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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL - PROFMAT
JAMERSON RIBEIRO DO NASCIMENTO
A ESTATÍSTICA NO ENSINO BÁSICO: ABORDAGEM NO ENEM E UMA
ANÁLISE EM ALGUNS MATERIAIS DIDÁTICOS
JUAZEIRO DO NORTE
2014
1
JAMERSON RIBEIRO DO NASCIMENTO
A ESTATÍSTICA NO ENSINO BÁSICO: ABORDAGEM NO ENEM E UMA ANÁLISE
EM ALGUNS MATERIAIS DIDÁTICOS
Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Matemática em Rede Nacional, do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obtenção do Título de Mestre em Matemática. Área de concentração: Ensino de Matemática. Orientador: Prof. Dr. Flávio França Cruz.
JUAZEIRO DO NORTE
2014
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Federal do Ceará
Biblioteca do Curso de Matemática N195e Nascimento, Jamerson Ribeiro do A estatística no ensino básico: abordagem no Enem e uma análise em alguns materiais didáticos / Jamerson Ribeiro do Nascimento. - 2014. 74 f. : il., enc.; 31 cm
Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional, Juazeiro do Norte, 2014.
Área de Concentração: Ensino de Matemática. Orientação: Prof. Dr. Flávio França Cruz.
1. Estatística. 2. Estatística – Estudo e ensino. 3. Exame Nacional do Ensino Médio. I. Título.
CDD 519.5
2
JAMERSON RIBEIRO DO NASCIMENTO
A ESTATÍSTICA NO ENSINO BÁSICO: ABORDAGEM NO ENEM E UMA ANÁLISE
EM ALGUNS MATERIAIS DIDÁTICOS.
Trabalho de conclusão de curso apresentado ao Programa e Pós-graduação em Matemática em rede nacional (PROFMAT), do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obtenção do Título de Mestre em Matemática. Área de concentração: Ensino de Matemática.
Data da Aprovação: ___ de Junho de 2014.
BANCA EXAMINADORA
______________________________________________________________
Prof. Dr. Flávio França Cruz (orientador) Universidade Regional do Cariri (URCA)
Prof. Ms. Tiago de Silva Alencar Universidade Regional do Cariri (URCA)
Prof. Ms. Valéria Gerônimo Pedrosa Alencar Universidade Regional do Cariri (URCA)
3
Dedico aos meus pais José Lobo do Nascimento e Maria Silva Ribeiro do Nascimento, aos meus irmãos Jayane, Jadson e Jardell, a minha tia Rozani e aos meus bons amigos, pelo amor, por toda a motivação e apoio, pelo incentivo e companheirismo, pelo exemplo de vida que se fazem, e pela força proporcionada a mim nos bons e maus momentos.
4
AGRADECIMENTOS
A DEUS, que sempre se fez presente em todo o meu caminho percorrido e
nas conquistas adquiridas e por sempre me guiar na minha vida.
Aos meus pais pela minha formação como cidadão, pela minha educação, por
sempre me motivarem e proporcionar-me a chance de alcançar meus objetivos
fornecendo geralmente o que eu precisava e não o que eu queria.
Aos meus amigos Jonas, Ronaldo, Gervânia e Israel pelos conselhos e apoios
nos momentos de dúvida e de ausência.
A Andreza Camila pelo seu sacrifício, apoio, esforço e excelente intenção em
me ajudar, nos diversos momentos de dificuldades e ausência.
A minha passada e atual direção escolar na pessoa de Carlos Vidal bem como
seu núcleo gestor e atual diretor D’Assis bem como seu núcleo gestor pela
compreensão que predominou em meus momentos de ausência tão necessários
para a conclusão desse curso.
Ao meu orientador Prof. Dr. Flávio França Cruz pela aceitação em ajudar-me,
pelo compartilhamento do saber, pela disponibilidade, pela amizade e por contribuir
de forma direta na minha formação.
A Erivelton pelos conselhos que contribuíram para a realização desse
trabalho.
A Simony Barbosa e Else Barbosa pelo apoio, ajuda, acolhimento e amizade.
Aos meus colegas aqui do profmat pela convivência e aprendizado coletivo
que se somava a cada encontro.
Aos meus demais professores pelo apoio e presença ativa nas constantes
buscas pelo conhecimento.
À Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) e ao Instituto de Matemática
Pura e Aplicada (IMPA), que oportunizaram este programa de pós-graduação.
Aos meus amigos da graduação que mesmo ausentes foram e são exemplos
e referências para meu aprendizado.
Aos meus familiares que me incentivaram e que muitas vezes compreenderam
a minha ausência nos momento de convivência coletiva.
Ao meu tio Cícero Lobo pela ajuda nos tempos de graduação.
5
RESUMO
A Estatística hoje permeia a maioria dos meios de comunicação e se mostra também rigorosamente útil em diversos setores da nossa economia, agricultura, comércio, pesquisas e ciências de modo geral. É a parte da matemática que se preocupa com a coleta e descrição dos dados geralmente valores que depois de organizados e apresentados, objetivam entre outros, a tomada de futuras decisões facilitando e condicionando os estudos a um melhor desempenho e resultado. O estudo da estatística contribui para uma formação consciente dos alunos, sua presença indistinta no dia a dia ajuda a formular os problemas e modelar situações práticas nas mais diferentes áreas sociais. O ensino da estatística deve ser trabalhado já no ensino fundamental e o uso de ferramentas e meios que tornem esse estudo consistente deve ser adotado e abraçado pelos professores. Este estudo tem como escopo evidenciar a importância da estatística na nossa prática de evolução educacional e social, ressaltar meios e ferramentas que podem contribuir para o melhoramento desse ensino e consequentemente da aprendizagem em estatística, chamar um pouco a atenção do aluno e dos professores sobre a baixa relevância que se tem dado a esse conteúdo e por fim propomos um material de apoio com as principais definições em estatística e sua saturada presença no Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM).
PALAVRAS-CHAVE: Estatística. Ensino da estatística.
6
ABSTRACT
The Statistics today permeates most of the media and also shows rigorously useful in many sectors of our economy, agriculture, trade, research and general sciences. It is the part of mathematics that is concerned with the collection and description of data values that usually after organized and presented, aim to among others, the future decision-making easier and conditioning studies to better performance and results. The statistical study contributes to a conscious training of students, their indistinct presence in everyday life helps formulate problems and modeling more practical situations in different social areas. The teaching of statistics should be working already in elementary school and the use of tools and resources that make this robust study should be adopted and embraced by teachers. This study has the objective to highlight the importance of statistics in our practice of educational and social development, emphasizing means and tools that can contribute to the improvement of this teaching and learning consequently statisticians call a little attention from students and teachers about the low relevance that has been given to such content and finally we propose a support material with the main definitions in statistics and its saturated presence in the Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM).
KEYWORDS: Statistics. Teaching statistics.
7
LISTA DE FIGURAS
Figura 4.1: Gráfico em linha mostrando a oferta de emprego para gerentes e diretos
em São Paulo ............................................................................................................ 35
Figura 4.2: Exemplo de Gráfico de Barras horizontal ............................................... 36
Figura 4.3: Tabela de frequência absoluta e gráfico setor circular com registro de
problemas com máquinas agrícolas .......................................................................... 37
Figura 4.4: Gráfico Histograma de peso (em Newtons) de crianças numa creche ... 39
Figura 4.5: Gráfico pictograma de grandes edifícios (Nome e data de criação) ....... 40
Figura 4.6: Gráfico Pictograma de Produção de mel em seis países ....................... 40
Figura 4.7: Gráfico Histograma de frequência absoluta de duração do tempo de
banhos ...................................................................................................................... 52
Figura 4.8: Gráfico em barras do número de espécies em extinção ........................ 58
Figura 4.9: Tabela de quantidades de idosos e crianças com problemas
respiratórios.. ............................................................................................................. 59
Figura 4.10: Tabela percentual das regiões do Brasil, sobre mães que, em 2005,
amamentavam seus filhos nos primeiros meses de vida .......................................... 59
Figura 4.11: Gráfico de barras da temperatura média do pescado .......................... 60
8
Figura 4.12: Gráfico de barras sobre a classificação de países na Produção de mel
em 2007 .................................................................................................................... 61
Figura 4.13: Gráficos em barras sobre Consumo de Energia e Consumo de água ..62
Figura 4.14: Gráfico em linha sobre análise do desmatamento da Amazônia em 20
anos... ....................................................................................................................... 63
Figura 4.15: Gráfico de barras sobrepostas mostrando a sustentabilidade e proteção
dos Biomas brasileiros... ........................................................................................... 63
Figura 4.16: Gráfico comparativo sobre o Café no Brasil com sua produção,
rendimento e área plantada entre 2001 e 2008......................................................... 64
Figura 4.17: Gráfico em linha sobre o crescimento Urbano em todo o mundo ......... 65
Figura 4.18: Gráfico de barras sobre a pontuação de cinco equipes numa gincana.66
Figura 4.19: Gráfico em barras sobre Média de alunos do curso ............................. 66
Figura 4.20: Gráfico histograma sobre gasto de água por tipos de alimentos... ....... 67
Figura 4.21: Gráfico de barras horizontal sobre a classificação de estados do Brasil
no desmatamento (Km²)... ......................................................................................... 68
Figura 4.22: Gráfico de dispersão mostrando a quantidade de gols marcados em
copas mundo... .......................................................................................................... 68
Figura 4.23: Tabela de registros das temperaturas em graus (C°) no decorrer de 29
dias... ......................................................................................................................... 69
Figura 4.24: Gráfico em linha mostrando dados Percentuais da Participação do
agronegócio no PIB brasileiro. .................................................................................. 70
9
Figura 4.25: Gráfico comparativo, em 5 anos, sobre extensão média de gelo
marítimo.................................................................................................. ................... 71
Figura 4.26: Duplo gráfico comparativo em linha sobre Reclamações diárias
recebidas e resolvidas no SAC... .............................................................................. 71
Figura 4.27: Gráfico de colunas compostas comparando a quantidade de
compradores entre dois produtos A e B... ................................................................. 72
10
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 4.1: Gráfico de colunas compostas sobre a plantação de grãos nas cidades
locais da região do Cariri – CE .................................................................................. 37
Gráfico 4.2: Setor circular mostrando a preferência por Modalidade esportiva ........ 38
Gráfico 4.3: Histograma das alturas dos estudantes do 3º Ano D ............................ 39
Gráfico 4.4: Gráfico de dispersão sobre os alunos do 1º ano em duas escoas nos
três últimos anos em Juazeiro do Norte – CE ........................................................... 41
Gráfico 4.5: Gráfico de dispersão dos Casais da tabela 3.10. e suas respectivas
tendências lineares ................................................................................................... 47
Gráfico 4.6: Gráfico setor circular mostrando a quantidades de hotéis pesquisados
por diária ................................................................................................................... 73
11
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1: Dados registrados de forma aleatória após 20 lançamentos de um dado
................................................................................................................................. 30
Tabela 4.2: Dados registrados do exemplo 1 de forma ordenada (crescente) ......... 30
Tabela 4.3: Tabela de frequência absoluta do exemplo 1 ........................................ 31
Tabela 4.4: Tabela de frequência relativa do exemplo 1 ......................................... 32
Tabela 4.5: Tabela contendo valores não ordenados das alturas de 40 alunos do
exemplo 2... ............................................................................................................... 32
Tabela 4.6: Tabela contendo valores ordenados das alturas de 40 alunos do
exemplo 2 .................................................................................................................. 32
Tabela 4.7: Tabela da frequência absoluta de 4 classes do exemplo 2 ................. ..33
Tabela 4.8: Tabela da frequência absoluta de 7 classes obtidas através da regra de
Sturges (1926) do exemplo 2 ............................................................ ....................... .34
Tabela 4.9: tabela de frequência absoluta obtida da tabela 3.8 onde se considerou-
se o final de cada intervalo ........................................................................................ 44
Tabela 4.10: Tabela com os valores dos desvios e seus respectivos quadrados ..... 49
Tabela 4.11: Frequência absoluta dos intervalos de duração de tempo no banho ... 50
Tabela 4.12: tabela contendo os valores dos pontos médios das classes, frequência
absoluta e relativa dos intervalos de duração de tempo no banho............................ 51
Tabela 4.13: Tabela de pontos médios e frequências absolutas das classes (Faixas
salariais) .................................................................................................................... 54
12
Tabela 4.14: Tabela de pontos médios e Desvios quadráticos das classes (Faixas
salariais)................................................................ ................................. ...................55
13
LISTA DE QUADROS
Quadro 3.1: Relação dos livros didáticos analisados... ............................................ 25
Quadro 4.1: Quantidade de alunos no 1º ano em duas escoas nos três últimos anos
em Juazeiro do Norte – CE... .................................................................................... 41
Quadro 4.2: Tabela de idades de casais com casamentos marcados... .................. 42
14
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................... 16
2 O ENSINO DA ESTATÍSTICA ................................................................... 19
3 ANÁLISES DE ALGUNS LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO ....... 24
3.1 Considerações finais sobre as coleções ............................................... 28
4 MATERIAL DE ESTATÍSTICA ELABORADO PARA O ENSINO MÉDIO. 28
4.1 Estatística ................................................................................................. 28
4.1.1 População e amostra ............................................................................... 28
4.1.2 População finita ........................................................................................ 29
4.1.3 População infinita ..................................................................................... 29
4.1.4 Variáveis .................................................................................................... 29
4.1.5 Dados brutos ............................................................................................ 30
4.1.6 Rol .............................................................................................................. 30
4.1.7 Distribuições de frequência .................................................................... 31
4.1.8 Gráficos ..................................................................................................... 35
4.1.8.1 Gráfico de Segmentos ou Linha ................................................................. 35
4.1.8.2 Gráfico de barras ........................................................................................ 35
4.1.8.3 Gráfico de Setores...................................................................................... 36
4.1.8.4 Histograma ................................................................................................. 37
4.1.8.5 Gráfico pictograma ..................................................................................... 39
4.1.8.6 Gráficos de dispersão ................................................................................. 40
4.1.9 Medidas de Tendência Central ................................................................ 42
4.1.9.1 dia aritm tica ................................................................................... 42
4.1.9.2 Média Aritmética ponderada ....................................................................... 43
4.1.9.3 Mediana (Md) ............................................................................................. 44
4.1.9.4 Moda (Mo) .................................................................................................. 45
4.1.10 Medidas de Dispersão .............................................................................. 46
4.1.10.1 Amplitude total (At) ..................................................................................... 47
4.1.10.2 Variância (V) e Desvio padrão (Dp) ............................................................ 47
4.1.10.3 Desvio dio D ........................................................................................ 48
4.1.11 Medidas de centralidade e de dispersão para dados agrupados......... 49
4.1.11.1 Cálculo da média ........................................................................................ 50
15
4.1.11.2 Mediana (Md) ............................................................................................. 51
4.1.11.3 Classe modal .............................................................................................. 52
4.1.11.4 Variância e desvio padrão ......................................................................... 53
4.2 De olho no ENEM ..................................................................................... 56
4.2.1 Um pouco da história e os objetivos do ENEM .................................... 56
4.2.2 Aplicações e abordagens da estatística no ENEM ............................... 57
REFERÊNCIAS ......................................................................................... 72
16
1 INTRODUÇÃO
Hoje nos situamos em um cenário onde as informações são transmitidas ou
absorvidas de forma intensa e em muitos casos de forma não trivial, pois os dados
das mais comuns informações são em geral dados matemáticos. Esse variado
tratamento dessas informações é abordado pelo que definimos por estatística.
A estatística é ramo da matemática que se ocupa com o colhimento e
tratamento da informação. Os estudos e conclusões obtidos com os dados
estatísticos colhidos e apresentados nos possibilitam meios mais seguros nas
decisões futuras, isto é, certa garantia no que diz respeito a previsões sobre o objeto
de estudo.
Segundo registros, nas primeiras civilizações a criação de ―taxas‖ ou
equivalentemente os impostos, só foram possíveis pelos governantes, após
levantamentos de dados sobre quantidades de habitantes, suas rendas e bens que
eles possuíam, somente após todo esse conhecimento dos bens do estado como
um todo foi que se obtiveram as devidas cobranças. Essa ação de recolhimento de
dados e informações da época denominou-se a expressão estatística originada do
termo ―Estado‖.
A estatística está presente em nosso cotidiano de forma constante e
fortemente inserida no currículo de matemática da educação básica. Apresenta-se
como uma ciência interdisciplinar, mostrando-se uma valiosa e poderosa ferramenta
na tomada de decisões seja em empresas, comércio em geral, no próprio campo de
estudos e pesquisas ou na própria divulgação dos fatos pelos jornais, revistas,
televisão, internet etc. Através de tabelas, gráficos, gráficos de setores, pictogramas
que são comumente apresentados. Ela está entre os assuntos cobrados no Exame
Nacional do Ensino Médio (ENEM), possui uma enorme importância para
compreensão do cidadão da sociedade, porem nem todos os indivíduos conseguem
codificar de forma clara essa linguagem informativa tida por muitos de nossos alunos
até como uma linguagem complexa.
Hoje fazemos parte de uma sociedade que se encontra em constante
mudança e evolução, sabermos nos situar nela é crucial, assim como dispor de
habilidade com as mais incomuns adversidades nos nossos ambientes de trabalho
ou mesmo no nosso dia a dia sobre alterações financeiras, vendas, prever possíveis
17
ganhos ou perdas no mercado, no turismo ou na agricultura ou até no nosso
consumo é uma tarefa indispensável que a estatística no proporciona.
Podemos afirmar que o médico, o educador, o agricultor, o economista, o
político e outros que constituem a nossa sociedade se utilizam, em seus respectivos
ambientes de trabalho, de conteúdos estatísticos como um forte instrumento às
pesquisas e casualidades. A própria estatística tem acompanhado a evolução da
nossa sociedade desde os tempos remotos onde se faziam simples catalogações de
números e registros até as mais atuais formas e meios valiosos de previsão
tornando-a indispensável para nossa atual realidade.
Inúmeras são as aplicações da estatística nas mais diversas áreas de estudo
e pesquisa, pois se trata de uma ciência interdisciplinar.
No que tange ao aspecto curricular, os Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN - BRASIL) ressaltam que:
―Em um mundo onde as necessidades sociais, culturais e profissionais
ganham novos contornos, todas as áreas requerem alguma competência em
matemática e a possibilidade de compreender conceitos e procedimentos
matemáticos é necessário tanto para tirar conclusões e fazer argumentações,
quanto para o cidadão agir como consumidor prudente ou tomar decisões em sua
vida pessoal e profissional‖.
A fim de atingirmos as recomendações e exigência em âmbitos estadual e
federal é preciso que os conteúdos ministrados em sala de aula estejam em sintonia
com esses contornos e mudanças presentes na nossa sociedade e que os mesmos
não se encontrem distantes da realidade vivenciada pelos alunos, que eles possam,
na medida do possível, poder aplicar os conteúdos na sua própria vivência e que os
mesmo sirvam de ferramenta nas suas ações de trabalho, consumo e vida de modo
geral. Dessa maneira o processo educacional terá mais sentido.
O objetivo principal com a criação desse trabalho é de tentar despertar no
aluno, a melhoria ou mesmo o próprio domínio como dados estatísticos, que ele
aprenda a identificar as diversas informações que estão sintetizadas nos vários tipos
de gráficos e tabelas, bem como a relação entre esses dados. Tentaremos mostrar a
grande importância que este conteúdo se faz ao aluno, seja na sua formação
educacional e/ou cidadã e como é intensa a presença da estatística no seu dia a dia.
Fornecer aos professores meios que possam contribuir para um melhor ensino
18
desse conteúdo, como por exemplo, os recursos tecnológicos cada vez mais
presentes em nossos ambientes sociais.
Também queremos evidenciar aos docentes alguns problemas que o aluno se
depara ao lidar com estudo sobre estatística nas escolas e tentar aqui expor o fato
de que em muitos ambientes de aprendizagem e salas de aula por alguns tipos de
motivos se tem dado pouca relevância aos conteúdos estatísticos.
Objetivamos também fornecer ao docente na seção três, um melhor
esclarecimento dos quatro livros didáticos em matemática mais utilizados na cidade
de Juazeiro do Norte – CE, no que diz respeito ao conteúdo estatístico seguidos de
alguns comentários e com base nessa análise e outros materiais referenciados
nesse trabalho, reforçar esse estudo estatístico, ofertando ao aluno, na seção
quatro, um material a nível também de ensino médio com as principais definições e
exemplos locais.
Por fim, ainda na seção quatro, evidenciamos que este conteúdo é
fortemente cobrado diretamente ou indiretamente pelo bastante popular e hoje muito
importante aos discentes, Exame Nacional do ensino Médio o ENEM.
19
2 O ENSINO DA ESTATÍSTICA
O desenvolvimento da estatística no processo de aprendizagem nas escolas
básicas tem sido o foco de pesquisas e estudos que objetivam evidenciar a enorme
relevância desse tema.
Podemos Atualmente afirmar que as propostas curriculares enfatizam a busca
pelo domínio e prática desse conteúdo em diversos níveis e formas de aplicação no
processo de ensino e aprendizagem. Essa atenção especial para com esse tema se
dá pela notável importância de poderem, por exemplo, realizar sondagens, analisar
índices de custo de vida, tomar decisões em várias situações do cotidiano etc.
Percebemos como é influente e importante o contínuo uso da estatística em
nosso cotidiano através de pesquisas sobre inflação, eleições, censos, tomadas de
decisões em nossos trabalhos, empresas e instituições, daí a importância de nos
familiarizarmos com essa linguagem a fim de que possamos integrar de forma ativa
a sociedade como ressaltam os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e a
própria Lei de Diretrizes e Bases LDB. No artigo 35 da LDB estão anunciadas as
intenções:
I. a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no
ensino fundamental, possibilitando o prosseguimento de estudos;
II. a preparação básica para o trabalho e o exercício da cidadania do
educando, para continuar aprendendo, de modo a ser capaz de se adaptar
com flexibilidades a novas condições de ocupação ou aperfeiçoamento
posteriores;
III. o aprimoramento do educando como pessoa humana, incluindo a
formação ética e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do
pensamento crítico;
IV. a compreensão dos fundamentos científicos e tecnológicos dos processos
produtivos, relacionando a teoria com a prática no ensino de cada
disciplina.
Com o objetivo de participar de maneira ativa na sociedade, o aluno deve
atingir esses objetivos mencionados acima. Porém percebemos também algumas
circunstâncias que contribuem para a não realização dessas etapas do processo de
ensino e aprendizagem e consequentemente, o fracasso no alcance dos objetivos
mencionados acima. Citaremos alguns argumentos para que o aluno tenha um olhar
20
especial e, é claro, um cuidado redobrado quando se confrontar com esse conteúdo,
como por exemplo, a superficialidade do conteúdo estatístico nas salas de aula, o
tratamento que se dá em muitos ambientes de aprendizagem a esse conteúdo e as
dificuldades que o aluno se depara, por exemplo, na interpretação de gráficos de um
modo geral e o tratamento e análise da informação.
A relevância que se deve ter com tema em questão, deve ser acentuada, haja
vista toda a exigência cobrada pelos PCN’s. A inclusão da estatística nos currículos
da educação básica já é uma realidade em muitas escolas do país. A maioria dos
livros e matérias didáticos traz um capítulo abordando exclusivamente esse
conteúdo.
Nos ambientes diversos de aprendizagem, em se tratando de estatística, não
se pode apenas, se deter a fórmulas que envolvam o cálculo de médias, modas ou
medianas. Isso é algo extremamente superficial e, hoje, totalmente inadmissível.
Vivemos em uma sociedade que se modifica constantemente onde se faz um uso
demasiado da informação, portanto é vital para compreensão do discente que os
ambientes de aprendizagem envolvam muito mais que fórmulas e tão poucas
associações ao nosso dia a dia.
Segundo o artigo de Hélio Rosset Júnior,
É fundamental que as práticas e os conteúdos ministrados em sala estejam em sintonia com as novas exigências do mundo em que vivemos, para que a educação não seja algo distante da vida dos alunos, mas , ao contrário, seja parte integrante de suas experiências para uma existência melhor. (JÚNIOR, 2007, p. 35).
Da mesma forma, o professor como principal responsável pela condução do
processo de aprendizagem deve possuir uma postura crítica, que não se limite
apenas a conceitos ou cálculos de poucos valores como retrata Lopes,
Uma educação estatística crítica requer do professor uma atitude de respeito aos saberes que o estudante traz à escola, que foram adquiridos por sua vida em sociedade. Em nosso modo de entender, seria necessária a discussão de temas como poluição dos rios e mares, os baixos níveis do bem estar da população, o abandono da saúde pública, questões que estão em manchetes de jornais diários, revistas e em reportagens de televisão. (LOPES, 2008, p. 57).
21
Ressaltamos que em diversos ambientes de aprendizagem, além de não
fornecer a relevância no estudo da estatística como se é exigido, é comum que,
esse conteúdo seja trabalhado só nos finais dos anos letivos, quando resta tempo,
diga-se de passagem, o que é extremamente prejudicial ao discente, uma vez que a
absorção preliminar do mesmo lhe serviria, por exemplo, no melhor entendimento
dos demais conteúdos do seu próprio livro didático, como enfatizam os estudiosos
nesse estudo apontando e exemplificando constantemente a intensa presença da
estatística nas áreas ―divergentes‖ da própria matemática, quando tratam da
interdisciplinaridade.
Outro fator crucial para o bom desempenho do estudo do discente com o
conteúdo em questão é a condução do processo de aprendizagem por parte do
professor, que pode fazer uso das diversas formas de mídias tecnológicas que
permeiam nosso dia a dia e que em muitos casos se fazem presentes em nossas
escolas e ambientes de aprendizagem, como forma de uma ferramenta adicional
que venha contribuir para uma melhor visualização ou interpretação dos dados e
consequentemente com um melhor aproveitamento por parte do discente. Por
exemplo, com o uso de um projetor, data show ou uma lousa interativa, o professor
pode interagir com seus alunos , exemplificando, construindo gráficos a partir de
uma situação local ou mesmo daquele ambiente de aprendizagem, o que não seria
viável se fizesse apenas uso do livro didático.
É preciso que o professor se encontre capacitado para tais ações e
principalmente, que ele reconheça a enorme importância e ganhos no processo de
aprendizagem com essas práticas e uso destas ferramentas tecnológicas.
No ensino do conteúdo estatístico é muito importante que se evidencie a
presença da estatística em diversos meios de comunicação como jornais, revistas, o
rádio, livros didáticos e televisão, lidamos frequentemente com os mais diversos
tipos de dados e entendemos que essa linguagem é crucial na nossa participação
como cidadãos ativos. Muitas vezes a apresentação desses dados consiste em
formas de tabela e/ou gráficos.
Essa apresentação objetiva resumir ou sintetizar o contexto que está sendo
apresentado de uma forma que toda a informação daquele trabalho ou daquela
pesquisa não seja perdida ou mesmo ignorada, permitindo em alguns casos, a
tomada de decisões para ações futuras. Essa tomada de decisões seria na verdade
22
uma espécie de conclusão, que seria obtida após a leitura, a análise e a
interpretação dos dados.
É com essa linguagem que o aluno deve se preparar a fim de compreender
cada vez melhor o que lhe cerca como evidencia e destaca Hélio Rosset Júnior em
seu artigo página 3,
Existe um ditado matemático que diz: ―Um gráfico bem construído equivale a mil palavras‖. Essa nova linguagem que passa a demandar das pessoas o entendimento e o domínio de novos códigos diferentes do ―ler e escrever‖ tradicionais, nessa perspectiva que o mundo moderno caminha, com tecnologias voláteis, otimizando espaços, tempo, recursos, e fazendo uso intenso dos argumentos estatísticos. (JÚNIOR, 2007, p. 35).
Já existe em âmbito nacional um tratamento mais abrangente no ensino da
estatística visando o envolvimento do aluno, que mesmo no ensino fundamental,
seja capaz de absorver esses dados estatísticos bem como criticá-los por meio de
análises consistentes e usá-los na tomada de decisões, visando possíveis previsões
através dos mesmos,
A Estatística e a Probabilidade são temas essenciais da educação para a cidadania, uma vez que possibilitam o desenvolvimento de uma análise crítica sobre diferentes aspectos científicos, tecnológicos
e/ou sociais. (Lopes, 1998, p. 22).
Nesse sentido devemos pensar e construir as nossas aulas de forma que
atenda as exigências da nossa atual realidade, para que o aluno possa relacionar o
conteúdo visto em sala com o seu cotidiano, bem como interpretar cada vez melhor
as informações nos gráficos e tabelas do seu cotidiano.
O conteúdo de estatística vem ganhando cada vez mais visibilidade, pois
diversos trabalhos de áreas como comércio, agricultura, vendas de um modo geral,
pesquisas sobre crescimento populacional ou urbano, construções etc. se utilizam
dessa linguagem inclusive as provas e diversos testes como, por exemplo, o Exame
Nacional do Ensino Médio - ENEM.
O próprio Exame Nacional do Ensino Médio, hoje a maior seleção dos
discentes que almejam o ingresso no ensino superior no país, se encontra, ao longo
de suas edições, saturado de informações estatísticas, o que evidencia uma
intenção por parte do próprio governo, na necessidade dos sistemas escolares
23
valorizarem o ensino da estatística como mais um fator de implemento da cidadania
plena.
Antigamente, o cidadão completamente alfabetizado precisava apenas saber ler e escrever, porém nos dias de hoje, a alfabetização plena passa pela leitura e escrita, adicionada às noções de informática/tecnologia e conhecimentos de Estatística. (Júnior, H.R., 2007, p 35-37)
Cita Hélio Rosetti Júnior em seu artigo: Educação Estatística no Ensino Básico
pág. 3, reafirmando o que concluímos no nesse trabalho sobre como a sociedade
está constantemente em processo de mudança e na mesma proporção dessa
evolução se dá os diversos meios de transmissão de informações e exigências no
contexto de um modo geral. Dessa forma os ambientes escolares e de
aprendizagem como um todo, não podem deixar de trabalhar de modo até
disseminado nas suas estruturas de ensino, os conteúdos estatísticos.
24
3 ANÁLISES DE ALGUNS LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO
Nesta seção, apresentamos alguns comentários sobre como a estatística é
abordada por quatro dos livros didáticos adotados pelas escolas da rede pública na
cidade Juazeiro do Norte – CE. Devemos ressaltar que, não temos aqui a menor
intenção de criticar ou qualificar as obras destes autores já renomados em nosso
país, mas apenas a intenção de informar aos nossos leitores e alunos um apanhado
do conteúdo estatístico trazido e abordado por essas obras.
Os livros didáticos são fornecidos gratuitamente aos alunos da rede pública de
ensino, pelo Governo Federal desde o ano de 2004-2005 através do Programa
Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM) que teve sua implantação
em 2004 com o objetivo de universalizar os livros didáticos utilizados pelos alunos
do ensino médio em todo país. Na cidade de Juazeiro do Norte bem como no estado
do Ceará, existe uma seleção dos possíveis livros candidatos. Depois de definidos
os livros candidatos, geralmente num evento estadual, as escolas optam pela
escolha do livro que será utilizado pelos próximos três anos.
Mesmo diante das diversas ferramentas tecnológicas, os livros didáticos são
na maioria das vezes os responsáveis pelo bom andamento do processo, pois ainda
é a ferramenta principal do professor e, portanto responsáveis pelas escolhas e
construções das ações e estratégias que permeiam as aulas.
Os livros analisados, devidamente descritos por seus autores, volume e
editora estão listados no quadro 2.1, mostrado abaixo:
25
Coleção Autores Editora Volume
Novo olhar Joamir Souza FTD 3
Matemática :
Paiva
Paiva Moderna 3
Matemática –
ciência e
aplicações
Gelson Iezze
Osvaldo Dolce
David Degenszajn
Roberto Périgo
Nilze De Almeida
Saraiva 3
Matemática
Ensino Médio
Kátia Stocco Smole
& Maria Ignez Diniz
Saraiva 3
Quadro 3.1: Relação dos livros didáticos analisados
Numa análise inicial, os livros apresentam seus conteúdos de maneira não
divergente às normas e critérios sugeridos nos Parâmetros Curriculares Nacionais
para o Ensino Médio (PCNEM) implantados em 2000; Diretrizes Curriculares de
Matemática no Estado do Ceará e nos PCN+ (Orientações Educacionais
Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais) de 2002.
No que tange a estatística, cada um dos quatro livros traz de forma clara e
exemplificada a definição de estatística, definição essa introduzida com algumas
contextualizações do cotidiano, sempre com situações atuais comuns representadas
por gráficos e/ou tabelas.
Os quatro livros apresentam textos e exemplos em formas de gráficos ou
tabelas ilustrando outras áreas de ensino como dados geográficos, dados históricos,
dados econômicos, etc., mostrando assim a forte presença da estatística não só na
matemática, más também nas diversas formas de comunicação. A exemplificação
das diversas tabelas e gráficos é abordada por todos os livros e somente na coleção
―Novo olhar‖, não se tem a presença constante do gráfico de setores nos exemplos
abordados, exceto na introdução. As quatro coleções analisadas trazem, em
definições e em exemplos, a representação por histograma que é um modelo
semelhante ao gráfico de barras em colunas verticais.
As coleções citam e definem os elementos básicos da estatística, como
população ou universo e amostra. È abordado a distribuição de frequência dos
dados, o agrupamento dos dados em classe e amplitude. Os quatro livros definem e
26
exemplificam as medidas de tendência central (média, moda e mediana) e as
medidas de posição (variância e desvio padrão).
Ressaltamos que dentre os livros analisados nenhum enfatizou a questão
relativa à população finita e infinita, o que poderia dinamizar melhor o conceito de
população nas diversas situações que são exemplificadas. Outra importante
ressalva é que as coleções ―Novo olhar‖ e ― atemática – Ciência e Aplicações‖
apresenta de forma até destacada os cálculos de medida de tendência central com
dados agrupados em classe e somente a coleção ― atemática – Ciência e
Aplicações‖ apresenta cálculos para medidas de dispersão com dados agrupados
em classe, o que acreditamos ser útil em situações de longas séries de dados. Uma
vez que diversas informações são apresentadas em um quadro ou numa tabela,
obtemos análise de forma bem mais rápida. Outra vantagem bastante significativa
está na visão global dos dados e variáveis em estudo. A partir dos dados
apresentados desta maneira, é possível lançar afirmações de forma mais coerente e
ter melhores conclusões sobre o fenômeno estudado.
As coleções apresentam diversos exemplos que reforçam as definições
previamente apresentadas, bem como exercícios semelhantes aos exercícios e
exemplos resolvidos. É possível perceber nas quatro coleções uma preocupação
com a abordagem da estatística no ENEM – Exame Nacional do Ensino Médio. São
ilustradas questões modelo de forte semelhança com questões já cobradas em
exames anteriores do ENEM e, em algumas coleções inclusive, há questões que já
estiveram no exame nacional do ensino médio. Em todas as coleções são
abordadas questões de diversos concursos e vestibulares, dentre esses,
vestibulares federais que atualmente aderiram ao sistema de avaliações do ENEM
como seleção para ingresso de alunos.
3.1 Considerações finais sobre as coleções
Embora todas as coleções tenham apresentado o conteúdo coerente com as
normas e crit rios sugeridos nos PCN’s, numa comparação entre as coleções
analisadas, destacamos a coleção ― atemática – Ciência e Aplicações‖ como a mais
completa por possuir de forma exclusiva abordagens e partes do conteúdo em
estatística como as medidas de dispersão para dados agrupados. Ressaltamos
ainda que essa coleção, diferentemente das demais analisadas, traz a extensão do
27
conteúdo com probabilidade e tipos de distribuições em estatística, raramente
trabalhado nas escolas públicas.
28
4 MATERIAL DE ESTATÍSTICA ELABORADO PARA O ENSINO MÉDIO
Com base nos quatro livros analisados, elaboramos um material que objetiva
apoiar alunos do ensino médio no estudo da estatística, as principais definições de
estatística bem como as medidas mais trabalhadas pelos alunos nessa etapa da
educação básica. Contemplamos também uma seção dedicada ao ENEM (Exame
Nacional do Ensino Médio) que atualmente é a maior seleção dos alunos para
ingresso no ensino superior. Nessa seção, o nosso objetivo é mostrar como é
abordada a estatística tanto na matemática quanto em outras áreas e como ela vem
sendo cobrada no Exame Nacional do Ensino Médio.
4.1 Estatística
O que é estatística? O que ela nos fornece? São essas algumas das mais
comuns perguntas que alunos do ensino médio se fazem quando se deparam com
estatística. Podemos definir a estatística como a parte da matemática aplicada que
nos fornece métodos para coleta, organização, análise e interpretação de dados e,
de posse desses dados, que podem ser apresentados de diversas formas, podemos
tomar decisões futuras. A estatística se divide em dois importantes ramos: A
Estatística Descritiva que se ocupa da coleta, organização, descrição e de cálculos
dos dados e a Estatística Indutiva ou Inferencial que interpreta e analisa dados
através de diferentes métodos ligados a teoria das probabilidades dando uma
margem de incerteza.
4.1.1 População e Amostra
A definição de população ou universo consiste em um conjunto de elementos
que possuam uma característica em comum. Depois de estabelecido o princípio da
pesquisa, a mesma deve atender um público específico, conhecido esse público, os
dados são coletados de acordo com o que se objetiva na pesquisa. O público pode
ser: os eleitores brasileiros, os torcedores do ICASA, os professores de matemática
do Estado do Ceará, os alunos do PROFMAT, etc. Esse público recebe o nome de
população. A População também pode ser relacionada a um conjunto de objetos ou
informações. Na estatística, a população é classificada como finita e infinita.
29
A amostra é uma parte da população, ou seja, é qualquer subconjunto não
vazio extraído de um conjunto maior denominado população. Em casos em que a
população é infinita, ou considerada como tal, torna-se impossível o estudo de um
fenômeno, considerando-se todos os dados. Dessa forma, número de entrevistas ou
observações coletadas corresponde a uma quantidade determinada de elementos
do conjunto, são submetidos ao estudo pré-estabelecido e os resultados,
generalizados a toda População.
4.1.2 População finita
São os casos em que a população possui uma quantidade finita ou limitada
de elementos. Por exemplo, os alunos do terceiro ano de uma determinada escola,
os sócios torcedores de um clube de futebol local, quantidade de escolas de
Juazeiro, etc.
4.1.3 População infinita
Quando o número de elementos que compõe o conjunto é infinito. Uma
observação é que alguns materiais ressaltam que grupos ou conjuntos de elementos
onde a quantidade é muito elevada e que torna inviável a participação integral de
todos os componentes do conjunto são considerados também infinitos. Por exemplo,
a população da cidade de São Paulo, o número de bactérias de uma cidade, o
número de torcedores da equipe do Flamengo nos estados brasileiros, a população
constituída de todos os resultados (1,2,3,4,5 e 6) em sucessivos lançamentos de um
dado, etc.
4.1.4 Variáveis
Suponha que cada entrevistado de uma amostra selecionada teve que
responder perguntas tais como: Qual a sua idade? Qual é o seu estado civil? Qual
sua renda mensal? Que tipo de desodorante você prefere: Aerossol, roll-on ou
creme? Quantas vezes por dia você aplica o desodorante? Você testaria uma nova
marca de desodorante?
30
Cada um dos itens levantados pela pesquisa- os quais nos permitirão fazer
uma análise desejada é denominada variável. Variáveis como ―estado civil‖, ―tipo de
desodorante‖, ―possibilidade de troca de desodorante‖ apresentam como resposta
um atributo, qualidade ou preferência do entrevistado(a). As variáveis desse tipo são
classificadas como qualitativas. Já a variável ―renda mensal‖, ―Idade‖, ―Numero de
vezes de aplicação de um desodorante‖ apresentam como resposta o número obtido
por contagem ou mensuração. As variáveis desse tipo são classificadas como
quantitativas.
4.1.5 Dados brutos
Dados brutos são os dados coletados, mas ainda não organizados
numericamente. Vejamos o exemplo abaixo.
Exemplo 1: No lançamento de um dado observaram-se as faces voltadas para cima.
Tabela 4.1: Dados registrados de forma aleatória após 20 lançamentos de um dado.
3 6 2 2 1
4 5 3 1 6
3 3 2 5 1
1 6 3 4 3
4.1.6 Rol
É quando os dados de certa grandeza são ―organizados‖, isto é, ordenados
em ordem crescente ou decrescente facilitando a observação e análise dos dados.
Vejamos, no caso do exemplo ilustrado acima, temos,
Tabela 4.2: Dados registrados do exemplo 1 de forma ordenada (crescente).
1 1 1 1 2
2 2 3 3 3
3 3 3 4 4
5 5 6 6 6
31
4.1.7 Distribuições de frequência
Em Estatística, a distribuição de frequência consiste na organização dos
dados de acordo com as ocorrências dos diferentes resultados observados, é um
agrupamento de valores que uma ou mais variáveis podem assumir em uma
amostra. Frequência Absoluta indicada em geral por f é o número de vezes que um
valor da variável, de uma pesquisa é citado. Por exemplo, no lançamento do dado
observaram-se os resultados.
Tabela 4.3: Tabela de frequência absoluta do exemplo 1.
Face do Dado Frequência Absoluta (f)
1 4
2 3
3 6
4 2
5 2
6 3
A frequência com que apareceu a face três foi superior as demais faces.
Frequência Relativa, geralmente indicada por fr, é a razão entre a frequência
absoluta de uma variável e o total (n) de citações de todas as variáveis da pesquisa.
Assim de modo geral, podemos representar fr por:
fr =
Observe que, 0 ≤ fr ≤ n. Desse modo temos que fr ≥ 0 e fr ≤ 1, nos motivando
a expressar também a frequência relativa por meio de porcentagem, o que é em
geral mais prático. No exemplo acima temos que a frequência relativa pode ser
representada por
32
Tabela 4.4: Tabela de frequência relativa do exemplo 1.
Face do
Dado
Frequência
Absoluta (f)
Frequência
Relativa (fr)
Frequência
Relativa (fr)
1 4 4/20 0,2 = 20%
2 3 3/20 0,15 = 15%
3 6 6/20 0,3 = 30%
4 2 2/20 0,1 = 10%
5 2 2/20 0,1 = 10%
6 3 3/20 0,15 = 15%
Exemplo 2. Na escola Figueiredo Correia, situada na cidade de Juazeiro do Norte -
CE registrou-se a altura medida em metros dos alunos da turma D do 3º ano
científico no ano letivo de 2014:
Os Dados brutos estão na tabela abaixo:
Tabela 4.5: Tabela contendo valores não ordenados das alturas de 40 alunos do exemplo 2.
1,63 1,78 1,65 1,82 1,79 1,59 1,66 1,65
1,64 1,69 1,71 1,64 1,63 1,70 1,73 1,71
1,66 1,64 1,65 1,67 1,67 1,66 1,73 1,62
1,62 1,71 1,67 1,73 1,72 1,67 1,71 1,71
1,67 1,78 1,72 1,54 1,68 1,73 1,75 1,63
Como podemos perceber, poucas informações podem ser obtidas ao se deparar
com o quadro acima. Vejamos os dados dispostos em Rol,
Tabela 4.6: Tabela contendo valores ordenados das alturas de 40 alunos do exemplo 2.
1,54 1,59 1,62 1,62 1,63 1,63 1,63 1,64
1,64 1,64 1,65 1,65 1,65 1,66 1,66 1,66
1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,68 1,69 1,70
1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,72 1,72 1,73
1,73 1,73 1,73 1,75 1,78 1,78 1,79 1,82
33
Já podemos perceber de maneira clara o maior e menor valor obtido na
pesquisa. Mesmo tendo os dados de maneira ordenada não temos a mais viável das
apresentações. Faremos um agrupamento desses dados buscando dispô-los em
intervalos, a esse tipo de disposição em intervalos chamamos de classe, algo que
sintetiza melhor a apresentação das alturas dos alunos.
Para construirmos precisamos determinar a quantidade de intervalos (classes)
e como um dado valor pertence ou não a essa classe.
A amplitude total das observações (AT) é 1,54 – 1,82= 0,28. O número de
classes (k) pode ser determinado arbitrariamente ou de acordo algum modelo pré-
estabelecido. Vamos tomar uma amplitude entre as classes de 0,07 obtendo
consequentemente 4 classes. Uma maneira de calcular a quantidade de classes é
através da regra de Sturges (1926),
,
onde, n é o número de observações, ou tamanho da amostra. Uma forma de
determinar a amplitude de cada classe h é utilizar a seguinte fórmula,
h =
.
Na distribuição por intervalos ou classes usamos o símbolo ― ˫ ‖ entre os
valores e a interpretação é dada da seguinte forma:
• 1,54 ˫ 1,61: a classe compreende os números de 1,54 inclusive , at 1,61
(exclusive).
• 1,68 ˫ 1,75: a classe compreende os números de 1,68 inclusive , at 1,75
(exclusive).
• 1,75 ˫ 1,82: a classe compreende os números de 1,75 inclusive , at 1,82
(inclusive), pois trata – se da última classe. Construindo dessa forma a tabela
teremos,
Tabela 4.7: Tabela da frequência absoluta de 4 classes do exemplo 2.
Altura dos alunos Frequência (f)
1,54 ˫ 1,61 2
1,61 ˫ 1,68 19
1,68 ˫ 1,75 14
1,75 ˫ 1,82 5
34
Não é recomendado o uso de apenas quatro classes, o que motivou tal
realização foi o fato de que 0,07 é um divisor de 0,28, recomenda-se quantidades
entre no mínimo cinco e no máximo quinze classes. Para fazer uma nova tabela,
mais criteriosa, usando os dados fornecidos, basta seguir a sequência de cálculos
que definem os valores de referência; primeiramente, deve ser calculada a
quantidade de classes. São 40 dados, logo,
= 6,29
e a amplitude de cada classe será,
h =
= 0,044.
Assim serão sete classes de amplitude 0,4. Construindo, dessa forma, a tabela
abaixo,
Tabela 4.8: Tabela da frequência absoluta de 7 classes obtidas através da regra de Sturges (1926)
do exemplo 2.
Altura dos alunos Frequência (f)
1,54 ˫ 1,58 1
1,58 ˫ 1,62 1
1,62 ˫ 1,66 11
1,66 ˫ 1,70 10
1,70 ˫ 1,74 12
1,74 ˫ 1,78 1
1,78 ˫ 1,82 4
Observando-se as tabelas, fica evidente que quando o conjunto a ser
analisado tiver uma quantidade de elementos relativamente grande, as tabelas que
apresentam os dados agrupados sintetizam melhor o fenômeno em estudo, pois dão
uma visão global das informações. Cabe salientar que a escolha da tabela adequada
depende da quantidade de valores a serem analisados.
35
4.1.8 Gráficos
Os gráficos possuem um importante papel na estatística, estão comumente
presentes das mais diversas formas, quando o assunto é transmitir ou informar os
resultados de uma pesquisa. Eles constituem uma forma objetiva de representar os
dados estatísticos e objetivam proporcionar ao leitor uma forma clara e sintetizada
de interpretação. A mesma informação pode ser transmitida por diferentes modelos
de gráficos, porém de acordo com a característica da informação precisamos
escolher o gráfico mais adequado.
4.1.8.1 Gráfico de Segmentos ou Linha
São usados geralmente para mostrar a evolução ou não das frequências dos
valores de uma variável durante certo período de tempo. Por exemplo,
Figura 4.1: Gráfico em linha mostrando a oferta de emprego para gerentes e diretos em São Paulo Fonte: Jornais de São Paulo – 30 set. 2005.
4.1.8.2 Gráfico de barras
São gráficos que apresentam seus dados por meio de barras retangulares
geralmente preenchidas por cores que possuem a finalidade de distinguir/classificar
um tipo de outro. Podem ser verticais (colunas) ou horizontais. Valores positivos e
valores negativos podem ser diferenciados em relação a uma linha de base no ponto
zero (Geralmente o eixo das abcissas do plano cartesiano). O gráfico de barras é
36
utilizado quando temos dados qualitativos. São geralmente usados para comparação
de valores de mesma variável num mesmo período de tempo. Vejamos um exemplo,
Figura 4.2: Exemplo de Gráfico de Barras horizontal.
Fonte: <http://profanadeinformatica.blogspot.com.br/2014/02/prova-caern-2014-economista-
e_15.html>. Acesso em: 18 de maio
Exemplo 2. Gráfico comparativo com os produtos alimentícios arroz, feijão e milho
presentes no inverno de 2014 em 20 locais diferentes de plantação de três cidades
locais.
Gráfico 4.1: Gráfico de colunas compostas sobre a plantação de grãos nas cidades locais da região do Cariri - CE
Fonte: Entrevista com pequenos agricultores da região do cariri
4.1.8.3 Gráfico de Setores
O gráfico de setores ou gráfico de pizza, é muito presente na transmissão da
informação que objetiva comparar a parte analisada com o todo. É geralmente
0
2
4
6
8
10
12
Juazeiro Crato Barbalha
Arroz
Feijão
Milho
37
representado por porcentagem e seu todo (Pizza) é proporcionalmente repartido em
pedaços (fatias) de acordo com a respectiva porcentagem de cada fatia. As fatias
são geralmente destacadas também por cores. O uso de muitas fatias pode
prejudicar esse tipo de representação mesmo quando o objetivo seja comparar um
tipo ou atributo com o todo analisado.
Exemplo 1
Figura 4.3: Tabela de frequência absoluta e gráfico setor circular com registro de problemas com
máquinas agrícolas.
Fonte: Autor criação de slides.
Exemplo 2
Gráfico 4.2: Setor circular mostrando a preferência por Modalidade esportiva
Fonte: Dados fictícios
4.1.8.4 Histograma
Apresenta de maneira semelhante ao gráfico de barras (vertical) só que os
retângulos são dispostos de forma contínua. É bastante utilizado em pesquisas cuja
40%
30%
15%
10% 5%
Futebol
Vôlei
Basquete
Natação
Outros
38
variável é contínua e nesses casos a base de cada retângulo constitui um intervalo
de classe sempre representado a partir do eixo horizontal e a altura de cada
retângulo é proporcional ao valor de sua frequência.
Exemplo. Construiremos um histograma que represente a altura dos alunos do 3º
ano D, mostrado na tabela 3.8.
Tabela 4.8: Tabela da frequência absoluta formado por 7 classes obtidas através da regra de
Sturges(1926) do exemplo 2.
Altura dos alunos Frequência (f)
1,54 ˫ 1,58 1
1,58 ˫ 1,62 1
1,62 ˫ 1,66 11
1,66 ˫ 1,70 10
1,70 ˫ 1,74 12
1,74 ˫ 1,78 1
1,78 ˫ 1,82 4
Exemplo de histograma
Gráfico 4.3: Histograma das alturas dos estudantes do 3º Ano D.
Outro exemplo desse tipo de gráfico:
1 1
11 12
10
1
4
0
5
10
15
1,54 1,58 1,62 1,66 1,7 1,74 1,78 à 1,82
39
Figura 4.4: Gráfico Histograma de peso (em Newtons) de crianças numa creche.
Fonte:< http://aaa.lusoaloja.com/estatistica/estatisticaG.htm >. Acesso em: 22 de maio.
4.1.8.5 Gráfico pictograma
São gráficos semelhantes ao gráfico de barras, porém, em vez de barras se
tem ilustrado o desenho do que se aborda na pesquisa como sandálias, gotas de
água ilustrando por exemplo o consumo, casas, árvores etc.
Exemplos:
Figura 4.5: Gráfico pictograma de grandes edifícios (Nome e data de criação)
Fonte: http://professorandrios.blogspot.com.br/2011/08/representacao-grafica-de-dados.html>.
Acesso em: 22 de maio
40
Exemplo 2:
Figura 4.6: Gráfico Pictograma de Produção de mel em seis países,
Fonte:<http://professorandrios.blogspot.com.br/2011/08/representacao-grafica-de-dados.html>.
Acesso em: 22 de maio.
4.1.8.6 Gráficos de dispersão
São muito utilizados quando se deseja fazer comparações entres duas ou
mais variáveis em estudo. É representado no plano cartesiano XOY e suas
indicações geralmente em relação ao período de tempo expressam valores de
variáveis quantitativas medidas de cada elemento do conjunto de dados. Como
exemplo, analisaremos o quadro 3.1 sobre o ingresso de alunos no ensino médio
nos três anos letivos mais recentes em duas escolas da rede estadual de Juazeiro
do Norte – CE.
Escolas 2012 2013 2014
E.E.F.M José Bezerra de Menezes 238 243 225
E.E.F.M Figueiredo correia 354 417 389
Quadro 4.1: Quantidade de alunos no 1º ano em duas escoas nos três últimos anos em Juazeiro do
Norte - CE
41
Gráfico 4.4: Gráfico de dispersão sobre os alunos do 1º ano em duas escoas nos três últimos anos
em Juazeiro do Norte - CE
Fonte: Dados coletados com as secretarias escolares
Outro modelo deste tipo de gráfico também um pouco utilizado é o gráfico
ilustrado no exemplo abaixo.
Exemplo 2. O quadro abaixo se encontra o registro da idade 12 de casais que
marcaram o casório na primeira semana de maio de 2014 num cartório de Juazeiro
do Norte – CE.
Homem
(Idade)
22 29 31 26 28 27 26 27 32 23 27 29
Mulher
(Idade)
16 24 22 26 29 30 17 24 23 19 20 27
Quadro 4.2: Tabela de idades de casais com casamentos marcados
Ilustração gráfica
Gráfico 4.5: Gráfico de dispersão dos Casais da tabela 3.10. e suas respectivas tendências lineares
Fonte: Dados coletados do único Cartório localizado no sítio Marrocos, Juazeiro do Norte - CE
0
100
200
300
400
500
2012 2013 2014
Figueiredo Correia
José Bezerra
0
5
10
15
20
25
30
35
0 5 10 15
Homem
Mulher
Linear (Homem)
Linear (Mulher)
42
4.1.9 Medidas de Tendência Central
Também conhecidas como medidas de posição. São utilizadas quando se
objetiva encontrar um valor que caracterize ou represente um conjunto de valores
sem perder a essência da propriedade do conjunto analisado. As principais medidas
de tendência central são a média aritmética, a mediana e a moda.
4.1.9.1 Média aritmética (
Dado uma lista ou mesmo um conjunto de valores {x1,x2,x3,...,xn}, definimos o
valor da média aritmética ( como sendo a razão entre a soma desses valores pela
quantidade “n” presente no conjunto, ou seja,
.
Exemplo 1: Deseja-se obter a média de idade entre um grupo de pessoas que
apresentaram idades: 23,42,14,21,17 e 8.
Solução: Basta somarmos todas as idades e dividirmos pela quantidade de idades
apresentadas por todo o grupo.
= 25.
Logo, a média de idade solicitada do grupo será de 25 anos.
Exemplo 2: Qual a média bimestral de aluno que obteve as notas: 6.0, 7.0, 9.0 e
2.8?
Solução:
= 6.2 .
Logo, a média bimestral será de 6.2 anos.
43
4.1.9.2 Média Aritmética ponderada
Não difere do conceito de média aritmética simples vista acima, porém
existem situações em que certo valor aparece mais de uma vez. Nesse caso
dizemos que esse valor possui frequência dois, por exemplo, se aparece duas vezes
ou equivalentemente peso dois, ou ainda, peso três se ele aparece três vezes e
assim sucessivamente. É conveniente agrupar esses valores comuns de acordo com
sua frequência ou peso e dividir a soma desses agrupamentos pela quantidade,
obtendo,
p =
.
Exemplo 1: Na pesquisa envolvendo as alturas (em metros) dos alunos do 3º ano já
mostradas na tabela 3.8, vamos considerar apenas o final dos intervalos de classes
e suas respectivas frequências.
Tabela 4.9: tabela de frequência absoluta obtida da tabela 3.8 onde se considerou-se o final de cada
intervalo.
Altura dos alunos Frequência (f)
1,58 1
1,62 1
1,66 11
1,70 10
1,74 12
1,78 1
1,82 4
Nesse caso, a média ponderada seria:
p =
p =
= 1,708
44
Logo, a média de altura dos alunos do quadro acima é aproximadamente 1,71
metros.
Outro caso comum de média ponderada é quando se trata de pesos entre os
valores de um conjunto ou lista, o que na verdade é o mesmo que frequência.
Exemplo 2: Num certo concurso, para ser aprovado, os candidatos teriam que
realizar três provas constituídas somente de matemática (1ª prova), português (2ª
prova) e conhecimentos específicos. A primeira prova tinha peso 3, a segunda peso
2 e a última peso 4. João obteve nas respectivas provas as notas : 5.0 , 6.0 e 9.0.
Qual foi a média desse candidato?
Solução: Trata – se de um caso clássico de média ponderada. Logo:
p
=
= 7.0
É a média final obtida por João no concurso.
Exemplo 3: Um bracelete de massa igual à 450 g é constituído de ouro da seguinte
forma, 100 g são de ouro 12 quilates, 150 g de ouro 15 quilates e 200 g de ouro 17
quilates. Um potencial comprador deseja conhecer ( em quilates) a liga metálica
encontrada no bracelete. Qual é o valor que deve ser informado pelo vendedor?
Solução: A situação ilustrada acima é um caso de média ponderada. Então:
p
=
= 15.22
que corresponde a média dos quilates encontrados no objeto a partir de suas
respectivas proporções.
4.1.9.3 Mediana (Md)
Como o próprio nome já diz é um valor posição mediana, ou seja, um valor de
posição central de um conjunto ou uma lista de valores. Uma importante observação
45
é que esses valores que se encontram presentes no conjunto em questão ou mesmo
na lista devem estar em forma de rol. A mediana não é influenciada por valores que
divirjam muito dos demais como o que ocorre com a média aritmética, isso porque
nesse caso o que configura a representação da mediana é a posição central de um
dado valor.
Se na lista (disposta em rol) existe uma quantidade ímpar de valores, existirá
um valor central e esse será a mediana, caso contrário, se tivermos uma quantidade
par de valores, a mediana será a média aritmética dos dois valores posicionados no
centro.
Exemplo 1: A pontuação do ICASA (Time de Futebol de juazeiro do Norte - CE) no
campeonato Cearense de 2014 na primeira fase foi de 24 pontos obtidos pelas 6
vitórias e 4 empates nos 16 jogos disputados. Nesse caso sabendo que pela vitória
ganha – se 3 pontos, empate ganha – se 1 ponto e derrota ganha – se 0 pontos,
obtemos a lista de pontos em rol:
0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3
Logo a mediana dos pontos da primeira fase é:
Md =
= 1
Exemplo 2: Qual é a mediana de um grupo cujas idades apresentadas são de, 23,
42, 14, 21, 17 e 8 anos?
Solução: O rol dos valores: 8, 14, 21, 23, 42 e como a quantidade das idades é
ímpar á mediana será 21 que ocupa a posição central.
4.1.9.4 Moda (Mo)
É o valor da lista que mais aparece na pesquisa, ou equivalentemente, o valor
que possui maior frequência absoluta. Existem casos em que esse valor da moda
(valor modal) não existe. Por exemplo: C = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} , onde nenhum valor
possui uma frequência maior que os demais, nesses casos chamamos
46
denominamos a lista de amodal. Em casos onde o conjunto possui mais de uma
moda, duas modas, por exemplo, denominamos de bimodal. Exemplo,
B = {1,1,1,2,2,3,3,3,4,5,6,7} possui 1 e 3 como valores modais. Outro exemplo de
destaque é em relação ao conjunto A={1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5} que é
classificado como amodal pois não há valor dentre os apresentados que tenha maior
frequência que os demais.
4.1.10 Medidas de Dispersão
As medidas de dispersão são vitais quando se objetiva descrever o
comportamento dos dados em questão. Variação dos dados em relação às medidas
como média ou mediana de uma pesquisa nos possibilita um estudo mais minucioso
do comportamento dos dados, se a distribuição de frequência segue uma forma
uniforme ou não, nos auxiliando de uma forma mais precisa sobre o comportamento
dos dados.
47
4.1.10.1 Amplitude total (At)
É considerada a mais simples dentre as medidas de dispersão, pois para
obtê-la basta efetuar a diferença entre o maior e o menor do conjunto de valores.
Não nos fornece tanta informação como outras medidas que veremos mais adiante.
Exemplo: Vamos utilizar a tabela 3.6 de alturas do 3º ano D já exemplificada.
Em Rol:
Tabela 4.6
1,54 1,59 1,62 1,62 1,63 1,63 1,63 1,64
1,64 1,64 1,65 1,65 1,65 1,66 1,66 1,66
1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,68 1,69 1,70
1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,72 1,72 1,73
1,73 1,73 1,73 1,75 1,78 1,78 1,79 1,82
Logo a Amplitude é dada por,
At = 1,82 – 1,54 = 0,28.
Observe que esse valor não traz muitas informações sobre os dados da tabela.
4.1.10.2 Variância (V) e Desvio padrão (Dp)
Definimos a Variância ―V” de um conjunto qualquer de valores como a média
quadrática dos desvios tomados em relação à média desse conjunto, que pode ser
calculada por:
V = ( ) ( ) ( ) ( )
Onde n é a quantidade de valores, a m dia aritm tica dos ―n‖ valores e V a
variância.
O que se objetiva efetuando o cálculo acima, é medir o grau de dispersão de
uma série de valores obtidos numa dada pesquisa em torno de sua média. Como a
48
média é um valor que representa uma característica da lista de valores é relevante
se conhecer as variações (desvios) desses valores em torno da média.
A variância é uma importante medida de dispersão, mas, seu resultado é
dado em unidade de medida que é o quadrado da original. Muitas dessas medidas
não têm nenhum sentido prático. Ficaria sem sentido analisar, por exemplo,
(massa)², (peso)², (renda)2, etc. Logo, como alternativa para contornar essas
situações, existe uma medida denominada desvio-padrão (Dp), definida como a raiz
quadrada da variância:
Dp = √( ) ( ) ( ) ( )
4.1.10.3 Desvio dio D
medida de dispersão que muito utilizada e indicada por D ). é obtida
através da relação
D | | | | | | | |
Exemplo: Vamos calcular a variância o desvio padrão e o desvio médio do conjunto
X = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}.
olução: Calculando a m dia aritm tica, encontraremos 20. Vamos construir
uma tabela com os elementos das medidas de dispersão solicitadas.
49
Tabela 4.10: Tabela com os valores dos desvios e seus respectivos quadrados.
Dados da série Desvios Quadrados dos desvios
X1 = 5 5 – 20 = -15 225
X2 = 10 10 – 20 = -10 100
X3 = 15 15 – 20 = -5 25
X4 = 20 20 – 20 = 0 0
X5 = 25 25 – 20 = 5 25
X6 = 30 30 – 20 = 10 100
X7 = 35 35 – 20 = 15 225
Total 700
• Desvio m dio : D | | | | | | | | | | | |
= 8,57
• A Variância : V =
= 100.
• O desvio padrão é: Dp = √ = 10
4.1.11 Medidas de centralidade e de dispersão para dados agrupados
Existem situações em que os dados das pesquisas estão agrupados em
intervalos de classe. Nesses casos, não é possível saber como os valores estão
distribuídos em cada faixa como devemos proceder para obter valores como
mediana, média, moda ou as também importantes medidas de dispersão?
Ilustramos um exemplo do qual nos utilizaremos para tentar exemplificar a solução
para todos esses valores.
A situação ilustrada a seguir foi extraída do livro Fundamentos da Matemática
Elementar vol. 11 cuja referência se encontra devidamente registrada.
Exemplo: Em uma academia de ginastica deseja-se implantar um programa de
racionamento de energia elétrica, que inclui, entre outras medidas, uma campanha
de incentivo a redução de tempo de banho nos vestiários. Durante uma semana,
50
registrou-se o tempo de duração dos banhos dos usuários. Os dados coletados
estão organizados na tabela:
Tabela 4.11: Frequência absoluta dos intervalos de duração de tempo no banho
Tempo de duração
(em minutos)
Frequência
Absoluta
1 ˫ 4 18
4 ˫ 7 108
7 ˫ 10 270
10 ˫ 13 150
13 ˫ 16 54
Total 600
4.1.11.1 Cálculo da média
Em geral a média para dados agrupados é dada por,
= X1Fr1 + X2Fr2 + X3Fr3 + ... + XiFri
Onde, Xi é o ponto médio da classe i , (Fr)i é a frequência relativa à classe i .
Ou ainda de forma mais detalhada,
Onde, Xi é o ponto médio da classe i;
f i é a frequência absoluta referente à cada classe i
e os valores 1,2,3,..., i representam a quantidade de classes.
Retomando o exemplo da academia de ginástica, temos a seguinte tabela:
51
Tabela 4.12: tabela contendo os valores dos pontos médios das classes, frequência absoluta e
relativa dos intervalos de duração de tempo no banho.
Tempo de duração
(em minutos)
Ponto médio
(Xi)
Frequência
Absoluta (f i)
Frequência
Relativa (Fr)i
1 ˫ 4 X1 = 2,5 f 1 = 18
4 ˫ 7 X2 = 5,5 f 2 = 108
7 ˫ 10 X3 = 8,5 f 3 = 270
10 ˫ 13 X4 = 11,5 f 4 = 150
13 ˫ 16 X5 = 14,5 f 5 = 54
O tempo médio do banho é dado por,
= 9,07
Ou seja, aproximadamente 9 minutos e 4 segundos.
4.1.11.2 Mediana (Md)
Para calcular a mediana em situações com variáveis contínuas onde seus
valores estão distribuídos em intervalos de classe, considera-se 50% dos valores
distribuídos estão acima da mediana e 50% abaixo.
É bastante útil construirmos um histograma de porcentagem das classes
(frequência relativa). Utilizando o exemplo da academia, temos:
52
Figura 4.7: Gráfico Histograma de frequência absoluta de duração do tempo de banhos Fonte: Autor usando uma Câmera fotográfica digital
Podemos concluir que a mediana pertence a terceira classe 7 ˫ 10 uma vez
que a frequência acumulada das duas classes é 3% + 18% = 21% e das três
primeiras classes é 3% + 18% + 45% = 66%.
Observe pela imagem que, na terceira classe, o retângulo sombreado e o
retângulo inteiro (que define o intervalo) têm a mesma altura. Então, a área de cada
um desses retângulos (expressa como porcentagem da área total sob o histograma)
é proporcional ao tamanho de sua base. Temos,
• Retângulo sombreado → base: Md – 7 e área: 50% - 21%
• Retângulo ―inteiro‖ → base: 10 – 7 e área: 45%
Obtemos apartir dos dados, a seguinte proporção,
(aproximadamente 8 minutos e 55 segundos)
4.1.11.3 Classe modal
Sendo os dados da variável contínua e estando distribuídos em classas de
mesma amplitude, a classe modal é dada pela classe que reúne a maior frequência
seja ela abosoluta ou relativa.
53
No exemplo da academia a classe de maior frequência é a de 7 à 10
minutos.Também percebemos pela tabela () que essa classe concentra 270 valores
correspondentes a 45% do dados da amostra. Assim, dizemos que a classe modal é
o intervalo 7 ˫ 10.
4.1.11.4 Variância e desvio padrão
Utiliza – se a mesma hipotese usada no cálculo da média (que os valores
estão homogeneamente distribuídos dentro de cada intervalo) para o cálculo da
variância e do desvio padrão em valores distribuidos em intervalos.
De modo geral a variância nessas situações é dada por:
V = ( ) ( ) ( ) ( )
Onde:
Xi é o ponto médio da classe ou intervalo i;
a m dia aritm tica
fi é a frequência absoluta refernete ao intervalo i.
E o desvio padrão (Dp) é o raíz quadrada da variância mostrada acima.
Consideremos, como forma de um exemplo, a situação ilustrada na tabela
abaixo, que analisou os salários de 200 funcionários de uma determinada empresa.
54
Tabela 4.13: Tabela de pontos médios e frequências absolutas das classes(Faixas salariais).
Faixa salarial
(em salários mínimos)
Ponto médio
(Xi)
Número de funcionários
(frequência absoluta: fi)
2 ˫ 6 4 45
6 ˫ 10 8 63
10 ˫ 14 12 36
14 ˫ 18 16 31
18 ˫ 22 20 17
22 ˫ 22 24 8
Temos, que a média salarial será,
• Para cada intervalo, avaliamos o desvio quadrático do ponto m dio correspondente
com base no valor obtido para à média.
55
Tabela 4.14: Tabela de pontos médios e Desvios quadráticos das classes(Faixas salariais).
Faixa salarial
(em salários mínimos)
Ponto médio
(Xi)
Desvio Quadrático
2 ˫ 6 4 (4 – 10,72)² = 45,16
6 ˫ 10 8 (8 – 10,72)² = 7,39
10 ˫ 14 12 (12 – 10,72)² = 1,64
14 ˫ 18 16 (16 – 10,72)² = 27,88
18 ˫ 22 20 (20 – 10,72)² = 86,11
22 ˫ 22 24 (24 – 10,72)² = 176,36
• Para obter então variância, iremos calcular a média desses desvios, observando
seus respectivos pesos, isto é, as respectivas frequências absolutas
correspondentes:
V =
( )
E portanto o desvio padrão é : Dp = √ = 5, 64 (salários mínimos).
56
4.2 De olho no ENEM
Destacamos exclusivamente essa seção com abordagens, comentários,
formas de acesso, um pouco da história e surgimento, o objetivo e tentaremos por
fim mostrar como vem sendo cobrada a estatística e como a mesma está presente
no Exame Nacional do Ensino Médio conhecido nacionalmente por ENEM apontado
como a melhor maneira e reconhecida também como a mais democrática via de
ingresso no ensino superior.
4.2.1 Um pouco da história e os objetivos do ENEM
O primeiro ENEM foi realizado 1998, contou com 157,2 mil inscritos e já na
sua 4ª edição alcançou uma quantidade expressiva de participantes que atingiu 1,2
milhões e 1,6 milhões de inscritos, em 2004 o Ministério da Educação (MEC) instituiu
o Programa Universidade para Todos (ProUni) e vinculou a concessão de bolsas em
IES privadas à nota obtida no Exame, foi nesse período que os alunos que
almejavam um curso superior passaram a ter um olhar mais diferenciado com o
exame e da mesma forma as diversas Instituições de Ensino Superior (IES)
nacionais que inicialmente resistiram ao exame como processo de seleção, foi
quando se iniciou de fato a popularização do Enem.
No ano seguinte, o Enem alcançava a marca histórica de 3 milhões de
inscritos e 2,2 milhões de participantes. Em 2006, o Enem estabeleceu novo
recorde, com 3,7 milhões de inscritos e 2,8 milhões de participantes e hoje no ano
de 2014 na sua 16ª edição foram efetuadas mais de 9 milhões de inscrições. Alguns
fatores influenciaram de uma maneira bastante relevante todo esse sucesso,
podemos citar, por exemplo, o apoio as secretarias estaduais de educação, as
escolas de ensino médio, as instituições de ensino superior e a isenção do
pagamento da taxa de inscrição para os alunos da escola pública. O principal foco
desses candidatos é a possibilidade do acesso ao ensino superior hoje muito
almejado pelos estudantes, pois anota obtida no Enem pode significar tanto uma
bolsa integral ou parcial do ProUni quanto a conquista de uma vaga em algumas das
mais prestigiadas instituições de ensino superior do País, entre elas as
universidades públicas mais concorridas. Hoje já são mais de 600 IES cadastradas
57
no Instituto Nacional de Estudo e Pesquisa (Inep) para utilizar os resultados do
Enem em seus processos seletivos, seja de forma parcial ou substitutiva.
O Sistema de Seleção Unificada (SiSU) é a forma de selecionar candidatos de
acordo com a nota obtida no ENEM e das vagas ofertadas pela instituições que
aderiram ao processo. O MEC é quem gerencia o (SiSU), que é um método onde o
aluno se cadastra e pode fazer buscas por cursos e universidades públicas de seu
gosto, das quais tenham aderido o Enem como forma de seleção dos candidatos.
Assim que o candidato fizer sua escolha, ele passa a concorrer a uma vaga por meio
de sua nota adquirida no exame. O meio de acesso e acompanhamento no ENEM é
pelo site do Instituto Nacional de Estudo e Pesquisa (Inep).
O exame é individual, de caráter voluntário, oferecido todos os anos pelo
governo Federal aos estudantes que estão concluindo ou que já concluíram o ensino
médio em anos anteriores. Seu objetivo principal é possibilitar uma referência para
auto avaliação, a partir das competências e habilidades que estruturam o Exame.
Diferentemente dos modelos e processos avaliativos tradicionais, a prova do Enem é
interdisciplinar e bastante contextualizada. Enquanto os vestibulares promovem uma
excessiva valorização da memória, uso de fórmulas e memorização de conteúdos, o
Enem coloca o estudante diante de situações-problemas e pede que mais do que
saber conceitos, ele saiba aplicá-los.
O Enem não mede a capacidade do estudante de assimilar e acumular
informações, e sim o incentiva a aprender a pensar, a refletir e a ―saber como fazer‖.
Valoriza, portanto, a autonomia do jovem na hora de fazer escolhas e tomar
decisões. O Enem vem crescendo a cada ano e tem levado muitas pessoas de
diferentes classes sociais a conquistarem seus sonhos. Este Exame é visto como a
democratização do processo seletivo, deixando o velho método de seleção para
trás. Hoje tamanha dimensão ganhou essa avaliação que já se cogita nas seleções
de emprego o desempenho do candidato no ENEM.
4.2.2 Aplicações e abordagens da estatística no ENEM
O ENEM aborda questões contextualizadas e conteúdos como estatística tem
presença certa, pois estão fortemente presentes nas diversas transmissões de
comunicação, formas de dados, nas linguagens e apresentações sintetizadas de
58
informações. Podemos afirmar, não de forma precisa, mais cerca de 30% à 40% da
prova do ENEM trabalha com algum tipo ou forma de dado estatístico. Sobre
estatística e seus elementos mais notáveis no ensino médio como questões
envolvendo média aritmética, moda ou mediana bem como as medidas de dispersão
estão sim presentes nos últimos exames, mas não nessa margem de porcentagem.
O que podemos perceber quanto a esse conteúdo é que nos deparamos, com certa
intensidade, com questões envolvendo um gráfico, uma tabela ou uma lista de
valores com algum dado estatístico. Saber ler e interpretar de forma clara e precisa
um gráfico seja lá ele qual for ou mesmo tabelas, pode contribuir para um melhor
desempenho no Exame. A seguir ilustraremos essa forte presença estatística em
questões e gráficos já abordados no exame.
(ENEM 2007) O gráfico abaixo, obtido a partir de dados do Ministério do Meio
Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira
ameaçadas de extinção.
Figura 4.8: Gráfico em barras do número de espécies em extinção
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráfico,
o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a:
A. 465. B. 493. C. 498. D. 538. E. 699.
(ENEM 2007) A queima de cana aumenta a concentração de dióxido de carbono e
de material particulado na atmosfera, causa alteração do clima e contribui para o
aumento de doenças respiratórias. A tabela abaixo apresenta números relativos a
pacientes internados em um hospital no período da queima da cana.
59
Figura 4.9: Tabela de quantidades de idosos e crianças com problemas respiratórios.
Escolhendo-se aleatoriamente um paciente internado nesse hospital por problemas
respiratórios causados pelas queimadas, a probabilidade de que ele seja uma
criança é igual a:
A. 0.26, o que sugere a necessidade de implementação de medidas que reforcem a
atenção ao idoso internado com problemas respiratórios.
B. 0.50, o que comprova ser de grau médio a gravidade dos problemas respiratórios
que atingem a população nas regiões das queimadas.
C. 0.63, o que mostra que nenhum aspecto relativo à saúde infantil pode ser
negligenciado.
D. 0.67, o que indica a necessidade de campanhas de conscientização que
objetivem a eliminação das queimadas.
E. 0.75, o que sugere a necessidade de que, em áreas atingidas pelos efeitos das
queimadas, o atendimento hospitalar no setor de pediatria seja reforçado.
(ENEM 2007) A tabela abaixo representa, nas diversas regiões do Brasil, a
porcentagem de mães que, em 2005, amamentavam seus filhos nos primeiros
meses de vida.
Figura 4.10: Tabela percentual das regiões do Brasil, sobre mães que, em 2005, amamentavam seus
filhos nos primeiros meses de vida.
60
Ao ingerir leite materno, a criança adquire anticorpos importantes que a defendem
de doenças típicas da primeira infância. Nesse sentido, a tabela mostra que, em
2005, percentualmente, as crianças brasileiras que estavam mais protegidas dessas
doenças eram as da região:
A. Norte. B. Nordeste C. Sudeste. D. Sul. E. Centro-Oeste.
(ENEM 2007)
Figura 4.11: Gráfico de barras da temperatura média do pescado
Uma das principais causas da degradação de peixes frescos é a contaminação por
bactérias. O gráfico apresenta resultados de um estudo acerca da temperatura de
peixes frescos vendidos em cinco peixarias. O ideal é que esses peixes sejam
vendidos com temperaturas entre 2 ºC e 4 ºC. Selecionando-se aleatoriamente uma
das cinco peixarias pesquisadas, a probabilidade de ela vender peixes frescos na
condição ideal é igual a:
A.
. B.
. C.
. D.
. E.
.
(ENEM 2007)
Figura 4.12: Gráfico de barras sobre a classificação de países na Produção de mel em 2007
61
É título adequado para a matéria jornalística em que o gráfico acima seja
apresentado:
A. Apicultura: Brasil ocupa a 33.a posição no ranking mundial de produção de mel —
as abelhas estão desaparecendo no país
B. O milagre do mel: a apicultura se expande e coloca o país entre os seis primeiros
no ranking mundial de produção.
C. Pescadores do mel: Brasil explora regiões de mangue para produção do mel e
ultrapassa a Argentina no ranking mundial
D. Sabor bem brasileiro: Brasil inunda o mercado mundial com a produção de 15 mil
toneladas de mel em 2005
E. Sabor de mel: China é o gigante na produção de mel no mundo e o Brasil está em
15.o lugar no ranking
(ENEM 2007)
Figura 4.13: Gráficos em barras sobre Consumo de Energia e Consumo d água Fonte: Associação brasileira de defesa ao consumidor (com adaptações).
As figuras acima apresentam dados referentes aos consumos de energia elétrica e
de água relativos a cinco máquinas industriais de lavar roupa comercializadas no
Brasil. A máquina ideal, quanto a rendimento econômico e ambiental, é aquela que
gasta, simultaneamente, menos energia e água. Com base nessas informações,
conclui-se que, no conjunto pesquisado:
A. Quanto mais uma máquina de lavar roupa economiza água, mais ela consome
energia elétrica.
B. a quantidade de energia elétrica consumida por uma máquina de lavar roupa é
inversamente proporcional à quantidade de água consumida por ela.
62
C. a máquina I é ideal, de acordo com a definição apresentada.
D. a máquina que menos consome energia elétrica não é a que consome menos
água.
E. a máquina que mais consome energia elétrica não é a que consome mais água.
(ENEM 2008) O gráfico abaixo mostra a área desmatada da Amazônia, em km², a
cada ano, no período de 1988 a 2008.
Figura 4.14: Gráfico em linha sobre análise do desmatamento da Amazônia em 20 anos.
As informações do gráfico indicam que:
A. O maior desmatamento ocorreu em 2004.
B. A área desmatada foi menor em 1997 que em 2007.
C. A área desmatada a cada ano manteve-se constante entre 1998 e 2001.
D. A área desmatada por ano foi maior entre 1994 e 1995 que entre 1997 e
1998.
E. o total de área desmatada em 1992, 1993 e 1994 é maior que 60.000 km².
(ENEM 2008)
Figura 4.15: Gráfico de barras sobrepostas mostrando a sustentabilidade e proteção dos Biomas
brasileiros.
63
Analisando-se os dados do gráfico acima, que remetem a critérios e objetivos no
estabelecimento de unidades de conservação no Brasil, constata-se que:
A. O equilíbrio entre unidades de conservação de proteção integral e de uso
sustentável já atingido garante a preservação presente e futura da Amazônia.
B. As condições de aridez e a pequena diversidade biológica observadas na
Caatinga explicam por que a área destinada à proteção integral desse bioma é
menor que a dos demais biomas brasileiros.
C. O Cerrado, a Mata Atlântica e o Pampa, biomas mais intensamente modificados
pela ação humana, apresentam proporção maior de unidades de proteção integral
que de unidades de uso sustentável.
D. O estabelecimento de unidades de conservação deve ser incentivado para a
preservação dos recursos hídricos e a manutenção da biodiversidade.
E. A sustentabilidade do Pantanal é inatingível, razão pela qual não foram criadas
unidades de uso sustentável nesse bioma.
(ENEM 2008) No gráfico a seguir, está especificada a produção brasileira de café,
em toneladas; a área plantada, em hectares (ha); e o rendimento médio do plantio,
em kg/ha, no período de 2001 a 2008.
Figura 4.16: Gráfico comparativo sobre o Café no Brasil com sua produção, rendimento e área
plantada entre 2001 e 2008.
A análise dos dados mostrados no gráfico revela que:
A. A produção em 2003 foi superior a 2.100.000 toneladas de grãos.
B. a produção brasileira foi crescente ao longo de todo o período observado.
C. a área plantada decresceu a cada ano no período de 2001 a 2008.
64
D. os aumentos na produção correspondem a aumentos no rendimento médio do
plantio.
E. a área plantada em 2007 foi maior que a de 2001.
(ENEM 2008) Uma pesquisa da ONU estima que, já em 2008,pela primeira vez na
história das civilizações, a maioria das pessoas viverá na zona urbana. O gráfico a
seguir mostra o crescimento da população urbana desde 1950, quando essa
população era de 700 milhões de pessoas, e apresenta uma previsão para 2030,
baseada em crescimento linear no período de 2008 a 2030.
Figura 4.17: Gráfico em linha sobre o crescimento Urbano em todo o mundo.
De acordo com o gráfico, a população urbana mundial em 2020 corresponderá,
aproximadamente, a quantos bilhões de pessoas?
A. 4,00. B. 4,10. C. 4,15. D. 4,25. E. 4,50.
(ENEM 2009) Cinco equipes A, B, C, D e E disputaram uma prova de gincana na
qual as pontuações recebidas podiam ser 0, 1, 2, ou 3. A média das cinco equipes
foi de 2 pontos. As notas das equipes foram colocadas no gráfico a seguir,
entretanto, esqueceu-se de representar as notas da equipe D e equipe E.
Figura 4.18: Gráfico de barras sobre a pontuação de cinco equipes numa gincana.
65
Mesmo sem aparecer às notas das equipes D e E, pode-se concluir que os valores
da moda e da mediana são respectivamente:
A. 1,5 e 2,0 B. 2,0 e 1,5 C. 2,0 e 2,0 D. 2,0 e 3,0 E. 3,0 e 2,0
(ENEM 2009) Considere que as médias finais dos alunos de um curso foram
representadas no gráfico a seguir.
Figura 4.19: Gráfico em barras sobre Média de alunos do curso
Sabendo que a média para aprovação nesse curso era maior ou igual a 6,0, qual foi
a porcentagem de alunos aprovados?
A. 18% B. 21% C.36% D. 50% E. 72%
(ENEM 2009) Nos últimos anos, o aumento da população, aliado ao crescente
consumo de água, tem gerado inúmeras preocupações, incluindo o uso desta na
produção de alimentos. O gráfico mostra a quantidade de litros de água necessária
para a produção de 1 kg de alguns alimentos
Figura 4.20: Gráfico histograma sobre gasto de água por tipos de alimentos
Com base no gráfico mostrado, para a produção de 100 kg de milho, 100 kg de trigo,
100 kg de arroz, 100 kg de carne de porco e 600 kg de carne de boi, a quantidade
66
média necessária de água, por quilograma de alimento produzido, é
aproximadamente igual a:
A. 415 litros por quilograma.
B. 11 200 litros por quilograma.
C. 27 000 litros por quilograma.
D. 2 240 000 litros por quilograma.
E. 2 700 000 litros por quilograma.
(ENEM 2010) Em sete de abril de 2004, um site publicou um ranking de
desmatamento, conforme o gráfico, da chamada Amazônia legal, integrada por nove
estados.
Figura 4.21: Gráfico de barras horizontal sobre a classificação de estados do Brasil no
desmatamento (Km²).
Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos
dados de 2004, o desmatamento médio de 2009 está entre:
A. 100 Km² e 900 Km²
B. 1 000 Km² e 2 700 Km²
C. 2 800 Km² e 3 200 Km²
D. 3 300 Km² e 4 000 Km²
E. 4 100 Km² e 5 800 Km²
(ENEM 2010) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros
das copas do mundo desde a copa de 1930 até a de 2006.
67
Figura 4.22: Gráfico de dispersão mostrando a quantidade de gols marcados em copas mundo.
A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados
pelos artilheiros das copas do mundo?
A. 6 gols B. 6,5 gols C. 7 gols D. 7,3 gols E. 8,5 gols
(ENEM 2011) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade
mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias
intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é
frequente, uma vez que os dados coletados servem climáticas ao longo dos meses e
anos. As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro:
Figura 4.23: Tabela de registros das temperaturas em graus (C°) no decorrer de 29 dias.
68
Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são,
respectivamente, iguais a:
A. 17 °C, 17 °C e 13,5 °C.
B. 17 °C, 18 °C e 13,5 °C.
C. 17 °C, 13,5 °C e 18 °C.
D. 17 °C, 18 °C e 21,5 °C.
E. 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °C.
(ENEM 2011) O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária,
pois as atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos,
serviços para a zona rural, industrialização e comercialização dos produtos. O
gráfico mostra a participação do agronegócio no PIB brasileiro:
Figura 4.24: Gráfico em linha mostrando dados Percentuais da Participação do agronegócio no PIB brasileiro.
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da
participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa
participação, em termos percentuais. Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu
entre os anos de:
A. 1998 e 2001
B. 2001 e 2003
C. 2003 e 2006
D. 2003 e 2007
E. 2003 e 2008
69
(ENEM 2012) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em
milhões de quilômetros quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000,
2005 e 2007. Os dados correspondem aos meses de junho a setembro. O Ártico
começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de setembro. O gelo
do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz
solar de volta ao espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz
solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do
gelo.
Figura 4.25: Gráfico comparativo, em 5 anos, sobre extensão média de gelo marítimo.
Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve
maior aquecimento global em:
A. 1995. B.1998. C. 2000. D. 2005. E. 2007.
(ENEM 2012) A figura a seguir apresenta dois gráficos com informações sobre as
reclamações diárias recebidas e resolvidas pelo Setor de Atendimento ao Cliente
(SAC) de uma empresa, em uma dada semana. O gráfico de linha tracejada informa
o número de reclamações recebidas no dia, o de linha contínua é o número de
reclamações resolvidas no dia. As reclamações podem ser resolvidas no mesmo dia
ou demorarem mais de um dia para serem resolvidas.
70
Figura 4.26: Duplo gráfico comparativo em linha sobre Reclamações diárias recebidas e resolvidas no SAC.
Fonte: Disponível em: <http://blog.bibliotecaunix.org>. Acesso em: 21 jan. 2012 (adaptado).
O gerente de atendimento deseja identificar os dias da semana em que o
nível de eficiência pode ser considerado muito bom, ou seja, os dias em que o
número de reclamações resolvidas excede o número de reclamações recebidas.
O gerente de atendimento pode concluir baseado no conceito de eficiência
utilizado na empresa e nas informações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito
bom na:
A. Segunda e na terça-feira.
B. Terça e na quarta-feira.
C. Terça e na quinta-feira.
D. Quinta-feira, no sábado e no domingo.
E. Segunda, na quinta e na sexta-feira.
(ENEM 2013) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A
e B durante dois meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve
esse gráfico:
Figura 4.27: Gráfico de colunas compostas comparando a quantidade de compradores entre dois
produtos A e B.
71
A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde
entre os compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados
tenham feito suas compras em fevereiro de 2012?
A.
B.
C.
D.
E.
(ENEM 2013) Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual
foram anotados os valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a
quantidade de hotéis para cada valor da diária. Os valores das diárias foram: A = R$
200,00; B = R$ 300,00; C = R$ 400,00 e D = R$ 600,00. No gráfico, as áreas
representam as quantidades de hotéis pesquisados, em porcentagem, para cada
valor da diária.
Gráfico 4.6: Gráfico setor circular mostrando a quantidades de hotéis pesquisados por diária
O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é:
A. 300,00 B. 345,00 C. 350,00 D. 375,00 E. 400,00
A 25%
B 25% C
10%
D 40%
72
REFERÊNCIAS
BRANCO, J. Estatística no secundário: o ensino e seus problemas. In: LOUREIRO, C., OLIVEIRA, F.; BRUNHEIRA, L. (Eds.) Ensino e aprendizagem da estatística. Lisboa: SPE e APM, 2000, p. 11-30. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Secretaria de Educação Fundamental – Brasília: MEC/SEF, 1998. _____. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: Ministério da Educação, 1999. _____. Ministério da Educação. Secretária de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais. Ensino Médio. Brasília-2002. _____. Parâmetros Curriculares Nacionais, volume 1- Brasília: SEF/ MEC, 1997. Introdução. _____. Parâmetros curriculares Nacionais: Ministério da Educação. Secretaria da Educação Fundamental. 3° edição- Brasília. A Secretária, 2001.
ENEM. Disponível em: <http://www.universitario.com.br/noticias/n.php?i=7915>. Acesso em 8 maio de 2014. IEZZI, G.; DOLCE, O. ; DEGENSZAJN, D. ; PÉRIGO, R. V.; ALMEIDA, N. de. Matemática Ciência e Aplicações. 6. ed. São Paulo: Atual, v. 3, 2010. IEZZI, G.; HAZZAN, Samuel & DEGENSZAJN, David Mauro. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 11. 1. ed. São Paulo: Atual, 2004. JÚNIOR, H. R. Educação Estatística no Ensino Básico: Uma Exigência Do Mundo Do Trabalho Revisa Capixaba de ciência e Tecnologia, Vitoria. n. 2, p. 35-37, 1. Sem. 2007. LOPES, C. A. E. A Probabilidade e a Estatística no Ensino Fundamental: uma análise curricular. Dissertação (Mestrado em Educação). Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, 1998. LOPES, Celi E. . O ensino da estatística e da probabilidade na educação básica e a formação dos professores. Cadernos CEDES (Impresso), v. 28, p. 57-73, 2008. PAIVA, M. Componente Curricular: Matemática. ed. Moderna, 1. edição, v. 3, 2009. PCNEM. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. In: EMR, Ensino Médio em Rede: Programa de Formação Continuada para Professores do Ensino Médio, 2004. CDROM.
73
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO. Superintendência de Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica do Estado do Ceará, Fortaleza, 2008. SMOLE, KÁTIA CRISTINA STOCCO & DINIZ, MARIA IGNEZ DE SOUZA VIEIRA. Matemática: Ensino Médio vol. 3. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2010 STURGES, H. The choice of a class-interval. Journal of the Americal Statistical Associaton, v. 21, p.65-66. 1926. XAVIER, C.; BARRETO, B. Matemática: Aula por Aula. Ed. FTD, 1.ª ed. v. 1, 2005.
