UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia

O Método dos Elementos Finitos Generalizado Aplicado à Análise de Vibrações Livres de Vigas de Euler-

Bernoulli

Aluno: Marcos Arndt

Orientador: Prof Dr Roberto Dalledone Machado

Co-Orientador : Prof Dr Adriano Scremin

1.1. INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO Avanços tecnológicos => estruturas leves e esbeltas.

Métodos numéricos:

- Método dos Elementos Finitos (MEF)

- Método Composto (MC)

- Método dos Elementos Finitos Generalizado (MEFG)

Real comportamento dinâmico das estruturas.

Solução exata somente para geometrias muito simples.

2. Método dos Elementos Finitos Generalizado (MEFG)

Combinação do MEF com o Método da Partição da Unidade (Melenk e Babuska, 1996).

Também conhecido como Método dos Elementos Finitos Estendido (MEFE).

Incorpora ao espaço solução aproximado características locais da equação diferencial previamente conhecidas.

Bases teóricas da partição da unidade:

Rn e {i} uma cobertura aberta de

{i} uma partição unitária tal que:

ii xx 0)( suporte i

sobre 1 i

i

CnRLi iGRLi Cn diâm

Espaço global V utilizado para aproximar u em :

1HVvvVV iii

iii

ii

3.3. MEFG APLICADO A PROBLEMAS DE MEFG APLICADO A PROBLEMAS DE VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGAS RETASVIBRAÇÃO LIVRE DE VIGAS RETAS

Equação governante da vibração:

Vibração livre de viga reta com seção uniforme:

),(2

2

2

2

2

2

txpt

uA

x

uEI

x

02

2

4

4

t

uA

x

uEI

3.1. Formulação Variacional

Encontrar (,u), com u H2(0,L) satisfazendo as

condições de contorno e RR, tal que

para todas as funções testes admissíveis ),0(2 LHv

),(),( vuFvuB

dxx

v

x

uIEvuB

L

2

2

02

2

,

vdxAuvuFL

0

,

3.2. Método dos Elementos Finitos GeneralizadoSolução aproximada do MEFG:

2

1 1

2

121

i

n

jijji

iiiiii

eh

l

auu

11

2

12 211

212 23

221 eL

222 eL

uMEF uENRIQUECIDO

Partição da

Unidade

g.l. nodais:

uMEF

iiu

MEFG MC:

g.l. campo:

uENRIQ.

)coshcoscoshcos

jjjj

jjjjj

senhsensenhsen

ija

MEFG MMA:

MEFG Trig.:

j

jj

j

j

e

eesen

e

ej

j

jj

j

jj

11

1

11

11cos

1

1cos1cos jjj

01coshcos rr

4.4. APLICAÇÕESAPLICAÇÕES

4.1. Viga uniforme engastada-livre

Solução exata:

,2,1r

01coshcos LL rr

4

2

EI

Arr

xsenxsenhxxaxu rrrrrr coscosh

LsenLsenh

LL

rr

rrr

coscosh

Resultados para o refinamento p:

1o autovalor

1,0E-17

1,0E-161,0E-15

1,0E-141,0E-13

1,0E-121,0E-11

1,0E-101,0E-09

1,0E-081,0E-07

1,0E-061,0E-05

1,0E-041,0E-03

1,0E-021,0E-01

1,0E+00

2 4 6 8 10 12 14 16

número total de graus de liberdade

erro

(%

) _

MEF h MC c MEFG Trig MEFG MC MEFG MMA MEF p

Resultados para o refinamento p:

6o autovalor

1,0E-08

1,0E-07

1,0E-06

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

1,0E-02

1,0E-01

1,0E+00

1,0E+01

1,0E+02

6 8 10 12 14 16

número total de graus de liberdade

erro

(%

) _

MEF h MC c MEFG Trig MEFG MC MEFG MMA MEF p

Dados comparativos do MEFG para viga engastada-livre :

4.2. Viga uniforme bi-rotulada

Solução exata: L

rr

Resultados para o refinamento p:

6o autovalor

1,0E-10

1,0E-09

1,0E-08

1,0E-07

1,0E-06

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

1,0E-02

1,0E-01

1,0E+00

1,0E+01

1,0E+02

6 8 10 12 14 16

número total de graus de liberdade

erro

(%

) _

MEF h MC c MEFG Trig MEFG MMA MEF p

4.3. Viga uniforme engastada-livre com massa concentrada na extremidade

0

coshcos

coshcos1coscosh

LL

LLALsenhLLLsenm

4.4. Viga engastada-rotulada composta por dois materiais diferentes

5.5. CONSIDERAÇÕES FINAISCONSIDERAÇÕES FINAIS

Resultados indicam potencial do MEFG.

Desenvolvidos elementos de barra e viga.

Desenvolvimento do MEFG adaptativo.

MEFG adaptativo tem apresentado rápida convergência e alta precisão.

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