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2 Regra Geral da Potência para Integração
Se u é uma função diferenciável de x, então1
, 1.1
n
n ndu uu dx u du C n
dx n
Aplicação: Calcule as seguintes integrais indefenidas.
1) dx x x 12 2
2) dx x x x 1232
3) dx x x 23 32
4)
dx
x
x
2
221
4
5) dx x x 17 32
.
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2.1 Onde não se aplica a Regra Geral da Potência
Calcular a integral indefinida .438 22
dx x .
Regra Geral da Potência
243 xu xdx
du8
I = .4381 22
dx x x x
x
1só é válido para constantes; portanto dx x x
xdx x
2222 4381
438 .
Resolvemos assim:
dx x xdx x xdx x 424222 12819272162498438
C x x xC x x
x 5353
5
1286472
5
128
3
19272 .
2.2 Integração por Substituição
Calcule a integral indefinida dx x 31 .
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Exercícios – lista 2
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
1) dx x 221 4
2) dx x x 1045 2
3) dx x x 23 33
4) dx x 41
5) dx x x
72
1
6)
dx
x
x
23
2
1
7)
dx
x x
x
22 32
1
8)
dx
x x
x
34
2
2
9) dx x x3 215
10)
dx
x
x
21
4
11)
dx
x 32
3
12)
dx
x
x
4
3
1
13) dx x2
1
14) dx x x x 13 23
15) dx x x x 41423 2
16)
dx
x
x
321
6
17)
dx
x x
x
32 73
64
18) .
1 3
2
dx x
x
Respostas:
1.51
(1 2 )5
x
2.
3
2 22
(5 4)5
x C
3.
3
3 22
(3 )3
x C
4.51
( 1)5
x C
5. 2 8
1( 1)16 x C
6.3
1
3(1 )C
x
7.2
1
2( 2 3)C
x x
8.2
4 3 x x C
9.
4
2 315
(1 )8
x C
10.24 1 x C
11. 3 2 3 x C
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12.41
12
x C
13. 2 x C
14.3 21
( 3 )6
x x C
15.2 21 (3 2 4 )
4 x x C
16.2 2
3
2(1 )C
x
17.2 2
1
( 3 7)C
x x
18.
32 1
3
x
C
3 Integrais Exponenciais e Logarítmicas
3.1 Regra Exponencial Simples:
C edxe x x
3.2 Regra Exponencial Geral:
C edxdx
due
uu
Exemplos: I ntegr ação de funções Exponenciais
1) dxe x2
2) dxe x22
3) dx xe x
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4) dx xe x
2
5 .
3.3 Regra Logarítmica Simples:
C xdx x
ln1
3.4 Regra Logarítmica Geral:
C uduu
dxdx
du
uln
11
Exemplos: I ntegrando Funções Logarítmicas .
1) dx x
4
2) dx x
x
2
2
3)
dx x 13
3
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Aplicando a Regra Log.
4)
dx x 12
1
5)
dx x
x
1
62
ATENÇÃO: As integrais às quais se pode aplicar a Regra Log. Costumam ser dadas em
forma disfarçada. Por exemplo, se uma função racional tem numerador de grau não inferior ao
do denominador, devemos primeiro efetuar a divisão, obtendo uma parte inteira e uma parte
fracionária. Eis um exemplo:
dx
x
xdxdx
x
xdx
x
x
x
xdx
x
x x
1
61
1
61
1
6
1
1
1
162222
2
2
2
C x x 1ln3 2 .
Exemplos: Escrevendo sob Nova Forma An tes de I ntegrar .
a)
dx x
x x
2
2123
b)
dxe
x1
1
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12
c)
1
12
x
x x=
Exercícios – Lista 3
I) Use a regra exponencial para calcular a integral indefinida.
1) dxe x22
2) dxe x4
3) dxe
x25,0
4) dx xe
x2
9
5) dx xe x
25,02
6) dxe x x
325
7) dxe x
x x2
12
8) dxe x x
x x 132 23
2
9) dxe x
x x 82
43
10) dxe
x25
11)
dxe x
21
3
12) dxe x
x
2
2
1
13) dxe x
x24
1
3
1
14) dxe x
x1
15)
dxee x x 2
.
II) Use a regra log. para calcular a integral indefinida.
16)
dx x 1
1
17)
dx x23
1
18)
dx
x
x
12
19)
dx x
x
3
2
3
20)
dx
x x
x
76
32
21)
dx
x x x
x x
193
3223
2
22) dx x x ln
1
23)
dxe
e
x
x
1
24)
dxe
e
x
x
1
25)
dxe
e
x
x
2
3
26)
dxe
e
x
x
2
2
5
4
27)
dx
e
e
x
x
3
3
2
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13
Respostas:
1.2 x
e C
2.21
4
xe C
3.0,254 x
e C
4.29
2
xe C
5.20,52
xe C
6.35
3
xe C
7.2
x xe C
8.3 2
3 113
x xe C
9.2 83
2
x xe C
10.25 x
e C
11.
1
26 x
e C
12.
21
2 xe C
13.
2
42 x
e C
14. 2 x
e C
15.2 21 1
22 2
x xe x e C
16. ln | 1| x C
17.1
ln | 3 2 |2
x C
18.21
ln ( 1)2
x C
19.31
ln | 3 |3
x C
20.21
ln | 6 7 |2
x x C
21.31
ln | 6 7 |3
x x C
22. ln | ln | x C
23. ln |1 | xe C
24. ln |1 | xe C
25. 3ln| 2 | x
e C
26.2
2 ln | 5 |
xe C
27.31
ln | 2 |3
xe C