MECÂNICA - ESTÁTICA
Vetores ForçasCap. 2
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Objetivos
Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo.
Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores.
Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre o outro.
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2.9 Produto Escalar
Definição:O produto escalar define um método para multiplicar dois vetores.O produto escalar pode ser usado para encontrar o angulo entre dois vetores.
A . B = A B cos
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A . B = A B cos
2.9 * Propriedades da Operação
Lei comutativa:
A . B = B . AMultiplicação por escalar:
a (A . B) = (a A) . B = A . (a B) = (A . B)a
Lei distributiva:
A . (B + D) = (A . B) + (A . D)
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2.9 * Operações com Vetores Cartesianos – Vetores unitários
i . i = (1)(1)(cos0°) = 1i . j = j . i = (1)(1)(cos90°) = 0i . k = k . i = (1)(1)(cos90°) = 0j . j = (1)(1)(cos0°) = 1j . k = k . j = (1)(1)(cos90°) = 0k . k = (1)(1)(cos0°) = 1
i . i = j . j = k . k = 1i . j = i . k = j . k = 0
A . B = A B cos
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2.9 * Operações com Vetores Cartesianos
A . B = (Ax i + Ay j + Az k) . (Bx i + By j + Bz k)
= AxBx (i.i) + AxBy (i.j) + AxBz (i.k)
+ AyBx (j.i) + AyBy (j.j) + AyBz (j.k)
+ AzBx (k.i) + AzBy (k.j) + AzBz (k.k)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
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2.9 * Aplicações
1. Ângulo formado entre dois vetores ou linhas concorrentes
A . B = A B cos
-1cosθAB
A.B
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2.9 * Aplicações
2. Obtendo os componentes de um vetor // and a uma linha
A projeção de A em aa’ (na direção de u) é A||
A projeção de A na linha a aa’ é A
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2.9 * Aplicações
Obtendo A|| :
A|| = (A) (cos) A . u = (A) (u) (cos) = (A) (1) (cos) = (A) (cos) Þ A|| = A . u
Se A|| > 0 Þ A tem a mesma direção de uSe A|| < 0 Þ A tem direção oposta de u
A|| = A|| u = (A.u)u
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2.9 * Aplicações
Obtendo A :
A = A|| + A
Þ A = A - A||
Existem dois métodos para calcular A
2||
2
1
(2)
θsin
cosθ;θcalcule(1)
AAA
AAA
Þ
A.u
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Exemplo 2.C
Determine o ângulo entre os dois vetores.
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Exemplo 2.C - Solução
1
1
1
2 21
2
2
2 2 22
2
Vetores Posição:(3 0) ( 4 0) (0 0) m
3 4 m
35 m
7
( 4)
(2 0) (6 0) ( 3 0) m
2 6 3 m
2 6 ( 3)m
r
r
r
r
r i j k
r i j
r i j k
r i j k
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Exemplo 2.C - Solução
1 2
1 2
21 2
1 1 2
1 2
1
Ângulo entre dois vetores:. (3 4 ).(2 6 3 ). (3)(2) ( 4)(6) (0)( 3)
. 18m
.cos
18cos (5)(7
21)
1
θ
r
θ
θr
θ
r r i j i j kr r
r r
r r
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Problema 2.D
Se F = {16i +10j – 14k} N, determine o módulo da projeção de F ao longo do eixo do poste e da perpendicular a ele.
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Problema 2.D
Diagrama
||FF
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Problema 2.D - Solução
2 2OA
OA
2 2 2
AO
OA
OA
2 4 4 2 tan 60
2 4 7.7460
2 4 7.7460 8.9
0.22361 0
443
.44721 0.86603
mOA
OA
r
r
u i j
r i j k
r i j k
ru
k
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Problema 2.D - Solução
|| OA
||
||
OA
{16 10 14 }N
Módulo da projeção de ao longo do eixo do poste é:| | | . |
| | |{16 10
0.22361 0.44721 0.86603
0.22361 0.44721 0.86603
0.22361 0.44721
14 }.{ } |
| | | (16)( ) (10)( ) ( 14
F
F
F
F i j k
Fu i j
F u
k
j ki k i j
|
||
|
0.86603
| | | 4
|
.07456
| 4.07
)( )
|
|
N
F
F
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Problema 2.D - Solução
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Problema 2.E
As duas forças F1 e F2 atuam no gancho.
Determine o módulo e a direção da menor força
F3 tal que a força resultante das três forças
tenha um módulo de 20 lb.
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Problema 2.E - Solução
11min3
31R
3
31R321321R
20)(direção mesma a tem e quando
mínima é amo,paralelogr do regra Da
)(
RRR FFFF Þ
FFF
FFFFFFFFFFR=20 lb
10lb
5 lb
FR1=F1+F2 45
3
θ
F3
A BA+B
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Problema 2.E - Solução
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Problema 2.F
Determine o módulo da componente projetada do comprimento da corda OA ao longo do eixo Oa.
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Problema 2.F
Diagrama
A’
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Problema 2.F - Solução
Teoria:A|| = (A) (cos) A . u = (A) (u) (cos) = (A) (1) (cos) = (A) (cos) A|| = A . u
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A’
Problema 2.F – Solução
Vetor posição :5 cos 45 3.5355
cos
1.7678 3.0618 3.5355
60 1.7678 sen60 3.0618
5 sen 45 3.5355
XY
X XY
Y XY
Z
OA
OAAA AA AA
r i j k
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A’
Problema 2.F – Solução
2 2 2
OaOa
Oa
Vetor posição :
15 10 ( 5) 18.7083mVetor unitário
0.80178 0.53452 0.
15 10 5
26726
O
a
Oa
a
O
Oa
rOa
r
u
ru
i k
j
r j
i k
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A’
Problema 2.F – Solução
O
'
'
a
Produto esc
1.767
2.11 ft
alar:0.80178 0.53452 ( 0.
8 3.0618 3.53550.80178 0.53452 0.26726
1.7678 3.06 218 3.53 5 6726)5O
O
OA
A
Ar
r
r i j ku i j k
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Problema 4 dos exercícios
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Problema 4 dos exercícios
F’
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2.9 * Aplicações
Obtendo A|| :
A|| = (A) (cos) A . u = (A) (u) (cos) = (A) (1) (cos) = (A) (cos) Þ A|| = A . u
Se A|| > 0 Þ A tem a mesma direção de uSe A|| < 0 Þ A tem direção oposta de u
A|| = A|| u = (A.u)u
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Problema 4 dos exercícios
Fx
Fy
Fz
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Problema 4 dos exercícios - Solução
Fx
Fy
Fz
G
a
b
g
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2.5 Vetores Cartesianos
Direção de um Vetor Cartesiano:
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Problema 4 dos exercícios - Solução
F’ = (Fx cos a + Fy cos b + Fz cos g) uG
F’ = (Fx cos a + Fy cos b + Fz cos g)F’ = F . uG
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Problema 2 dos exercícios
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Problema 2 dos exercícios - Solução
6kN
400 TF
Diagrama de corpo livre
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Problema 2 dos exercícios - Solução
6kN
400
T
F
Resultante de F e T
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Problema 2 dos exercícios - Solução
6kN
400
T
F
Resultante de F e T
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Problema 2 dos exercícios - Solução
6kN
400500
T
F
Resultante de F e T (F mínimo)