www.MonitoriadeEngenharia.com.br – O Empurrãozinho que falta para sua Graduação!

Derivada das Funções Trigonométricas Inversas

Um problema comum em trigonometria é achar um ângulo cujas funções trigonométricas são conhecidas. Problemas deste tipo envolvem a computação de funções arco, tais como arcsen x, arccos x, arctg x, e assim por diante. Consideremos esta idéia do ponto de vista de funções inversas, com a meta de desenvolver fórmulas de derivadas para as funções trigonométricas inversas.   

Identidades Para Funções Trigonométricas Inversas  

Se interpretamos  x como um ângulo medido em radianos cujo seno é x, e se aquele ângulo for não

negativo, então podemos representar   x como um ângulo em um triângulo retângulo, no qual a

hipotenusa tem comprimento 1 e o lado oposto ao ângulo de  tem comprimento x (figura a). Pelo

Teorema de Pitágoras, o lado adjacente para o ângulo    tem comprimento  . Além disso, a

ângulo oposto a   é  , uma vez que o co-seno daquele ângulo é x (figura b). Este triângulo motiva

várias identidades úteis, envolvendo funções trigonométricas que são válidas para  . Por exemplo:

Analogamente,  x e x podem ser representadas com ângulos de triângulos retângulos mostrados na figura c e d. Esses triângulos revelam mais identidades úteis, como por exemplo:

 

OBSERVAÇÃO. Não se ganha nada memorizando estas identidades; o que é importante é compreender o método usado para obtê-las.

1/3

www.MonitoriadeEngenharia.com.br – O Empurrãozinho que falta para sua Graduação!

Exemplo:

A figura abaixo mostra um gráfico gerado por um computador de y =  (sen x). Pode se pensar que

este gráfico deva ser a reta y = x, uma vez que (sen x) = x. Por que isto não acontece?

Solução: A relação  (sen x) = x é válida no intervalo  ; logo podemos dizer, com

certeza, que os gráficos de y =  (sen x) e y = x coincidem neste intervalo. Contudo, fora deste intervalo,

a relação    (sen x) = x não precisa ser válida. Por exemplo, se estiver no intervalo ,

então a quantidade x -  estará no intervalo  . Assim

Desta forma,usando a identidade sen(x- ) = -sen x e o fato de que  é uma função ímpar, podemos

expressar       (sen x) como

Isso mostra que no intervalo  , o gráfico de y =  (sen x) coincide com a reta y = -(x- ), a qual tem inclinação -1 e um intercepto x em x = , o que está de acordo com a figura.

 

Derivadas De Funções Trigonométricas Inversas

Lembre-se que se f for uma função um a um, cuja a derivada é conhecida, então há duas maneiras básicas

para obter uma fórmula de derivação para (x), podemos reescrever a equação y =  (x) como x = f(y), e diferenciar implicitamente. Usaremos a diferenciação implícita para obter a fórmula de derivação para y

=  x. Reescrevendo esta equação como x = sen y e diferenciando implicitamente, obtemos 

2/3

www.MonitoriadeEngenharia.com.br – O Empurrãozinho que falta para sua Graduação!

Esta fórmula de derivada pode ser simplificada aplicando-se a fórmula  , que foi deduzida a partir do triângulo da figura, resultando:

Assim, mostramos que 

Se u for uma função diferenciável de x, então  e a regra da cadeia produzem a seguinte fórmula generalizada da derivada

O método usado para obter esta fórmula pode também ser usado para obter fórmulas generalizadas de derivadas para outras funções trigonométricas inversas. Estas fórmulas, válidas para -1< u < 1, são

3/3