OS OS CONJUNTOSCONJUNTOS NUMÉRICOSNUMÉRICOS
CONJUNTOS CONJUNTOS NUMÉRICOSNUMÉRICOS
O conceito de número foi evoluindo ao longo dos tempos, tendo-se criado novos números
para responder a problemas entretanto
surgidos.
OS CONJUNTOS OS CONJUNTOS NUMÉRICOSNUMÉRICOS
NATURAIS
RACIONAIS
E ...?????
INTEIROS
NÚMEROS NATURAIS
Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais. Este universo é abordado de duas formas distintas: abordagem ordinal, em que os números indicam posições, e a abordagem cardinal, em que os números designam quantidades.
1
2
3
4
NÚMEROS NATURAIS
A formalização mais bem sucedida para o conjunto dos números naturais foi proposta pelo matemático Guiusepe Peano, no século XIX. Ele relacionou os conceitos ordinais e cardinais estabelecendo o conjunto N, cuja representação matemática é:
N = { 0,1, 2, 3, 4, 5, ... }
• Zero não é sucessor de nenhum número natural.
•Todo número natural possiu um único sucessor.
NÚMEROS NATURAIS
A adição é a primeira operação aritmética que devemos compreender neste universo e se aplica a dois ou mais números naturais (parcelas) e produz um único resultado, que chamamos de soma ou total.
•O zero é elemento neutro da adição.
•São válidas as propriedades:
Comutativas da adição: A + B = B + A
Associativas da adição: ( A + B ) + C = A + ( B + C )
NÚMEROS NATURAIS
A multiplicação é a próxima operação aritmética que devemos compreender no universo natural e se aplica a dois ou mais números naturais, agora chamados fatores, e também produz um único resultado, o qual chamamos de produto.
•O produto do número zero com qualquer outro número natural é igual ao número zero.
•O número um é elemento neutro da multiplicação.
NÚMEROS NATURAIS
Aplica-se ainda a lei da multiplicação distributiva .
•À direita:
(m + n ) . p = mp + np
•À esquerda:
p . (m + n ) = pm + pn
NÚMEROS NATURAIS
•São válidas as propriedades:
Comutativas da multiplicação: A . B = B . A
Associativas da multiplicação:( A . B ) . C = A . ( B . C)
No universo dos naturais a potenciação pode ser definida por sucessivas multiplicações de fatores iguais e se aplica a dois números apenas, a base, que indica o valor destes fatores, e o expoente, que indica a quantidade de vezes que devemos multiplicar o número um pela base.
NÚMEROS NATURAIS
A potenciação não possui propriedade comutativa nem associativa, e além disso as potências de expoentes dois e três costumam ser chamadas de quadrado e cubo, respectivamente, por estarem presentes nas expressões que calculam área e volume de figuras geométricas.
NÚMEROS NATURAIS
A divisão no universo natural é uma operação aplicada apenas a dois números (dividendo e divisor), e que produz dois resultados chamados de quociente e resto.
Sendo N e d dois números naturais, tais que N dividido por d produz um quociente q e um resto r, obedecendo as seguintes condições:
N = q.d + r e 0 ≤ r < d
NÚMEROS NATURAIS
*Fica comprovado aqui que não existe divisão em que o divisor é zero, pois, sendo d = 0, não existe número r que satisfaça a desigualdade 0 ≤ r < d.
Então, dados os números N e d ≠ 0, o quociente da divisão de N por d será o maior número natural q, tal que o produto q.d não ultrapasse o valor de N, e o resto dessa divisão é igual a diferença entre o dividendo N e o produto q.d. Por exemplo:
17: 5 = 3. 5 + 2
Note que 3.5 < 17 e o resto é 2 = 17 – 3.5 = 17 - 15
NÚMEROS NATURAIS
*Numa expressão aritmética as operações devem ser efetuadas necessariamente na seguinte ordem:
1)Potenciações;
2)Multiplicações e divisões;
3)Adições e subtrações.
NÚMEROS INTEIROS
A subtração, ou a operação inversa da adição, é a primeira operação aritmética que devemos compreender neste universo e se aplica a dois ou mais números naturais produzindo um único resultado, que chamamos de diferença ou total.
O cálculo: 3 – 4, no conjunto dos números naturais, era impossível (4 é chamado o subtraendo e 3 o minuendo), pois neste conjunto numérico para que a subtração tenha sentido é necessário que o minuendo seja maior que o subtraendo.
A idéia do número negativo veio da necessidade de expandir o universo dos naturais e, aparece na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas...surgem daí o conjunto dos números inteiros.
A abordagem cardinal e ordinal dos números naturais ganha orientação e o número zero se torna origem para contagem de posições feita no sentido definido arbitrariamente como positivo (+) e negativo (-).
A representação matemática deste conjunto é:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
*Na prática aritmética omitimos o sinal dos números positivos e usamos o sinal negativo para indicar o oposto ou simétrico de um número em relação a origem.
NÚMEROS INTEIROS
NÚMEROS INTEIROS
•São válidas as seguintes propriedades:
A - B = - B + A
(a ordem das parcelas não altera o resultado)
A – B - C = A - ( B + C )
A – ( B – C ) = A - B + C(futuramente será visto como um dos casos de fatoração: fator comum
em evidência, no caso acima o número -1)
NÚMEROS INTEIROS
A multiplicação no universo dos inteiros deve obedecer à seguinte regra de sinais: o produto entre dois números inteiros de mesmo sinal é positivo e o produto entre dois números inteiros de sinais opostos é negativo.
( + ) . ( + ) = ( + )
( + ) . ( -- ) = ( -- )
( -- ) . ( + ) = ( -- )
( -- ) . ( -- ) = ( + )
NÚMEROS INTEIROS
*Além disso, os fatores da multiplicação devem ser escritos entre parênteses para que os sinais dos números inteiros não sejam confundidos com os operadores de adição e subtração, só assim indicamos ao certo a base de uma potência negativa.
O produto sucessivo de fatores negativos iguais ou a potenciação de um número negativo (cuja base representa um número menor que zero), apresenta a seguinte propriedade:
•Base < 0 e expoente par, resulta em um número (+)
•Base < 0 e expoente ímpar, resulta em um número (-)
NÚMEROS INTEIROS
O resto da divisão no universo inteiro não pode ser negativo e o sinal do quociente obedece à mesma regra de sinais da multiplicação.
Como o divisor d não pode ser negativo:
N = q.d + r e 0 ≤ r < ǀ d ǀ
Em que ǀ d ǀ indica o valor absoluto do divisor, ou seja, o número d sem seu sinal ou a distância do mesmo até a origem.
NÚMEROS INTEIROS
Por exemplo:
•Dividindo-se (+17) por (-5) obtemos quociente (-3) e resto (+2), pois 17 = (-3).(-5) + 2 e 0 ≤ 2 < ǀ -5 ǀ.• Dividindo-se (-17) por (+5) obtemos quociente (-4) e resto (+3), pois (-17) = (-4).(+5) + 3 e 0 ≤ 3 < 5.•Dividindo-se (-17) por (-5) obtemos quociente (+4) e resto (+3), pois (-17) = (+4).(-5) + 3 e 0 ≤ 3 < ǀ -5 ǀ.
NÚMEROS INTEIROS
Se na divisão de um número inteiro N por um número inteiro d o resto obtido for igual a zero, então dizemos que o número N é divisível pelo número d ou que N é múltiplo de d, e ainda que o número d é divisor do número N.
Há duas operações básicas no universo dos números inteiros que não são indicadas por operadores simbólicos como: ( + ), ( -- ), ( . ) ou ( : ), mas sim por siglas que designam seu significado. Essas operações são chamadas mínimo múltiplo comum (mmc) e máximo divisor comum (mdc), podem ser aplicadas a dois ou mais inteiros a têm propriedade associativa e multiplicativa.
O máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros positivos é o maior número inteiro que divide todos esses números.
Uma maneira prática de se determinar o mdc é dividindo sucessivamente e simultaneamente os números por números primos até que não seja mais possível a divisão simultânea.
Dessa forma, o mdc é dado pelo produto desses números primos.
O O mdcmdc de dois ou mais números, quando fatorados, é de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado
ao menor expoente.ao menor expoente.
mdcmdc
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros positivos é o menor número inteiro positivo que é divisível por todos esses números.
Assim como o mdc é possível calcular o mmc. fazendo divisões sucessivas por números primos e depois multiplicando-se tais números primos. A diferença é que as divisões não param quando não existe mais um divisor primo que seja comum a todos.
Observação: Dados dois números primos entre si, o mmc deles é o produto desses números.
mmcmmc
Sendo n um número inteiro, considere os conjuntos M(n) e D(n) dos múltiplos e dos divisores positivos do número n, respectivamente. Assim, temos por exemplo:
M(6) = {6,12,18,24,30,...}
M(8) = {8,16,24,32,40...}
D(6) = {1,2,3,6}
D(8) = {1,2,4,8}
mmc(6,8) = 24
mdc(6,8) = 2
mmc e mdcmmc e mdc
Exemplo:
Sejam os números 24 e 36.
D(24)={1;2;3;4;6;8;12;24}
D(36)={1;2;3;4;6;9;12;18;36}
O máximo divisor comum ou mdc entre 24 e 36 é 12.
mdc(24,36)=12mdc(24,36)=12
mmc e mdcmmc e mdc
M(24)={24;48;72;96;120;144;160;192;216;...}
M(36)={36;72;108;144;180;216;...}
Os múltiplos positivos comuns de 24 e 36 são: {72;144;216;...}
O mínimo múltiplo comum ou mmc entre 24 e 36 é o 72.
mmc(24,36)=72mmc(24,36)=72
mmc e mdcmmc e mdc
mmc e mdcmmc e mdcFatorando:
24=2³ . 3 mdc(24,36)=12=3.2²mdc(24,36)=12=3.2²36=2² . 3² mmc(24,36)=72=3².2³mmc(24,36)=72=3².2³
mdcmdc: Separadamente, note que o máximo divisor comum (mdc) é o produto de todas as bases comuns a ambas as decomposições, com menor expoente.
mmcmmc: Separadamente, note que o mínimo múltiplo comum (mmc) é o produto de todas os fatores de ambas decomposições (uma vez cada), e quando há repetição usa-se o de maior expoente.
RELAÇÃO ENTRE RELAÇÃO ENTRE MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUMMÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
mdc( a , b ) . mmc( a , b ) = a . bmdc( a , b ) . mmc( a , b ) = a . b
NÚMEROS INTEIROS
Assim, definimos o mínimo múltiplo comum entre dois números inteiros a e b diferentes de zero, como sendo o menor elemento da interseção dos conjuntos M(a) e M(b), e o máximo divisor comum desses números como sendo o maior elemento da interseção dos cunjuntos D(a) e D(b). A única exceção a essa regra é para mmc entre zero e um número qualquer, isto é, mmc (0, n) = 0.
*O resultado das operações mmc e mdc serão positivos mesmo quando essas operações são aplicadas a números negativos.
NÚMEROS RACIONAIS
Há muito tempo transmitimos a idéia de quantidades concretas através de palavras como “metade”, “percentual”, “centavos” ou “dízimo”.
É inegável que R$ 100,00 ou ¼ ou 30% são legítimas representações de quantidade, embora não compartilhem do mesmo sistema de representação.
Frases como: “um terço da população”, “quatro de cada dez pessoas”, “um em um milhão” e outras, se fazem constantes em nosso cotidiano.
NÚMEROS RACIONAIS
Entretanto... com o tempo surgiram outras questões que no conjunto dos números inteiros não tinham sentido.
“ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? ”
Para resolver problemas desse tipo foram criados os números fracionários e decimais.
Estes números juntamente com os números inteiros formam o conjunto dos números racionais.
Q = Z { números fracionários e decimais }
A representação matemática deste conjunto é:
O que são Números Racionas?
Número Racional é todo o número que pode ser
representado por uma razão (ou fração) entre dois números inteiros (com denominador diferente de zero), podendo apresentar ainda a forma
decimal (casos em que não há resto).
1/4 = 0,25
Noções intuitivas de fração:
3
2
4
1
8
8
3
3
2
3
3
4
4
5
4
4
6
3
Nota: Quando o numerador é menor que o denominador, a fração representa um número menor que 1, isto é, uma FRAÇÃO PRÓPRIA caso contrário ela é dita IMPRÓPRIA, e se o numerador é igual ao denominador essa fração representa o número 1.
NÚMERO MISTO
As frações impróprias compõem o número misto.
Por exemplo:
3
7
3
16
3
13.2
3
12
3
12
5
21
5
120
5
15.4
5
14
5
14
6
13
6
76
6
71.6
6
71
6
71
100
510
25
1000
810
96
100
312
1000
12
Nota: Outras frações bem conhecidas são as DECIMAIS, ou seja, frações cujo denominador é um múltiplo de DEZ, isto é, 10, 100, 1000… (potência de base 10).
Amêndoa
Chocolate
Noz
0
2
4
6
8
10
12
Nº
de
fa
tia
s c
om
ida
s
12
8
Escreva a fração correspondente ao número de fatias que se comeu de cada bolo.
Amêndoas : Chocolate: Noz:12
4
12
11
12
4
12
8
12
11
Conclusão: Em frações com o mesmo denominador, o maior número é aquele que tiver maior numerador.
Comparando números fracionários com mesmo denominador
A mãe do André pôs-lhe um problema: tenho uma barra de chocolate para repartir por duas, três ou quatro crianças. Em que caso, ficará cada criança com mais chocolate?
4
1
3
1
2
1
Conclusão: Em frações com o mesmo numerador, o maior número é aquele que tiver menor denominador.
2
1
3
1
4
1
O André pensou, fez um esquema e depois respondeu:
Comparando números fracionários com mesmo numerador
FRAÇÕES EQUIVALENTES OU PROPORÇÕESPaula deu a cada um dos meninos: Zezinho, Pedrinho e Joãozinho,
uma folha A4 para pintarem como se fosse uma parede.
O Zezinho pintou da folha, o Pedrinho e o Joãozinho .
Qual deles pintou mais?2
1
4
2
8
4
Zezinho Pedrinho Joãozinho2
18
4
4
2
5,08
4
4
2
2
1
Afinal, pintaram todos a mesma porção de folha. Frações equivalentes são frações que representam o mesmo número.
Repare:
8
4
4
2
2
1 8
4
4
2
2
1
x 2
x 4
x 2
x 4
: 2
: 4
: 2
: 4
ou
Princípio de equivalência de frações: se multiplicarmos ou dividirmos ambos os termos de uma fração (numerador e denominador) pelo mesmo número inteiro, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à dada.
Por exemplo:
x 3
x 3
5
4
15
12
: 5
: 5
30
15
6
3
x 2
x 2
9
1
18
2
4
2
5
1é maior ou menor que ?
A forma fracionária deixa bastante claro como se deve obter a parte desejada, mas torna difícil a comparação entre os números.
5,04:24
2 2,05:15
1 2,05,0
Logo:5
1
4
2
Conclusão: Podemos dividir o numerador pelo denominador e comparar os resultados, ou tornar o denominador o mesmo, através do princípio de equivalência das frações, e em seguida comparar.
Já na forma decimal, a ordem crescente desses números se faz visível em pouco tempo, desde que sejam usadas o mesmo número de casas
decimais.
Comparando números fracionários com numerador e denominador diferentes
Simplificar uma fração é, obter uma fração equivalente com termos menores até que o mdc do numerador e denominador seja igual a um, chegando-se portanto a fração na forma irredutível.
3
2não se pode simplificar mais, chama-se FRAÇÃO
IRREDUTÍVEL.
ou
: 2 : 2
: 2 : 2
: 12
: 12
36
24 18
12 9
6
3
2 36
243
2: 3
: 3
SIMPLIFICAÇÃO
Adição e subtração em Z e Q
(+3)+(+2)=(+5)
(-3)+(-2)=(-5)
Sinais posicionais Sinais
operacionais
ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM O MESMO SINAL
Da adição de dois números relativos com o mesmo sinal, resulta um número com o mesmo sinal e cujo valor absoluto é a soma dos valores
absolutos desses números.
(-3)+(+2)=(-1)
Da adição de dois números relativos com sinais contrários, resulta um número com o
sinal do que tiver maior valor absoluto. O seu valor absoluto é a diferença dos valores
absolutos desses números.
Sinais posicionais Sinais
operacionais (+3)+(-2)=(+1)
ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM SINAIS
CONTRÁRIOS
Será que só existem adições? Então e a subtração (+2) -
(+4) ?
Fácil! Nesse caso transforma-se a subtração em adição pelo seu simétrico
ou oposto.
(+2) + (- 4 ) = - 2
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
A definição de adição de inteiros mantém-se para o conjunto dos números racionais
relativos, a única diferença é que neste conjunto numérico é necessário que o
denominador seja o mesmo, ou pelo princípio da equivalência de frações ou pelo cálculo do mmc
entre os denominadores:
)2()5(
109
104
105
52
21
)2()5(
109
104
105
52
21
E agora como vamos adicionar números racionais relativos na
forma fracionária ?
E SE OS SINAIS FOREM DIFERENTES?
)2()5(
10
1
10
4
10
5
5
2
2
1
A expressão é o mesmo que:
5
2
2
1
Logo:
)2()5(
10
1
10
4
10
5
5
2
2
1
5
2
2
1
E agora como vamos subtrair números racionais relativos na
forma fracionária ?
A definição de subtração de inteiros mantém-se para o conjunto dos números racionais, de forma análoga a anterior.
A definição de adição e subtração de inteiros mantém-se para o conjunto dos números racionais relativos na forma decimal, o único cuidado é que estas operações devem ser executadas alinhando-se os termos com o mesmo número de casas decimais. Exemplos:
1,875 + 2,5 = 4,375
0,12 + 0,3 = 0.42
34,5 -12,34 = 22.16
0,34 – 0,045 = 295
E se os números racionais relativos estiverem na forma
decimal?
Divisão e Multiplicação
em Q
JÁ SABEMOS QUE NO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS:
21 : 3 = 7
18 : 2 = 9
Ou seja:
Dividendo : Divisor = Quociente
porque
Quociente × Divisor = Dividendo
porque 7 × 3 = 21porque 9 × 2 = 18
Não há nenhum número que multiplicado por 0 dê 6!
A divisão por zero é impossível!
6 : 0 = ?
Sendo N e d números inteiros, tal que N não é múltiplo de d, então para se obter o para se obter o quociente N : d no universo racionalquociente N : d no universo racional, devemos primeiro executar a divisão no universo inteiro. Depois disso, escrevemos uma vírgula no quociente e acrescentamos zeros ao resto, continuando a divisão até que não haja resto ou que algum resto se repita (neste caso a forma decimal do quociente é uma dízima periódica e será discutida no decorrer do curso).
Divisão de números racionais
(- 30) : (+ 5) = - 6 porque (- 6) (+5) = - 30
porque +56
35
+ = +15
302:
5+
1 3+ = +56
Como descobrir este número?
E agora? Como vamos dividir números racionais
relativos na forma fracionária?
A definição de divisão divisão mantém-se para o conjunto
dos números racionais relativos:
Agora já é fácil descobrir o número:
+ 12
: 35
+ = + 12
53
+ =+56
Para descobrir este número existe uma regra!
Para dividir dois números racionais, multiplica-se o dividendo pelo inverso do divisor
(DIVISOR 0).
A definição de divisão de inteiros mantém-se para o conjunto dos números racionais relativos na forma decimal, esta operação pode ser ser executada ignorando-se as vírgulas do dividendo e divisor através do princípio de equivalência de frações ou transformando os mesmos em frações decimais e depois dividindo-os. Por exemplo:
0,15 : 2,40 = 15 : 240
Daí: 15 . 240 = 0,0625
No caso da trasformação para fração decimal,
tem-se: 15/100 : 24/10 = 15/100 . 10/24 = 0,0625
E se os números racionais relativos estiverem na forma
decimal?
regras operatórias
da multiplicação em Q
DivisãoDivisão(multiplica-se a primeira fração (multiplica-se a primeira fração
pelo inverso da segunda fração)pelo inverso da segunda fração)
MultiplicaçãoMultiplicação(multiplica-se os (multiplica-se os numeradores e numeradores e
denominadores entre si)denominadores entre si)
: ++ ––
++
––
++ ––
++
–– +
–
– +
=
–+
+–
REGRA DE SINAIS
regras operatórias
da divisão em Q
A definição de multiplicação de inteiros mantém-se para o conjunto dos números racionais relativos na forma decimal, esta operação pode ser ser executada ignorando-se a vírgula de todos os fatores e definindo posteriormente seu devido lugar ou transformando os fatores em frações decimais e depois em números decimais. Por exemplo:
0,15 . 2,4 = 15 . 24 / 1000
(duas casas decimais) (uma casa decimal) (três casas decimais)
Daí: 0,15 . 2,4 = 0,360
No caso da trasformação para fração decimal,
Tem-se: 15/100 . 24/10 = 360/1000 = 0,360
E se os números racionais relativos estiverem na forma
decimal?
RECORDA QUE:
- 4 : 5 = ?- 4 : 5 =
15
=
OU
- 4 : 5 =
- 45
- 4 - 45
= 5
- 4 4
5-
ba : b =
a em que b 0
em que b 0
- ab
a- b
ab
-
7 : (- 4) = ?
7 : (- 4) =
=
OU
7 : (- 4) =7
- 4
4 - 7 7
- 4=
CONCLUSÃOCONCLUSÃO::
=
7 14
-74
-
=
FIMFIM!