CAPÍTULO 3:FLEXÃO

Prof. Romel Dias Vanderlei

Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil

Curso de Engenharia Civil

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

3.1 Revisão de Esforços Internos

� Método das Seção:

Pro

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3.1 Revisão de Esforços Internos

� As resultantes FR e MRo reduzidas ao C.G. da seção àdireita, deve ter mesmo módulo e sentidos opostos das resultantes reduzidas ao C.G. da seção à esquerda.

� Decompondo os vetores FR e MRo nas direções normal e paralela à seção, obtem-se:

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3.1 Revisão de Esforços Internos

� Componentes de FR:

x

FR

N

V Cortante Esforço V

Normal Esforço

→

→r

rN

y

V

z

Vz

Vy

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3.1 Revisão de Esforços Internos

� Componentes de FR:

Torçor Momento

Fletor Momento

→

→

T

Mr

r

y

M

z

Mz

My

x

MRo

T

M

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� Convenção de Sinais:

N:

V:

M:

T:

3.1 Revisão de Esforços Internos

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3.1.1 Relação entre Carga, Força Cortante e Momento Fletor

(III) )( :

(II) 0

(I) )(0

2

2

0

xpdx

Md

dx

dV

dx

dM

dx

dFazendo

Vdx

dMM

xpdx

dVF

xxx

xx

xy

−=→=

=→=

−=→=

∑

∑

p(x)

Mx + (dMx/dx)dx

Vx + (dVx/dx)dx

Mx

Vx

O

dxx

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� Exercício 1:

3.1.2 Estruturas Planas Carregadas no Próprio Plano

6m

3kN/m

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� Exercício 2:

3.1.2 Estruturas Planas Carregadas no Próprio Plano

6m

6kN/m

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� Exercício 3:

3.1.2 Estruturas Planas Carregadas no Próprio Plano

2,5m

2kN/m5kN 10kN 15kN

1,5m 1m 2m

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� Exercício 4:

3.1.2 Estruturas Planas Carregadas no Próprio Plano

5m

10kN/m40kN

80kN.m

3m

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� Exercício 5:

3.1.2 Estruturas Planas Carregadas no Próprio Plano

40kN

4m

5kN/m

4m

10kN.m

4m

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3.2 Tipos de Flexão

� Os tipos de flexão podem ser estabelecidos em função dos esforços solicitantes existentes:� Flexão Pura : na seção transversal da barra age somente

o momento fletor.� Flexão Simples: agem o momento fletor e a força

cortante.� Flexão Composta: agem o momento fletor, a força

cortante e a força normal.

� Para evitar torção, a resultante do carregamento transversal deve estar contida no plano de simetria da seção transversal.

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3.3 Flexão Pura

� Considere a viga AB mostrada, com um eixo vertical de simetria, cujo trecho CD encontra-se sobre flexão pura.

P P

AC D B

A C D B

DV

DM

Flexão Simples

Compressão

Tração

Cisalhamento

Flexão Simples

Trecho AC

Flexão Pura

Compressão

Tração

Flexão Pura

Trecho CD

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3.3 Flexão Pura

� Hipóteses básicas para flexão pura:a) Material homogêneo, isotrópico e elástico-linear;b) Carregamento contido num plano vertical de simetria;c) As seções planas, orientadas perpendicularmente ao

eixo, permanecem planas mesmo depois da flexão (Hipótese de Bernoulli-Navier).

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3.3.1 Linha Neutra

� Analisando o trecho CD da viga mostrada:

C D

C D

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3.3.1 Linha Neutra

� As linhas mn e pq giram e permanecem perpendiculares as fibras longitudinais (Hipótese de Bernoulli-Navier).

� Sob a ação do momento M, as fibras da parte superior da viga estão sob compressão (diminuem de comprimento) e as fibras da parte inferior estão sob tração (aumentam de comprimento).

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3.3.1 Linha Neutra

� Em algum ponto entre as partes superior e inferior da viga, as fibras longitudinais estão sob tensão nula, não sofrendo variação de comprimento.

� Essa superfície é denominada superfície neutra e a interseção com o plano da seção transversal forma a LINHA NEUTRA da seção.

(σσσσ = 0 e εεεε = 0)LN

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3.3.2 Deformação Longitudinal

� Analisando as deformações entre duas seções distantes dx:

ρ : raio do arco cd na LN;L : comprimento do arco cd

da barra indeformada, onde L = ρρρρ.dθθθθ

c d

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3.3.2 Deformação Longitudinal

� O comprimento do arco efdistante “y” acima da LN pode ser dado por: L` = (ρρρρ - y).dθθθθ

� O comprimento original do arco ef era igual ao do arco cd, antes da deformação.

� Logo:c d

θδθρθρδ

δ

dy

ddy

LL

⋅−=⋅−⋅−=

−′=)(

Pro

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3.3.2 Deformação Longitudinal

� A deformação específica εxna fibra ef é dada por:

c d ρε

θρθδε

y

d

dy

L

x

x

−=

⋅⋅−==

� A deformação específica εεεεx varia linearmente com a distância “y” da LN.

� A deformação específica máxima (εmáx) ocorre para o maior valor de “y”.

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3.4 Tensões Normais de Flexão no Regime Elástico� Usando a Lei de Hooke, tem-se:

ρσ

ρσεσ

yE

yEE

x

xxx

⋅−=

−⋅=⇒⋅=

� A tensão normal varia linearmente com a distância “y”da L.N.

LN

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3.4 Tensões Normais de Flexão no Regime Elástico� Posição da Lina Neutra:

� Para a flexão pura podemos dizer que:

seção da área da Estático Momento 0 :

0

00

=⋅

=⋅−=⋅⋅−=⋅

=⋅=+−∴=

∫

∫∫∫

∫∑

A

AAA

x

A

xTCx

dAyLogo

dAyE

dAyE

dA

dAFFF

ρρσ

σ

LN

FC

FT

y

al. transversseção da centróide

pelopassar deve z) (eixo L.N. a

, 0 que Para =⋅∫A

dAy

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3.4 Tensões Normais de Flexão no Regime Elástico� Relação Momento-Curvatura:

( )

∫∫

∫∑

⋅=⋅

⋅⋅−−=

−=⋅⋅=⋅

AA

A

x

dAyE

ydAyE

M

MydAyF

2

ρρ

σ

LN

FC

FT

y

� Se y > 0 e σx > 0, o momento M é negativo.� Logo:

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3.4 Tensões Normais de Flexão no Regime Elástico

z

A

IdAy =⋅∫2 Sendo

EquaçãoMomento - Curvatura

(L.N.) z"" eixo do

tornoem al transversseção

da Inércia de Momento ⇒

z

z

IE

MIEM

⋅=⇒

⋅=ρρ1

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3.4 Tensões Normais de Flexão no Regime Elástico� Fórmula de Flexão:

z

x

IE

Mb

yEyE

a

⋅=

⋅−=⋅−=

ρ

ρρσ

1 )

1 )

yEIE

M

zx ⋅

⋅−=⇒ σ

zx I

yM ⋅−=σ Fórmula de Flexão

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3.4.1 Tensões Normais Máximas

� As máximas tensões (tração e compressão) ocorrem nos pontos mais distantes da L.N.

Tensão de tração

Tensão de compressão

Momento negativo

Tensão de compressão

Tensão de tração

Momento positivo

σσσσ1

σσσσ2

C1

C2

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3.4.1 Tensões Normais Máximas

σ1 = maior tensão de tração.σ2 = maior tensão de compressãoC1 = distância da fibra tracionada mais afastada da L.N.C2 = distância da fibra comprimida mais afastada da L.N.

� Tensões Máximas:

� Característica Geométrica - Módulo de Resistência:zz I

CM

I

CM 22

11 e

⋅=⋅= σσ

22

11 e

C

IW

C

IW zz ==

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3.4.1 Tensões Normais Máximas

� Tensões Máximas:

� Característica Geométrica - Módulo de Resistência:

� Para seção retangular:

� Para seção circular:

22

11 e

W

M

W

M == σσ

32 e

64

6 e

12

34

23

dW

dI

hbW

hbI

⋅=⋅=

⋅=⋅=

ππ

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3.5 Critério para Dimensionamento e Verificação de Vigas� Para o dimensionamento estrutural, as tensões

máximas serão responsáveis pelas dimensões estruturais de modo a satisfazer as condições de segurança.

� Para materiais cuja σadm(tração) = σadm(compressão) = σadm :

σ1 ≤ σadm e σ2 ≤ σadm

� Para materiais cuja σadm(tração) ≠ σadm(compressão) :

σ1 ≤ σadm(tração) e σ2 ≤ σ adm(compressão)

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3.5 Critério para Dimensionamento e Verificação de Vigas� Exemplo 1: Uma barra de aço está submetida a ação

de momentos conforme mostra a figura. Determine o valor do momento que provoca escoamento do material. Adotar σesc = 250MPa.

M M 60mm

20mm

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3.5 Critério para Dimensionamento e Verificação de Vigas� Exemplo 2: Dada a viga representada abaixo,

determinar as máximas tensões de tração e de compressão.

3m

5kN/m10kN

8kN.m

3m 2m

5kN

A BC D

10cm3cm 3cm

5cm

20cm

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3.6 Flexão de Barras Constituídas por mais de um Material� Tensões de Deformações:

Viga composta por dois materiais diferentes.

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3.6 Flexão de Barras Constituídas por mais de um Material� Tensões de Deformações:� A deformação longitudinal em uma viga composta varia

linearmente do topo até a base da barra.

curvatura de raio sendo →−= ρρ

ε yx

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3.6 Flexão de Barras Constituídas por mais de um Material� A L.N. não passa pelo centróide da seção transversal

de uma viga composta de dois materiais diferentes.� As tensões normais podem ser obtidas a partir das

deformações usando a relação tensão – deformação para os dois materiais (σx = E . εx).

� Assumindo que E2 > E1:

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3.6 Flexão de Barras Constituídas por mais de um Material

� Assim, as tensões em cada material podem ser:CCCC

BBAA

EE

EE

εσεσεσεσ⋅=⋅=

⋅=⋅=

2)2(1)1(

21

;

;

ρσ

ρσ yEyE

xx

⋅−=⋅−= 2)2(

1)1( e

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3.6.1 Método da Seção Transformada

� Consiste em transformar a seção transversal de uma viga composta em uma seção transversal equivalente de uma viga imaginária, que é constituída de apenas um material.

� A nova seção transversal é chamada Seção Transformada.

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3.6.1 Método da Seção Transformada

� Posição da Linha Neutra:

0

Modular RazãoE

E:notação a introduzir Vamos

0

0

00

21

1

2

2

2

1

1

2

2

1

1

2

)2(

1

)1(

=⋅⋅+⋅

→=

=⋅+⋅

=⋅⋅−+⋅⋅−

=⋅+⋅∴=

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫∑

dAydAy

dAyEdAyE

dAyE

dAyE

dAdAF xxx

η

η

ρρ

σσ

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3.6.1 Método da Seção Transformada

� Podemos criar uma seção transversal constituída de duas partes:� (1) área 1 com as mesmas dimensões;� (2) área 2 com larguras (dimensões paralelas a L.N.)

multiplicada por η.

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3.6.1 Método da Seção Transformada

� A L.N. da seção transformada está na mesma posição da viga original.

� As dimensões perpendiculares a L.N. permanecem as mesmas.

� Assim, multiplicar a largura do material 2 por η=E2/E1 éequivalente a transformá-lo no material 1.

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3.6.1 Método da Seção Transformada

� Relação Momento – Curvatura:

( )

( )

2211

2211

1

22

1

21

21

1

1

1

IEIE

M

IEIEdAyE

dAyE

M

dAydAyydAM

yE

xx

A

x

x

+=

+=⋅+⋅=

⋅⋅−⋅⋅−=⋅⋅−=

⋅−=

∫∫

∫∫∫

ρ

ρρρ

σσσρ

σ

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3.6.1 Método da Seção Transformada

� Tensões Normais no Material 1:

Tx I

yM ⋅−=)1(σ

� Onde IT é o momento de inércia da seção transformada em relação a L.N.

21

2121 I

E

EIIIIT ⋅+=⋅+= η

� Tensões no Material 1:

2211

1)1( IEIE

EyMx +

⋅⋅−=σ

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3.6.1 Método da Seção Transformada

� Tensões no Material 2:� As tensões no material 2 na viga original não são as

mesmas correspondentes da viga transformada.

2211

2)2(

)2( ou

IEIE

EyM

I

yM

x

Tx

+⋅⋅−=

⋅⋅−=

σ

ησ

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3.6 Flexão de Barras Constituídas por mais de um Material� Exemplo 3: Uma barra construída de aço e latão (Ea =

200GPa , El = 100GPa) tem a seção abaixo. Determine a máxima tensão no aço e no latão quando a barra fica sujeita à flexão pura com um momento M = 2kN.m.

40mm

10mm5mm 5mm

AçoLatão Latão

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3.7 Carregamentos Combinados

� Frequentemente a seção transversal do elemento ésubmetida a mais de um esforço interno simultaneamente.

� O método da superposição de efeitos pode ser utilizado para determinar a distribuição de tensões resultantes causada pelas cargas.

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3.7 Carregamentos Combinados

� Método da Superposição - Procedimentos:� 1) Determinar os esforços internos na seção transversal

analisada;� 2) Calcular as componentes de tensões associadas a

cada esforço interno:

zI

yMA

F

⋅−=→

=→

σ

σ

Fletor Momento

Normal Força

� 3) Superposição das tensões.

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3.7 Carregamentos Combinados

� Carregamento Inclinado em um Plano de Simetria:

P

L

x

y

Px

Py

z

sy

x

zy

Ib

MVPV

A

NPN

I

yMxLPM

⋅⋅=→−=

=→=

⋅−=→−⋅=

τ

σ

σ

)(

Px

PyM

x

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3.7 Carregamentos Combinados

� Carregamento Inclinado em um Plano de Simetria:

A

NPN

I

yMxLPM

x

zy

=→=

⋅−=→−⋅=

σ

σ

)(

Px

PyM

x

σσσσ(N) σσσσ(M) σσσσ(N+M)

zI

yM

A

N ⋅−=σ Flexão e Carga Axial Combinadas

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3.7 Carregamentos Combinados

� Carregamento Axial Excêntrico em um Plano de Simetria:

P

L

x

y

e

� A força P não age através do centróide da seção transversal;

� A distância “e” é chamada de excentricidade da força.� A força excêntrica P é estaticamente equivalente a uma

força axial P e um momento fletor M = P . e, agindo no centróide.

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3.7 Carregamentos Combinados

� Carregamento Axial Excêntrico em um Plano de Simetria:

P

L

x

y

M = P.e

σσσσ(N)σσσσ(M)σσσσ(N+M)y

zP

e

yo

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3.7 Carregamentos Combinados

� A tensão normal em qualquer ponto da seção pode ser calculada por:

� A posição da Linha Neutra é obtida fazendo σ = 0, onde:

zz I

yeP

A

P

I

yM

A

P ⋅⋅−−=⋅−= )( σσ

eA

Iy z

o ⋅−=

� Se e ≈ 0, a L.N. � ∞ (compressão ou tração)� Se e ≈ ∞, a L.N. � 0 (flexão pura)

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3.7 Carregamentos Combinados

� Exemplo 4: Uma viga tubular de comprimento L = 1,5m é carregada por uma força inclinada P no ponto médio do seu comprimento. Determine as tensões e tração e de compressão máximas na viga devido ao carregamento P = 4,45kN.

P

0,75m 0,75m

60º

0,14m

y

z

A = 0,13m2

Iz = 3,6x10-5m4

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3.8 Flexão Assimétrica

� Flexão Assimétrica ocorre em:� Vigas com seções assimétricas;� Vigas com seção simétrica e carga fora do plano de

simetria.

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3.8 Flexão Assimétrica

� Para cargas inclinadas passando pelo centróide, deve-se decompor a carga em duas componentes:

Pz

Py

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3.8 Flexão Assimétrica

� Os momentos em uma seção distante “x” podem ser determinados em função das componentes Py e Pz:

)(cos)(

)()(

xLPxLPM

xLsenPxLPM

yz

zy

−⋅⋅=−⋅=

−⋅⋅=−⋅=

θθ

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3.8 Flexão Assimétrica

� O momento fletor “M” na seção “x” é a resultante dos momentos My e Mz, e tem a inclinação θ com o eixo z:

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3.8 Flexão Assimétrica

� A tensão normal em um ponto da seção “A”, de coordenadas (z,y), devido ao momento fletor “M”, pode ser calculada em função de My e Mz:

z

z

y

yx I

yM

I

zM ⋅−⋅

=σ

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3.8 Flexão Assimétrica

� A posição da Linha Neutra “nn ” é determinada fazendo σx = 0:

yz

zy

z

z

y

y

IM

IM

z

ytg

yI

Mz

I

M

⋅⋅

==

=⋅−⋅

β

0

Pro

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3.8 Flexão Assimétrica

� Relação entre a Linha Neura e a Inclinação do carregamento:

y

z

y

z

y

z

yz

zy

I

Itagtag

I

Isentag

I

I

xLP

xLsenPtag

IM

IMtag

⋅=

⋅=

⋅−⋅⋅−⋅⋅=

⋅⋅

=

θβ

θθβ

θθβ

β

cos

)(cos

)(

Pro

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3.8 Flexão Assimétrica

� Casos Especiais:� Carga no plano xy (θθθθ = 0º ou 180º), a L.N. � z� Carga no plano xz (θθθθ = ± 90º), a L.N. � y

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3.8 Flexão Assimétrica

� Exemplo 5: Calcular as tensões normais extremas e a posição da L.N. na seção transversal de uma viga abaixo indicada.

y

z

M = 25kN.m

60º

40cm

10cm

25cm

30cm10cm 10cm

Pro

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x

y

z

3.9 Caso Geral de Carga Excêntrica

� É o caso em que a carga excêntrica não pertencente a nenhum plano de simetria.

P

x

y

z

b

a

P

My

Mz

� A força axial excêntrica P éestaticamente equivalente a um sistema constituído de uma força centrada P e dos conjugados Mz = P.b e My = P.a

Pro

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3.9 Caso Geral de Carga Excêntrica

� As tensões devidas a força P e os momentos My e Mzpodem ser calculadas superpondo-se as tensões:

z

z

y

yx I

yM

I

zM

A

P ⋅−⋅

+=σ

Onde y e z são medidos a partir dos eixos principais.

Pro

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3.9 Caso Geral de Carga Excêntrica

� Posição da Linha Neutra:σx = 0; Mz = P.ey; My = P.ez

01=+⋅⋅+⋅⋅

− zI

eAy

I

eA

y

z

z

y

Pro

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Dia

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rlei

3.9 Caso Geral de Carga Excêntrica

� Exemplo 6: Um bloco retangular de peso desprezível está sujeito a uma força vertical de 40kN, aplicada em uma de suas quinas. Determine a distribuição das tensões normais atuantes sobre a seção ABCD.

40kN

0,4m

A B

C

0,8m

Pro

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Dia

s V

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rlei

Aplicações

� Aplicação 1: Determine as tensões no ponto A e no ponto B da viga carregada conforme figura abaixo.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Aplicações

� Aplicação 2: Uma laje piso de concreto é reforçada por barras de aço de 16mm de diâmetro colocadas 32mm acima da face inferior da laje e espaçadas de 150mm entre seus centros. O módulo de elasticidade é de 25GPa para o concreto usado e de 205GPa para o aço. Sabendo que éaplicado um momento fletor de 4,5kNm a cada 300mm de largura da laje, determine (a) a tensão máxima no concreto, (b) a tensão no aço.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

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rlei

Aplicações

� Aplicação 3: Determine a maior força P que pode ser aplicada ao suporte mostrado na figura, sabendo que a tensão admissível na seção ABD é de 70MPa.