Vibrações - Cap 2_2016-1

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Cap. 2 – Vibração Livre em

Sistemas 1 GDL

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2.1 Introdução

• Vibração Livre: oscila sobperturbação inicial. !: p"ndulo deum rel#$io

• 1 GDL: coordenada %!& ' su(cientepara especi(car a posição da massaa )ual)uer tempo.

• *ão +, dissipação de ener$ia:sistema não amortecido.

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2.1 Introdução

• Sistema massa-mola: mais simples possvel.

• V,rios sistemas pr,ticos podem serideali/ados como 1 GDL. !: oscilaç0es deum p"ndulo mecanismo came se$uidor

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2.1 Introdução

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2.1 Introdução

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2.1 Introdução

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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido

2.2.1 Equação do Movimento pela2ª Lei de Newton• 5rocedimento de obtenção da )uação:1. Selecionar uma coordenada para

descrever a posição da massa2. Determinar a con($uração de e)uilbrio

est,tico do sistema.6. 7a/er o Dia$rama de Corpo Livre da

massa.8. 4plicar a 29 Lei de *eton:

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29 Lei de *eton: ;4 ta!a de variaçãoda )uantidade de movimento linear 'i$ual < =orça )ue a$e sabre a massa oucorpo>

Se a massa ' constante:

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• 5ara movimento rotacional a 29 Leide *eton resulta:

• ' o momento resultante e esão o deslocamento an$ular

e aceleração an$ular resultantes.

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• 4plicando a e)uação %2.1& < massada ($ura 2.1:

ou:

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2.2.2 Equação do movimento por outrosmétodos

Princípio de !"lem#ert$

4s e)uaç0es de movimento podem ser reescritascomo:

%2.8a& e %2.8b& podem ser e)uaç0es de e)uilbriose e =orem tratados como uma =orça oumomento %de in'rcia&. ? e)uilbrio %2.8& 'con+ecido como e)uilbrio din@mico.

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4 aplicação desse princpio resulta nae)uação:

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Princípio dos deslocamentos virtuais

;Se um sistema )ue est, em e)uilbrio sobação de um conAunto de =orças =or

submetido a um deslocamento virtual entãoo trabal+o virtual total reali/ado pelas =orçasser, /ero.>

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• 3rabal+o virtual reali/ado pela =orça damola:

• 3rabal+o virtual reali/ado pela =orça dein'rcia:

•

Buando o trabal+o virtual total reali/adopor todas as =orças i$uala-se a /erotemos:

• Como δ! ' di=erente de /ero temos:

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• Princípio da %onservação de Ener&ia

• Sistema ' conservativo se nen+uma ener$ia =orperdida devido a atrito ou membros não el,sticos)ue dissipam ener$ia.

• Se nen+um trabal+o ' reali/ado sobre o sistemapor =orças e!ternas então a ener$ia total dosistema permanece constante.

• Sistema vibrat#rio: ner$ia potencial %&

Cin'tica%3&• 3 arma/enada na massa em virtude da velocidade• arma/enada na mola em virtude da de=ormação

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• 3 E Constante• ?u:

• Substituindo %2.F& e %2.& em %2.H&:

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2.2.' Equação do sistema massa(mola na vertical

• 5osição de e)uilbrio est,tico7orça da mola

E

7orça $ravitacional

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• Se a massa so=re uma dee!ão at'! a =orça da mola ':

• 4plicando a 29 Lei de *eton:

• Como k δ st = W obtemos:

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?bs: 4 e)uação 2.1J poderia ser obtidaatrav's do princpio de DK4lembert dosdeslocamentos virtuais ou conservação da

ener$ia. Supondo a conservação daener$ia 3 permanece i$ual mas deve serobtida considerando o peso da massa.• 7orça da mola em e)uilbrio est,tico ' m$• Se a mola so=re uma dee!ão a ener$ia

potencial ':

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• 4 ener$ia potencial l)uida emrelação < posição de e)uilbrioest,tico ':

E ener$ia potencial da mola mudança na ener$ia potencialresultante da mudança na elevação da

massa m E

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2.2.) *olução

• 4 solução da e)uação 2.6 pode serencontrada admitindo-se )ue:

• C e s constantes a determinar•

Substituindo %2.11& em %2.6&:

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• 4 solução $eral da e)uação %2.6& (ca:

• sando as identidades:

• 5ode-se reescrever %2.1& como:

• C1 e C2 ou 41 e 42 podem ser de(nidaspelas condiç0es iniciais do sistema.

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• speci(cando o valor dodeslocamento e da velocidade emtEJ temos:

• 4 solução da e)uação %2.6& suAeita

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2.2.+ Movimento ,arm-nico

• 4s e)uaç0es 2.1 2.1H e 2.1 são=unç0es +armMnicas.

• Novimento ' sim'trico em relação <posição de e)uilbrio da massa.

• 5osição de e)uilbrio: velocidade

m,!ima aceleração /ero• Deslocamentos e!tremos: velocidade

/ero aceleração m,!ima.

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• Sistema massa mola ' denominadooscilador harmônico.

• ωn E =re)u"ncia natural do sistema

• 4 e)uação %2.1H& pode serrepresentada usando

41 E 4 cos φ42 E 4 sen φ %2.1O&

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• A e φ podem ser e!pressas emtermos de A1 e A2 como:

•

%2.1O& em %2.1H&:

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• sando:

• 4 e)uação %2.1H& pode ser e!pressacomo:

?nde:

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• Pepresentação $r,(ca da oscilação+armMnica

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• Sendo um vetor de ma$nitude A)ue =a/ um @n$ulo ω n – φ com o ei!overtical (x), então a e)uação %2.21& 'a proAeção do vetor sobre o ei!o (x);

• A1 e A2 da e)uação %2.1H& são ascomponentes retan$ulares ao lon$ode dois ei!os orto$onais )ue =a/em@n$ulos φ e –( π /2 - φ ) em relação aovetor .

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• 4spectos do sistema massa-mola:1. Se o sistema est, na posição vertical a

=re)u"ncia natural circular ':

4 constante el,stica da mola k ':

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• Nas:

• ntão:

• 4 =re)u"ncia natural em ciclos porse$undo e o perodo natural são:

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2. 4 velocidade e a aceleração são:

6. Se o deslocamento inicial !J E /eroentão:

Se a velocidade E /ero então:

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8. 4 resposta do sistema com um $rau deliberdade pode ser representada no planodeslocamento-velocidade: espaço de estado

ou plano de =ase.Considerando o deslocamento: ountão:

?u:

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• levando %2.68& e %2.6& ao)uadrado:

ou%2.6H&

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• !emplo 2.1

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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido

• Vibração por torção: Corpo r$idooscila em relação a um ei!o dere=er"ncia espec(co.

• Deslocamento: medido emcoordenada an$ular.

• Nomento restaurador pode ser

resultante da torção de umcomponente el,stico ou de ummomento desbalanceado de uma

=orça ou conAu$ado.

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• QJ E momento de in'rcia de massapolar.

• θ E rotação an$ular ou @n$ulo detorção.

• 5ela teoria da torção de ei!oscirculares:

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2.'.1 Equação de movimento

• Considerando a ($ura e a 29 Lei de*eton temos:

• 4 =re)u"ncia natural circular ':

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• 5erodo em se$undos e =re)u"nciade vibração em ciclos por se$undo:

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• ?bservaç0es:1. Se a seção transversal do ei!o não 'circular deve-se usar uma constante

el,stica torcional apropriada.2. Nomento de in'rcia polar de massa deum disco:

6. 4 mola de torção-in'rcia mostrada 'denominada !nd"lo de tor#$o.

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2.6.2 Solução

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• !emplo 2.H:7re)u"ncia naturalde p"ndulo

composto

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!emplo 2.H- Bual)uer corpo r$ido articulado emum ponto )ue não seAa seu centro demassa oscilar, em relação ao ponto dearticulação sob sua pr#pria =orça$ravitacional. 3al sistema ' con+ecido

como p"ndulo composto.

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!emplo 2.H: Solução? corpo r$ido oscila no plano x% 4 coordenada θ pode ser usada para

descrever seu movimentoDist@ncia ?G E dNomento de in'rcia de massa em

relação ao ei!o & : '

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• !emplo 2.H: Solução5ara um deslocamento θ o tor)uerestaurador ' %Wd sen θ & e a e)uaçãodo movimento ':

Considerando pe)uenosdeslocamentos %senθ 'apro!imadamente θ e cosθ 'apro!imadamente 1& a e)uação do

movimento (ca:

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• 4 =re)u"ncia natural do p"ndulocomposto ':

• Considerando a =re)u"ncia natural dop"ndulo simples: ω n = (/l)1/2 'possvel determinar o comprimentodo p"ndulo simples e)uivalente:

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• Se ' =or substitudo por mk 2 onde k ' o raio de $iração do corpo emrelação a *:

• Considerando o raio de $iração aoredor de +:

ã

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• 4 e)uação %.H& (ca:

• Se a lin+a *+ =or estendida at' oponto A de modo )ue:

ib ã i d i

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• 4 e)uação %.& (ca:

• 5ela e)uação %.& ω n ' dada por:

• ssa e)uação mostra )ue )uer o corpo

seAa articulado em relação a * ou a A sua=re)u"ncia natural ' a mesma. ? ponto 4' denominado centro de erc"ss$o.

2 6 ib ã i d Si

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• %entro de percussão - aplicaç0es pr,ticas:Nartelo: centro de percussão na cabeça e

centro de rotação no cabo: impacto não

causa reação no cabo 3aco de beisebol: se a bola bater no centrode percussão e o centro de rotação estivernas mãos o Ao$ador não sente reação

perpendicular. Se a bola bater perto dasmãos o Ao$ador sente dor nas mãos

2 6 Vib ã Li d Si

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nsaio de materiais I/od: ade=ormação e o encurvamento dop"ndulo são minimi/ados se o centro

de percussão estiver locali/ado pertoda borda de impacto

Podas de um autom#vel dianteiras e

traseiras são o centro de percussão eoscilação os passa$eiros não sentema reação de um impacto.

2 6 Vib ã Li d Si t

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2 8 Condiç0es de

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2.8 Condiç0es destabilidade

2 8 Condiç0es de

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• 7orça da mola em cada mola Ekl.senθ

• 7orça total da mola E 2kl.senθ • 7orça da $ravidade: W E m• Nomento em relação < * devido < :

• )uação de movimento da barra:

•

2 8 Condiç0es de

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• 5ara pe)uenas oscilaç0es:

• :• 4 solução da e)uação acima

depende do sinal de (12kl2 –Wl)/2ml2

•

2 8 Condiç0es de

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• %aso 1$ (12kl2 – Wl)/2ml2

?scilaç0es est,veis

?nde 41 e 42 são constantes

•

2 8 Condiç0es de

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• %aso 2$ (12kl2 – Wl)/2ml2 =

5ara as condiç0es iniciais e :

• Deslocamento an$ular varia linearmente a

uma velocidade constante .Se E J ocorre e)uilbrio est,tico e o p"ndulopermanece em sua posição ori$inal.

•

2 8 Condiç0es de

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• %aso '$ (12kl2 – Wl)/2ml2

De(nimos e a solução (ca:

?nde 1 e 2 são constantes.

Considerando condiç0es iniciais:

• θ (t) aumenta e!ponencialmente com otempo %movimento inst,vel&.

•

2 8 Condiç0es de

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• a/ão 0ísica para insta#ilidade$

Nomento restaurador da mola %2kl2θ &)ue tenta tra/er o sistema para a

posição de e)uilbrio ' menor )ue omomento do peso -W(l/2 )θ T )ue tentaa=astar a massa da posição de

e)uilbrio.

2 N'todo de ner$ia de

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2. N'todo de ner$ia dePaUlei$+

• N'todo da ner$ia para determinar as=re)u"ncias naturais dos sistemas com 1GDL.

• 5rincpio da conservação da ner$ia:0 1 1 = 0 2 2

1 e 2 denotam instantes de tempo.Se em 1 a massa passa por sua posição de

e)uilbrio est,tico então 1 E J.Se em 2 a massa est, no deslocamentom,!imo então 0 2 E J

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2 N'todo de ner$ia de

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2. N'todo de ner$ia dePaUlei$+

• !emplo 2.O

2 H Vibração Livre com

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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso

2..1 Equação do movimento

• 4 =orça de amortecimento viscoso 'proporcional < velocidade:

• c ' a constante de amortecimento• ? sinal ne$ativo indica )ue a =orça '

no sentido contr,rio da velocidade.


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• 4plicando a 29 Lei de *eton:


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2..2 *olução

• Supondo um solução:

C e s são constantes indeterminadas• %2.HJ& em %2.O&:


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• 4s ra/es são:

• ssas ra/es dão duas soluç0es para a e)uação

%2.O&:

• 4 solução $eral (ca:

• C1 e C2 são constantes arbitr,rias a seremdeterminadas.


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%onstante de amortecimentocrítico e o 0ator de amortecimento

• ? amortecimento crtico ' a)uele

para o )ual:

?u:


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• ? =ator de amortecimento ' a ra/ãoentre o amortecimento e o cc:

• De %2.HH& e %2.H&:

•

:• 4 solução (ca:


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• ? comportamento da e)uação %2.HO&depende da ma$nitude doamortecimento:

%aso 1$ *istema su#(amortecido J3


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• 4 solução (ca:


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• ?nde %C14,C24 & % 5,φ & e % 5 ,φ &dependem das condiç0es iniciais.


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• Supondo: e então:

• :


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• 4s constantes % 5,φ & e % 5 ,φ & podemser e!pressas como:


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• ? movimento descrito por %2.F2& 'um movimento +armMnicoamortecido de =re)u"ncia an$ular

• 5or causa do =ator a

amplitude diminui e!ponencialmente

com o tempo• 6re7"!ncia de 8i9ra#$o amortecida:


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• ? caso sub-amortecido ' o maisimportante pois ' o Wnico )ue resulta emmovimento oscilat#rio.


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%aso 2$ *istema criticamenteamortecido

• 4s ra/es s1 e s2 são i$uais:

• 4 solução de %2.O& (ca:


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4plicando as condiç0es iniciaise

:

a solução torna-se:

? movimento ' aperi#dico.


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2.H Vibração Livre com

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%aso '$ *istema superamortecido

4s ra/es são reais e distintas coms2 s1:

4 solução (ca:


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• 5ara as condiç0es iniciais e as constantes (cam:

? movimento ' aperi#dico e diminuie!ponencialmente com o tempo.


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• 4spectos desses sistemas:1. 4 nature/a das ra/es s1 e s2 com a

variação do amortecimento c ou ζ

pode ser mostrada em um planocomple!o:

-. Se ζ E J as ra/es são ima$in,rias-. Se J ζ 1 as ra/es são

conAu$adas comple!as-. Se ζ X 1 as ra/es são reais.

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2. m sistema criticamenteamortecido tem o menoramortecimento re)uerido para

movimento aperi#dico: a massaretorna < posição de repouso no menortempo possvel. tili/ado em armas de

=o$o.6. 4 resposta livre de um sistema com1 GDL pode ser representada em plano

de =ase ou espaço de estado


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çamortecimento viscoso

2..' ecremento lo&arítmico• Pepresenta a ta!a de redução da

amplitude de uma vibração livre

amortecida• Y de(nido como o lo$aritmo natural

da ra/ão entre duas amplitudes

sucessivas. Supondo um sistemasub-amortecido da e)uação 2.FJ:


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• Nas onde' o perodo de vibração amortecida.ntão:

• 4 e)uação %2.6& (ca:

• ? decremento lo$artmico pode serobtido de %2.8&:


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• 5ara amortecimento pe)ueno:

• ? decremento lo$artmico

adimensional e ' outra =orma do=ator de amortecimentoadimensional ζ.

• Pelacionando δ com ζ veri(ca-se )ueas curvas para ζ at' , são di=ceisde distin$uir:


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• ma ve/ con+ecido δ ζ pode serdeterminado resolvendo %2.&:

• sando %2.H&:

• Se δ não =or con+ecido e possvel obt"-lomedindo dois deslocamentos consecutivos.


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• Y possvel obter ζ e!perimentalmente tamb'm. Se !m e!m1 são duas amplitudes

correspondentes aos tempos tm e tm1E t1 mτd obtemos:

• Nas para dois ciclos consecutivos:


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• 4 e)uação %2.O& torna-se:

• De %2.O1& e %2.&:

Bue pode ser substitudo na e)uação%2.F& ou %2.& para obter ζ .


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2..) Ener&ia dissipada emamortecimento viscoso

• 4 ta!a de variação de ener$ia ':

? sinal ne$ativo denota dissipação de

ener$ia


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• Supondo um movimento +armMnico simples:

4 ener$ia dissipada em um ciclo ':

4 ener$ia de dissipação ' proporcional ao

)uadrado da amplitude4 ener$ia de dissipação não ' constante pois

' =unção de ωd.


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amortecimento viscoso

• 4 e)uação ' v,lidamesmo )uando +,uma mola emparalelo.


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• Considerando uma mola de ri$ide/ Z:

• Como o movimento ' +armMnico

simples:

• 4 e)uação %2.O& (ca:


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4 ener$ia dissipada em um ciclo ':

• sse resultado ' esperado pois a =orça demola não reali/a trabal+o durante umciclo completo


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• 5ode-se calcular a =ração da ener$ia)ue ' dissipada em um ciclo:

4 ener$ia total do sistema [ pode

ser e!pressa como a m,!ima ener$iapotencial

ou a m,!ima ener$ia cin'tica

.4s duas serão apro!imadamente

i$uais para pe)uenos

amortecimentos 4ssim:


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• 4 )uantidade ∆[\[ ' denominada7"antidade de amortecimentoesec:co e ' Wtil para comparar

materiais de en$en+aria.• ?utra )uantidade )ue pode ser

usada para essa comparação ' o

coeciente de erda:


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amortecimento viscoso2..+ *istemas torcionais com amortecimentoviscoso

• ?s m'todos apresentadospodem ser estendidos parasistemas torcionais comamortecimento viscoso

• Considerando a ($ura aolado o tor)ue de

amortecimento viscoso ':


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• 4 e)uação do movimento (ca:

• ?nde ' ' o momento de in'rcia de

massa do disco k t ' a constanteel,stica do sistema e θ ' odeslocamento an$ular do disco.

• 4 solução da e)uação %2.1J2& 'an,lo$a < solução para sistemas comcoordenadas lineares.


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• 5ara um sistema sub-amortecido:

?nde:

:

ct ' a constante torcional deamortecimento.


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• !emplo 2.1JW 9 E JJJ *

k 9ase E ! 1JH

c9ase E 1JJJJ *s\m

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• Soluçãotili/a-se o princpio da conservação da

)uantidade de movimento e a de(nição decoe(ciente de restituição para determinar avelocidade inicial da bi$orna

Considerando:8 t1 e 8 t2 E velocidades do pilão

imediatamente antes e imediatamentedepois do impacto8 a1 e 8 a2 E velocidades da bi$orna antes edepois do impacto.


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• 5elo princpio da conservação da)uantidade de movimento:

8 a1 E J %bi$orna em repouso antes doimpacto&5ara determinar 8 t1, 0 1 = 1:


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%.1& (ca:

Coe(ciente de restituição %r&:


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• 4 solução de %.6& e %.& d,:

4ssim as condiç0es iniciais da bi$orna

(cam:

7ator de amortecimento:

2.H Vibração Livre comi i

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• 7re)u"ncias naturais amortecida enão amortecida:

• 4 resposta da bi$orna da e)uação

%2.F2& (ca:

2.H Vibração Livre comi i

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• !emplo 2.11

2.F Vibração livre comi d C l b

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amortecimento de Coulomb

• m muitos sistemas mec@nicos sãousados amortecedores Co"lom9 oude atrito seco

sse amortecimento pode aparecerem sistemas )uando doiscomponentes desli/am em uma

estrutura vibrat#ria*esse tipo de amortecimento a =orça

re)uerida para produ/ir desli/amento

' proporcional < =orça normal

2.F Vibração livre comt i t d C l b

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• 4 =orça de atrito ' dada por:%2.1JH&

' a =orça normal e µ ' o coe(ciente

de atrito? valor de µ depende dos materiais

em contato e da condição das

super=cies.


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Netal sobre metal %com lubri(cação&: µ E J1Netal sobre metal %sem lubri(cação&:

µ E J6^orrac+a sobre metal: µ E 1J• ? amortecimento Coulomb

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2.4.1 Equação do movimento


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• ? sentido da =orça de atrito variacom o sentido da velocidade. 4ssim' necess,rio considerar dois casos:

%aso 1: dx/dt ' positiva % x positivo oune$ativo&:4 massa se movimenta da es)uerda

para a direita.Da 29 Lei de *eton:

%2.1JF&


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• Sendo:%2.1J&

• 4 solução pode ser obtida

substituindo %2.1J& em %2.1JF&• ?nde ω n ' a =re)u"ncia natural A1 e A2 são constantes )ue dependem das

condiç0es iniciais.


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%aso 2: dx/dt ' ne$ativa % x positivo oune$ativo&:4 massa se movimenta da direita para a

es)uerda.Da ($ura a e)uação do movimento (ca:

%2.1JO&4 solução ' dada por:

%2.11J&• ?nde 46 e 48 dependem das condiç0es

iniciais.


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• ? termo µ /k, )ue aparece em%2.1J& e %2.11J& ' uma constante)ue representa o deslocamento

virtual da mola sob a =orça µ , se ela=osse submetida a uma =orçaest,tica;

•

ssas e)uaç0es indicam )ue omovimento ' +armMnico a cada meiociclo e a posição muda de µ /k para–% µ /k & a cada meio ciclo.

2.F Vibração livre comamortecimento de Coulomb

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2.4.2 *olução4s e)uaç0es %2.1JF& e %2.1JO& podem sere!pressas como uma Wnica e)uação % =m&:

%2.111&?nde sn(%) ' a =unção si$num cuAo valor ': 1 para % X J

-1 para % J J para % E J.


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*ão e!iste solução analtica simplespara a e)uação %2.111&. sta pode serresolvida por m'todos num'ricos. Nas

ela pode ser resolvida analiticamentese dividir o ei!o dos tempos emse$mentos separados por %intervalosde tempo com direç0es de movimentodi=erentes&.

•


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• Considerando as condiç0es iniciais:

%2.112&

Como x = x em t = o movimentocomeça da direita para a es)uerda

x , x 1, x 2... são as amplitudes demeios-ciclos sucessivos


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De %2.11J& e %2.112&:

%2.11J& torna-se:

%2.116&

• ssa e)uação s# ' v,lida para meiociclo onde:


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• Buando a massa est, <es)uerda e seu deslocamento emrelação ao e)uilbrio ':

• ? movimento começou com

deslocamento x = x e em meiociclo ! tornou-se: - x – %2 µ /k)>então a redução da ma$nitude de !

no tem o π/ω ' 2 /k


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• *o se$undo meio ciclo a massa semovimenta da es)uerda para adireita portanto deve-se usar a

e)uação %2.1J&• 4s condiç0es iniciais desse meio

ciclo são:

x(t = ) E valor de x em t = π/ω n nae)uação %2.116& E

•


8/18/2019 Vibrações - Cap 2_2016-1

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• 4s constantes de %2.1J& (cam:

• 4 e)uação %2.1J& (ca:

%2.118&ssa e)uação ' v,lida somente para ose$undo meio ciclo isto ' para

.


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*o (nal desse meio ciclo o valor de !': na e)uação %2.116& E

: na e)uação %2.118& E J.stas se tornam as condiç0es iniciaispara o terceiro meio ciclo e o

procedimento pode continuar at' omovimento parar.

•


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• ? movimento para )uando visto )ue a =orça de mola ' menor

)ue a =orça de atrito µ . ? nWmero

de meios ciclos %r& at' o movimentocessar ':

%2.11&


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• Caractersticas de um sistema comamortecimento Coulomb:

4 e)uação do movimento ' não linear

4 =re)u"ncia natural do sistemapermanece inalterada com a inclusãodesse amortecimento

? movimento ' peri#dico? sistema entra em repouso ap#s al$um

tempo


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4 amplitude ' redu/ida linearmentem cada ciclo a amplitude ' redu/ida

de 8µ*\Z de modo )ue as amplitudes

no (nal de )uais)uer dois meio-ciclospodem ser relacionadas por:%2.11&

Como a amplitude ' redu/ida de 8µ*\Zem um ciclo a inclinação das retastraceAadas da ($ura 2.68 ':


8/18/2019 Vibrações - Cap 2_2016-1

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2.4.' *istemas torcionais comamortecimento %oulom#

• 4s e)uaç0es para um sistema

an$ular são semel+antes

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4s soluç0es de %2.11F& e %2.11& sãoan,lo$as

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? movimento cessa )uando:

%2.121&


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!emplo 2.16: Coe(ciente de atrito emrelação a posiç0es medidas de massa^loco de metal sobre super=cie

irre$ular li$ado a uma mola x E 1J cm

ciclos de oscilação %em 2

se$undos&!= E 1 cm.

Determine o coe(ciente de atrito.

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2. Vibração Livre comamortecimento por +isterese

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amortecimento por +isterese


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• 7orça necess,ria para causar umdeslocamento !%t&:

%2.122&

5ara movimento +armMnico de=re)u"ncia ω e amplitude 5 :

%6.126&


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De %2.122& e %2.126&:

%2.128&

*o $r,(co 6 por x a e)uação %2.128&

representa um laço =ec+ado %($ura bmostrada&.


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4 ,rea do laço representa a ener$iadissipada em um ciclo e ' dada por:

%2.12&

? amortecimento causado pelo atritoentre dois planos internos )ue sedesli/am < medida )ue um material sede=orma ' denominado amortecimentopor +isterese %ou s#lido ou estrutural&.


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• sse amortecimento =era um laço de+isterese )ue =orma a curva tensão-de=ormação

• 4 perda de ener$ia em um ciclo 'i$ual < ,rea do $r,(co.• 5ode-se então de(nir uma constante

de amortecimento por +isterese.


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• 4 similaridade entre as duas Wltimas($uras mostradas pode ser usadapara a de(nição da constante de

amortecimento por +isterese.• Constatou-se e!perimentalmente )ue

a perda de ener$ia por cicloindepende da =re)u"ncia e 'proporcional ao )uadrado daamplitude.


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• 5ara esse comportamento ocoe(ciente de amortecimento 'inversamente proporcional <

=re)u"ncia: %2.12H&?nde: h E constante de

amortecimento por +istereseDe %2.12& e %2.12H&:%2.12F&


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• Pi$ide/ comple!a:Considerando a mola e o amortecedorli$ados em paralelo %($ura& para

movimento +armMnico $eral x = 5eiω t a =orça ' dada por:%2.12&

De maneira semel+ante para umamortecedor por +isterese li$ado emparalelo a relação =orça-deslocamento

(ca


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?nde:%2.16J&

' denominada ri$ide/ comple!a do

sistema e β = h/k ' uma constante )ueindica uma medida adimensional deamortecimento.


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• Pesposta do sistemam termos de β a perda de ener$iapor ciclo ':

%2.161&? movimento pode ser consideradoapro!imadamente +armMnico %∆W

pe)ueno& e a diminuição na amplitudepor ciclo pode ser determinada pore)uilbrio de ener$ia.


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p


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152/161

p

• Considerando as ener$ias nos pontos? e @ %separados por meio ciclo&:

%6.162&


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153/161

p

• *os pontos @ e :%2.166&

Nultiplicando %2.162& por %2.166&:

%2.168&


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p

? decremento lo$artmico por+isterese ' de(nido como:

%2.16&

Como o movimento ' consideradoapro!imadamente +armMnico:

%2.16H&


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p

7ator de amortecimento e)uivalente:

%2.16F&

4 constante de amortecimento

e)uivalente (ca:%2.16&


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p

• ?bserve )ue o m'todo paradeterminar um coe(ciente deamortecimento e)uivalente s# '

valido para e!citação +armMnica.


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p

• !emplo 2.1: estimativa deconstante de amortecimento por+isterese

Nediç0es e!perimentais resultamnos dados mostrados na ($ura4 partir desses dados estime β e o

decremento lo$artmico δ .


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p


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p

• Solução:I$uala-se a ener$ia dissipada em um ciclo

%,rea do laço de +isterese& a ∆W dae)uação %2.12F&.

Cada )uadrado da ($ura e)uivale a: 1JJ !2 *.mm

_rea total E 4C^ 4^D D7 E` %4^&

%CG& %4^&%4& %D&%7& E %12&%1& %12&%& %12&%1& E 122)uadrados


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p

• ssa ,rea representa: 122 !2JJ\1JJJ E 2 *.m. De %2.12F&:

5 max E JJJmInclinação da curva =orça dee!ão%pela reta ?7&:

k E 8JJ\ E J *\mmntão:


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• :

• 4ssim:

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