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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 1
Sumário e Objectivos
Sumário: Flexão segundo os dois Eixos Principais de Inércia ou Flexão Desviada. Flexão Combinada com Esforço Axial.
Objectivos da Aula: Apreensão da forma de Cálculo das Tensões Axiais em Secções sujeitas a Flexão Desviada e da forma de Cálculo das Tensões Axiais em Secções sujeitas a Flexão combinada com Esforço Axial.
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Ponte
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 3
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 4
Garagem para o Barco
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Estrutura de Carroçaria de Veículo
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Ponte
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Vigas Compósitas
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 8
Flexão de Vigas Constituídas por Vários Materiais
As componentes estruturais tipo viga são muitas vezes constituídas por mais que um material constituindo as chamadas vigas não homogéneas. Alguns exemplos de vigas deste tipo são, vigas de madeira reforçadas a aço, viga constituída de dois materiais, por exemplo, metálicos, vigas de betão armado e as vigas de plásticos reforçados por fibras em geral conhecidas por vigas compósitas. A teoria da flexão de vigas sujeitas a momentos flectores pode ser facilmente adaptada ao estudo de vigas constituídas por dois ou mais materiais.
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Vigas Compostas
x
y y
z
y
z
As vigas compostas que vão ser consideradas são vigas com camadas isotrópicas, embora estas vigas compostas apareçam muitas vezes constituídas com camadas anisotrópicas, nomeadamente ortotrópicas.
Viga Secção da Viga
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Viga Constituída por Dois Materiais - Método Directo
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 11
Viga Constituída por Dois Materiais - Posição do Eixo Neutro
Sendo x a direcção do eixo da viga, a condição de equilíbrio de forças na direcção axial, x, implica que seja ∫ ∫
1 2
x 1 x 2A A
d A + d A = 0σ σ
1 1x1 x kyE E= =σ ε − 2 2x 2 x kyE E= =σ ε −Tendo em conta que eE que b b
y y y= −
∫ ∫ ∫ ∫1 2 1 2
1 2 1 2b b bA A A A
dA + dA = ( dA + dA)y y yE E E E
Obtém-se:
ou ∫ ∫
∫ ∫1 2
1 2
1 2b bA A
b1 2
A A
dA + dAy yE E=y
dA + dAE E
representa a distância do centro de gravidade relativamente àbase da secção, por exemplo.
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 12
Viga Constituída por Dois Materiais - Tensões
A equação de equilíbrio de momentos toma a forma
( )
⎛ ⎞∫ ∫ ∫ ∫⎜ ⎟
⎝ ⎠1 2 1 2
2 2z 1 2x1 x2
A A A A
1 1 2 2
= - ydA - ydA = k dA + dA =y yσ σM E E
= k +E I E I
donde z
1 1 2 2
Mk =+E I E I
1 1x1 x kyE E= =σ ε − 2 2x 2 x kyE E= =σ ε −Tendo em conta
e 1 zx1
1 1 2 2
ME= - yσ+E I E I
2 zx2
1 1 2 2
ME= - yσ +E I E I
Tensões
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 13
Secção com n Materiais
Coordenada do eixo neutro ∑ ∫
∑ ∫
i
i
n
i bi = 1 A
nbi
i = 1 A
d AyE=y
d AE
Tensões no material j
∑
j zxj n
i ii=1
ME= - yσE I
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Método da Secção Equivalente
A equação que representa o equilíbrio de Forças segundo xx e que é
1 2
1 2A A
ydA ydA 0E E+ =∫ ∫
pode ser rescrita com a forma, dividindo ambos os membros por 1E
1 2A AydA nydA 0+ =∫ ∫ onde n representa o cociente dos módulos
de Young: E2/E1.
Nestas condições, podemos constatar por análise da equação anterior que a posição do eixo neutro não se altera se cada elemento de área dA, do material 2, for multiplicado pelo factor n, conservando-se inalterada a distância y do elemento de área ao eixo neutro.
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Método da Secção Equivalente
(2)
z(1)
y
Secção
y
b b
nb
byby
n=E2/E1
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Método da Secção EquivalenteTensões
As tensões x1σ no material 1, podem ser calculadas considerando o momento de inércia da Secção equivalente e 1 2nI I I= +
zx1
e
M= - yσI
As tensões no material 2 não podem ser calculadas directamente considerando a secção equivalente, há necessidade de multiplicar por n
zx2
e
M= -n yσI
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Vigas de Betão
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 18
Vigas de Betão
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 19
Exemplo 11.1
(1)
(2)
(3)
200mm
60mm
70mm
120mm
Considere-se a viga de secção composta por três materiais distintos, os materiais 1,2,3 como se representa na figura. Na face superior da viga e na secção A-A estácolocado um extensómetro de acordo com o qual a deformação axial na secção A-A e na referida face é -5× , determine o momento a que a referida secção estásujeita.Módulos de Young dos
Materiais
410−
1 2 370GPa; 100GPa; 200GPaE E E= = =
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 20
Exemplo 11.1 – Resolução
Começa por determinar-se a posição do centro de gravidade da Secção. Esse cálculo pode ser feito pelo método directo ou pelo método da Secção equivalente. Procedendo a esse cálculo pelo método directo, obtém-se ∑ ∫
∑ ∫
i
i
n
i bi=1 1 1 2 2 3 3A 1 2 3
nb1 1 2 2 3 3i
i=1 A
dAyE + +y y yE A E A E A= =y+ +E A E A E AdAE
=137.4mm
ou pelo método da Secção Equivalente
1 1 2 2 31 2 3b
1 2 2 31
+ +y y yn A n A A=y+ +A n A An
=137.4mm sendo 1 21 2
3 3
E E;n nE E
= =
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Exemplo 11.1 – Resolução
A tensão correspondente à deformação axial lida é:9 4
2x2
82x2
6x2
82
100 5 50MPa10 10Eky 192,6 k10E
50 10ky 192.6 10E
−= ε = − × × × = −σ= − = − ×σ
×σ= = = −× +
z
1 1 2 2 3 3
M+E I E I E I
Desta última igualdade pode obter-se o valor do momento.
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Flexão Segundo os Dois Eixos Principais ou Flexão Desviada
Momento segundo um eixo que não coincide com os eixos principais de inércia da secção.
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Flexão Desviada
O momento aplicado, M, pode ser decomposto em dois momentos actuantes segundo as direcções principais de inércia da Secção e que são de acordo com a figura e . Uma vez que a Secção considerada tem simetria em relação aos eixos dos yy e dos zz, as formulas deduzidas para as tensões axiais em termos do Momento Flector são aplicáveis, à flexão no plano Oxy e no plano Oxz, ou seja aplicando o princípio da Sobreposição de Efeitos,
yM zM
yzx
z y
MM= - y + zσI I
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Distribuição de Tensões
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 25
Eixo Neutro
O eixo neutro da secção que corresponde a tensões axiais nulas ocorre quando for:
yz
z y
MM y z 0I I
− + =y z
y
y M I= +Iz Mz
onde y/z representa a tangente do ângulo g, o qual representa o ângulo que a linha neutra faz com o eixo dos zz e corresponde à equação de uma recta que passa pelo centroide da Secção
y = M sen αM
z M cosM = αz
y
Itan g tan gI
γ = α
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 26
Exemplo 12.1
Considere a viga com tramo em consola representada na figura, sendo a distância entre apoios de 4m e o tramo em consola de 1m, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, de intensidade 10kN/m, cujo plano de solicitação faz um ângulo β=60º com o eixo dos yy, como se representa na referida figura. A secção da viga é rectangular de dimensões 100×200mm. Determine as tensões axiais máximas a que a viga está sujeita.
4m 1m
10kN/mSecção Recta
Direcção da Carga
β
y
z
100mm
200mm
AB C
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 27
Exemplo 12.1- Resolução
Podem determinar-se os Esforços Transversos e Momentos Flectores e calcular o Momento Máximo instalado. Começa por calcular-se as Reacções de Apoio que são tais que A B 50R R+ =
B4 125R =
B 31.25kNR =
A 18.75kNR =
No troço AB os Esforços Transversos e os Momentos são
T 18.75 10x= − T=0 implica x=1.875m
2M 18.75x 5x= − para x=1.875m é M=17.578kN.m para x=4m é M=-5kN.m
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 28
Exemplo 12.1- Resolução
No Troço BC da viga os Esforços Transversos e Momentos Flectores são
T 50 10x= −2 2M 18.75x 31.25(x 4) 5 50x 5 125x x= + − − = − −
para x=4 M=-5kN.m para x=5 M=0
O momento Máximo é M=17.578kN.m e ocorre na secção que corresponde a x=1.875m, portanto num ponto entre apoios. Este momento tem componentes segundo yy e segundo zz que são
z M cos 17.578 cos 60 17.578 0.5 8.789M = β = × = × =
y Msen 17.578 sen60 17.578 3 2 15.223kN.mM = β = × = × =
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 29
Exemplo 12.1- Resolução
Antes de calcular as tensões há necessidade de calcular os Momentos de Inércia, que são
3 7 4z 100 /12 6.6667200 10I mm= × = ×
3 7 4y 200 /12 1.6667100 10I mm= × = ×
Os pontos onde as tensões são potencialmente mais elevadas são os quatro cantos da secção e nesses pontos as tensões axiais são
Para z=50mm e y=-100mm3 3
yz 3 3x 5 5
z y
8.789 15.223M 10 10M y z ( 100 ) (50 )10 106.6667 1.666710 10I I
− −− −
× ×= − + = − − × + × =σ
× ×58.85Mpa
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 30
Exemplo 12.1- Resolução
Para z=-50mm e y=-100mm3 3
yz 3 3x 5 5
z y
8.789 15.223M 10 10M y z ( 100 ) ( 50 )10 106.6667 1.666710 10I I
− −− −
× ×= − + = − − × + − × =σ
× ×-32.49MPa
Para z=-50mm e y=100mm3 3
yz 3 3x 5 5
z y
8.789 15.223M 10 10M y z (100 ) ( 50 )10 106.6667 1.666710 10I I− −
− −
× ×= − + = − × + − × =σ
× ×-58.85Mpa
Para z=50mm e y=100mm
3 3yz 3 3
x 5 5z y
8.789 15.223M 10 10M y z (100 ) (50 )10 106.6667 1.666710 10I I
− −− −
× ×= − + = − × + × =σ
× ×32.49MPa
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Exemplo 12.2-Flexão Desviada
Considere-se uma viga cuja secção tem a forma em L como se representa na figura e determine-se as tensões axiais de flexão na Secção da viga em que o Momento Flector éigual a 20kN.m segundo zz.
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 32
Exemplo 12.2-Resolução
Começa por Determinar-se a posição do centro de Gravidade que é tal que
b
b
150 30 75 170 30 15 43.125mmz 150 30 170 30200 30 100 120 30 15 68.125mmy
200 30 120 30
× × + × ×= =
× + ×× × + × ×
= =× + ×
Seguidamente determinam-se os momentos de inércia e produto de Inércia em relação aos eixos Oy e Oz
( )
( )
32
z
32 6 4
30 170 30 170 200 68.125 85I 12150 30 150 30 68.125 15 36.526 10 mm12
×= + × × − − +
×+ + × × − = ×
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Exemplo 12.2-Resolução
( )
( )
32
z
32 6 4
170 30 30 170 43.125 15I 1230 150 150 30 75 43.125 17.426 10 mm12
×= + × × − +
×+ + × × − + = ×
( )( )( )( )
yz
6 4
30 170 200 68.125 85 43.125 15I150 30 68.125 15 75 43.125 14.344 10 mm
= × × − − − +
+ × × − + − + = ×
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 34
Exemplo 12.2-Resolução
Os momentos de Inércia Principais são
2z y z y 62 4
max 1 yzI I I I 44.208 10I I I mm22+ −⎛ ⎞= = + + = ×⎜ ⎟
⎝ ⎠
2z y z y 62 4
min 2 yzI I I I 9.744 10I I I mm22+ −⎛ ⎞= = − + = ×⎜ ⎟
⎝ ⎠
O ângulo q é tal que yz
z y
2Itan g2 1.5020I I
θ = =−
ou seja 28.187ºθ =
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 35
Exemplo 12.2-Resolução
Uma vez conhecida a posição dos momentos de Inércia Principais podem considerar-se as fórmulas de flexão anteriormente deduzidas e determinar as tensões axiais considerando a flexão em relação aos eixos principais.
3 4z´ M cos 20 cos 28.187 1.76 N.m10 10M = θ = × = ×
3 3y´ Msen 20 sen28.187 9.443 N.m10 10M = θ = × = ×
As tensões são calculadas a partir da fórmula seguinte e nos pontos críticos
y´z´x
z´ y´
MM y´ z´I I
= − +σ
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Momento Combinado com Esforço Axial
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 37
Momento Combinado com Esforço Axial
yM = Pz A excentricidade e tem duas componentes, e , o momento resultante Pe pode decompor-se em dois momentos um segundo y que é
e um momento segundo z que é zM = P y .
As tensões axiais que se desenvolvem na viga resultam do esforço axial, P e dos dois momentos, por aplicação do princípio da sobreposição de efeitos, são
yzx
z y
P MM= - y + zσA I I
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 38
Problemas propostos
1. Considere uma viga encastrada de secção cruciforme, como se representa na figura seguinte. A viga está sujeita a uma carga, P=100N, com a orientação relativa à secção que se representa na figura, ou seja de 45º em relação aos eixos principais de Inércia. Determine:
a) as tensões longitudinais máximas na secção que se encontra a 30cm do ponto de aplicação da carga.
b) os pontos que na referida secção correspondem a tensões longitudinais nulas.
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 39
Problemas Propostos
P
x
P
y
z
10mm 6mm
15mm
25mm
3m
Eixos de Simetria
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 40
Problemas Propostos
2. Considere uma viga com vão de 4m e com uma secção rectangular de dimensões, 15×20cm, como se representa na figura. A viga está sujeita a uma carga pontual, P=6kN, no ponto médio que actua na direcção diagonal da secção, como se representa na referida figura. Determine as tensões longitudinais máximas e determine a orientação do plano neutro da secção.
2m 2m
P P=6kNy
z200mm
150mm
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 41
Problemas Propostos
3. Considere uma viga encastrada de secção em Z, sujeita a uma carga concentrada na extremidade livre e segundo o eixo dos yy. O comprimento da viga é de 2m. A intensidade da carga é P=15kN. As dimensões da secção estão representadas na figura conjuntamente com os eixos. A espessura da secção é constante e igual a 20mm. Determine as tensões axiais máximas.
z
y
200mm
100mm
Nota: Secção não simétrica
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 42
Problemas Propostos
Resolução:
Cálculo dos Momentos de Inércia e Produtos de Inércia da Secção com vista à obtenção dos Eixos Principais de inércia e momentos de inércia principais.
Decomposição da carga segundo as direcções principais.
A partir daí a resolução segue o caminho usual.
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Mecânica dos Sólidos 12ªAula 43
Problemas Propostos
4. Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura, sujeita a uma carga axial segundo o eixo da viga e a uma carga uniformemente repartida com a orientação indicada em relação aos eixos principais de inércia da secção.
30kN 30kN
P=15kN/m
1.5m 1.5m 1m
y
x
P
Espessura da Secção constante e igual a 20mm
150mm
120mm