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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO II

Lista 10 1. Mostrar que a sequência

an{ } é estritamente crescente ou estritamente decrescente usando a Diferença entre Termos Sucessivos:

1.1.

1n

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

1.2.

1− 1n

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

1.3.

n2n +1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

1.4.

n4n −1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

1.5.

n − 2n{ } 1.6.

n − n2{ }

2. Mostrar que a sequência

an{ } é estritamente crescente ou estritamente decrescente usando a Razão dos Termos Sucessivos:

2.1.

n2n +1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

2.2.

2n

1+ 2n⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

2.3.

ne−n{ }

2.4.

10n

2n( )!⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

2.5.

nn

n!

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

2.6.

5n

2n2

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

3. Mostrar que a sequência

an{ } é estritamente crescente ou estritamente decrescente usando a Diferenciação:

3.1.

n2n +1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

3.2.

3− 1n

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

3.3.

1n + lnn

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

3.4.

ne−2n{ } 3.5.

ln(n + 2)n + 2

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

3.6.

tg−1n{ }

4. Mostrar que a sequência

an{ } é estritamente crescente ou estritamente decrescente usando qualquer método:

4.1.

2n2 − 7n{ } 4.2.

n3 − 4n2{ } 4.3.

nn2 +10

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

4.4.

n +17n

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

4.5.

n!3n

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

4.6.

n5e−n{ }

5. Determine se cada seqüência a seguir é crescente, decrescente ou não-monótona:

5.1.

1n

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

5.2.

1− 2n2

n2⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

5.3.

cos 13nπ

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

5.4.

5n

1+ 52n⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

5.5.

(2n)!5n

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

5.6.

n !3n

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

5.7.

nn

n !

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

5.8.

3n −14n + 5

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

5.9.

sen nπ{ } 5.10.

n e−n{ } 5.11.

2n −14n −1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

5.12.

n2 + 3n +1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

6. Prove que as seguintes seqüências são convergentes, utilizando os teoremas 5, 6, 7 e 8.

6.1.

3n −14n + 5

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

6.2.

n3n+1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

6.3.

1.3.5.....(2n −1)2.4.6.....(2n)

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

6.4.

5n

1+ 52n⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

6.5.

n!1.3.5.....(2n −1)⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

6.6.

n e−n{ }

7. Dada uma seqüência

an{ } monótona tal que

1≤ an ≤ 2 . 7.1. Essa seqüência deve convergir? Caso afirmativo, o que pode ser dito sobre o limite? 7.2. Suponha que

an{ } seja uma seqüência monótona tal que

an ≤ 2 . A seqüência deve convergir? Se sim, o que se pode dizer sobre o limite?

8. Para provar o limite

limn→+∞

xn

n!= 0 podemos usar sequências . Claro que se

x = 0 fica óbvio e, sendo assim, vamos usar somente

x ≠ 0.

Analise cada item abaixo e resolva:

8.1. Seja

an =x n

n!, mostre que

an+1 =x

n +1an ;

8.2. Mostre que a sequência

an{ } é estritamente decrescente a partir de um certo termo; 8.3. Mostre que a sequência

an{ } converge; 8.4. Use os resultados dos itens 8.1 e 8.3 para mostrar que

an → 0 quando

n→ +∞ ;

8.5. Obtenha o resultado do limite

limn→+∞

xn

n! usando o observado no item anterior.

RESULTADOS LISTA 10 1. 1.1. Estritamente decrescente

∀ n ≥ 1 1.2. Estritamente crescente

∀ n ≥ 1 1.3. Estritamente crescente

∀ n ≥ 1 1.4. Estritamente decrescente

∀ n ≥ 1 1.5. Estritamente decrescente

∀ n ≥ 1 1.6. Estritamente decrescente

∀ n ≥ 1 2. 2.1. Estritamente crescente

∀ n ≥ 1 2.2. Estritamente crescente

∀ n ≥ 1 2.3. Estritamente decrescente

∀ n ≥ 1 2.4. Estritamente decrescente

∀ n ≥ 1 2.5. Estritamente crescente

∀ n ≥ 1 2.6. Estritamente decrescente

∀ n ≥ 1 3. 3.1. Estritamente crescente

∀ n ≥ 1 3.2. Estritamente crescente

∀ n ≥ 1 3.3. Estritamente decrescente

∀ n ≥ 1 3.4. Estritamente decrescente

∀ n ≥ 1 3.5. Estritamente decrescente

∀ n ≥ 1 3.6. Estritamente crescente

∀ n ≥ 1 4. 4.1. Estritamente crescente

∀ n ≥ 2 4.2. Estritamente crescente

∀ n ≥ 3 4.3. Estritamente decrescente

∀ n ≥ 3 4.4. Estritamente crescente

∀ n ≥ 4 4.5. Estritamente crescente

∀ n ≥ 3 4.6. Estritamente decrescente

∀ n ≥ 6 5. 5.1. Decrescente

∀ n ≥ 1 5.2. Decrescente

∀ n ≥ 1 5.3. Não-monótona 5.4. Decrescente

∀ n ≥ 1 5.5. Crescente

∀ n ≥ 1 5.6. Crescente,

∀ n ≥ 3 5.7. Crescente

∀ n ≥ 1 5.8. Crescente

∀ n ≥ 1 5.9. Não-monótona 5.10. Decrescente

∀ n ≥ 1 5.11. Crescente

∀ n ≥ 1 5.12. Crescente

∀ n ≥ 1

6. 6.1. É monótona crescente, limitante

inferior

29

, limitante superior

34

-

sequência limitada é convergente; 6.2. É monótona decrescente, limitante

inferior

0 , limitante superior

19

- sequência

limitada é convergente; 6.3. É monótona decrescente, limitante

inferior

0 , limitante superior

12

- sequência

limitada é convergente; 6.4. É monótona decrescente, limitante

inferior

0 , limitante superior

526

-

sequência limitada é convergente; 6.5. É monótona decrescente, limitante inferior

0 , limitante superior

1 - sequência limitada é convergente; 6.6. É monótona decrescente, limitante

inferior

0 , limitante superior

1e

- sequência

limitada é convergente; 7. 7.1. Sim: uma seqüência monótona é crescente ou decrescente; se é crescente e tem limite superior, pelo teorema 6, é convergente. Se é decrescente e tem limite inferior, é convergente, pelo teorema 7. Pelo teorema 5, uma série monótona limitada (no intervalo [1,2]) é convergente. 7.2. Pode convergir levando em consideração que ela seja crescente e tem limite superior em 2, mas caso seja decrescente nada se pode afirmar, pois não tem limite inferior, e, sendo assim, pode divergir.

8. 8.1.

an+1 =x n+1

(n +1)!=

x n . x(n +1)n!

=

an+1 =x

(n +1).x n

n!=

x(n +1)

an

8.2.

an+1an

=

x(n +1)

an

an=

x(n +1)

< 1

Se n > x −1

8.3. Se an é decrescente e para todo

n > x −1

Sabendo que

x(n +1)

→ 0 , concluímos que

o limitante inferior é zero, sendo assim, an é limitada, sendo , assim, convergente 8.4. Por 8.3,

limn→+∞

an = L por an convergir

e por 8.1

limn→+∞

an = L⇒ L =x

limn→+∞

(n +1)L = 0.L = 0

8.5.

limn→+∞

x n

n!= limn→+∞

an = 0