Prof. Robson Ricardo de Araujo ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações ÁLGEBRA – AULA 2 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

ÁLGEBRA - AULA 2 - EquaçõesÁLGEBRA - AULA 2 - Equações

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ÁLGEBRA – AULA 2

Equações


ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações

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DEFINIÇÕES

Expressão matemática é uma combinação de números, operadores e incógnitas ou variáveis, além de símbolos gráficos, agrupados de forma significativa para permitir a verificação de valores, formas, meios ou fins.Equação é uma afirmação que estabelece uma igualdade entre duas expressões matemáticas.Resolver uma equação é encontrar valores numéricos que, ao serem substituídos nas incógnitas da equação, tornam verdadeira a sentença matemática.Os valores numéricos que tornam a equação válida são chamados raízes ou zeros da equação.



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EXEMPLOS

2 𝑥+3=0Equação do 1º grau

𝑥2+3𝑥+1=0Equação do 2º grau

𝑥5+3𝑥+7=𝑥3+2 𝑥2

Equação do 5º grau

𝑎𝑛 𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1+…+𝑎1𝑥+𝑎0Equação polinomial do nº grau



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EXEMPLOS

3𝑥=81Equação exponencial

|𝑥+3|=2Equação modular

log 103 𝑥+1=2Equação logarítmica

𝑠𝑒𝑛 (𝑥 )=𝜋Equação trigonométrica



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EXEMPLOS

3 𝑥+2 𝑦=2Equação linear com duas variáveis

√𝑥2+1=3Equação irracional

[2𝑥 3𝑦 0]=[ 7 𝑧

−1 𝑤 ]Equação matricial



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IMPORTANTE

𝑎 .𝑏=0❑⇔𝑎=0𝑜𝑢𝑏=0

Se a e b são números reais,

EXEMPLO

Analise.



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OBSERVAÇÕES

1) Depois de determinar as raízes de uma equação, você deve apresentá-la na forma de conjunto: o chamado conjunto solução, denotado por S.

2) Equações equivalentes são aquelas que possuem o mesmo conjunto solução.



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EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Equações do 1º grau são equações do tipo

𝑎𝑥+𝑏=0𝑐𝑜𝑚𝑎≠0Os valores a e b são chamados coeficientes da equação.

Toda equação da forma acima admite uma única solução da forma

−𝑏𝑎

Exemplos...



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LINGUAGEM USUAL x LINGUAGEM MATEMÁTICA

Expressão matemática de algumas expressões em língua portuguesa:

Em Português Em Matematiquês

(dado) um número 𝑥

A sexta parte desse número 𝑥6

O dobro desse número 2 𝑥

A metade desse número “mais” sua terça parte

𝑥2

+𝑥3



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LINGUAGEM USUAL x LINGUAGEM MATEMÁTICA

Expressão matemática de algumas expressões em língua portuguesa:

Em Português Em Matematiquês

Esse número acrescido de 5 unidades

𝑥+5

Esse número acrescido de 20% 𝑥+20100

𝑥

O quadrado desse número acrescido de seu dobro mais

uma unidade𝑥2+2𝑥+1



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EXERCÍCIO RESOLVIDO

Uma torneira A enche um tanque em 3 horas; uma torneira B enche

esse mesmo tanque em 4 horas; e uma ralo esvazia esse tanque em 6

horas. O tanque inicialmente está vazio. As duas torneiras são

abertas, e o ralo, destampado. Quanto tempo demorará para que

esse tanque fique cheio?



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SISTEMA DE EQUAÇÕES DE 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS

(Método da substituição) Se você tiver duas equações lineares com duas incógnitas, pode-se achar uma solução para o sistema isolando uma das variáveis em uma das equações e substituindo na outra equação.

Exemplo: resolva {2𝑥+3 𝑦=10𝑥−2 𝑦=7



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EXERCÍCIO RESOLVIDO

Há três anos, a idade de Pedro era o triplo da

idade de Maria. No próximo ano, Pedro terá o

dobro da idade de Maria. Qual a idade de Pedro e

de Maria hoje?



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EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Equações do 2º grau são equações do tipo

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0𝑐𝑜𝑚𝑎≠0

Os valores a, b e c são chamados coeficientes da equação.



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EXEMPLOS

3 𝑥2+2𝑥+12=0

Verifique se a equação dada é ou não uma equação do 2º grau:

3 𝑥+4=04 𝑥2+5 𝑥=0

𝑡 2+3=0

𝑥3+𝑥2+2 𝑥+5=0

𝑛2=0

SIM

NÃO

SIM

SIM

NÃO

SIM



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OBSERVAÇÃOUma equação do 2º grau pode ou não ter solução. Tendo solução, existe apenas uma ou, no máximo, duas soluções.

FÓRMULA DE BHASKARA

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0𝑐𝑜𝑚𝑎≠0As soluções da equação acima são dadas por

𝑥=−𝑏±√Δ 2𝑎

Δ=𝑏2−4𝑎𝑐onde



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EXEMPLOS

(1)

(2)

(3)



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DISCUSSÃO SOBRE AS RAÍZES

Δ>0❑⇒

2 𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠

Δ=0❑⇒

1𝑠𝑜𝑙𝑢çã 𝑜𝑟𝑒𝑎𝑙

Δ<0❑⇒

𝑛 ã𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜𝑟𝑒𝑎𝑙



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EXEMPLOS

(1) Determine tal que admita uma única raiz real.

(2) Determine real tal que não admita raízes reais.

MAIS EXEMPLOS: resolva as equações incompletas:

(1)

(2)



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SOMA E PRODUTO DE RAÍZES

Sejam e raízes de uma equação do 2º grau


Então

𝑥1+𝑥2=−𝑏𝑎𝑥1 .𝑥2=

𝑐𝑎



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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

(1) A soma S e o produto P das raízes de são...

(2) Sabendo que as raízes de são 3 e -5, determine b e c.

(3) (a) Determine m tal que as raízes de são números simétricos.(b) No caso acima, determine e .



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OBSERVAÇÃO

Sejam e raízes de uma equação do 2º grau


𝑥2+𝑏𝑎𝑥+

𝑐𝑎

=0

𝑥2−𝑆𝑥+𝑃=0em que S e P são a soma e o produto de e , respectivamente.

-S= =P



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TENTE FAZER

Construa uma equação de 2º grau que tenha 3 e 5 como raízes.

EXTRA

Demonstre a fórmula de Bhaskara.

EXERCÍCIO

Demonstre que “Mulher é igual problema”



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A Matemática não é algo mágico e ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo

de conhecimento naturalmente desenvolvido

por pessoas durante um período de 5000 anos.

Frank Swetz Robson Ricardo de Araujo

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