Operacao de polinomios_material_dourado

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UNIVERSIDADE DO CONTESTADO – UnC CURSO DE MATEMÁTICA – REGIME

ESPECIAL

OPERAÇÕES DE POLINÔMIOS COM O USO DO MATERIAL DOURADO

CAÇADOR05/26/11 Carmen e João Carlos

OPERAÇÕES DE POLINÔMIOS COM O USO DO MATERIAL DOURADO

Professores Ms. orientadores:

Darci Martinello e Marcele Guzela

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Breve história da álgebra.

Maria Montessori e o Material Dourado

05/26/11 Carmen e João Carlos

http://www.ativamente.info/Historia/hist_da_algebra.htm

http://www.somatematica.com.br/artigos/a14/

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O primeiro contato com o material deve ocorrer de forma lúdica, por aproximadamente quinze minutos. O professor deverá pedir aos alunos que observem e manipulem o material que estão recebendo, e de que maneira ele vê sua utilidade.

Depois de ouvir e discutir sobre a opinião dos alunos, o professor apresentará o material dourado (na sua particularidade), como recurso a ser usado pelos educando, para o ensino e aprendizagem do conteúdo proposto.

05/26/11 Carmen e João Carlos 5

Na medida que o professor entender que os alunos estão mais familiarizados com o material dourado, começará a seguinte atividade, onde o aluno deverá montar com o auxílio desse suporte as seguintes figuras conforme unidades dadas:

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1) Forme figuras (quadriláteros) com a quantidade de peças pedidas.

1) 121 peças

2) 144 peças

3) 169 peças

4) 30 peças

5) 90 peças

6) 441 peças

7) 45 peças


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l Consideremos o número 90. Utilizando a multiplicação podemos escrever esse número de várias maneiras:

2.45

3.30

90= 5.18

9.10

2.3².5

FATORANDO POLINÔMIOS


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l Quando escrevemos o número 90 na forma 2.45 ou 3.30 ou 6.15 ou 9.10 transformamos esse número numa multiplicação de dois fatores.

l Quando escrevemos o número 90 na forma 2.3².5, transformamos esse número numa multiplicação em que todos os fatores são números primos.


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l Em qualquer dos casos, fizemos a fatoração do número 90.

Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais fatores.


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Tomando como base esses conhecimentos vamos considerar a figura a baixo:

1 2

a b

c


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Há duas maneiras de representarmos a área dessa figura :

1ª)Área da figura 1 + área da figura 2 ou seja, ac + cb.

2ª)Fazemos c.(a+b), pois a figura é um retângulo.


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Daí podemos escrever:

ac+ bc (polinômio) = c . (a+b) (multiplicação de polinômios)


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Quando escrevemos o polinômio ac+bc na forma c.(a+b), estamos transformando o polinômio inicial numa multiplicação de polinômios, ou seja, estamos efetuando a fatoração do polinômio inicial. Logo:


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Fatorar um polinômio, quando for Fatorar um polinômio, quando for possível, significa escrever esse polinômio possível, significa escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais como uma multiplicação de dois ou mais polinômios.polinômios.


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Para fatorar um polinômio, devemos conhecer algumas técnicas que se baseiam em multiplicações já conhecidas e estudadas.

Estudaremos apenas os casos simples de fatoração de polinômios, de larga aplicação no cálculo algébrico.


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FATORAÇÃO PELA COLOCAÇÃO DE UM FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA.

Consideremos as seguintes situações:

y y

x

x


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1° Vamos calcular o perímetro do retângulo ao lado, cujas dimensões são x e y.

O perímetro desse retângulo pode ser indicado de duas maneiras:

2x +2y ou 2.(x + y)


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Então podemos escrever:

2x + 2y = 2.(x + y)

polinômio forma fatorada do polinômio


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Na forma fatorada, notamos que:

2 é um fator comum a todos os termos do polinômio e foi colocado em evidência.

O outro fator x + y é o mesmo que (2x : 2) + (2y : 2).


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Podemos dizer que:

Quando todos os termos de um polinômios têm um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio que se obtém dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum.


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Exercícios:

01- Fatore os polinômios colocando o fator comum em evidência:

a) 5x + 5y=

b) 3a + 3=

c) (a² + 5ab)=

d) (x² + 3xy)=


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02- Apartir da forma fatorada calcule os polinômios:

a) 7c(5+c)=

b) 8x³(3x²-x-7)=

c) p(a+b+b)=

d) y(1-y²+y+y4+y6)=

e) xy(1-x²y²)=


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Trabalho de casa:

Na figura indicamos as medidas do campo de futebol em metros.

x

X + 42


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b. Qual é o valor de x se o perímetro do campo de futebol é igual a 356m?

e. Quanto vale a área do campo de futebol?


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FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO

Observe as três figuras seguintes.

Figura 1. a b

x

y

A área dessa figura pode ser representada pelo polinômio:ax +bx + ay + by.

by

ax bx

ay


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Figura 2:X . (a + b)

Y . (a + b)

a b

x

y

A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio:x(a + b) + y(a +b).


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Figura 3:a b

xA área dessa figura pode ser dada pelo produto:(a + b) (x +y).

Como as três figuras tem a mesma área, podemos escrever:ax +bx +ay +by = x.(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y) polinômio Forma fatorada do

polinômio

y


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Vejamos como podemos fazer algebricamente para escrever o polinômio

ax + bx + ay + by na forma fatorada:

(ax + bx) + ( ay + by): agrupamos os termos que possuem fator comum.


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x(a +b) + y(a +b): Em cada grupo colocamos o fator comum em evidência.

(a +b) (x +y): Colocamos, novamente, em evidência o fator comum.


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EXERCÍCIO 1:

Fatore os polinômios:

a² + ab + ax + bx = b5 + b³ + 2b² + 2 = bx² - 2by + 5x² - 10y =


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EXERCÍCIO 2:

A partir da forma fatorada ache os polinômios.

C. x(c + 1) + 1(c + 1) =

D. y²(5y – 4) + 2(5y - 4) =

E. (2ª + 1)(n + m) =


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FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS

Consideramos a figura

ao lado:

x

x

x - y

x -y

y

y

x² - y²


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Recortando a figura (1)

pelo tracejado...

(x –y)y

y

y (x – y)

x

x

Figura 1


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Formaremos uma nova figura.

y

(x-y

)

(x-y

)

(x-y

)

x

Figura 2


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Notando que a área da figura1, expressa por x² - y², e a área da figura 2, expressa por (x + y)(x – y), são iguais, podemos escrever:

x² - y² = (x + y) . (x – y)

(polinômio) (forma fatorada do polinômio)


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Na forma fatorada, você observa que:

X² Raiz quadrada do primeiro termo do polinômio

y = y²Raiz quadrada do 2º termo do polinômio

X=


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EXERCÍCIO 3:1) Fatore os polinômios e represente no material dourado quando possível.

2) x² - y² =

4) a² - 36 =

6) m² - 1 =

8) 4x² - 9 =

10)100 – y² =

25x² - 4 =

9a² - 16 b² =

a4 - 25 =

81x4 - 1 =

x² - 1 =


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Trabalho para casa:

Analise a situação e responda no caderno.

casa

Quintal

20m

20m

x

x


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Pedro tem um terreno quadrado com 20 m de lado no qual construirá uma casa, também quadrada. Qual deverá ser a medida de x, do lado da casa, para que o quintal tenha uma área de 256m²?


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Desenhe no papel milimetrado as diferenças de dois quadrados atribuindo valores as variáveis, e calculando a área da figura obtida.

1. y² - x² =

2. 4x² - 1 =

3. a² - 81 =

x² - 100 = ( neste caso considere x=10 e explique o quê aconteceu com a figura)


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FATORAÇÃO DE UM TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO.

QUADRADO DA SOMA (considere as figuras abaixo)

x²

xy

xy

Y²

x

y

Afigura representa um quadrado cujo lado mede(x+y) unidades de comprimento. A área da figura pode ser indicada de duas maneiras:

x²+2xy+y² ou (x+y)²

x y


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QUADRADO DA DIFERENÇA:

y²

(x-y)

(x-y

)

y

yx

x

A figura colorida e não hachurada representa um quadrado cujo lado mede (x-y), cuja área pode ser indicada de duas maneiras:

x²-2xy+y² ou (x-y)²


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Então, podemos escrever as seguintes igualdades:

x²+2xy+y² = (x+y) (x+y) = (x+y)²

x² - 2xy+y² = (x-y) (x-y) = (x-y)²

polinômio forma fatorada do polinômio

polinômio Forma fatorada do

polinômio


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A seguir, determinar a raiz quadrada de cada termo quadrado:

x² = x e 16y² = 4y.

Finalmente,multiplicamos por dois os produtos das raízes para verificar se os resultados é igual ao termo restante: 2 . x . 4 = 8xy.


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Os polinômios x² + 2xy + y² e x² - 2xy + y²

São chamados trinômios quadrados perfeitos. Trinômios porque possuem três

termos; quadrados perfeitos porque o primeiro representa o quadrado de (x + y), enquanto que o segundo representa o quadrado de (x –y).

Nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. É importante reconhecer se um trinômio é ou não um quadrado perfeito.


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Consideremos as seguintes situações.

Verificar se o trinômio x² + 8xy + 16x² é quadrado perfeito.

Inicialmente, verificamos se dois termos do trinômio são quadrados. Neste caso, x² e 16y² são quadrados.

A seguir determinamos a raiz quadrada de cada termo quadrado: x² = x e 16y = 4y

Finalmente, multiplicamos por 2 o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao termo restante: 2 . x . 4y = 8xy.


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EXERCÍCIO 4: Verifique se os trinômios são quadrados perfeitos e represente no material dourado quando possível.

1) x²+6x+9 =

2) x²+10x+25 =

3) 9x²+12x+4 =

4) 25x²+20x+1 =

5) x²+14x+36 =

6) a²-4a+4 =

7) 16x²+12x+20 =

8) x²+8x-4 = 05/26/11 Carmen e João Carlos

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Fatore os trinômios quadrados perfeitos:

1) x²+6x+9 =

2) x²-14x+49 =

3) y²+2y+1 =

4) a²-20a+100 =

5) 1+2x+x² =

6) m²-12m+36 =

7) 9x²+12x+4 =

8) 4m²-20m+25 =

9) x²-18x+81 =

1) 16y²-8y+1 =

2) 9x²+36xy+36y²

3) 25a²+6ab+36b²


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TRABALHO DE CASA.

Que monômios podem ser acrescentados ao binômio 9x² + 49 para que ele seja um trinômio quadrado perfeito? Qual é esse trinômio?

Represente a figura no papel milimetrado atribuindo valores as variáveis e calculando a área da figura.


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Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos

Observe as seguintes multiplicações:

a) (x + y).(x² - xy + y²) =

x³ - x²y + xy² + x²y + xy² + y³ = x³ + y³

Pela propriedade simétrica das igualdades, podemos escrever:


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x³- y³ = (x – y) . (x² + xy + y²)

b) (x – y). (x² + 2xy + y²) =

x³ + x²y + x²y – xy² - x²y – y³ = x³ - y³

Pela propriedade simétrica das igualdades, podemos escrever:

x³ - y³ = ( x – y) . ( x² + xy + y²)

polinômio Forma fatorada do polinômio

polinômio forma fatorada do polinômio05/26/11 Carmen e João Carlos

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REPRESENTAÇÃO DA SOMA DE DOIS CUBOS


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TRABALHO DE CASA:

No cubo abaixo a medida da aresta é representada pelo binômio (a + b). Obtenha um polinômio que represente o volume desse cubo.

(a +b) (a+b

)(a

+ b

)05/26/11

Carmen e João Carlos

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Resolva o problema:

O consumo de água de Dona Maria Santa é dado pelo binômio (a+1). Sabendo que esse consumo vem representado em m³, responda:

Quantos metros cúbicos de água os professores gastam por mês, se o valor de a= 2?

Sabendo que o m³ de água custa o equivalente a R$ 2,70. Qual foi o valor da fatura referente aos metros cúbicos consumidos?


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EXERCÍCIO 5:

Fatore as somas ou as diferenças de dois cubos e represente no material dourado:

6) (c + k)³=

7) m³ - n³ =

8) x³ - 8 =

9) a³ + 1 =


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CARMEN RIBEIRO COSTA

JOÃO CARLOS MAZZOTI

ACADÊMICOS RESPONSÁVEIS


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ANIMAÇÃO

Leonir Antônio Costa Guilherme Costa Neto


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BIBLIOGRAFIAS

CAVALCANTE, Luiz G.; SOSSO, Juliana; VIEIRA, Fábio; POLI, Ednéia. Para Saber Matemática 2.ed. (manual do professor 7ª série). São Paulo: saraiva 2006.

GIOVANI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANI, José Ruy Jr. A Conquista da Matemática. São Paulo: FDT, 1998.

GUERDJ, Denis. O teorema do papagaio. São Paulo. Companhia das letras, 1999.


59

LEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade 5.ed.: ensino fundamental 7ª série. São Paulo: atual 2005.

MODERNA, Editora. Projeto Araribá, matemática 7ª série (obra coletiva). São Paulo. Moderna, 2006.

MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática, idéias e desafios, 14. ed. SãoPaulo. Saraiva, 2006.


Education

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