Seqüências e Progressão Aritmética - PA Prof.: Daniel Alves de Lima

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PROGRESSÃO ARITMÉTICA - PA

A história da matemática conta que na álgebra babilônica já havia alguns estudos sobre seqüências. Inicialmente,

definiremos a seqüência e, a seguir, estudaremos dois importantes tipos de seqüências.

Seqüência ou Sucessão

Todo conjunto de elementos, numéricos ou não, colocados numa determinada ordem é chamado

seqüência ou sucessão.

Em uma seqüência o primeiro termo é indicado por a1 , o segundo por a2 , o enésimo termo por an e assim

sucessivamente.

Simbolicamente temos: a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an ,... . De modo geral, a seqüência pode ser:

Finita: possui um número limitado de elementos a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an .

Infinita: possui um número limitado de elementos a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an ,...

Lei de Formação

Inúmeras são as seqüências existentes, mas para a matemática são importantes aquelas cujos termos

obedecem a uma determinada lei de formação.

Vamos estudar agora duas formas diferentes de definir uma seqüência.

Pelo termo geral – Neste caso, a seqüência é definida por uma fórmula que dá o valor de cada termo an

em função de sua posição n na seqüência. Essa fórmula é denominada termo geral da seqüência.

Exemplo: Escreva os três primeiros termos da seqüência definida por

𝒂𝒏 =𝟐𝒏 − 𝟏

𝟓

Por recorrência – Podemos definir uma seqüência atribuindo determinado valor a um de seus termos

(geralmente o primeiro) e indicando uma fórmula que permite calcular cada termo, conhecendo valor do termo

anterior da seqüência. Neste caso, dizemos que a seqüência esta definida por recorrência.

Exemplo: Escreva os cinco primeiros termos da seqüência definida por

Exercícios Resolvidos

01- Escreva a seqüência dada pelo termo geral

02- Escreva os cinco primeiros termos da seqüência

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03- Escreva a seqüência cujos termos obedecem a lei de formação

04- Escreva a seqüência definida por

Praticando você aprende!

01- Escreva as seqüências definidas pelos termos gerais a seguir (nos casos em que não aparece o conjunto

de variação de 𝒏, considere 𝒏 𝑹 ∗).

02- Considere a seqüência cujo termo geral é . Qual é o termo que tem seu valor entre 30 e 40?

03- Determine:

a) O 10º termo da seqüência dos números naturais pares.

b) O 7º termo da seqüência cujo termo geral é 𝒂𝒏 𝟐(𝒏 𝟏).

04- Determine os cinco primeiros elementos das seqüências, 𝒏 𝑹 ∗, definidas pelas leis de recorrências a

seguir:

05- Determine o 6º termo da seqüência

Progressão Aritmética (PA) – é toda seqüência de números naturais na qual a diferença entre cada termo

(a partir do segundo) e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada razão (r) da

progressão.

Observações:

1º) Notamos então que, de modo geral, uma seqüência a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an é uma PA quando:

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Comparando temos:

2º) Da definição decorre que, se a1, a2 e a3 estão em PA, então:

ou seja, dados três números consecutivos de uma progressão aritmética, o termo do meio é a média aritmética

dos outros dois.

Praticando você aprende!

01- Verifique se a seqüência (6, 13, 20, 27, 34) é uma PA.

02- Diga se a seqüência 𝑥 4 𝑦,𝑥 2 𝑦,𝑥,𝑥 2 𝑦 , em que 𝑥 e 𝑦 são números reais, é ou não uma PA. Se for,

determine a razão.

03- A seqüência é uma PA infinita. Determine a razão e o 3º termo dessa PA.

04- Determine o 4º termo da PA (𝑥 – 3, 𝑥 – 1, . . . ).

05- Determine o 8º termo de uma PA na qual a3 8 e r 3 .

06- Calcule a de modo que (3𝑎, 6𝑎 3, 15𝑎 21) é uma PA.

07- Verifique quais das seqüências abaixo formam uma PA, determine a razão (r) dessas seqüências e

classifique como crescente ou decrescente.

a) (5, 7, 9, ...)

b) (3, 11, 2, 1, ...)

c) (12, 8, 4, ...)

d) (-2, 4, -8, ...)

e) (-35, -30, -25, ...)

f) (𝟐

𝟑,𝟕

𝟔,𝟓

𝟑,… )

g) (7, 7, 7, ...)

h) ( 2, 2 + 2, 4 + 2)

08- Sabendo que ( 𝑥 1,3 𝑥 2,2 𝑥 4) formam, nessa ordem, uma PA, calcular o valor de 𝑥 e a razão

dessa P.A.

Termo Geral de uma PA – Descrevendo alguns termos de uma PA, podemos obter uma fórmula para o termo

geral:

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observando que o coeficiente r em cada igualdade é uma unidade inferior ao índice do termo considerado,

obtivemos a fórmula do termo geral:

onde:

an : termo geral

a1 : primeiro termo

n : número de termos

r : razão

Propriedade: observe a P.A. finita (a1 , a2 , a3 , a4). Nela os termos a2 e a3 são eqüidistantes dos extremos a1 e a4.

Veja:

Isso é válido de modo geral e dizemos que, numa P.A. a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é igual à

soma dos extremos.

Praticando você aprende!

01- Determine o décimo segundo termo da P.A. (3, 5, 7, ...).

02- Qual é o 20º termo de PA. (2, 8, ...)?

03- Qual é o termo geral da PA (5, 9, ...)?

04- Encontrar o termo geral da PA(4, 7, ...).

05- Quantos múltiplos de 5 há entre 21 e 623?

06- Qual é o primeiro termo de uma PA em que a10 39 e r 4 ?

07- Numa PA de 14 termos, o 1º termo é 2 e o último é 28. Calcule a razão dessa PA.

08- Quantos elementos têm a PA finita (-2, 3, ... , 43)?

09- Determine o valor de 𝑥 para que os números 𝑥2 , ( 𝑥 2)2 𝑒 ( 𝑥 3)2 sejam, nessa ordem, os três primeiros

termos de uma PA