Fisica 02 - A teoria cinética dos gases

Física 2A Teoria Cinética dos

GasesProf. Dr. Walmor Cardoso Godoi

Departamento de Física - DAFISUniversidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR

URL: http://www.walmorgodoi.com/utfprE-mail: [email protected]

Referência

• Halliday e Resnick, Fundamentos de Física - Gravitação, Ondas e Termodinâmica, vol. 2, 9ª ed., Cap 19.

• Gás-> átomos isolados ou unidos em moléculas

• Variáveis macroscópicas de Estado: P, V, T, n

Unidade de Massa Atômica (u.m.a.)

Exemplo:p+ massa de 1,00759 u.m.an0 massa de 1,00898 u.m.ae- massa de 0,0005486 u.m.a (1836 x menor que p+)

ÁTOMO-GRAMA E MOLÉCULA-GRAMA (MOL)

Átomo-grama de um elemento químico corresponde ao peso atômico, tomado em gramas.

Exemplo, Alumínio:

Peso atômico do alumínio = 26,9815 u.m.a.

Portanto...

Átomo-grama do alumínio = 26,9815 g.


Molécula-grama (Mol) de uma substância composta é o peso da molécula tomado em gramas.

Exemplo, Água:Peso molecular da água = 18,015 u.m.a , portanto,

Molécula-grama da água = 18,015 g.

O átomo-grama ou a molécula-grama de

uma substância corresponde a um número

fixo de partículas (átomos ou moléculas),

denominado NÚMERO DE

AVOGADRO (NA):


Molécula-grama (Mol) de uma substância composta é o peso da molécula tomado em gramas.

Exemplo, Água:Peso molecular da água = 18,015 u.m.a , portanto,

Molécula-grama da água = 18,015 g.

O átomo-grama ou a molécula-grama de

uma substância corresponde a um número

fixo de partículas (átomos ou moléculas),

denominado NÚMERO DE

AVOGADRO (NA):

O Número de Avogadro

1 mol = no de átomos em uma amostra de 12 g de carbono 12

Quantos átomos existem em um mol?

átomos / átomo-grama (ou moléculas / mol).

• Com estas definições pode-se calcular o número de átomos (N) contidos em uma determinada massa (m) através da seguinte relação:

• onde M é o átomo-grama ou molécula-grama da substância.

ANM

mN

Exemplo 1

• Calcular o número de átomos contidos em 13,5 mg de Urânio.

O átomo-grama do Urânio é igual a 238,02891 g, portanto:

1923A 10415,310022,6

02891,238

0135,0N

M

mN átomos.

O número de mols n contidos em uma amostra de gás de N moléculas

O número de mols n contidos em uma amostra de gás a partir da massa m

: massa de 1 molécula da amostra

Exemplo 2

• Massa Atômica e massa molecular: Encontre a massa de um átomo de hidrogênio e a massa de uma molécula de oxigênio.

• Respostas

Gases Ideais

• Interação entre partículas desprezível

• Gases reais no limite de baixas densidades (concentrações baixas)

Gás 1, V1, T1, P1 Gás 2, V2, T2, P2 Gás 3, V3, T3, P3

Gás 1 ≠ Gás 2 ≠ Gás 3Se V1=V2=V3, T1=T2=T3 P1≈P2≈P3

Lei dos gases ideais

kNT

pV

k : Constante de Boltzmann = 1,38x10-23J/KN : no. de moléculas

Gases Ideais

kNTpV

Gases Ideais

J/K

Constante de Boltzmann

𝑅=𝑘𝑁𝐴

𝑛=𝑁 /𝑁 𝐴

𝒏𝑹=𝑵𝒌

𝑁 /𝑛=𝑁 𝐴

assim

Gases Ideais

• Lei dos gases ideais

R= 8,31 J/mol K (constante dos gases ideais)n: número de mols contido em um gás

NkTpV

nRTpV

cteT

Vp

T

Vp

f

ff

i

ii

Gases IdeaisSe a massa de gás for constante ( ou o número de mols) nR = cte tem-se

Gases Ideais• Exemplo 3: Volume de 1 mol de gás - Calcular

o volume de 1 mol de um gás ideal para mantê-lo em CNTP

Vol CNTP (1 mol, 273,15 K; 1,01325 x 105 Pa) = 22,413968 ± 0,000020 litros/mol *

CNTP IUPAC (1 mol, 273,15 K; 1,01325 x 105 Pa)

* Medidas no NIST-USA

Nas CPTP IUPAC (1 mol, 273,15 K; 100 000 Pa) = 22,710 953 ± 0,000 021 L mol−1

Observações• As Condições Normais de Temperatura e Pressão (cuja sigla é CNTP no

Brasil) referem-se à condição experimental com temperatura e pressão de 273,15 K (0 °C) e 101.325 Pa (101,325 kPa = 1,01325 bar = 1 atm= 760 mmHg), respectivamente.

• Esta condição é geralmente empregada para medidas de gases em condições atmosféricas (ou de atmosfera padrão).

• O equivalente de CNTP em inglês é NTP (Normal Temperature and Pressure).• Há duas condições de temperatura e pressão comumente utilizadas, sendo

elas:– CNTP no Brasil, com valores de temperatura e pressão de 293,15 K e

101.325 Pa (pressão normal), respectivamente. – CPTP no Brasil (sigla significando Condições Padrão de Temperatura e Pressão),

referindo-se às atuais STP (do inglês - Standard Temperature and Pressure) com valores de temperatura e pressão de 273,15 K (0 °C) e 100 000 Pa = 1 bar, respectivamente.

• Exemplo 4. Um cilindro contém 12 litros de oxigênio a 20 oC e 15 atm. A temperatura é aumentada para 35 oC e o volume reduzido para 8,5 litros. Qual a pressão final do gás em atm? Supor gás ideal.

• Resposta: 22 atm

f

ff

i

ii

T

Vp

T

Vp

Gases Ideais

Exemplo 5: Compressão de um gás no motor de um automóvelRazão de compressão 9:1 (gasolina)P1= 1 atmP2=21,7 atmT1 = 27 oCT2=?

Resposta: 450 oC

Processos Isotérmicos

Vcte

V

nRTp

1 T2

T1

P

V

T1<T2T constante

f

I

V

V

fi dVPW

f

I

V

V

fi dVV

nRTW

T = const


i

ffi V

VnRTW ln


se

i

ffi V

VnRTW ln

V cte: Vf=Vi : Wif = nRT ln(1)= 0

Expansão: Vf > Vi : Wif > 0

Compressão: Vf < Vi : Wif< 0

• Exemplo 6. Um mol de oxigênio se expande a uma temperatura constante T de 310 K de um volume inicial V1 de 12 L para um volume final V2 de 19 L. Qual é o trabalho realizado pelo gás durante a expansão?

1

221 ln

V

VnRTW


l

lKmolKJmolW

12

19ln)310)(/31,8)(1(21

= +1184 J

P

V

Pi

Pf

Ti Tf

Processos Isocóricos

V constante

TcteV

nRTp

f

I

V

V

fi dVpW 0

Processos Isobáricos

P constante

Tctep

nRTV

f

I

V

V

fi VpdVpW

P

VVi Vf

Ti Tf

V

Exemplo 7

Exemplo 7

J/K

𝑇=7500𝐾

N/V= 80 moléculas/cm3 = 80 x 106 moléculas/m3

Pressão, Temperatura e Velocidade Média Quadrática

Temperatura: Energia cinética média das partículas do gás

Pressão: Variação do momento linear das partículas que colidem nas paredes do recipiente de gás

Cada partícula (momento transferido):

Colisão elástica

xxxx mvmvmvp 1111 2)()(

L

mv

vL

mv

t

p x

x

xx21

1

11

/2

2

xvLt 1/2Taxa média de transferência de momento

1,particulaF

2

222

21

2

/...//

L

LmvLmvLmv

L

Fp Nxxxx

)...( 222

213 Nxxx vvv

L

mp

De acordo com a 2ª lei de Newton

Para determinar a força , devemos somar todas as contribuições de momento das moléculas

A pressão p total sobre a parede será para N moléculas

𝑛𝑁 𝐴𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 xmédxv )( 2

Valor médio do quadrado da componente x

médxA v

L

mnNp )( 2

3

médxvV

nMp )( 2

2222

3

1vvvv zyx

Para qualquer molécula

222zyx vvvv

médvV

nMp

assim

)(3

2

rmsméd vv )( 2

V

nMvp rms

3

2

Velocidade Média Quadrática

substituindo

Exemplo: Dados os números: 5,11,32,67 e 89

Calcule o valor médio e o valor médio quadrático.

Valor Médio Quadrático* Raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos valores

rms

V

nMvp rms

3

2

M

RTvrms

3

pV=nRT

Pressão, Temperatura e Velocidade Média Quadrática

3

2rmsnMv

pV

GÁS Massa Molar(10-3kg/mol)

vrms(m/s)

H2 2.02 1920

He 4.0 1370

H2O (vapor) 18.0 645

N2 28.0 517

O2 32.0 438

CO2 44.0 412

SO2 64.1 342

Velocidade Média Quadrática

Energia Cinética de TranslaçãoVamos supor agora que a velocidade da molécula varia quando ela colide com outras

𝐾𝑚é𝑑=( 12𝑚𝑣2)

𝑚é𝑑

= 12𝑚(𝑣¿¿2)𝑚é 𝑑=

12𝑚𝑣2

𝑟𝑚𝑠 ¿

𝐾𝑚é𝑑=( 12𝑚) 3𝑅𝑇

𝑀𝐾𝑚é𝑑=

3𝑅𝑇2𝑁 𝐴

𝑀=𝑚𝑁 𝐴

𝑘=𝑅/𝑁 𝐴 𝑲𝒎é 𝒅=𝟑𝟐𝒌𝑻

𝐾𝑚é𝑑=( 12𝑚𝑣2)

𝑚é𝑑

Livre caminho médio

Livre caminho médio Distância média percorrida por uma molécula entre duas colisões

Suposições:

• Maior N/V, menor

• Quanto maiores forem as moléculas, menor (quadrado do diâmetro da molécula)

• Entre duas colisões, a molécula se move em linha reta com velocidade constante

d

O´O

Livre caminho médio

𝜆=𝑑𝑖𝑠𝑡 â𝑛𝑐𝑖𝑎𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎𝑒𝑚 Δ𝑡𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒𝑐𝑜𝑙𝑖𝑠õ𝑒𝑠𝑒𝑚 Δ𝑡

𝜆=𝑣 Δ 𝑡

𝜋 𝑑2𝑣 Δ𝑡𝑁 /𝑉

𝜆=1

√2𝜋 𝑑2 𝑁 /𝑉

2d

𝑣 Δ𝑡

Velocidade média em relação ao recipiente,

𝑣𝑟𝑒𝑙=√2𝑣𝑚é 𝑑

𝝅𝒅𝟐

Livre caminho médioDistância média percorrida por uma molécula entre duas colisões

𝜆=1

√2𝜋 𝑑2 𝑁 /𝑉

Ar – nível do mar Ar – 1Ar – 3

• Exemplo 8:• a) Qual é o livre caminho médio de moléculas

de O2 a uma temperatura T = 300 K e a uma pressão de 1 atm ? Diâmetro moléculas 290 pm, gás ideal)

• b) Suponha que a velocidade média das moléculas seja v = 450 m/s, qual o tempo médio t entre as colisões e a frequência de colisões?

Distribuição de Velocidades das Moléculas

1852, Maxwell

M : massa molar do gásRT

Mv

evRT

MvP 22

2

32

24)(

A distribuição de Maxwell torna possível isto!

Distribuição de Velocidades das Moléculas

velocidade (m/s)

M : massa molar do gás

Temperatura (K)

RT

Mv

evRT

MvP 22

2

32

24)(

Distribuição de Maxwell-Boltzmann

Exemplo 9

Energia Interna

Capacidade térmica

dTCdQ

SE dQ é transferido à pressão constante

dTCdQ PP

dTCdQ VV SE dQ é transferido à volume constante

Capacidade térmica

Calor específico molar à pressão constante

Calor específico molar à volume

constante

1MOL

Calor Específico Molarà volume constante


T

T + dTP

V

i

f

c

P+dP

V+dV

VdQdE

0dV

dTCdE V

Molécula CV (J/mol.K)

He 12,5

Ar 12,6

N2 20,7

O2 20,8

NH4 29,0

CO2 29,7

}}}


}

Mono-atômicos }Di-atômicos

}

Poli-atômicos

5,122

3 R

8,202

5 R

9,243 R

Energia interna

n MOLs

Calor Específico Molarà pressão constante

T

T + dTP

V

i

b

f

P+dP

V+dV

dWdQdE P int


PdVdTCdE P int

T

T + dTP

V

a

b

c

P+dP

V+dV

dWdQdE P int


PdVdTCdE P int

independe do processo

PdVdTCdTCdE PV int

dTRdTCdTC PV


PARA 1 MOL : PV=RT

RCC VP

intdE

1 MOL de um gás ideal MONOATÔMICO


RCC VP

RCv 2

3 RCP 2

5

3

5

V

P

C

C

Teorema da Equipartição da EnergiaA energia térmica das moléculas não depende apenas da translação

Uma molécula tem f graus de liberdade, a cada grau está associada uma energia por molécula

CV /R(H2 )

1,5

3,5

2,5

T(x103 K )0,1 0,2 1 50,02 2

translação rotação vibração

Quantização da energia

Efeitos QuânticosGás Ideal Diatômico

Gás ideal MONOATÔMICO

Energia Interna : Energia Cinética de Translação do Centro de Massa : 3 graus de liberdade

222

2

1zyx vvvmK

3 termos quadráticos na energia

RkTE2

3

2

13int

Teorema da Equipartição da Energia

RCV 2

3

r

Gás ideal DIATÔMICO

Energia Interna : Energia Cinética de Translação do Centro de Massa3 graus de liberdade+ Energia Cinética de Rotação 2 graus de liberdade


RkTE2

5

2

15int


RCV 2

5

r

Gás ideal DIATÔMICO a altas temperaturas (ou POLI-)

Energia Interna : Energia Cinética de Translação do Centro de Massa3 graus de liberdade+ Energia Cinética de Rotação 2 graus de liberdade + Energia de Vibração da ligação 1 grau de liberdade


RkTE 32

16int


RCV 3

Gás ideal com f graus de liberdade: f termos quadráticos na energia

kTfE2

1int


1 MOL de gás ideal com f graus de liberdade

Calor Específico Molar

nRTf

TE mol 2)(int,

f

fR

fCR

fC PV

2,1

2,

2

𝐶𝑉=( 𝑓2 )R=4,16 𝑓 Jmol . K

Moléculas diatômicas rígidas

Moléculas diatômicas com vibração

Moléculas poliatômicas com vários modos vibracionais e um rotacional adicional


RCP 2

5

RCP 2

7

RCP 3

Molécula CV (J/mol.K)

He 12,5

Ar 12,6

N2 20,7

O2 20,8

NH4 29,0

CO2 29,7

}}}


5,122

3 R

8,202

5 R

9,243 R

A Expansão Adiabática de Um Gás Ideal

Q= 0 ∆𝐸 𝑖=−𝑊

ctePV

T2

T1P

V

Processo adiabático

Processos adiabáticos

V

dV

P

dP

cteVP lnln

cteVPPV ii

Processos adiabáticos

nRTPV

cteVPPV 00

cteTV 1𝑃=

𝑛𝑅𝑇𝑉

11 ffii VTVT

Expansão Livre

Pi, Vi, Ti

Pf, Vf, Tf

Expansão Adiabática MAS com W=0

Gás Ideal

Expansão LivreGás Ideal

Expansão Adiabática Livre

fi TT

ffii VPVP

Exemplo10

11 ffii VTVT

Exemplo 10

Resumindo

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Fisica 02 - A teoria cinética dos gases