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Resistncia dos Materiais
Aula 6 Estudo de Toro, Transmisso de Potncia e Torque
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Definio de Torque
Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
Torque o momento que tende a torcer a pea em
torno de seu eixo longitudinal. Seu efeito de
interesse principal no projeto de eixos ou eixos de
acionamento usados em veculos e maquinaria.
Deformao por ToroAula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
Equao da ToroAula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
Quando um torque externo aplicado a um eixo, cria um torque interno correspondente no interior do eixo.
A equao da toro relaciona o torque interno com a distribuio das tenses de cisalhamento na seo transversal de um eixo ou tubo circular.
Para material linear-elstico aplica-se a lei de Hooke.
= Gonde: G = Mdulo de rigidez
= Deformao por cisalhamento
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Resistncia dos Materiais
Equao da Toro
JcT
mx
=
onde:
= Tenso de cisalhamento no eixo
T = Torque interno resultante que atua na seo transversal
J = Momento de inrcia polar da rea da seo transversal
c = Raio externo do eixo
= Raio medido a partir do centro do eixo
JT
=
Dimensionamento de Eixo SlidoAula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
= A dAJ2 ( ) = c dJ 0 2 2 pi
=c
dJ0
32 pic
J0
4
42 pi
=
2
4cJ = pi
Momento de inrcia polar:
Falha na ToroAula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
Dimensionamento de Eixo TubularAula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
( )2
44ie ccJ = piMomento de inrcia polar:
Exerccio 1Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
1) O tubo mostrado na figura tem um dimetro interno de 80 mm e dimetro externo de 100 mm. Supondo que sua extremidade seja apertada contra o apoio em A por meio de um torqumetro em B, determinar a tenso de cisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo da parte central do tubo quando so aplicadas foras de 80 N ao torqumetro.
Soluo do Exerccio 1Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
Torque interno: feito um corte na localizao intermediria C ao longo do eixo do tubo, desse modo:
= 0yM02,0803,080 =+ T
40=T Nm
Momento de inrcia polar:
( )2
44ie ccJ = pi
Soluo do Exerccio 1Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
( )2
04,005,0 44 =
piJ
6108,5 =J m4
JcT
mx
=
Tenso de cisalhamento:
6108,505,040
=mx
610344,0 =mx
344,0=mx
Na superfcie interna:
6108,504,040
=i
JcT i
i
=
610276,0 =i
276,0=iPa Pa
MPaMPa
Transmisso de PotnciaAula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
Eixos e tubos com seo transversal circular so
freqentemente empregados para transmitir a potncia
gerada por mquinas. Quando usados para essa finalidade, so submetidos a torque que
dependem da potncia gerada pela mquina e da velocidade
angular do eixo.
Definio de PotnciaAula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
A potncia definida como o trabalho realizado por unidade
de tempo:
dtdTP =
Onde:
T = Torque aplicado
d = ngulo de rotao
dtd
=
= TP
Sabe-se que a velocidade angular do
eixo dada por:
Portanto:
No SI, a potncia expressa em watts
1W = 1Nm/s
Relao Potncia-FreqnciaAula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
No caso da anlise de mquinas e mecanismos, a freqncia de rotao de um eixo, geralmente conhecida.
Expressa em hertz (1Hz = 1 ciclo/s), ela representa o nmero de revolues
que o eixo realiza por segundo.
TfP = pi2
f= pi 2
Portanto, a equao da potncia pode ser escrita do seguinte modo:
Como 1 ciclo = 2pi rad, pode-se escrever que:
Dimensionamento de EixosAula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
Quando a potncia transmitida por um eixo e sua rotao so conhecidas, o torque no eixo pode ser determinado.
Conhecendo-se o torque atuante no eixo e a tenso de cisalhamento do
material possvel determinar a dimenso do eixo a partir da equao
da toro da seguinte forma:
adm
Tc
J
=
Para eixo macio:
2
4cJ = pi
2)( 44 ie ccJ = pi
Para eixo tubular:
Exerccio 2Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
2) Um eixo tubular de dimetro interno de 30 mm e dimetro externo de 42 mm usado para transmitir 90 kW de potncia. Determinar a freqncia de rotao do eixo de modo que a tenso de cisalhamento no exceda 50 MPa.
Soluo do Exerccio 2Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
JcT
mx
=
Soluo:
O torque mximo que pode ser aplicado ao eixo determinado pela equao da toro: c
JT mx =
2)( 44 ie ccJ = pi
Para eixo tubular:
Soluo do Exerccio 2Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
Portanto:
c
cc
Tie
mx 2)( 44
=
pi
021,02
)015,0021,0(105044
6
=
pi
T
538=T Nm
A partir da equao da freqncia:
TfP = pi2
TPf
=
pi2
53821090 3
=
pif
6,26=f Hz
Exerccios PropostosAula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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1) O eixo macio de 30 mm de dimetro usado para transmitir os torques aplicados s engrenagens. Determinar a tenso de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo.
Exerccios PropostosAula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
2) O eixo macio de alumnio tem dimetro de 50 mm. Determinar a tenso de cisalhamento mxima absoluta nele desenvolvida e traar o grfico da distribuio cisalhamento-tenso ao longo de uma reta radial onde o cisalhamento mximo. Considerar T1 = 20 Nm.
Exerccios PropostosAula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
3) O eixo de ao est submetido carga de toro mostrada. Determinar a tenso de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B e desenhar o grfico da tenso de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos. O eixo onde A e B esto localizados tem raio externo de 60 mm.
Exerccios PropostosAula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
4) O acoplamento usado para acoplar dois eixos. Supondo que a tenso de cisalhamento nos parafusos seja uniforme, determinar o nmero de parafusos necessrios para que a tenso de cisalhamento mxima no eixo seja igual tenso de cisalhamento nos parafusos. Cada parafuso tem dimetro d.
Exerccios PropostosAula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistncia dos Materiais
5) A bomba opera com um motor que tem potncia de 85 W. Supondo que o impulsor em B esteja girando a 150 rpm, determinar a tenso de cisalhamento mxima desenvolvida em A, localizada no eixo de transmisso que tem 20 mm de dimetro.
Prxima Aula Estudo de Toro. ngulo de Toro. Distoro.
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