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1
ESCOAMENTO POTENCIAL
Escoamento de fluido não viscoso, 0
Equação de Euler:
Escoamento de fluido incompressível r cte
Equação da continuidade:
Escoamento Irrotacional
Se o escoamento for irrotacional, uma grande simplificação pode ser
obtida na obtenção do campo de escoamento: o campo de
velocidades pode ser obtido sem a solução da equação de Euler.
PgρtD
VDρ grad
0V
div
0 VV
rot
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Para situações bi-dimensionais, pode-se utilizar o conceito de função
de corrente
Escoamento bi-dimensional, incompressível, não viscoso,
irrotacional
função de corrente:
satisfaz a equação da continuidade
Se obrigarmos o escoamento a ser irrotacional, temos
para situações 2-D, e escoamento plano,
satisfaz a equação de Laplace, para escoamento plano, não
viscoso, irrotacional, incompressível
2
uy
vx
,
V 0
z
v
x
u
y x x y y
0 2 0
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3
Procedimento de solução:
1. Resolve-se 2 0 com as condições de contorno apropriadas
2. Obtém-se os componentes da velocidade u e v pela definição de função de corrente
3. Obtém-se a pressão p pela equação de Euler
Condições de contorno:
velocidade ao longe conhecida:
y x, conhecidos
superfície sólida: corpo cons te tan
Coordenadas polares: função de corrente ur
urr
1
,
z
r
r
r u
r r
u
r rr
r r r
0
1 1 1 1 1 2 0
Condições de contorno:
velocidade ao longe conhecida:
r, conhecidos
superfície sólida: corpo cons te tan
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Sabemos que esta equação será sempre verdadeira se definirmos
onde é um potencial, já que o rotacional do gradiente de qualquer
função potencial é sempre zero, .
4
V 0
V
0
ux
vy
wz
, , u
ru
ru
zr z
, ,1
coordenadas cartesianas: coordenadas cilíndricas:
Escoamento Tri-dimensional, Incompressível, Não
Viscoso, Irrotacional
Para situações 3-D, não podemos utilizar o conceito de função de
corrente, já que a mesma só é definida para situações 2-D.
Introduziremos um novo conceito:
FUNÇÃO POTENCIAL DE VELOCIDADE
função potencial de velocidade é definida de forma a satisfazer a
condição de escoamento irrotacional:
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5
Se obrigarmos o escoamento irrotacional a satisfazer a equação de conservação de massa para
fluidos incompressíveis, V 0 , temos
x x y y z z
0 2 0
satisfaz a equação de Laplace, para escoamento não viscoso, irrotacional,
incompressível, 2-D ou 3-D.
Condições de contorno:
velocidade ao longe conhecida:
x y z, , conhecidos
superfície sólida, velocidade normal nula:
n 0
NÃO HÁ CONDIÇÃO IMPOSTA PARA O COMPONENTE
TANGENCIAL
sjá que o escoamento é sem viscosidade
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6
LINHAS DE CORRENTE E EQUIPOTENCIAIS SÃO ORTOGONAIS
Procedimento de solução:
1. Resolve-se 2 0 com as condições de contorno apropriadas
2. Obtém-se os componentes da velocidade u e v pela definição de função potencial
3. Obtém-se a pressão p pela equação de Euler
Obs: Podemos resolver e
a) linhas de corrente = constante são sempre tangente ao campo de velocidade
b) V
V é perpendicular as linhas de constante (equipotenciais)
e
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Pergunta:
Existe alguma vantagem em resolver a
equação de Laplace, ao invés da equação de
Euler?
SIM!!!
A análise da equação de Laplace está bastante
desenvolvida. Existem diversas técnicas disponíveis
superposição de soluções elementares
análise numérica
mapeamento conforme
analogia elétrica
etc.7
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SOLUÇÕES ELEMENTARES PARA ESCOAMENTOS
PLANOS
Vários problemas interessantes de escoamento potencial
podem ser construídos a partir de três tipos de soluções
elementares:
escoamento uniforme
fonte ou sorvedouro
vórtice
As soluções destes problemas podem ser combinadas produzindo
resultados úteis. Para isso, usamos o fato que a equação de Laplace é
linear e o princípio de superposição
Se 1 e 2 são soluções da equação de Laplace, a soma de 1 2
também é solução.
8
21
22
21 20 0 0 e ( )
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14
Exemplo 6.11: Escoamento sobre um Cilindro:
Superposição de Dipolo e Escoamento Uniforme.
Determine: (i) função corrente (ii) função potencial (iii) campo de velocidade
(iv) localize pontos de estagnação (v) campo de pressão
(vi) força resultante sobre o cilindro: arraste e sustentação
Solução:
escoamento uniforme: yU ; xU
dipolo:
senr
;
cosr
(i) Função corrente:
senrUsenr
(ii) Função potencial:
coscos rUr
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15
ur
urr
1
,
r
1u
rur ,
eueuV rr
ou
(iii) Campo de velocidade:
coscos rUr
22
22r
r
U1senUsenUsen
rr
1u
r
U1UU
rru
/
/coscoscos
(iv) pontos de estagnação: ponto onde 0V
logo 0ur e 0u
Note que 0ur para qualquer se Ur / (r=cte círculo) logo o raio do
cilindro é Ua /
Para ambos os componentes serem nulos, é preciso verificar se o componente angular pode
ser nulo sobre a superfície do cilindro.
Para r=a senU2u . Então 0u para = 0 e
Os pontos de estagnação são (r, ) = (a, 0) e ( a,
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16
A função de corrente pode representar um escoamento sobre um cilindro ou um semi-
hemisfério
U r sena
r1
2
2
a
A B
O perfil de velocidade sobre a superfície do cilindro é senU2uu ;
euV
; senU2VV
0 45 90 135 1800
1
2
| u
/U |
B A
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17
(v) campo de pressão:
Para escoamento irrotacional podemos utilizar a EQUAÇÃO DE Bernoulli entre quaisquer
dois pontos: ponto no infinito e ponto sobre a superfície do cilindro
2
Vp
2
Up
22
rr 2222
sen412
Up
2
V
2
Upp r
r
Coeficiente de pressão: 2
2p sen412U
ppC
r
/
0 45 90 135 180
-3
-2
-1
0
1
C p
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Força resultante sobre o cilindro: R F i F j p dA p n a L dA S
cilindro
0
2
n e i j senr cos
R p i jsen a L d F p a L d e F p sen a L dA S cos cos
0
2
0
2
0
2
rr
2
0
222A dLasen4U
2
1U
2
1pF cos
r
r
dsenLaU2dLaU2
1pF
2
0
222
0
2A coscos 0
3
senU2senU
2
1p
La
F2
0
322
02A
r
r
FA 0
rr
2
0
222S dLasensen4U
2
1U
2
1pF
F
a Lp U U sen
S
1
22
32 02
02 2 2
0
2
r r
coscos
( ) FS 0
Força de arraste:
Força de sustentação:
r
r
dsensenLaU2dsenLaU2
1pF
2
0
222
0
2S
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19
Obs:
1. Na realidade existe arraste, veremos que o escoamento separa, ocorre a formação de
esteira.
2. Todo escoamento com simetria em relação a horizontal, apresenta sustentação nula.
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20
Exercício: Meia Superfície de Rankine
Conhecendo o seguinte campo potencial m r U rln cos , determine:
i) o campo de velocidades
ii) pontos de estagnação
iii) as linhas de corrente
iv) forma do corpo
r
x
y
a
Sabe-se que x= r cos y= r sen , logo
m x y U x
mx y U xln ln2 2 2 2
2
i)
ux
Um x
x yU
m r
rU
m
r
2 2 2
coscos
vy
m y
x y
m r sen
r
m
rsen
2 2 2
Sabe-se que x= r cos y= r sen , logo
m x y U x
mx y U xln ln2 2 2 2
2
i)
ux
Um x
x yU
m r
rU
m
r
2 2 2
coscos
vy
m y
x y
m r sen
r
m
rsen
2 2 2
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21
ii) Ponto de estagnação: V 0 ,
i) velocidade vertical: v = 0 para = 0 e
ii) velocidade horizontal :
em = 0 , u = U + m / r = 0 r < 0 impossível
em = , u = U - m / r = 0 r = m/U = a x = - a
iii) uy
Um x
x ydy f x U y m
y
xf x
2 21( ) tan ( )
vx
m y
x ydx g y m
y
xg y
2 21( ) tan ( )
f(x) = 0 e g(y) = U y U y my
xU r sen mtan 1
iv) o ponto de estagnação deve estar localizado sobre o corpo, logo o valor de no ponto de
estagnação é m ou m
O lugar geométrico da linha de corrente m , a qual separa o escoamento da fonte do
escoamento uniforme é
m U r sen m rm
U sen
( )
ux
Um x
x yU
m r
rU
m
r
2 2 2
coscos
vy
m y
x y
m r sen
r
m
rsen
2 2 2
ii) Ponto de estagnação: V 0 ,
i) velocidade vertical: v = 0 para = 0 e
ii) velocidade horizontal :
em = 0 , u = U + m / r = 0 r < 0 impossível
em = , u = U - m / r = 0 r = m/U = a x = - a
iii) uy
Um x
x ydy f x U y m
y
xf x
2 21( ) tan ( )
vx
m y
x ydx g y m
y
xg y
2 21( ) tan ( )
f(x) = 0 e g(y) = U y U y my
xU r sen mtan 1
iv) o ponto de estagnação deve estar localizado sobre o corpo, logo o valor de no ponto de
estagnação é m ou m
O lugar geométrico da linha de corrente m , a qual separa o escoamento da fonte do
escoamento uniforme é
m U r sen m rm
U sen
( )
ii) Ponto de estagnação: V 0 ,
i) velocidade vertical: v = 0 para = 0 e
ii) velocidade horizontal :
em = 0 , u = U + m / r = 0 r < 0 impossível
em = , u = U - m / r = 0 r = m/U = a x = - a
iii) uy
Um x
x ydy f x U y m
y
xf x
2 21( ) tan ( )
vx
m y
x ydx g y m
y
xg y
2 21( ) tan ( )
f(x) = 0 e g(y) = U y U y my
xU r sen mtan 1
iv) o ponto de estagnação deve estar localizado sobre o corpo, logo o valor de no ponto de
estagnação é m ou m
O lugar geométrico da linha de corrente m , a qual separa o escoamento da fonte do
escoamento uniforme é
m U r sen m rm
U sen
( )
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22
uniforme U r sen
dipolo
r
sen
vórtice Kr
aln
Definindo: a U2 / , a referência
U r sena
rK
r
a1
2
2ln
r = a é uma linha de corrente ( = 0)
ur
Ua
rr
11
2
2
cos
Velocidade:
ur
U sena
r
K
r
1
2
2
Exercício: Escoamento ao redor de um cilindro com rotação
Obtido com a combinação de escoamento:
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25
Distribuição de pressão:
p V p U V u U senK
a
1
2
1
222 2 2 2
2
r r
p p U U senK
a
U K
asen
1
2
1
24
42 2 22
2r r
Força resultante sobre o cilindro: R F i F j p dA p n a L dA S
cilindro
0
2
n e i j senr cos
R p i jsen a L d F p a L d e F p sen a L dA S cos cos
0
2
0
2
0
2
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26
Força de arraste:
r
2
0
2A dLaU
2
1pF cos
r
dsena
KU4d
a
KdsenU4La
2
2
0
2
02
22
0
22 coscoscos
F
a Lp U
K
asen U
sen U K
a
senA
r r
r
22
3
2
202
2 02 2
3
0
2 2
0
2
FA 0
Força de sustentação
F p UK
aa L sen d a L U sen d
U K
asen dS
r
r
2 24
422
20
22 3
0
22
0
2
F a L p UK
aU a L sen
U K
aa L
sen U K
aa L
S
r r
r r
22
32
2
2
2
40 0
2
22
2 02 2 2
0
2
0
2
coscos
( )
F K L US 2 r
Força de arraste:
r
2
0
2A dLaU
2
1pF cos
r
dsena
KU4d
a
KdsenU4La
2
2
0
2
02
22
0
22 coscoscos
F
a Lp U
K
asen U
sen U K
a
senA
r r
r
22
3
2
202
2 02 2
3
0
2 2
0
2
FA 0
Força de sustentação
F p UK
aa L sen d a L U sen d
U K
asen dS
r
r
2 24
422
20
22 3
0
22
0
2
F a L p UK
aU a L sen
U K
aa L
sen U K
aa L
S
r r
r r
22
32
2
2
2
40 0
2
22
2 02 2 2
0
2
0
2
coscos
( )
F K L US 2 r
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27
1a Questão: Um cilindro é formado ao aparafusar duas calhas semi-cilíndricas pelo lado interno,
como mostra a figura. Existem 10 parafusos por comprimento de largura em cada lado, e a pressão
interna é 50 kPa (manométrica). Determine a força em cada parafuso, se o fluido externo é ar a
CNTP (r 12 kg/m3). Utilize a teoria de escoamento potencial, logo, o escoamento ao redor do
cilindro pode ser aproximado pela soma de um dipolo (
sen
r) com um escoamento
uniforme ( U y ).
U=25 m/s
p = patm
pin
D = 20 cm
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28
221
r
UU
rU
rur
/cos
coscos
221
r
UU
rU
ru
/sin
sinsin
em r=(/U)0.5 , ur=0,
u= -2 U sin
Entao R=D/2=(/U)0.5
r
V
tds
Vg z
d pcons te
s s
2
2tan
rr pupU
22
22
r 22
412
sin
UppPara r=cte, regime permanente = >
LRdU
ppLRdppF inin r
sin)sin(sin)(0
22
0
412
2
3
42
3
0
32
2
0
2
0
20
422
2
rr
sincoscos
sinsin)( dLRU
dLRU
ppF in
NL
RUpp
NL
Fin
223
162
2
r )( mNNL
F/,567
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29
2a Questão: Uma usina nuclear despeja Q = 8,5 m3/s de água quente, utilizada no processo de
refrigeração no fundo do mar. O jato de água sai verticalmente do fundo do mar, que está a uma
profundidade de b = 7,6 m. A corrente marinha é igual a U = 0,4 m/s. Por razões ecológicas é
necessário saber, a que distância da saída da tubulação a corrente marinha é afetada pela água
quente. De acordo com a figura, deseja-se saber a e L. Note que este escoamento pode ser
representado por uma combinação de uma fonte e um escoamento uniforme.
Sabe-se:
Escoamento uniforme:
yU
Fonte:
2
b/Q
x = r cos
y r sen
222 yxr
)x/y(tan 1
2 LU
r
x
y
a
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30
22
bQrU
bQyU
/sin
/
x
ybQyU 1
2 tan
/
r
bQU
rur
2
/cos
sinU
ru
Ponto de estagnação: u=0 , ur=0 u=0 em 0 e
ur=0 em 0 impossível
em se a = (Q/b)/(2 U)
Ponto de estagnação: r=a, a = (Q/b)/(2 U)=0,44m
Linha de corrente que passa pelo ponto de estagnação: 2
bQa
/),(
221 bQ
x
ybQyU
/tan
/
Lugar geométrico desta linha de corrente:
U
bQ
x
y
U
bQy
221 /
tan/
Lyx
U
bQ
U
bQL
zero
20
21 /
tan/
mU
bQL 41
2,
/
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31
Exercicio: Um tornado pode ser representado por um vórtice (=- K ln r). A pressão foi
medida a 0,5 m do centro do vórtice como sendo igual a 90 KPa. Qual a velocidade
nesta posição? Qual a intensidade K do vórtice?
0
rur
r
K
ru
2
2222
r
KuVV
r
r 2
2
1
2
22
21 pV
pV
atmprp )( 02 )(rV
atmp
V
p 2
2
11 sm
ppV atm /)( 1352 1
1
r
smrVK /, 276711
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32
Questão: Um “chip” retangular de microcircuito flutua numa camada de ar (r=1,2
kg/m3), com espessura h= 0,5 mm, acima de uma superfície porosa. A largura do “chip” é
L= 20 mm, e a espessura é t = 2 mm, conforme mostrado. O seu comprimento b, na
direção perpendicular ao plano da figura, é igual 100 mm. Não há escoamento na direção
z. Admita que o perfil de velocidade na direção x, na fresta sob o “chip”, é uniforme em
y, isto é, não varia com y. O fluido é incompressível e os efeitos de atrito podem ser
desprezados. Estime a massa do “chip”, sabendo que vo= 3 m/s.
y
L
h
x
t
vo
u
Balanço de forças no chip => 0F
022
0
/L
atm dxbpLbpgm
2
0
2 /'
Ldxbp
gm
atmppp '
Para avaliar a pressão, desprezando efeitos de
atrito, aplicamos a equação de Bernoulli 22
22
2/LV
pu
p atm rr
precisamos estimar a velocidade
utilizando a equação da continuidade 0dAnVd
t SCVC
r r
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33
0dAnVdt SCVC
r r
temos de vo x b = u b h => u= vo x / h
2
22
2
222
22
2
22
22
h
xv
h
LvuVppp oo
atmL rrrr
)/(´ /
r
2
02
2
2
22
418
2 /Lo dxb
L
x
h
Lv
gm
=> m = 0,293 kg
2
0
2 /'
Ldxbp
gm
h
LLxuL ovV
222
/)/(/
r
2
2
2
22
418 L
x
h
Lvo
bL
LL
h
Lv
gm o
r
2
3
2
22 2
3
4
28
2 )/(b
h
Lv
gb
h
Lv
gm oo
2
32
2
32
12
1
3
1
8
2rr