Aula 12 Torção IFES CONCURSO PETROBRAS

7/29/2019 Aula 12 Toro IFES CONCURSO PETROBRAS

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Deformao por toro de um eixo circular Torque um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo

longitudinal.

Se o ngulo de rotao for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecero inalterados.

Toro

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Cisalhamento por toro

BD=d= dx

= d/dx (d/dx = para todos os elementos naseo transversal na posio x ) ento a

deformao por cisalhamento proporcional a

Como d/dx =/=max/ c ento:= (/ c) max

Toro

2

= 2 lim,

= (/ c) max


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A frmula da toro

Se o material for linear elstico, ento a lei de Hooke se aplica =G. Uma variao linear na deformao por cisalhamento resulta em uma

variao linear na tenso de cisalhamento correspondente, ao longode qualquer linha radial na seo transversal. Portanto, igual que no casoda deformao por cisalhamento, variar de zero amax

J

T

J

Tc == ou

mx

= tenso de cisalhamento mxima no eixo= deformao por cisalhamento distncia = torque interno resultante (mtodo das sees!)= momento polar de inrcia da rea da seo transversal

= raio externo do eixo= distncia intermediria

mx

TJc 3

= (/ c) max

Para qualquer elemento de rea dA localizado em teremos uma fora F = dA. O torque produzido por F ser dT = dA e para toda a seo teremos:

= = =


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Se o eixo tiver uma seo transversal circular macia, utilizamos um aneldiferencial de rea de espessura d portanto dA = 2d e a integral (0 a c) fica:

Se o eixo tiver uma seo transversal tubular,

4

2cJ

=

( )44

2io ccJ =

4

Como calcular o J (momento polar de inrcia)?


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Usando a frmula de toro para determinar a tenso mxima no eixo, temos

(Resposta)16

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' TT=

( )

3mx

4mx

2

2

c

T

cTc

JTc

=

==

Substituindo essa expresso na Equao 1,

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O eixo est apoiado em dois mancais e sujeito a trs torques. Determine a tensode cisalhamento desenvolvida nos pontos A e Blocalizados na seo aado eixo.

Exemplo 2

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Transmisso de potncia

Potncia definida como o trabalho realizado por unidade de tempo.

Para um eixo rotativo com torque, a potncia :

Visto que , a equao para a potncia

Se conhecemos o torque T e adm, para o projeto do eixo, o parmetro deprojeto ou parmetro geomtrico sai de:

dtdTP /eixodoangularevelocidadaonde ==

f 2rad2ciclo1 ==

fTP 2=

admT

cJ =

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Um eixo macio de ao ABser usado para transmitir 3.750 W do motor Mao qualest acoplado. Se o eixo girar a = 175 rpm e o ao tiver uma tenso decisalhamento admissvel adm = 100 MPa, determine o dimetro exigido para o eixocom preciso de mm.

Exemplo 3

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Exerccios

1. O tubo da figura submetido a um torque de 750 Nm. Determine a parceladesse torque qual a seo sombreada cinza resiste. Resolva o problema de duasmaneiras: (a) usando a frmula da toro e (b) determinando a resultante dadistribuio da tenso de cisalhamento (5.4)

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3. O eixo macio tem conicidade linear rA em uma extremidade e rB na outraextremidade. Deduza uma equao que d a tenso de cisalhamento mxima no

eixo em uma localizao x ao longo da linha central do eixo. (5.30)

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4. O projeto de um automvel prev que o eixo de transmisso AB ser um tubocom parede fina. O motor transmite 125 kW quando o eixo est girando a 1500

rev/min. Determine a espessura mnima da parede do eixo se o dimetro externofor 62,5 mm. A tenso de cisalhamento admissvel do material adm = 50 Mpa.(5.33)

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ngulo de toro -

Integrando em todo o comprimento L do eixo, temos

Por exemplo, se o material homogneo, com seo, T e Gconstantes....

A conveno de sinal determinada pela regrada mo direita.

( )( )=

L

GxJ

dxxT

0

= ngulo de toroT(x) = torque internoJ(x) = momento polar de inrcia do eixo

G= mdulo de elasticidade ao cisalhamento

JG

TL=

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Para o disco diferencial de espessura dx localizado em x o torque em geral ser T(x).

Sendo d o deslocamento relativo de uma face em relao outra j sabemos que auma distncia do eixo teremos =d/dx. Como =G e como = T/J teremos:

= T(x) /J(x)Gsubstituindo teremos: = ( )


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Os dois eixos macios de ao esto interligados por meio das engrenagens.Determine o ngulo de toro da extremidade A do eixo ABquando aplicado otorque 45 Nm. Considere G = 80 GPa. O eixo AB livre para girar dentro dosmancais E e F, enquanto o eixo DC fixo em D. Cada eixo tem dimetro de20 mm.

Exemplo 4

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Soluo:

Do diagrama de corpo livre, nasengrenagens teremos uma F eum T:

( ) ( ) Nm5,22075,0300

N30015,0/45

==

==

xDT

F

1. O ngulo de toro da engrenagem C

( )( )

( )( ) ( )[ ]

rad0269,0

1080001,02

5,15,2294

+=+

==

JG

LT DCC

Visto que as engrenagens naextremidade esto relacionadas(r = cte),

( ) ( )( ) rad0134,0075,00269,015,0 =B

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Agora determinaremos o ngulode toro da extremidade A em

relao extremidade B.


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O ngulo na extremidade A em relao ao extremo Bdo eixo ABcausada pelotorque de 45 Nm,

( )( )

( )( ) ( )[ ]rad0716,0

1080010,02

24594/

+=+

==

JG

LT ABABBA

A rotao total da extremidade A portanto

(Resposta)rad0850,00716,00134,0/ +=+=+= BABA

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O eixo cnico mostrado abaixo feito de um material com mdulo de cisalhamentoG. Determine o ngulo de toro de sua extremidade B quando submetido aotorque T.

Exemplo 5

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Soluo:

Do diagrama de corpo livre, o torque interno T eo raio c(x) :

=

=

L

ccxcc

x

cc

L

cc 122

212

Assim, em x teremos um J(x):

( )

4

1222

=

L

ccxcxJ

O ngulo de toro ser:

(Resposta)3

223

2

3

1

2

121

2

2

0

4

122

++=

= cc

cccc

G

TL

L

ccxc

dx

G

T L

21

( )

( )=L

GxJ

dxxT

0


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6. O eixo de ao A-36 de 20 mm de dimetro submetido aos torques mostrados.Determine o ngulo de toro da extremidade B (5.51)

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Exerccios


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7. O eixo macio de 60 mm de dimetro de ao A-36 submetido aoscarregamentos de toro distribudos e concentrados mostrados na figura.Determine o ngulo de toro na extremidade livre A devido a essescarregamentos (5.62)

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Exerccios


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O eixo macio de ao mostrado na figura abaixo temdimetro de 20 mm. Se for submetido aos dois torques,determine as reaes nos apoios fixos A e B.

Soluo: Examinando o diagrama de corpo livre,

(1)0500800;0 =+= Abx TTM

Visto que as extremidades do eixo so fixas, .0/ =BA

Para as trs regies (mtodo das sees), usando aconveno de sinal (para fora + ver figura ao lado):

( ) ( )( ) ( )

(2)7502,08,1

03,05,15002,0

=

=+++

BA

AAB

TT

JGT

JGT

JGT

Resolvendo as equaes 1 e 2, obtemos TA = 345 Nm e TB= 645 Nm.

Exemplo 6

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Utilizando a relao para as 3 regies:JGTL=


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8. O eixo de ao composto por dois segmentos: AC, com dimetro de 12 mm eCB, com dimetro de 25 mm. Se estiver preso em suas extremidades A e B e forsubmetido a um torque de 750 Nm, determine a tenso de cisalhamento mximano eixo. Gao = 75 Gpa (5.76)

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Exerccios

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