA-50 t = 6,3 mm bw = 14 cm brita 1 h = 60 cm Mk = - 18.500 kN.cm

- 18.

500

Figura 27 Valor do momento fletor negativo no apoio da viga contnua.

RESOLUO O problema de dimensionamento como os anteriores, onde as incgnitas so as reas de armadura e a posio x da linha neutra. A resoluo ser feita com as equaes do tipo K a ttulo de exemplificao. Ser inicialmente adotada a distncia a igual a 6 cm, o que resulta para a altura til: d = h - 6 cm = 60 - 6 = 54 cm O momento fletor de clculo, em valor absoluto, : Md = f . Mk = 1,4 . 18500 = 25.900 kN.cm O coeficiente Kc calculado pela Eq. 23:

6,125900

54.14M

dbK2

d

2w

c === Na Tabela A-1, com concreto C30 e ao CA-50, verifica-se que a seo est no domnio 3 e x = 0,56 > 0,5, o que no pode por se tratar de seo de apoio. Neste caso, uma soluo para atender ao limite mximo, entre outras possveis, dimensionar a seo com armadura dupla. Com x = 0,5, na Tabela A-1 encontram-se:

==

029,0K7,1K

lims

limc

A primeira parcela do momento fletor resistente (Eq. 41) :

kN.cm 014.247,154.14

KdbM

2

limc

2w

d1 === A segunda parcela do momento fletor resistente (Eq. 42) : M2d = Md - M1d = 25.900 24.014 = 1.886 kN.cm



42

Adotando d = 4 cm, e sendo d/d = 4/54 = 0,07, para o CA-50 na Tabela A-8 tem-se Ks = 0,023. As reas de armadura comprimida e tracionada (Eq. 44 e 43) so:

2d2ss cm 87,04541886023,0

ddMKA === (2 8 mm = 1,00 cm

2)

( )ddfM

dMKA

yd

d2d1limss += ( )

2cm 76,13454

15,150

188654

24014029,0

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UNESP Bauru-SP Flexao Simples Vigas Notas de Aula Paulo Bastos Nov 2010