UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA ... · Espalhamento Raman Intrapulso (RA) e Dispersão do coeficiente de acoplamento (DCA) sem o complexo i ... Fibra1 , em função

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA EM TELEINFORMÁTICA

CARLOS MAURÍCIO DE SOUSA

ESTUDO NUMÉRICO DO ACOPLADOR DUPLO SIMÉTRICO

NÃO LINEAR DE FIBRAS DE CRISTAIS FOTÔNICOS SOB

MODULAÇÃO PPM

FORTALEZA-CE

2013




MODULAÇÃO PPM

Dissertação apresentada à Coordenação

do Programa de Pós-Graduação em

Engenharia de Teleinformática como

requisito final para a obtenção do grau

de Mestre em Engenharia de

Teleinformática.

Orientador: Prof. Dr. Antônio Sérgio

Bezerra Sombra

FORTALEZA-CE

2013




MODULAÇÃO PPM

Dissertação apresentada à Coordenação

do Programa de Pós-Graduação em

Engenharia de Teleinformática como

requisito final para a obtenção do grau

de Mestre em Engenharia de

Teleinformática.

Orientador: Prof. Dr. Antônio Sérgio

Bezerra Sombra

Aprovada em 27 de fevereiro de 2013, pela banca examinadora constituída pelos

professores:

________________________________________

Prof. Dr. AntonioSergio Bezerra Sombra (Orientador)

(PPGETI/UFC)

__________________________________________

Prof. Dr. Eudes Borges de Araújo (Examinador Externo)

(UNESP)

__________________________________________

Prof. Dr. Giovanni Cordeiro Barroso (Examinador Interno)

(PPGETI/UFC)

Este trabalho é dedicado aos meus pais(in memoriam),

à minha esposa, Alice, e à minha filha, Letícia.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus, em primeiro lugar, pelo dom da vida e da sabedoria.

Ao prof. Dr. Antônio Sérgio Bezerra Sombra por ter me acolhido em seu

grupo de pesquisa, como um pai acolhe a um filho, sempre com atenção e serenidade.

A todos os professores dos diversos Departamentos da Universidade

Federal do Ceará (UFC), em especial aos professores do Departamento de Engenharia

de Teleinformática.

A todos os colegas de curso, mais que amigos, verdadeiros irmãos, que

através de suas prestimosas contribuições, colaboraram para este singular momento de

minha vida, o da obtenção do grau de Mestre em Engenharia de Teleinformática:

Marcus Vinícius, Antônio Filho, Cícero, Daniel, Ronaldo Glauber, Djalma, Agliberto,

Herbert, Cauby, Rubens, Miranda, Armando, Juscelino, Graciliano, Gardênia, Amarílio,

Emanuelle, Guilherme, José, Múcio, Jefferson e demais colegas do Laboratório de

Telecomunicações e Ciência e Engenharia de Materiais (LOCEM).

Ao Programa CAPES/DS pelo apoio financeiro.

A todos, a meu mais sincero sentimento de gratidão.

“Nas grandes batalhas da vida, o primeiro passo

para a vitória é o desejo de vencer.”

(Mahatma Gandhi)

“O sucesso é uma consequência

e não um objetivo.”

Gustave Flaubert

http://pensador.uol.com.br/autor/gustave_flaubert/

RESUMO

Neste trabalho, apresentamos uma análise numérica para a obtenção de portas

lógicas totalmente ópticas,baseadas em um Acoplador Direcional Não-Linear Duplo

Simétrico(NLDC) em fibras de cristais fotônicos (PCF) sem perda, trabalhando com

pulsos ultracurtos de 100 fs(femtosegundos), para a obtenção de portas lógicas, sob

Modulação por Posição de Pulsos (PPM). A investigação é realizada através de

simulações numéricas, utilizando-se o método de Runge-Kutta de quarta ordem.

Considerando a operação das portas lógicas, foram utilizadas as quatro possíveis

combinações para dois pulsos nas entradas das fibras 1 e 2, modulados pela posição

temporal (PPM) nos níveis lógicos 0 ou 1. Foram investigados, inicialmente, os efeitos

de uma variação no parâmetro de ajuste PMM (ε) no deslocamento do pulso de saída

em cada uma das fibras; em seguida, foram investigados os efeitos da diferença de fase

(ΔФ) entre os pulsos sólitons fundamentais de entrada, devidamente modulados, no

deslocamento do pulso de saída em cada uma das fibras. Nas duas aplicações, foram

levados em consideração a dispersão de velocidade anômala de grupo (GVD), a

dispersão de segunda ordem (β2), a dispersão de terceira ordem(β3) e os efeitos não-

lineares SPM, SS e IRS. Os resultados indicam que é possível a obteção de portas

lógicas OU utilizando um controle de fase para os pulsos incidentes.

Palavras-chave : NLDC, Fibras de Cristal Fotônico(PFC), Portas Lógicas Ópticas,

Modulação por Posição de Pulsos (PPM).

ABSTRACT

In this work, we present a numerical analysis for obtaining all-optical logic gates based

on a Directional Coupler Nonlinear Symmetric Double (NLDC) in photonic crystal

fibers (PCF) without loss, working with ultrashort pulses of 100 fs (femtoseconds) , to

obtain logical gates under Pulse Position Modulation (PPM). Research is conducted

through numerical simulations, using the Runge-Kutta fourth order. Considering the

operation of logic gates were used the four possible combinations to the inputs of two

pulses fibers 1 and 2, the temporal position modulated (PPM) in the logic levels 0 or 1.

Were investigated initially, the effects of a change in tuning parameter PMM (ε) in the

displacement of the output pulse in each fiber, then we investigated the effects of the

phase difference (ΔФ) between pulses of fundamental solitons input, suitably

modulated, at offset output pulse in each fiber. In both applications, were considered

anomalous dispersion of group velocity (GVD), second order dispersion (β2), the third-

order dispersion (β3) and nonlinear effects SPM, SS and IRS. The results indicate that it

is possible to achievement OR logic gate using phase control of the input pulses.

Keywords: NLDC, Photonic Crystal Fibers, Optical Logic Gates(PFC), Pulse Position

Modulation (PPM).

SUMÁRIO

1.INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 17

2.ESTUDO DE EFEITOS NÃO LINEARES EM FIBRAS ÓPTICAS ....................... 19

2.1.EQUAÇÃO DE PROPAGAÇÃO EM UMA FIBRA ÓPTICA

MONOMODO NO REGIME NÃO-LINEAR .................................................. 19

2.2.EQUAÇÃO NÃO-LINEAR DE SCHRÖDINGER .................................... 22

2.3.EQUAÇÃO NÃO-LINEAR GENERALIZADA DE SCHRÖDINGER .... 27

2.4.DESCRIÇÃO DOS EFEITOS PREVISTOS PELA ENLGS ...................... 30

2.4.1.PROPAGAÇÃO DE UM ÚNICO CANAL ................................. 30

2.4.2.VELOCIDADE DE GRUPO ........................................................ 31

2.4.3.EFEITOS DISPERSIVOS ............................................................ 31

2.4.4.ATENUAÇÃO .............................................................................. 34

2.4.5.AUTOMODULAÇÃO DE FASE ................................................ 35

2.4.6.SELF-STEEPENING E INTRAPULSE RAMAN SCATTERING

................................................................................................................. 38

2.5.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................... 39

3.ACOPLADORES DE FIBRAS CONVENCIONAL E FOTÔNICA ....................... 41

3.1.ACOPLADORES DE FIBRAS CONVENCIONAIS ................................. 41

3.2.FIBRAS DE CRISTAL FOTÔNICO .......................................................... 42

3.2.1.ESTRUTURA DAS PCFS MAIS COMUNS ............................... 43

3.2.2.MECANISMOS DE GUIAMENTO DAS PCFs .......................... 45

3.2.2.1.REFLEXÃO TOTAL INTERNA MODIFICADA ........ 46

3.2.2.2.EFEITO PBG ..................................................................46

3.3.CARACTERÍSTICAS DOS ACOPLADORES .......................................... 47

3.4.ACOPLADORES DIRECIONAIS E CONTRADIRECIONAIS ............... 49

3.5.ACOPLADORES SIMÉTRICOS ................................................................ 49

3.6.ACOPLADOR DIRECIONAL NÃO-LINEAR BASEADO EM FIBRAS DE

CRISTAL FOTÔNICO(NLDC-PCF) ................................................................ 49

3.7.RESULTADOS E DISCUSSÃO ................................................................ 51

3.8.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................ 63

4.ESTUDO DE OPERAÇÕES LÓGICAS POR UM NLDC-PFC OPERANDO COM

MODULAÇÃO POR POSIÇÃO DE PULSO (PPM) ................................................... 66

4.1.DISPOSITIVOS ÓPTICOS DE CHAVEAMENTO ULTRA-RÁPIDO .... 67

4.2.MODULAÇÃO POR POSIÇÃO TEMPORAL DE PULSOS .................... 68

4.3.MODELO PROPOSTO PARA MODULAÇÃO POR POSIÇÃO DE

PULSOS SÓLITONS NO NLDC-PCF PARA OBTENÇÃO DE PORTAS

LÓGICAS ......................................................................................................... 77

4.4.FERRAMENTA TEÓRICA PARA O ESTUDO DA PORTA LÓGICA

NLDC OPERANDO COM MODULAÇÃO PPM ............................................ 80

4.5.PROCEDIMENTO NUMÉRICO PARA ANÁLISE DO PARÂMETRO DE

AJUSTE DA MODULAÇÃO PPM E DIFERENÇA DE FASE DOS PULSOS

SÓLITONS INICIAIS ....................................................................................... 81

4.6.RESULTADOS E DISCUSSÕES ............................................................... 84

4.7.CONCLUSÕES DO CAPÍTULO ................................................................ 94

4.8.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................ 95

5.CONCLUSÕES GERAIS ........................................................................................... 98

6.PERSPECTIVAS FUTURAS .................................................................................... 99

7.PUBLICAÇÕES RELACIONADAS AO TRABALHO ........................................ 100

7.1.ARTIGOS COMPLETOS ACEITOS EM CONGRESSOS INTERNACIONAIS

...................................................................................................................................... 100

7.2.ARTIGOS A SEREM SUBMETIDOS EM REVISTAS INTERNACIONAIS ... 100

ANEXOS ..................................................................................................................... 101

ANEXO A – MÉTODOS NUMÉRICOS PARA A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO

NÃO-LINEAR DE SCHRÖDINGER ............................................................. 102

A.1.MÉTODO SPLIT STEP FOURIER ......................................................... 102

A.2.MÉTODO DE RUNGE KUTTA .............................................................. 104

REFERÊNCIASBIBLIOGRÁFICAS ............................................................. 105

LISTA DE FIGURAS

Figura 3.1 Foto de microscópio da primeira PCF fabricada[6] .................................. 42

Figura 3.2 Representação esquemática dos dois tipos de estruturas mais comuns das

PCFs: (a) arranjo triangular ou hexagonal e (c) arranjo honeycomb. (b) e (d) mostram

fotos das respectivas fibras fabricadas ........................................................................... 44

Figura 3.3 Principais parâmetros geométricos do arranjo das PCFs, d e Λ ................. 45

Figura 3.4 Representação de estrutura periódica a) triangular e b) quadrada .............. 45

Figura 3.5 Guiamento por reflexão total interna na fibra convencional e na PCF de

guiamento por índice ..................................................................................................... 46

Figura 3.6 a) Acoplador Direcional Não Linear (NLDC) em processo de chaveamento.

Os pulsos aplicados na porta 1 aparecem em diferentes portas de saídas dependendo de

suas potências de pico. b) Seção transversal do NLDC ............................................... 48

Figura 3.7 Acoplador Simétrico.................................................................................... 49

Figura 3.8 Seção reta transversal de uma fibra de dois núcleos onde a áreas azuis são

buracos de ar e as áreas brancas são de outro material com índice refração maior do que

o ar (fibras holey) [17] ................................................................................................... 50

Figura 3.9 Acoplador duplo direcional coprogante simétrico utilizado na análise ...... 52

Figura 4.1 Fluxo de pulsos solitônicos com modulação OOK no formato RZ,

correspondendo à sequência de dígitos binários (110010) ............................................ 72

Figura 4.2 Modulação pela posição temporal de pulsos sólitons ................................. 75

Figura 4.3 a) Pulsos sólitons sem modulação; b) Pulsos sólitons modulados na

sequência de níveis lógicos 110010, sob PPM, dentro de cada time slot ...................... 76

Figura 4.4 Delimitação das regiões de acerto e erro PPM para bit 0 e bit 1 ................ 77

Figura 4.5 Símbolo gráfico e equação Booleana para porta E(AND) .......................... 78

Figura 4.6 Símbolo gráfico e equação Booleana para porta OU(OR) .......................... 78

Figura 4.7 Modelo proposto para a investigação da performance do NLDC, realizando

operações lógicas E e OU, utilizando modulação PPM ................................................ 79

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 3.1 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente com

dispersão de 2ª ordem .................................................................................................... 54

Gráfico 3.2 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente

com dispersão de 2ª e 3ª ordem ..................................................................................... 55


dispersão de 2ª e 3ª ordem e Auto Modulação de Fase (SPM) .......................................56


dispersão de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM) e Auto Inclinação (SS)

........................................................................................................................................ 56


dispersão de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação (SS) e

Espalhamento Raman Intrapulso (RA) ...........................................................................57


dispersão de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação (SS),

Espalhamento Raman Intrapulso (RA) e Dispersão do coeficiente de acoplamento

(DCA) ............................................................................................................................ 57


dispersão de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação (SS),

Espalhamento Raman Intrapulso (RA) e Dispersão do coeficiente de acoplamento

(DCA) sem o complexo i ............................................................................................... 58

Gráfico 3.8 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional com comprimento de

1,5xLacop com os efeitos de dispersão de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM),

Auto Inclinação (SS), Espalhamento Raman Intrapulso (RA) e Dispersão do coeficiente

de acoplamento (DCA) .................................................................................................. 59

Gráfico 3.9 – Forma dos pulso no Canal 1 para um acoplador de 33 cm com com os

efeitos de dispersão de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação

(SS), Espalhamento Raman Intrapulso (RA) e Dispersão do coeficiente de acoplamento

(DCA) ............................................................................................................................ 60

Gráfico 3.10 – Forma dos pulso no Canal 2 para um acoplador de 33 cm com com os

efeitos de dispersão de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação

(SS), Espalhamento Raman Intrapulso (RA) e Dispersão do coeficiente de acoplamento

(DCA) ............................................................................................................................ 60

Gráfico 3.11 – Curva de Transmissão para acoplador de cristal fotônico com potência

do sinal de entrada menor que a potência crítica ........................................................... 61


do sinal de entrada igual a potência crítica .................................................................... 62


do sinal de entrada 50% maior que a potência crítica ................................................... 63

Gráfico 4.1 Máximo deslocamento temporal ,calculado no pulso de saída da

Fibra1 , em função do parâmetro de ajuste da modulação no intervalo

, com LC = 1,8 cm e ΔФ=0 ................................................................. 85

Gráfico 4.2 Máximo deslocamento temporal 2( )S ,calculado no pulso de saída da

Fibra22( )SA , em função do parâmetro de ajuste da modulação ( ) no intervalo

0 ( ) 50 fs , com LC = 1,8 cm e ΔФ=0 .......................................................................... 86

Gráfico 4.3.Máximo deslocamento temporal , calculado no pulso de saída da Fibra

1 , em função do controle de fase, entre os pulsos de entrada A1E e A2E, com

LC = 1,8 cm e | | = 10 fs ................................................................................................ 87

Gráficos 4.4 Máximo deslocamento temporal , calculado no pulso de saída da

Fibra 2 , em função do controle de fase, entre os pulsos de entrada A1E e A2E, com

LC = 1,8 cm e | | = 20 fs ................................................................................................ 87



LC = 1,8 cm e | | = 20 fs ................................................................................................ 88



LC = 1,8 cm e | | = 20 fs ................................................................................................ 88



LC = 1,8 cm e | | = 30 fs ................................................................................................ 89



LC = 1,8 cm e | | = 30 fs ................................................................................................ 89

Gráfico 4.9 Perfis de intensidade dos pulsos na saída na Fibra 1 em função

deslocamento temporal, realizando lógica OU, com 0,4 , LC = 1,8 cm e

τ = 20 fs .......................................................................................................................

91

Gráfico 4.10 Perfil de intensidade do pulso na saída na Fibra 1 em função deslocamento

temporal, realizando lógica OU, com 1,5 , LC = 1,8 cm e τ = 20 fs .............. 91


temporal, realizando lógica OU, com 0,6 , LC = 1,8 cm e τ = 20 fs ............. 92


temporal, realizando lógica OU, com 1,6 , LC = 1,8 cm e τ = 20 fs .............. 92

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 Tabela verdade para porta E(AND) ............................................................ 78

Tabela 4.2 Tabela verdade para porta OU(OR) ............................................................ 78

Tabela 4.3 Tabela para Porta lógica OU na Saída da Fibra 1, tendo como referência o

Gráfico 4.9, para 0,4 e τ = 20 fs ....................................................................

93


Gráfico 4.10, para 1,5 e τ = 20 fs ................................................................. 93


Gráfico 4.11, para 0,6 e τ = 20 fs .................................................................

93


Gráfico 4.12, para 1,6 e τ = 20 fs ................................................................ 94

17

1.INTRODUÇÃO

A invenção do laser, a implementação de fibras ópticas de baixo custo e a

introdução de dispositivos ópticos semicondutores correspondem a três das maiores

conquistas alcançadas no campo da óptica nos últimos trinta anos, representando a sua

renovação e seu crescente interesse na tecnologia moderna.

Na trilha desse desenvolvimento tecnológico, tem-se confirmado também o

nascimento de novas áreas de pesquisa associadas à Óptica como, por exemplo, a

Genética, a Medicina, a Robótica, o Processamento de Imagens e, ultimamente, a

Informação Quântica. Com o desenvolvimento do laser, várias tecnologias correlatas

foram estabelecidas, sendo possível testificar o progresso de um novo ramo da

engenharia: a Engenharia Óptica.

Em situações concretas de aplicação, a presença da Óptica tem gerado a

necessidade e o interesse em se conseguir dispositivos totalmente ópticos, funcionando

como peças capazes de tratar e/ou processar informação a velocidades ultrarrápidas.

Para corresponder a essas demandas, pesquisadores têm estudado mais e mais

tecnologias de chaveamento ultrarrápido. Desta forma, poucas são as dúvidas de que os

dispositivos ópticos representam um impacto crescente em sistemas de comunicações.

Diante de um vasto campo de estudo a ser explorado, no tocante ao

processamento de informações totalmente óptico, esta dissertação trata do estudo

numérico de um Acoplador Direcional Não-linear (NLDC) Duplo Simétrico de Fibras

de Cristal Fotônico(PCF), operando sob Modulação por Posição de Pulsos (PPM),

objetivando a obtenção de portas lógicas E/OU, uma vez que, a partir destas duas

funções lógicas básicas, é possível a obtenção da maioria dos circuitos lógicos.

No Capítulo 2, serão discutidos alguns aspectos relevantes à propagação de

pulsos em fibras ópticas convencionais(SiO2), bem como apresentaremos a Equação

Não-Linear Generalizada de Schrödinger (GNLSE- Generalized Nonlinear Schrödinger

Equation), que descreve, dentro de certos limites, a propagação de pulsos em tais fibras.

Após o conhecimento desses aspectos em fibras convencionais (SiO2), discutiremos os

aspectos relevantes à propagação de pulsos em PFC.

18

No Capítulo 3, apresentaremos os principais conceitos relacionados aos

Acopladores de Fibra Convencional(SiO2), estendendo-os ao Acoplador Direcional

Não-Linear Duplo Simétrico em PCFs, doravante denominado NLDC-PFC, operando

com dois pulsos sólitons ultracurtos fundamentais de 100 fs, utilizando a Equação Não-

Linear de Schrödinger Generalizada (GNLSE).

No capítulo final, analisamos numericamente a obtenção de operações lógicas

pelo NLDC-PCF duplo na configuração simétrica sem perda sob PPM.

19

2.ESTUDO DE EFEITOS NÃO LINEARES EM FIBRAS ÓPTICAS

Neste capítulo, discutiremos alguns aspectos relevantes à propagação de pulsos

em fibras ópticas. Apresentaremos a Equação Não-Linear Generalizada de Schrödinger

(GNLSE- Generalized Nonlinear Schrödinger Equation), que descreve, dentro de certos

limites, a propagação de pulsos em tais fibras. Indicaremos algumas aproximações e/ou

considerações que são feitas em sua dedução. Entretanto, não nos aprofundaremos na

dedução matemática destas equações, que podem ser facilmente encontradas na

bibliografia indicada [1]-[5]. Após o conhecimento desses efeitos em fibras

convencionais (SiO2), pretendemos apresentar os fenômenos não lineares em fibras de

cristal fotônico, efeitos estes de altas ordens. Neste estudo, levam-se em consideração

que o sistema tem perda desprezível, como também os efeitos simultâneos da dispersão

de segunda ordem ( ), dispersão de terceira ordem ( ) automodulação de fase (SPM),

Self-Steepening (SS) e lntrapulse Raman Scattering (IRS).

2.1.EQUAÇÃO DE PROPAGAÇÃO EM UMA FIBRA ÓPTICA MONOMODO

NO REGIME NÃO-LINEAR

Como todos os fenômenos eletromagnéticos, a propagação de pulsos por fibras

ópticas é descrita pelas Equações de Maxwell [6]:

(2.1.a)

(2.1.b)

(2.1.c)

(2.1.d)

em que E, H,D,B, J e representam, respectivamente, o vetor campo elétrico, o vetor

campo magnético, a densidade de fluxo elétrico, a densidade de fluxo magnético, a

densidade decorrente e a densidade de cargas do meio.

As densidades de fluxo D e B aparecem em resposta aos campos Ee H, que se

propagam pelo meio, e estão relacionadas entre si através das seguintes relações

constitutivas:

20

(2.2.a)

, (2.2.b)

sendo P e M, respectivamente, as polarizações elétrica e magnética induzidas; é a

permitividade do vácuo e é a permeabilidade do vácuo.

Como a fibra é um meio não-magnético ( ) e sem cargas livres ( e

), as equações de Maxwell para esse meio podem ser reescritas, utilizando-se

(2.2a) e (2.2b), em termos dos campos elétrico e magnético:

; (2.3.a)

; (2.3.b)

(2.3.c)

. (2.3.d)

Tomando o rotacional de (2.3a) e utilizando a bem conhecida relação

,

na c qual denota a velocidade da luz no vácuo, obtêm-se [1], [6]:

(2.4)

Em geral, a avaliação de P exige procedimentos de mecânica quântica [1].

Entretanto, longe das condições de ressonância do meio, como é o caso das fibras para

sistemas de telecomunicações, que operam no intervalo de 0,5 a 2 m, pode-se utilizar

uma relação fenomenológica como [6]:

(2.5)

Nesta equação, i 1, 2,... é a susceptibilidade elétrica de i-ésima ordem.

Para levar em conta os efeitos de polarização da luz, é um tensor de tipo i 1 .

A susceptibilidade linear representa a contribuição dominante para P. Seus

efeitos são incluídos através do índice de refração linear e do coeficiente de

atenuação linear dados, respectivamente, por [1]:

21

[ ]; (2.6a)

[ ] (2.6b)

e relacionados com a constante dielétrica linear do meio, dependente da frequência,

através de [1]:

(

)

(2.7)

A susceptibilidade de segunda ordem é nula para meios que possuem

simetria de inversão em escala molecular. Como SiO2é uma molécula simétrica, a

contribuição de pode ser, normalmente, desprezada no caso das fibras de sílica [7].

Assim, considerando-se apenas os efeitos não-lineares de terceira ordem, a mais

baixa contribuição apreciável, (2.5) pode ser reescrita como:

(2.8)

Sendo a parte linear da polarizabilidade, dada por:

∫

(2.9)

e a parte não-linear, obtida através de [1]:

∭

(2.10)

As equações (2.4), (2.5), (2.9) e (2.10) fornecem um formalismo geral para tratar

os efeitos não-lineares de mais baixa ordem em fibras ópticas. Através delas, pode-se

obter uma equação que descreva o comportamento dos pulsos que se propagam, nas

bandas de interesse em telecomunicações, pela fibra.

Para fazer isso, substitui-se (2.8) em (2.4) e utiliza-se a bem conhecida

identidade de operadores diferenciais vetoriais:

, (2.11)

22

admitindo a condição de guiamento fraco, . Assim, obtém-se:

(2.12)

2.2.EQUAÇÃO NÃO-LINEAR DE SCHRÖDINGER

A equação (2.12) descreve adequadamente a propagação de pulsos por fibras

ópticas. A única aproximação feita até agora é que a polarizabilidade não-linear, dada

pela equação (2.10), leva em conta apenas as contribuições não-lineares de terceira

ordem.

Entretanto, para resolver esta equação, é conveniente fazer uma série de

aproximações e simplificações. Tais procedimentos, que resultarão no desenvolvimento

da chamada Equação Não-Linear de Schrödinger (ENLS), também permitirão que

visualizemos, com maior facilidade, a ação dos diversos fenômenos que atuam sobre os

pulsos que se propagam pelas fibras.

Primeiramente, considera-se que PNL seja uma perturbação à polarizabilidade

total induzida. Isto é razoável, uma vez que os efeitos não-lineares são relativamente

fracos em fibras de sílica [1].

Admite-se que o campo óptico é quasi-monocromático, isto é, que a largura

espectral do sinal, f, é pequena em relação à frequência da portadora do mesmo, f0[1].

Como f0 é da ordem de 100 THz, nas regiões de interesse das fibras em

telecomunicações, essa aproximação restringe as equações que estarão sendo

desenvolvidas a descrever pulsos com duração mínima de 0,1 ps (10 THz).

Tal aproximação, conhecida como aproximação do envelope lentamente variável

ou aproximação paraxial, permite que os vetores de campo e de polarizabilidade

induzida sejam escritos como o produto entre uma função lentamente variável no tempo

e um termo que descreve as oscilações da portadora.

Assim, admitindo-se, ainda, que a polarização do campo óptico seja mantida ao

longo da fibra, por exemplo, na direção de , pode-se escrever o campo elétrico e as

contribuições linear e não-linear da polarizabilidade como [1]:

[ ] (2.13a)

23

[ ] (2.13b)

[ ] (2.13c)

em que.c representa o complexo conjugado do termo anterior.

Por fim, uma última simplificação admitida [1] é que a resposta não-linear do

meio é instantânea, eliminando a dependência temporal de . Assim, a equação (2.10)

pode ser reescrita na forma:

(2.14)

Esta simplificação despreza a contribuição das vibrações moleculares à

susceptibilidade não-linear. Em geral, tanto os elétrons, como o núcleo, levarão certo

tempo para responder à ação do campo óptico [1], sendo a resposta nuclear

inerentemente mais lenta. Para fibras de sílica, o tempo de resposta vibracional, ou de

resposta Raman, ocorre em uma escala de tempo de 60-70 fs [1].

Assim, o limite imposto anteriormente para a largura mínima de pulso deve ser

reconsiderado para ~1 ps. Iniciando a derivação da Equação Não-Linear de

Schrödinger, substitui-se (2.13b) em (2.9) e obtém-se uma expressão para a

polarizabilidade linear:

∫

[ ] (2.15a)

∫

[ ] (2.15b)

na qual

e representam, respectivamente, as transformadas de Fourier de

e .

Analogamente, substituindo (2.13c) em (2.10) e desprezando os termos que

oscilam na frequência da terceira harmônica, 3f0, obtemos uma expressão para a

componente não-linear da polarizabilidade:

, (2.16)

na qual NL é a contribuição não-linear à constante dielétrica, dada:

24

| | (2.17)

Assim, com os resultados de (2.15b) e (2.16), a equação (2.12) é reescrita sob a

forma:

( ∫

[ ])

(2.18)

Em consequência da aproximação de envelope lentamente variável e do

pressuposto caráter perturbativo da polarizabilidade não-linear, podemos considerar que

é aproximadamente constante [8], [9] e escrever (2.18) no domínio da frequência,

substituindo as derivadas temporais,

, por . Fazendo isto, obtém-se a Equação de

Helmholtz:

(2.19)

em que ⁄ e é a constante dielétrica, dependente da frequência, dada por:

(2.20)

Em analogia com as equações (2.6ab e 2.7), a dependência entre a constante

dielétrica, o índice de refração total, , e o coeficiente de absorção total, , é dada pelas

equações (2.21) abaixo:

(

)

(2.21a)

| | (2.21b)

| | (2.21c)

25

Nestas expressões, o índice de refração não-linear, n2, e o coeficiente de

absorção não-linear, α2 estão relacionados com o tensor de susceptibilidade de terceira

ordem através de:

(

) (2.22a)

(

) (2.22b)

A equação (2.19) pode ser resolvida pelo método de separação das variáveis,

admitindo-se uma solução da forma:

, (2.23)

na qual é o número de onda, que será determinado posteriormente.

Assim, mediante a aproximação

, justificável devido à hipótese que

varia lentamente com z [1], (2.19) pode ser dividida no seguinte par de

equações:

[ ] (2.24)

e

[ ] , (2.25)

em que número de onda corresponde aos autovalores que devem ser

determinados.

O coeficiente α2 é consideravelmente menor que α nas fibras de sílica [1]. Desta

forma, para resolver (2.24), pode-se utilizar o procedimento de teoria de perturbação de

primeira ordem, no qual a constante dielétrica é aproximada por:

(2.26)

sendo uma pequena perturbação expressa através de:

| |

(2.27)

26

Seguindo este procedimento, no caso de fibras monomodo, a função F x,y pode

ser aproximada por uma gaussiana:

[

] (2.28)

na qual w é um parâmetro ajustável. Os autovalores, , são dados por:

(2.29)

e é calculado a partir da relação de normalização:

∫ ∫ | |

∫ ∫ | |

(2.30)

Substituindo em (2.25) e expandindo em Série de Taylor em torno

de ,

(2.31)

na qual

(

)

(2.32)

obtemos a seguinte expressão para a amplitude :

[

] (2.33)

Nesta última equação, foram considerados apenas os termos até a segunda

ordem da expansão de . Essa aproximação é válida, desde que a consideração de

pulso quase monocromático seja correta e que não seja muito próximo de zero.

Finalmente, aplicando-se a Transformada de Fourier Inversa nos dois membros

de (2.33) e incluindo a participação dos efeitos de atenuação e de não-linearidades,

através da dependência entre e n , obtém-se a Equação Não-Linear de

Schrödinger(ENLS):

| | (2.34)

27

na qual o coeficiente não-linear é definido através de:

(2.35)

e a área efetiva, , foi aproximada por .

2.3.EQUAÇÃO NÃO-LINEAR GENERALIZADA DE SCHRÖDINGER

A equação (2.34) é conhecida como Equação Não-Linear de Schrödinger devido

à sua similaridade matemática com a Equação de Schrödinger utilizada em Mecânica

Quântica:

(

) (2.36)

Adotando-se um referencial com velocidade de propagação igual a

e

considerando α = 0 em (2.34), verificamos que as duas equações, mediante a permuta

entre as variáveis tempo e espaço, , coincidem, de modo que os termos de

dispersão e de efeitos não-lineares da ENLS, respectivamente, correspondem aos termos

energia cinética,

energia potencial, V(z, t) , da equação da Mecânica

Quântica.

Dentro dos interesses das Telecomunicações, a ENLS descreve, com boa

precisão, o comportamento de pulsos quasi-monocromáticos que tenham largura

temporal mínima de 1 ps, amplitude lentamente variável no tempo, polarizabilidade

linear e que se propagam por fibras que mantenham a polarização do sinal. Além disso,

esta equação ainda admite que a propagação se dá em comprimentos de onda nos quais

o coeficiente é suficientemente grande e as não-linearidades são relativamente fracas.

Para descrever a propagação de pulsos com características fora destes limites, é

necessária a utilização de equações que sejam mais gerais que a ENLS.

Nesta seção apresentaremos, sem nos aprofundarmos nos detalhes de sua

dedução matemática, a Equação Não-Linear Generalizada de Schrödinger (ENLGS).

Esta equação descreve, adequadamente, o comportamento de pulsos com larguras

28

temporais mínimas de 50 fs e relaxa algumas das considerações feitas na dedução da

ENLS.

Primeiramente, a consideração de que os pulsos se propagam em regiões nas

quais | | é facilmente aliviada, incluindo-se na expansão de o termo

proporcional a :

| | (2.37)

Como será discutido na Seção 2.4, o terceiro e o quarto termos de (2.37) são

responsáveis pela dispersão linear dos pulsos, e os parâmetros e são conhecidos

como coeficientes de dispersão, respectivamente, de segunda e de terceira ordem.

Devido à sua menor magnitude, a dispersão de segunda ordem é usualmente

mais relevante na região em que [10], conhecida como região de

comprimento de onda de dispersão nula.

Entretanto, se os pulsos oscilarem de forma suficientemente rápida, a dispersão

de segunda ordem pode ser significante mesmo fora da região de comprimento de onda

de dispersão nula.

De fato, a inclusão do termo proporcional a garante, quanto aos efeitos

dispersivos, a descrição adequada para pulsos ultracurtos, cuja largura é 100 fs. Esta

inclusão relaxa a condição de que os pulsos sejam quasi-monocromáticos, permitindo

que estes tenham largura espectral comparáveis à frequência da portadora, f0.

Se necessário, os termos superiores à podem ser facilmente incluídos em

(2.37). Na dedução da ENLS, admitiu-se, também, que a resposta não-linear do meio

fosse instantânea, através da equação (2.29). Pode-se relaxar esta aproximação

considerando-se que a susceptibilidade de terceira ordem obedece a uma relação do

tipo:

(2.38)

em que R t é a função de resposta não-linear. Assim, a polarizabilidade não-linear

dada pela equação (2.13c) é substituída por:

∫

(2.39)

29

Substituindo (2.39) em (2.12) e adotando-se um procedimento de teoria de

perturbação [5] semelhante ao da subseção anterior, obtém-se uma nova equação, mais

geral que a ENLS, para descrever a evolução de A z, t

Observa-se que, como a aproximação de envelope lentamente variável foi

relaxada com a inclusão do termo de dispersão de segunda ordem, o procedimento

perturbativo aplicado para obtenção desta nova equação também deve considerar esta

relaxação. De fato, ao contrário do que ocorre na ENLS, a dedução desta nova equação

considera que a polarizabilidade não-linear varia com o tempo e inclui a contribuição da

primeira derivada de .

Com essas duas novas considerações, susceptibilidade eletrônica não-instantânea

e polarizabilidade não-linear variável com o tempo, a ENLS é reescrita da seguinte

maneira [5]:

[

] [ ∫ | |

]

(2.40)

Resta, ainda, estabelecer a dependência temporal da função de resposta não-

linear com o tempo, R t que deve levar em conta tanto as contribuições eletrônicas

quantos as contribuições vibracionais, chamadas de Raman. Como a resposta Raman é

bem mais lenta do que a eletrônica, pode-se expressar esta dependência por [11],[4]:

(2.41)

na qual a resposta eletrônica é considerada instantânea, corresponde à fração da

resposta não-linear governada pelas oscilações Raman e é a função de resposta

Raman. Esta última função está relacionada com o espectro de ganho Raman,

[ ] (2.42)

que é medido experimentalmente e pode ser encontrado na literatura [12].

Utilizando (2.40) e fazendo-se uma expansão em Série de Taylor, para|

| até os termos de primeira ordem em t´, obtemos a Equação Não-Linear

Generalizada de Schrödinger, ENLGS, [1]-[5]:

30

[| |

| |

| | ]

(2.43)

na qual

∫

(2.44)

As considerações feitas para a dedução da ENLGS permitem que ela descreva,

precisamente, o comportamento de pulsos com largura temporal mínima de

aproximadamente 50 fs. Ela pode falhar para pulsos com duração inferior a 10 fs,

devido à perda da validade da aproximação de envelope lentamente variável.

Além disto, em comparação com a ENLS, a ENLGS também apresenta a

vantagem de descrever os fenômenos de Self-Steepening (SS) e lntrapulse Raman

Scattering (IRS).

Entretanto, em parte por suas naturezas unidirecionais, tanto a ENLS como a

ENLGS não descrevem o Espalhamento Inelástico Brillouin.

2.4.DESCRIÇÃO DOS EFEITOS PREVISTOS PELA ENLGS

A Equação Não-Linear Generalizada de Schrödinger 2.43, descreve

precisamente os fenômenos relevantes à propagação de pulsos, com duração mínima de

~50 fs, por fibras monomodo não-birrefringentes. Nesta seção, apresentaremos,

sucintamente, como cada um dos termos de (2.43) influencia essa propagação.

Como veremos no final deste capítulo, nas rotinas desenvolvidas para simular os

efeitos de propagação de pulsos, com duração de 100 fs, leva-se em consideração que o

sistema tem perda desprezível, como também os efeitos simultâneos de , ,SPM, SS

e IRS.

2.4.1.PROPAGAÇÃO DE UM ÚNICO CANAL

Nesta subseção, analisaremos o caso de apenas um canal óptico (uma única

frequência portadora) se propagando pela fibra. Esta discussão será estendida, no

próximo capítulo, para o caso de 2 canais propagando-se em dispositivos conhecidos

como acopladores ópticos baseados em fibras de cristal fotônico(PFC).

31

2.4.2.VELOCIDADE DE GRUPO

Observamos que (2.43) exibe quatro termos lineares no campo A z, t . O

primeiro deles, proporcional a , está relacionado com a velocidade de propagação de

grupo do canal, . De fato, a velocidade de grupo é o inverso de :

(2.45)

e podemos utilizar a transformação de variáveis:

(2.46)

para reescrevermos (2.43) na forma:

[| |

| |

| | ] (2.47)

Desprezando-se as pequenas variações da velocidade de grupo dentro de um

mesmo canal, a equação (2.47) é totalmente equivalente à (2.43). A única alteração é

que, através de (2.47), adota-se um referencial que se move com a mesma velocidade

que a velocidade de grupo da onda descrita por A z, t .

2.4.3.EFEITOS DISPERSIVOS

O termo proporcional a descreve a dispersão de segunda ordem, ou seja, a

variação da velocidade de grupo de cada componente espectral da onda durante sua

propagação pela fibra. Isso pode ser observado anulando-se todos os outros termos de

(2.47):

(2.48)

que tem como soluções, no domínio da frequência e do tempo, respectivamente:

(

) (2.49)

∫ (

)

(2.50)

32

na qual é a forma do pulso de entrada expressa no domínio da frequência e

estárelacionada com sua forma temporal, através de:

∫

(2.51)

A equação (2.49) mostra que o espectro dos pulsos não se altera durante sua

propagação pela fibra, | | | |

. Essa é uma característica importante de

pulsos que se propagam, exclusivamente, sob o regime de dispersão.

A equação (2.50) depende da forma do pulso incidente na fibra, através de

(2.51). Para exemplificarmos seu efeito, se a potência de pico desse pulso for P0e ele

possuir um perfil gaussiano:

√ (

) (2.52)

a equação (2.50) indica que, após se propagar por uma distância z, ele terá a forma:

√

√

(

) (2.53)

Comparando (2.52) e (2.53), podemos verificar que, à medida que o pulso se

propaga, exclusivamente sob o regime de dispersão de primeira ordem, ele sofrerá um

alargamento temporal e uma diminuição em sua amplitude.

Embora tenhamos utilizado um caso particular para ilustrar esses dois efeitos,

eles são resultados gerais e válidos para qualquer forma de pulso de entrada.

Podemos analisar o efeito do termo de dispersão de terceira ordem, proporcional

a , incluindo-o em (2.48).

(2.54)

As soluções dessa equação, nos domínios da frequência e do tempo, são

análogas à 2.49, 2.50 e 2.51:

(

) (2.55)

33

∫ (

)

(2.56)

∫

(2.57)

Novamente, verificamos que o espectro do pulso é inalterado pela ação dos

efeitos de dispersão.

No domínio do tempo, o principal resultado da dispersão de terceira ordem é

distorcer a forma do pulso, de tal modo que ele se torne assimétrico com uma estrutura

oscilatória em uma de suas extremidades. Entretanto, para que isso aconteça, a

magnitude de deve ser comparável à de

. Os parâmetros de dispersão que

correspondem às fibras de cristais fotônicos são: ps2km

-1 e ps

3 km

-1,

respectivamente, entre 1540 e 1560 nm.

Obviamente, a dispersão de terceira ordem será mais importante, qualquer que

seja o tipo de fibra, nas regiões em que o comprimento de onda está próximo ao

comprimento de onda de dispersão nula, ou nas situações em que a largura temporal dos

pulsos é inferior a ~100 fs.

Uma maneira usual para verificar a relevância da dispersão de terceira ordem é

através da introdução de duas figuras de mérito:

| | (2.58a)

| | (2.58b)

nas quais T0 é a meia-largura do pulso no ponto em que sua intensidade decai a 1/e do

valor máximo, enquanto LD e LD3 são chamados de comprimentos de dispersão,

respectivamente, de segunda e de terceira ordem.

Claramente que, quanto maior a razão

, menos significante a ação dos efeitos

de dispersão de terceira ordem.

Do ponto de vista físico, os efeitos de dispersão linear, qualquer que seja a sua

ordem, provêm da dependência entre o índice de refração da fibra e a frequência de

oscilação do campo eletromagnético que nela se propaga. Isso é decorrência da resposta,

34

dependente da frequência, oferecida ao campo externo pelos elétrons ligados do

material dielétrico que constitui a fibra.

2.4.4.ATENUAÇÃO

O último termo que descreve efeitos lineares em (2.43) é o termo proporcional a

α. Esse termo é responsável pela atenuação da fibra e, para verificarmos sua ação,

reescreveremos (2.47), anulando as contribuições dos outros efeitos:

(2.59)

A solução dessa equação é bastante simples:

(

) (2.60)

(2.61)

e mostra que a potência | | de um pulso que se propaga por

uma fibra decairá exponencialmente com o aumento da distância.

Embora nos sistemas de telecomunicações se procure trabalhar em regiões

espectrais nas quais o coeficiente de atenuação αé aproximadamente constante, em

geral, ele é função do comprimento de onda, αα (λ .

O Espalhamento de Rayleigh é causado por variações de natureza aleatória na

densidade do material da fibra e que ocorrem em distâncias muito pequenas quando

comparadas a λ. Uma vez que essas variações resultam de flutuações inevitáveis na

composição do material da fibra e de defeitos e não-homogeneidades estruturais

causadas incontrolavelmente durante o processo de fabricação da fibra, o Espalhamento

de Rayleigh proporciona um limite mínimo fundamental para a atenuação em vidros.

Seu efeito é proporcional a λ- 4

.

Outro fenômeno importante que contribui para a atenuação é o Espalhamento de

Mie, que é causado pela existência de não-homogeneidades de dimensões comparáveis

à λ, sendo estas resultantes de imperfeições na estrutura cilíndrica da fibra.

Além desses dois espalhamentos, vários outros mecanismos podem contribuir

para atenuação das fibras. Dentre eles, citamos as absorções intrínseca e extrínseca, as

35

curvaturas e o projeto de guias de ondas. Informações mais detalhadas sobre esses

mecanismos podem ser obtidas, por exemplo, em [13].

Assim como acontece com a dispersão, temos duas figuras de mérito associadas

à atenuação, o comprimento de perdas, LP, e o comprimento efetivo, Leff:

(2.62a)

(2.62b)

na qual L é o comprimento total da fibra.

O comprimento de perdas corresponde ao comprimento no qual a potência decai

a 1/e da potência injetada na fibra. A interpretação do comprimento efetivo está

relacionada com o comprimento da fibra no qual as interações não-lineares serão mais

fortes. Para atenuações típicas de 0,22 dB/km e os comprimentos de interesse para

sistemas de telecomunicações, da ordem de algumas dezenas de quilômetros,

verificamos facilmente que .

2.4.5.AUTOMODULAÇÃO DE FASE

Os três termos de (2.43) que ainda não foram analisados envolvem a potência do

pulso óptico, | | , sendo, portanto, não-lineares.

A origem física dos efeitos não-lineares de ordem mais baixa está relacionada

com a dependência entre o índice de refração da fibra e a potência do campo

eletromagnético que nela se propaga. Isso é decorrência do movimento anarmônico dos

elétrons ligados pertencentes ao material que constitui a fibra, em resposta à influência

do campo externo [1] e caracteriza o que é chamado de Efeito Kerr.

Para analisar a ação dos efeitos não-lineares de ordem mais baixa, desprezam-se

as contribuições dos efeitos lineares e das derivadas temporais da potência,

| | e

| | . Assim, obtemos a equação:

| | (2.63)

que pode ser facilmente resolvida, resultando em:

36

[ ] (2.64)

na qual a fase não-linear é definida como:

| |

(2.65)

e o comprimento não-linear, LNL,

(2.66)

é uma figura de mérito relacionada com a escala de comprimento a partir da qual os

efeitos não-lineares serão relevantes.

A partir de (2.64), verificamos que, sob o regime não-linear considerado, a

forma do pulso permanece inalterada, | | | | . Por outro lado, a

variação de fase, descrita por (2.65), dependente da potência óptica e crescente com a

distância de propagação, implica um alargamento espectral do pulso.

Isto pode ser entendido mediante a observação de que uma fase variável no

tempo faz com que a frequência óptica instantânea difira, ao longo do pulso, de seu

valor central f0 [1]. Esta diferença, , é dada por:

(| |

) (2.67)

e, no caso do pulso gaussiano, descrito por (3.52), pode ser escrita como

(

) [ (

)

]

(2.68)

O aumento de com a distância de propagação z, caracteriza o referido

alargamento espectral.

A dependência entre a fase e a intensidade, em (2.65), justifica o nome

Automodulação de Fase (SPM), utilizado para descrever a classe de fenômenos não

lineares indicada acima. A primeira observação deste efeito em fibras ópticas ocorreu

em 1970 e, desde então, estudos teóricos e experimentais sobre a SPM vêm sendo

amplamente divulgados.

37

Em geral, a SPM não será suficiente para descrever, isoladamente, a propagação

de pulsos por fibras. Ela atuará conjuntamente com os efeitos de dispersão e atenuação,

de acordo com (2.47).

A atenuação pode ser prontamente incorporada aos resultados das equações

2.64, 2.65 e 2.66 pela mera substituição da distância de propagação, z , pela distância de

propagação efetiva, .

. (2.69)

A inclusão dos efeitos dispersivos é mais complicada e requer a solução, na

maioria das vezes, numérica de (2.47).

Entretanto, em algumas situações, podemos considerar que a propagação se dará

em um regime predominantemente dispersivo ou não-linear.

Fazendo uma relação com as figuras de mérito previamente mencionadas, a

primeira destas situações corresponde ao caso no qual e , de tal forma

que

Já o regime não-linear, regido pelo alargamento espectral induzido pela

SPM, será caracterizado quando e , de maneira que

Nas situações em que GVD e SPM possuem contribuições de magnitudes

semelhantes, a SPM pode tanto realçar como compensar os efeitos de alargamento

temporal causados pela GVD. Uma análise detalhada destas afirmações pode ser obtida

através da comparação entre os chirps, variações temporais da fase dos pulsos,

induzidos por esses efeitos. Em geral, quanto maior o chirp, maior será o alargamento

temporal.

Embora esta análise esteja além dos objetivos deste trabalho, observa-se que o

chirp induzido pela SPM será sempre positivo, ao passo que o chirp induzido pela

GVD poderá ser positivo ou negativo, dependendo do sinal da dispersão de segunda

ordem ser, respectivamente, positivo ou negativo.

Assim, o chirp total experimentado por um pulso que se propaga no regime de

dispersão normal ( ) será maior que o devido apenas à GVD, realçando seu

alargamento temporal.

38

Por outro lado, se o pulso se propagar no regime de dispersão anômala (

), o chirp induzido pela SPM atuará no sentindo oposto ao da GVD e o efeito de

alargamento temporal será reduzido.

De fato, utilizando formas especiais de pulso, o chirp induzido pela SPM pode

anular o chirp induzido pela GVD. Neste caso, o pulso se propagará sem sofrer

alargamento temporal ou sofrendo alargamentos e estreitamentos temporais periódicos,

caracterizando uma transmissão solitônica. A propagação de sólitons por fibras constitui

uma das áreas de maior interesse, tanto teórico como aplicado, de pesquisa em

comunicações ópticas, sendo amplamente relatada na literatura [14]-[19].

2.4.6.SELF-STEEPENING E INTRAPULSE RAMAN SCATTERING

O segundo termo não-linear de (2.47),

| | governa um importante

efeito não-linear, conhecido como self-steepening (SS) [20]-[22]. Sua origem física está

relacionada com a dependência entre a velocidade de grupo e a intensidade dos pulsos

que se propagam pelas fibras.

Neste trabalho de dissertação, o SS será relevante quando os pulsos propagados

forem ultracurtos ( ~ 100 fs) e/ou tiverem potência suficientemente elevada, neste caso

em fibras de cristal fotônico(PFC). Nos casos em que a dispersão pode ser desprezada, o

self-steepening pode imprimir a formação de uma frente óptica de choque aos pulsos

que se propagam pela fibra. Ele também gera uma distorção espectral, deslocando o

pico de amplitude para uma frequência inferior à central (red shift) e causando um

alargamento espectral, maior no sentido das frequências superiores (blue shift).

Se os termos de dispersão precisarem ser considerados, como é o caso para

pulsos ultracurtos, a formação da frente óptica de choque e a distorção espectral serão

minimizadas.

O último termo de (2.47),

| | , é consequência de um tempo de

resposta finita das não-linearidades e descreve o fenômeno de intrapulse raman

scattering(IRS)[20]-[21]. Esse fenômeno, assim como o SS, também é responsável pelo

decaimento de sólitons de ordem superior, e também é relevante apenas para pulsos

ultracurtos (~ 100 fs).

As figuras de mérito associadas ao SS e ao IRS são, respectivamente [22]:

39

(2.70a)

(2.70b)

Como o SS e o IRS não representam fortes restrições aos sistemas de

comunicações ópticas atuais, esta breve discussão é suficiente aos nossos propósitos.

Por outro lado, como um dos nossos objetivos é a implementação de uma rotina

numérica para a solução da ENLGS, no próximo capítulo iremos apresentar algumas

simulações que lidam com estes fenômenos, sendo que esta propagação será através de

dois canais, caracterizando um dispositivo óptico, o acoplador, baseado em fibras de

cristal fotônico.

2.5.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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N.Y., U.S.A., 1995.

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numerical solution of nonlinear and variable coefficient wave equation,” SIAM, vol. 15,

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[4] P.V. Mamyshev, S.V. Chernikov , “Ultrashort-pulse propagation in optical fibers,”

Opt. Lett., vol. 15, pp. 1076- 1078, Oct. 1990.

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Heidelberg, Chapter 3, 1989.

40

[9] H.A. Haus, Waves and Fields in Optoelectronics, Prentice Hall, Englewood Cliffs,

1984, Capítulo 10.

[10] M. Miyagi, S. Nishida, “Pulse spreading in a single-mode fiber due to third-order

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[11] R.H. Stolen, J.P. Gordon, W.J. Tomlinson, H.A. Haus , “Raman response function

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[12] R.H. Stolen, “Nonlinearity in Fiber Transmission,” Proc. IEEE, vol. 68, pp. 1232,

1980.

[13] W.F. Giozza, E. Conforti, H. Waldman, Fibras Ópticas, Makron Books do Brasil

Ltda., Editora McGraw-Hill Ltda., São Paulo, Brasil, 1991.

[14] P.K.A. Wai, C.R. Menyuk, H.H. Chen, Y.C. Lee, “Soliton at the zero-group-

dispersion wavelength of a single-model fibers,” Opt. Lett., vol. 12, no 8, pp. 628-630,

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[15] A.S. Gouveia-Neto, M.E. Faldon, J.R. Taylor, “Solitons in the region of the

minimum group-velocity dispersion of single-mode optical fibers,” Opt. Lett., vol. 13,

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[16] Y. Chen, “Combined process of stimulated Raman scattering and four-wave

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optical fibers,” J. Opt. Soc. Am. B, vol. 7, no 1, pp. 43-52, Jan. 1990.

[17] D.R. Andersen, S. Datta, R.L. Gunshor, “A coupled mode approach to modulation

instability and envelope solitons,” J. Appl. Phys., vol. 54, no 10, pp. 5608-5612, Oct.

1983.

[18] F.M. Mitschke, L.F. Mollenauer, “Discovery of the soliton self-frequency shift,”

Opt. Lett. 11, 659-661, 1986.

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light pulses," Phys. Rev. 164, 312-323, 1967.

[21] M. Trippenbach, Y.B. Band, "Effects of self-steepening and self-frequency shifting

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1998.

[22] J.P. Gordon, “Theory of the soliton self-frequency shift,” Opt. Lett., vol. 11, no 10,

pp. 662-664, Oct. 1986.

41

3.ACOPLADORES DE FIBRAS CONVENCIONAL E FOTÔNICA

O aumento contínuo da velocidade dos sistemas de transmissão de

telecomunicações tem despertado o interesse de se conseguir dispositivos totalmente

ópticos capazes de processar e tratar informações a velocidades ultrarrápidas. Neste

sentido, vários dispositivos ópticos, passivos ou ativos, foram e continuam sendo

desenvolvidos para este propósito. Entre estes dispositivos, podemos citar os

acopladores, que desempenham um papel extremamente importante em circuitos

ópticos, e em particular, no estudo de chaveamento de energia a níveis ultrarrápidos.

3.1.ACOPLADORES DE FIBRAS CONVENCIONAIS

Acopladores fibra, também conhecidos como acopladores direcionais, são um dos

dispositivos essenciais em sistemas ópticos. Regularmente são utilizados em diversos

outros dispositivos ópticos que necessitam da divisão do feixe óptico em outros dois

feixes coerentes, por exemplo, mas fisicamente separados (e vice-versa). Embora a

maioria das aplicações de acopladores fibra utilizem suas características lineares, desde

1982 seu comportamento em regime não linear vem despertando um grande interesse

dos pesquisadores por suas aplicações em processamento óptico ultrarrápido como

chave óptica. Aplicações em optoeletrônica, telecomunicações, processamento digital

totalmente óptico, são os principais motivos que têm estimulado os grupos de pesquisa a

estudarem mais detalhadamente esses dispositivos [1-5].

Os acopladores têm sido fabricados usando guias de ondas planares, bem como

têm sido extensivamente estudados no contexto dos LiNbO3 e guias de ondas

semicondutores. Nesta dissertação, estamos focados exclusivamente em acopladores

direcionais baseados em fibras.

Em óptica integrada, a fabricação de acopladores ópticos se dá por meio do

crescimento, ou deposição, de materiais com índices de refração diferentes de forma a

construir uma estrutura multicamadas. No caso de acopladores baseados em fibra, é

necessária uma modificação na estrutura de acoplamento de maneira a aproximar os

núcleos das fibras. Para este fim, três métodos básicos têm sido desenvolvidos na

literatura:

- Retirada da maioria da camada de casca por meio de corrosão química.

42

- Remoção parcial da camada de casca em ambas as fibras por meio de um

polimento mecânico controlado.

- Fusão de duas, ou mais, fibras após um leve entrelaçamento entre elas e um

posterior aquecimento.

Seja qual for o tipo de acoplador escolhido, fibra ou óptica integrada, é possível

produzir diferentes taxas de acoplamento pela simples variação das condições de

propagação em cada um dos guias.

3.2.FIBRAS DE CRISTAL FOTÔNICO

Fibras ópticas e outros guias de onda ópticos são hoje amplamente utilizados em

áreas tais como: telecomunicações, sensores, espectroscopia e medicina. Sua operação

baseia-se no guiamento da luz pelo conhecido mecanismo físico da reflexão total

interna. Nesses guias, é necessário que a região de guiamento possua índice de refração

mais elevado do que o índice da região que a envolve. O mecanismo da reflexão total

interna é conhecido e vem sendo explorado tecnologicamente há muitos anos. A recente

descoberta da possibilidade de confinar e controlar a luz em guias de ondas por meio do

efeito de bandgap fotônico tem permitido desenvolver componentes fotônicos com

características únicas. Uma classe especial de componentes incorporando cristais

fotônicos são as fibras ópticas microestruturadas no plano transversal da propagação

óptica, primeiramente propostas em 1996 [6], por meio da confecção de fibras ópticas

de sílica pura com uma microestrutura composta de centenas de furos em arranjo

hexagonal preenchidos com ar ao longo de seu comprimento (Figura 3.1).

Figura 3.1 Foto de microscópio da primeira PCF fabricada [6].

43

As fibras de cristal fotônico ou PCFs, da sigla em inglês para photonic crystal

fibers, como foram denominadas pela primeira vez, constituem uma nova classe de

fibras ópticas. Outros termos como fibras microestruturadas ou ainda honey fibers (no

caso de possuírem furos de ar em sua seção transversal) também têm sido utilizados – a

nomenclatura desta área ainda não está bem consagrada. Por combinarem as

propriedades das fibras ópticas com as dos cristais fotônicos, possuem uma série de

propriedades únicas, impossíveis de serem conseguidas nas fibras convencionais. Há

muita flexibilidade no projeto das PCFs devido aos vários parâmetros que podem ser

manipulados, resultando em uma imensa gama de propriedades obteníveis.

Nos últimos anos, as PCFs têm se firmado como um novo e excitante campo na

tecnologia de fibras ópticas. Muitos tipos de PCF têm sido propostos e fabricados,

resultando em interessantes propriedades, como por exemplo: operação monomodo em

grandes intervalos de comprimento de onda, grande intervalo espectral de dispersão

anômala, alta dispersão negativa para uso como elemento de compensação de dispersão

e alta birrefringência, além de efeitos não lineares, tais como a geração contínua no

espectro do visível e regeneração óptica. As PCFs evoluíram rapidamente de

curiosidade científica a produto confeccionado e comercializado no mundo todo. A

melhoria contínua dos materiais e das técnicas de fabricação tem levado ao

desenvolvimento de PCFs com menos imperfeições e com perdas cada vez menores.

3.2.1.ESTRUTURA DAS PCFS MAIS COMUNS

O projeto de uma PCF baseia-se na estrutura de um cristal fotônico

bidimensional, de elevado contraste de índices de refração, cuja periodicidade é

quebrada pela inclusão de um “defeito”, onde se dará o guiamento do modo óptico, ou

seja, o qual atuará como o núcleo da fibra. O defeito no arranjo periódico do cristal

fotônico pode ser a retirada de um furo, dando origem a um núcleo sólido ou região de

maior índice de refração. Neste caso, a propagação óptica se dará pelo efeito de reflexão

total interna modificada. Se, por outro lado, o defeito no arranjo periódico for a inclusão

de um furo ou região de baixo índice de refração, o guiamento óptica só será possível se

o cristal fotônico apresentar um bandgap para o comprimento de onda considerado.

Na Figura 3.2 é possível ver as duas estruturas mais comum de PCF. O material

representado em branco é o material com elevado índice de refração e o material em

44

preto é aquele com baixo índice de refração. A área em azul representa a região do

núcleo da fibra.

Figura 3.2 Representação esquemática dos dois tipos de estruturas mais comuns das PCFs: (a)

arranjo triangular ou hexagonal e (c) arranjo honeycomb. (b) e (d) mostram fotos das respectivas fibras

fabricadas.

O arranjo periódico de furos do cristal pode ser definido pela constante de

periodicidade e pelo diâmetro dos furos. Os diâmetros dos furos são representados pelo

parâmetro geométrico d e podem variar de valor na secção transversal da fibra óptica de

acordo com as propriedades desejadas. Já o espaçamento entre furos vizinhos é

representado pelo parâmetro Λ (pitch), conforme apresentado na Figura 3.3. Para um

arranjo regular de furos, Λ é mantido inalterado. Aplicações especiais podem requerer

furos com secção transversal não circular (por exemplo, elíptica) e espaçamento Λ

variável ao longo da secção transversal da fibra óptica.

45

Figura 3.3 Principais parâmetros geométricos do arranjo das PCFs, d e Λ.

As relações d/Λ e λ/Λ são de grande importância na determinação de várias

características das fibras fotônicas. É possível estudar o comportamento dos dispositivos

baseados em cristais fotônicos independentemente do comprimento de onda, se forem

preservadas as proporções entre sua geometria e o comprimento de onda. Isto ocorre

devido à escalabilidade das equações de Maxwell. O arranjo dos furos pode ser

hexagonal (conhecido também como triangular) ou quadrado (Figura 3.4), e periódico

ou não-periódico.

Figura 3.4 Representação de estrutura periódica triangular (a) e quadrada (b) de furos.

3.2.2.MECANISMOS DE GUIAMENTO DAS PCFS

Nas fibras ópticas convencionais, os modos ópticos são guiados por reflexão

total interna na interface núcleo-cladding. Nessas fibras, o índice de refração do núcleo

é aumentado através de dopagem. Nas PCFs, duas formas distintas de guiamento são

possíveis: os modos guiados podem estar confinados em um núcleo com índice médio

maior que o da região do cladding através de um efeito similar ao da reflexão total

interna – conhecido como reflexão total interna modificada ou apenas guiamento por

índice – ou podem estar confinados em um núcleo de índice médio menor que o do seu

redor, através do efeito PBG.

46

3.2.2.1.REFLEXÃO TOTAL INTERNA MODIFICADA

O efeito de reflexão total interna modificada ocorre em PCFs com núcleo de

índice de refração maior que o da região do cladding microestruturado. O índice efetivo

destas fibras pode ser aproximado ao de uma fibra de índice em degrau, conforme

esquema apresentado na Figura 3.5. Contudo, o índice de refração da região do cladding

microestruturado exibe uma dependência com o comprimento de onda muito diferente

da exibida pela sílica pura. Desta forma, é possível projetar PCFs com um conjunto de

propriedades completamente novas, não possíveis com a tecnologia convencional. Por

exemplo, é possível projetar fibras de cristal fotônico essencialmente monomodo, ou

seja, com apenas um modo propagante suportado para quaisquer comprimentos de onda.

Figura 3.5 Guiamento por reflexão total interna na fibra convencional e na PCF de guiamento por índice.

Em PCFs baseadas no mecanismo da reflexão total interna modificada, o defeito

na estrutura é obtido pela ausência de um furo na região central da fibra, como a fibra

mostrada na Figura 3.2a. Isso caracteriza uma região central (núcleo), envolta por uma

região com índice de refração médio inferior (cladding).

3.2.2.2.EFEITO PBG

As primeiras PCFs que propagavam a luz pelo efeito PBG possuíam uma

estrutura hexagonal de furos denominada honeycomb (colméia), na qual o furo central

da estrutura regular está ausente, como apresentado na Figura 3.2b. Neste caso, o

defeito é formado pela inclusão de um furo de ar no centro da fibra. A propagação nessa

fibra ocorre com guiamento em seu centro, embora essa região (núcleo) tenha um índice

de refração médio inferior ao da região que a envolve (cladding). Isto só é possível

47

devido ao efeito PBG que torna proibida a propagação do sinal luminoso na região que

envolve o núcleo, enquanto permite a sua propagação na região central.

O guiamento em núcleos de índice mais baixo que o de seu meio envolvente

abre um vasto e novo campo de possibilidades. Desta forma, é possível guiar a luz no

ar, vácuo ou qualquer outro gás compatível com o material da fibra.

Recentemente, o guiamento da luz foi demonstrado também em fibras com uma

distribuição aleatória de furos [7]. De qualquer forma, o mecanismo de guiamento pode

ser atribuído, em todos os casos, às múltiplas interferências devido ao arranjo periódico

ou aleatório de furos. Consequentemente, o guiamento depende fortemente da geometria

da secção transversal da fibra, em particular, do formato e da dimensão dos furos, da

distância entre eles e de seu arranjo.

3.3.CARACTERÍSTICAS DOS ACOPLADORES

Acopladores fibra são, na sua versão mais simples, constituídos de duas fibras

ópticas paralelas separadas por uma distância “d”, conforme mostram as Figuras 3.1a e

3.1b, e são regularmente usados para uma variedade de aplicações relacionadas a fibras

ópticas [8-12]. Seus núcleos são bastante próximos de maneira que os modos

fundamentais de propagação de cada núcleo sobrepõem-se parcialmente na região da

casca entre os dois núcleos. Tal acoplamento de onda evanescente entre os dois modos

provoca a transferência da potência óptica de um núcleo para o outro. Esta transferência

de potência está diretamente relacionada com a potência crítica, PC, definida como a

potência necessária para obter-se uma transferência de 50% entre os guias do acoplador.

A potência crítica para um acoplador é dada por:

(3.1)

em que Aeff representa a área de seção transversal efetiva do guia de onda, λ é o

comprimento de onda no vácuo, nNL é o índice de refração não linear e LC é o

comprimento de acoplamento necessário para a transferência de um guia para outro.

Para o acoplador da Figura 3.1a, o comprimento LC é definido como:

(3.2)

48

sendo k o coeficiente de acoplamento linear entre os guias adjacentes. Das equações

3.1 e 3.2 verifica-se que a potência crítica é inversamente proporcional ao comprimento

de acoplamento.

De um modo geral, os acopladores, na sua configuração mais simples, são

geralmente dispositivos de 4 portas (duas de entrada e duas de saída) cuja função é

dividir coerentemente o feixe óptico incidente em uma das portas de entrada e

direcioná-lo para as portas de saída.

Figura 3.6 a) Acoplador Direcional Não Linear (NLDC) em processo de chaveamento. Os pulsos

aplicados na porta 1 aparecem em diferentes portas de saídas dependendo de suas potências de pico. b)

Seção transversal do NLDC.

Dependendo da potência de pico aplicada às entradas do acoplador, um pulso

óptico pode ser direcionado para diferentes portas de saídas. A partir dos sinais

aplicados à Porta 1 do acoplador, Figura 3.6a, verifica-se que para potência de luz

abaixo da potência crítica, o dispositivo comporta-se como um acoplador linear, ou seja,

o feixe óptico se propaga periodicamente entre os guias que constituem o acoplador. Por

causa do acoplamento evanescente, o sinal de baixa intensidade aplicado à Porta 1 é

completamente chaveado para a Porta 4. Se a potência do sinal aplicado à Porta 1 do

acoplador apresentar intensidade acima da potência crítica, a potência de luz

simplesmente emerge no mesmo guia (Porta 3).

Para o acoplador das Figuras 3.6a e 3.6b, temos que “d” é a separação entre os

centros dos núcleos das fibras e ρ o raio dos núcleos. Para que ocorra a interação entre

os campos que se propagam nos guias do acoplador, a relação d/ρ usualmente varia

entre 2 e 4 [13], ou seja, a relação d/ρ deve ser, no mínimo, da ordem do diâmetro do

núcleo das fibras que constituem o acoplador [14].

49

3.4.ACOPLADORES DIRECIONAIS E CONTRADIRECIONAIS

Em um acoplador, se o sentido do campo chaveado for igual ao do campo

incidente, esse acoplador é denominado acoplador direcional ou copropagante; caso o

sentido, ele é denominado contrapropagante ou contradirecional.

3.5.ACOPLADORES SIMÉTRICOS

A Figura 3.2 apresenta a estrutura mais simples para um acoplador simétrico. Os

acopladores são ditos simétricos quando seus núcleos apresentam mesmo raio (ρ1 = ρ2) e

também possuem iguais índices de refração (n1 = n2). Em outras palavras, os

acopladores são simétricos quando seus núcleos são idênticos sob todos os aspectos. No

caso dos acopladores direcionais simétricos, a diferença de fase entre os dois modos dos

núcleos é sempre zero.

Figura 3.7 Acoplador Simétrico.

3.6.ACOPLADOR DIRECIONAL NÃO-LINEAR BASEADO EM FIBRAS DE

CRISTAL FOTÔNICO(NLDC-PCF)

Como visto anteriormente, dois guias próximos podem ser acoplados devido à

penetração da luz de um guia para o outro. Este dispositivo fabricado a partir de

materiais com índice de refração positivo preserva o sentido de propagação da luz,

sendo um acoplador direcional, como já definido. Atualmente já existem propostas de

se utilizarem acopladores direcionais de cristais fotônicos para a transmissão de

sólitons, fazendo-se uso dos efeitos não-lineares de sua propagação, já que a maioria das

aplicações utiliza apenas características lineares destes dispositivos [14-16].

Uma fibra óptica convencional é formada por um fio de sílica envolto por um

material com índice de menor refração. Dessa forma, ocorre o confinamento da luz no

50

guia pela lei de Sneel. As PCFs, diferentemente, são formadas por um arranjo periódico

de materiais de alto e baixo índices de refração. Como material de alto índice pode-se

utilizar a sílica e, como material de baixo índice de refração, é utilizado o ar (buracos de

ar na estrutura periódica).

As fibras que estudamos neste trabalho são as que confinam a luz por índice de

refração. O projeto mais comumente usado é uma fibra holey, em que a seção

transversal é uma matriz periódica de buracos de ar que se prolonga por todo o

comprimento da fibra [17]. A Figura 3.8 mostra a fibra de dois núcleos utilizada como

dispositivo acoplador neste trabalho.

Figura 3.8 Seção reta transversal de uma fibra de dois núcleos onde a áreas azuis são buracos de ar e as

áreas brancas são de outro material com índice refração maior do que o ar (fibras holey) [19].

A estrutura de uma PCF de dois núcleos mostrado na figura acima possui os

seguintes fatores geométricos: d é o diâmetro dos buracos de ar que compõe a fibra de

sílica, Λ é a distância de um buraco ao outro e C é a separação do núcleo.

A equação matemática que descreve a propagação de pacotes de luz em fibras

ópticas é a NLSE, obtida através das equações de Maxwell, considerando-se um meio

de propagação livre de cargas. Na sua forma generalizada, temos a equação para a

propagação (2.43) do capítulo anterior.

Ao utilizarmos acopladores baseados em fibras de cristal fotônico, temos que

acrescentar os efeitos de dispersão e de não linearidades de altas ordens. Feitos estes

acréscimos, a Equação (2.43), que expressa a evolução de um campo eletromagnético

em um acoplador não linear com os efeitos de alta ordem e que não diferencia os modos

51

de polarização ortogonais da fibra, é conhecida como equação não-linear de modo

acoplado. Aplicando-se a equação não-linear de modo acoplado a cada canal do

acoplador, temos:

| |

(| | )

| |

= 0

| |

(| | )

| |

= 0

(3.3)

Em (3.3) z é o comprimento ao longo da fibra, t é o tempo de referência para a

propagação dos pulsos, A1 e A2 são os pulsos de entrada nos dois núcleos do acoplador.

Em comparação com a equação 2.43, surgem os parâmetros do coeficiente de

acoplamento (k0) e do coeficiente de dispersão de acoplamento (k1). As equações 3.3

não existem isoladamente, e devem ser resolvidas em conjunto.

Vale reforçar que para potências de luz abaixo da crítica o dispositivo comporta-

se como um acoplador linear, de modo que o feixe óptico propaga-se periodicamente

entre os guias que constituem o acoplador. As potências mais altas induzem uma

mudança no índice de refração que constitui a fibra e deterioram as características de

transmissão, que é totalmente inibida para potências acima da potência crítica.

3.7.RESULTADOS E DISCUSSÃO

Nesta primeira análise, resolvemos numericamente as Equações (3.3) para os

modos acoplados para um acoplador duplo direcional copropagante e simétrico. Foi

feita uma análise numérica da influência de cada uma dos termos das Equações (3.3),

em especial do último termo da equação citada, chamado de dispersão de acoplamento

(k1). É propagado um pulso secante hiperbólico na Entrada 1 do acoplador com largura

temporal de meia potência (Tfwhm) de 100 fs. Na Entrada 2 do acoplador não teremos

entrada de nenhum sinal. A Figura 3.9 mostra a estrutura do acoplador em análise.

52

Figura 3.9 Acoplador duplo direcional coprogante simétrico utilizado na análise

O acoplador mostrado na Figura 3.9 é apenas esquemático, já que estamos

investigando uma PCF de dois núcleos que possui o diâmetro dos buracos d = 2.0µm,

distância entre os buracos de Λ = d/0.9 e separação entre os núcleos de 2 Λ. Neste

trabalho, estamos investigando prioritariamente este acoplador. O comprimento de

acoplamento deste dispositivo é de Lc = 1,8 cm. O comprimento de onda da portadora

está na região do infravermelho e seu valor é λ = 1,55µm [19]. Os parâmetros para as

nossas equações dos modos acoplados 3.3 são os seguintes: β2 = - 47 ps2/km, β3 = 0.1

ps3/km, γ = 3.2x10

-3 (Wm

-1) (para uma área efetiva de 41µm

2), e γ /ω0 = 2.6x10

-18

s/(Wm). Vale lembrar que para cada modelo de PCF utilizada, os valores dos

parâmetros de dispersão e de não-linearidades são diferentes. Como o pulso propagante

é do tipo secante hiperbólico, com largura temporal de meia potência igual a 100 fs,

temos que:

1514

0 0 0

100 101,763 5,67 10

1,763FWHM

xT T T T x s

Dessa forma, encontramos que a distância para que a dispersão de 2ª ordem seja

importante (Ld2) será dada por:

2 14 2

02 24 3

2

(5,67 10 )0,068 6,8

47.10 /10d

T xL m cm

Verificamos que o comprimento de dispersão é maior que o comprimento de

acoplamento do acoplador. Dessa forma, para investigarmos este tipo de efeito,

devemos ter um dispositivo maior do que este comprimento. Da mesma maneira, para

que os efeitos de dispersão de 3ª ordem sejam importantes precisamos, de uma distância

mínima (Ld3) dada por:

53

3 14 3

03 36 3

3

(5,67 10 )1,82

0,1 10 /10d

T xL m

x

Mais uma vez, o comprimento de dispersão de 3ª ordem é bem maior que o

comprimento de acoplamento. Já para o SPM, temos que o comprimento de não

linearidade (LNL) será dado por LNL=1/ γP0, onde P0 é o pico de potência do sinal de

entrada e γ é o coeficiente de não-linearidade.

Neste primeiro momento da análise, utilizamos uma potência de entrada (P0) dez

vezes menor do que a potência crítica (Pc) do acoplador, dada pela relação Pc = 4k/γ(1-

σ), onde o coeficiente de acoplamento k é dado por k = = π/2Lc. Lc é o comprimento de

acoplamento e σ é o parâmetro de modulação cruzada de fase (XPM), considerado, na

maioria da vezes, e ao longo desta dissertação, nulo. Calculamos primeiramente o valor

do coeficiente de acoplamento (k) de tal forma que:

187,272 2 0,018c

k mL x

Calculamos a potência crítica do sinal temos que:

5

3

4 4 87,271,09 10

3,2 10c c c

k xP P P x W

x

Calculamos, agora, o valor da distância de não-linearidade, lembrando que P0 =

Pc/10:

3 4

0

1 10,028

3,2 10 1,09 10NL NL NLL L L m

P x x x W

Dessa forma, constamos que não-linearidade será importante a partir de um

comprimento de propagação de 2,8 cm.

Nossa próxima análise será mostrar que o coeficiente de dispersão de

acoplamento, k1. pode quebrar um pulso a partir de uma determinada distância. Essa

distância é dada por Lw = T0/|k1|. Para o comprimento de onda da portadora que estamos

utilizamos, o valor de k1= - 410 fs/m [20]. Assim:

54

14

0

151

5,67 100,138

410 10w w w

T xL L L m

k x

Então, de acordo com a equação citada acima, esse efeito de dispersão da

constante de acoplamento será visível a partir de 13,8 cm. Para investigar todos os

efeitos, deve-se, então, utilizar um dispositivo com tamanho necessário para que os

mesmos ocorram. Vamos, assim, utilizar um acoplador de comprimento de 33,3 cm (

18.5 acoplamentos). Para um comprimento de acoplamento Lc = 1,8 cm, todo o sinal

que entra no Canal 1 sairá no próprio Canal 1, já que estamos a uma potência 10 vezes

menor do que a crítica. Nesse caso, dizemos que houve um “chaveamento” do sinal do

Canal 1 para o Canal 2. Para analisarmos esses efeitos, propagamos o nosso sinal por 33

cm ao longo do acoplador.

No Gráfico 3.1 é mostrado o perfil do pulso secante hiperbólico na entrada do

Canal 1, o pulso na saída nesse mesmo canal e o pulso na saída no Canal 2,

considerando apenas o efeito de dispersão de 2ª ordem. Para o comprimento de

dispositivo utilizado, este efeito já estará bem presente e causará um alargamento

temporal no pulso.

Gráfico 3.1 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente com dispersão de 2ª

ordem.

55

Em relação ao Gráfico 3.1, salientamos que o pulso propagado na Entrada do

Canal 1 foi igualmente dividido, de modo que os pulsos nas saídas dos Canais 1 e 2,

graficamente, mostram-se sobrepostos, embora imperceptível. Além do mais, é

importante frisarmos que a soma das áreas delimitadas pelos pulsos de saída e o eixo do

tempo corresponde à área limitada pelo pulso de entrada e o citado eixo, posto haver

conservação de energia. Esta análise referente à conservação da energia estende-se às

Figuras 3.2 a 3.8.

O comprimento para que ocorra a dispersão de 3ª ordem é muito alto se

comparado com o comprimento do dispositivo e então podemos desprezá-lo, como

podemos notar pelos Gráficos 3.1 e 3.2, que são semelhantes, já que as saídas nos dois

canais são iguais considerando somente as dispersões de 2ª e 3ª ordem.

Gráfico 3.2 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente com dispersão de 2ª

e 3ª ordem.

No Gráfico 3.3, acrescentamos o efeito de SPM e notamos uma compressão do

pulso nos dois canais do acoplador. Vimos que para o comprimento utilizado esse efeito

pode ser bem visualizado e fará com que o sinal seja uma soma de efeitos dispersivos e

compressivos. No Gráfico 3.4 acrescentamos o efeito de SS. Pelo gráfico podemos notar

que este efeito não interfere na propagação, como vimos com o cálculo de Lss.

56

Gráfico 3.3 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente com dispersão de 2ª e

3ª ordem e Auto Modulação de Fase (SPM).


3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM) e Auto Inclinação (SS).

No Gráfico3.5 acrescentamos a todos os efeitos citados anteriormente mais o

efeito Raman (RA). Agora existe um deslocamento temporal do pulso de saída nos dois

canais. Vale ressaltar que o efeito Raman pode quebrar o pulso de saída em pulsos

menores.

57


3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação (SS) e Espalhamento Raman Intrapulso (RA).


3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação (SS), Espalhamento Raman Intrapulso (RA) e

Dispersão do coeficiente de acoplamento (DCA).

Pela nossa análise, este parece ser um efeito de alta ordem importante quando

estamos a utilizar pulsos de 100 fs. No Gráfico 3.6, acrescentamos o efeito de dispersão

do coeficiente de acoplamento (DCA). Nota-se que o pulso de saída nos dois canais

58

possui uma leve quebra. Poderíamos pensar que essa leve quebra seria devida ao efeito

Raman, porém comparando com o resultado do Gráfico 3.6, chegamos à conclusão de

que é esse coeficiente que quebra o pulso em alguns outros picos.

Outro fato importante citado em [20] é a questão do uso do número do complexo

i nas equações dos modos acoplados (3.3). Sem utilizar o complexo, os efeitos de

quebra dos pulsos não são notados, como podemos comprovar pelo Gráfico 3.7.

Comparando os Gráficos 3.6 e 3.7 podemos notar que no primeiro, o 3.6, começa a

existir a quebra de pulso, mesmo que pequena, e segundo, o 3.7, essa quebra não é

perceptível, fazendo com que o uso correto do complexo i seja primordial para o projeto

de determinado acoplador.


3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação (SS), Espalhamento Raman Intrapulso (RA) e

Dispersão do coeficiente de acoplamento (DCA) sem o complexo i.

Para comprovar que estes efeitos só são percebidos a partir de um determinado

comprimento do dispositivo, propagaremos o mesmo pulso mostrado no Gráfico 3.8

somente para 1,5 comprimentos de acoplamento (1,5xLacop). Dessa forma, a propagação

se dará por aproximadamente 2,7 cm. O referido pulso é mostrado na Figura 3.9. Neste

gráfico podemos notar que os pulsos de saída no Canais 1 e 2 são quase que idênticos e

59

não sofrem a influência devido ao efeito de dispersão do coeficiente de acoplamento,

nem dos outros efeitos de dispersão e não linearidades de altas ordens.

Gráfico 3.8 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional com comprimento de 1,5xLacop com os

efeitos de dispersão de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação (SS),

Espalhamento Raman Intrapulso (RA) e Dispersão do coeficiente de acoplamento (DCA).

O acoplador com comprimento de 1,5xLacop funciona muito bem como

acopladores de 3dB vendidos no mercado já que o mesmo divide perfeitamente a

potência do pulso de entrada entre os dois canais de saída. Este acoplador é muito

utilizado em interferometria e funciona como um divisor de potência (50/50) [21].

Como a potência óptica crítica para a operação deste dispositivo é alta o mesmo

funciona em caráter linear na maioria das potências dos lasers vendidos no mercado.

Por outro lado as características não lineares destes dispositivos podem ser interessantes

para a obtenção de portas lógicas [22]. Neste caso, para que possamos investigar os

efeitos não lineares deste dispositivo temos que trabalhar em altas potências (próximas

da crítica) ou fazer com que o comprimento do dispositivo seja muitas vezes maior que

o comprimento de acoplamento.

Nos Gráficos 3.9 e 3.10 mostramos a potência normalizada do sinal na saída dos

dois canais do acoplador para diferentes comprimentos do dispositivo até o limite

trabalhado nesta análise (0,33 m ou 33 cm). Note que para um dispositivo de

60

comprimento nulo o pulso se encontra totalmente no Canal 1 (Figura 3.9) e no Canal 2

não existe nenhum pulso formado (Figura 3.10). Ao aumentar o comprimento do

dispositivo (distância) temos a formação de diversas formas nos dois canais, sempre

ocorrendo sucessivas trocas de energias entre os dois canais até se chegar ao estágio

final de forma de pulsos mostrada anteriormente na Figura 3.6.

Gráfico 3.9 – Forma dos pulso no Canal 1 para um acoplador de 33 cm com com os efeitos de dispersão

de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação (SS), Espalhamento Raman Intrapulso

(RA) e Dispersão do coeficiente de acoplamento (DCA).

Gráfico 3.10 – Forma dos pulso no Canal 2 para um acoplador de 33 cm com com os efeitos de dispersão

de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação (SS), Espalhamento Raman Intrapulso

(RA) e Dispersão do coeficiente de acoplamento (DCA).

61

Para a simulação destes dois gráficos utilizamos a ENLSG e a resolvemos

utilizando o método Runge Kutta de 4ª Ordem para a solução de equações dos modos

acoplados (3.3). Todos os efeitos lineares e não lineares foram considerados nas Figuras

3.9. e 3.10 já que a distância propagada foi suficiente para que estes efeitos pudessem

ser notados.

Para a próxima experimentação fizemos uma única mudança: o tamanho do

acoplador foi reduzido. Como queremos visualizar o comportamento do componente

para uma maior ou menor potência de entrada (Influência dos Efeitos de Não-

Linearidade) não precisamos de um comprimento de propagação tão alto. Dessa forma,

utilizamos um acoplador com comprimento igual a dois comprimentos de acoplamento

(2 x Lc = 2 x 1,8 cm = 3,6 cm). Para calcular a transmissão dos pulsos vamos considerar

que o pulso inicial tenha amplitude a0 e as amplitudes dos pulsos no decorrer da

propagação nos núcleos do acoplador sejam dados por a1 e a2. Para calcular a

transmissão normalizada (T) basta efetuar a razão 2 2

1 0/a a para o Canal 1 e 2 2

2 0/a a

para o Canal 2.

Gráfico 3.11 – Curva de Transmissão para acoplador de cristal fotônico com potência do sinal de entrada

menor que a potência crítica.

62

No Gráfico 3.11 temos o caso simulado anteriormente, que mostra uma

propagação para uma potência de entrada 10 vezes menor que a potência crítica (P0 =

Pc/10). Vale lembrar que a potência crítica para este dispositivo é de 109 kW. Nesse

caso, então, o pulso de entrada terá potência de entrada(potência de bombeio) de

10,9 kW. Note que o acoplamento ocorre perfeitamente e que toda a energia do Canal 1

retorna ao Canal 1 depois de dois comprimentos de acoplamento. Nessa experimentação

estamos investigando a energia em cada canal do acoplador e não as formas do pulso

em cada saída do acoplador como fizemos no Gráfico 3.8, mostrado anteriormente.

No Gráfico 3.12 mostramos o caso em que o a potência de entrada é igual à

potência crítica. Após o primeiro acoplamento (z = 1,8 cm) temos que a distribuição de

50% da energia incidente no Canal 1 e os outros 50% no Canal 2.


igual a potência crítica.

O dispositivo em questão está de acordo com a teoria que nos diz que para um

pulso com a Potência Crítica há uma divisão igualitária entre as energias de saída dos

dois canais de um acoplador duplo simétrico. Devemos lembrar que no projeto de um

acoplador divisor de energia temos um casamento no tamanho do dispositivo e não na

potência para que o mesmo tenha uma operação crítica.

63

No Gráfico 3.13 mostramos o comportamento do acoplador com P0=1,5×Pc

(potência de entrada maior do que a potência crítica) e vemos que a energia tende a

permanecer no Canal 1. Existe também uma quebra de simetria entre os dois canais

quando z ≈1,3 cm, porém a energia é conservada. Acopladores que trabalham tanto com

potências críticas, bem como com potências acima da crítica, trabalham em regime

linear e podem ser úteis para a obtenção de portas lógicas em determinadas regiões do

acoplamento.


50% maior que a potência crítica.

3.8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] J. W. M. Menezes, W. B. de Fraga, G. F. Guimarães, A .C. Ferreira, H. H. B. Rocha,

M. G. da Silva e A. S. B. Sombra. Opt. Commun. 276, 107 – 115 (2007).

[2] W. B. Fraga, J. W. M. Menezes, M. G. da Silva, C. S. Sobrinho e A. S. B. Sombra,

Opt. Commun. 262 (1), 32-37 (2006).

[3] J. S. Almeida, J. W. M. Menezes, W. B. Fraga, J. C. Sales, A. C. Ferreira, S. P.

Marciano, A. F. G. Furtado Filho, M. G. Silva e A. S. B. Sombra. Fiber and Integrated

Optics, 26 (4), 217-228 (2007).

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[5] M. N. Islam. Ultrafast fiber switching devices and systems, Cambridge University

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[6] Knight, J. C.; Birks, T.A.; Russell, P. St. J.; Atkin, D. M. Pure silica singlemode

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Conference, 1996, San Jose. Proceedings… San Jose: SPIE, 1996. (Paper PD3-1)

[7] Lü-Yun, Y. et al. A Novel Hollow-Core Holey Fibre with Random Hole

Distribuitions in the Cladding. Chin. Phys. Lett., v. 22, n. 10, p. 2592-2594, 2005.

[8] G. P. Agrawal (2001). Applications of Nonlinear Fiber Optics, Academic Press,

New York.

[9] V. J. Tekippe (1990). Fiber Integ. Opt. 9, 97.

[10] P. E. Grenn (1993). Fiber-Optic Networks, Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ.

Chap.3.

[11] J. Hecht (1999). Understanding Fiber Optics, Prentice-Hall, Upper Saddle River,

NJ. Chap. 15.

[12] A. K. Ghatak e K. Thyagarajan (1999). Introduction to Fiber Optics, Cambridge

University Press, New York, Chap. 17.

[13] K. S. Chiang (1995). Opt. Lett. 20(9), 997.

[14] S. Droulias e et al.(2004). Switching dynamics in nonlinear directional fiber

couplers with intermodal dispersion, Opt. Comm., Vol. 240, pp. 209-219.

[15] F. Benabid, “Hollow-core photonic bandgap fibre: new light guidance for new

science and technology,” Philos Transact A Math Phys Eng Sci 364(1849), 3439–3462

(2006).

[16] P. Russell, “Photonic crystal fibers,” Science 299(5605), 358–362 (2003).

[17] J. Herrmann, U. Griebner, N. Zhavoronkov, A. Husakou, D. Nickel, J. C. Knight,

W. J. Wadsworth, P. S. Russell, and G. Korn, “Experimental evidence for

65

supercontinuum generation by fission of higher-order solitons in photonic fibers,” Phys.

Rev. Lett. 88(17), 173901 (2002).

[18] X. Yu, M. Liu, Y. Chiang, M. Yan, P. Shum, Opt. Commun. 260, 164(2005)

[19] M. Liu, K.S. Chiang, Appl Phys B. 815, 98 (2010).

[20] G. P. Agrawal , Nonlinear Fiber Optics. Academic Press, San Diego, 1989.

[21] Filho, A.F.G.F.; Lopes, M.V.P.; Fernandes, T.S.M.; Sombra, A.S.B. Sensor

Óptico para Medidas de Altas Correntes em Geração e Transmissão Elétricas. Proc. do

VI Congresso de Inovação Tecnológica em Energia Elétrica (CITENEL), ANAEEL, 17

a 19 de agosto, Fortaleza-CE (2011).

[22] Fraga, W. B. Análise Numérica da Estabilidade de Sólitons Ópticos Espaço-

Temporais (2+1) em um Guia Planar com Não Linearidade Cúbico-Quíntica e Efeito da

Relaxação Temporal em Acoplador Direcional Duplo Assimétrico para Obtenção de

Funções Lógicas. Universidade Federal do Ceará, Programa de Pós Graduação em

Engenharia de Teleinformática. (Março de 2010)

66

4.ESTUDO DE OPERAÇÕES LÓGICAS POR UM NLDC-PFC OPERANDO

COM MODULAÇÃO POR POSIÇÃO DE PULSO (PPM)

Neste capítulo é analisada a possibilidade da realização de operações lógicas pelo

NLDC-PFC na configuração simétrica. O NLDC-PFC é adequado para esta aplicação

por ser capaz de garantir o processamento e a transmissão da informação em níveis

ultrarrápidos.

Nesta aplicação, os pulsos ópticos iniciais têm seus parâmetros ][)(

00

NPeT

ajustados de acordo com as características do meio, para se estabelecer a propagação de

sólitons fundamentais, modulados nos níveis lógicos 0 e 1, através da modulação por

posição de pulso (PPM).

Inicialmente, considerando portas lógicas de duas entradas, utilizam-se as quatro

possíveis combinações para dois pulsos, com informação modulada nos níveis lógico 0

ou 1, para se verificar a realização de operações lógicas pelo NLDC-PFC. Os dois

pulsos que serão introduzidos nas Entradas 1 (Fibra 1) e 2 (Fibra 2) do NLDC-PFC

podem ser provenientes de um sistema de transmissão digital, operando com PPM. Na

análise desta aplicação, neste capítulo, tal sistema é substituído por um modulador PPM,

onde é possível controlar o valor e o sentido do deslocamento temporal, aplicado ao

pulso de entrada, permitindo estabelecer a análise das quatro possíveis combinações a

serem estudadas.

De uma forma geral, qualquer porta lógica é almejada. No entanto, existe o

interesse particular na obtenção de portas lógicas E/OU, posto que a maioria dos

circuitos lógicos pode ser derivada destas duas portas lógicas básicas.

Para alcançar esse objetivo, inicialmente, investigam-se os efeitos de uma variação

no parâmetro de ajuste da modulação PPM , ou seja, no deslocamento inicial do pulso

em relação ao pulso referencial ou informação não modulada. Deslocamentos para a

esquerda, em relação ao referencial, representam nível lógico 0; para a direita, nível

lógico 1. As linhas de erro PPM delimitam as regiões nas quais o pulso, nas respectivas

saídas do NLDC-PFC, aparece modulado em 0 ou 1 ou, ainda, se apresenta erro.

Sempre ocorre erro quando o pulso de saída apresenta um deslocamento, tanto para

67

esquerda quanto para a direita, maior do que o parâmetro de ajuste da modulação

estabelecido no processo de modulação da informação.

Em seguida, são investigados os efeitos da diferença de fase entre os pulsos

sólitons fundamentais de entrada, devidamente modulados, no deslocamento do pulso

de saída em uma das fibras. Este controle de fase pode ser alcançado aplicando-se uma

fase no pulso nas entradas da fibra 1 ou 2 do NLDC-PFC. O objetivo é estabelecer

situações para o parâmetro de ajuste da modulação PPM e de diferença de fase entre os

pulsos modulados, onde seja possível montar as tabelas-verdade correspondentes à

realização de operações lógicas E e OU, sem inserir erro PPM, considerando as quatro

combinações, possíveis, dos dois pulsos na entrada do NLDC-PFC.

4.1.DISPOSITIVOS ÓPTICOS DE CHAVEAMENTO ULTRA-RÁPIDO

Recentes tecnologias de processamento da informação têm levado a um

crescimento nos serviços básicos de telecomunicações, exigindo, portanto, maiores

taxas de transmissão e menores custos por bit transmitido. A rede mundial de

computadores, os sistemas de televisão a cabo e a telefonia são os grandes responsáveis

pela crescente procura de serviços confiáveis, rápidos e de menor custo.

Existe uma expectativa de que os futuros sistemas de chaveamentos demandem o

processamento de dados na ordem de terabits por segundo Tbits s . Tais sistemas

podem usar alguns aspectos do chaveamento de fótons, para tomar proveito das

propriedades inerentes à Óptica. Aplicações nas quais dispositivos seriais poderão ser

importantes incluem os sistemas de telecomunicações de alta performance e redes locais

de fibra óptica. O processamento serial rápido requer dispositivos ultrarrápidos, e a

velocidade final alcançada será encontrada em sistemas totalmente fotônicos, onde os

sinais permanecem como fótons através do sistema [2].

Portas lógicas fazem parte de uma categoria de dispositivos, na qual uma operação

Booleana é executada com base nos valores dos sinais de entrada. A lógica, em si, é

uma ferramenta poderosa, uma vez que possibilita uma distribuição inteligente da

informação ao longo do sistema, no sentido de que um fluxo de dados pode controlar

outro. Esta é uma das razões que tornam a operação, dos sistemas eletrônicos modernos,

já baseados na lógica digital. Nas portas lógicas, o controle pode ser distribuído ao

68

longo de toda a estrutura de chaveamento, tanto fisicamente quanto atuando no próprio

dado, representando a operação de decisão por um nível lógico 0 ou 1, que podem ser

regenerados, isto é, os sinais são substituídos por pulsos que são corrigidos em

amplitude, forma e sincronismo [1].

A literatura especializada traz uma gama de pesquisas feitas sobre os mais

variados tipos de portas lógicas opto-eletrônicas [3-4]. Entretanto, embora a capacidade

de processamento de tais dispositivos ainda seja razoável, existe a necessidade iminente,

na qual as taxas de transmissão superiores devem suprir a demanda, sempre crescente,

no fluxo de informações, o que por sua vez exige a implementação de novas tecnologias

mais sofisticadas, ou, no mínimo, uma otimização, também crescente, dos dispositivos

já utilizados. O uso de porta lógicas, totalmente ópticas, pode melhorar o sistema

quando a largura de banda é o entrave que limita a sua performance. Aplicações

potenciais para portas ultrarrápidas em redes de telecomunicações incluem redes de área

local, permuta de time slot, leitor de cabeçalho e multiplexadores/demultiplexadores em

sistemas de fibras ópticas de alta performance. Finalmente, portas lógicas ultrarrápidas

podem ser propostas para a codificação e decodificação de sinais em altas velocidades,

garantindo a segurança na transmissão da informação [1]. Já existem várias pesquisas

feitas sobre portas lógicas, totalmente ópticas, utilizando dispositivos como acopladores

[5]-[7], interferômetros [8], e guias de ondas planares, operando com pulsos ópticos a

taxas de aproximadamente 50 Gbits s [9].

4.2.MODULAÇÃO POR POSIÇÃO TEMPORAL DE PULSOS

A principal característica dos sólitons fundamentais que pode ser utilizada em

operações de chaveamento é atuar em muitas aplicações como um bit de dados de

informação; ou seja, o pulso inteiro pode ser chaveado como uma única unidade, tendo

em vista que a fase é uniforme através de todo o pulso. Esta característica é importante,

pois permite a obtenção do cascateamento de várias portas. Em adição, devido o pulso

ser balanceado por forças contrárias, durante a propagação, os sólitons tornam-se

estáveis frente a muitas perturbações, como a birrefringência ou dispersão por modo de

polarização (PMD). Além disso, sólitons fundamentais permitem um pulso com área

constante, o que implica em dizer que, após o pulso passar através de um amplificador,

sua forma e amplitude podem ser restauradas. Para sistemas de chaveamento no

69

domínio do tempo, com taxas de Tbits s , e pulsos com larguras temporais da ordem de

picosegundos, existem várias outras razões pelas quais os sólitons têm vantagens

particulares.

Pulsos ópticos são, em geral, afetados pelo GVD e SPM, mas, com sólitons, os

efeitos dessas duas características são mantidos em equilíbrio. O chaveamento

totalmente óptico pode utilizar as propriedades únicas dos sólitons, tais como a

instabilidade modulacional e as colisões elásticas. A natureza dos sólitons, como

partícula, pode implicar numa energia de chaveamento muito baixa, desde que, uma

pequena mudança de frequência pode ocasionar um grande deslocamento no tempo [1].

Consequentemente, o chaveamento de sólitons permite levar em conta

desenvolvimentos tecnológicos como os amplificadores construídos em fibras ópticas.

A possibilidade do uso de sólitons para a transmissão de informação digital

começou a surgir devido, principalmente, ao desenvolvimento de amplificadores

ópticos, como uma forma de amenizar o efeito da perda na fibra óptica [10]. Como foi

comentado anteriormente, o sóliton é um pulso óptico no qual a não linearidade da fibra

compensa o seu efeito dispersivo, podendo propagar-se, sem dispersar-se, por longas

distâncias. Assim sendo, pulsos sólitons são veículos atrativos para a transmissão de

dados em altas taxas. Em princípio, a capacidade de tal sistema de comunicação pode

mostrar-se extremamente elevada, com taxas de vários milhares de Gbits s , através de

distâncias muito longas. Entretanto, algumas limitações práticas restringem a

capacidade destes sistemas [11]. A máxima taxa de transmissão não é simplesmente

relacionada à largura temporal do pulso, como no caso dos sistemas lineares de

comunicação. Existe a interação não linear entre sucessivos pulsos solitônicos. Portanto,

para minimizar os efeitos da interação entre sólitons vizinhos, mantendo-a em níveis

aceitáveis, deve-se, além de estabelecer um limite na distância de propagação, separar

os pulsos, inicialmente, por várias vezes sua própria largura temporal jt . Os efeitos

de ruídos em canais de comunicação não lineares são consideravelmente mais

complicados do que no caso linear. Particularmente, a transmissão de sólitons sobre

distâncias muito longas requer amplificação periódica para compensar a dissipação do

sóliton devido à atenuação na fibra. O processo de amplificação introduz ruídos que

interagem com os sólitons e afetam o processo de propagação não linear [12].

70

Na propagação de um sóliton é possível que apareçam perturbações causadas pela

presença de outros sólitons em sua vizinhança. Estas perturbações são devidas ao fato

de que a combinação dos campos ópticos não satisfazem a Equação Não-Linear de

Schrödinger (NLSE). Resolvendo-se numericamente a NLSE, é possível compreender

todo o processo de interação. Para esta análise admite-se, como condição inicial, a

presença de dois sólitons vizinhos, de acordo com a Equação (4.1)[13]:

.exp)(

secexp)(

sec,0 2

0

221

0

11 e

eree

ere i

T

TTThAi

T

TTThATA

(4.1)

Na equação (4.1), 1e 2eA A, e 1e 2e , são, respectivamente, as amplitudes e as

fases de cada um dos pulsos sólitons fundamentais. Além disso, T1e e T2e são os

deslocamento temporais, para a direita e para a esquerda, respectivamente, do pico do

pulso em relação ao tempo referencial rT , sendo a separação inicial entre os pulsos

dada por ee TT 21 . Permitindo-se que os pulsos tenham fases/amplitudes

iguais/diferentes, observam-se diferentes comportamentos para os sólitons

fundamentais. Nesse contexto, têm-se duas situações a serem consideradas: a primeira

consiste na interação entre sólitons com amplitudes iguais; a segunda, a interação entre

os sólitons com amplitudes diferentes. Na primeira situação, ocorre uma repulsão

quando existe um defasamento no início da propagação, ou seja 1e 2e , e uma atração

quando os sólitons encontram-se em fase, isto é =1e 2e . Nesta situação surge uma

atração, seguida de um colapso, para logo após acontecer a repulsão entre os dois

pulsos, de forma que essa sequência ocorre periodicamente. Esse comportamento

confirma que o potencial envolvido na interação entre sólitons ópticos é simétrico, pois,

após o colapso, os pulsos recuperam sua forma original. Na segunda situação, quando

os sólitons têm amplitudes diferentes, o comportamento se altera por completo. Nessa

situação, quando os sólitons estão em fase =1e 2e , o colapso tende a desaparecer e,

quando fora de fase 1e 2e , a repulsão entre eles também tende a desaparecer [14].

Dentro do contexto desta dissertação, modulação é o processo pelo qual dados

digitais, na forma eletrônica, são convertidos para sinais ópticos, que podem ser

transportados através da fibra óptica. O primeiro passo, no projeto de um sistema de

71

comunicação óptico, é decidir como o sinal elétrico é convertido em um sinal óptico,

levando a mesma informação contida no sinal elétrico. O esquema de modulação mais

simples e mais amplamente usado é chamado de chaveamento liga-desliga (OOK), o

qual é, usualmente, realizado de duas possíveis maneiras: A primeira é usando a

modulação direta, onde os sinais são convertidos, através do nível de corrente, aplicado

diretamente à fonte óptica, que neste caso pode ser um laser semicondutor. O impulso

de corrente, aplicado ao laser semicondutor, é ajustado acima do limiar de decisão para

o bit 1 e abaixo para o bit 0. A segunda maneira, de realizar a modulação (OOK), surge

do fato de que muitos outros lasers, como o DFB, são fontes de onda contínua e não

podem ser modulados diretamente. Estes lasers requerem um modulador externo e

tornam-se essenciais em transmissores para sistemas de comunicação que utilizam o

sóliton como bit de informação [15].

A modulação OOK pode usar diferentes formatos de sinais. Os formatos de sinais

mais comuns são conhecidos como: Retorno a Zero (RZ) e Não Retorno a Zero (NRZ),

os quais estão ilustrados na Figura 4.1. No formato RZ, cada pulso óptico,

representando o bit 1, é mais estreito do que o time slot, de modo que sua amplitude

retorna a zero antes da duração do time slot acabar. Por outro lado, no formato NRZ, o

pulso óptico permanece ao longo de toda a duração do time slot, de forma que sua

amplitude não decresce a zero, entre dois ou mais bits 1s sucessivos. Como resultado, a

largura do pulso varia, dependendo do padrão de bits, o que não acontece no formato

RZ. Uma vantagem do formato NRZ é que a largura de banda, associada com o fluxo de

bits, é menor do que no formato RZ por um fator de 2, simplesmente porque as

transições, de retorno a zero, ocorrem menos vezes. Entretanto, seu uso requer um

controle preciso na largura temporal do pulso e pode resultar em muitos efeitos que

dependem do padrão de bits, se o pulso óptico espalhar durante a transmissão [16].

O formato de sinalização NRZ não pode ser usado para sistemas de comunicações

ópticas, quando os sólitons são usados como bits de informação, pois sua solução

analítica, para T , só permanece válida, numa sequência de pulsos, quando um

sóliton individual mantém-se perfeitamente isolado [17]. Portanto, o sóliton só pode

ocupar uma pequena fração do time slot, usualmente não superior a mais do que 20 %

deste. A presença de outros pulsos, perturba a propagação dos sólitons, fazendo surgir

72

forças de atração e repulsão, pois, como foi visto, pulsos do tipo sóliton interagem

mutuamente. Assim, sistemas de comunicações, que utilizam sóliton como bit de

informação, geralmente usam um esquema de modulação OOK como formato de

sinalização RZ. No transmissor, o processo de modulação é realizado por uma chave

liga-desliga, colocada na frente da fonte de laser. Os dados elétricos originais podem

estar na forma analógica, mas são, invariavelmente, convertidos em um fluxo de bits, no

formato NRZ, para em seguida serem aplicados ao modulador externo, gerando a

sequência de pulsos no formato RZ. Isto evita diversos efeitos de modulação de fase, no

pulso gerado, devido à modulação realizada diretamente no laser semicondutor. De fato,

já existem disponíveis comercialmente transmissores que incluem um laser, um

modulador externo e um circuito de estabilização do comprimento de onda,

compactados em um único dispositivo. A Figura 4.1 mostra um fluxo de bits solitônicos

modulados com formato de sinal RZ óptico, onde a taxa de transmissão B é calculada

pela Equação (4.2):

)(

11

21 eeB TTtB

. (4.2)

Figura 4.1 Fluxo de pulsos solitônicos com modulação OOK no formato RZ, correspondendo à

sequência de dígitos binários (110010).

A modulação por posição de pulso (PPM) surgiu como uma forma de se conseguir

codificar a informação, contida em uma sequência de bits, utilizando o chaveamento

73

liga-desliga (OOK), onde a presença do pulso, dentro do time slot, representa bit 1 e sua

ausência bit 0. Cada código que vai representar uma determinada quantidade e

sequência de bits, pode ser encontrado, permitindo que um grupo de BM time slots

contenha um único nível lógico 1 e 1BM níveis lógicos 0. Sendo assim, cada posição

possível, de colocar o pulso dentro da sequência de BM time slots, pode resultar em um

novo código. Os códigos PPM são ortogonais, desde que não existe nenhuma

superposição entre pulsos em qualquer par de códigos. Por isto, o arranjo de cada

sequência de 2Log BM bits transmitidos, passa a ser representado por um código único

de BM time slots, predeterminado de acordo com a posição do pulso dentro da

sequência de time slots. Portanto, no transmissor, o codificador mapeia blocos de

2= LogB BL M bits consecutivos, transformando-os em um código único PPM de

= 2 BLBM time slots. Após estabelecer a sincronização entre time slot e código, o

receptor detecta a sequência e os códigos PPM presentes na informação recebida,

através da determinação de qual dos BM time slots contém o pulso laser, para em

seguida executar a operação de mapeamento inversa, de forma a fornecer o fluxo de

bits, correspondente a informação transmitida [18]. Cada código PPM decodificado

corretamente, transporta BL bits de informação. Entretanto, o receptor deve operar com

uma largura de banda efetiva muito maior do que necessita a taxa de dados real, para

efetuar a operação de decodificação. Se cada bit tem Bt segundos de duração, então

BL bits levam B Bt L segundos para serem transmitidos. Isto significa que o receptor

deve processar = 2 BLBM time slots, em B Bt L segundos, para evitar o sobre

carregamento de dados. A taxa de processamento do sistema (transmissor e receptor),

deve ser, portanto, um fator de 2 BLBL vezes maior do que a taxa de bits transmitidos,

implicando em uma expansão da largura de banda requerida, por uma quantidade

correspondente. Quando BL torna-se grande, esta expansão na largura de banda, pode

mostrar-se severa, acabando por limitar o processamento da informação do sistema,

devido às limitações na taxa de amostragem [19].

Uma extensão natural da técnica de modulação por posição de um único pulso é

usar dois ou mais pulsos, dentro da sequência de BM time slots, para transportar a

informação através de códigos. Isto pode ser realizado, colocando mais do que um pulso

74

em todas maneiras possíveis entre BM time slots, gerando um número maior de códigos,

quando BM é grande. Entretanto, nem todos os códigos são ortogonais e o número de

códigos gerados não é, necessariamente, uma potência de 2, complicando, assim, a

operação de codificação [20]. Contudo, se comparado com a melhor estratégia de

modulação por posição de um único pulso (PPM), a modulação por posição de

múltiplos pulsos (MPPM), tem propriedades desejáveis, como, por exemplo, o potencial

para reduzir significativamente os requerimentos de largura de banda, em uma potência

média fixa, ou aumentar o processamento da informação, em uma dada largura de

banda, sem incorrer em penalidades significantes na performance do sistema. Portanto,

a modulação por posição de múltiplos pulsos (MPPM), é uma forma generalizada para o

PPM, onde pode ser usado mais do que um pulso por código. Em uma modulação

MPPM, com BN pulsos e BM time slots, existem B

B

M

N

códigos, correspondendo as

possíveis maneiras de preencher BM time slots com BN pulsos. Quando 1BN , o

mapeamento dos bits de informação para os códigos MPPM, torna-se mais complicado,

visto que, neste caso, B

B

M

N

não é mais uma potência de 2, isto é, cada código de

múltiplos pulsos, corresponde a um número de bits não inteiros. Esta complicação pode

ser evitada, através do uso de um subconjunto MPPM com tamanho de 2Log

2B

B

MN

, o

que por sua vez acaba reduzindo, também, o processamento [21].

Para investigar o efeito do uso de sólitons, e suas limitações, para transmissão de

informação digital, outros processos de modulação por posição de pulso (PPM) são

também estudados. Nestes outros processos, os formatos dos sinais modulados são

semelhantes ao formato RZ da modulação OOK, no sentido de que os pulsos retornam a

zero antes do tempo do time slot acabar. Entretanto, os níveis lógicos 1s e 0s, são

sempre representados pela presença de um pulso laser, dentro do time slot. Por outro

lado, a modulação é realizada pela posição temporal do pulso dentro de cada time slot.

Da mesma forma que antes, é possível determinar códigos para transmitir a informação.

Neste caso, sempre se tem múltiplos pulsos, de forma que a maneira que surge, para

aumentar o número de códigos possíveis, não esta mais relacionada diretamente com a

quantidade de pulsos lasers, e sim apenas com a escolha do número de níveis lógicos

75

que vão representar 1s e 0s, dentro da sequência de BM time slots. A principal

motivação para o estudo de sólitons, modulados pela posição temporal, surge do fato de

que o PPM aplicado em pulsos curtos permite uma maior taxa de transmissão do que a

mesma modulação aplicada em pulsos largos, e pulsos intensos exibem uma relação

sinal ruído maior do que os pulsos fracos [22]. Consequentemente, pulsos intensos e

curtos são desejáveis para a aplicação do PPM.

Portanto, a modulação por posição de pulso (PPM) que é abordada nesta

dissertação consiste no deslocamento da posição temporal original do pulso óptico, por

meio de pequenos valores quantificados por . Para deslocamentos com acréscimo de

tempo , a modulação representa o nível lógico 1 ou, simplesmente, bit 1, e para

deslocamentos com decréscimo de tempo , em relação ao mesmo tempo referencial

rT , a modulação representa o nível lógico 0, ou simplesmente, bit 0, como mostra a

Figura 4.2.

Figura

4.2 Modulação pela posição temporal de pulsos sólitons.

A Figura 4.3a mostra o exemplo de uma sequência de pulsos não modulados, onde

cada pulso está, exatamente, no centro de um intervalo de tempo Bt predefinido

(time slot). Em seguida, na saída de um modulador PPM [23], os pulsos são deslocados

temporalmente de , de acordo com a modulação da informação, na sequência de bits

110010, como mostra a Figura 4.3b. Caso o pulso modulado como nível lógico 1 seja

colocado fora da sua posição, em qualquer fase do processo de transmissão da

informação, por um deslocamento superior a , então o bit 1, em questão,

corresponderá, neste momento, ao nível lógico 0, se o deslocamento for com

decréscimo de tempo. Se o deslocamento, superior a , for com acréscimo de tempo, o

76

bit 1 pode ainda permanecer dentro do seu time slot, ou até mesmo, dependendo do

tamanho do deslocamento, ser interpretado como bit 0 no time slot consecutivo. Por este

motivo, torna-se importante estabelecer que o máximo deslocamento do pulso

modulado, em qualquer fase do processo de transmissão, seja menor do que

(parâmetro de ajuste da modulação), mantendo os efeitos resultantes da interação entre

sólitons vizinhos, em níveis aceitáveis, de forma a garantir a manutenção da taxa de

transmissão do sistema.

Figura 4.3 a) Pulsos sólitons sem modulação; b) Pulsos sólitons modulados na sequência de níveis

lógicos 110010, sob PPM, dentro de cada time slot.

Pela própria definição da modulação por posição de pulso, como mostra a Figura

4.4, correspondendo ao bit 1, em todos os casos onde o pulso em questão apresente um

deslocamento superior a , são considerados como erro PPM [24]. O mesmo

raciocínio é aplicado à modulação do nível lógico 0.

77

Figura 4.4 Delimitação das regiões de acerto e erro PPM para bit 0 e bit 1.

4.3.MODELO PROPOSTO PARA MODULAÇÃO POR POSIÇÃO DE PULSOS

SÓLITONS NO NLDC-PCF PARA OBTENÇÃO DE PORTAS LÓGICAS

As portas lógicas são componentes básicos e necessários a muitos circuitos

digitais e, até mesmo, em circuitos integrados complexos como, por exemplo, os

processadores e microcontroladores. O comportamento de cada tipo de porta lógica,

dentro da álgebra Booleana, está estabelecido pela sua tabela verdade, que apresenta os

estados, ou níveis lógicos das entradas e das saídas. Existem vários tipos de portas

lógicas, todavia, nesta dissertação, existe o interesse principal nas portas lógicas E e

OU. As Figuras 4.5 e 4.6, mostram os símbolos gráficos das portas lógicas E e OU,

seguidas por suas respectivas tabelas-verdades 4.1 e 4.2.

A porta lógica E (AND) realiza uma operação lógica booleana, que é representada

por uma multiplicação. Por isso, se 1L e 2L são suas entradas, na saída tem-se o

resultado correspondente à equação Booleana = 1 2R L L , produzindo uma saída com

nível lógico 1, se todos os sinais de entrada forem bits 1. Caso qualquer um dos sinais

de entrada tenha nível lógico 0, a porta E produzirá um sinal de saída com nível lógico

também 0.

78

Figura 4.5 Símbolo gráfico e equação Booleana

para porta E(AND).

Figura 4.6 Símbolo gráfico e equação Booleana

para porta OU(OR).

Tabela 4.1 Tabela verdade para porta E(AND). Tabela 4.2 Tabela verdade para porta OU(OR).

1L 2L = 1 2R L L 1L 2L = 1 2R L L

0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

A porta lógica OU (OR) realiza uma operação lógica Booleana que é representada

por uma soma ou adição. Por isso, se 1L e 2L são suas entradas, na saída tem-se o

resultado correspondente a = 1 2R L L , produzindo um nível lógico 1, se qualquer um

dos sinais de entrada tiver nível lógico 1. Somente no caso onde os dois sinais de

entrada têm níveis lógico 0, a porta OU produzirá um sinal de saída com nível lógico

também 0.

O modelo proposto para a investigação da performance do NLDC-PFC realizando

operações lógicas E/OU possui arquitetura mostrada na Figura 4.7. Na Figura 4.7, as

entradas 1E e 2E representam os pulsos ópticos sem a devida modulação PPM, como

mostrado na Figura 4.3a. A análise é feita de forma paralela, ou seja, após passar pelo

modulador PPM, os dois pulsos ópticos de intensidades 1A , na entrada da Fibra 1, e 2A ,

na entrada da Fibra 2, são deslocados temporalmente para a direita ( rTT ),

correspondendo ao bit 1, ou para a esquerda ( rTT ), correspondendo ao bit 2, em

relação ao tempo referencial, de acordo com cada uma das quatro possíveis

combinações de dois bits, das tabelas-verdade para as portas E e OU ( ver tabelas 4.1 e

4.2). Em seguida, o controle de fase é aplicado em um ou ambos os pulsos, agora

representando os níveis lógicos correspondentes 1L e 2L . De acordo com o valor de fase

79

aplicado em cada pulso, é possível inserir uma diferença de fase entre os pulsos iniciais,

antes da entrada do NLDC-PFC. Na região de interação do NLDC-PFC ocorrerá o

possível chaveamento de energia entre os braços do acoplador. Por último, os pulsos de

saída nas Fibras 1 e 2 do referido acoplador são analisados, onde o máximo

deslocamento temporal de saída de cada um dos pulsos é calculado em relação ao

mesmo tempo referencial rT , considerando o devido sincronismo entre o pulso de

entrada e de saída.

Figura 4.7 Modelo proposto para a investigação da performance do NLDC, realizando operações lógicas

E e OU, utilizando modulação PPM.

A realização de operações lógicas E e OU pelo NLDC-PFC é analisada em cada

fibra ou “braço” do acoplador, separadamente, observando que o máximo deslocamento

temporal s , apresentado pelo pulso de saída correspondente, deve estar dentro da

região de acerto, a qual é determinada por s , com 0s . Logicamente, na

análise da porta lógica proposta, neste capítulo, é esperado que exista mudança de nível

lógico, durante o chaveamento de energia intrínseco ao acoplador, do pulso de entrada

em relação ao de saída na mesma fibra. Entretanto, o importante é que se forneça um

deslocamento temporal de saída, dentro da região de acerto para o parâmetro de ajuste

da modulação, de todo o sistema, tendo sempre em vista que o pulso de saída

representará um bit 1, quando sua posição temporal estiver no intervalo 0 s e bit0,

quando 0s . De acordo com a tabelas-verdade das portas lógicas E e OU (ver

Tabelas 4.1 e 4.2), para as combinações onde os pulsos de entrada nas Fibras 1 e 2

representam bits diferentes, ou seja, = 0 =11 2L , L e =1 = 01 2L , L , o pulso de saída

observado em cada uma das fibras deve estar na região PPM bit 1 0 s , caso se

deseje obter um operação lógica OU, ou região PPM bit 0 0s , caso se deseje

obter a operação lógica E. Para as outras duas combinações das tabelas-verdade,

80

correspondentes a bits iguais, o pulso de saída deve estar sempre dentro da região de

acerto, independe da operação lógica desejada, E ou OU. Assim, para o caso onde os

pulsos de entrada nas Fibras 1 e 2 representam o bit 0 = 0 = 01 2L , L , o pulso de saída

em cada uma das fibras deve sempre estar na região PPM bit 0 0s . Por outro

lado, quando os pulsos de entrada representam o bit 1 =1 =11 2L , L , o pulso de saída

em cada uma das fibras deve estar sempre na região PPM bit 1 0 s .

4.4.FERRAMENTA TEÓRICA PARA O ESTUDO DA PORTA LÓGICA NLDC

OPERANDO COM MODULAÇÃO PPM

A porta lógica proposta neste capítulo é baseada em um acoplador duplo

simétrico baseado em fibras de cristal fotônico (NLDC-PCF), processando a informação

modulada pela posição temporal de pulsos (PPM) com sólitons fundamentais. Em

baixos níveis de luz, o dispositivo comporta-se como um acoplador direcional linear.

Por causa do acoplamento evanescente, sinais introduzidos no Canal 1 (canal direto) são

transferidos completamente para o Canal 2 (canal cruzado) em um acoplador de

comprimento LC. Intensidades mais altas induzem mudanças no índice de refração e

retiram o acoplador da região de acoplamento. A teoria de modo acoplado é usada

comumente para acopladores direcionais [26-31]. Em nossas simulações, as equações

diferenciais parciais acopladas para acopladores simétricos sem perda são as equações

dos modos acoplados (4.3), a saber:

| |

| |

| |

(4.3a)

| |

| |

| |

(4.3b)

81

em que A1E e A 2E são as amplitudes de entrada, dos pulsos transmitidos nos núcleos 1 e

2, do acoplador, como já foi visto na seção anterior. A ordem N de um sóliton é

calculada através da expressão 2

2

2

oo

NL

D TP

L

LN , onde

02

2

0 1,

PL

TL NLD

, são os

comprimentos de dispersão e não-linearidade, respectivamente, PO é a potência de

bombeamento e OPULSO TT 21ln2 é a meia largura temporal no ponto de máxima

intensidade de um pulso sóliton com perfil secante hiperbólico. O acoplador é inibido

para potências de entrada acima da potência crítica C eff 2 CP A n L , onde Aeff é a área

efetiva do núcleo, n2 = nNL é o índice de refração não-linear e Lc é o comprimento de

acoplamento necessário para transferência de potência de um guia para outro [25]. No

valor da potência crítica ( CP ), 50% da luz emerge de cada guia de onda. Para potências

de entrada acima da PC a maior parte da luz emerge do núcleo 1. Em outras palavras, a

condição de casamento de fase é alcançada para acoplamento linear. Na situação em que

o sinal de entrada é forte, o índice de refração da entrada do guia de onda é mudado por

causa do efeito Kerr. A mudança do índice de refração destrói a condição de casamento

de fase, e a potência de acoplamento pode ser minimizada no fim do comprimento de

acoplamento. Logo, a potência óptica é comutada entre os dois guias de onda pelo nível

de intensidade do sinal de entrada. No presente estudo, o acoplamento entre A1E e A2E é

essencialmente linear.

4.5.PROCEDIMENTO NUMÉRICO PARA ANÁLISE DO PARÂMETRO DE

AJUSTE DA MODULAÇÃO PPM E DIFERENÇA DE FASE DOS PULSOS

SÓLITONS INICIAIS

A performance do NLDC-PFC simétrico realizando funções lógicas E/OU em

duas entradas é investigada através da arquitetura proposta mostrada na Figura 4.7. Para

a análise numérica, consideraram-se as quatro combinações possíveis de dois bits na

entrada de uma porta lógica de duas entradas, permitindo uma variação, na faixa de 0 a

50 fs, no parâmetro de ajuste da modulação (|τ|) dos pulsos de entrada modulados pela

posição temporal. Esta tarefa é realizada pelo modulador PPM antes do controle de fase.

Após passar através do modulador PPM os pulsos de entrada são introduzidos para o

controle de fase, em que a diferença de fase ΔФ = Ф1-Ф2 (na faixa de 0 a 2π) pode ser

82

inserida entre os pulsos. Como os pulsos de entrada são aplicados simultaneamente

dentro dos dois núcleos, a posição temporal adquirida pelos pulsos propagados é

influenciada pela diferença de fase aplicada entre os pulsos de entrada devido a suas

diferentes velocidades durante a propagação. Portanto, para realizar esta análise, a fase é

somente aplicada em um dos pulsos de entrada. Na região de interação (LC), os pulsos

A1 e A2 são convertidos entre os dois núcleos, simultaneamente, se a potência de

bombeio (PO) está abaixo da potência crítica (PC), como discutido no Capítulo 3. Na

saída do NLDC-PFC simétrico, o máximo deslocamento temporal alcançado por cada

pulso em seu respectivo núcleo é calculado, considerando a sincronização com o pulso

de entrada pelo tempo de referência rT .

Nas equações (4.3) o tempo gVztT / é medido em uma referência se

movendo com o pulso na velocidade de grupo (Vg), analisada no Capítulo 1. Analisou-

se numericamente a transmissão de pulsos ultracurtos no regime de propagação

fundamental ou sóliton de primeira ordem (N=1) através do NLDC-PFC duplo

simétrico. Assim como no Capítulo 3, a largura temporal de meia potência dos pulsos

100 fs. Após o modulador PPM e o controle de fase, a forma dos pulsos iniciais na

entrada do NLDC-PFC é dada por :

j

O

drOjE i

T

TTThPTA

expsec,0 (4.4)

onde os índices j=1,2 fazem referência às fibras 1 ou 2, Фj é a fase inserida e Td é o

deslocamento temporal, que representa o parâmetro de ajuste da modulação PPM

|τ|=|τ1E|=|τ2E|, de modo que Td = +τ para bit 1 PPM e Td=-τ, para bit 0 PPM para os

pulsos iniciais. O deslocamento temporal é calculado na posição temporal de máxima

intensidade, com Tr = 0 como tempo de referência, correspondendo a metade do time

slot. Nesta mesma análise numérica, jEL e jSL , representam os níveis lógicos para os

pulsos de entrada )( jEA e de saída )( jSA , respectivamente. Assumindo a operação em

fibras de sílica, na região de comprimento de onda próximo a 1,55μm, os coeficientes

de dispersão e não-linearidade são β2 =47ps2/km, β3 = 0.1ps

3/km, γ = 3.2x10

-3(Wm

-1)

(para uma área efetiva de 41µm2) e γ/ω0 =2.6x10

-18 s/(Wm), respectivamente, onde nN

L= n2 ≈ 3 ∙ 10-14

m2/W e Aeff ≈ 40μm

2 [14]. Em todas as nossas investigações, os pulsos

83

de entrada estão no regime de propagação do sóliton fundamental (LD=LNL) e a potência

de bombeio (Po) tem valor 10,9 kW, equivalente a 10% da potência crítica (Pc)

calculada no Capítulo 3. Além disso, assume-se um comprimento de acoplamento

cmLLL NLDC 8,1 . Sob estas condições, o coeficiente de acoplamento (k) tem valor

87,27 m-1

e o coeficiente de dispersão de acoplamento ( k1) tem valor - 410 fs/m.

O sistema de NLSG acopladas 4.3a e 4.3b foi resolvido numericamente usando o

método Runge Kutta de 4ª ordem com 2048 pontos na janela de tempo, levando-se em

consideração as condições iniciais dadas pela equação 4.4, na situação sem perda (α=0).

Basicamente, esta situação não significa perda de generalidade tendo em vista que o

efeito de perda na saída dos pulsos (z = LC) é desprezível. Para resolver o sistema de

ENLSG acopladas com este método, usado somente para equações diferenciais

ordinárias, foi necessário substituir o operador diferencial 22 / t por ω2, onde ω é a

frequência no domínio de Fourier.

Para a análise correta da transmissão de pulsos sólitons ultracurtos, modulados

pela posição temporal, aplicam-se deslocamentos temporais para os pulsos de entrada

(τ) e observa-se o máximo deslocamento temporal do correspondente (j = 1,2) pulso de

saída )( jS em relação ao mesmo tempo de referência rT . Verificam-se as funções

lógicas E/OU, observando que o máximo deslocamento temporal do pulso de saída não

pode exceder deslocamentos temporais aplicados aos pulsos de entrada, isto significa

que toda a região de acerto está limitada a . jS Além disso, o pulso de saída

representa bit 1 quando sua posição temporal está no intervalo jS0 e bit 0 quando

0 jS . Se a função lógica procurada é E, em concordância com a tabela verdade

das portas lógicas E, nos casos quando os pulsos de entrada 1 e 2 representam bits

diferentes, que é (L1E=0, L2E=1) ou (L1E=1, L2E=0), o respectivo pulso de saída deve

estar no intervalo para bit 0 ).0( jS Em contraste, se a função lógica procurada é

OU, em concordância com a tabela verdade das portas lógicas OU, nos casos quando os

pulsos de entrada 1 e 2 representam diferentes bits, que é (L1E=0, L2E=1) ou (L1E=1,

L2E=0), o respectivo pulso de saída deve estar no intervalo para bit 1 ).0( jS Além

disso, para a realização de funções lógicas E/OU, os pulsos de saída 1 ou 2 devem

84

sempre estar no intervalo para bit 0 )0( jS e bit 1 ),0( jSquando os pulsos

de entrada 1 e 2 representam os bits (L1E=0, L2E=0) e (L1E=1, L2E=1), respectivamente.

4.6.RESULTADOS E DISCUSSÕES

Neste trabalho, tratamos o NLDC-PFC operando com pulsos sólitons

fundamentais ultracurtos (100 fs) codificados sob PPM, observando a posição temporal

e o perfil dos pulsos de saída como função do parâmetro de ajuste da modulação (|τ|) e

do controle de fase (ΔФ).

Em nossa primeira análise, é estudada a performance de um NLDC-PFC duplo

simétrico, considerando a propagação de dois pulsos de entrada modulados em

concordância com os quatro casos possíveis para a porta lógica de duas entradas

( ver Tabelas 4.1 e 4.2 ), permitindo uma variação, na faixa de 0 a 50 fs, no parâmetro

de ajuste da modulação (τ) e sem controle de fase (ΔФ = 0). As operações lógicas E e OU

serão investigadas em ambas as fibras 1 e 2.

É importante salientarmos que, deste ponto em diante, na análise das figuras, o

parâmetro de ajuste de modulação )( representa o deslocamento aplicado ao pulso de

entrada em cada fibra, a linha laranja com losangos cheios representa a linha de erro

PPM para bit 0, a linha cinza com estrelas cheias representa a linha de erro PPM para

bit 1, a linha preta com quadrados cheios representa o caso )0,0( 21 EE LL , a linha

vermelha com círculos cheios representa o caso )1,0( 21 EE LL , a linha azul com

triângulos cheios representa o caso )0,1( 21 EE LL e a linha verde com triângulos

cheios representa o caso ).1,1( 21 EE LL Para que exista funcionalidade como porta

lógica, o NLDC-PFC deve garantir a realização de operações lógicas sem erro PPM.

Para transmissão sem erro, o deslocamento temporal medido no respectivo pulso de

saída )( jS , deverá estar localizado na região de acerto. Para o bit 1 PPM, a região de

acerto está entre o eixo 0jS (linha preta contínua) e a linha de erro PPM para bit 1.

Para o bit 0 PPM, a região de acerto está entre o eixo 0jS e a linha de erro PPM para

bit 0.

Nos Gráficos 4.1 e 4.2, embora em quase todos os casos o deslocamento temporal

do pulso de saída esteja dentro da região de acerto para bits 1 ou 0, para toda a faixa

85

estudada do parâmetro de ajuste da modulação , sem controle de fase(ΔФ = 0),

observamos que não existe um único valor do parâmetro de ajuste da modulação para o

qual seja possível que o NLDC-PFC duplo realize as operações lógicas E/OU. De fato,

este resultado já era esperado, pois o NLDC-PFC duplo, operando na configuração

simétrica, faz os casos )1,0( 21 EE LL e )0,1( 21 EE LL estarem sempre em regiões

diferentes, para todos os deslocamentos aplicados aos pulsos de entrada .

Nos Gráfico 4.1 observamos que o caso )1,0( 21 EE LL encontra-se na região

[ S1 ; linha de erro PPM para bit 1], enquanto o caso )0,1( 21 EE LL encontra-se na

região [ S1 ; linha de erro PPM para bit 0]. Já no Gráfico 4.2, dá-se justamente o oposto:

o caso )1,0( 21 EE LL encontra-se na região [ S1 ; linha de erro PPM para bit 0],

enquanto o caso )0,1( 21 EE LL encontra-se na região [ S1 ; linha de erro PPM para

bit 1].

Gráfico 4.1 Máximo deslocamento temporal ,calculado no pulso de saída da Fibra1 , em

função do parâmetro de ajuste da modulação no intervalo , com LC= 1,8 cm e ΔФ=0.

86

Gráfico 4.2 Máximo deslocamento temporal 2( )S ,calculado no pulso de saída da Fibra2

2( )SA , em

função do parâmetro de ajuste da modulação ( ) no intervalo 0 ( ) 50 fs , com LC= 1,8 cm e ΔФ=0.

Em nossa segunda análise, é estudada a performance de um NLDC-PFC duplo

simétrico, considerando a propagação de dois pulsos de entrada modulados em

concordância com os quatro casos possíveis para a porta lógica de duas entradas

( ver Tabelas 4.1 e 4.2 ), fixando o valor do parâmetro de ajuste da modulação (τ) e

aplicando um controle de fase ( 20 ). As operações lógicas E e OU serão

investigadas nas fibras 1 e 2. O controle de fase dá-se após o modulador PPM

(ver Figura 4.7).

Inicialmente, fixamos o parâmetro de ajuste de modulação em 10 fs; em seguida,

este parâmetro será fixado em 20 fs e, por fim, em 30 fs. Nas três fixações do parâmetro

de ajuste de modulação, o controle de fase(ΔФ) será aplicado apenas na entrada da Fibra

1, de modo que na entrada da Fibra 2 não haverá controle de fase. As operações lógicas

E e OU serão investigadas nas Fibras 1 e 2.

Nos Gráficos 4.3 e 4.4, salientamos que a região de acerto PPM bit 1 encontra-se

entre 10 fs. Similarmente, a região de acerto para o PPM bit 0 encontra-

se entre o - 10 fs.

87

Gráfico 4.3.Máximo deslocamento temporal ,calculado no pulso de saída da Fibra 1 , em

função do controle de fase, entre os pulsos de entrada A1E e A2E, comLC = 1,8 cm e | | = 10 fs.

Gráficos 4.4 Máximo deslocamento temporal ,calculado no pulso de saída da Fibra 2 , em


Pela análise dos Gráficos 4.3 e 4.4, verificamos que não há, para todo o controle

de fase , a existência nem de Porta OU nem de Porta E.

88



se entre o - 20 fs.





89

Analisando-se o Gráfico 4.5, observamos a existência de dois largos intervalos

de controle de fase em que há Porta OU(OR), a saber: [ 0,08π; 0,67π ] e [ 1,19π; 1,67π ].

De maneira semelhante, analisando-se o Gráfico 4.6, observamos a existência de dois

largos intervalos de controle de fase em que também há Porta OU(OR), a saber:

[ 0,33π; 0,81π ] e [ 1,33π; 1,91π ].





90



se entre o - 30 fs.

Analisando-se o Gráfico 4.7, observamos a existência de três estreitos intervalos

de controle de fase em que há Porta OU(OR), a saber: [ 0; 0,06π ], [ 0,99π; 1,13π ] e

[ 1,63π; 1,73π ] . De maneira semelhante, analisando-se o Gráfico 4.8, observamos a

existências de três estreitos intervalos de controle de fase em que também há Porta

OU(OR), a saber: [ 0,28π; 0,34π ], [ 0,87π; 1,10π ] e [ 1,93π; 2,00π ].

Pelas análises dos Gráficos 4.3 a 4.8, não encontramos nenhum intervalo de

controle de fase em que seja observada a existência de porta E (AND). Além do mais,

na medida em que o parâmetro de ajuste de modulação variou de 10 fs a 30 fs,

observamos que o módulo da distância temporal entre os pulsos de saída para os casos

(L1 = 0; L2 = 0) e (L1 = 1, L2=1) aumentou, que os deslocamentos temporais dos pulsos

de saída, relativos aos casos citados, tendem a migrar para as regiões de erro PPM e que

os deslocamentos relativos aos casos (L1 = 0; L2 = 1) e (L1 = 1, L2=0) tendem à simetria

em relação à linha de decisão = 0, observação esta que nos leva a inferir que, para

valores do parâmetro de ajuste de modulação maiores do que os analisados, o NLDC-

PFC tona-se inviável para a obtenção, também, de portas lógicas OU.

No tocante à estabilidade, podemos constatar, pela análise dos Gráficos 4.5 a

4.8, que as portas lógicas OR obtidas no caso τ = 20 fs , tanto para a Fibra 1, quanto

para a Fibra 2, são bem mais estáveis do que as obtidas quando τ = 30 fs , posto que

neste último caso, mais precisamente nos intervalos [ 1,63 ;1,73 ], para a Fibra 1, e [

0,28 ;0,34 ], para a Fibra 2, os deslocamentos de saída dos pulsos na combinação de

entrada (L1 = 1;L2 = 1), estão mais próximos da linha de erro PPM bit 1 = + 30 fs .

Os Gráficos 4.9 e 4.10 mostram os perfis de intensidade dos pulsos na saída da

Fibra 1 para o controle de fase fixado, respectivamente, em 0,4π e 1,5π. Observemos

que os deslocamentos de saída dos pulsos estão de acordo com os deslocamentos

apresentados no Gráfico 4.5.

91

Gráfico 4.9 Perfil de intensidade do pulso na saída na Fibra 1 em função deslocamento temporal,

realizando lógica OU, com 0,4 , LC= 1,8 cm e τ = 20 fs.

Gráfico 4.10 Perfil de intensidade do pulso na saída na Fibra 1 em função deslocamento temporal,


Os gráficos 4.11 e 4.12 mostram os perfis de intensidade dos pulsos na saída da

Fibra 2 para o controle de fase fixado, respectivamente, em 0,6π e 1,6π. Observemos

que os deslocamentos de saída dos pulsos estão de acordo com os deslocamentos

apresentados no Gráfico 4.6.

92

Gráfico 4.11Perfil de intensidade do pulso na saída na Fibra 2 em função deslocamento temporal,


Gráfico 4.12Perfil de intensidade do pulso na saída na Fibra 2 em função deslocamento temporal,


Por fim, concluindo a nossa análise do NLDC-PFC em estudo, elaboramos as

Tabelas 4.3 a 4.6, especificando, detalhadamente, para os casos mostrados nosGráficos

4.9 a 4.12, os níveis lógicos de entrada nas Fibras 1 e 2, conforme a Tabela 4.1, o

93

controle de fase aplicado, o deslocamento temporal na saída da fibra respectiva, bem

como o nível lógico associado a esse deslocamento.

ENTRADA Controle deFase

1 2

Deslocamento

Temporal na Saída da

Fibra 1(fs)

SAÍDA

(LÓGICA OU)

Fibra 1 Fibra 2

fs20|E2||E1|||

EL1 EL2 1 2

0 0 0,4 0 - 16,2 0

0 0 1 0,4 0 + 6,0 1

1 1 0 0,4 0 + 19,2 1

1 1 1 0,4 0 + 4,3 1

1 Tabela 4.3 Tabela para Porta lógica OU na Saída da Fibra 1, tendo como referência o Gráfico 4.9, para

0,4 e τ = 20 fs.


1 2

Deslocamento


Fibra 1(fs)

SAÍDA

(LÓGICA OU)

Fibra 1 Fibra 2

fs20|E2||E1|||

EL1 EL2 1 2

0 0 1,5 0 - 17,4 0

0 0 1 1,5 0 + 11,3 1

1 1 0 1,5 0 + 7,1 1

1 1 1 1,5 0 + 3,0 1


1,5 e τ = 20 fs.


1 2

Deslocamento


Fibra 2(fs)

SAÍDA

(LÓGICA OU)

Fibra 1 Fibra 2

fs20|E2||E1|||

EL1 EL2 1 2

0 0 0,6 0 - 17,6 0

0 0 1 0,6 0 + 6,4 1

1 1 0 0,6 0 + 10,8 1

1 1 1 0,6 0 + 2,8 1


0,6 e τ = 20 fs.

94


1 2

Deslocamento


Fibra 2(fs)

SAÍDA

(LÓGICA OU)

Fibra 1 Fibra 2

fs20|E2||E1|||

EL1 EL2 1 2

0 0 1,6 0 - 16,2 0

0 0 1 1,6 0 + 19,2 1

1 1 0 1,6 0 + 6,0 1

1 1 1 1,6 0 + 4,3 1


1,6 e τ = 20 fs.

4.7.CONCLUSÕES DO CAPÍTULO

Neste capítulo, foi feita a análise da performance do NLDC-PFC duplo simétrico

de duas entradas com pulsos sólitons fundamentais ultracurtos(100 fs), modulados nos

níveis lógicos 0 e 1, através da técnica de modulação por posição de pulso(PPM), sob

um ponto de vista de chaveamento de amplitude de pulsos. Consideraram-se, na análise,

os efeitos dispersivos GVD, e , assim como os efeitos de não linearidades SPM,

SS, IRS, com regime de propagação sem perda para os pulsos nas entrada das fibras 1 e

2. Analisaram-se as quatro situações possíveis para a porta lógica de duas entradas,

observando-se a posição temporal e o perfil dos pulsos de saída como função do

parâmetro de ajuste da modulação (|τ|) e do controle de fase(ΔФ).Inicialmente, foi feita a

primeira análise considerando-se apenas a variação do parâmetro de ajuste de

modulação, sem controle de fase, variando de 0 a 50 fs, e conclui-se que o NLDC-PCF

simétrico não poderia realizar as operações lógicas neste situação. Em seguida, foi feita

a segunda análise, fixando-se o parâmetro de ajuste de modulação e introduzindo-se a

diferença de fase )20( entre os pulsos de entrada, aplicando-a sempre no

pulso de entrada na Fibra 1. Nessa análise, foram observados diversos intervalos de

controle de fase para operação da porta lógica OR, fixando-se os parâmetros de ajuste

de modulação em τ = 20 fs num primeiro caso, e em τ = 30 fs , num outro, constando-

se que para o primeiro caso, os intervalos de operação das portas OR eram mais largos,

bem como as portas encontradas eram mais estáveis.

95

4.8.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] M. N. Islam (1992). “Ultrafast Fiber Switching Devices and Systems”. AT&T /

Cambridge University Press, New York.

[2] D. A. B. Miller (1990). “Device Requirement for Digital Optical Processing in

Digital Optical Computing”. Ed. R. A. Athale, Spie Critical Reviews Optical

Science and Technology, CR 35, páginas 68 – 76.

[3] Z. Porada e E. Schabowska-Osiowska (2003). “Mathematical model of

optoelectronic EX-OR logical gate”. In Materials Science and Engineering,

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98

5.CONCLUSÕES GERAIS

A contribuição deste trabalho foi analisarmos numericamente a performance do

NLDC-PFC duplo simétrico para a obtenção de portas lógicas E e OU, totalmente

ópticas, através da técnica de modulação por posição de pulso (PPM), utilizando-se

pulsos sólitons fundamentais ultracurtos de 100 fs, com parâmetro de ajuste de

modulação e controle de fase convenientes. Para a análise numérica, consideraram-se as

quatro combinações possíveis de dois bits na entrada de uma porta lógica de duas

entradas, ora variando-se o parâmetro de ajuste de modulação de 0 a 50 fs, sem controle

de fase, ora fixando-se o parâmetro de ajuste de modulação num determinado valor e

aplicando-se o controle de fase sempre no pulso de entrada da Fibra 1. No primeiro

caso, concluímos que o NLDC-PCF duplo simétrico não poderia realizar as operações

lógicas E e OU. No segundo caso, foram observados diversos intervalos de controle de

fase para operação da porta lógica OR, sendo que para a fixação do parâmetro de ajuste

de modulação em τ = 20 fs , os intervalos de operação das portas OR são mais largos,

bem como as portas encontradas mais estáveis.

99

6.PERSPECTIVAS FUTURAS

Pretendemos, num futuro próximo, integrando o grupo de óptica não-linear do

LOCEM(Laboratório de Telecomunicações e Ciências e Engenharia), darmos

continuidade a este trabalho, estudando, por exemplo:

- O acoplador duplo assimétrico com perfis de assimetria, tanto de dispersão como

de não-linearidade, sob codificação PPM, para a obtenção de portas lógicas;

- O acoplador duplo assimétrico com perfis de assimetria, tanto de dispersão como

de não-linearidade, sob codificação PAM, para obter portas lógicas;

- Os acopladores triplos com simetrias triangular e planar, sob codificação PPM

ou PAM, para a obtenção de portas lógicas;

- O acoplador duplo simétrico sob a ação de outros efeitos, tais como

FWM(Mistura de Quatro Ondas), XPM(Modulação de fase Cruzada), sob codificação

PPM ou PAM(Modulação por Amplitude de Pulso).

100

7.PUBLICAÇÕES RELACIONADAS AO TRABALHO

7.1.ARTIGOS COMPLETOS ACEITOS EM CONGRESSOS

INTERNACIONAIS

ACOPLADORES DE CRISTAIS FOTÔNICOS E APLICAÇÕES EM

TELECOMUNICAÇÕES. LOPES, M. V. P. ; SOUSA, C. M. ; FURTADO FILHO, A.

F. G. ; FERREIRA, A. C. ; SOMBRA, A. S. B. IN: 2ª CONFERÊNCIA DE FÍSICA

DA COMUNICADE DE PAÍSES DE LÍNGUA PORTUGUESA, 2012, RIO DE

JANEIRO .

7.2.ARTIGOS A SEREM SUBMETIDOS EM REVISTAS INTERNACIONAIS

NUMERICAL STUDY OF NONLINEAR SYMMETRIC DOUBLE COUPLER

FIBER PHOTONIC CRYSTALS PPM MODULATION UNDER. SOUSA, C. M.,

M. V. P. ; FURTADO FILHO, A. F. G. ; SOBRINHO, C.S.; SOMBRA, A. S. B.

101

ANEXOS

102

A.MÉTODOS NUMÉRICOS PARA A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO NÃO-

LINEAR DE SCHRÖDINGER

A.1.MÉTODO SPLIT STEP FOURIER

Soluções numéricas de propagação de pulsos em meios dispersivos e não-lineares

podem ser obtidas através do método split-step, em que parte do cálculo é efetuado com

auxílio da Transformada Rápida de Fourier FFT [A.1]. Os efeitos dispersivos são

calculados no domínio das frequências, por outro lado os efeitos não-lineares no

domínio temporal. Para obter o cálculo numérico exato, devemos multiplicar os

resultados obtidos nos dois domínios. A Equação de propagação de um campo ,A z T

em um meio dispersivo e não linear é [A.2]:

, ˆ ˆ ,

A z TD N A z T

z

(1)

em que D e N são operadores responsáveis pelos os efeitos de dispersão e não-

linearidade, respectivamente. No caso dos pulsos ópticos que se propagam submetidos

aos efeitos de perda, dispersão de segunda ordem e auto modulação de fase, para este

caso a Equação 1 é chamada de Equação não-linear de Schrödinger, em que os

operadores D e N são:

2

2 2ˆ

2 2

iD

T

(2)

2ˆ ,N i A z T (3)

Em geral os efeitos dispersivos e não-lineares atuam simultaneamente ao longo

da fibra. O método split-step obtém uma solução aproximada, admitindo que durante a

propagação de ,A z T para ,A z h T , em que h é o passo, os operadores atuam um

de cada vez. Assim essa propagação ocorre em duas etapas, na primeira analisamos

somente os efeitos não-lineares, e depois os efeitos dispersivos. Matematicamente,

podemos dizer que:

ˆ ˆ, exp exp ,A z h T hD hN A z T (4)

103

Os cálculos da exponencial êxp hD são feitos no espaço recíproco de Fourier,

usando a seguinte descrição:

1ˆ êxp , exp ,hD B z T F hD i F B z T

(5)

em que F é a transformada rápida de Fourier (FFT), D i é obtido a partir da Equação

2, substituindo o operador / T por i , em que é a frequência no domínio de

Fourier. O uso do FFT faz com que possamos calcular a Equação 5 rapidamente. Isso

faz com que o split-step seja um método duas vezes mais rápido do que o método de

diferenças finitas.

Para estimar a precisão do split-step, devemos observar que a solução exata é

dada pela Equação:

ˆ ˆ, exp ,A z h T h D N A z T

(6)

Considere N independente de z. Usando a identidade de Baker-Hausdorff e o fato de

que ˆ ˆh D N comuta com ˆ ˆh N D , obtemos então:

2

3

ˆ ˆ ˆ ˆ,2ˆ êxp exp exp

ˆ ˆ ˆ ˆ, , ...12

hh D N D N

hD hNh

D N D N

(7)

Supondo que h é muito pequeno, o que leva a 2hh . Podemos considerar

somente os termos de primeira ordem, desprezando os ternos de ordem mais alta:

ˆ ˆ, exp exp ,A z h T hD hN A z T (8)

Esta Equação é básica do split-step, em que primeiro atua o operador N , e logo

depois o operador D , independente um do outro. Pela a Equação 7 o erro é da ordem de

2h , que é a precisão do método, em que o operador erro é:

104

2

ˆ ˆˆ ,2

he D N

(9)

No espaço recíproco de Fourier o operador diferencial / T é substituído por

i , como pode ser visto diretamente da definição de transformada de Fourier:

, 1, exp

2

B z Ti B z i T d

T

(10)

No caso da propagação de pulsos ópticos o operador de dispersão se transforma

em:

2

2ˆ

2 2

iD i

(11)

Introduzindo as transformações no fator dispersivo da Equação 11 pode ser

expressa na seguinte forma:

1 ˆ ˆ, exp exp ,A z h T F hD F hN A z T (12)

em que F-1

é a transformada inversa de Fourier. A Equação (12) é a base para a estrutura

de um algoritmo computacional, em que inicialmente se aplica a não-linearidade, depois

se calcula a transformada de Fourier, em seguida se aplica a dispersão no espaço

recíproco e por último retornamos ao espaço temporal através da transformada inversa

de Fourier. O resultado desse procedimento é uma propagação do pulso para um dado

comprimento h.Note que utilizamos aqui somente o fator de dispersão de 2ª ordem e

SPM. Basta utilizar o mesmo cálculo para mostrar como é o comportamento dos fatores

de dispersão de 3ª ordem, dispersão de 4ª ordem, SS e RA para o método split-step.

A.2.MÉTODO DE RUNGE KUTTA

Os métodos de Runge (Carl D. T. Runge) e Kutta (Martin W. Kutta) [A.3] são

dos mais antigos já utilizados para solucionar equações diferenciais. Todas as fórmulas

do método são destinadas à resolução de

' ,y f x y (13)

ou seja, procuram exprimir 1iy em termos de

iy .

105

Os métodos de Runge-Kutta admitem como forma genérica a seguinte

expressão:

1

1

m

i i j j

j

y y a k

(14)

Sendo m a ordem do método, os temos ja constantes e os jk são produtos da

amplitude do passo, h, pela função ,f x y . O método de Range-Kutta pode ser

utilizado para obter soluções completas e precisas. O método de quarta ordem apresenta

precisão de 5

h . Este método pode ser usado para produzir soluções precisas de um

conjunto de equações diferenciais de primeira ordem. A forma da Equação de Runge-

Kutta de quarta ordem é dada pela expressão:

1

12

23

4 3

,

,2 2

,2 2

,

i i

i i

i i

i i

K hf x y

KhK hf x y

KhK hf x y

K hf x h y K

(15)

1 1 2 3 4

12 2

6i iy y K K K K (16)

Um ponto importante que devemos ressaltar quanto a este método de quarta

ordem, é que ele conduz à soluções bastante precisas, para um passo de amplitude

relativamente grande, apesar de se tratar de um método de passo único. Para a obtenção

das características de transmissão, chaveamento e solução das equações de modo

acoplado para os acopladores, utilizamos o método de Runge-Kutta de Quarta ordem.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Livros Técnicos e científicos S. A, volume 2, 2ª edição.

Documents

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA ... · Espalhamento Raman Intrapulso (RA) e Dispersão do coeficiente de acoplamento (DCA) sem o complexo i ... Fibra1 , em função