Vibrações e Dinâmica das MáquinasAula – Vibração livre com amortecimento viscoso-1GL

Professor: Gustavo Si lva

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1. Força de amortecimento e equação de movimento

Como foi dito na aula de equações de movimento, a força do amortecimento é proporcional a velocidade:

c [Ns/m] - constante de amortecimento

O sistema ao lado possui amortecimento viscoso, assim a equação de movimento do sistema é dada por:

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𝐹 = −𝑐 𝑥

m

x

K

CF

𝑚 𝑥 + c 𝑥 + 𝑘𝑥 = F

1. SoluçãoComo já vimos, o coeficiente de amortecimento crítico e a razão de amortecimento são dados por:•Coeficiente de amortecimento crítico:

•Razão de amortecimento:

•Desta forma, as raízes S1 e S2 podem ser escritas da forma:

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m

x

K

CF

𝑐𝑐𝑟2𝑚

2

−𝑘

𝑚= 0 → 𝑐𝑐𝑟 = 2 𝑘𝑚 = 2𝑚ω𝑛

ζ =𝑐

𝑐𝑐𝑟=

𝑐

2𝑚ω𝑛

𝑆1,2 = −ζω𝑛 ±ω𝑛 ζ2 − 1

1. Solução•Frequência natural amortecida:

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m

x

K

CF

ω𝑑 = ω𝑛 1 − ζ2𝑆1,2 = −ζω𝑛 ± 𝑗ω𝑛 1 − ζ2

2. RaízesO comportamento vibratório do sistema depende da magnitude do amortecimento

Análise de 𝜁: -𝜁 = 0 → 𝑆1,2 = ±𝑗ω𝑛 Sistema conservativo

-0 < 𝜁 < 1 → 𝑆1,2 = −ζω𝑛 ± 𝑗ω𝑛 1 − ζ2 Sistema sub-amortecido

-𝜁 = 1 → 𝑆1,2 = −𝜁ω𝑛 Sistema criticamente amortecido

-𝜁 > 1 → 𝑆1,2 = −ζω𝑛 ±ω𝑛 ζ2 − 1 Sistema superamortecido

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2. Raízes- Sistema sub-amortecido (0 < 𝜁 < 1)

Neste caso temos duas raízes complexas (𝑆1,2= −𝜁𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑛 1 − 𝜁2) onde a parte imaginária é responsável pela oscilação do sistema, já a parte real é responsável pela dissipação de energia.

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𝑥(𝑡) = 𝑒−ζ𝜔𝑛𝑡(𝐶1′ cosω𝑑𝑡 + 𝐶2′sinω𝑑𝑡)

𝐶1′ = 𝑥0

𝑥(𝑡) = 𝑋𝑒−ζ𝜔𝑛𝑡 sin(ω𝑑𝑡 + 𝜑)

𝐶2′ = 𝑥0 + ζ𝜔𝑛𝑥0

𝜔𝑑

𝑋 =( 𝑥0+ζ𝜔𝑛𝑥0)² + (𝑥𝑜𝜔𝑑)²

𝜔𝑑²𝜑 = tan−1

𝑥𝑜𝜔𝑑

𝑥0 + ζ𝜔𝑛𝑥0

2. Raízes- Sistema criticamente amortecido (𝜁 = 1)

Neste caso temos duas raízes real iguais (𝑆1,2 = −𝜁ω𝑛), sendo assim o sistema não oscila, pois não possui parte imaginária. Neste caso a massa retorna a sua posição de repouso com o menor tempo possível. Assim o amortecimento crítico é muito utilizado por exemplo em armas de fogo de tiro sequencial, desta forma a arma volta a sua posição original em um tempo mínimo, sem vibrar.

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𝑥(𝑡) = 𝑒−𝜔𝑛𝑡(𝐶1 + 𝐶2𝑡)

𝐶2 = 𝑥0 + 𝜔𝑛𝑥0

𝐶1 = 𝑥0O tempo na qual x(t) atinge um valor máximo é

obtida por: 𝑡 =1

𝜔𝑛−

𝐶1

𝐶2

2. Raízes- Sistema superamortecido (1 < 𝜁)

Neste caso temos duas raízes real (𝑆1,2 = −ζω𝑛 ±ω𝑛 ζ2 − 1), sendo assim o sistema novamente não oscila, pois não possui parte imaginária.

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𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒(−ζ+ ζ2−1)𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2𝑒

(−ζ− ζ2−1)𝜔𝑛𝑡)

𝐶1 =𝑥0 ∙ 𝜔𝑛 ζ + 𝜁2 − 1 + 𝑥0

2 ∙ 𝜔𝑛 𝜁2 − 1

𝐶2 =−𝑥0 ∙ 𝜔𝑛 ζ − 𝜁2 − 1 − 𝑥0

2 ∙ 𝜔𝑛 𝜁2 − 1

3. Vibração livre de sistemas de 1 GL

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4. Decremento logarítmicoO decremento logarítmico representa a taxa de redução da amplitude de vibração de um sistema vibratório amortecido.

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𝛿 = ln𝑥1𝑥2

=2𝜋ζ

1 − ζ2

5. Exercicio

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[1]

5. Exercicio

12

[1]

Bibliografia•RAO, S. S. Vibrações Mecânicas. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 4 ed., 2009.

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