UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOAINSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

Modelação Ambiental Aula #8

Balanço de MassaEstado estacionárioVolume de controlo

R Neves | M Mateus | G Riflet2009-2010

Como desenvolver um modelo de qualidade da águaPrimeiros passos

As duas questões mais frequentes que os modelos de qualidade da água tentam responder:

• “Quanto” irá variar o estado de uma massa de água (concentrações de poluentes, nutrientes, oxigénio, etc.)

• Quanto tempo será necessário para essa variação acontecer

-12 26 mol O 32gO/mol O2.67gO gC

6 mol C 12gC/mol Cocr

“Quanto” varia um sistemaExemplo

1. Calcular a massa de oxigénio consumida por massa de carbono decomposta (roc)

Quanto oxigénio é consumido na reacção de degradação de 40 gC m-3

2. Determinar a quantidade utilizando a razão calculada

-33 3

40 40 2.67 106.67gO moc

gC gC gOr

m m gC

Tempo necessário para esta mudança ocorrer?

Balanço de MassaCorpo de água bem misturado

Assumindo um corpo de água completamente misturado (Continuously Mixed Tank Reactor – CMTR) o balanço de massa para o sistema é dado por:

Acumulação = entrada – saída – reacções - sedimentação

• Este balanço é meramente descritivo

• Para ter valor preditivo cada termo tem de ser expresso como uma função de variáveis e parâmetros quantificáveis

Acumulação

1( )M

Acumulação MTt

Variação de massa (M) no sistema ao longo do tempo

Mc

VRelação entre Massa, concentração (ML-3) e Volume (L3):

M VcLogo:

Assim, Vc

Acumulaçãot

Acumulação

cAcumulação V

t

Assumindo um volume constante:

com 0 temos: dc

t Acumulação Vdt

0

0

0

dc

dtdc

dtdc

dt

Massa acumula (aumento da concentração no tempo)

Massa diminui (diminuição da concentração no tempo)

Equilíbrio

Entrada

• Fontes pontuais (emissários, ribeiras, tributários, etc.)

• Fontes difusas (escorrências de terra, entradas na interface ar-água, água-sedimento, etc.)

Para o estudo do balanço de massa passamos a considerar ambos os tipos de entradas no sistema ao assumir uma distribuição instantânea no volume de água

( )Entrada W t W(t): taxa de entrada de massa em função do tempo (MT-1)

( )inEntrada Qc t Q: caudal de entrada (somatório de todas as fontes no sistema (L3T-1)

cin(t): concentração média de entrada (ML-3)

Entrada

Pressupostos

1.Caudal constante

2.Variação temporal na entrada deve-se apenas a variação temporal da concentração

( )( )in

W tc t

Q

Relacionando a concentração média do caudal de entrada com a carga temos então:

Saída

Saída Qc

A massa sai do sistema através de um caudal de saída

c = cout (pressuposto de mistura completa)

Q = Qin = Qout (pressuposto de volume constante)

A taxa de transporte da massa pode ser quantificada por:

Reacções

reacção kMForma mais comum (1ª ordem):

k – coeficiente de primeira ordem (T-1)

Expressa em termos de concentração: reacção kVc

Sedimentação

sedimentação sA c

Fluxo de massa através de uma área de superfície na interface água-sedimento

O termo de sedimentação no balanço de massa é:

Dado que V = H As, podemos transformar este termo em algo semelhante a uma reacção de 1ª ordem:

ν – velocidade aparente de sedimentação (LT-1)As – Área da superfície dos sedimentos (L2)

sedimentação sk Vc

Em que a taxa constante de sedimentação (ordem 1) é (T-1): sk H

Balanço global

( ) - - - s

dcV W t Qc kVc A cdt

Balanço de massa para um sistema bem misturado

Acumulação = entrada – saída – reacções - sedimentação

Nomenclatura

Concentração, c : variável dependente

Tempo, t : variável independente

O modelo calcula a concentração em função do tempo

W(t)Função forçadora / forçamento: traduz o modo como o “mundo exterior” influencia (força) o sistema(ex: vento, radiação solar, temperatura atmosférica, etc.)

V, Q, k, As

Parâmetros (ou coeficientes): quando especificados permitem aplicar o modelo a casos (sistemas) particulares

Solução do Estado Estacionário

Se o sistema estiver sujeito a uma entrada constante W durante um intervalo de tempo suficiente, atingirá uma condição de equilíbrio dinâmico designada de Estado Estacionário.

Em termos matemáticos isto significa que a acumulação é zero (dc/dt = 0)

( ) - - - s

dcV W t Qc kVc A cdt

Partindo de obtemos s

WcQ kV A

Podemos reescrever como:1

c Wa

Em que o termo de assimilação é: sa Q kV A

• A solução de estado estacionário fornece uma primeira ilustração dos benefícios da aproximação mecanicista.

• Dá-nos uma formula que define o factor de assimilação em termos de variáveis quantificáveis que reflectem a física, biologia e química do sistema

Volume de controlo

• Método que consiste na divisão da massa de água em segmentos finitos ou volumes de controlo

• Permite resolver as equações do modelo ecológico/qualidade da água independentemente do esquema de transporte e geometria do sistema

1 2 ... i - 1 i i +1 ... n-1 n0 n+1

i i-1 i+1

Advecção

Difusão

Advecção

Difusão

Entrada

Reacção

Volume de controloEsquemas 1D

Vertical

Horizontal

Volume de controloEsquemas 2D

vertical / horizontal

transversal / longitudinal

Volume de controloEsquemas 3D

Volume de controlo

Radiação solar

Propriedades• temperatura• nutrientes• produtores• oxigénio• ....