Exame escrito de estat. i 2006-2007 - correcção

REPUBLICA DE ANGOLA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO

FACULDADE DE ECONOMIA

Ano Lectivo 2006/2007

Exame escrito de Estatística I N.º ___________; Nome _________________________________________________ Turno: ____________; Sala _________________

Grupo - I Dos seguintes problemas, resolva apenas dois, valendo cada 1 valor.

1. Considere uma colecção de dados e respectiva distribuição de frequências. Indique as respostas verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando com X na quadrícula respectiva: VF

V F Numa distribuição de frequências assimétrica negativa o segundo quartil é menor que a média.

X

O terceiro percentil e o primeiro quartil são medidas de localização. X É suficiente ter-se as frequências relativas acumuladas para obter a curva de Lorenz.

X

Pode-se calcular o coeficiente de Pearson (de assimetria), mesmo desconhecendo o desvio padrão.

X

2. Dado os acontecimentos A, B, C, e D quaisquer, apresente as notações dos seguintes

acontecimentos:

a). Ocorrência de A e não ocorrência de B e C? _ DCBADCBA + ___________________

b). Ocorrência de Pelo menos um deles. ___ ________________________ DCBA ∪∪∪

c). Ocorrência exactamente de um deles _____ DCBADCBADCBADCBA +++ _______

d). Ocorrência exactamente de dois deles: CDBADCBADBCADCBADCBADCAB +++++

3. Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas: (2 valores)

V F Se X tem distribuição binomial, então V(X) = (1 – p)×p×n X Se E(X,Y) = E(X).E(Y), as variáveis aleatórias X e Y são necessariamente independentes.

X

Sejam a e c números reais. Qualquer que seja X, tem-se que P(a ≤ X ≤ c) = F(c) - F(a).

X

E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y), se e somente se X e Y forem independentes

X

Exame escrito de Estatística I – 2006/2007

Grupo – II

4. Os dados a seguir referem-se às vendas de combustível, em milhares de Kwanzas, realizadas em 50 estações de venda, no intervalo das 12 às 13 horas do dia 28 de Julho de 2005.

10,3 11,1 9,6 9,0 14,5 11,6 15,1 12,5 6,5 7,5

13,0 6,7 11,0 8,4 10,3 10,0 12,9 9,2 10,0 12,8

13,0 11,2 7,3 5,3 12,5 12,5 9,3 10,4 12,7 10,5

8,0 11,8 8,7 10,6 9,5 9,3 11,5 10,7 11,6 7,8

11,1 10,2 11,1 9,9 9,8 10,5 7,6 10,1 8,9 8,6

e, após o primeiro tratamento, obteve-se a seguinte distribuição, sendo os intervalos (todos) fechados à esquerda e abertos à direita, com a excepção do último: Para resolução podemos completar o quadro da distribuição de frequências conforme se segue:

Li Ls fai ↑ fi fai ↓ 5,3 - 6,93 0,06 0,06 1 6,93 - 8,57 0,18 0,12 0,94 8,57 - 10,2 0,46 0,28 0,82 10,2 - 11,83 0,8 0,34 0,54 11,8 - 13,47 0,96 0,16 0,2 13,5 - 15,1 1 0,04 0,04

Total 1

Das alíneas que se seguem, responda apenas a quatro, valendo cada 1 valor devendo escolher duas entre a) e d) e outras duas entre e) e h)

a). Calcule e interprete a amplitude total desta distribuição. AT = 15,1 – 5,3 = 9,8. Os valores máximo e mínimo das vendas horárias de com-

bustível distanciam-se em KZ 9.800,00___________________________________

b). Diga que passos seriam necessários para determinar o valor mediano. - Localizar a classe até à qual são acumulados os primeiros 50% das frequên-_

cias (classe mediana) e aplicar a fórmula: ______________________________ ____________________________________________________________________

2


____________________________________________________________________

)()(

)1(

)(2

MeMe

Me

Me An

nan

LiMe ×−

+=−

c). Diga se esta distribuição por intervalos obedeceu à fórmula de Struges. Prove (com cálculos). Fórmula de Struges: k = 1 + 3,22×log(50) = 6,47 ≈ 6_________________________

Logo, a distribuição em 6 intervalos obedeceu à fórmula de Struges.__________ d). Quantas estações venderam no mínimo KZ 8.570,00 cada durante o intervalo a que

se referem os dados?

Frequência para X ≥ 8,57. ⇒ na3(↓) = 0,82 × 50 = 41 estações ________________

e). Indique os intervalos mediano e modal e escreva os dados concretos (da tabela acima) que permitiram obter a(s) respectiva(s) frequência(s). Classe mediana é, neste caso, também a classe modal e corresponde ao quarto

intervalo com os seguintes dados: 10,3; 11,1; 11,6; 11,0; 10,3; 11,2; 10,4; 10,5; _ 11,8; 10,6; 11,5; 10,7; 11,6; 11,1; 10,2; 11,1; 10,5. ⇒ n4 = 17.__________________

f). Sendo , diga em que intervalo estará este valor. Sem qualquer

cálculo, que conclusão pode tirar sobre a configuração do gráfico quanto à (as)simetria? Justifique.

2653,10.6

1=∑

=iii xf

2653,10.6

1==∑

=

Xxfi

ii _encontra-se no 4.º intervalo, no mesmo intervalo da media-

na e da moda, logo pode-se prever uma configuração do gráfico aproximada-__ mente simétrica.______________________________________________________

g). Interprete a distribuição nas ópticas dos seguintes indicadores: e

1888,0=Cv

0911,0. =GiniInd

Temos uma distribuição mais compacta (menos dispersa) e onde não se regista grande concentração de vendas de combustível por parte de um número redu-_ zido de estações (bombas).____________________________________________

3


h). Quantas e quais são as medidas que intervêm na determinação do coeficiente do grau de curtose. São quatro medidas: Q3 – Terceiro Quartil; Q1 – Primeiro Quartil; ____________

________P90 – Nonagésimo Percentil e P10 – Décimo Percentil____

Grupo – III

Resolva apenas um dos dois exercícios seguintes:

5. Se ( ) )().( BPAPBAP =∪ , o que pode dizer sobre os acontecimentos A e B?

Independentes_____________________________________________________ 6. Sejam os acontecimentos Ω⊂BA, , com e . Sabe-se ainda que

. Prove que. 0)( >AP 0)( >BP

)()\( APBAP = )()\( BPABP = .

P(A∩B) = P(B)×P(A\B) = P(A)×P(B\A). Se P(A\B) = P(A), vem P(B)×P(A\B) = P(A)×P(B)

⇒ Se P(A)×P(B\A) = P(A)×P(B), é porque P(B\A) = P(B)._____________________

Grupo – IV

Escolha e resolva dois dos seguintes problemas:

7. Uma empresa produz para o mercado nacional e para exportação, sendo a produção para o mercado nacional metade da destinada à exportação. Com base no controlo de qualidade efectuado à produção anterior, admite -se que 10% dos produtos lançados no mercado interno apresentam deficiências, sendo essa percentagem de 3.3% na produção destinada ao mercado externo. [Cada aluno deve resolver apenas 3 alíneas, sendo (a) e (d) obrigatórias]. a). Qual a percentagem de produtos defeituosos na produção total da empresa?

Definindo os acontecimentos:__________________________________________ ______B1: «Produção interna» ⇒ P(B1) = ⅓; ______________________________ ______B2: «Produção para a importação» ⇒ P(B2) = ⅔; _____________________ ______A: «Produção deficiente» ⇒ P(A) = ? (Fórmula de probabilidade total)___ ______Tem-se: P(A\B1) = 0,1 e P(A\B2) = 0,033._____________________________

4


Bj P(Bj) P(A\Bj) P(Bj)×P(A\Bj) P(Bj\A)

B1 ⅓ 0,1 0,033333333 0,602

B2 ⅔ 0,033 0,022 0,398

∑ 1 P(A) = 0,055333333 1,000

A percentagem dos produtos defeituosos é igual a P(A) = 0,055(3) = 5,53%____ b). Sabendo que um determinado produto foi considerado defeituoso, determine a

probabilidade de ter sido produzido para exportação?

Corresponde a P(B2\A) = 0,398 = 40%____________________________________ c). Admitindo agora que um outro produto foi considerado sem defeitos de fabrico,

calcule a probabilidade de ter sido produzido para o mercado nacional?

_____ .31757,094467,0

3,00553,01

0333,031

)(1)()(

)()()\( 111

1 ==−

−=

−∩−

=∩

=AP

ABPBPAP

ABPABP ____

d). Qual a probabilidade de, numa amostra de 3 produtos dessa empresa, haver

exactamente 1 defeituoso?

.1481,0)9447,0()0553,0(3)().().()().().()().().()()()(

21 ==

++=++

xxDPDPDPDPDPDPDPDPDPDDDPDDDPDDDP

____________________________________________________________________

8. Um corrector da Bolsa de Lisboa, seleccionou para uma apreciação contínua da evolução do mercado mundial, as informações das Bolsas de Londres, New York e Tóquio. Recebe em média por hora 12 chamadas de New York, 18 de Tóquio e 20 de Londres. Admitindo que todas as chamadas são recebidas, calcule:

a). a probabilidade de receber em meia hora 7 chamadas de New York; ~

5


Em 1 hora, λ = 12 ⇒ em ½ hora λ = 6. P(X = 7 \λ = 6) = 0,137677.______________ ____________________________________________________________________

b). a probabilidade de receber mais de 12 chamadas (apenas de uma das três bolsas)

num quarto de hora,

Ter-se-ia em 15 minutos para as bolsas de Nova York, Tóquio e Londres, respec- tivamente λ1 = 3; λ2 = 4,5 e λ3 = 5. Assim tem-se P(X = 12) = P(X1 = 12 \λ1 = 3) +__

P(X2 = 12 \λ2 = 4,5) + P(X3 = 12 \λ3 = 5) = 0,000055+0,001599+0,003434 = 0,005088.

c). a probabilidade de numa hora, receber exactamente 2 chamadas de New York, 4 de Londres e 3 de Tóquio

Tem-se em uma hora para as bolsas de Nova York, Tóquio e Londres, respec- tivamente λ1 = 12; λ2 = 18 e λ3 = 20. Assim tem-se P(X1 = 2 \λ1 = 12 ∩ X2 = 4 \__

\λ2 = 18 ∩ X3 = 3 \λ3 = 20) = .

.000511747,0!3

.20!4

.18!2

.12 203184122

=××=−−− eee

9. Suponha X uma variável aleatória discreta representando o número de aprovações na prova de Estatística em 4 estudantes seleccionados ao acaso, cuja função de probabilidade é. , com xxx qpC −4

4 pq −= 1 , sendo , a probabilidade de um aluno aprovar. Tendo sido obtida a seguinte função de distribuição:

p

X 0 1 2 3 4

F(x) = P(X ≤ x) 0,0256 0,1792 0,5248 0,8704 1

a). Determine o valor de p

X→B(4; p) ⇒ f(4) = p4 = F(4) – F(3) = 1 – 0,8704 = 0,1296 ⇒ p = (0,1296)¼ = 0,6.___ ____________________________________________________________________.

6


b). Calcule a probabilidade de pelo menos dois aprovarem .

P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – P(X ≤ 1) = 1 – F(1) = 1 – 0,1792 = 0,8208.___________. ____________________________________________________________________

c). Se tivessem sido seleccionados 25 estudantes, quantos, você esperaria, venham aprovar.

Se N = 25 ⇒ E(X) = N×p = 25 x 0,6 = 15 estudantes aprovados ______________.

Grupo – V

Resolva apenas um dos dois seguintes problemas:

10. A função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias X e Y, é tal que:

Calcule o coeficiente de correlação das variáveis aleatórias X e Y, e diga, justificando, se as variáveis são ou não independentes.

x e y,,,; y,,,, x/yxf ≤=== 43214321101contrário. caso , 0),(

X \ Y 1 2 3 4 fx(x) x.fx(x) x2.fx(x)

1 0,1 0 0 0 0,1 0,1 0,1

2 0,1 0,1 0 0 0,2 0,4 0,8

3 0,1 0,1 0,1 0 0,3 0,9 2,7

4 0,1 0,1 0,1 0,1 0,4 1,6 6,4

fy(y) 0,4 0,3 0,2 0,1 1 3 10

y.fy(y) 0,4 0,6 0,6 0,4 2

y2.fy(y) 0,4 1,2 1,8 1,6 5

7


E(XY) = ΣΣxy×f(x,y) = 6,5.

X \ Y 1 2 3 4 ∑

1 0,1 0 0 0 0,1

2 0,2 0,4 0 0 0,6 3 0,3 0,6 0,9 0 1,8 4 0,4 0,8 1,2 1,6 4

∑ 1 1,8 2,1 1,6 6,5

Covxy = E(X,Y) – E(X)×E(Y) = 6,5 – 3 × 2 = 6,5 – 6 = 0,5._______________________

V(X) = E(X2) – E2(X) = 10 – 32 = 1 ⇒ σx = 1._________________________________

V(Y) = E(Y2) – E2(Y) = 5 – 22 = 1 ⇒ σy = 1.__________________________________ rxy = (Covxy) / (σx × σy ) = 0,5.____________________________________________ As variáveis X e Y não são independentes, desde já partindo do facto de que os valores de Y estão dependentes dos de X. Por outro o valor de 50% do coeficiente de correlação indica uma relação razoável e directa entre as duas variáveis._

11. Considere o par aleatório com densidade conjunta

010)1(6contrário. caso , 0),( >−<<−−= x; xy, yxyxf

a). Deduza a função de distribuição conjunta.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=−−= ∫∫ ∫∫ ∫

426

.2

6.)1(6).1(6),(

22

0

2

0 00 0

xyyxxy

dxyxyydxdyyxdydxyxyxFxx yx y

8


e,

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ≤≤

= >−<<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

≥∞→

01042

6

11

22

000

),( x x ; y ; xyyxxy

- x y ; x ;

; y ; x

yxF

b). Calcule .21\

43

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ >< YXP

.0

21

121;

43

21

21;

43

.21\

43

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ >

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −<<<

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ >

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ><

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ><

YP

xYXP

YP

YXPYXP

Porque, neste caso só o limite inferior de y (½) é maior do que o limite superior

de x, quando o limite superior de x teria de ser igual a 1 - ¾ = ¼, tornando-se__ neste caso impossível «um número ser ao mesmo tempo maior que ½ e menor que ¼».____________________________________________________________

c). Sem qualquer cálculo, diga, justificando, se as variáveis X e Y são independentes.

As variáveis aleatórias X e Y não são independentes, visto que os valores de Y são dependentes dos de X.____________________________________________

9


Anexo: Extracto da tabela com os valores da função de Probabilidade de poisson, dado λ.

x

2 2,5 3 4 4,5 5 6 10 12

0 0,135335 0,082085 0,049787 0,018316 0,011109 0,006738 0,002479 0,000045 0,000006 1 0,270671 0,205212 0,149361 0,073263 0,049990 0,033690 0,014873 0,000454 0,000074 2 0,270671 0,256516 0,224042 0,146525 0,112479 0,084224 0,044618 0,002270 0,000442 3 0,180447 0,213763 0,224042 0,195367 0,168718 0,140374 0,089235 0,007567 0,001770 4 0,090224 0,133602 0,168031 0,195367 0,189808 0,175467 0,133853 0,018917 0,005309 5 0,036089 0,066801 0,100819 0,156293 0,170827 0,175467 0,160623 0,037833 0,012741 6 0,012030 0,027834 0,050409 0,104196 0,128120 0,146223 0,160623 0,063055 0,025481 7 0,003437 0,009941 0,021604 0,059540 0,082363 0,104445 0,137677 0,090079 0,043682 8 0,000859 0,003106 0,008102 0,029770 0,046329 0,065278 0,103258 0,112599 0,065523 9 0,000191 0,000863 0,002701 0,013231 0,023165 0,036266 0,068838 0,125110 0,087364 10 0,000038 0,000216 0,000810 0,005292 0,010424 0,018133 0,041303 0,125110 0,104837 11 0,000007 0,000049 0,000221 0,001925 0,004264 0,008242 0,022529 0,113736 0,114368 12 0,000001 0,000010 0,000055 0,000642 0,001599 0,003434 0,011264 0,094780 0,114368 13 0,000000 0,000002 0,000013 0,000197 0,000554 0,001321 0,005199 0,072908 0,105570 14 0,000000 0,000000 0,000003 0,000056 0,000178 0,000472 0,002228 0,052077 0,090489 15 0,000000 0,000000 0,000001 0,000015 0,000053 0,000157 0,000891 0,034718 0,072391 16 0,000000 0,000000 0,000000 0,000004 0,000015 0,000049 0,000334 0,021699 0,054293 17 0,000000 0,000000 0,000000 0,000001 0,000004 0,000014 0,000118 0,012764 0,038325 18 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000001 0,000004 0,000039 0,007091 0,025550 19 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000001 0,000012 0,003732 0,016137 20 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000004 0,001866 0,009682

λ

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