Torção Geral

7/25/2019 Toro Geral

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Prof. Andr Luis Christoforo


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- Elementos de barra;

- Equaes de equilbrio;

- Esforos solicitantes;

- Equaes constitutivas;

- Equaes de compatibilidade;

- Propriedades geomtricas de sees planas.


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----------------------------------------------

----------------------------------------------


4/72

2

1

10020100i

AAx kNRkNkNRF


5/72


6/72

E

1 2

1

2

G

)1(2

E

G

1 2

1

2


7/72

00 CAx RFRF

FRR CA

AE

LNLLLL BCABAC 0


8/72

2h

2h

2b

2b

dybdA dAyI

A

Z

12

2

2

hbdybyI

h

hZ

z

y

dyb


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- Apresentar o problema da toro em barras de seo

circular juntamente com as hipteses de clculo utilizadas

nos modelos matemticos, permitindo calcular as tenses

de cisalhamento mximas e os deslocamentos angulares

mximos;

- Resolver problemas de aplicao;


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Introduo


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Determinar a distribuio dos esforos torores

(diagrama de momentos torores) para a viga da figura

abaixo.


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0 ( ) 10 0x CBFt Mt x

( ) 10 .CBMt x kN cm

0 ( ) 30 10 0x BAFt Mt x

( ) 20 .BAMt x kN cm

Mtodo das Sees:


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Superposio de efeitos:


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Hipteses de Clculo

- Continuidade do meio;

- Material homogneo;

- Material isotrpico;

- Material solicitado na fase elstico-linear;

- Estrutura restrita a pequenos deslocamentos;

- Teoria de primeira ordem;

- Vlida a superposio de efeitos.


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Toro Geral

seo cheia parede grossa parede fina

Sees Circulares:

perfil

I

perfil

U

seo vazada

quadrada

fechada

seo

celular

seo

retngular

cheia

Seo no Circulares:


18/72

Seo circular


19/72

Seo no circular

empenamento


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Toro em Sees Circulares

T

Deslocamento angular:

Componente de Tenso Cisalhante:Distribuio da Tenso

De Cisalhamento na Seo


21/72

Tenso de Cisalhamento na Toro:

t

t

M(para qualquer seo transversal) x

N

A(tenso normal em

membros carregados

axialmente - analogia)momento toror (esforo solicitante)tM

mdulo de resistncia toro(propriedade geomtrica da seo transversal,

cada seo geomtrica possui um mdulo de

toro relativo)

t


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Momento de Inrcia de Segunda Ordem:

2 2 4I L L L

2

xA

I y dA 2y

AI x dA

dimenso

Momento Polar de Inrcia:

2

pA

I r dA 2 2 2r x ypresente no estudoda toro em vigas

presente no estudo

flexo em vigas


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Mdulo de resistncia Toro:

Anlise dimensional de W

4

3I LW L

x ou y L

2

xA

I y dA2

yA

I x dA

2

p t

A

I I r dA

xx

mx

I

y

y

y

mx

I

x

p

p t

I

c

Mdulo de Resistncia Polar:

presente no estudo

flexo em vigas

presente no estudo

da toro em vigas


24/72

2

/ 22

0

/ 23

0

4/ 2

4

0

2

(2 )

2

2

4 32

p

A

D

p

D

p

D

p p

I r dA

dA r dr

I r r dr

I r dr

DI r I

4

3

32

16

2

p

p

p

p

I

c

DI D

Dc


25/72

t

t

M(para qualquer seo transversal)

(para qualquer seo transversal)t t t

tt t

M M Mc

I I

c

OU


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Deslocamento Angular:

(para qualquer seo transversal)

(ser obtido atravs da equao de compatibilidade em deslocamentos)


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Determinao da mxima tenso de cisalhamento:

(02)

2dA r dr


28/72

Teorema de Cauchy

(03)


29/72

(04)

, 0 (no plano do elemento)aM


30/72

Deslocamento angular

(07) (EDO)

(05)

(06)


31/72

Lei de Hooke:

(08)

(09)

Subst i tu indo (06) e (07) em (05), temos :

(10)

(EDO)

(07)


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Seo transversal circular cheia

(01)

(02)

(12)

(13)

(11)


33/72

(10)

(13)

(14)

(12)


34/72

(seo d o engastam ento fi xo )

(seo d a ex tr em idade liv re)


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Seo transversal circular vazada

(15)

- Parede Fina

- Parede Grossa


36/72

a) Tubo de parede grossa:

(01) (02) (11)


37/72

(01)

(17)

(16)


38/72

(18)

(10)

(19)

(16)


39/72

b) Tubo de parede fina:

(15)

(20)(01)


40/72

(21)

(23)

(22)


41/72

(10)

(24)

(25)

(22)


42/72

Exerccios:

1)Um barra eng astad a c om 7cm de d imetro e 2m de c omprimento

en contra-s e sujeita a ao de uma fo ra to ro ra d e in ten sid ad e2kN.m . Calcu lar a mxima tenso de cisalhamento e o mximo

des locamento angu lar. Dado : G=60 GPa.


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Clculo das reaes:

2kN.m=M0=M-2kN.m AA

Clculo dos esforos solicitantes:

CORTEI (0 X 2):

2kN.m=M0=M-2kN.m0=M+M- A


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Diagrama dos esforos solicitantes:

Clculo da tenso de cisalhamento:

tM

16

D

10734,616

07,0 5 m MPa70,2910735,6

20005


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Clculo do deslocamento:

ANGULAR

O des lo camento angu lar obtido p ela equao:

Atr ibuindo para x o compr imento L da barra, ob temos :

O momen to de inrc iapara seo c ir cu lar c heia calcu lad o pela expres so:


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O des locamento nulo na seo A , dev ido ao engastamento e

mximo na ex t rem idade l iv re B .


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2) Considere uma barra com mdulo de elasticidade

transversal G e seo circular cheia com o dimetro

variando linearmente ao longo de seu comprimento. O

dimetro da extremidade livre DB e o dimetro daextremidade engastada DA. Determinar a expresso

analtica para o clculo do mximo deslocamento angular.


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Substituindo os extremos de integrao:


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perfilI perfilUseo vazadaquadrada

fechada

seocelular seoretngular

cheia

Seo no Circulares:

TORO EM SEES NO CIRCULARES

SEO CIRCULAR:


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SEO CIRCULAR:

(calculado

anteriormente)

TORO EM TUBOS DE PAREDE FINA DE SEO FECHADA:


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TORO EM TUBOS DE PAREDE FINA DE SEO FECHADA:

Mdulo de Resistncia Toro:


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Momento de Inrcia Toro:

- Determinado atravs da igualdade entre o trabalho das foras

externas com o trabalho das foras internas (energia de deformao)

Trabalho das Foras Externas:

(espessura constante na direo x)


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Trabalho das Foras Internas (energia de deformao):

Para sees com espessuras constantes por trecho:


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Para sees com espessuras constantes por trecho:

Exemplo:

2 2

31 2 4

1 1 2 3 4

4 4t n

i

i i

A AI

ss s ss

t t t t t

Mdulo de Resistncia:

Mdulo de Resistncia:

1 2 4 3t t t t

1

2

, 2 (da seo)

, 2

t

t mnimo

t

A t

mx A t

mx A t

1 3 2 4;s s s s

2 3A s s


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1) Para a seo dada, determinar o Mdulo de Resistncia a

toro e o momento de Inrcia de toro. Considerando-se que em umadeterminada posio da barra, com esta seo transversal, que um

momento toror igual a5000 N.cm, calcular as tenses de cisalhamento

nos pontos B e C.

Exerccios:


57/72


58/72

2)


59/72


60/72


61/72

Trecho AB


62/72

Trecho BC

P (t) t t t d t l t d i i


63/72

2

2

1 2 3

4

4

... (permetro da linha de esqueleto)

t

t

n

A

I ds

t

A tI

P

P s s s s

Para espessura (t) constante em toda a seo transversal o momento de inrcia

Toro pode ser obtido pela equao grifada a seguir.

2 220 10 173,20h cm


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65/72


66/72


67/72

TORO EM TUBOS DE PAREDE FINA DE SEO ABERTA:


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TORO EM TUBOS DE PAREDE FINA DE SEO ABERTA:

3

1

1

3

n

t i iiI t s

3

1

1

3

n

t i iimx

t st

Exemplo:

3

3 3 3 31 1 2 2 3 3

1

1 13 3

t i i

i

I t s t s t s t s

33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

1 2

1 1

3 3t i i

imx

t s t s t s t st t

(o momento de inrcia e o mdulo de

resistncia toro so obtidos por umametodologia intitulada analogia de

mebrana, no sendo aqui discutida)

1 3 2t t t


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Exerccio:


70/72


71/72

3 4

;4,81 7,10

t t

a aI

3 4

;20 46

t t

a aI

2 3

2 2 ;

2t t

a b a bI

a b

TORO EM TUBOS DE PAREDE DE SEO FECHADA:

CONCENTRAO DE TENSES NA TORO:


72/72

CONCENTRAO DE TENSES NA TORO:

3

16

mxTK K

d

(seo circular

macia)

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