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Apresentaรงรฃo da defesa de mestrado 'Relaxaรงรฃo magnรฉtica em ligas magnรฉticas diluรญdas'
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Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas
Krissia de Zawadzki
Instituto de Fฤฑsica de Sao Carlos - Universidade de Sao Paulo
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 1 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Sumario
1 Introducao
2 Nuvem Kondo e NMR
3 Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1
4 Resultados numericos
5 Conclusoes
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 2 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Um pouco de historia
Um pouco de historia
1936: Mฤฑnimo de resistividade ๐ a baixas temperaturas
7 ๐๐๐๐ contrariava a teoria de resistividade dos metais
3 1964: espalhamento anomalo residual seria associado a impurezasmagneticas
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 3 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Inฤฑcio do problema Kondo
Inฤฑcio do problema Kondo
Resistivity
๐(๐ ) = ๐0+๐๐ ln( ๐๐ )+๐๐2+๐๐ 5
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Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
A Nuvem Kondo
A Nuvem Kondo
๐ ๐
3 ๐ ๐พ โ 1๐๐พ
7 Para ๐๐พ e ๐ฃ๐น tฤฑpicos๐๐พ โผ 1๐m
7 mesoscopico? Efeito Kondoem nanoestruturas ?
3 Diversas abordagensteoricas e experimentais emMateria Condensada
Medida da nuvem Kondo
Estimativa qualitativa[1]
๐๐พ = ~๐ฃ๐น /๐๐ต๐๐พ
[1]BORDA, L. Phys Rev B, 75(4), 2007.
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Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
A Nuvem Kondo
A Nuvem Kondo
๐ ๐
3 ๐ ๐พ โ 1๐๐พ
7 Para ๐๐พ e ๐ฃ๐น tฤฑpicos๐๐พ โผ 1๐m
7 mesoscopico? Efeito Kondoem nanoestruturas ?
3 Diversas abordagensteoricas e experimentais emMateria Condensada
Medida da nuvem Kondo
Estimativa qualitativa[1]
๐๐พ = ~๐ฃ๐น /๐๐ต๐๐พ
[1]BORDA, L. Phys Rev B, 75(4), 2007.
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 5 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
A Nuvem Kondo
A Nuvem Kondo
๐ ๐
3 ๐ ๐พ โ 1๐๐พ
7 Para ๐๐พ e ๐ฃ๐น tฤฑpicos๐๐พ โผ 1๐m
7 mesoscopico? Efeito Kondoem nanoestruturas ?
3 Diversas abordagensteoricas e experimentais emMateria Condensada
Medida da nuvem Kondo
Estimativa qualitativa[1]
๐๐พ = ~๐ฃ๐น /๐๐ต๐๐พ
[1]BORDA, L. Phys Rev B, 75(4), 2007.
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 5 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
A Nuvem Kondo
A Nuvem Kondo
๐ ๐
3 ๐ ๐พ โ 1๐๐พ
7 Para ๐๐พ e ๐ฃ๐น tฤฑpicos๐๐พ โผ 1๐m
7 mesoscopico? Efeito Kondoem nanoestruturas ?
3 Diversas abordagensteoricas e experimentais emMateria Condensada
Medida da nuvem Kondo
Estimativa qualitativa[1]
๐๐พ = ~๐ฃ๐น /๐๐ต๐๐พ
[1]BORDA, L. Phys Rev B, 75(4), 2007.
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Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Medidas de NMR em ligas metalicas
Medidas de NMR em ligas metalicas
14
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
K 10 15 20 25 30
50 30 20 15 10 5 1
M
N
C
B
T(K)
K
10
T+29(K )
3-1
Trabalhos experimentais
Ligas CuFe a temperaturas ๐ < ๐๐พ[2]
I Polarizacao de Fe na presenca de ๐ปinduzindo ๐(๐) nos eโ de conducao aoredor da impureza de Fe
I Resultados analogos aos de NMR
Knight shift
๐(๐, ๐ ) = ๐(๐)๐( ๐๐๐พ )
[2]BOYCE, J.B.;SLICHTER, C.P. Phys Rev Lett, 32(2), 1974.
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Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Medidas de NMR em ligas metalicas
Medidas de NMR em ligas metalicas
14
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
K 10 15 20 25 30
50 30 20 15 10 5 1
M
N
C
B
T(K)
K
10
T+29(K )
3-1
Trabalhos experimentais
Ligas CuFe a temperaturas ๐ < ๐๐พ[2]
I Polarizacao de Fe na presenca de ๐ปinduzindo ๐(๐) nos eโ de conducao aoredor da impureza de Fe
I Resultados analogos aos de NMR
Knight shift
๐(๐, ๐ ) = ๐(๐)๐( ๐๐๐พ )
[2]BOYCE, J.B.;SLICHTER, C.P. Phys Rev Lett, 32(2), 1974.
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Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Trabalhos precedentes
Trabalhos precedentes
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Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Proposta
Proposta
A taxa NMR permite medir ๐ ๐พ?
A geometria afeta a nuvem Kondo ?
๐ ๐
z
x
y
+โ
โโ
+โ
โโ +โ
Abordagem inicial: Geometria esferica
3 Ponta de prova distante daimpureza ๐ โซ 1
7 Dificuldade analoga a experimental
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Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Resultados
Resultados
1
๐1=
๐ ๐
๐ ๐
Funcao espacial
๐ (๐,๐ ) =sin(๐๐ )
๐๐
๐ (๐,๐ ) na energia caracterฤฑstica
๐๐น (๐,๐ ) =sin(๐๐น๐ )
๐๐น๐
๐๐ = ๐๐น๐ (1 + ๐
๐ท
)Componentes de 1/๐1
Escalar:
|๐๐|2 โ (1โ๐ 2๐น )
2
Matricial:
|๐๐|2 โ๐ 2๐น
Vetorial:
|๐๐๐๐|2 โ (1โ๐๐น )๐๐น
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Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Resultados
Resultados
1
๐1=
(1
๐1
)๐ ๐๐
๐ ๐
๐ ๐
Funcao espacial
๐ (๐,๐ ) =sin(๐๐ )
๐๐
๐ (๐,๐ ) na energia caracterฤฑstica
๐๐น (๐,๐ ) =sin(๐๐น๐ )
๐๐น๐
๐๐ = ๐๐น๐ (1 + ๐
๐ท
)Componentes de 1/๐1
Escalar:
|๐๐|2 โ (1โ๐๐น )2
Matricial:
|๐๐|2 โ๐ 2๐น
Vetorial:
|๐๐๐๐|2 โ (1โ๐๐น )๐๐น
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 9 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Resultados
Resultados
1
๐1=
(1
๐1
)๐ ๐๐
+
(1
๐1
)๐๐๐ก
๐ ๐
๐ ๐
Funcao espacial
๐ (๐,๐ ) =sin(๐๐ )
๐๐
๐ (๐,๐ ) na energia caracterฤฑstica
๐๐น (๐,๐ ) =sin(๐๐น๐ )
๐๐น๐
๐๐ = ๐๐น๐ (1 + ๐
๐ท
)Componentes de 1/๐1
Escalar:
|๐๐|2 โ (1โ๐๐น )2
Matricial:
|๐๐|2 โ๐ 2๐น
Vetorial:
|๐๐๐๐|2 โ (1โ๐๐น )๐๐น
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Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Resultados
Resultados
1
๐1=
(1
๐1
)๐ ๐๐
+
(1
๐1
)๐๐๐ก
+
(1
๐1
)๐ฃ๐๐ก
๐ ๐
๐ ๐
Funcao espacial
๐ (๐,๐ ) =sin(๐๐ )
๐๐
๐ (๐,๐ ) na energia caracterฤฑstica
๐๐น (๐,๐ ) =sin(๐๐น๐ )
๐๐น๐
๐๐ = ๐๐น๐ (1 + ๐
๐ท
)Componentes de 1/๐1
Escalar:
|๐๐|2 โ (1โ๐๐น )2
Matricial:
|๐๐|2 โ๐ 2๐น
Vetorial:
|๐๐๐๐|2 โ (1โ๐๐น )๐๐น
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Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Taxa de relaxacao para ๐๐น๐ โซ 1
Taxa de relaxacao para ๐๐น๐ โซ 1
1
๐1=
(1
๐1
)๐ ๐๐
+
(1
๐1
)๐ฃ๐๐ก
+
(1
๐1
)๐๐๐ก
1
๐1โ sin(๐๐น๐ + ๐)
(๐๐น๐ )2๐(๐/๐๐พ)
๐๐น๐ >> 1
10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1
kB T
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
(kFR)2
kT
( 1 T1
) vet
1e1
kFRฯ =200.3
kFRฯ =100.3
kFRฯ =70.3
kFRฯ =50.3
kFRฯ =30.3
kFRฯ =10.3
Componentes de 1/๐1(1
๐1
)๐ฃ๐๐ก
โซ(
1
๐1
)๐๐๐ก
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Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Taxa de relaxacao para ๐๐น๐ โซ 1
Condutancia em nanoestruturas
V๐ค
V
V๐
V๐
V๐ค V๐ค
10-2 10-1 100 101 102 103 104
T/TK
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Gs G 2
ฮ =2.25
ฮ =3.00
ฮ =2.50
๐ข๐ ๐๐๐(๐ ) = ๐ข2๐ฝ๐ฮ
๐ต
โ๐,๐
|โจ๐|๐0|๐โฉ|2
๐๐ฝ๐ธ๐ + ๐
๐ฝ๐ธ๐๐ข๐ ๐๐ก(๐ ) = ๐ข2
๐ฝ๐ฮ
๐ต
โ๐,๐
|โจ๐|๐๐|๐โฉ|2
๐๐ฝ๐ธ๐ + ๐
๐ฝ๐ธ๐
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Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1
Desenvolvimentos: Hamiltonianos ๐ป๐ด e ๐ป๐๐๐๐๐, diagonalizacao NRG ecalculo perturbativo de 1/๐1
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 12 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
O sistema quantico
O sistema quantico - I
Hamiltoniano de Anderson
๐ป =
๐ป๐๐๐๐โ โ โk๐
๐k๐โ k๐๐k๐
๐ = ๐ฃ๐น๐ท
(๐ โ ๐๐น )
+๐ท
โ๐ท
๐๐น
DoS
๐ = ๐2๐ท
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Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
O sistema quantico
O sistema quantico - I
Hamiltoniano de Anderson
๐ป =
๐ป๐๐๐๐โ โ โk๐
๐k๐โ k๐๐k๐+
๐ป๐โ โ โ๐
๐๐๐โ ๐๐๐๐๐ + ๐๐๐โ๐๐โ
๐ = ๐ฃ๐น๐ท
(๐ โ ๐๐น )
+๐ท
โ๐ท
๐๐น
DoS
๐ = ๐2๐ท
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Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
O sistema quantico
O sistema quantico - I
Hamiltoniano de Anderson
๐ป =
๐ป๐๐๐๐โ โ โk๐
๐k๐โ k๐๐k๐+
๐ป๐โ โ โ๐
๐๐๐โ ๐๐๐๐๐ + ๐๐๐โ๐๐โ +
๐ป๐๐๐กโ โ โฮ
๐
โk๐
(๐๐k.d๐โ k๐๐๐๐ +๐ป.๐.)
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Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Hamiltonianos de Anderson e NRG
Hamiltoniano de Anderson na base de Lanczos
๐ป๐ =1
๐๐
(๐โ1โ๐=0
๐ก๐(๐โ ๐๐๐+1 +๐ป.๐.) +
โ2๐ (๐โ ๐๐0 +๐ป.๐.) +๐ป๐
)NRG
...... ......๐๐โ9๐๐โ9 ๐๐โ2๐๐โ2 ๐๐โ1๐๐โ1 ๐๐๐๐
๐๐+1๐๐+1 ๐๐+2๐๐+2
......๐๐+9๐๐+9
......
๐โ ๐โ๐โ๐โ
0 5 10 15 20 25 30 35
N
0
1
2
3
4
5
6
EN
(Q=0,S=0)
(Q=1,S=1/2)
(Q=0,S=1)
5 10 15 20 25 30 35
N
0
1
2
3
4
5
6
EN
(Q=0,S=1/2)
(Q=1,S=0)
(Q=1,S=1)
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Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Base contฤฑnua
Base contฤฑnua
Operadores ๐๐ e ๐๐
๐๐๐ =1โ๐
โk
๐ฟ(๐โ ๐๐)๐๐k.d๐k๐
๐๐๐ =1โ๐
โk
๐ฟ(๐โ ๐๐)๐๐k.R๐k๐
Gram Schmidt
๐๐๐ = 1โ1โ๐ 2
(๐๐๐ โ๐ (๐,๐ )๐๐๐)
{๐โ ๐๐, ๐๐โฒ๐โฒ} = sin(๐|๏ฟฝ๏ฟฝโ๐|)๐|๏ฟฝ๏ฟฝโ๐|
๐ฟ(๐โ ๐โฒ)๐ฟ๐,๐โฒ
๐ (๐,๐ ) = sin(๐๐ )๐๐
๐๐ = ๐๐น๐ (1 + ๐
๐ท
)
๐ ๐
๐ ๐
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Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Base contฤฑnua
Base contฤฑnua
Operadores ๐๐ e ๐๐
๐๐๐ =1โ๐
โk
๐ฟ(๐โ ๐๐)๐๐k.d๐k๐
๐๐๐ =1โ๐
โk
๐ฟ(๐โ ๐๐)๐๐k.R๐k๐
Gram Schmidt
๐๐๐ = 1โ1โ๐ 2
(๐๐๐ โ๐ (๐,๐ )๐๐๐)
{๐โ ๐๐, ๐๐โฒ๐โฒ} = sin(๐|๏ฟฝ๏ฟฝโ๐|)๐|๏ฟฝ๏ฟฝโ๐|
๐ฟ(๐โ ๐โฒ)๐ฟ๐,๐โฒ
๐ (๐,๐ ) = sin(๐๐ )๐๐
๐๐ = ๐๐น๐ (1 + ๐
๐ท
)
๐ ๐
๐ ๐
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 15 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Base contฤฑnua
Base contฤฑnua
Operadores ๐๐ e ๐๐
๐๐๐ =1โ๐
โk
๐ฟ(๐โ ๐๐)๐๐k.d๐k๐
๐๐๐ =1โ๐
โk
๐ฟ(๐โ ๐๐)๐๐k.R๐k๐
Gram Schmidt
๐๐๐ = 1โ1โ๐ 2
(๐๐๐ โ๐ (๐,๐ )๐๐๐)
{๐โ ๐๐, ๐๐โฒ๐โฒ} = sin(๐|๏ฟฝ๏ฟฝโ๐|)๐|๏ฟฝ๏ฟฝโ๐|
๐ฟ(๐โ ๐โฒ)๐ฟ๐,๐โฒ
๐ (๐,๐ ) = sin(๐๐ )๐๐
๐๐ = ๐๐น๐ (1 + ๐
๐ท
)๐ ๐
๐ ๐
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 15 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
A ponta de prova
O sistema quantico - II
Hamiltoniano da ponta de prova
๐ป๐๐๐๐๐ = โ๐ด[ฮจโ
โ(๏ฟฝ๏ฟฝ)ฮจโ(๏ฟฝ๏ฟฝ)๐ผโ +ฮจโ โ(๏ฟฝ๏ฟฝ)ฮจโ(๏ฟฝ๏ฟฝ)๐ผ+
] ฮจ๐(๏ฟฝ๏ฟฝ) =โ๏ฟฝ๏ฟฝ
๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐๐
Abordagem teorica
Taxa de relaxacaolongitudinal 1/๐1
[3]
๐ต0 = 0en
ergi
acampo magnetico
๐๐ = +1/2
๐๐ = โ1/2
ฮ๐ธ = ๐ธโ โ ๐ธโ
1
๐1=
4๐
~โ๐ผ,๐น
๐๐ผ |โจ๐ผ|๐ป๐๐๐๐๐|๐น โฉ|2๐ฟ(๐ธ๐ผ โ ๐ธ๐น ) โจ๐ผ|๐ป๐๐๐๐๐|๐น โฉ
[3]PINTO, J. W. M.; FROTA, H. O. Int Jour Mod Phys, 24(31), 2010.
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 16 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Desenvolvimento analฤฑtico - coeficientes de NRG
Taxa de relaxacao na base de Lanczos
๐ป๐๐๐๐๐ = โ๐ด [ ฮฆโ 0โฮฆ0โ + ๐โ โ๐โ + (ฮฆโ
0โ๐โ + ๐โ โฮฆ0โ) ] Iโ +๐ป.๐.
ฮฆ0๐(๐ ) โกโซ ๐ท
โ๐ท๐๐โ
1 โ๐ (๐,๐ )๐๐๐
analฤฑtico
๐๐(๐ ) โกโซ ๐ท
โ๐ท๐๐ ๐ (๐,๐ )๐๐๐
numerico
๐พ๐(๐ ) =โ๐
(โซโ๐+
๐ (๐,๐ )๐๐+ (โ1)๐โซโ๐โ
๐ (๐,๐ )๐๐
)๐ข๐๐๐ข0๐
๐(๐ ) na Base de Lanczos
๐๐(๐ ) โกโ๐
๐พ๐๐๐๐
Autoestados desacoplados
|ฮจโฉ = |๐โฉ|๐โฉ ๐ธฮจ = ๐ธ๐ + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 17 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Desenvolvimento analฤฑtico - coeficientes de NRG
Taxa de relaxacao na base de Lanczos
๐ป๐๐๐๐๐ = โ๐ด [ ฮฆโ 0โฮฆ0โ + ๐โ โ๐โ + (ฮฆโ
0โ๐โ + ๐โ โฮฆ0โ) ] Iโ +๐ป.๐.
ฮฆ0๐(๐ ) โกโซ ๐ท
โ๐ท๐๐โ
1 โ๐ (๐,๐ )๐๐๐
analฤฑtico
๐๐(๐ ) โกโซ ๐ท
โ๐ท๐๐ ๐ (๐,๐ )๐๐๐
numerico
๐พ๐(๐ ) =โ๐
(โซโ๐+
๐ (๐,๐ )๐๐+ (โ1)๐โซโ๐โ
๐ (๐,๐ )๐๐
)๐ข๐๐๐ข0๐
๐(๐ ) na Base de Lanczos
๐๐(๐ ) โกโ๐
๐พ๐๐๐๐
Autoestados desacoplados
|ฮจโฉ = |๐โฉ|๐โฉ ๐ธฮจ = ๐ธ๐ + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 17 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Desenvolvimento analฤฑtico - coeficientes de NRG
Taxa de relaxacao na base de Lanczos
๐ป๐๐๐๐๐ = โ๐ด [ ฮฆโ 0โฮฆ0โ + ๐โ โ๐โ + (ฮฆโ
0โ๐โ + ๐โ โฮฆ0โ) ] Iโ +๐ป.๐.
ฮฆ0๐(๐ ) โกโซ ๐ท
โ๐ท๐๐โ
1 โ๐ (๐,๐ )๐๐๐
analฤฑtico
๐๐(๐ ) โกโซ ๐ท
โ๐ท๐๐ ๐ (๐,๐ )๐๐๐
numerico
๐พ๐(๐ ) =โ๐
(โซโ๐+
๐ (๐,๐ )๐๐+ (โ1)๐โซโ๐โ
๐ (๐,๐ )๐๐
)๐ข๐๐๐ข0๐
๐(๐ ) na Base de Lanczos
๐๐(๐ ) โกโ๐
๐พ๐๐๐๐
Autoestados desacoplados
|ฮจโฉ = |๐โฉ|๐โฉ ๐ธฮจ = ๐ธ๐ + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 17 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Desenvolvimento analฤฑtico - coeficientes de NRG
Taxa de relaxacao na base de Lanczos
๐ป๐๐๐๐๐ = โ๐ด [ ฮฆโ 0โฮฆ0โ + ๐โ โ๐โ + (ฮฆโ
0โ๐โ + ๐โ โฮฆ0โ) ] Iโ +๐ป.๐.
ฮฆ0๐(๐ ) โกโซ ๐ท
โ๐ท๐๐โ
1 โ๐ (๐,๐ )๐๐๐
analฤฑtico
๐๐(๐ ) โกโซ ๐ท
โ๐ท๐๐ ๐ (๐,๐ )๐๐๐
numerico
๐พ๐(๐ ) =โ๐
(โซโ๐+
๐ (๐,๐ )๐๐+ (โ1)๐โซโ๐โ
๐ (๐,๐ )๐๐
)๐ข๐๐๐ข0๐
๐(๐ ) na Base de Lanczos
๐๐(๐ ) โกโ๐
๐พ๐๐๐๐
Autoestados desacoplados
|ฮจโฉ = |๐โฉ|๐โฉ ๐ธฮจ = ๐ธ๐ + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 17 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Coeficientes da transformacao de RG - ๐พ๐
Coeficientes da transformacao de RG - ๐พ๐
๐ caracterฤฑstico
๐๐น๐ = ๐๐
๐ฉ๐๐น๐ =
โlog(๐๐น๐ )
log(โฮ)
โ 0 5 10 15 20 25 30โ0.08
โ0.06
โ0.04
โ0.02
0.00
0.02
0.04NKFR
kFRฯ =103
0 5 10 15 20 25 30โ0.03
โ0.02
โ0.01
0.00
0.01
0.02
NKFR
kFRฯ =102
0 5 10 15 20 25 30โ0.008
โ0.006
โ0.004
โ0.002
0.000
0.002
0.004NKFR
kFRฯ =10
0 5 10 15 20 25 30โ0.002
โ0.001
0.000
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
NKFR
kFRฯ =1
n
ฮณn(R
)ฮn
๐พ๐(๐ ) =โ๐
(๐ฎ๐+(๐ ) + (โ1)๐๐ฎ๐โ(๐ ))๐ข๐๐๐ข0๐
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 18 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Coeficientes da transformacao de RG - ๐พ๐
Coeficientes da transformacao de RG - ๐พ๐
๐ caracterฤฑstico
๐๐น๐ = (๐+ 12 )๐
๐ฉ๐๐น๐ =
โlog(๐๐น๐ )
log(โฮ)
โ+ 1
0 5 10 15 20 25 30โ0.04
โ0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
NKFR
kFRฯ โ1
2=103
0 5 10 15 20 25 30โ0.015
โ0.010
โ0.005
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
NKFR
ฮณ0
kFRฯ โ1
2=102
0 5 10 15 20 25 30โ0.04
โ0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
NKFR
ฮณ0
kFRฯ โ1
2=10
0 5 10 15 20 25 30โ0.5
โ0.4
โ0.3
โ0.2
โ0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
ฮณ0
NKFR
kFRฯ โ1
2=1
n
ฮณn(R
)ฮn
๐พ๐(๐ ) =โ๐
(๐ฎ๐+(๐ ) + (โ1)๐๐ฎ๐โ(๐ ))๐ข๐๐๐ข0๐
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 19 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Componentes de 1/๐1
Componentes de 1/๐1
(1
๐1
)
(1
๐1
)๐ ๐๐
โจ๐|ฮฆโ 0โฮฆ0โ|๐โฉ
๐๐ก๐.
(1
๐1
)๐ฃ๐๐ก
โ๐
๐พ๐โจ๐|(ฮฆโ 0โ๐๐โ + ๐โ ๐โฮฆ0โ)|๐โฉ
4๐
~๐โ
|๐โฉ,|๐โฉ
(1โ๐ 2(๐,๐ )
) |โ๐ ๐พ๐(๐ )โจ๐|๐โ ๐|๐โฉ|2
๐๐ฝ๐ธ๐ + ๐๐ฝ๐ธ๐(๐๐น๐ ) โ
2
(1
๐1
)๐๐๐ก
โ๐,๐
๐พ๐๐พ๐โจ๐|๐โ ๐โ๐๐โ|๐โฉ
4๐
~๐โ
|๐โฉ,|๐โฉ
๐โ๐ฝ๐ธ
๐
โจ๐|๐โ
โ๐โ|๐โฉ2
(๐๐น๐ )โ4
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 20 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Componentes de 1/๐1
Componentes de 1/๐1
(1
๐1
)
(1
๐1
)๐ ๐๐
โจ๐|ฮฆโ 0โฮฆ0โ|๐โฉ
๐๐ก๐.
(1
๐1
)๐ฃ๐๐ก
โ๐
๐พ๐โจ๐|(ฮฆโ 0โ๐๐โ + ๐โ ๐โฮฆ0โ)|๐โฉ
4๐
~๐โ
|๐โฉ,|๐โฉ
(1โ๐ 2(๐,๐ )
) |โ๐ ๐พ๐(๐ )โจ๐|๐โ ๐|๐โฉ|2
๐๐ฝ๐ธ๐ + ๐๐ฝ๐ธ๐(๐๐น๐ ) โ
2
(1
๐1
)๐๐๐ก
โ๐,๐
๐พ๐๐พ๐โจ๐|๐โ ๐โ๐๐โ|๐โฉ
4๐
~๐โ
|๐โฉ,|๐โฉ
๐โ๐ฝ๐ธ
๐
โจ๐|๐โ
โ๐โ|๐โฉ2
(๐๐น๐ )โ4
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 20 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Componentes de 1/๐1
Componentes de 1/๐1
(1
๐1
)
(1
๐1
)๐ ๐๐
โจ๐|ฮฆโ 0โฮฆ0โ|๐โฉ
๐๐ก๐.
(1
๐1
)๐ฃ๐๐ก
โ๐
๐พ๐โจ๐|(ฮฆโ 0โ๐๐โ + ๐โ ๐โฮฆ0โ)|๐โฉ
4๐
~๐โ
|๐โฉ,|๐โฉ
(1โ๐ 2(๐,๐ )
) |โ๐ ๐พ๐(๐ )โจ๐|๐โ ๐|๐โฉ|2
๐๐ฝ๐ธ๐ + ๐๐ฝ๐ธ๐(๐๐น๐ ) โ
2
(1
๐1
)๐๐๐ก
โ๐,๐
๐พ๐๐พ๐โจ๐|๐โ ๐โ๐๐โ|๐โฉ
4๐
~๐โ
|๐โฉ,|๐โฉ
๐โ๐ฝ๐ธ
๐
โจ๐|๐โ
โ๐โ|๐โฉ2
(๐๐น๐ )โ4
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 20 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Componentes de 1/๐1
Componentes de 1/๐1
(1
๐1
)
(1
๐1
)๐ ๐๐
โจ๐|ฮฆโ 0โฮฆ0โ|๐โฉ
๐๐ก๐.
(1
๐1
)๐ฃ๐๐ก
โ๐
๐พ๐โจ๐|(ฮฆโ 0โ๐๐โ + ๐โ ๐โฮฆ0โ)|๐โฉ
4๐
~๐โ
|๐โฉ,|๐โฉ
(1โ๐ 2(๐,๐ )
) |โ๐ ๐พ๐(๐ )โจ๐|๐โ ๐|๐โฉ|2
๐๐ฝ๐ธ๐ + ๐๐ฝ๐ธ๐(๐๐น๐ ) โ
2
(1
๐1
)๐๐๐ก
โ๐,๐
๐พ๐๐พ๐โจ๐|๐โ ๐โ๐๐โ|๐โฉ
4๐
~๐โ
|๐โฉ,|๐โฉ
๐โ๐ฝ๐ธ
๐
โจ๐|๐โ
โ๐โ|๐โฉ2
(๐๐น๐ )โ4
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 20 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Limites e Taxa de relaxacao
Limites e Taxa de relaxacao
(1
๐1
)=
(1
๐1
)๐ ๐๐
+
(1
๐1
)๐ฃ๐๐ก
+
(1
๐1
)๐๐๐ก
๐๐ก๐.
โ sin(๐๐น๐ )
(๐๐น๐ )2
โ๐,๐
|โจ๐||๐๐||๐โฉ|2๐๐ฝ๐ธ๐ + ๐๐ฝ๐ธ๐
๐ ๐น๐ โซ
1โ sin(๐๐น๐ )
2
(๐๐น๐ )4
โ๐,๐
๐โ๐ฝ๐ธ๐ |โจ๐|๐โ ๐โ๐๐โ|๐โฉ|2
๐๐น ๐ โช
1
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 21 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Parametros do modelo
๐ป =โ๐
๐๐๐โ ๐๐๐ +
โฮ
๐
โ๐
(๐โ ๐๐๐ +๐ป.๐.) + ๐๐๐โ ๐๐๐ + ๐๐๐โ๐๐โ
๐ท = 1
๐๐ =๐ฃ๐น๐ท
(๐ โ ๐๐น )
ฮ = 1 ๐๐ = โ15.0 ๐ = 30.0
+DโD Dฮ
Dฮ2
Dฮ3
...-Dฮ
- Dฮ2 -
Dฮ3
...
ฮต = 0
ฮ = 3.0 ๐ธ๐๐๐ = 1.0๐โ 9 ๐ธ๐๐ = 40.0 ๐ฝ0 = 0.2
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 22 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Resultados numericos
Resultados numericos da contribuicao vetorial (1/๐1)๐ฃ๐๐ก como funcao datemperatura e da distancia ๐ .
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Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Taxa de relaxacao em funcao da distancia
Taxa (1/๐1)๐ฃ๐๐ก - dependencia espacial
0 50 100 150 2000
1
2
3
4
5
6
7
8
9 1eโ7T=10โ6
0 50 100 150 2000.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.51eโ5T=10โ5
0 50 100 150 2000.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0 1eโ4T=10โ4
0 50 100 150 2000.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5 1eโ3T=10โ3
0 50 100 150 2000.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5 1eโ2T=10โ2
0 50 100 150 2000.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5 1eโ1T=10โ1
kFRฯ โ1
2
( 1 T1
) vet(kFR)2
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 24 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Taxa de relaxacao em funcao da distancia
Taxa (1/๐1)๐ฃ๐๐ก - dependencia espacial
0 100 200 300 400 500 600 700
kFR
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
( 1 T1
) vet(kFR)2
T=10โ6
T=10โ5
T=10โ4
T=10โ3
T=10โ2
T=10โ1
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 24 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
๐๐น๐ = (๐ + 1/2)๐
Contribuicao vetorial - ๐๐น๐ = (๐+ 1/2)๐ ๐ โ Z
10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1
kB T
0
1
2
3
4
5
(kFR)2
kT
( 1 T1
) vet
1e1
kFRฯ โ1
2=200
kFRฯ โ1
2=100
kFRฯ โ1
2=70
kFRฯ โ1
2=50
kFRฯ โ1
2=30
kFRฯ โ1
2=10
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 25 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
๐๐น๐ = ๐๐
Contribuicao vetorial- ๐๐น๐ = ๐๐ ๐ โ Z
10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2
kB T
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
(kFR)2
kT
( 1 T1
) vet
1eโ1
kFRฯ =200
kFRฯ =100
kFRฯ =70
kFRฯ =50
kFRฯ =30
kFRฯ =10
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 26 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
๐๐น๐ = ๐๐ e ๐๐น๐ = (๐ + 1/2)๐
Sobreposicao ๐๐น๐ = ๐๐ e ๐๐น๐ = (๐+ 1/2)๐
10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1
kB T
0
1
2
3
4
5
(kFR)2
kT
( 1 T1
) vet
1e1
n=200
n=100
n=70
n=50
n=30
n=10
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 27 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
๐๐น qualquer
Contribuicao vetorial- caso geral
10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1
kB T
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
(kFR)2
kT
( 1 T1
) vet
1e1
kFRฯ =200.3
kFRฯ =100.3
kFRฯ =70.3
kFRฯ =50.3
kFRฯ =30.3
kFRฯ =10.3
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 28 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Interpretacao fฤฑsica
Interpretacao fฤฑsica
(1
๐1
)๐ฃ๐๐ก
โ sin(๐๐น๐ + ๐)
(๐๐น๐ )2๐(๐/๐๐พ)
V๐ค
V
V๐1/๐1 โ ๐ข๐ ๐๐๐(๐/๐๐พ) para ๐๐น๐ โช 1
Dois canais: ๐๐(๐๐) da banda deconducao acoplada a impureza e outrodos orbitais ๐๐ acoplados a ponta deprova
Espalhamento cruzado de eletronsentre os orbitais ๐๐ e ๐๐
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 29 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Conclusoes
Taxa de relaxacao magnetica longitudinal 1/๐1 no modelo de Ander-son de uma impureza pode ser decomposta em tres componentes:escalar, vetorial e matricial.
Quando a ponta de prova esta distante da impureza, 1/๐1 e escritacomo o produto de uma funcao espacial - relacionada a oscilacoes deFriedel - por uma funcao da temperatura.
A dependencia em ๐ de 1/๐1 e mapeada na curva universal ๐ข๐ ๐๐๐(๐/๐๐พ)da condutancia de um dispositivo lateralmente acoplado a um pontoquantico.
Para ๐ โช ๐๐พ o sinal NMR decai a zero sem informacao sobre ๐ ๐พ ,o que ratifica a dificuldade experimental de medir a nuvem Kondoatraves da taxa de relaxacao.
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 30 / 31
Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analฤฑtica para calculo numerico de 1/๐1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos
Agradecimentos
Instituto de Fฤฑsica de Sao Carlos (IFSC)
FAPESP (2012/02702-0) pelo apoio financeiro
Banca examinadora
Todos os presentes
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Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 1 / 17
NRG Analฤฑtico Taxa de relaxacao Coeficientes da transformacao de RG Consideracoes sobre a contribuicao matricial
NRG
Discretizacao da banda de conducao
+DโD Dฮ
Dฮ2
Dฮ3
...-Dฮ
- Dฮ2 -
Dฮ3
...
ฮต = 0
Intervalos logarฤฑtmicos
I๐ยฑ = [๐ทฮโ๐โ1, ๐ทฮโ๐]
(๐ = 0, 1, 2, ...)
3 log: invariante por ๐๐ โ ๐๐/ฮ
7 linear?: energias caracterฤฑsticasinexistentes
Operadores fermionicos
๐๐๐ =ฮ๐/2โ
๐ท(1โ ฮโ1)
โซโ๐+
๐๐๐๐๐,
๐๐๐ =ฮ๐/2โ
๐ท(1โ ฮโ1)
โซโ๐โ
๐๐๐๐๐,
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 2 / 17
NRG Analฤฑtico Taxa de relaxacao Coeficientes da transformacao de RG Consideracoes sobre a contribuicao matricial
Mudanca de base e Transformacao de Lanczos
Mudanca de base e Transformacao de Lanczos
Transformacao de Lanczos
๐๐๐ =โ๐
(๐ข๐๐ ๐๐๐ + ๐ฃ๐๐ ๐๐๐)
Impureza acoplada com ๐0
๐ป๐๐๐ก =โ2๐
(๐โ ๐๐0 + ๐โ 0๐๐
) Hamiltoniano de hopping
๐ป๐๐๐๐ =
โโ๐=0
๐ก๐(๐โ ๐๐๐+1 + ๐โ ๐+1๐๐)
...... ......๐๐โ9๐๐โ9 ๐๐โ2๐๐โ2 ๐๐โ1๐๐โ1 ๐๐๐๐
๐๐+1๐๐+1 ๐๐+2๐๐+2
......๐๐+9๐๐+9
......
๐โ ๐โ๐โ๐โ
๐ก๐ = ๐ทฮโ๐2
1โ ฮโ(๐+1)
โ1โ ฮโ(2๐+3)
โ1โ ฮโ(2๐+1)
1 + ฮโ1
log ฮโ ๐๐ = ๐ท
1โ ฮโ1
log ฮฮโ๐
2
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 3 / 17
NRG Analฤฑtico Taxa de relaxacao Coeficientes da transformacao de RG Consideracoes sobre a contribuicao matricial
NRG - Diagonalizacao iterativa
NRG - Diagonalizacao iterativa
1
๐๐๐ป๐ก๐๐ข๐๐๐๐๐๐ =
๐โ1โ๐=0
๐ก๐(๐โ ๐๐๐+1 + ๐โ
๐+1๐๐) ๐ก๐ < ๐พ๐๐ต๐
truncamento
Transformacao de Renormalizacao
๐ [๐ป๐โ1] โก ๐ป๐
๐ป๐ =โฮ๐ป๐โ1 +
๐ก๐โ1
๐๐(๐
โ ๐โ1๐๐ +๐ป.๐.)
Base de estados de ๐ป๐ด
|๐,๐, ๐๐ง, ๐โฉ
Iteracao ๐ = โ1
Base primitivana iteracao ๐
DiagonalizacaoElementosde matriz
|0โฉ
๐โ ๐โ(โ)|0โฉ
๐โ ๐โ๐โ ๐โ|0โฉ
๐= 0
โจ๐โฒ, ๐ โฒ||๐โ ๐ ||๐, ๐ โฉ
๐+1
๐+1
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 4 / 17
NRG Analฤฑtico Taxa de relaxacao Coeficientes da transformacao de RG Consideracoes sobre a contribuicao matricial
Elementos de matriz
Elementos de matriz
โจ๐||๐โ ๐||๐โฉ๐ = โ ๐ก๐+1
๐ก๐โจ๐||๐โ ๐+2||๐โฉ๐ + ๐๐
๐ก๐ฮ๐ธ๐ โจ๐||๐โ ๐+1||๐โฉ๐
โจ๐||๐โ ๐||๐โฉ๐ = โ ๐ก0โ2๐
โจ๐||๐โ 1 ||๐โฉ๐ + ๐๐โ2๐
ฮ๐ธ๐ โจ๐||๐โ 0 ||๐โฉ๐
๐ ๐
โจ๐|
|๐โฉ
1
1
๐๐
0
1
-1
0 12
โจ๐|
|๐โฉ
1
1
๐๐ธ
0
1
-1
0 12
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 5 / 17
NRG Analฤฑtico Taxa de relaxacao Coeficientes da transformacao de RG Consideracoes sobre a contribuicao matricial
Hamiltonianos na base de Lanczos {๐๐}
Hamiltonianos na base contฤฑnua {๐๐, ๐๐}
Hamiltoniano perturbado
๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ป๐ด + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐
๐ป๐ด =
โซ ๐ท
โ๐ท๐๐โ ๐๐๐๐๐๐๐+
โฮ
๐
โซ ๐ท
โ๐ท๐๐(๐โ ๐๐๐ + ๐โ ๐๐๐) +๐ป๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ =
โซ ๐ท
โ๐ท๐๐ ๐ ๐โ ๐๐๐๐๐
Autoestados desacoplados
|ฮจโฉ = |๐โฉ|๐โฉ ๐ธฮจ = ๐ธ๐ + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐
๐ป๐๐๐๐๐ = โ๐ด [
โซโซ ๐ท
โ๐ท๐๐ ๐๐โฒ๐ฉ๐ (๐)๐ฉ๐ (๐โฒ)๐โ ๐๐๐๐โฒ๐ +
โซโซ ๐ท
โ๐ท๐๐ ๐๐โฒ๐ (๐,๐ )๐ (๐โฒ, ๐ )๐โ ๐๐๐๐โฒ๐
+
โซโซ ๐ท
โ๐ท๐๐ ๐๐โฒ๐ฉ๐ (๐)๐ (๐โฒ, ๐ )๐โ ๐๐๐๐โฒ๐ +
โซโซ ๐ท
โ๐ท๐๐ ๐๐โฒ๐ (๐,๐ )๐ฉ๐ (๐โฒ)๐โ ๐๐๐๐โฒ๐ ] Iโ +๐ป.๐.
๐ฉ๐ (๐) = 1โ๐ (๐,๐ )
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 6 / 17
NRG Analฤฑtico Taxa de relaxacao Coeficientes da transformacao de RG Consideracoes sobre a contribuicao matricial
Hamiltonianos na base de Lanczos {๐๐}
Hamiltonianos na base de Lanczos {๐๐}
๐ป๐๐๐๐ =โ๐ยฑ
E๐ยฑ(ฮ)(๐โ ๐๐๐๐๐ โ ๐โ ๐๐๐๐๐
)๐ป๐๐๐ก =
โ2๐(๐โ ๐๐0 + ๐โ
0 ๐๐)
E๐ยฑ(ฮ) =
โซI๐ยฑ
๐๐โซI๐ยฑ
๐๐
๐
=ยฑ๐ท(1 โ ฮโ1)
log ฮฮ
โ๐
๐0๐ =1โ2
โ๐
(1 โ ฮโ1
๐ท
)1/2
ฮโ๐/2
(๐๐๐ + ๐๐๐)
Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluฤฑdas 7 / 17
NRG Analฤฑtico Taxa de relaxacao Coeficientes da transformacao de RG Consideracoes sobre a contribuicao matricial
Taxa de relaxacao
Taxa de relaxacao na base de Lanczos
๐ป๐๐๐๐๐ =โ๐ด [ ฮฆโ 0โฮฆ0โ + ๐โ โ๐โ + (ฮฆโ
0โ๐โ + ๐โ โฮฆ0โ) ] Iโ +๐ป.๐..
๐๐(๐ ) =โ๐
๐พ๐๐๐๐ {๐โ ๐๐ , ๐๐(๐ )} = ๐พ๐ =โ๐
๐ข๐๐(๐+๐ + (โ1)๐๐โ๐)
๐ยฑ๐ = {๐โ ๐ยฑ๐ , ๐๐(๐ )} = ๐ฟ๐,๐ฮ๐/2โ
๐ท(1โ ฮโ1)
โซโ๐ยฑ
๐๐ ๐ (๐,๐ )
๐พ๐(๐ ) =โ๐
(๐ฎ๐+(๐ ) + (โ1)๐๐ฎ๐โ(๐ ))๐ข๐๐๐ข0๐
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NRG Analฤฑtico Taxa de relaxacao Coeficientes da transformacao de RG Consideracoes sobre a contribuicao matricial
Componentes de 1/๐1
Componentes de 1/๐1
(1
๐1
)
(1
๐1
)๐ ๐๐
โจ๐|ฮฆโ 0โฮฆ0โ|๐โฉ
(1
๐1
)๐ฃ๐๐ก
โ๐
๐พ๐โจ๐|(ฮฆโ 0โ๐๐โ + ๐โ ๐โฮฆ0โ)|๐โฉ
4๐
~๐โ
|๐โฉ,|๐โฉ
(1โ๐ 2(๐,๐ )
) |โ๐ ๐พ๐(๐ )โจ๐|๐โ ๐|๐โฉ|2
๐๐ฝ๐ธ๐ + ๐๐ฝ๐ธ๐
(1
๐1
)๐๐๐ก
โ๐,๐
๐พ๐๐พ๐โจ๐|๐โ ๐โ๐๐โ|๐โฉ
๐๐ก๐. (๐๐น๐ ) โ
2
(๐๐น๐ )โ4
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NRG Analฤฑtico Taxa de relaxacao Coeficientes da transformacao de RG Consideracoes sobre a contribuicao matricial
Contribuicao vetorial
Contribuicao vetorial
โจ๐|๐โ ๐(๐ )ฮฆ0๐(๐ )|๐โฉ = โจ๐|๐โ ๐(๐ )|๐โฉโจ๐|โซ ๐ท
โ๐ท๐๐
โ1โ๐ (๐)2 ๐๐๐ |๐โฉ
โจ๐|๐๐๐ |๐โฉ = ๐ฟ(๐ธ๐ โ ๐ธ๐ โ ๐),
โจ๐|๐โ ๐(๐ )ฮฆ0๐(๐ )|๐โฉ = โจ๐|๐โ ๐(๐ )|๐โฉโ1โ๐ (๐ธ๐ โ ๐ธ๐))2
(1
๐1
)๐ฃ๐๐ก
=4๐
~๐โ
|๐โฉ,|๐โฉ
|โจ๐|๐โ ๐(๐ )|๐โฉ|2(1โ๐ (๐ธ๐โ๐ธ๐)2)๐โ๐ฝ(๐ธ๐)๐๐น๐ท(๐ธ๐โ๐ธ๐)
๐๐น๐ท(๐) =1
1 + ๐โ๐ฝ๐
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NRG Analฤฑtico Taxa de relaxacao Coeficientes da transformacao de RG Consideracoes sobre a contribuicao matricial
Contribuicao matricial
Contribuicao matricial
(1
๐1
)๐๐๐ก
=4๐
~๐โ
|๐โฉ,|๐โฉ
๐โ๐ฝ๐ธ๐โจ๐|๐โ โ(๐ )๐โ(๐ )|๐โฉ
2๐ฟ(๐ธ๐ โ ๐ธ๐),
โจ๐|๐โ ๐(๐ )๐๐(๐ )|๐โฉ = โจ๐|๐โฉโ๐,๐
๐พ๐๐พ๐โจ๐|๐โ ๐๐๐๐๐ |๐โฉ,
(๐ธ๐ โ ๐ธ๐)โจ๐||๐โ ๐๐๐||๐โฉ = ๐ก๐โ1โจ๐||๐โ ๐โ1๐๐||๐โฉ+ ๐ก๐โจ๐||๐โ ๐+1๐๐||๐โฉโ ๐ก๐โ1โจ๐||๐โ ๐๐๐โ1||๐โฉ โ ๐ก๐โจ๐||๐โ ๐๐๐+1||๐โฉ.
โจ๐โฒ, ๐ โฒ, ๐ โฒ๐ง, ๐โฒ| ๐โ ๐โ๐๐โ |๐, ๐ , ๐ ๐ง, ๐โฉ =
โโ ๐ โฒ 12
๐ + 12
๐ โฒ๐ง12
๐ ๐ง โ 12
โโ โโ ๐ 12
๐ ยฑ 12
๐ ๐ง โ 12
๐ ๐ง +12
โโ ร โจ๐โฒ, ๐ โฒ, ๐โฒ|| ๐โ
๐๐๐ ||๐, ๐ , ๐โฉ.
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NRG Analฤฑtico Taxa de relaxacao Coeficientes da transformacao de RG Consideracoes sobre a contribuicao matricial
Contribuicao matricial
Contribuicao matricial
๐
๐
๐โ 0๐0
๐โ 1๐0
๐โ 2๐0
๐โ ๐โ1๐0
๐โ ๐๐0 ๐โ ๐๐1 ๐โ ๐๐2 ๐โ ๐๐๐โ1 ๐โ ๐๐๐
๐โ ๐๐๐
๐โ ๐โ1๐๐
๐โ ๐+1๐๐
๐โ ๐๐๐โ1 ๐โ ๐๐๐+1
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NRG Analฤฑtico Taxa de relaxacao Coeficientes da transformacao de RG Consideracoes sobre a contribuicao matricial
Coeficientes da transformacao de RG
๐๐(๐ง) =โโ๐=0
๐ข๐๐๐ง๐
=
โ1 โ ฮโ(2๐+1)
2ฮ๐(๐โ1)/2
(1
1 โ ๐งฮโ(๐+1/2)
)ร
โงโชโชโชโชโชโจโชโชโชโชโชโฉ
(๐โ2)/2โ๐=0
1 โ ๐งฮ2๐+1/2
1 โ ๐งฮโ(2๐+1/2), ๐ par
(๐โ3)/2โ๐=0
1 โ ๐งฮ2๐+3/2
1 โ ๐งฮโ(2๐+3/2), ๐ ฤฑmpar
0 10 20 30 40 50
m
โ0.4
โ0.2
0.0
0.2
0.4
u10,m
ฮ=3.0
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NRG Analฤฑtico Taxa de relaxacao Coeficientes da transformacao de RG Consideracoes sobre a contribuicao matricial
Coeficientes da transformacao de RG - ๐ข๐๐
Coeficientes da transformacao de RG - ๐ข๐๐
๐ par
๐ข๐๐ โ ฮโ๐/2
๐ ฤฑmpar
๐ข๐๐ โ ฮโ3๐/2
0 5 10 15 20 25 30 35
m
โ0.6
โ0.4
โ0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
un,m
n=0
n=2
n=4
n=6
n=8
n=10
n=12
n=14
n=16
n=18
0 5 10 15 20 25 30 35
m
โ0.8
โ0.6
โ0.4
โ0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8n=1
n=3
n=5
n=7
n=9
n=11
n=13
n=15
n=17
n=19
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NRG Analฤฑtico Taxa de relaxacao Coeficientes da transformacao de RG Consideracoes sobre a contribuicao matricial
Coeficientes da transformacao de RG - ๐พ๐
Coeficientes da transformacao de RG - ๐พ๐
๐ caracterฤฑstico
๐๐น๐ = ๐๐
๐ฉ๐๐น๐ =
โlog(๐๐น๐ )
log(โฮ)
โ 0 5 10 15 20 25 30โ0.08
โ0.06
โ0.04
โ0.02
0.00
0.02
0.04NKFR
kFRฯ =103
0 5 10 15 20 25 30โ0.03
โ0.02
โ0.01
0.00
0.01
0.02
NKFR
kFRฯ =102
0 5 10 15 20 25 30โ0.008
โ0.006
โ0.004
โ0.002
0.000
0.002
0.004NKFR
kFRฯ =10
0 5 10 15 20 25 30โ0.002
โ0.001
0.000
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
NKFR
kFRฯ =1
n
ฮณn(R
)ฮn
๐พ๐(๐ ) =โ๐
(๐ฎ๐+(๐ ) + (โ1)๐๐ฎ๐โ(๐ ))๐ข๐๐๐ข0๐
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NRG Analฤฑtico Taxa de relaxacao Coeficientes da transformacao de RG Consideracoes sobre a contribuicao matricial
Coeficientes da transformacao de RG - ๐พ๐
Coeficientes da transformacao de RG - ๐พ๐
๐ caracterฤฑstico
๐๐น๐ = (๐+ 12 )๐
๐ฉ๐๐น๐ =
โlog(๐๐น๐ )
log(โฮ)
โ+ 1
0 5 10 15 20 25 30โ0.04
โ0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
NKFR
kFRฯ โ1
2=103
0 5 10 15 20 25 30โ0.015
โ0.010
โ0.005
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
NKFR
ฮณ0
kFRฯ โ1
2=102
0 5 10 15 20 25 30โ0.04
โ0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
NKFR
ฮณ0
kFRฯ โ1
2=10
0 5 10 15 20 25 30โ0.5
โ0.4
โ0.3
โ0.2
โ0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
ฮณ0
NKFR
kFRฯ โ1
2=1
n
ฮณn(R
)ฮn
๐พ๐(๐ ) =โ๐
(๐ฎ๐+(๐ ) + (โ1)๐๐ฎ๐โ(๐ ))๐ข๐๐๐ข0๐
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NRG Analฤฑtico Taxa de relaxacao Coeficientes da transformacao de RG Consideracoes sobre a contribuicao matricial
Consideracoes sobre a contribuicao matricial
(1
๐1
)๐๐๐ก
=4๐
~๐โ
|๐โฉ,|๐โฉ
๐โ๐ฝ๐ธ๐โจ๐|๐โ โ(๐ )๐โ(๐ )|๐โฉ
2๐ฟ(๐ธ๐ โ ๐ธ๐ โ ~๐),
(1
๐1
)๐๐๐ก
=4๐
~๐โ
|๐โฉ,|๐โฉ
๐โ๐ฝ๐ธ๐
โจ๐|๐โ โ๐โ|๐โฉ
2๐(๐ธ๐(๐ง))โ๐ธ๐(๐ง)
๐๐ง
~๐=๐ธ๐โ๐ธ๐
,
Susceptibilidade da impureza
๐๐๐๐ โโ
|๐โฉ|๐โฉ
|โจ๐|๐๐โ๐๐โ|๐โฉ|2Susceptibilidade da banda de conducao(
1
๐1
)๐๐๐ก
โ ๐๐๐ โโ
|๐โฉ|๐โฉ
|โจ๐|๐๐โ๐๐โ|๐โฉ|2
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