Editora Moderna

Encontro de professores de Matemática

Prof. Luiz Márcio P. Imenesimenes@uol.com.br

Álgebra

Fórmulas e equações: o x é o mesmo?

1. Por que ensinar álgebra?

• Esclarecimento: trata-se da álgebra ensinada na educação básica. Na visão do aluno, de modo ingênuo, ela pode ser caracterizada como “cálculo com letras”.

Às vezes, em um jornal ou revista aparece uma fórmula.

• Mas, são raras as situações da vida cotidiana que utilizam linguagem algébrica. Nesse sentido , a álgebra é pouco relevante.

• Entretanto, a álgebra permeia todos os campos da Matemática sendo, portanto, essencial para o avanço dos estudos.

• Além disso, é ferramenta indispensável e poderosa em Física, Biologia, Química, Astronomia, Geografia, Engenharia, Economia, Arquitetura, Medicina, Administração, Geologia etc.

• O mundo natural e o mundo social são dinâmicos e interdependentes.

• As coisas variam e dependem umas das outras.

• A Matemática desenvolveu um conceito para se estudar variação e dependência. É o conceito de função. Trata-se de noção central, fundamental, essencial.

2. Uma abordagem adequada para a álgebra

• Para atribuir significado à álgebra, vamos entendê-la essencialmente como linguagem.

• Em primeiro plano, linguagem para expressar (exprimir, comunicar) generalizações. Isso leva às funções e suas variáveis.

• Em segundo plano, letras são usadas na resolução de problemas para representar quantidades desconhecidas. Isso leva às equações e suas incógnitas.

• A proposta será detalhada por meio de exemplos.

• Como referência aproximada, serão consideradas as seguintes fases de trabalho:

�1º ao 5º anos do ensino fundamental�6º ao 9º anos do ensino fundamental�1º ao 3º anos do ensino médio

1º ao 5º anos• Desde o início, buscam-se desenvolver no

aluno a percepção e a expressão de padrões (regularidades). Exploram-se padrões geométricos e numéricos em mosaicos, em seqüências de figuras e em seqüências numéricas, na escrita dos números, no cálculo mental, na multiplicação (por 10, 100, 1000, ... usando calculadora).

Descobrindo padrões com a calculadora

6º ao 9º anos

Prossegue o trabalho com observação e expressão de padrões em diferentes situações, como no estudo de múltiplos e divisores.

A generalização das regularidades observadas leva às fórmulas, nas quais letras representam

quantidades variáveis.

• Em situações contextualizadas , usam-se as expressões “depende de”, “varia com”, “é função de”. Exemplos: a área de um quadrado depende da medida de seu lado; o número de faces de uma pirâmide depende do número de lados da base.

• A observação de regularidades é usada para atribuir significado à multiplicação de números negativos e às potências de expoente inteiro menor que 2.

Inicia-se a construção de um outro significado para a álgebra: na resolução de problemas, quantidades desconhecidas são representadas por letras. Isso leva às equações e suas incógnitas. De início, essas equações são resolvidas com base nas operações inversas.

Em um segundo momento, faz-se analogia com balança de dois pratos.

Em momento adequado, com intensidade conveniente, são treinadas habilidades de cálculo escrito.

• Dando continuidade à construção de significados para a álgebra, usam-se fórmulas e equações em situações contextualizadas (consumo de energia elétrica, índice de massa corpórea, tempo de queda de um corpo, período do pêndulo simples, divisão de lucros etc.)

• Resultados gerais da geometria, das potências e dos radicais são expressos por meio de fórmulas.

• Exemplos:s = 180º(n – 2)am × an = am+ n

2

)3( −= nnd

• A álgebra é empregada na dedução de fórmulas como no cálculo de áreas, no teorema de Pitágoras, nas relações métricas no triângulo retângulo.

• Sistematizam-se a resolução de equações e a dos sistemas de primeiro grau.

• Iniciam-se o estudo das equações e o dos sistemas de segundo grau.

• Explicita-se o conceito “físico” de função como variação e interdependência.

• Exploram-se os gráficos das funções polinomiais de 1º e 2º graus.

• Nesta proposta, o cálculo algébrico perde o posto de ator principal (que possui na abordagem tradicional) e passa a ser desenvolvido na medida em que énecessário à dedução de fórmulas e àresolução de problemas .Assim, produtos notáveis e casos de fatoração vão aparecendo aos poucos.Equações biquadradas e irracionais são apresentadas apenas como exemplificação de equações que não são de primeiro ou de segundo grau.A divisão de polinômios, nessa fase, sequer precisa mencionada.

1º ao 3º anos do ensino médio• Aprofundam-se os estudos das funções

polinomiais de 1º e 2º graus.

• Novas funções são apresentadas aos alunos:� função exponencial;

� função logarítmica;� funções periódicas.• Progressões aritméticas e geométricas são

estudadas como funções.• Formaliza-se o conceito e classificam-se as

funções.

• Intensificam-se as aplicações do conceito de função em outras disciplinas.

3. O tratamento tradicional da álgebra O contato com a álgebra inicia-se por volta do 7ºano, intensificando-se nos dois anos seguintes. O foco é o desenvolvimento de habilidades de cálculo escrito mecânico. A resolução de problemas é secundária. Costumam ser ensinados os seguintes tópicos:

• Expressões algébricas• Equações de 1º grau• Inequações de 1º grau• Sistemas de equações de 1º grau• Adição, subtração, multiplicação e divisão de

polinômios

• Produtos notáveis: (a + b)2, (a – b)2, (a + b)(a – b), (a + b)3 e (a – b)3

• Fatoração: fator comum, agrupamento, diferença de quadrados, trinômio quadrado perfeito, trinômio de 2º grau (caso particular), soma de cubos, diferença de cubos

• MDC e MMC de polinômios• Simplificação e operações com frações algébricas• Equações de 2º grau: fórmula e relações entre

coeficientes e raízes• Fatoração do trinômio de 2º grau• Equações fracionárias• Equações biquadradas• Equações irracionais

• Sistemas de equações de 2º grau• Funções: plano cartesiano, domínio e imagem,

gráfico• Função afim• Função quadrática• Inequações de 2º grau • No ensino médio, costuma-se dedicar um

semestre do 1º ano ao estudos de funções: definição (como relação entre conjuntos); diagrama de flechas; domínio, contra domínio, conjunto imagem; classificação (injetora, sobrejetora, bijetora); função inversa; função produto; inequação produto, inequação quociente.

• Após esses três anos, tais conteúdos passam a ser considerados pré-requisitos para o estudo de funções, logaritmos, progressões, matrizes, determinantes, sistemas lineares, números complexos, equações polinomiais, análise combinatória, estatística, probabilidade, matemática comercial e financeira, geometria métrica, geometria analítica, trigonometria, derivadas, ...

4. Críticas ao tratamento tradicional

• A experiência vivida nas escolas tem mostrado que os alunos aprendem pouco dessa álgebra que lhes ensinamos. A maioria fracassa.

• Há depoimentos interessantes, como o de C. G. Jung e o do matemático brasileiro L. Nachbin, que sinalizam uma das causas desse fracasso.

• C. G. Jung assim se expressou sobre suas relações com a matemática escolar:O colégio me aborrecia. (...) A álgebra parecia tão óbvia para o professor, enquanto que para mim os próprios números nada significavam (...) A minha grande confusão era saber que as quantidades podiam ser substituídas por letras, que são sons (...) Com grande espanto descobri que ninguém entendia a minha dificuldade. (...) Reconheço que o professor se esforçava consideravelmente no sentido de me explicar a finalidade de singular operação que consiste em transpor em sons quantidades compreensíveis (...)

O que mais me irritava era o princípio: “se a = b e se b = c, então a = c”. Tendo sido dado, por definição, que a é diferente de b, por conseguinte não pode ser igual a b, e ainda menos de c. Quando se trata de uma igualdade, diz-se que a = a, b = b etc. Mas dizer que a = b me parecia uma fraude evidente, uma mentira. Minha honestidade intelectual revoltava-se contra esses jogos inconseqüentes que me barravam o caminho à compreensão das matemáticas. (...)

Foi penosamente, portanto, que me equilibrei nessa matéria, copiando as fórmulas algébricas cujo conteúdo permanecia misterioso para mim (...)As aulas de Matemática tornaram-se o meu horror e o meu tormento. (...)

JUNG, C.G. Memórias, sonhos e reflexões . Rio de Janeiro, Editora Nova Fronteira, 1983.

• Leopold Nachbin, reconhecido matemático brasileiro, assim registrou uma dificuldade sua com a álgebra:(...) Foi nesse estado psicológico de ser considerado um bom aluno, acima da média, que me tornei estudante do Ginásio Pernambucano, um dos melhores estabelecimentos de ensino secundário de Recife, na época. Ainda assim, logo no primeiro ano de Ginásio, tive um sério tropeço no estudo da Matemática, saindo-me mal em uma prova. Uma de minhas dificuldades de então consistia em não compreender o raciocínio de “por uma problema em equação”. (...)

NACHBIN, L. Talento, criatividade e expressão. Anais do 5º Congresso Interamericano de Educação Matemática, 1979.

• Estudos e práticas em Educação Matemática confirmam que, nesse tratamento tradicional, a álgebra carece de significado para os alunos. Um dos principais obstáculos à sua aprendizagem reside na total ausência de sentido dos cálculos algébricos.

5. BibliografiaBRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares Nacionais: matemática . Brasília: SEF/MEC, 1998. DINIZ, M. I. de S. V.; SOUZA, E. R. de. Álgebra: das variáveis às equações e funções. São Paulo: CAEM/IME-USP, 1996.IMENES L. M.; LELLIS, M.; MILANI E. Coleção Conviver -Matemática: 1º ao 5º anos. São Paulo: Moderna, 2009.IMENES L. M.; LELLIS, M. Matemática 6º ao 9º anos . São Paulo: Moderna , 2010.JAKUBOVIC, J.; IMENES L. M.; LELLIS, M. Álgebra . Coleção Pra que serve Matemática? São Paulo: Atual, 1992.______. Equação do 2º grau . Coleção Pra que serve Matemática? São Paulo: Atual, 1992.LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI . Campinas: Papirus, 1997.

MASON, J.; GRAHAM, A.; PIMM, D.; GOWAR, N. Routes to/Roots of Algebra . London: The Open University, 1985NCTM. Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar . Lisboa: APM, 1991.TINOCO L. A. A. (coord.) Construindo o conceito de função no ensino fundamental . Rio de Janeiro: Projeto Fundão/IM-UFRJ, 1996.