Deformao por toro de um eixo circular Torque um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo

longitudinal. Se o ngulo de rotao for pequeno, o comprimento e o raio do eixo

permanecero inalterados.

Toro

1

Cisalhamento por toro

BD= d = dx

= d/dx (d/dx = para todos os elementos naseo transversal na posio x) ento adeformao por cisalhamento proporcional a

Como d/dx = / = max / c ento: = ( / c) max

Toro

2

= 2 lim,

= ( / c) max

A frmula da toro Se o material for linear elstico, ento a lei de Hooke se aplica =G. Uma variao linear na deformao por cisalhamento resulta em uma

variao linear na tenso de cisalhamento correspondente, ao longode qualquer linha radial na seo transversal. Portanto, igual que no casoda deformao por cisalhamento, variar de zero a max

JT

JTc

== ou mx

= tenso de cisalhamento mxima no eixo= deformao por cisalhamento distncia = torque interno resultante (mtodo das sees!)= momento polar de inrcia da rea da seo transversal= raio externo do eixo= distncia intermediria

mxTJc 3

= ( / c) maxPara qualquer elemento de rea dA localizado em teremos uma fora F = dA. O torque produzido por F ser dT = dA e para toda a seo teremos:

= = =

Se o eixo tiver uma seo transversal circular macia, utilizamos um aneldiferencial de rea de espessura d portanto dA = 2pid e a integral (0 a c) fica:

Se o eixo tiver uma seo transversal tubular,

4

2cJ pi=

( )442 io

ccJ = pi

4

Como calcular o J (momento polar de inrcia)?

O eixo macio de raio c submetido a um torque T. Determine a frao de T qual resiste o material contido no interior da regio externa do eixo, que tem raio interno c/2 e raio externo c.

Soluo:

( ) ( ) ( )pi dcdAdT 2' mx==

( ) mx c=

Para toda a rea sombreada mais clara, o torque

(1) 32

152'

3mx

2/

3mx cdc

Tc

c

pipi ==

A tenso no eixo varia linearmente, tal que .

O torque no anel (rea) localizado no interior da regiosombreada mais clara

Exemplo 1

5Qual o valor de max em funo do torque interno resultante T?

Usando a frmula de toro para determinar a tenso mxima no eixo, temos

(Resposta) 1615

' TT =

( )3mx

4mx

22

c

Tc

TcJ

Tc

pi

pi

=

==

Substituindo essa expresso na Equao 1,

6

O eixo est apoiado em dois mancais e sujeito a trs torques. Determine a tenso de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seo aa do eixo.

Exemplo 2

7

Soluo:Pelo diagrama de corpo livre do segmentoesquerdo determinamos o torque internoresultante na seo:

( ) mm 1097,4752

74 ==piJ

mmkN 250.10000.3250.4 ;0 === TTM x

O momento polar de inrcia para o eixo

Visto que A se encontra em = c = 75 mm, utilizando a frmula da toro...

( )( ) (Resposta) MPa 89,11097,475250.1

7 ===

JTc

A

Da mesma forma, para B, em =15 mm, temos

( )( ) (Resposta) MPa 377,01097,415250.1

7 ===

JTc

B

8

Transmisso de potncia

Potncia definida como o trabalho realizado por unidade de tempo. Para um eixo rotativo com torque, a potncia :

Visto que , a equao para a potncia

Se conhecemos o torque T e adm, para o projeto do eixo, o parmetro de projeto ou parmetro geomtrico sai de:

dtdTP / eixo doangular e velocidada onde ==

fpipi 2rad 2ciclo 1 ==

fTP pi2=

adm

Tc

J=

9

Um eixo macio de ao AB ser usado para transmitir 3.750 W do motor M ao qualest acoplado. Se o eixo girar a = 175 rpm e o ao tiver uma tenso decisalhamento admissvel adm = 100 MPa, determine o dimetro exigido para o eixocom preciso de mm.

Exemplo 3

10

Soluo:O torque no eixo

Nm 6,20460

2175750.3 =

=

=

TT

TPpi

Assim, o parmetro geomtrico :

( )( )( ) mm 92,10100

000.16,20422

23/13/1

adm

adm

4

=

=

=

==

pipi

pi

Tc

Tc

c

c

J

Visto que 2c = 21,84 mm, selecione um eixo com dimetro 22 mm.

11

Exerccios1. O tubo da figura submetido a um torque de 750 Nm. Determine a parceladesse torque qual a seo sombreada cinza resiste. Resolva o problema de duasmaneiras: (a) usando a frmula da toro e (b) determinando a resultante dadistribuio da tenso de cisalhamento (5.4)

12

2. O eixo macio de 30mm de dimetro usado para transmitir os torquesaplicados s engrenagens. Determine a tenso de cisalhamento mxima (emvalores absolutos) no eixo. (5.5)

13

3. O eixo macio tem conicidade linear rA em uma extremidade e rB na outraextremidade. Deduza uma equao que d a tenso de cisalhamento mxima noeixo em uma localizao x ao longo da linha central do eixo. (5.30)

14

4. O projeto de um automvel prev que o eixo de transmisso AB ser um tubocom parede fina. O motor transmite 125 kW quando o eixo est girando a 1500rev/min. Determine a espessura mnima da parede do eixo se o dimetro externofor 62,5 mm. A tenso de cisalhamento admissvel do material adm = 50 Mpa.(5.33)

15

ngulo de toro -

Integrando em todo o comprimento L do eixo, temos

Por exemplo, se o material homogneo, com seo, T e G constantes....

A conveno de sinal determinada pela regra da mo direita.

( )( )=

L

GxJdxxT

0

= ngulo de toro

T(x) = torque internoJ(x) = momento polar de inrcia do eixo

G = mdulo de elasticidade ao cisalhamento

JGTL

=

16

Para o disco diferencial de espessura dx localizado em x o torque em geral ser T(x). Sendo d o deslocamento relativo de uma face em relao outra j sabemos que a uma distncia do eixo teremos = d/dx. Como =G e como = T/J teremos:

= T(x) /J(x)G substituindo teremos: = ()

Os dois eixos macios de ao esto interligados por meio das engrenagens.Determine o ngulo de toro da extremidade A do eixo AB quando aplicado otorque 45 Nm. Considere G = 80 GPa. O eixo AB livre para girar dentro dosmancais E e F, enquanto o eixo DC fixo em D. Cada eixo tem dimetro de20 mm.

Exemplo 4

17

Soluo:Do diagrama de corpo livre, nas engrenagens teremos uma F e um T:

( ) ( ) Nm 5,22075,0300N 30015,0/45==

==

xDTF

1. O ngulo de toro da engrenagem C ( )( )

( )( ) ( )[ ] rad 0269,01080001,02 5,15,22 94 +=+== pi JGLT DCCVisto que as engrenagens na extremidade esto relacionadas (r = cte),

( ) ( )( ) rad 0134,0075,00269,015,0 =B

18

Agora determinaremos o ngulode toro da extremidade A emrelao extremidade B.

O ngulo na extremidade A em relao ao extremo B do eixo AB causada pelo torque de 45 Nm,

( )( )( )( ) ( )[ ] rad 0716,01080010,02

24594/ +=

+==

pi

JGLT ABAB

BA

A rotao total da extremidade A portanto

(Resposta) rad 0850,00716,00134,0/ +=+=+= BABA

19

O eixo cnico mostrado abaixo feito de um material com mdulo de cisalhamentoG. Determine o ngulo de toro de sua extremidade B quando submetido aotorque T.

Exemplo 5

20

Soluo:

Do diagrama de corpo livre, o torque interno T e o raio c(x) :

=

=

Lcc

xccx

cc

Lcc 12

2212

Assim, em x teremos um J(x):

( )4

1222

=

Lcc

xcxJ pi

O ngulo de toro ser:

(Resposta) 322

32

31

2121

22

04

122

++=

= cc

cccc

GTL

Lcc

xc

dxGT L

pipi

21

( )( )=

L

GxJdxxT

0

5. Um eixo submetido a um torque T. Compare a efetividade da utilizao do tubomostrado na figura com a de uma seo macia de raio c. Para isso calcule oaumento percentual na tenso de toro e no ngulo de toro por unidade decomprimento para o tubo em comparao com o da seo macia (5.45)

22

Exerccios

6. O eixo de ao A-36 de 20 mm de dimetro submetido aos torques mostrados.Determine o ngulo de toro da extremidade B (5.51)

23

Exerccios

7. O eixo macio de 60 mm de dimetro de ao A-36 submetido aoscarregamentos de toro distribudos e concentrados mostrados na figura.Determine o ngulo de toro na extremidade livre A devido a essescarregamentos (5.62)

24

Exerccios

Elementos estaticamente indeterminados carregados com torque

!" = 0 $ = 0%&'(&,&-./0(1(2(/,((34/254,/'0,6)O ngulo de toro da extremidade A em relao outra (B) deve ser = 0

$ = 0Portanto: 7898:;<

7=9=:;< = 0

Como L = LAB+LBC obtemos:

= >>

$ = >>

O eixo macio de ao mostrado na figura abaixo temdimetro de 20 mm. Se for submetido aos dois torques,determine as reaes nos apoios fixos A e B.

Soluo: Examinando o diagrama de corpo livre,

(1) 0500800 ;0 =+= Abx TTM

Visto que as extremidades do eixo so fixas, .0/ =BA

Para as trs regies (mtodo das sees), usando a conveno de sinal (para fora + ver figura ao lado):

( ) ( )( ) ( )(2) 7502,08,1

03,05,15002,0

=

=++

+

BA

AAB

TTJG

TJG

TJG

T

Resolvendo as equaes 1 e 2, obtemos TA = 345 Nm e TB = 645 Nm.

Exemplo 6

26

Utilizando a relao para as 3 regies: JGTL

=

8. O eixo de ao composto por dois segmentos: AC, com dimetro de 12 mm eCB, com dimetro de 25 mm. Se estiver preso em suas extremidades A e B e forsubmetido a um torque de 750 Nm, determine a tenso de cisalhamento mximano eixo. Gao = 75 Gpa (5.76)

27

Exerccios