1

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FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC)

COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA

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E N A D E 2011

MATEMÁTICA

LICENCIATURA

QUESTÕES RESOLVIDAS

2

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I N T R O D U Ç Ã O

Estamos apresentando a resolução da prova do ENADE, pelos Professores Alzir

Fourny Marinhos e Rodrigo Neves Figueiredo dos Santos, aplicada em 2011 para os cursos de

Licenciatura em Matemática.

Este trabalho tem o objetivo de aproximar alunos e professores das Faculdades

Integradas Campo-Grandenses ao Projeto ENADE 2014.

Reconhecemos que fazemos um trabalho de qualidade. Isto fica determinado pela

nota 3,0 no ENADE 2008 e ENADE 2011. Mas, necessariamente, ao pensarmos que temos a

necessidade de expandirmos nossos conhecimentos estaremos no caminho progressivo.

Esperamos que, alunos e professores, possam colaborar informando sobre possíveis

erros que por ventura tenhamos cometido.

A digitação foi realizada pelo Professor Alzir Fourny Marinhos.

Dedicamos este trabalho aos alunos do Curso de Licenciatura em Matemática das

Faculdades Integradas Campo-Grandenses.

Alzir Fourny Marinhos

E-mail: profalzir@hotmail.com

Rodrigo Neves Figueiredo dos Santos

E-mail : professor.rodrigo.neves@gmail.com

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RESOLUÇÃO:

Em Ax = b, A representa uma matriz formada pelos coeficientes do sistema, x

representa a matriz das variáveis e b a matriz dos termos independentes.

Para nosso caso, b = 0 (sistema homogênio) e determinado. Apenas a solução

(0, 0, 0, . . .).

Veja, como exemplo, o sistema homogênio determinado. Apenas com a solução

(0, 0, 0):

6x = 0

2x + 5y = 0

3x – 3y + 7z = 0

4x + y – 2z = 0

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Representamos Ax = b como

0

0

0

0

.

214

733

052

006

z

y

x

As colunas da matriz A são linearmente independentes pois x( 6, 2, 3, 4) +

y(0, 5, -3, 1) + z(0, 0, 7, -2) = (0, 0, 0,0) tem como solução apenas x=0, y=0 e z=0,

chamada solução trivial . Para que a solução seja trivial as colunas da matriz A devem

ser linearmente independentes.

Veja que em 6x = 0 temos x = 0; se x = 0 temos em 2x + 5y = 0 o valor de y = 0; em

3x – 3y +7z = 0 temos x = 0, y = 0 e z = 0. Então para 4x + y – 2z = 0 teremos também

x = 0, y = 0 e z = 0.

Se existirem escalares x, y, z nem todos nulos, os vetores são linearmente

dependentes.

Análise da afirmação I: As colunas da matriz A são linearmente dependentes – Falso.

Análise da afirmação II: O sistema de equações lineares Ax = b tem infinitas soluções

– Falso. Tem uma única solução (dado na questão).

Análise da afirmação III: Se m > n, então a matriz A tem m-n linhas que são

combinações lineares de n linhas – Verdadeiro.

Quando m (número de linhas ou equações) menor que n (número de colunas ou

incógnitas) o sistema será sempre indeterminado.

Quando m (número de linhas ou equações) maior que n (número de colunas ou

incógnitas) tiver solução única, haverá m - n equações que são combinações lineares

de n linhas.

Veja, no sistema dado como exemplo, que 4x + y – 2z = 0 tem a mesma solução das

outras equações, com x = 0, y = 0 e z = 0, sendo então uma equação equivalente às

outras. Logo será uma combinação linear das outras três. Tem 1 linha (m – n linhas)

como combinação linear de 3 linhas (n linhas).

Se tivermos cinco linhas (m) e duas colunas (n) significa que teremos duas variáveis e

teremos duas equações para encontrarmos a solução trivial. Teremos três linhas

(m – n linhas) como combinação linear de duas linhas (n linhas).

Análise da afirmação IV: A quantidade de equações do sistema Ax = b é maior ou

igual à quantidade de incógnitas - Verdadeiro.

m (número de linhas ou equações) maior ou igual à n (número de colunas ou

incógnitas) é uma condição para que o sistema homogênio tenha solução única

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(determinado). A outra condição é que colunas da Matriz A sejam linearmente

independentes.

RESPOSTA: LETRA C

RESOLUÇÃO:

Note que dividindo todos os termos de e

nenn

e

en nn

n

! por n positivo

mantêm-se a desigualdade.

ne

nen

n

n

ne

en nnn

!

e

ne

n

n

e

e nnn

!

Vamos avaliar por parte:

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1- ee

e

e

e

e

e n

n

1lim

0

11

2- e

en nn

n

11

.lim

nlim

eee

en

n

n

n11

.1lim.

11

Veja que n

limee

een

n

n

n1

lim1

11

.

Pelo teorema do confronto:

e

ne

n

n

e

e n

n

n

n

n

n lim

!limlim

en

n

e

n

n

1!lim

1

Logo en

nn

n

1!lim

RESPOSTA: B

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RESOLUÇÃO:

Para o grupo de permutações S3 temos seis elementos:

.123

3210

231

321min

123

321

;213

321;

132

321;

312

321;

231

321;

321

321

5

43210

arDeter

f

ffffef

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1 leva ao 3 e 3 leva ao 2. Logo 1 leva ao 2.

2 leva ao 2 e 2 leva ao 3. Logo 2 leva ao 3.

3 leva ao 1 e 1 leva ao 1. Logo 1 leva ao 1.

Daí:

123

3210

231

321=

132

321

RESPOSTA: B

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RESOLUÇÃO:

Na figura I, o semicírculo formado pelo contorno de A1 tem diâmetro r (O lado do hexágono inscrito na circunferência é igual ao raio da circunferência).

Área do semicírculo acima = 8

)2

(2

1 22 rr

Na figura II o semicírculo formado pelo contorno de A2 tem diâmetro 2r . O lado

do quadrado inscrito na circunferência de raio r é igual a 2r .

Área do semicírculo acima = 4

)2

2(

2

1 22 rr

Se ligarmos os extremos de cada lúnula ao centro O, considerando o segmento que é lado tanto do hexágono regular em I como do quadrado em II, obteremos dois triângulos.

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No caso da figura I será um triângulo equilátero de lado r que é o lado do hexágono

regular inscrito. A altura do triângulo e também apótema do hexágono é 2

3r.

A área do triângulo é 2

2

3.r

r=

4

.32r

No caso da figura II será um triângulo retângulo isósceles de catetos r e hipotenusa

2r (lado do quadrado inscrito). A altura do triângulo é 2

2r.

A área do triângulo é 2

2

2.2r

r

2

.2r

Se ligarmos os extremos de cada lúnula ao centro O, considerando o arco da circunferência de raio r, obteremos dois setores circulares.

No caso da figura I o setor circular tem área igual a 0

02

360

60r =

6

2r.

No caso da figura II o setor circular tem área é igual a 0

02

360

90r = .

4

2r

Com os resultados acima podemos calcular as áreas A1 e A2 (área das lúnulas):

A1 = 24

)36(

44

3

8

2222 rrrr

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A2= 2424

2222 rrrr

Agora vamos determinar a razão entre as áreas A1 e A2 .

12

36

2

24

)36(

2

2

r

r

12

36 é irracional.

A razão entre as áreas A1 e A2 das lúnulas L1 e L2 não é um número racional.

Veja que A1 e A2 não são representadas da forma . q, onde q é racional. RESPOSTA: E

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RESOLUÇÃO:

Análise dos itens.

O item I é falso.

Na equação Z4 = 1 temos quatro soluções.

Veja que temos as soluções reais 1 e -1. As outras duas soluções são complexas.

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As quatro soluções estão distribuídas num quadrado ABCD inscrito numa

circunferência de raio 1 com uma diferença de 900.

O quadrado tem vértices em 1 (ponto D) e -1 (ponto B) no eixo real e tem vértices i

(ponto A) e –i (ponto C) no eixo imaginário (no Sistema Argand-Gauss).

A diagonal do quadrado vale 2 e é igual a L 2 .

Logo D = L 2

2 = L 2 e L = 22

2 .

Veja que as soluções de Z4 = 1 são os vértices de um quadrado de lado 2 e não 2.

O item II é verdadeiro.

IZI = 1.

Como IZI = 22 yx temos

22 yx = 1 e x2 + y2 = 1, que é uma circunferência de

raio 1.

O item III é falso.

Z = x + iy onde Re(Z) = x e Im (Z) = y.

Logo Re(Z) + Im(Z) = 1.

x + y = 1 e y = 1 – x.

A reta y = -x + 1 tem coeficiente angular -1.

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Observação: Nesta questão é colocado que o coeficiente angular é 4

3rad, que não

é correto. O ângulo4

3é a inclinação da reta e é dado por arc tg -1, correspondendo

ao ângulo que gera o coeficiente angular –1.

RESPOSTA: B

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RESOLUÇÃO:

O trabalho realizado ao longo de uma curva C (sentido horário) de uma partícula é

dado pela integral de linha T = C

dryxF ),( .

Como as derivadas parciais de

jxiyyxF ),( são contínuas, suaves e iguais

temos

jNiMF onde M = - y e N = x e ).(00 iguaisx

Me

y

M

O campo é conservativo e podemos usar o teorema de Green que afirma:

).(2

22)1(1()(),(

lagodoáreaL

dAdAdAdAy

N

x

MdryxFT

LLLLC

.

Logo T = 2L e L = .2

T

Como a área complementar ao lago é 2

T, temos P - L =

2

T.

Para P (área total do parque) temos:

P= 2

T+ L

P = 2

T +

2

T

P = T

Resposta: A

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RESOLUÇÃO:

Seja x o preço da tabela.

(x + 20% x) = 1320

(x + 0,2x) = 1320

x (1 + 0,2) = 1320

1,2 . x = 1320

x = 2,1

1320

x = 1100

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I – Entrada de 25%, resta 75% em 5 vezes. Cada parcela será 1655

1100.75,0

II – Entrada de 60%, resta 40% em 8 vezes. Cada parcela será 558

1100.40,0

RESPOSTA: A

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RESOLUÇÃO:

P(x) = M(x)

- 0,006 x2 + 0,8 x + 14 = 0,004 x2 + 0,9 x + 8

0,01 x2 + 0,1 x – 6 = 0

x2 + 10 x – 600 = 0

20

2

5010

2

250010

2

600.1.410010

x

x

RESPOSTA: C

20

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RESOLUÇÃO:

Devemos observar as regiões entre o gráfico da função y = x4 – 5 x2 + 4 e o eixo x.

Fazendo y = x2

y 2 – 5 y + 4 = 0

11

24

:

1

4

2

35

2

16255

2

1

x

x

Daí

y

y

y

O gráfico da função f(x) = x4 – 5 x2 + 4 é:

+ - + - +

-2 -1 1 2

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Observar que a região entre 0 e 1 está acima do eixo x e a região entre 1 e 2 está

abaixo do eixo x. Isso é possível atribuindo valores para x e verificando os sinais das

imagens.

Para x = 2

1temos y = 0

16

45

Para x = 2

3temos y = 0

16

35

Integrando:

.15

60

15

22

15

38)

15

38

15

16(

15

38)

3

60253(

15

12020096

15

60253

)43

5

5

1()8

3

40

5

32()4

3

5

5

1(

)43

5

5()4

3

5

5()()(

2

1

351

0

1

0

352

1

ua

xxx

xxx

dxxfdxxfA

RESPOSTA: D

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RESOLUÇÃO:

Item A

V = x3 então x = 3 V

2V = y3, então y = 3 2V

33

3

2

1

2

V

V

y

x; Não é racional.

Item B

Ry

Rx

2

2

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22

2 R

R

R

y

x

; É racional.

Item C

Ry

Rx

2

2

22

2 R

R

R

y

x ; Não é racional.

Item D

Ry

Rx

2

2

R

R

y

x

2

2; Não é racional.

Item E

ly

lx

2

22

l

l

y

x; Não é racional.

Resposta: B

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RESOLUÇÃO:

B(t) = 9t – 2.3t + 3

9t – 2.3t + 3 > 6

(3t)2 – 2.3t + 3 > 6

x = 3t

x2 – 2x + 3 > 6

x2 – 2x – 3 > 0

x2 – 2x – 3 = 0 tem -1 e 3 como raízes.

Veja o gráfico da função f(x) = x2 – 2x – 3

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+ +

-1 - 3

x < -1 (não serve).

Veja: 3t < -1 não tem solução para t.

Para x > 3:

3t > 3

t > 1

RESPOSTA: A

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RESOLUÇÃO:

I- Falso

Seja a = 3, b = 5 e c = 7.

a divide (b + c) e a não divide b; a não divide c.

II- Verdadeiro

Se mdc(a, b) = 1, eles não tem fatores primos em comum pois são primos entre si, daí

a não dividir b. Logo como a divide bc e a não divide b, então a tem que dividir c.

III- Falso

Seja a = 6 (não primo), b = 4 e c = 9.

a divide b.c, pois b.c = 4.9 = 36 e 6 divide 36, mas a não divide b (6 não divide 4) e a

não divide c (6 não divide 9).

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IV- Verdadeiro

Se a divide b significa que todos os fatores primos de a também estão em b. Mas, se

mdc (b, c) =1 é porque b e c não tem nenhum fator primo em comum e logo nenhum

comum em a e c. Daí mdc (a, c) =1.

RESPOSTA: D

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RESOLUÇÃO:

11722)(

124117113

)(

2'

23

xxxA

xxx

xA

x2 – 22 x + 117 = 0 tem raízes 9 e 13.

Sinal da derivada, isto é, da função A’(x) = x2 – 22 x + 117:

Sinal de A’(x) + - +

crescente 9 decrescente 13 crescente

Veja que A(x) representa a arrecadação mensal que é crescente até o nono mês, a

partir daí decrescendo até o décimo terceiro mês e a seguir retomando o

crescimento.

RESPOSTA: D

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RESOLUÇÃO:

ux = f’(x – 4y) . 1 + g’(x + 4y) . 1

uxx = f” ( x – 4y) . 1 + g” (x + 4y) . 1

uxx = f” ( x – 4y) + g” (x + 4y)

uy = f’(x – 4y) . (-4) + g’(x + 4y) . 4

uyy = f” ( x – 4y) . 16 + g” (x + 4y) . 16

uyy = 16 [ f” (x – 4y) + g” (x + 4y)]

uyy = 16 uxx

16xx

yy

u

u

RESPOSTA: E

30

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RESOLUÇÃO:

2a = 30 ; a = 15

2c = 50; c = 25

c2 = a2 + b2

252 = 152 + b2

625 = 225 + b2

b = 20

Vejamos a primeira afirmativa:

A diretriz de um foco é a reta perpendicular ao eixo focal que está a uma distância

c

a 2

do centro.

Como o foco F1 = (-25, 0) a reta diretriz será .2

c

ax

25

152

x .

Daí x = - 9 e x + 9 =0. Afirmativa verdadeira.

Vejamos a segunda afirmativa:

12

2

2

2

b

y

a

x

12015 2

2

2

2

yx

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1400225

22

yx

. A afirmativa é verdadeira.

RESPOSTA: A

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RESOLUÇÃO:

Os Itens A e B estão errados pois não consideram o comprimento AC fixo, podendo

ter várias situações.

O item C está correto pois vai existir um ângulo em que AB

ACsen e a curva y

interceptará BD num ponto (formando um triângulo BCA, retângulo em C).

O item D está errado pois quando diminuímos temos AB

ACsen , onde AC e AB

são fixos, e neste caso AC intercepta BD em dois pontos.

O item E está correto pois quando aumentamos temos AB

ACsen , onde AC e

AB são fixos, e neste caso AC não intercepta BD.

RESPOSTA: Os itens C e E estão corretos.

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RESOLUÇÃO:

I) Verdadeira pois é a definição de derivada parcial em relação a x.

II) Verdadeira, pois é a definição de derivada implícita com regra da cadeia ( só

vale pois F(x, y, z) = 0).

III) Falso.

Tome F(x, y, z) = 0; x + y = z = 0.

x = - y – z; 1y

x

y = - x – z; 1z

y

z = - x – y; 1x

z

x

z

z

y

x

x

.. = (-1).(-1).(-1) = -1

RESPOSTA: C

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RESOLUÇÃO

O Currículo ou plano de ensino é definido como um modelo que tem uma função

social (educação de uma sociedade) e que se desdobra conforme os seguintes

valores sociais:

- Valores sociais inerentes ao processo educativo, como o meio social em que está

inserido o currículo e o ensino com significado para os estudantes levando-os às

transformações sociais.

- Valores sociais que estabeleçam uma relação entre ensino e pesquisa visando o

desenvolvimento profissional docente. Veja que o desenvolvimento profissional

docente é uma transformação social.

Veja, também, que o currículo não pode ser uma determinação do Estado ou da

Escola, não viabilizando intervenções.

RESPOSTA: D

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RESOLUÇÃO:

O planejamento, desenvolvimento e avaliação são formados por tarefas ou funções

didáticas em que o professor tem que ser capaz de ter:

- conhecimento dos conteúdos da disciplina que leciona, bem como capacidade de

abordá-los de modo contextualizado. Não basta ter somente o domínio do conteúdo

abordado no livro didático adotado e sim, de forma muito mais ampla, do conteúdo

da disciplina. Ser capaz de explanar o conteúdo sem estar engessado ao livro

didático.

- domínio de diferentes métodos e procedimentos de ensino e capacidade de

escolhê-los conforme a natureza dos temas a serem tratados e as características dos

estudantes.

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Veja que o domínio de técnicas de elaboração de provas objetivas não reflete

conhecimentos e domínios esperados pelo professor no conteúdo da disciplina.

RESPOSTA: B

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RESOLUÇÃO:

Traçando linhas horizontais em 20 anos e 60 anos verificamos, nos gráficos, que as

populações aumentam nesta faixa etária e decrescem na faixa etária entre 0 e 20

anos, nos próximos 30 anos. Isso não significa, a priori, que haja a necessidade do

ensino na modalidade de Jovens e Adultos em larga escala.

RESPOSTA: D

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RESOLUÇÃO:

O uso do computador para favorecer o processo ensino aprendizagem deve ser feito

com atividades que tenham uma problemática com significado para os alunos e que

alcancem os objetivos de ensino e aprendizagem previamente definidos. Com

autonomia, os alunos devem desenvolver as atividades fazendo conjecturas,

conclusões e discutindo-as.

O planejamento para favorecer o ensino e aprendizagem no laboratório de

informática não deve ser para o estudo dos conteúdos dados em sala ou

apresentados nos livros didáticos e sim como um laboratório de pesquisa em que os

estudantes possam fazer suas descobertas entendendo de forma significativa o que

foi dado em sala como conteúdo.

RESPOSTA: A

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RESOLUÇÃO:

O professor ao ensinar um conteúdo deve saber o seu significado, o porquê está

ensinando aquele conteúdo e conhecer suas aplicações. Todo processo do ensinar

deve ser refletido e desenvolvido a partir de uma prática social. Devemos saber qual

conhecimento deve ser ensinado na escola atendendo seu contexto social,

possibilitando a compreensão e o seu uso para promover a transformação social.

RESPOSTA: D

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RESOLUÇÃO:

Ao escolher os algarismos 0, 3, 5 e 7 devemos fazer em duas etapas:

-Terminando por zero temos, pelo princípio multiplicativo, 3 x 2 x 1= 6 (números com

algarismos diferentes).

- terminando por 3, 5 ou 7 temos, pelo princípio multiplicativo, 2 x 2 x 3 = 12

(números com algarismos diferentes).

A resposta deve ser 6 + 12 = 18.

Ao escolher 2, 4, 7 e 8 temos 4 x 3 x 2 = 24 (números com algarismos diferentes).

Ao escolher 3, 4, 5 e 6 temos 4 x 4 x 4 = 64 (números com algarismos repetidos).

Ao escolher 1, 2, 3, 4 temos 4 x 4 x 4 = 64 (números com algarismos repetidos).

RESPOSTA: D

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RESOLUÇÃO:

O ensino de matemática para o público de jovens e adultos deve ter características e

modalidades adequadas às suas necessidades e disponibilidades. O ensino de

matemática deve ser significativo, devendo ser apresentado conforme o contexto e o

sujeito social. A relevância deve ser buscada a partir de situações cotidianas

promovendo a concepção da relevância do conhecimento matemático.

Linguagem matemática, notações matemáticas e visão científica não devem ser

priorizadas no Ensino de Jovens e Adultos.

RESPOSTA: C

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RESOLUÇÃO:

Os conceitos de cilindro envolvem translação de círculo; giro de uma região

retangular em torno de uma reta; perímetro e área de círculo; superfície de tubos,

etc.

Na situação I a área da seção transversal molhada no tubo representa a superfície

lateral do cilindro e na situação II temos o conceito de volume na unidade litro sendo

medido no cilindro.

Veja que na situação I temos a representação de cilindro.

Veja que interseção de cilindro com planos não são semicircunferências.

Veja que o volume do cilindro não será igual à soma dos volumes das jabuticabas

que cabem no cilindro.

RESPOSTA: E

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RESOLUÇÃO:

A Linearidade na organização do currículo de matemática impõe uma sequência de

conteúdos em que os alunos desenvolvem em cadeia. Não significa, por exemplo,

que não possamos estar falando de números racionais (frações) quando estamos

ensinando números naturais. As crianças veem frações e números naturais juntos em

seus contextos diários. Demos um exemplo em que a estrutura de números

necessariamente não tem conexão e hierarquia como apresentado no currículo.

A afirmação que os conteúdos matemáticos são dispostos dos mais simples para os

mais difíceis e que cada novo assunto pode ser assimilado pelo aluno é falso.

Necessariamente para resolver equações a partir do segundo grau, os alunos devem

conhecer o conjunto dos números complexos, não significando que o seu

entendimento seja mais fácil do que resolver uma equação com raízes complexas.

RESPOSTA : E

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RESOLUÇÃO:

O jogo, como produção de aprendizagem matemática de forma lúdica, busca a

exploração de conceitos e procedimentos matemáticos, análise de dados e

interpretação de soluções. Através de abstrações pode testar, validar e socializar o

seu aprendizado matemático.

Esquemas de ação são caminhos lógicos a serem seguidos para que possamos

alcançar um objetivo.

RESPOSTA: D

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AS QUESTÕES DISCURSIVAS TEM AS RESPOSTAS DADAS PELO INEP.

RESOLUÇÃO:

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RESOLUÇÃO:

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RESOLUÇÃO: