Unidade-51_Aula de Torção

8/16/2019 Unidade-51_Aula de Torção

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Resistência dos Materiais I

Estruturas II

Universidade Federal de Pelotas

Centro de Engenharias



Capítulo 5 Torção


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Estruturas II




Estruturas II



Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo

longitudinal.

Se o ângulo de rotação for pequeno , o comprimento e o raio do eixo

permanecerão inalterados .

5.1 – Deformação por torção de um

eixo circular


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• Embora o torque devido às tensões de

cisalhamento seja conhecido, a distribuição

das tensões não é.

• Ao contrário da tensão normal devido a cargas

axiais, a distribuição das tensões de

cisalhamento devido a cargas de torção não

pode ser assumida uniforme.

dAdF T

• O conjunto das tensões de cisalhamento

internas resulta em um torque interno,

igual e oposto ao torque aplicado,


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Estruturas II





• A existência de componentes decisalhamento axial é demonstrada,

considerando um eixo formado por tiras

axiais separadas.

• As tiras deslizam umas em relação as

outras quando torques iguais e opostos sãoaplicados às extremidades do eixo.


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• A experiência mostra que o ângulo de

torção da barra é proporcional ao torque

aplicado e ao comprimento da barra.

L

T

• Quando submetido à torção, cada seção

transversal de um eixo circular permanece

plana e indeformada.

• Seções transversais para barras circulares

cheias ou vazadas permanecem planas eindeformadas, porque a barra circular é

axissimétrica.

• Seções transversais de barras não circulares

são distorcidos quando submetidas à torção.


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• Destacando da barra um cilindro de raio .Como uma carga de torção é aplicada, um

elemento no interior do cilindro deforma

em um losango.

• Uma vez que as extremidades do elementopermanecem planares, a deformação de

cisalhamento é igual ao ângulo entre as

linhas BA e BA’.

ou (1)L L

• Quando γ é pequeno, AA’ é igual a:

• Deformação de cisalhamento é

proporcional ao ângulo de torção e ao raio.

max max e

r

L r


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• Multiplicando a equação anterior pelo módulode elasticidade transversal,

maxG G

r

max

r

Da Lei de Hooke G , então

A tensão de cisalhamento varia linearmentecom a posição radial na seção.

• Lembre-se que a soma dos momentos da

distribuição de tensões internas é igual ao torque na

seção da barra, 2max max p T dA dA I

r r

Ip: momento polar de inércia da seção.

• Os resultados são conhecidos como fórmulas de

torção no regime elástico ,

max e (2)

p p

Tr T

I I

5.2 – Tensões no Regime Elástico


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• Torque aplicado ao eixo produz tensões de

cisalhamento nas faces perpendiculares ao

eixo.

• Condições de equilíbrio requerem a

existência de tensões iguais nas faces

formadas por dois planos contendo o eixo

da barra.


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Convenção de sinais


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Exemplo 1 -

O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine

a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na

seção a–a do eixo.


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Pelo diagrama de corpo livre do segmento esquerdo,

4 7 4

pI 75mm 4,97 10 mm2

mmkN250.10000.3250.4 ;0 T T M x

O momento polar de inércia para o eixo é

Visto que A se encontra em ρ = 75 mm,

3A 7 4

p

1.250 10 Nmm 75mmT1,89 MPa

I 4,97 10 mm

Da mesma forma, para B, em ρ =15 mm, temos

3B 7

p

1.250 10 15T0,377 MPa

I 4,97 10


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Exercício de fixação

1)O eixo maciço está preso ao suporte em C e sujeito aos carregamentos

de torção mostrados. Determine a tensão de cisalhamento nos pontos A

e B e faça um rascunho da tensão de cisalhamento nesses pontos.

Respostas: τA=7,42MPa e τB=6,79MPa


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2)O conjunto é composto por duas seções de tubo de aço galvanizado

interligadas por uma redução em B. O tubo menor tem diâmetro externode 0,75in e interno de 0,68in, enquanto o tubo maior tem diâmetro externo

de 1in e diâmetro interno de 0,86in. Se o tubo estiver firmemente preso à

parede em C, determine a tensão de cisalhamento

máxima desenvolvida em cada seção do tubo quanto o

conjugado mostrado na figura for aplicado ao cabochave.

Resposta: τAB=7,82 ksi

τBC=2,36 ksi


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3)O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50mm. Determine a tensão

de cisalhamento máxima absoluta no eixo. Considere T1=20Nm.

Resposta: 5,38MPa


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O eixo de seção circular BC é vazado com

diâmetros interno e externo de 90 mm e 120

mm, respectivamente. Os eixos de seção

circular AB e CD são cheios e têm diâmetro d.

Para o carregamento mostrado na figura,

determine: (a) as tensões de cisalhamento

máxima e mínima no eixo BC, (b) o diâmetro d

necessário para os eixos AB e CD, se a tensão

de cisalhamento admissível nesses eixos for de

65 MPa.

Exemplo 2 -


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Cortar seções ao longo das barras AB e BC erealizar análise de equilíbrio estático para

encontrar cargas de torque.

CD AB

AB x

T T

T M

mkN6

mkN60

mkN20

mkN14mkN60

BC

BC x

T

T M


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(a)Aplicar fórmulas de torção

elástica para encontrar tensõesmínima e máxima na barra BC.

444 4

2 1

6 4

0.060 0.0452 2

13.92 10 m

p I r r

2

max 2 6 4

20 kN m 0.060m

86.2MPa13.92 10 m

BC

p

T r

I

1

min 1 6 4

min

20 kN m 0.045m

13.92 10 m

64655 Pa=64.7MPa

BC

p

T r

I

k

max

min

86.2MPa

64.7MPa

(b)Dada a tensão de cisalhamento

admissível e torque aplicado, inverte-se a fórmula de torção elástica e

encontra-se o diâmetro necessário.

max 4 3

2 2

3

6kN m 65

38.9 10 m

p

Tr Tr MPa

I r r

r

2 77.8mmd r

R i ê i d M i i IU i id d F d l d P l

U i id d F d l d P l


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Das equações (1), (2) e da Lei de Hooke temos

o ângulo de torção:

p

TL

I G

G : módulo de elasticidade ao cisalhamento

L: comprimento do eixo

ϕ: ângulo de torção (rad)

(1)L

p

Tρ τ= (2)

I

R i tê i d M t i i IU i id d F d l d P l t

U i id d F d l d P l t


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Se a carga de torção ou a seção transversal dabarra ou o material muda ao longo do

comprimento, o ângulo de rotação é

encontrado como a soma de rotações de cada

segmento. i i

i pi i

T L

I G





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Exercício de fixação 4)O eixo horizontal AD está engastado a uma base rígida em D e submetido

aos torques mostrados na figura. Foi feito um furo de 44mm de diâmetro na

parte CD do eixo. Sabendo que o eixo inteiro é feito de aço para o qual

G=77GPa, determine o ângulo de torção na extremidade A.

Resposta:

2,31A

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5)O eixo de aço A-36 de 20mm de diâmetro é submetido aos torques

mostrados. Determine o ângulo de torção da extremidade B. G=75GPa

Resposta: 5,74B




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otênciaé definida como o trabalho realizado por unidade de tempo.

Para um eixo rotativo com torque, a potência é:

(Watts) onde a velocidade angular do eixo é

(rpm, rad/s)

isto que

Para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico é:

P T

1 ciclo 2 rad

adm

p I T

r

Transmissão de potência

adm

p

Tr

I




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Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do motor M

ao qual está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver uma

tensão de cisalhamento admissível τadm = 100 MPa, determine o diâmetro

exigido para o eixo com precisão de mm.

Exemplo 3-




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O torque no eixo é1min 2 rad

175 18,33 /60 1rot

3750 18,33 204,6 Nm

rpm rad s seg

P T T T

Assim,

4

adm

1/3 1/3

2

adm

2

2 2 204,6 1.00010,92 mm

100 /

p I r T

r r

T Nmm r

N mm

Visto que 2r = 21,84 mm, selecione um eixo com diâmetro 22 mm.




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6) O motor de engrenagens pode desenvolver 100W quando gira a 80 rpm.

Se a tensão de cisalhamento admissível pra o eixo τadm = 28MPa, determine,

com aproximação de múltiplos de 5mm, o menor diâmetro do eixo que

pode ser usado.

Resposta: d=15mm

Exercício de fixação-




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7) O eixo maciço de aço AC tem diâmetro de 25mm e está apoiado em

mancais lisos em D e E. O eixo está acoplado a um motor em C, que

transmite 3kW de potência ao eixo quando está girando a 50rev/s. Se as

engrenagens A e B absorverem 1kW e 2kW, respectivamente, determine a

tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo no interior dasregiões AB e BC. O eixo é livre pra girar em seus mancais de apoio D e E.

Respostas: τAB=1,04MPa

τBC=3,11MPa





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8) Um eixo é feito de uma liga de aço com tensões de cisalhamento

admissível τadm=12ksi. Se o diâmetro do eixo for 1,5in, determine o torque

máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fosse

feito um furo de 1in de diâmetro no eixo? Faça um rascunho da distribuição

da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso.Respostas: T=7,95kip in e T’=6,38kip in


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