ÁLGEBRA 1° a 4° - MJ (N)

2016

ÁLGEBRA

PDF Compressor Pro

http://www.pdfcompressor.org/buy.html

3

1Leyes de Exponentes

3-2 = =

-2-3 = = -

(Observa que el exponente (-3) afecta a 2)

a : base a ∈ R

n : exponente n ∈ Z

P : potencia P ∈ R

Potenciación

Exponente natural :

Si a ∈ R y n ∈ �+.

42 = 16

Exponente

Base

Potencia

Exponente cero : Si a ∈ R ; a ≠ 0.an = P

Ejemplo:

DEFINICIÓN 1

an = a . a . a . ... . a

“n” factores

Ejemplos:

x . x . x = x3

(-3)2 = (-3)(-3) = 9

-32 = -(3)(3) = -9

(Observa que el exponente afecta

a 3)

(-3)3 = (-3)(-3)(-3) = -27

DEFINICIÓN 2

Ejemplos:

30 = 1

a0 = 1

(- 2)0 = 1

-50 = -1

(Observa que el cero afecta a 5)

530 = 51 = 5

Exponente negativo : Si a ∈ R; a ≠ 0.

DEFINICIÓN 3

a-n =1

an

Ejemplos:

1

32

1

91

8

-1

23

PDF Compressor Pro


4

¿CÓMO CONTAR LOS GRANOS DE ARENA QUE CABEN EN EL UNIVERSO?

Arquímedes (287 - 212 a.C.) nació y murió en Siracusa,

actual Italia. Fue sin duda el mayor matemático de la

antigüedad. En una obra titulada Psammites (El Cálculo

de los Granos de Arena, más conocida en español como

El Arenario) se jactaba que podía enumerar los granos

de arena necesarios para llenar el universo, utilizando

para ello números gigantescos expresados mediante

exponentes. Arquímedes comienza, basándose en los

trabajos del astrónomo Aristarco (310 - 230 a.C.),

con ciertas estimaciones relativas a los tamaños de la

Tierra, la Luna y el Sol, y a las distancias de la Luna,

del universo usual hasta la distancia del Sol es menor

que 1010 estadios (un estadio es igual a 147,8 metros).

A continuación supuso que 10 000 granos de arena ya

superaban a una semilla de adormidera, que el diámetro

de una de ellas era menor o igual que 1/40 del ancho

de un dedo, y a su vez un estadio es menor que 10 000

dedos. Con estas desigualdades, Arquímedes llegó a la

conclusión que se necesitaban 1051 granos de arena para

llenar la esfera del universo, generalmente aceptada

aquel tiempo.

Recreación de la Muerte de Arquímedes durante la II Guerra Púnica. “No tangeré circues meos” (No toques

mis círculos), exclamó Arquímedes en su mal latín cu-

el soldado traspasó con su espada el cuerpo del anciano Arquímedes (De la vida del general romano Marcelo,

según Plutarco).

Exponente fraccionario : Si m/n ∈ Q.

DEFINICIÓN 4

Ejemplos:

34/5 = 5 34

1. am . an = am+n

2. = am-n; a ≠ 0

3. (a . b)n = an . bn

am/n = n am

Teoremas

am

an

Elementos:

Ecuaciones Exponenciales

A. BASES IGUALES

am = an ⇒ m = n

Ejemplo:

Resuelve: 23x+1 = 210

3x + 1 = 10 ⇒ x = 3

B. FORMAS ANÁLOGAS

xx = aa ⇒ x = a

Ejemplo:

xx = 27 ⇒ xx = 33 ⇒ x = 3

an

bn

a

b(n

(

a

bn

n an b

4. = ; a ≠ 05. (am)n = am.n

6. n ab = n a . n b

7. = ; a ≠ 08. cn acm = n am

9. m n a = mn a

Exceptuando:

21 412

1

4

1

=` `c c

j jm m

PDF Compressor Pro


5

1. Reduce:

S =

a) x10 b) x5 c) 1

d) x-5 e) x-10

Resolución:

S = =

extraemos:

S = = x10

x3 . x3 . x3 . ... . x3

3 x2 . 3 x2 . 3 x2 . ... . 3 x2

30 veces

20 veces

( x3)20

(3 x2)30

x60

3 x60

x30

x20

3. Si 9x + 3x+3 = 28, calcula “x”.

a) 3 b) 1 c) 0

d) 2 e) 6

Resolución:

(32)x + 3x+3 = 28

32x + 3x+3 = 28

3x(3x + 33) = 28

3x(3x + 33) = 28

3x(3x + 27) = 1(1 + 27)

∴ 3x = 1

x = 0

Rpta.: c

Rpta.: a

Rpta.: c

4. Simplifica:

a) a+b+c

b) ab + ac + bc

c) abc

d) a-1 + b-1 + c-1

e) an + bn + cn

Resolución:

ancn + anbn + bncn

a-n + b-n + c-nn

anbncn(b-n + c-n + a-n)

a-n + b-n + c-nn

Factorizando an + bn + cn en el numerador:

n anbncn = abc

Resolución:

5. El exponente de “x” que resulta al simplificar:

E = 1+1/2 1+1/3 1+1/4 1+1/5 ... 1+1/n xn

es:

a) n2/2 b) n/2 c) 2/n

d) 2 e) 2n/n+1

Rpta.: d

2. Calcula:

E =

a) 2 b) 4 c) 8

d) 16 e) 32

Resolución:

E =

E = 641/2 + 271/3 + 6251/4

E = 64 + 3 27 + 4 625

E = 8 + 3 + 5

E = 16

1

64( (+1

27( (+1

625( (-2-1 -3-1 -4-1

1

64( (+1

27( (+1

625( (-2-1 -3-1 -4-1

Operando las fracciones tenemos:

E = 3/2 4/3 5/4 6/5 ... (n+1)/n x

E = 3/2 4/3 5/4 6/5 ... (n+1)/n xn

E = (n+1)/2 xn

E = xn/[(n+1)/2]

E = x2n/(n+1)

Rpta.: c

EJERCICIOS RESUELTOS

PDF Compressor Pro


6

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Si xy = 2, calcula:

(xy)xy . (x3)-y . (4y2

)y-2

Resolución:

Resolución:

104 . 303 . 423

54 . 250 . 602 . 702

Efectúa:

a) 2 . 3 2 . 6 2

b)

Resolución:

6 9 . 4 9 . 3 920 9 . 5 9

xn . x x ; x > 0.

calcula n.

Resolución:

PDF Compressor Pro


7

Rpta:

5

Rpta:

6Halla “x” si:

Resolución:

62x-4

144x-2

1

16=

W =

Resolución:

5 . 2x+2 - 2x+4 + 6 . 2x-1

2x+5 - 15 . 2x - 2 . 2x+3

7. Sabiendo que:

2x-3 = 3, halla 21-x

8. Después de simplificar:

se obtiene:

n-2 32n+5 - 9 . 32n+1

24 . 3n+4

9. Si:

3x = 7y, calcula el valor de:

P = 3x+1 - 7y+1 + 3x

7y - 7 . 3x + 3 . 7y

10.

; x ≠ 0(xa)bc . (xbc)a . xac . xac ... xac . x

((x3a)b)c

b veces

11. Halla “x” en:

8x+3 = 4 323x+1

12.

F(x) = 3 x 3 x 3 x 3 x ... (n radicales)

PDF Compressor Pro


8

1. Calcula el valor de x en:

2x . 2 = 3 4x

a) 2 b) -3/2 c) 1/2

d) 1/4 e) 5/3

2.

a) 287 b) 281 c) 235

d) 123 e) 435

1

2( (-(1/2)-1

+1

3( (-(1/3)-1

+1

4( (-(1/4)-1

3. Calcula A + B, siendo:

A = {(1/2)-3 + (2/5)-2 + (4/7)-1}0,5

B = {8(4/5)-2 - (2/3)-3 - (8/9)-1}(1/3)

a) 20 b) 9 c) 4

d) 6 e) 5

4. Resuelve:

1632x-2 = 22x+2

a) 2/5 b) 3/2 c) 5/2

d) 2 e) 5

5. Reduce:

P =

a) 1 b) 5 c) 25

d) 3 5 e) 5 5

5 253 . 15 5 . 3 253 5 . 5 125

6. Efectúa:

E =

a) 1 b) x c) x32

d) x-32 e) x-1

(x3)-2 . x-210

. (x-4)2

(x-5)-1 . x(-3)2 . (x-1)-2

7. Halla “x” si:

(0,01)x27-3-1

= 0,0001

a) 1 b) 2 c) 4

d) 6 e) 8

8. Luego de resolver la ecuación:

94x+1 = 383

indica el valor de R = x-1 x + 1

a) 2 b) 3 c) 4

d) 1 e) 0

9. Si ab = 1, calcula el valor de:

M = (ab)a (ba)b ((aa)b)a ((bb)a)a

a) 1 b) a c) b

d) ab e) a/b

10. Reduce:

R = 3 642-1 + 162-2 - 83-1

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

11.

E =

resulta:

a) 5 b) 2,5 c) 2

d) 1,25 e) 0,5

252n - 402n

202n - 322n

2-n

4n2 + 16n2

16n2 + 64n2

n

12. Después de simplificar:

E =

se obtiene:

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

32x/(x-y) + 6 . 32y/(x-y)

x-y 3x+y

PDF Compressor Pro


2016

ÁLGEBRA

PDF Compressor Pro


9

2Polinomios

Monomio

M(x, y) = x3y4 Monomio

M(x, y, z) = x5y3z5 Monomio

M(x, y, z) = x4y3z6 Monomio

x2/y3 No es monomio

x4y1/2 No es monomio

x6y2/3z No es monomio

Término algebraico de exponentes enteros y positivos para

todas sus variables (expresion racional entera).

Ejemplos:

Polinomio

P(x,y) = 6x4y2 - 5x2 + 3xy3 + y4

Polinomio de 4 términos

P(x,y,z) = 3x2y3z - 5x3y5 + 3y4


P(x,y,z) = 2xy - 5xy2z4


Expresión algebraica entera de uno o más términos.

Ejemplos:

Está dado por el exponente de la variable indicada.

M(x, y, z) = 4x2y4z5

GR(x) = 2; GR(y) = 4; GR(z) = 5

1. GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO (G.R.)

Grados

Es el mayor grado de uno de los términos.

M(x, y, z) = 32x4y5z7

G.A. = 4 + 5 + 7 = 16

2. GRADO ABSOLUTO DE UN MONOMIO (G.A.)

Está dado por el mayor exponente de la variable referida.

P(x, y) = 2x4y2 + 6x3y5 + 7x7

GR(x) = 7 ; GR(y) = 5

Q(x, y) = 6x4y5 - 2x5y3 - y6

GR(x) = 5 ; GR(y) = 6

3. GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO (G.R.)

Está dado por el monomio de mayor grado.

P(x, y) = 4x3y2 - 2x2y5 + 6x4y6

5 7 10

G. A. (P) = 10

4. GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO

Es aquél donde los exponentes de la variable van

aumentando o disminuyendo.

Polinomios Especiales

Término algebraico de exponentes enteros y positivos para

todas sus variables (expresion racional entera).

1. POLINOMIO ORDENADO

P(x)

= x16 - 2x10 + x2 + 1

Polinomio Ordenado Descendente.

Q(x)

= 2 + x4 + 5x7 + x10

Polinomio Ordenado Ascendente.

Ejemplos:

PDF Compressor Pro


10

Es aquél donde aparecen todos los exponentes de la variable, desde el mayor hasta el término independiente (exponente cero).

2. POLINOMIO COMPLETO

P(x) = 6x2 + 2x + 3x3 + 5

tiene 4 términos

Q(x) = 2 + x + 3x2 + 5x3 + 4x4

tiene 5 términos

Ejemplos:

Sea:

P(x) = 2x2 + 5x + 1

tiene 3 términos

3 = 2 + 1

En todo polinomio completo se cumple:

# Términos = Grado + 1

Es aquél donde todos sus términos tienen el mismo grado absoluto.

3. POLINOMIO HOMOGÉNEO

2.1. Propiedad

Ejemplos:

P(x,y) = 6x2 + xy - y2

2.º 2.º 2.º

P(x,y) = 6x2 + xy - y2

2.º 2.º 2.º

Q(x,y) = 2x4y2 + 3x3y3 + y6

6.º 6.º 6.º

Son aquéllos que tienen el mismo valor númerico para un mismo valor de variable. Es decir, tienen los mismos

4. POLINOMIOS IDÉNTICOS

2x + 3 ≡ 3 + 2x

5x3 + 2x - 1 + 4x2 ≡ 4x2 - 1 + 2x + 5x3

Ejemplos:

Es aquél donde para cualquier valor asignado a su

variable, el resultado es siempre cero. Es decir, sus

5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO

P(x) ≡ 0x3 + 0x2 + 0x + 0

P(x) ≡ 0

Ejemplo:

1.

M(x, y) = (1/2)n9mx3m+2ny5m-n

cuyo grado es 20 y el grado relativo de “x” es 14.

a) 16/81 b) 81/16 c) 9/16

d) 16/9 e) 81/8

Resolución:

GA = 3m + 2n + 5m - n = 20

GR(x) = 3m + 2n = 14

8m + n = 20

3m + 2n = 14

∴ 16m + 2n = 40

-3m - 2n = -14

13m = 26

Rpta.: b

m = 2 ⇒ n = 4

∴ 4 92

= 81/16

2. Si P(x + 2) = x + P(x) y P(3) = 1 calcula el valor de

P(5) + P(1).

a) -4 b) 0 c) 1

d) 2 e) 4

Resolución:

En P(x + 2) = x + P(x)

∴ x = 1

P(3) = 1 + P(1)

1

P(1) = 0

∴ x = 3

P(5) = 3 + P(3)

P(5) = 3 + 1

P(5) = 4

∴ P(5) + P(1) = 4 + 0 = 4

Rpta.: e


PDF Compressor Pro


11

3. Si el término independiente del polinomio:

P(x) = 2(x-3)2 (x-2)3 (x-m)2 (x+1)3 es -576, halla el

valor de m2.

a) 1 b) 4 c) 9

d) 16 e) 25

Resolución:

Sabemos que P(0) = término independiente

P(0) = 2(-3)2 (-2)3 (-m)2 (1)3 = -576

= 2 . 9 . (-8)(m2) = -576

m2 = 4

Rpta.: b

4. En el polinomio homogéneo:

P(x, y) = xm + yn+p + xnyp + xpyn + xqyr + xryq

la suma de todos sus exponentes es 54. Halla el valor

de:

E = m + n + p + q + r

a) 12 b) 15 c) 18

d) 27 e) 36

Resolución:

Por homogeneidad

m = n + p = q + r = k∴ 6k = 54

k = 9

∴ m = 9 , n + p = 9 , q + r = 9

E = 9 + 9 + 9 = 27

Rpta.: d

5. Si el polinomio:

P(x) = a(x - 3)(x + 1) + (b - 2) (x + 1) (x - 2) + (c + 3)

(x - 3)(x - 2)

es idénticamente nulo. Halla a + b + c.

a) 0 b) -1 c) 2

d) 3 e) -3

Resolución:

Evaluamos:

P(3) = (b - 2)(4)(1) = 0 ⇒ b = 2

P(2) = a(-1)(3) = 0 ⇒ a = 0

P(-1) = (c+3)(-4)(-3) = 0 ⇒ c = -3

⇒ a = 0 , b = 2 , c = -3

a + b + c = -1

Rpta.: b

Nota

El término independiente es un término de grado cero, así:

4 = 4x0

Observación

Polinomio Completo y Ordenado

P(x) = x3 - 2x2 + 5x - 4

Observa que cumple con las dos condiciones

anteriores.

El símbolo ≡ significa que los polinomios son idénticos.

¿cÓMO EVITAR ERRORES?

Para elegir los mate-riales ade-

cuados, en cuanto a calidad

y cantidad, para construir

un puente, los ingenieros

analizan las variables que

intervienen antes de llevar

a la práctica su proyecto,

como la geología del terreno,

resistencia al viento, cambio

Estas variables son expresadas matemáticamente

mediante polinomios para así poder hacer los cálculos

respectivos y no cometer errores imprevistos.

UN TREN DE MONOMIOS

Un polinomio está conformado por monomios de la misma forma que un tren lo está por vagones. Por ejemplo: si sumas los monomios x3, x2, x, 7, lo que se obtiene es x3 + x2 + x + 7; un polinomio.

PDF Compressor Pro


12

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Si

P(x) = ax2 + 2x - 1 y P(-2) = 7, el valor de

“a” es:

Resolución:

Calcula el grado de:

P(x, y, z) = 8xaybzc, sabiendo que: GA - GR(x) = 11,

GA - GR(y) = 12

GA - GR(z) = 13.

Resolución:

Calcula m . n si

P(x, y) = 2xm+1yn-2 - 5xm+2yn-1 + 7xm+3yn-3

es de GA = 20 y de GR(y) = 8.

Resolución:

Halla el valor de A + B si:

15 - 4x ≡ A(2 - x) + B(1 + x)

Resolución:

PDF Compressor Pro


13

Rpta:

5

Rpta:

6Dado el polinomio:

P(x) = 2xc+d-1 - 3xb-c+1 + 5xa+b-4 + 2xa-3

completo y ordenado descendentemente, halla

el valor de a + b + c + d.

Resolución:

Si:

Px

x9x 25 1

3 1=

-

+= +

^

^

h

h

Hallar:

2 5 2 5P + -^ h h6 @

Resolución:

7. Dado el polinomio:

P(x) = (x + 1)n + (3x + 1)n + (5x - 1)n + b

-

cientes 38. Halla P(-1).

(n es par)

8. Siendo:

P(x, y, z) = 3axa+2yb+2 + 2bya+1zc+3 + 5cxb+4zc

un polinomio homogéneo de grado “m + 2”,

calcula:

a b c

a b cn n n

nn 1

+ +

+ ++ ^ h

9. Calcula A + B + C si:

(x + 1)[A(x + 2) + B(x - 2) - 3x] + 15x =

(x - 2)[3x + c(x + 2)]

10. Si:

P(2x+3) = 7-6x

Hallar: P(x + 1)

12. Si: P x x x x3 2 25

=^ h es de tercer grado para

un valor de "n". Deicho valor es:

11. Calcula A + B + C + D, para que el polinomio

P(x) = Ax3 + 2x2 - 3x3 + 2Cx2 + 8 - 3Bx + D + 9x,

sea idénticamente nulo.

PDF Compressor Pro


14

1. Halla la suma de los siguientes términos se-

mejantes:

A = (a + 3b + c)xa-5yb+c+8

B = (2b + 4c + 3)x3y10

a) 15x3y10 b) 18x3y10

c) 20x3y10

d) 16x3y10 e) 21x3y10

2. Si

P(x) = 2x2 + 5x + 2 y

Q(x) = 6x + 1,

halla P(Q(1)).

a) 125 b) 63 c) 117

d) 135 e) 119

3. Halla a . b en:

P(x, y) = 5x2aya+b+1 + 12xa-by2b-1 si GR(y) = 9

y GA = 19.

a) 15 b) 6 c) 72

d) 18 e) 12

4. Si

P(x, y) = xm+2y5 + 7x10yn + 2xm+3yp es

homogéneo, con grado de homogeneidad 11,

halla “m + n + p”.

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

5. Si

P(x + 2) = x + P(x) y P(3) = 1, calcula el

valor de P(5) + P(1).

a) -4 b) 0 c) 1

d) 2 e) 4

6.

P(x) = (4x3 + 3) . (5x7 - 7)n-4 + (8x - 9)10

es 449, entonces el valor de “n” es:

a) 5 b) 6 c) 8

d) 10 e) 12

7.

M(x, y) = . 9mx3m+2n . y5m-n

cuyo grado es 20 y el grado relativo a “x” es

14.

a) 16/81 b) 81/16 c) 9/16

d) 16/9 e) 81/8

1

2( (n

8. Dada la expresión algebraica:

R(x, y) = 6xm-2yn+5 + 3xm-3yn - 8xm-1yn+6,

halla mn si su grado absoluto es 17 y el grado

relativo de “x” es 6.

a) 30 b) 35 c) 36

d) 42 e) 45

10. Encuentra el valor de a + b en la siguiente

igualdad:

13 - 4x ≡ a(x + 2) + b(x - 1)

a) -8 b) -6 c ) -4

d) -2 e) 0

9. Si el polinomio:

P(x) = 3xn+3 - xn+2 + xn+1 + ... + 3

completo, ordenado y tiene 38 términos; el

valor de “n” es:

a) 33 b) 34 c) 37

d) 39 e) 40

11. ¿Cuál es el valor de “a” para que la expresión:

M =

sea de grado 64? (a > 2)

a) 6 b) 3 c) 2

d) 5 e) N.A.

(xa+5 + xa+3 + 5)a (xa+1 - xa-2 + 1)a-1

(xa - x2 + 3)2

12. Si. P(x) = x2 - 1

Calcular: P P P2

3` ^ jh

a) 9 b) 80 c) 81

d) 8 e) 27

PDF Compressor Pro


2016

ÁLGEBRA

PDF Compressor Pro


15

3Productos Notables

Mientras nosotros representamos las magnitudes por letras que se sobrentiende son números (conocidos o desconocidos) con los cuales operamos usando las reglas del Álgebra, hace más de 2000 años los griegos representaban las magnitudes como segmentos de línea recta y las operaban según las reglas de la geometría.

Tenían el Libro II de los Elementos de Euclides (matemático griego que vivió en el siglo IV a.C.) que es un Álgebra geométrica que les servía más o menos

La proposición 4 del Libro II, “si una línea recta se corta de una manera arbitraria, entonces el cuadrado construido sobre el total es igual a los cuadrados sobre los segmentos y dos veces el rectángulo contenido por ambos segmentos”, es una manera larga de decir que (a +b)2 = a2 + 2ab + b2, pero su evidencia visual es mucho más impactante que su contrapartida algebraica moderna. He aquí la demostración:

El área del cuadrado mayor es (a + b)2. Esta área también se puede calcular adicionando las áreas de los cuadrados y rectángulos interiores.Luego:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Son los productos que se obtienen en función directa sin necesidad de multiplicar.

Trinomio Cuadrado Perfecto

(x + 3)2 = x2 + 2(3)x + 32

(x - 4)2 = x2 - 2(4)x + 42

(5x + y)2 = (5x)2 + 2(5x)(y) + y2

Ejemplos:

1. CONCEPTO

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Identidades de Legendre

(x + 3)2 + (x - 3)2 = 2(x2 + 32)

(x + 2)2 - (x - 2)2 = 4(x)(2)

Ejemplos:

(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)

(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

Nota

Desarrollando:

x2 - 2xy + y2 = y2 - 2yx + x2

(x - y)2 = (y - x)2

a b

a

b ab b2

a2 ab

= a2

ab

ab

b2+ +

PDF Compressor Pro


16

Reduce:

N =

Solución.-

Por Legendre:

(a+ b)2 - (a - b)2 = 4ab

⇒ = 4 = 2

(a + b)2 - (a - b)2

ab

4(ab)

ab

Diferencia de Cuadrados

Calcula : M = 46 . 44 - 452

Solución.-

Haciendo x = 45

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Ejemplo:

Ejemplo:

La operación se convierte en:

M = (x + 1) (x - 1) - x2

Aplicando productos notables:

M = x2 - 1 - x2

Reduciendo términos semejantes:

M = -1

(x + 3)(x + 4) = x2 + 7x + 12

(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab

(x + y + 3)2 = x2 + y2 + 32 +

2(x)(y) + 2(y)(3) + 2(x)(3)

⇒ (x + y + 3)2 = x2 + y2 + 9 +

2xy + 6y + 6x

Identidad de Stevin

Desarrollo de un Trinomio al Cuadrado

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

Ejemplo:


(

1. Si :

x2 + 1 = 3 ,

x2

calcula:

x6 + 1

x6

a) 0 b) 3 c) 2 3

d) 3 3 e) 3

Resolución:

Rpta.: a

x2+1 3

x2( (= 3 3

x6 + +3x2. 1

x6

1

x2

x2+1

x2( = 3 3

x6 + = 0 1

x6

x6 + +3( 3) 1

x6= 3 3

2. Si : M = 2 + 3 ; N = 2 - 3

calcula (M+N)2

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

Geométricamente la identidad de Stevin se demuestra así:

Según sus áreas:

(x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab

= x2 + (a + b)x + ab

x a

x

b= x2 + bx + ax + ab

bx ab

x2 ax

PDF Compressor Pro


17

Si :

(x+y)2=4xy

x2+2xy+y2=4xy

x2 - 2xy+y2= 0

(x - y)2 = 0 ⇒ x=y

Remplazando en "E"

Resolución:

3. Si :

calcula:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

x+y 2

2( (=xy ,

E= 6 x - 2 y

4 xy

Resolución:

(x+y)2

4=xy

E= 6 x - 2 x

4 x2

E= 4 x

x

E= 2

Rpta.: b

K = ( 2+ 3+ 2 - 3)2

K = 2+ 3 2

+2( 2+ 3 )( 2- 3 )

+ 2 - 3 2

K = 2+ 3+2 ( 2+ 3 )( 2- 3 )+2- 3

K = 4+2 22- 32

K = 4+2 1

K = 6

Rpta.: d

x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2- xy-xz-yz)

0 -3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-x2-y2-z2-3) -3xyz = -3(x+y+z)

⇒ xyz = x+y+z

Elevando al cubo:

x3y3z3=x3+y3+z3+3(x+y)(y+z)(z+x)

Reemplazando:

x3y3z3=3(x+y)(y+z)(z+x)

∴ x3y3z3

(x+y)(x+z)(y+z) = 3

4. Si :

(x - y)2+(x - z)2+(y - z)2 = 0

calcula:

a) -2 b) -1 c) 0

d) 1 e) 2

E= 3 x + 2y + 4 x2+z2

2x +y 2xz

Resolución:

Si (x - y)2+(x - z)2+(y - z)2 = 0

⇒ x - y = x - z = y - z = 0

∴ x = y = z

Remplazando en "E"

E= 3 x + 2x + 4 x2+x2

2x +x 2x2

E= 3 1 + 4 1

E= 2

Rpta.: e

5. Si :

x3+y3+z3=0;

x2+y2+z2+3=xy+xz+yz

Calcula:

x3y3z3

(x+y)(x+z)(y+z)

a) 1 b) 4 c) 2

d) 5 e) 3

Resolución:

Rpta.: e

PDF Compressor Pro


18

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Si:

R = ( 2 +1)2+( 2 - 1)2

M = ( 3 +2)2+( 3 - 2)2

calcula R+M.

Resolución:

Si:

x+x-1=3 calcula x2+x-2.

Resolución:

Si: x2 - 5x + 1 = 0

Calcular:

xx

12

2+

Resolución:

Si m+1/m=4 calcula m3+1/m3.

Resolución:

PDF Compressor Pro


19

Rpta:

5

Rpta:

6Si:

x - y = 4, xy =3; halla x3-y3

Resolución:

Si x+x-1=3 calcula x4+x-4.

Resolución:

7. Reducir:

2 5x x x x x x1 2 3 42 2+ - - - - + +^ ^ ^ ^ ^h h h h h

8. Efectúa:

E=4 1+(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)

9. Efectúa:

R = 24 1+26.(33+1).(36+1).(312+1)

10. Si:

1

a

b

c

5 3 23 2

1 5= +

=

-

- -

= -

Calcular:

Mbca

acb

abc2 2 2

= + +

11. Si x2+ = 18 calcula E=x -1

x

1

x2

12. Si: x3 = 1; x ≠1 Calcular:

x2 + x

PDF Compressor Pro


20

1. Si: (a+b)2 = 2(a2+b2)

Calcula el valor de:

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 17

a2+13b2 23a - 17b

ab 2aE= +

2. Si: a2+b2+c2=50 y a+b+c= 12

Halla P =(a+b)2+(b+c)2+ (a+c)2.

a) 132 b) 146 c) 145

d) 164 e) 194

3. Sabiendo que:

[6+ 36 - a2].[6- 36 - a2]=8

halla a4.

a) 4 b) 8 c) 16

d) 32 e) 64

4.

E = + 2+ -

2

2

- 4 2-

2

2

a) 36 b) 24 c) 15

d) 16 e) 72

( (a

b[ b

a( a

b (] [ ( a

b ( ] b

a

b

a ( (

5. Si + +

calcula:

J = +

a) 3/2 b) 1/2 c) 5/2

d) 7/2 e) 9/2

1

m

1

n

4

m+n

4m+n

4m- 2nm2+n2

mn

6. Si (a+b)3=a3+b3, además a, b≠ 0; señala el

valor de .

a) -2 b) -1 c) 0

d) 1 e) 2

a

b

7. Efectúa:

R = ( x + 3 ) ( x2 - 3x + 9) ( x - 3 )(x2+ 3x + 9 ) + 729

a) x3 b) x6 c) x8

d) x10 e) x12

8. Reduce a su mínima expresión:

[(a+2)4. (a2 - 2a + 4)4 . (a3+8) . (a3-8)5] 0.2 +64

a) a b) a2 c) a3

d) a4 e) a6

9. Calcula el valor de: a+b+c, si:

a2+b2+c2=2

(a+b+c)(1+ab+bc+ac)=32

a) 2 b) 4 c) 8

d) 32 e) 64

10. Dada la siguiente igualdad:

4 = + + ,

calcula el valor mumérico de:

R =

a) 9 b) 7 c) 5

d) 8 e) 6

x

yz

y

xz

z

xy

x( x+yz)+y(y+xz)+z(z+xy)

x(x - yz)+y(y - xz)+z(z - xy)

11. Si se sabe que:

calcula el valor de:

E= +

a) 18 b) 17 c) 16

d) 15 e) 14

2x

y1 +xy

1 - xy=

2x+y

2x - y

2x - y

2x+y ()

12. Si a3+b3+c3=0 y (a - b)2+(a - c)2 +(b -

c)2=12, a; b; c ≠ 0. calcula:

A = + +

a) 1/2 b) -2 c) 3/2

d) 2/3 e) -1/2

1

bc

1

ac

1

ab

PDF Compressor Pro


2016

ÁLGEBRA

PDF Compressor Pro


21

4División Algebraica

Monomio Entre Monomio

Ejemplos:

Nos remitimos a la Ley de Exponentes.

15x7y4z5

3x2yz3

1001x9w15

91x3w12

= x7-2y4-1z5-3

= 5x5y3z2

= x9-3w15-12

= 11x6w3

( )15

3

( )1001

91

Polinomio Entre Monomio

Nos remitimos a separar el polinomio término por término

y utilizar lo visto anteriormente.

Residuo

Cociente

Divisor

Dividendo

D(x) = d(x) q(x) + r(x)

Ejemplos:

15x7w8 + 21x6w3 - 3x5w2 entre 3x3w

5x4w7 + 7x3w2 - x2w

15x7w8

3x3w

21x6w3

3x3w

3x5w2

3x3w-+

Polinomio Entre Polinomio

Polinomio completo y ordenado.

1. MÉTODO DE HORNER

ivisor

d

Cociente

Coeficiente principal

del divisor

Coeficientes

restantes del

divisor con signo

cambiado Residuo

Coeficientes

del Dividendo

Línea

DivisoriaEjemplos:

q(x) = 3x2 + x - 5

r(x) = 4x + 12

2. MÉTODO DE RUFFINI

DIVIDENDO

(RAÍZ DEL

DIVISOR)

COCIENTE RESIDUO

q(x) = x3 + 2x2 - x - 2

r(x) = 0

El resto que resulta de dividir un polinomio determinado,

por el binomio “x - a”, es igual al valor numérico del

polinomio dividendo, en el cual se ha efectuado la

sustitución de x por a.

Veamos: D(x) = (x - a)q(x) + R

Evaluemos en x = a

D(a) = (a - a)q(a) + R

cero

Teorema del Resto

D(a) = R

Halla el resto de dividir:

4x4 - 3x3 + 5x2 - 6x + 4 entre x - 2

x - 2 = 0

x = 2

R = 4(2)4 - 3(2)3 + 5(2)2 - 6(2) + 4

R = 52

Se utiliza para casos en que el divisor es de primer grado.

D(a) = V.N. del dividendo cuando x = a

Identidad fundamental de una división polinomial.

PDF Compressor Pro


22

Resolución:

6x4 + 5x3 - x2 + Ax + B

2x2 + 3x + 1

1. Determina “A + B”, en la siguiente división exacta.

Por las características del divisor, el método a utilizar es

el de W. Horner.

Haciendo el esquema :

del esquema :

A - 1 = 0 ⇒ A = 1

B - 1 = 0 ⇒ B = 1

∴ A + B = 2

2 5 -1 A B6

-3

-1 2

-3 -1

-3

6

-9

1-2 0

división

exacta

03

Resolución:

Resolución:

2. En la siguiente división :

Determina el valor de “AB” si tiene como residuo:

3x + 10.

Por las características del divisor, el método a utilizar es

el de W. Horner.


4x4 + 23x3 + 24x2 + Ax + B

x2 + 5x + 2

Por las características del divisor, el método a utilizar


Cociente: Q(x) = x3 - 2x2 + x - 3

∑ -3

3. Divide:

2x4 - 5x3 + 4x2 - 7x + 9

2x - 1

Divisor

2x - 1

diferente

de la

unidad

1/22 -5 4 -7 9

1 -2 1 -3

2 -4 2 -6 6

÷ 2

1 -2 1 -3

del esquema : A - 11 = 3 ⇒ A = 14

B - 2 = 10 ⇒ B = 12

∴ AB = 168

1 23 24 A B4

-5

-2 -6

-5 -2

-8

-15

-20

13 10

residuo

4 3

4. Halla el residuo de la siguiente división :

Como el grado del dividendo es muy elevado y sólo nos

piden el residuo, entonces utilizaremos el “Teorema

del resto”.

Regla práctica : x + 6 = 0

x = -6

Reemplazando en el dividendo :

R = (-6 - 3) (-6 + 7)60 + 7

R = -2

Resolución:

Resolución:

(x - 3) (x + 7)60 + 7

x + 6

5. Halla el residuo de la división :

Como en el dividendo los términos son potencia

del término del divisor (x10), haremos un cambio de

variable.

Sea : x10 = y

Como sólo nos interesa el residuo, entonces aplicamos

el “Teorema del resto”.

Regla práctica : y + 1 = 0

y = -1

Reemplazando en el dividendo :

R = (-1)9 + (-1)8 + (-1)6 + (-1)2 + 4

R = 6

x90 + x80 + x60 + x20 + 4

x10 + 1

y9 + y8 + y6 + y2 + 4

y + 1

PDF Compressor Pro


23

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3

4x4 + 13x3 + 28x2 + 25x + 12

4x2 + 5x + 6

Halla el cociente de la siguiente división:

Resolución:

x3 + 5x2 - 7x + 5

x2 + 2x - 3

Al efectuar la siguiente división:

indica su cociente.

Resolución:

x5 - 3x2 + x + 1

x2 + x - 1

Luego de dividir

halla el residuo de la división.

Resolución:

3x3 + 2x2 + x + 1

x + 1

Divide e indica el cociente de:

Resolución:

PDF Compressor Pro


24

Rpta:

5

Rpta:

6Calcular la suma de los coeficientes del

cociente de:

xx x x13 2 8 7202 201

-

+ + +

Resolución:

La división:

x x

ax bx cx c3 2 19 33 2

5 4 3

- +

- + - +

exacta:

Calcular el valor de: a + b - c

Resolución:

7. Si: P(x) = x3 - 0,111x2 - 0,999x + 2012

Evaluar:

P(0, 999)

8. Si: P(x) = 12x4 - ax3 + bx2 - 31x - 15

es dividendo por Q(x) = 4x2 - 5x - 3

Calcular: a - b

2x3 + 3x2 - 5x + 6

x + 2

10. Halla el resto al dividir:

abaa

cb cb

b

cbb

b a

c

c c2

d e

9. Halla el divisor del esquema de Horner en función

de “x”.

2x3 + x2 - 6x + 4

2x - 3

11. Halla el cociente al dividir:

12. Hallar el resto de:

( )

x x

x x

2 21 62

2013

+ +

+ + +

PDF Compressor Pro


25

3x6 + 2x5 + x4 + 2x + 3

x3 - x + 1

1. Luego de efectuar:

indica el cociente.

a) 3x3 + 2x2 + 4x - 1 b) 3x2 + 2x - 1

c) 3x2 + 4x - 1

d) x3 + 2x2 + 1 e) x3 - 3x - 1

5421

a-1 -4b

-2

d22

c 7

-4

1 2

3 9

2. En la siguiente división por Horner

halla la suma de “a + b + c + d”

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 12

3x4 + 2x2 - 3x - 3

x - 2

3. cociente:

a) 20 b) 21 c) 22

d) 23 e) 48

4. cociente:

a) 3 b) 4 c) 5

d) 21 e) 7

3x4 - 2x3 + 9x2 +3x + 6

3x - 2

2x8 - 3x6 + 3x4 + 2

x2 + 2


a) 50 b) 60 c) 70

d) 80 e) 90

x4 - 2x3 + 3x2 - x + 1

x - 2


a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

(x3+x2+4)2m+(x3+x2+3)n + x3 + x2 + 6

x3 + x2 + 3

3x4 - 4x3 + 3x2 + ax2 + 2x - 2

x2 - x + b

8. Calcula a - b si el resto de

es 8x - 2; además a ∧ b ∈ R+.

a) 13 b) 18 c) 5

d) 10 e) 16

2x4 + 5x3 + ax + a

x2 - x + 1

9. La división:

da como resto un polinomio de grado cero. ¿Cuál es?

a) -1 b) -3 c) 2

d) 8 e) 4

mx4 + nx3 + px2 + 6x + 6

2x2 - 5x + 2

10. Calcula (m + p)n si el resto de la división

es -

cociente es 4.

a) 34 b) 35 c) 36

d) 37 e) 38

11. Si: ( )P x x x x2 2 2 3 34 3= + - +

Calcular: P 3 2-^ h

a) 1 b) -1 c) 2

d) -2 e) 3

12. Si la división:

es exacta el valor de: a - b es

a) 20 b) 25 c) 10

d) 5 e) 1

x x

ax bx x x4 12 3 22

4 3 2

+ -

+ - - -

PDF Compressor Pro


Education

ÁLGEBRA 1° a 4° - MJ (N)