Aula 00 ISS 2011 - Ponto dos Concursos

1. Apresentação Pessoal ................................................................................... 2

2. Raciocínio Lógico para ISS-SP: Objetivo do Curso e Público-Alvo ................ 2

3. Programação do Curso .................................................................................. 3

4. Mensagem Final ............................................................................................. 4

5. Aula Demonstrativa – Estruturas Lógicas....................................................... 6

5.1 Apelidos dos conectivos ......................................................................... 13 5.2 Símbolos dos conectivos ........................................................................ 15 5.3 Negação de proposições ........................................................................ 17 5.4 Proposições Equivalentes ....................................................................... 18

6. Exercícios de fixação comentados ............................................................... 21

7. Memorex ...................................................................................................... 27

8. Lista das questões abordadas em aula ........................................................ 28

9. Gabarito ........................................................................................................ 29

Raciocínio Lógico – ISS SP

Aula Demonstrativa – Professora Karine Waldrich

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1. Apresentação Pessoal

Oi, futuro colega! Seja bem vindo ao mundo dos concursos!!

Meu nome é Karine Waldrich, sou graduada em Engenharia Química (UFSC-2008) e em Administração (ESAG-UDESC-2007). Atualmente estou trabalhando no cargo de Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil, cujo concurso ocorreu entre 2009-2010 e em que logrei aprovação em 39º lugar, dentre os mais de 70.000 candidatos. Além disso, fui aprovada no concurso para Analista-Tributário da Receita Federal do Brasil (61º lugar) e para o cargo de Gestor de Projetos, do Centro de Informática e Automação de Santa Catarina (4º lugar).

Estudei para o concurso da Receita Federal na minha cidade natal, Blumenau-SC, durante 8 meses. Utilizei, por diversas vezes, os cursos do Ponto na minha preparação, tanto antes como depois do edital do concurso. Acredito muito no projeto dos professores que idealizaram o curso e, não a toa, estou aqui ministrando este curso para vocês.

Acredito que qualquer pessoa possa ser aprovada em concursos públicos – não importa o tempo de estudo, o fato de morar longe de um grande centro, etc. O que realmente interessa é a força de vontade.

Meu e-mail, para dúvidas e sugestões, é [email protected].

2. Raciocínio Lógico para ISS-SP: Objetivo do Curso e Público-Alvo

O objetivo deste curso é ensinar Raciocínio Lógico para os concurseiros que buscam aprovação no concurso da Secretaria Municipal de Finanças de São Paulo (costumeiramente chamado de ISS-SP).

O público-alvo são alunos sem base alguma na matéria, como também alunos que já estudaram Raciocínio Lógico para outros concursos. Os assuntos serão tratados com o maior detalhamento possível, ao mesmo tempo de maneira sucinta. Não me apegarei a teorias desnecessárias para a resolução das questões: o que eu pretendo é fazer com que vocês consigam resolver com tranquilidade a prova de RL que o concurso do ISS-SP apresentar!

O formato do curso está bem completo. Como base, adotamos um edital que inclui praticamente todos os tópicos possíveis de serem cobrados na disciplina de Raciocínio Lógico. Portanto, falaremos de Lógica propriamente dita, de Matemática, de Estatística Descritiva, de Estatística Inferencial, de Matemática Financeira, e de questões que não envolvem conteúdo algum, simplesmente raciocínio e treino. Posso garantir que será muito difícil o edital do concurso contemplar algum tópico da matéria que não tenha sido contemplado em nosso curso.

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Sei que Raciocínio Lógico é uma das matérias que mais assusta. São muitos assuntos, e as bancas vêm inovando e fazendo questões cada vez mais capciosas. Por isso, para ajudar vocês a enfrentar essa fera, utilizarei todos os recursos possíveis e que deixem a aula mais interessante: gráficos, desenhos, esquemas. Nada ficará “subentendido”.

Durante o meu estudo para concurso, preferia um professor que deixasse tudo bem esmiuçado do que o contrário. Então, essa será a linha que adotarei para o ensino.

O curso se propõe a ensinar a base teórica de Raciocínio Lógico, sem, no entanto, esquecer as questões, pois são elas que efetivamente fixam o conteúdo! Ao final de cada aula, será apresentada a lista de questões abordadas na aula, bem como um esquema dos pontos mais importantes – uma espécie de Memorex – para que vocês revisem o assunto de forma rápida!

3. Programação do Curso

O curso seguirá a estrutura básica abaixo:

1) Estruturas lógicas; Lógica de argumentação; Diagramas lógicos; 2) Matrizes e Determinantes; Álgebra linear; 3) Geometria Básica; Trigonometria; 4) Combinações, Arranjos e Permutação; Probabilidade; 5) Estatística Descritiva, Amostragem, Teste de Hipóteses e Análise de

Regressão; Variáveis Aleatórias, Principais Distribuições de Probabilidade;

6) Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, Desconto, Equivalência de Capitais, Anuidades e Sistemas de Amortização;

7) Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos.

Esses assuntos serão distribuídos em 4 aulas, além desta aula demonstrativa. Teremos uma aula por semana. São elas:

AULA DATA ASSUNTO AULA 0 Estruturas lógicas; AULA 1 15/03/2011 Estruturas lógicas (continuação);

Lógica de argumentação; Diagramas lógicos; Exercícios comentados.

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AULA 2 22/03/2011 Matrizes e Determinantes; Exercícios comentados. Álgebra linear; Exercícios comentados.

AULA 3 29/03/2011 Geometria Básica; Trigonometria; Exercícios comentados.

AULA 4 05/04/2011 Combinações, Arranjos e Permutação; Probabilidade; Exercícios comentados.

AULA 5 12/04/2011 Estatística Descritiva; Exercícios comentados.

AULA 6 19/04/2011 Amostragem, Teste de Hipóteses e Análise de Regressão; Variáveis Aleatórias, Principais Distribuições de Probabilidade; Exercícios comentados.

AULA 7 26/04/2011 Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, Desconto, Equivalência de Capitais, Anuidades e Sistemas de Amortização; Exercícios comentados.

AULA 8 03/04/2011 Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos. PS: esta aula não possui aspectos teóricos.

Para tirar dúvidas sobre as aulas, teremos o Fórum de Dúvidas, tradicional nos cursos do Ponto.

4. Mensagem Final

Pessoal, sei que para muitos de vocês esta é uma oportunidade de resolver a vida, de garantir um futuro não só para si próprio, como também para a família. Então, queria deixar uma mensagem especial.

Prá cima!!! Entrem nessa batalha para vencer!! Não se deixem levar pelas adversidades que vão aparecer. ESTUDEM, muito!! Se organizem, optem pelos melhores materiais, façam muitos exercícios... Na hora da prova, vai ser só você com seu conhecimento. Ninguém vai perguntar qual sua idade, quantos filhos você tem, se é rico, é pobre, bonito ou feio... O que vale é o seu esforço!

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Posso garantir que, se a minha vida mudou muito e para melhor depois de ter sido aprovada num bom concurso, a sua também pode mudar.

RUMO À APROVAÇÃO!

Agora vamos para a Aula Demonstrativa. Nela, vamos aprender sobre Estruturas Lógicas. Preparados??

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5. Aula Demonstrativa – Estruturas Lógicas

O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira

Já que estamos falando de ISS-SP, me sinto à vontade para declarar meu time: sou Corinthians! Sem piadinhas com a Libertadores, pessoal... Por favor! Rs...

Vamos começar essa aula falando de futebol, tudo bem? Afinal um ex-técnico corinthiano é o atual técnico da seleção brasileira... Desta forma, a frase acima é verdadeira ou falsa? Resposta: Verdadeira.

Há alguma dúvida de que a frase acima é verdadeira? Resposta: Não. Haveria como alguém dizer “é mais ou menos verdadeira”? Resposta: Não. O Mano Menezes é o técnico da nossa seleção, e ponto final.

Ou seja, estamos diante de uma proposição!

Proposição é uma frase, ou uma equação, ou uma expressão, cujo conteúdo pode ser considerado Verdadeiro ou Falso.

Esse “considerado Verdadeiro ou Falso” é o valor lógico da proposição, ou seja, no caso da nossa frase futebolística acima, o valor lógico é verdadeiro, pois sabemos que o Mano Menezes é efetivamente o nosso técnico.

Há dois tipos de proposições: as simples e as compostas.

PROPOSIÇÕES SIMPLES PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Apenas uma proposição Várias proposições ligadas por um

conectivo. Ex: O Mano Menezes é o técnico da

Seleção Brasileira Ex: O Mano Menezes é o técnico da

Seleção Brasileira e o Alexandre Pato é jogador da Seleção

Na proposição composta da tabela acima, aparece o conectivo e ligando as duas proposições. Porque ele está ali?

É importante que fique claro que o nosso objetivo é sempre conhecer o valor lógico de uma proposição, simples ou composta.

Algumas proposições e conectivos são intuitivos. Na frase acima, por exemplo, fica fácil perceber que o e está com uma função aditiva, e que a frase toda só será verdadeira se as duas proposições isoladas também forem verdadeiras. E como sabemos que o Mano Menezes é efetivamente o nosso técnico e que o

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Alexandre Pato é efetivamente nosso jogador, percebemos claramente que a proposição composta (formada pelas duas proposições simples ligadas pelo e) é verdadeira.

Mas não existe apenas este conectivo, e não é sempre assim tão “evidente” o significado deles. Então, cabe a nós aprender o que cada um deles significa, para que quando eles aparecerem numa proposição composta seja possível identificar claramente o valor lógico dessa proposição. Ou seja, se a proposição composta é verdadeira ou falsa.

Vamos aprender cada um deles nas páginas seguintes! Utilizei exemplos relacionados ao time brasileiro na Copa. Então, apesar de eu imaginar que todos nós sabemos um pouquinho sobre a nossa Seleção, não custa reforçar algumas informações futebolísticas para ninguém ficar perdido, ok??

Partiremos do princípio que:

1) O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira. 2) O Alexandre Pato é jogador da Seleção. 3) O Zagallo não é o técnico da Seleção Brasileira. 4) O Rogério Ceni não é jogador da Seleção.

Vamos lá??

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CONECTIVO e

CONECTIVO “NOME

DE GUERRA”

SIGNIFICADO EXEMPLOS

e Conjunção

A proposição composta só será

verdadeira se ambas as

proposições simples forem verdadeiras.

Ou seja:

V e V = V V e F = FF e V = F F e F = F

EXEMPLO 1: O Mano Menezes é o técnico

da Seleção Brasileira e o Alexandre Pato é jogador da

Seleção da Seleção

Valor lógico: V e V = V(ou seja, a proposição

composta é Verdadeira)

EXEMPLO 2: O Mano Menezes é o técnico

da Seleção Brasileira e o Rogério Ceni é jogador da

Seleção

Valor lógico: V e F = F (ou seja, a proposição

composta é Falsa)

EXEMPLO 3: O Zagallo é o técnico da Seleção Brasileira e o

Alexandre Pato é jogador da Seleção

Valor lógico: F e V = F (ou seja, a proposição

composta é Falsa)

EXEMPLO 4: O Zagallo é o técnico da

Seleção Brasileira e o Rogério Ceni é jogador da Seleção

Valor lógico: F e F = F (ou seja, a proposição

composta é Falsa)

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CONECTIVO ou

CONECTIVO “NOME

DE GUERRA”


ou Disjunção

Se uma das proposições simples for

verdadeira, a proposição

composta já será verdadeira. Dessa forma, ela só será falsa se ambas as

proposições simples forem

falsas – em todos os outros casos, a

proposição composta será

sempre verdadeira!

Ou seja:

V ou V = V V ou F = V F ou V = V F ou F = F

EXEMPLO 1: O Mano Menezes é o técnico da Seleção

Brasileira ou o Alexandre Pato é jogador da Seleção

Valor lógico: V ou V = V (ou seja, a proposição


EXEMPLO 2: O Mano Menezes é o técnico da Seleção

Brasileira ou o Rogério Ceni é jogador da Seleção

Valor lógico: V ou F = V (ou seja, a proposição


EXEMPLO 3: O Zagallo é o técnico da Seleção Brasileira ou o Alexandre Pato é jogador

da Seleção

Valor lógico: F ou V = V (ou seja, a proposição


EXEMPLO 4: O Zagallo é o técnico da Seleção Brasileira ou o

Rogério Ceni é jogador da Seleção

Valor lógico: F ou F = F (ou seja, a proposição

composta é Falsa)

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CONECTIVO ou... ou

CONECTIVO “NOME

DE GUERRA”


ou... ou Disjunção Exclusiva

Se as proposições simples tiverem

mesmo valor lógico (Verdadeiro/Falso), a proposição será

sempre Falsa. Dessa forma, a

proposição composta só será verdadeira se uma das proposições

simples for verdadeira e a outra falsa (e vice-versa).

Ou seja:

ou V ou V = F ou V ou F = V ou F ou V = V ou F ou F = F

OBS: Reparem que a diferença para o

caso anterior (o ou simples, é que no

caso de ou V ou V a proposição será Falsa!! Nos outros

casos... nada muda!

EXEMPLO 1: Ou o Mano Menezes é o

técnico da Seleção Brasileira ou o Alexandre Pato é jogador

da Seleção

Valor lógico: ou V ou V = F (ou seja, a proposição

composta é Falsa)

EXEMPLO 2: Ou o Mano Menezes é o

técnico da Seleção Brasileira ou o Rogério Ceni é jogador

da Seleção

Valor lógico: ou V ou F = V (ou seja, a proposição


EXEMPLO 3: Ou o Zagallo é o técnico da

Seleção Brasileira ou o Alexandre Pato é jogador da

Seleção

Valor lógico: ou F ou V = V (ou seja, a proposição


EXEMPLO 4: Ou o Zagallo é o técnico da

Seleção Brasileira ou o Rogério Ceni é jogador da

Seleção

Valor lógico: ou F ou F = F (ou seja, a proposição

composta é Falsa)

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CONECTIVO Se...então

CONECTIVO “NOME DE GUERRA” SIGNIFICADO EXEMPLOS

Se...então Condicional

A primeira proposição simples exprime uma

condição para a segunda.

Ou seja:

Se V então V = V Se V então F = F Se F então V = V Se F então F = V

OBS: Reparem que neste conectivo, o único

caso de proposição composta Falsa ocorre no caso Se V então F – quando a primeira

proposição é Verdadeira e a

segunda é Falsa.

EXEMPLO 1: Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o

Alexandre Pato vai à Copa

Valor lógico: Se V então V = V (ou seja, a proposição composta

é Verdadeira)

EXEMPLO 2: Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o

Rogério Ceni vai à Copa

Valor lógico: Se V então F = F (ou seja, a proposição composta

é Falsa)

EXEMPLO 3: Se o Zagallo é o técnico da Seleção Brasileira então o Alexandre Pato vai à Copa

Valor lógico: Se F então V = V (ou seja, a proposição composta

é Verdadeira)

EXEMPLO 4: Se o Zagallo é o técnico da Seleção Brasileira então o

Rogério Ceni vai à Copa

Valor lógico: Se F então F = V (ou seja, a proposição composta

é Verdadeira)

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CONECTIVO se e somente se

CONECTIVO “NOME DE GUERRA” SIGNIFICADO EXEMPLOS

se e somente

se Bicondicional

A primeira proposição simples exprime uma

condição para a segunda, e a

segunda também exprime uma

condição para a primeira.

Ou seja:

V se e somente se V = V

V se e somente se F = F

F se e somente se V = F

F se e somente se F = V

OBS: Reparem que este conectivo é o contrário do ou...

ou! Vejam só:

ou... ou: valor lógico igual:

Falso valor lógico diferente:

Verdadeiro

se e somente se:

valor lógico igual: Verdadeiro

valor lógico diferente: Falso

EXEMPLO 1: O Alexandre Pato vai à Copa se e

somente se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira

Valor lógico: V se e somente se V= V

(ou seja, a proposição composta é Verdadeira)

EXEMPLO 2: O Alexandre Pato vai à Copa se e

somente se o Zagallo é o técnico da Seleção Brasileira

Valor lógico: V se e somente se F= F

(ou seja, a proposição composta é Falsa)

EXEMPLO 3: O Rogério Ceni vai à Copa se e

somente se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira

Valor lógico: F se e somente se V= F

(ou seja, a proposição composta é Falsa)

EXEMPLO 4: O Rogério Ceni vai à Copa se e

somente se o Zagallo é o técnico da Seleção Brasileira

Valor lógico: F se e somente se F= V

(ou seja, a proposição composta é Verdadeira)

O “significado”, que vimos acima, é também denominado “tabela-verdade”.

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5.1 Apelidos dos conectivos

Pessoal, na minha experiência estudando para concurso aprendi algo que é de suma importância, e que comento a seguir. É o ensinamento do mundo dos concursos: a banca organizadora do concurso adora uma novidade! Isso mesmo... ela adora um detalhe diferente, uma nova maneira de chamar algo que todos conhecem por outra denominação. Enfim, podemos dizer que a banca é um “hacker”, na arte de vasculhar coisinhas diferentes para colocar na prova... E fazer quem não está “ligado” errar a questão.

Neste sentido, a banca adora maneiras diferentes de chamar os conectivos que vimos acima. Não é nada complicado, só que é importante que a gente conheça, ok? Digamos que sejam os “apelidos” dos conectivos! Não são todos os conectivos que possuem apelidos... Apenas alguns. São eles:

APELIDOS DOS CONECTIVOS CONECTIVO APELIDOS EXEMPLOS SIGNIFICADO

Se...então

Se... (sem o “então”)

Se o Mano Menezes é o técnico da

Seleção Brasileira, o Alexandre Pato vai à

Copa

Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o


...se (invertido e sem o “então”)

O Alexandre Pato vai à Copa, se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira

Quando...

Quando o Mano Menezes é o técnico

da Seleção Brasileira, o


...implica...

O Mano Menezes ser o técnico da Seleção Brasileira implicao Alexandre Pato ir à

Copa

...condição suficiente...

O Mano Menezes ser o técnico da Seleção

Brasileira é condição

suficiente para o Alexandre Pato ir à

Copa

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...condição necessária...

O Alexandre Pato ir à Copa é condição necessária para o Mano Menezes ser o técnico da Seleção

Brasileira.

...somente se... (não tem o “se” antes”)

O Mano Menezes é o técnico da Seleção

Brasileira somente se o


Toda vez que...

Toda vez que o Mano Menezes é o técnico da Seleção

Brasileira o Alexandre Pato vai à

Copa

se e somente

se

...condição necessária e suficiente...

O Mano Menezes ser o técnico da Seleção

Brasileira é condição

necessária e suficiente para o Alexandre Pato ir à

Copa

O Alexandre Pato vai à Copa se e somente se o Mano Menezes é o

técnico da Seleção Brasileira

Vocês viram que eu coloquei três apelidos com fundo verde? É porque verde, amarelo e azul são as cores da nossa Seleção campeã... E essas três maneiras diferentes de chamar os conectivos também são campeãs de prova!! Por isso daremos um enfoque maior a elas. Para “guardá-las” melhor na memória, apresento-lhes uma regrinha campeã... O Macete do Sol e da Nuvem!

Na frase “O Mano Menezes ser o técnico da Seleção Brasileira é condição suficiente para o Alexandre Pato ir à Copa”, o significado é simples: é só substituir pelo Se...então e temos o significado da nossa frase de maneira usual (sem o apelido). Comparando com o tempo, temos uma frase em dia de Sol, cuja transcrição para a maneira usual é muito simples.

Já na frase “O Alexandre Pato ir à Copa é condição necessária para o Mano Menezes ser o técnico da Seleção Brasileira”, para transcrever a maneira usual temos que inverter os temos, para depois substituir pelo Se...então. Ou seja, o trabalhinho é maior – temos uma frase em dia de Nuvem!!!

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Vamos esquematizar:

No caso de ...condição necessária e suficiente..., a ordem dos termos não importa. Então é só substituir pelo se e somente se! A frase está sempre em dia de sol...

5.2 Símbolos dos conectivos

Sim... Não bastassem os apelidos, as bancas organizadoras adoram substituir as proposições e os conectivos por símbolos! Eles são simples.

As proposições são normalmente representadas por letras minúsculas. As mais usadas são p e q.

Por exemplo:

p: Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira q: então o Alexandre Pato vai à Copa

Condição Suficiente

Dia de Sol

Basta substituir pelo

Se...então!!

Condição Necessária

Dia de Nuvem

Primeiro deve-se inverter as proposições, para depois substituir pelo Se...então!!

MACETE DO SOL E NUVEM

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Já os símbolos são:

SÍMBOLOS DOS CONECTIVOS CONECTIVO SÍMBOLO EXEMPLOS SIGNIFICADO

e ^ p ^ q

p e q


Brasileira e o Alexandre Pato vai à Copa

ou v p v q

p ou q


Brasileira ou o Alexandre Pato vai à Copa

ou... ou v p v q

Ou p ou q

Ou o Mano Menezes é o técnico da Seleção

Brasileira ou o Alexandre Pato vai à Copa

Se...entã o → p → q

Se p então q

Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o


se e somente

se ↔ p ↔ q

p se e somente se q


Brasileira se e somente se o


Sugiro que, ao resolver uma questão, vocês substituam as frases pelos símbolos, para não ter que ficar escrevendo o tempo todo (além de ajudar a memorizar os símbolos para a prova!).

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5.3 Negação de proposições

Quando falamos “O Zagallo não é o técnico da Seleção Brasileira”, estamos simplesmente negando uma proposição, invertendo o seu significado (já sabemos que quando uma proposição não é verdadeira, ela é automaticamente falsa, certo?).

Cuidado para não confundir! O fato de se estar negando uma proposição não significa torná-la falsa. Na sentença acima, por exemplo, sem o não a frase estaria Falsa. O não torna a frase verdadeira.

A negação de proposições também possui um símbolo para designá-la. Trata-se de colocar um til (~) na frente da proposição, ou uma cantoneira (¬).

Esquematizando na tabela abaixo:

NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES SIMPLES NEGAÇÃO SÍMBOLO EXEMPLOS SIGNIFICADO

não ~ ou ¬ ~p não p

O Mano Menezes não é o técnico da Seleção

Brasileira

A maioria das questões sobre negação de proposições trata da negação de proposições compostas. Por exemplo: Qual a negação da proposição p ^ q? Isso é o mesmo do que perguntar: Qual o valor de ~(p ^ q)? Fazendo uma analogia, é como se “multiplicássemos uma equação por -1” (lembram das equações do colégio)? Na negação de proposições compostas, estamos multiplicando a proposição por -1, invertendo o seu sentido.

Vejamos na tabela abaixo:

NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

NEGAÇÃO EXEMPLO COMO FAZER (Passo-a-passo) RESULTADO

Negação de conjunção

=

~(p ^ q)

Negação de (O Mano Menezes é o técnico da Seleção

Brasileira e o Alexandre Pato vai à

Copa)

1º: Negar a primeira (p) 2º: Negar a segunda (q)

3: Trocar o e por ou


Brasileira ou o Alexandre Pato não vai

à Copa

=

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~p v ~q

Negação de disjunção

=

~(p v q)


Brasileira ou o Alexandre Pato vai à

Copa)

1º: Negar a primeira (p) 2º: Negar a segunda (q)

3: Trocar o ou por e


Brasileira ou o Alexandre Pato não vai

à Copa

=

~p ^ ~q

Negação de disjunção exclusiva

=

~(p v q)

Negação de (Ou o Mano Menezes é o técnico da Seleção


Copa)

1º: Substituir o v por ↔

OBS: vocês se lembram que já vimos isso, quando falamos sobre o conectivo

Se e somente se?




=

p ↔ q

Negação de condicional

=

~(p → q)

Negação de (Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Alexandre Pato vai à

Copa)

1º: Manter a primeira (p) 2º: Negar a segunda (q)

3: Trocar o → por e


Brasileira e o Alexandre Pato não vai à Copa

=

p ^ ~q

Negação de bicondicional

=

~(p ↔ q)



Alexandre Pato vai à Copa)

1º: Substituir o ↔ por v

OBS: reparem que estamos fazendo o inverso do que

fizemos acima (na negação da disjunção exclusiva)

Ou o Mano Menezes é o técnico da Seleção


Copa

=

p v q

5.4 Proposições Equivalentes

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Proposições equivalentes são maneiras diferentes de se dizer a mesma coisa. Como assim?

Já sabemos o que significa p → q. Será que não existe outra maneira de dizer esta proposição, exprimindo exatamente o mesmo significado? Sim!

Isso não ocorre com todas as proposições, apenas com algumas, as quais esquematizei na tabela abaixo.

PROPOSIÇÕES EQUIVALENTES PROPO SIÇÃO EXEMPLO PROPOSIÇÃO

EQUIVALENTE RESULTADO

p → q

Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Alexandre

Pato vai à Copa

~q → ~p

Se o Alexandre Pato não vai à Copa então o Mano Menezes não é

o técnico da Seleção Brasileira.

~p v q



Copa

p ↔ q




(p → q) ^ (q ← p)

Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Alexandre Pato vai à

Copa e Se o Alexandre Pato vai à Copa então o Mano

Menezes é o técnico da Seleção Brasileira

p v q

Ou o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira

ou o Alexandre Pato vai à Copa

p ↔ ~q



Alexandre Pato não vai à Copa

~p ↔ q




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Você não precisa se preocupar em memorizar isso agora. Com a resolução de exercícios, tudo ficará muito mais simples de ser solucionado!

Vamos a alguns deles??

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6. Exercícios de fixação comentados

OBS: Na próxima aula iremos comentar diversos outros exercícios, inclusive sobre os assuntos já abordados. Hoje iremos comentar duas questões, para que vocês avaliarem a didática no comentário das questões.

Uma clássica questão de Estruturas Lógicas, em que se pede uma conclusão sobre várias proposições.

A grande chave para a resolução de questões como essa é perceber que uma das frases é simplesmente uma afirmação verdadeira (como frisa o enunciado). Leia novamente a questão... e perceba a frase: “Esmeralda não participou da reunião”. Ou seja, a Esmeralda sem dúvida alguma, não participou da reunião!

Vamos resolver a questão passo a passo. Na hora da prova, bem como durante a resolução de questões como essas em casa, sugiro que vocês marquem, acima das frases do enunciado mesmo, os termos “V” (verdadeiro) ou “F” (falso), da seguinte forma (lembrando que já sabemos que a última proposição é verdadeira):

Questão 1 – FCC/TCE-SP/2010

Certo dia, cinco Agentes de um mesmo setor do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo − Amarilis, Benivaldo, Corifeu, Divino e Esmeralda − foram convocados para uma reunião em que se discutiria a implantação de um novo serviço de telefonia. Após a realização dessa reunião, alguns funcionários do setor fizeram os seguintes comentários:

– “Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também participou”; – “Se Divino não participou da reunião, então Corifeu participou”; – “Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarílis não participou”; – “Esmeralda não participou da reunião”.

Considerando que as afirmações contidas nos quatro comentários eram verdadeiras, pode-se concluir com certeza que, além de Esmeralda, não participaram de tal reunião

(A) Amarilis e Benivaldo. (B) Amarilis e Divino. (C) Benivaldo e Corifeu. (D) Benivaldo e Divino. (E) Corifeu e Divino.

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Agora, vamos analisar as demais proposições. Repare que a primeira proposição também fala em Esmeralda, dizendo que ela participou da reunião. Isso é verdadeiro? Não!! Já sabemos que com certeza ela não participou! Então, vamos acrescentar um F sobre o respectivo termo.

Agora, vamos pensar... que tipo de conectivo está presente na primeira afirmação? Sim, o “Se... então”. E qual é a “peculiaridade” desde conectivo? Voltando à tabela já apresentada:


Podemos perceber que a única possibilidade de uma proposição deste tipo ser falsa é quando o último termo é falso e o primeiro é verdadeiro. Opa!! Será que isso não nos dá uma dica?

– “Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também participou”;

– “Se Divino não participou da reunião, então Corifeu participou”;

– “Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarílis não participou”;

– “Esmeralda não participou da reunião”. V

V




– “Esmeralda não participou da reunião”.

F

V

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Sim! Vejam que o enunciado diz que todas as proposições são verdadeiras. Ou seja, elas não podem assumir a forma:

Se V então F = F

Como o último termo da primeira proposição é falso, o primeiro só pode ser falso, para que a proposição composta resultante seja verdadeira! Dessa forma:

Se é falso que o Divino participou da reunião, como extraímos da primeira proposição, então é verdadeiro que ele não participou, certo? Já sabemos, então, que é verdadeiro o primeiro termo da segunda proposição! Vamos completar:

Agora chegamos a uma situação semelhante à anterior! Se a primeira parte da proposição condicional é verdadeira, a segunda tem que ser verdadeira, obrigatoriamente!!! Com isso, chegamos à conclusão de que Corifeu participou da reunião, o que podemos completar também na terceira proposição.





F

V

F





F

V

F

V

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A terceira proposição também é condicional (com o “Se... então”). Mas percebam que o primeiro termo desta proposição também apresenta uma proposição composta, a disjunção (com o “ou”). Relembrando (abaixo), percebemos que basta um dos termos da disjunção serem verdadeiros para a disjunção ser verdadeira.


Assim, como já sabemos que se o primeiro termo da condicional é verdadeiro, o segundo também deve ser, temos:





F

V

F

V V

V V





F

V

F

V V

V

V V

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Com base nas frases acima, chegamos às seguintes conclusões:

• Amarílis não participou; • Corifeu participou; • Divino não participou; • Esmeralda não participou.

Quanto à Benivaldo, não sabemos! Em termos lógicos, ele poderia ou não ter participado, pois isso não afetaria a correção das frases do enunciado.

Mas já podemos responder à questão. Vamos para as alternativas:

“além de Esmeralda, não participaram de tal reunião

(A) Amarilis e Benivaldo (Amarílis não participou, Benivaldo não sabemos)

(B) Amarilis e Divino (Amarílis não participou, Divino não participou) – VERDADEIRA

(C) Benivaldo e Corifeu (Benivaldo não sabemos, Corifeu participou) - FALSA

(D) Benivaldo e Divino (Benivaldo não sabemos, Divino não participou)

(E) Corifeu e Divino (Corifeu participou, Divino não participou).

Assim, a letra B é o gabarito, pois temos certeza de que nem Amarílis nem Divino participaram da reunião.

Resposta: Letra B.

Questão de Equivalência de proposições, que sabemos como solucionar.

Vamos fazer as seguintes substituições:

p = João chegou (ou seja, teremos uma negação ~p) q = Maria está atrasada

Questão 2 – ESAF/ATRFB/2009

A afirmação: “João não chegou ou Maria está atrasada” equivale logicamente a:

a) Se João não chegou, Maria está atrasada. b) João chegou e Maria não está atrasada. c) Se João chegou, Maria não está atrasada. d) Se João chegou, Maria está atrasada. e) João chegou ou Maria não está atrasada.

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Além disso, substituiremos o ou pelo seu símbolo (v). Temos, então:

“João não chegou ou Maria está atrasada” = ~p v q

Já vimos que a proposição ~p v q é equivalente à p → q, o que resulta na seguinte afirmação:

“Se João chegou então Maria está atrasada”, cujo apelido é:

“Se João chegou, Maria está atrasada”.

Resposta: Letra D.

Pessoal, finalizamos por aqui nossa aula demonstrativa.

Até a próxima!

Karine

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7. Memorex

ESTRUTURAS LÓGICAS CONECTIVO SIGNIFICADO SÍMBOLOGIA NEGAÇÃO EQUIVALENTE

e

conjunção

V e V = V V e F = F F e V = F F e F = F

p ^ q ~p v ~q

ou

Disjunção


p v q ~p ^ ~q

ou... ou

Disjunção Exclusiva

ou V ou V = F ou V ou F = V ou F ou V = V ou F ou F = F

p v q p ↔ q p ↔ ~q

~p ↔ q Se...então

Condicional


p → q p ^ ~q ~p → ~q

~p v q

se e somente

se

Bicondicional

V se e somente seV = V

V se e somente seF = F

F se e somente seV = F

F se e somente seF = V

p ↔ q p v q (p → q) ^ (q ← p)

Condição Suficiente

Dia de Sol

Basta substituir pelo

Se...então!!

Condição Necessária

Dia de Nuvem

Primeiro deve-se inverter as proposições, para depois substituir pelo

Se...então!!

MACETE DO SOL E NUVEM

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8. Lista das questões abordadas em aula

Questão 1 – FCC/TCE-SP/2010

Certo dia, cinco Agentes de um mesmo setor do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo − Amarilis, Benivaldo, Corifeu, Divino e Esmeralda −foram convocados para uma reunião em que se discutiria a implantação de um novo serviço de telefonia. Após a realização dessa reunião, alguns funcionários do setor fizeram os seguintes comentários:

– “Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também participou”; – “Se Divino não participou da reunião, então Corifeu participou”; – “Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarílis não participou”; – “Esmeralda não participou da reunião”.

Considerando que as afirmações contidas nos quatro comentários eram verdadeiras, pode-se concluir com certeza que, além de Esmeralda, não participaram de tal reunião

(A) Amarilis e Benivaldo. (B) Amarilis e Divino. (C) Benivaldo e Corifeu. (D) Benivaldo e Divino. (E) Corifeu e Divino.

Questão 2 – ESAF/ATRFB/2009

A afirmação: “João não chegou ou Maria está atrasada” equivale logicamente a:

a) Se João não chegou, Maria está atrasada. b) João chegou e Maria não está atrasada. c) Se João chegou, Maria não está atrasada. d) Se João chegou, Maria está atrasada. e) João chegou ou Maria não está atrasada.

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9. Gabarito

1 - B

2 – D

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Aula 00 ISS 2011 - Ponto dos Concursos