1. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgAPOSTILA DEMATEMTICA NOTAS DAS AULAS DO PROFESSOR JOSELIAS Dados do professor Joselias S. da Silva.Joselias Bacharel em Estatstica, formado pela Escola Nacional de CinciasEstatsticas(ENCE). Foi Diretor de Oramentos do Tribunal Regional Federal(TRF-3Regio) e atualmente professor em universidades paulistas e cursinhos preparatriospara concursos pblicos. Livro de sua autoria: autor do livro Matemtica ParaConcursos Pblicos com Teoria e 500 Questes Resolvidas eComentadas-Editora Policon. O livro pode ser adquirido pela Internet naLivrariados Concurseiros atravs dositewww.livrariadosconcurseiros.com.br .Dvidas e convite para aulas podem ser feitas pelo site:www.concurseiros.org ou livraria@livrariadosconcurseiros.com.br oujoselias@uol.com.br. VEJA O HD VIRTUAL NO ENDEREO ABAIXO: http://discovirtual.uol.com.br/disco_virtual/joselias/ApostilasEntre nele e digite a senha joselias .Outro endereo onde voc pode baixar vrios materiais : http://www.concurseiros.org Boa Sorte.Joselias. ESTE MATERIAL APRESENTA AS NOTAS DAS AULAS DE MATEMTICA DO PROFESSOR JOSELIAS. O MATERIAL UM RASCUNHO E EST EM FASE DE REVISO. PROIBIDA A VENDA. NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 1joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org

2. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org CAPTULO 11- NMEROS INTEIROS, FRACIONRIOS E DECIMAIS.1.1- NMEROS NATURAISOs nmeros naturais surgiram quando as primeiras civilizaes comearam a contaros seus rebanhos. Ento, surgiram os nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... representao dos nmeros chamamos de numeral, por exemplo: 19 o numeralrepresentado pelos algarismos 1 e 9.1.1.2- CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS( ) Representaremos o conjunto de todos os nmeros naturais por: = {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,...}1.1.3- NMEROS PARES E NMEROS MPARESChamaremos de nmeros pares aos nmeros mltiplos de 2, isto : 0, 2, 4, 6, 8, 10,12, 14,...Chamaremos de nmeros mpares aos nmeros naturais que no so pares, isto : 1,3, 5, 7, 9,...1.2- NMEROS INTEIROSEstudaremos no ensino fundamental que os nmeros inteiros so: ...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...1.2.1- PROPRIEDADES E OPERAES DOS NMEROS INTEIROSSe a, b e c so nmeros inteiros, ento:I- a+b = b+a e ab = baDizemos ento que a soma e o produto so operaes comutativas.II- a+(b+c) = (a+b)+c e a.(bc) = (ab).cDizemos ento que a soma e o produto so operaes associativas.III- a(b+c) = ab + acDizemos ento que o produto distributivo em relao operao soma.IV- a+0 = a Dizemos que zero o elemento neutro da operao soma.V- a.1 = a Dizemos que um o elemento neutro da operao produto.VI- Para cada inteiro a, existe um inteiro x, tal que x+a = 0. Este valor de x serrepresentado por a, e ser chamado de simtrico ou oposto do nmero a.NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias2 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 3. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgExemplos:-2 simtrico de 2-3 simtrico de 3-2 oposto de 23 simtrico de -33 oposto de -31.2.2- MDULO (OU VALOR ABSOLUTO)O mdulo (ou valor absoluto) de um inteiro no negativo a e de seu oposto a ser oprprio valor inteiro a. Representaremos o mdulo do inteiro a como sendo a . Isto :a, a 0a =a, a < 0Observe que:0 =0 2 = 2 2 =2 3 =3 3 = 31.2.3- CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROSRepresentaremos o conjunto dos nmeros inteiros por: = {..., 4, 3, 2, 1, 0,1, 2,3, 4,...}Teremos ento os seguintes conjuntos derivados do conjunto dos nmeros inteiros: = conjunto dos nmeros inteiros no positivos: = {..., 4, 3, 2, 1, 0}+ = conjunto dos nmeros inteiros no negativos:+ = {0,1, 2,3, 4,...} * = conjunto dos inteiros negativos: = {..., 4, 3, 2, 1}+ = conjunto dos nmeros inteiros positivos:+ = {1, 2,3, 4,...}1.3- MLTIPLOS E DIVISORESSejam a e b nmeros inteiros. Dizemos que a mltiplo de b, se a o produto de bpor um nmero inteiro c.NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias3 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 4. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgExemplos: a) 18 mltiplo de 3, pois 18 = 3 x 6. b) 18 mltiplo de 6, pois 18 = 6 x 3. c) -12 mltiplo de 4, pois -12 = 4 x (-3). d) 0 mltiplo de 5, pois 0 = 5 x 0. Observamos que se a e b so nmeros inteiros tal que a mltiplo de b ou c ( isto a = b . c) ento, b e c so divisores de a. Exemplo:i. 3 divisor de 18. ii. 6 divisor de 18.iii. 4 divisor de -12.iv. -4 divisor de 12. 1.4- NMEROS PRIMOS E NMEROS COMPOSTOS Dizemos que um nmero inteiro n, maior do que um, primo se seus divisores so - 1, 1, -n, n. Nesse caso os nmeros primos sero: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... . Podemos dizer tambm que os nmeros primos so os nmeros inteiros maiores do que um que possuem apenas dois divisores positivos (o nmero 1 e ele mesmo). Os nmeros inteiros maiores do que um que no so primos sero chamados de nmeros compostos.1.5- DIVISIBILIDADE (Critrio de divisibilidade)Vamos verificar os critrios de divisibilidade para alguns nmeros.DIVISIBILIDADE POR 2Um nmero divisvel por 2 quando par ( termina em 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ).Exemplos:: 14, 36, 2658, 3100,...DIVISIBILIDADE POR 3Um nmero divisvel por 3 quando a soma de seus algarismos produz como resultado umnmero mltiplo de 3.Exemplos: a) 42(4+2=6) b) 126(1+2+6=9)DIVISIBILIDADE POR 4Um nmero divisvel por 4 quando os 2 ltimos algarismos formam um nmero divisvelpor 4.Exemplos:a) 3128(28 divisvel por 4)b) 9744(44 divisvel por 4)NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias4 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 5. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org DIVISIBILIDADE POR 5Um nmero divisvel por 5 quando termina em zero ou cinco.Exemplos:a)735b) 950DIVISIBILIDADE POR 6Um nmero divisvel por 6, quando divisvel por 2 e 3, simultaneamente. Portanto, temque ser par e divisvel por 3.Exemplos: a) 138 b) 714DIVISIBILIDADE POR 8Um nmero divisvel por 8 quando os trs ltimos algarismos formam um nmerodivisvel por 8.Exemplos:a) 12240 divisvel por 8, pois 240 divisvel por 8.b) 95.880 divisvel por 8, pois 880 divisvel por 8.DIVISIBILIDADE POR 9Um nmero divisvel por 9, quando a soma dos seus algarismos formam um nmerodivisvel por 9.Exemplos:a) 567 divisvel por 9, pois 5 + 6 + 7 = 18 divisvel por 9.b) 2124 divisvel por 9, pois 2 + 1 + 2 + 4 = 9 divisvel por 9.c) 8793 divisvel por 9, pois 8 + 7 + 9 + 3 = 27 divisvel por 9.DIVISIBILIDADE POR 10Um nmero divisvel por 10 quando termina em 0 (zero).Exemplos:a) 54800 divisvel por 10.b) 71350 divisvel por 10.DIVISIBILIDADE POR 11Um nmero divisvel por 11, quando a diferena entre a soma dos algarismos de ordempar e a soma dos algarismos de ordem mpar divisvel por 11.Exemplos:a) 23639 divisvel por 11, pois, soma dos algarismos de ordem par: 3 + 3 = 6 soma dos algarismos de ordem mpar: 2 + 6 + 9 = 17Diferena: 17 6 = 11 divisvel por 11.b) 919193 divisvel por 11. soma dos algarismos de ordem par: 1 + 1 + 3 = 5 soma dos algarismos de ordem mpar: 9 + 9 + 9 = 27NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias5 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 6. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org Diferena: 27 5 = 22 divisvel por 11.1.6- DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS Todo nmero inteiro, maior que um, pode ser decomposto num produto de dois ou maisfatores primos.Exemplos:a) O nmero 45 pode ser decomposto como 32x51.b) O nmero 72 pode ser decomposto como 23x32.Esperamos que todos os leitores tenham visto no ensino fundamental a seguinte regraprtica para decomposio dos nmeros em fatores primos:Decomposio do 72 em fatores primos.1 Passo: Dividimos o nmero 72 pelo menor divisor primo de 72.2 Passo: Dividimos o quociente obtido no 1 Passo pelo menor divisor primo dessequociente.3 Passo: Continuamos conforme o 2 Passo, considerando os quocientes obtidos no passoanterior at chegarmos ao quociente igual a um, quando poderemos escrever o nmerodecomposto como o produto dos fatores primos obtidos.Exemplos:a) Vamos decompor o nmero 72 em fatores primos:Logo temos: 72 = 23x32.b) Vamos decompor o nmero 40 em fatores primos:Logo temos: 40 = 23x51.1.7- NMEROS FRACIONRIOS E DECIMAISSuponha que temos uma pizza e a dividimos em 5 pedaos iguais.NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias6 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 7. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 12Cada pedao representa (um quinto) da pizza. Isto , 2 pedaos representam dois quintos. 55Portanto quero dizer que uma frao significa uma parcela(ou vrias parcelas) de um todo. Deste amodo representaremos uma frao como , onde a chamado de numerador e b de bdenominador.Exemplos: 1a)frao ordinria 5 2b) frao ordinria 71c)frao decimal 10 9d)frao decimal 1001.8 NMEROS RACIONAISDizemos que um nmero racional se ele pode ser escrito na forma: ptal que p e q * . qIsto quer dizer que um nmero racional se ele p ser escrito como uma frao. Osnmeros que no podem ser representados como um frao sero chamados de Irracionais.Exemplos:4a) 0, 4444... = racional.912b) 0,121212... = racional.99231c) 0, 231231... = racional.999 2d) racional. 7e) 2 irracionalf) irracionalNOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 7 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 8. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgEXERCCIOS PROPOSTOS:01) de 160 vale:a) 120b) 125c) 130d) 135e) 140Resposta: A02) 3/5 de 200 vale:a) 115b) 120c) 125d) 135e) 145Resposta: B03) de 8/9 vale:a) 2/3b) 1/3c) 2/5d) 1/5e) 3/5Resposta: A04) 2/3 de 27/4 vale:a) 7b) 7/2c) 9d) 9/2e) 10Resposta: D05) O valor de x para que 2/5 seja 80 vale:a) 100b) 200c) 220d) 250e) 300Resposta: B06) O valor de x para que seja 600 vale:a) 400b) 500NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 8 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 9. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgc) 600d) 700e) 800Resposta: E07) Transforme em frao:a) 0,11111....=b) 0,22222...=c) 0,33333...=d) 0,44444...=e) 0,66666...=f) 0,121212...=g) 0,232323...=h) 0,451451...=i) 0,721721...=j) 0,233333...=k) 0,455555...=l) 0,344444...=m) 0,54444...=Resposta: a) 1/9; b) 2/9; c) 3/9; d) 4/9; e) 6/9; f) 12/99; g) 23/99; h) 451/999; i) 721/999;j) 23/90; k) 41/90; l) 31/90; m) 49/90.08) A razo entre 0,34444...e 93/45 vale:a) 1/6b) 1/5c) 1d) 5e) 6Resposta: A09) A razo entre 0,2333... e 42/90 vale:a) 1/5b) 1/4c) 1/3d) 1/2e) 1Resposta: D10) Efetue1 2 2 1 4 + 5 25 7 3 31a)1b)1/25c)1/125d)1/225 NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 9joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 10. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orge)1/525Resposta: E11) Efetue: 1 2 2 4 2 + 30 5 3 5a) -1/30b) -2/30c) -2/25d) 2/35e) N.R.A.Resposta: E12) Efetue: 5 2 2 4 1 7 5 3 25 a) 10/3b) 10/7c) 5/3d) 5/7e) N.R.A.Resposta: B13) Efetue: 2 3 7 3 5 3 2 2 4 5 15a) 3/7b) 35/7c) 7/9d) 911e) N.R.A.Resposta: E14) Efetue:[ ( 2 ) ] 7 5 ( 2) 30a) 64b) 32NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 10 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 11. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgc) 16d) 16e) N.R.A.Resposta: E15) A razo entre 0,4555... e 82/45 vale:a) 1b) 1/2c) 1/3d) 1/4e) 1/5Resposta: D16) Efetue: (2) (2)32 324 34a) 30b) 36c) 40d) 44e) 64Resposta: B17) Efetue:( 3) 5 ( 3) 7 ( 3)12 ( 3) 20a) 25b) 36c) 49d) 64e) 81Resposta: E18) Efetue:3 2 42 3 7a) 35/76b) 35/81c) 25/76d) 24/31e) N.R.A.Resposta: A19) Efetue: 1 40 3 1 4 31 1 + + 6 + 2 + 15 35 3 7 14 42 21 NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 11 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 12. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org a)10b)9c)8d)7e) N.R.A.Resposta: A20) Efetue: 1 2 3 1 2 1 + + 1 + 3 5 8 3 5 a)1/6b)2/6c)3/6d)4/6e) N.R.A.Resposta: A21) Efetue: 99 2 1 7 2 3 2 2 + 1 + + 2 10 3 5 20 3 4 3 5 a)10b)9c)8d)7e) N.R.A.Resposta: A22) Efetue: 4 2 3 9 5 2 7 1 2 + + 1 + 2 + 1 7 5 10 11 4 3 9 4a)6b)5c)4d)3e) N.R.A.Resposta: A23)Efetue: 1 2 2 1 4 1 3 + + 3 7 3 7 3 3 7 a)1/5b)2/5c)3/5d)4/5e) N.R.A.Resposta: ANOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias12 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 13. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org24) Efetue: 71 1 1 + + 20 10 5 2 4 3 3 1 5 1 1 2 1 1 + + + 5 4 7 2 4 3 5a)1b)2c)3d)4e) N.R.A.Resposta: A25) Calcule:(0,333...)a) 0,9999...b) 0,6666...c) 0,3333...d) 0,1111...e) n.d.a.Resposta: D26) Qual o valor da expresso?1 3 + 0,333... a)0,111...3 4b) 0,333...c) 0,444...d) 0,555...e) 0,777...Resposta: E27) Os divisores positivos do nmero 72 so:Resposta: {1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72}28) Os divisores positivos do nmero 90 so:Resposta: {1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90}29) O nmero de divisores positivos de 360 :a) 22b) 23c) 24d) 25e) 26Resposta: C30) O nmero de divisores positivos de 72 :a) 12b) 13 NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 13joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 14. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgc) 14d) 15e) 16Resposta: A31) O nmero de divisores positivos possui de 90 :a) 12b) 13c) 14d) 15e) 16Resposta: A1.9- MXIMO DIVISOR COMUM (MDC)Dados dois inteiros a e b, no nulos, chamamos de mximo divisor comum e indicamos porMDC(a,b), ao maior nmero inteiro positivo que divisor comum de a e bsimultaneamente.Exemplos:Sejam os inteiros 30 e 24Ento, temos:Divisores de 30: ...-30, -15 , -10, -6, - 5, -3, -2, -1, 1 , 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.Divisores de 24: ..., 24 , 12 , 8 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24.O mximo divisor comum ser o maior divisor simultneo de 30 e 24.Logo temos; MDC (30 , 24) = 6.Observao: O mximo divisor comum ser o produto dos fatores primos comunselevados aos menores expoentes.Exemplo:Calcule o MDC(132,120)Vamos decompor os nmeros.Logo temos:132 = 22x31x111120 = 23x31x51Ento MDC(132,120) = 22x31MDC(132,120) = 12.1.9.1- NMEROS PRIMOS ENTRE SIDizemos que dois inteiros positivos so primos entre si, quando o MDC entre eles um.NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias14 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 15. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgExemplo:16 e 25 so primos entre si, pois o MDC (16 , 25) = 11.9.2- MNIMO MLTIPLO COMUM (MMC)Dados dois inteiros a e b, no nulos, o mnimo mltiplo comum entre a e b, o menornmero inteiro positivo que mltiplo simultaneamente de a e b, e representamos porMMC(a,b).Exemplo:Calcule o MMC(3,4)Mltiplos de 3: ..., -15, -12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...Mltiplos de 4: ..., -16, -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ...Observamos que o menor nmero inteiro positivo que mltiplo simultneo de 3 e 4 12.MMC (3 , 4) = 12.Observao: O MMC ser o produto de todos os fatores primos elevados aos maioresexpoentes.Teorema:a.bSejam a e b dois nmeros inteiros no nulos. Ento MMC (a, b) =.MDC (a, b)1.9.3- SISTEMA DE NUMERAONosso sistema de numerao o hindu-arbico que consta de dez algarismos (0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9) como smbolos para representar os nmeros. Portanto trabalhamos com osistema decimal e representamos os nmeros na base 10 atravs dos 10 algarismosconhecidos.Exemplos:a) 427 representa 4x102+2x101+7x100b) 5843 representa 5x103+8x102+4x103+3x101De um modo geral poderamos representar um nmero na base 10 com (n+1) algarismospor:(anan-1an-2...a0)10 = anan-1an-2...a0 = 100a0+101a1+102a2+103a3 + ... +10nanExemplos:Conforme o exemplo anterior temos os seguintes nmeros representados na base 10: a)427 = (427)10 = 4x102+2x101+7x100 b) 5843 = (5843)10 = 5x103+8x102+4x103+3x101Sendo assim no sistema de base 5, por exemplo, temos apenas cinco algarismos(0, 1, 2, 3,4). Portanto podemos dizer que:(anan-1an-2...a0)5 = 50a0+51a1+52a2+53a3 + ... +5nane os dez primeiros nmeros naturais positivos escritos na base 5 sero:(1)5, (2)5, (3)5, (4)5, (10)5, (11)5, (12)5, (13)5, (14)5, (20)5NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 15 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 16. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org Podemos pensar ento em uma base genrica b, e teramos neste caso balgarismos(0, 1, 2, 3, ..., b-1) onde um nmero pode ser representado nessa base por:(anan-1an-2...a0)b = b0a0+b1a1+b2a2+b3a3 + ... +bnanExemplos:a) Representar o nmero 151 na base 2.Soluo:(151)10= (10010111)2b) Representar o nmero 221 na base 3.Soluo:(221)10= (22012)3EXERCCIOS PROPOSTOS:32) Calcule o MMC(4,6,10)a) 60b) 54c) 50d) 48e) 44Resposta: A33) Calcule o MMC( 8,12, 15)a) 80b) 120c) 124d) 130e) 136Resposta: B34) Calcule o MMC( 6, 15, 210)a) 60b) 90c) 120d) 210e) 360Resposta: D35) Calcule o MDC(45,108)a) 6b) 8c) 9d) 12e) 15Resposta: C NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias16joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 17. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org36) Calcule o MDC(72, 90,210)a) 6b) 8c) 12d) 15e) 18Resposta: A37) Se a = 2.32.5 e b = 2 .3 .7 , ento o MMC(a,b) :a)180b)6c)18d)630e)N.R.AResposta: D38) Se a = 2m.32 eb = 23.3n e MMC(a, b ) = 2 4.3 3 ento: a) m=4 e n=2 b) m=4 e n=1 c) m=3 e n=4 d) m=4 e n=3 e) m=3 e n=1Resposta: D39) Sabendo-se que A = 2 x.3 2.5 B = 22 x.3.5 2e que o MMC(A,B) possui 45 divisorespositivos, qual o valor de x ?a)1b)2c)3d)4 e)5Resposta: B40) O produto de dois nmeros inteiros e positivos, que no so primos entre si, igual a 825. Ento, o mximo divisor comum desses dois nmeros :a) 1b) 3c) 5d) 11e) 15Resposta: C41) Saem do porto de Santos, navios argentinos de 6 em 6 dias, os do Uruguai de 4 em4 dias. Se num dia sarem dois navios desses pases que tempo demorar a saremjuntos outra vez?NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 17 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 18. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orga) 10 diasb) 11 diasc) 12 diasd) 13 diase) 14 diasResposta: C42) Trs locomotivas apitam em intervalos de 45, 50 e 60 minutos, respectivamente. Secoincidir das trs apitarem juntas numa vez, quantas horas levar para apitaremjuntas novamente?a)15 horasb)16 horasc)17 horasd)18 horase)19 horasResposta: A43) Numa corrida de automveis, o primeiro corredor d uma volta completa na pistaem 10 segundos, o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Quantasvoltas tero dado cada um, respectivamente, at o momento em que passaro juntosna linha de sada?a) 66, 60, 55b) 62, 58, 54c) 60, 55, 50d) 50, 45, 40e) 40, 36, 32Resposta: A44) Pretende-se acomodar 600 cpias do documento A e 750 cpias do documento Bem pastas, de forma que:1)Todas as pastas tenham a mesma quantidade de cpias;2)Cada pasta tenha cpias de um nico documento;3)A quantidade de pastas utilizadas seja a menor possvel.O nmero de cpias colocadas em cada pasta deve ser:a)300b)225c)175d)150e)120Resposta: D45) (FUVEST/91) No alto de uma torre de uma emissora de televiso duas luzespiscam com freqncias diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e asegunda pisca 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscamsimultaneamente, aps quantos segundos elas voltaro a piscar simultaneamente?a) 12NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias18joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 19. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgb) 10c) 20d) 15e) 30Resposta: A46) (FATEC/90) Um certo planeta possui dois satlites naturais: Lua A e Lua B; oplaneta gira em torno do Sol e os satlites em torno do planeta, de forma que osalinhamentos: Sol - planeta - Lua A ocorre a cada 18 anos e Sol - planeta - Lua B ocorre a cada 48 anos. Se hoje ocorrer o alinhamento Sol - planeta - Lua A - Lua B,ento esse fenmeno se repetir daqui a:a) 48 anosb) 66anosc) 96 anosd) 144 anose) 860 anosResposta: D47) (FAAP - Jul/90) O Departamento de Vendas de uma fbrica de automveis,recebendo os pedidos de suas concessionrias, observou o seguinte: Concessionria N de Veculos Regio Norte 2.600 Regio Sul 7.800 Regio Oeste 3.900 A fbrica deseja remeter os pedidos regionais em x lotes iguais, de tal formaque x seja o menor possvel. Calcule x.a) 10b) 11c) 12d) 13e) 14Resposta: B48) Se a b = 1.792 e MDC (a, b) = 8, ento o valor do MMC (a, b) ?a) 180b) 192c) 210d) 224e) 230Resposta: D NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 19joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 20. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 49) A raiz quadrada do produto entre o mximo divisor comum e omnimo mltiplo comum dos nmeros n e 20 30. A razo entre o MDC e o MMC 1/36. Ento, a soma dos nmeros vale:a)30b)45c)65d)70e)75Resposta: C50) Calcule o MMC e o MDC dos nmeros abaixo:a) 24 e 50b) 36 e 90Resposta: a) MMC(24,50) = 600, MDC(24,50) = 2b) MMC(36,90) = 180 e MDC(36,90) = 18 VERIFICAO DE APRENDIZAGEM GERAL DO CAPTULO I(PROBLEMAS MAIS SOFISTICADOS)51) A raiz quadrada do produto entre o mximo divisor comum e o mnimo mltiplocomum dos nmeros n e 15 30. A razo entre o MDC e o MMC 1/4. Ento, a somados nmeros vale:a)30b)45c)65d)70e)75Resposta: E52) Para evitar o uso de dinheiro, um hotel fazenda entregou aos seus hospedes umcolar contendo 3 contas pretas, 5 vermelhas, 8 brancas e 10 azuis. Uma conta brancacorrespondia a 5 azuis ou valia metade do valor da vermelha; a preta valia 5 vezes ovalor da vermelha. Se cada conta azul valia R$ 1,00, pode-se concluir que o valor docolar era:a)R$ 250,00b)R$200,00c)R$180,00d)R$150,00e)R$120,00Resposta: A53) Observe a figura. NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 20joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 21. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgO quadrado maior, cuja medida do lado igual a 4 palitos, dever ser totalmentepreenchido com quadrados menores com medida de lado igual a 1 palito. Para tanto,sero necessrios:a)50 palitosb)45 palitosc)40 palitosd)35 palitose)30 palitosResposta: C54) (Oficial de Promotoria-2001-Vunesp) Uma despesa de restaurante de R$ 54,00seria igualmente dividida entre oito amigos. Na hora de pagar a conta, dois delesestavam sem dinheiro. Por isso, cada um dos outros pagou a parte desses dois no valorde:a)R$ 2,00b) R$ 2,25c) R$ 2,50d)R$ 3,00e) R$ 3,25Resposta: B55) (Oficial de Promotoria-2001-Vunesp) No aougue, Dona Maria teve que pedir de quilo de contra-fil porque no tinha R$ 8,40 necessrios para comprar um quilo.Ela pagou, pelo contra-fil que levou:a)R$ 6,30b)R$ 6,25c)R$ 6,20d)R$ 6,15e)R$ 6,10Resposta: A2156) Em uma indstria, dos trabalhadores so homens e so mulheres. Os 3034restantes so meninos. Quantos so os homens e quantas as mulheres?a) 240 e 90b) 230 e 100c) 220 e 110d) 210 e 120e) 200 e 130Resposta: A NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 21joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 22. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org57) (Vunesp) Certo ms, trs tcnicos protocolaram um total de 1557 documentos,sendo que o primeiro protocolou 609 deles. Se a diferena entre os nmeros dedocumentos protocolados pelos outros dois tcnicos 94, o menor desses dois nmeros:a) 521b) parc) mltiplo de 3d) o triplo de 142e) a tera parte de 1 281Resposta: E58) (Vunesp) Para transportar todos os processos de uma sala para o arquivo mortoforam usadas 297 caixas, cada uma contendo duas dzias e meia de processos. Setodos os processos foram colocados em prateleiras, em pilhas de 45 processos cada, onmero de pilhas que foram obtidas era:a) 198b) 188c) 178d) 168e) 158Resposta: A 3 159) Numa sala de aula, das carteiras individuais esto ocupadas por rapazes, por 8 2moas e 6 carteiras so vazias. Quantas carteiras h nessa classe?a)40b)42c)48d)54e)60Resposta: C60) Dois ciclistas saem juntos no mesmo instante e no mesmo sentido, do mesmoponto de partida de uma pista circular. O primeiro d uma volta em 132 segundos e ooutro em 120 segundos. Calcule os minutos que levaro para se encontrar novamente.a)1.320b)132c)120d)60e)22Resposta: E61) Trs satlites artificiais giram em torno da Terra, em rbita constante. O tempo derotao do primeiro de 42 minutos, o do segundo 72 minutos e o do terceiro 126minutos. Em dado momento eles se alinham no mesmo meridiano, embora emNOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias22 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 23. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org latitudes diferentes. Eles voltaro a passar, em seguida, simultaneamente,pelo meridiano depois de:a) 16 h e 24 minb) 7 h e 48 minc) 140 mind) 126 mine) 8 h e 24 minResposta: E62)(Tacil/Vunesp) A multiplicao de 2a x 5b tem como produto o nmero 400, sendoque a e b so nmeros naturais. A soma de a + b igual a?a)7b)6c)5d)4e)3Resposta: B63) Numa escola, ao longo de um corredor comprido, esto enfileirados 1000armrios, numerados consecutivamente de 1 a 1000, com suas portas fechadas. Milalunos da escola, tambm numerados de 1 a 1000, resolvem fazer a seguintebrincadeira: o aluno nmero 1 passa pelo corredor e abre todos os armrios; emseguida, o aluno nmero 2 passa e fecha todos os armrios de nmero par; depoispassa o aluno nmero 3 e inverte a posio das portas de todos os armrios mltiplosde 3, isto , ele os fecha se estiverem abertos e os abre se estiverem fechados; depois, a vez do aluno nmero 4 que inverte a posio das portas dos armrios mltiplos de4, e assim sucessivamente. Aps a passagem dos 1000 alunos, qual ser o armrio demaior nmero que estar aberto?a) 538b) 655c) 722d) 961e) 1000Resposta: D64) (EN-70)A mdia aritmtica de 50 nmeros 38. Se dois dos nmeros, 45 e 55, sosuprimidos, a mdia aritmtica passa a ser:a) 35,5b) 37c) 37,2d) 37,5e) 37,52Resposta: DNOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 23 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 24. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org65) Uma raposa est adiantada de 60 pulos seus sobre um co que apersegue. Enquanto a raposa d 10 pulos, o co d 8; cada 3 pulos do co valem 5pulos da raposa. Quantos pulos dar o co para alcanar a raposa?a) 120b) 124c) 140d) 144e) 150Resposta: D66) Um capito quer colocar os seus soldados em filas formando um quadrado. Tendocolocado um certo nmero de soldados em cada fila, sobraram 39 soldados; colocandomais um soldado em cada fila ficaram, ento, faltando 50 soldados para completar oquadro. Qual o nmero de soldados do batalho?a) 1900b) 1950c) 1975d) 2000e) 2025Resposta: C67) Uma pessoa percorre 44 km, sendo uma parte com velocidade de 4km/h e o resto a5 km/h. Se tivesse caminhado a 5 km/h durante todo o tempo que caminhou a 4, ereciprocamente, teria percorrido 2km mais no mesmo tempo. Durante quanto tempocaminhou?a) 10 horasb) 11 horasc) 12 horasd) 13 horase) 14 horasResposta: A68) Em 9 horas um correio A percorre 1 km mais do que B em 11 horas; em 10 horasB percorre 5 km mais do que A em 7 horas. Qual a velocidade de cada um?a) Correio A 5km/h e Correio B 4km/hb) Correio A 4km/h e Correio B 5km/hc) Correio A 6km/h e Correio B 4km/hd) Correio A 5km/h e Correio B 3km/he) Correio A 3km/h e Correio B 3km/hResposta: A69) O menor inteiro positivo x para o qual 1260 x = N 3 , onde N um nmero inteiro :a) 1050b) 1260c) 12602 NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 24joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 25. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgd) 7350e) 44100Resposta: D70) Considere trs marcos eqidistantes de uma estrada de rodagem e os trsalgarismos a, b e c. No primeiro marco est gravado o nmero ab; no segundo estgravado o nmero ba, no terceiro o nmero abc. Identifique os nmero gravados nostrs marcos. (ab)(ba) (abc)a) 01, 10, 019b) 12, 21, 112c) 05, 50, 055d) 01, 10, 101e) N.R.A.Resposta: A71) Um veculo faz todos os dias o mesmo percurso com a mesma velocidadeconstante. Um dia ele para exatamente no meio do percurso e a fica durante meiahora, em seguida completa o percurso com velocidade dupla da habitual e chega nodestino 10 minutos adiantado. Qual seu tempo de percurso em dias normais?a) 160 minutosb) 150 minutosc) 140 minutosd) 130 minutose) 120 minutosResposta: A72) Duas barcas partem simultaneamente, uma do Rio e outra de Niteri e suasvelocidades so supostas constantes. Elas completam os percursos em 15 minutos e 20minutos respectivamente. Determine em quantos minutos elas se cruzam.a) 60/7b) 61/7c) 62/7d) 65/7e) 66/7Resposta: A73) ITA/73- Certa liga contm 20% de cobre e 5% de estanho. Quantos quilos decobre e quantos quilos de estanho devem ser adicionados a 100 quilos desta liga para aobteno de outra com 30% de cobre e 10% de estanho?a) 17,5 e 7,5b) 18,5 e 8,5c) 19,2 e 9,2d) 21,5 e 1,5e) 22,5 e 17,5Resposta: A NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias25joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 26. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org74) Determine um nmero de quatro algarismos, da forma a b a b, que somado a 4,resulta num quadrado perfeito.a) 1212b) 7575c) 9191d) 9393e) 9797Resposta: E75) (FCC) A diviso do nmero hexadecimal 168 pelo nmero binrio 100100resultar no nmero decimala)36b)20c)14d)10e)8Resposta: D76) Joo faz um servio 8 vezes mais rpido do que Jos. Trabalharam juntos durante4h. E aps esse tempo, Jos afastou-se e Joo terminou o servio em 2h. Em quantotempo Jos faria o servio sozinho?a) 6,5 hb)6,4 hc) 6,0 hd) 5,5 hd) 5,0hResposta: A77) Duas estradas de iguais dimenses comeam simultaneamente a serem construdaspor 15 operrios cada uma delas. Mas, exclusivamente devido a dificuldades noterreno, percebe-se que enquanto uma turma avanou 2/3 na sua obra, a outraavanou 4/5 da sua. Quantos operrios deve-se retirar de uma e por na outra, paraque as duas obras fiquem prontas ao mesmo tempo?a) 5b) 4c) 3d) 2e) 1Resposta: A CAPTULO 2 2- RAZO E PROPORO NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias26joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 27. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org2.1- RAZESChamamos de razo entre dois nmeros a e b (b # 0) ao quociente de a por b earepresentamos por e dizemos que a est para b )b2.2- RAZO E PROPOROSejam quatro nmeros a, b, c, e d nmeros inteiros e no nulos. Dizemos que a, b, c, ed formam uma proporo se a razo entre a e b igual razo entre c e d e indicaremos aproporo por:a c = e dizemos que a est para b; assim como c est para d.b dObs.: Chamamos tambm a e d de extremos da proporo e b e c de meios da proporo.Alm disso, dizemos que a e c so antecedentes da proporo; b e d so conseqentes daproporo.Exemplo:Na proporo 1, 3, 4, e 12 temos:1 4=e dizemos que 1 est para 3 assim como 4 est para 12.3 12Antecedentes: 1 e 4Conseqentes: 3 e 12Meios: 3 e 4Extremos: 1 e 122.3- PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA PROPOROI - Em toda proporo o produto dos meios igual ao produto dos extremos.Exemplo:a ca) =ento ad = bcb d1 4b) =ento 4x3 = 1x123 12II - Quando somamos (ou subtramos) os antecedentes e os conseqentes a proporo nose altera. Isto :a c a c ac a+cSe = uma proporo, ento: = ==b d b d bd b+dExemplo: a bCalcular a e b na proporo = , sabendo que a+b = 4 4 12Soluo:a b a ba+b4 1Se = uma proporo, ento, = == =4 124 12 4 + 12 16 4a 1Logo: = onde a = 14 4NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 27 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 28. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org b 1e = onde b =312 4 a cma c m a + c + ...mIII - Se= = ... = ento = = ... = = b dnb d n b + d + ...nEXERCCIOS PROPOSTOS78) Um clube tem 1500 scios, dos quais 900 so mulheres. A razo entre o nmero dehomens e o nmero de mulheres :a) 2/ 5b) 3/ 5c) 1 / 3d) 2 / 3e) N.R.A.Resposta: D79) Num concurso pblico concorreram 20 000 candidatos para 400 vagas. A razoentre o nmero de vagas e o nmero de candidatos foi de:a) 1/400b) 1 /200c) 1 /20d) 1 / 50e) N.R.A.Resposta: D80) Se o nmero x o triplo do nmero y, ento qual a razo y: x?a) 1/3b) 2/3c) 5/7d) 2/7e) 3/7Resposta: A x 181) Calcule x:=35 7a) 3b) 5c) 6d) 8e) 9Resposta: Bx 14, 482) Qual o valor de x na proporo= ?5 6 NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 28joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 29. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orga) 12b) 14c) 15d) 16e) 18Resposta: A2x 183) Na proporo= , o valor de x :x+3 4a) 9b) 3c) 2d) 1e) 0Resposta: D a b84) Calcule a e b na proporo= , sabendo que a + b = 45 4 5a) 20 e 25b) 15 e 30c) 10 e 35d) 25 e 20e) 30 e 15Resposta: A a b85) Calcule a e b na proporo= , sabendo que a - b = 14 5 3a) 35 e 21b) 30 e 16c) 32 e 18d) 44 e 30e) 45 e 31Resposta: A86) Cortaram 20kg de carne em dois pedaos, cuja razo de 2/3. O pedao maiorpesa:a)11kgb)12kgc)14kgd)15kge) 16kgResposta: B87) Calcular x,y e z sabendo que 8xy = 5xz = 2yz e x + y + z = 150a) 20, 50, 80 NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias29joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 30. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgb) 10, 60, 80c) 30, 40, 80d) 30, 60, 60e) 50, 50, 50Resposta: A88) A razo entre a minha idade e a idade do meu primo de 2 para 5, e juntos temos42 anos. Ento, tenho:a)16 anosb)14 anosc) 12 anosd)10 anose) 8 anosResposta: C89) Determine dois nmeros cuja soma seja 49 e estejam na razo 2: 5.a) 8 e 41b) 14 e 35c) 15 e 34d) 16 e 33e) 18 e 31Resposta: B 2 a2a90) Dada a proporo= , calcule. 3 b3ba) 2/9b) 4/9c) 5/9d) 3/8e) 5/8Resposta: B2.4- DIVISES PROPORCIONAIS2.4.1- GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAISDuas grandezas sero ditas diretamente proporcionais quando a razo entre os valores quecada uma delas assume sempre constante.Exemplo:Sejam as grandezas X e Y, tais que cada uma delas assume os seguintes valores:X 1, 2, 3.Y 4, 8, 12.Portanto as grandezas X e Y so diretamente proporcionais, pois a razo entre os valoresque elas assumem sempre igual a .2.4.1- GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAISNOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias30 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 31. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgDuas grandezas sero ditas inversamente proporcionais quando o produtoentre os valores que cada uma delas assume sempre constante.Exemplo:Sejam as grandezas X e Y, tais que cada uma delas assume os seguintes valores:X 1, 2, 3.Y 30, 15, 10.Portanto as grandezas X e Y so inversamente proporcionais, pois o produto entre osvalores que elas assumem sempre igual a 30.EXERCCIOS PROPOSTOS91) Dividir o nmero 150 em duas partes diretamente proporcionais a 3 e 7.a) 25 e 125b) 30 e 120c) 35 e 115d) 40 e 110e) 45 e 105Resposta: E92) Dividir o nmero 180 em trs partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4.a) 40, 60 e 80.b) 40,50 e 80.c) 60, 70 e 70.d) 80, 40 e 40.e) 80, 40 e 50.Resposta: A93) Dividir o nmero 150 em trs partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 8.a) 20, 50 e 80b) 30, 40 e 80c) 20, 60 e 70d) 30, 50 e 70e) 30, 60 e 70Resposta: A94) Dividir o nmero 380 em trs partes inversamente proporcionais a 2 , 5 e 4 .a) 80, 125 e 175b) 100, 80 e 200c) 200, 80 e 100d) 80, 130 e 170e) 130, 150 e 170Resposta: C95) Dividir o nmero 160 em duas partes inversamente proporcionais a 3 e 5 .a) 100 e 60b) 60 e 100c) 50 e 30d) 30 e 50 NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 31joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 32. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orge) 150 e 90Resposta: A96) Dividir o nmero 26 em trs partes inversamente proporcionais a 2 , 3 e 4 ,respectivamente.a) 12 , 8 e 6b) 10 , 10 e 6c) 8 , 12 e 6d) 6 , 8 e 12e) 6 , 10 e 12Resposta: A97) (Vunesp)O setor de limpeza de uma empresa prepara um produto utilizandodetergente e gua, nessa ordem, em quantidades diretamente proporcionais a 2 e 7.Se, no preparo desse produto, so usados 72 litros de detergente, ento a diferenapositiva entre as quantidades de gua e de detergente, em litros, igual a:a) 154b) 160c) 168d) 175e) 180Resposta: EInstrues: Para resolver as questes de nmeros 98 e 99, considere o enunciadoabaixo:Um lote de 390 documentos deve ser arquivado por dois tcnicos que trabalham nummesmo setor. Na tabela abaixo tm-se as idades e os tempos de servio desses tcnicos. Idade(anos) Tempo de servio(meses)Rodrigo248Rogrio28598) (Vunesp) Se os dois tcnicos arquivarem todos os documentos, dividindo essaquantidade em partes diretamente proporcionais aos respectivos nmeros de mesesque cada um trabalha no setor, ento o nmero de documentos arquivados por umdeles ser:a) 250b) 240c) 220d) 200e) 180Resposta: B99) (Vunesp) Se a diviso do total de documentos fosse feita em partes inversamenteproporcionais s suas respectivas idades, o nmero que caberia ao mais velho seria:a) 210b) 192 NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias32joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 33. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgc) 180d) 175e) 164Resposta: C2.5- REGRA DE TRS SIMPLES E COMPOSTA2.5.1- REGRA DE TRS SIMPLESOs problemas que envolvem grandezas diretamente ou inversamente proporcionais sochamados de problemas de regra de trs simples.Torcemos para que o leitor tenha conhecimento deste assunto iniciaremos esta seo comum exemplo simples:Exemplo:12 operrios fizeram 30 metros de um muro. Quantos operrios, nas mesmas condies,faro 45 metros do mesmo muro?Soluo:Para obter a soluo do problema devemos primeiramente descobrir quais so as variveisenvolvidas no contexto. fcil observar que as variveis so operrios e metros do muro.Temos ento que: quanto mais (menos) metros de muro tiverem que ser construdos, mais(menos) operrios sero necessrios. Isto quanto mais cresce (ou demente) a varivelmetros do muro mais cresce (ou demente) a varivel operrios. Portanto quanto maior foro muro mais operrios sero necessrios. Sendo assim vemos que as duas variveis tem omesmo sentido. Neste caso, j que possuem o mesmo sentido, fixamos um sentido para avarivel que possui a incgnita (veja a figura), e como possuem o mesmo sentido repetimoso sinal da figura.Operrios Metros de Muro1230x 45Como as variveis possuem o mesmo sentido mantemos a razo:12 30= x 45Agora s resolver30x = 12x45x = 18 operriosExemplo:12 operrios fazem um servio em 40 dias. Em quantos dias 15 operrios faro o mesmoservio?Soluo:Temos que as variveis so Operrios e dias. Quanto mais operrios trabalham menos diassero necessrios para termin-lo. Temos ento que o sentido das variveis oposto.Logoescolha um sentido para cada varivel. OperriosDias 12 40 15 xNOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 33 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 34. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org Como o sentido das variveis oposto invertemos uma das razes 40 15=x 12logo: 15x = 40 x 12x = 32 dias2.5.1- REGRA DE TRS COMPOSTAOs problemas de regra de trs que possuem mais de duas variveis sero chamados deproblemas de regra d trs simples. Iniciaremos ento resolvendo um exerccio.Exemplo:Se 2/3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operrios trabalhando 6 horas por dia, orestante da obra ser feito, agora com 6 operrios, trabalhando 10 horas por dia, em quantosdias?Soluo:Evidente que teremosObserve que: Quanto maior for a obra mais dias sero necessrios. Quanto mais operrios esto trabalhando menos dias sero necessrios. Quanto mais horas por dia trabalharem menos dias sero necessrios.EXERCCIOS PROPOSTOS100) 12 operrios fazem um servio em 20 dias. Em quantos dias 15 operrios faro omesmo servio?a) 9b) 10c) 12d) 15e) 16Resposta: ENOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias34 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 35. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org101) Para proceder auditoria, 6 tcnicos previram sua concluso em 30dias. Tendo sido observado a ausncia de um dos componentes da equipe, o trabalhoagora poder ser executado em:a) 36 diasb) 40 diasc) 35 diasd) 45 diase) 25 diasResposta: A102) Um automvel consome 8 litros de gasolina quando funciona durante 40 minutosseguidos. Se funcionasse durante 3 horas e 20 minutos, quantos litros de gasolinaconsumiria?a) 40b) 60c) 38d) 55e) 72Resposta: A103) 24 operrios fazem 2/5 de determinado servio em 10 dias, trabalhando 7 horaspor dia. Em quantos dias a obra estar terminada, sabendo-se que foram dispensados4 operrios e o regime de trabalho diminudo em uma hora por dia?a) 8b) 11c) 12d) 21e) 18Resposta: D104) Se 2/3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operrios trabalhando 6 horaspor dia, o restante da obra ser feito, agora com 6 operrios, trabalhando 10 horaspor dia em:a) 7 diasb) 6 diasc) 2 diasd) 4 diase) 3 diasResposta: C105) Trabalhando 8 horas por dia, os 2 500 operrios de uma indstriaautomobilstica produzem 500 veculos em 30 dias. Quantos dias sero necessriospara que 1200 operrios produzam 450 veculos, trabalhando 10 horas por dia?a) 45b) 50c) 55d) 60 NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias35joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 36. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orge) 65Resposta: A106) Um alfaiate pode fazer uma roupa em 3 dias, e a sua esposa pode faze-la em 6dias. Trabalhando juntos, em quantos dias faro a mesma roupa?a) 2b) 3c) 4d) 1e) 5Resposta: A107) Um depsito de gua tem capacidade de 360 litros, e tem duas torneiras, ondeuma delas o enche em 15 horas e a outra o esvazia em 20 horas. Abrindo-se as duastorneiras simultaneamente, em quantas horas o depsito ficar cheio?a) 60b) 40c) 30d) 25e) 20Resposta: A108) Uma caixa dgua tem capacidade de 900 litros. Uma torneira a enche em 9horas, e a outra a esvazia em 18 horas. Abrindo-se as duas torneiras simultaneamente,a caixa dgua ficar cheia em:a) 18 horasb) 12 horasc) 6 horasd) 3 horase) 8 horasResposta: A109) Uma caixa dgua com capacidade de 960 litros possui uma tubulao que aenche em 7 horas. Possui um ladro que a esvazia em 12 horas. Com a guajorrando, enchendo a caixa, e o ladro funcionando simultaneamente, em quantotempo a caixa ficar cheia?:a) 16h e 8minb) 14h e 8minc) 16h e 28mind) 16h e 48mine) 14h e 48minResposta: DVERIFICAO DE APRENDIZAGEM GERAL DO CAPTULO II(PROBLEMAS MAIS SOFISTICADOS) NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias36joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 37. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 110) A diferena entre os antecedentes de uma proporo 30, e osconseqentes so 12 e 9 . Determine os antecedentes.a) 120 e 90b) 110 e 100c) 110 e 80d) 100 e 70e) 130 e 110Resposta: A111) Divida 720 em duas parcelas tais que a razo entre elas seja de 0,6.a) 270 e 450b) 280 e 440c) 300 e 420d) 220 e 500e) 320 e 400Resposta: A 2 a 2a112) Dada a proporo= , calcule . 3 b 3ba) 2/9b) 4/9c) 5/9d) 3/8e) 5/8Resposta: B113)Um granjeiro tem rao para alimentar 32 galinhas durante 22 dias. Aps 4 dias,resolve comprar mais 4 galinhas. Quanto tempo duraro as provises se a rao decada galinha no for diminuda?a) 16 diasb) 12 diasc) 15 diasd) 18 diase) 22 diasResposta: A114) Supondo-se que 20 fiscais da CPPSS, trabalhando 8 horas por dia, levam 20 diaspara executar um determinado tipo de fiscalizao, o esperado que o nmero defiscais necessrios para executar a mesma tarefa em 10 dias, trabalhando 10 horaspor dia, seja:a)18b)24c)32d)36e) 40Resposta: C NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias37joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 38. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org115) Uma impressora opera em duas velocidades, podendo imprimir3000 pginas por hora ou 1800 pginas por hora. Se na velocidade mais alta essamquina executou certo servio em 5 horas e 42 minutos, ento em quanto tempo omesmo servio poderia ser executado na velocidade mais baixa?a)8 horas e 18 minutos.b)8 horas e 42 minutos.c)9 horas e 6 minutos.d)9 horas e 30 minutos.e)9 horas e 54 minutos.Resposta: D116) (Votuporanga-TJ/SP) Dividir o nmero 46 em partes diretamente proporcionaisa 5 e 4 e inversamente proporcionais a 2 e 3, respectivamente.a) 30 e 16b) 20 e 26c)25 e 21d) 10 e 36e)15 e 31Resposta: A117) (Escrevente-TJ/SP) Numa grfica, 5 mquinas de mesmo rendimento imprimemum certo nmero de cpias em 8 horas de funcionamento. Se duas delas quebrassem,em quanto tempo de funcionamento as mquinas restantes fariam o mesmo servio?a)4 horas e 8 minutosb)4 horas e 48 minutosc)13 horas e 20 minutosd)13horas e 33minutose)20 horasResposta: C118) Uma mquina produz 900 comprimidos de aspirina em 10 min., enquanto queuma mquina B produz a mesma quantidade e, 15 min.. O tempo gasto para produzirestas 900 aspirinas pela duas mquinas trabalhando conjuntamente :a) 6 min.b) 8 minc) 9 min. e 30 s.d) 11 min.e) 12 min e 30 s.Resposta: A119) Digitando x pginas por dia, Lcia completa um servio em 10 dias. Se digitasse 6pginas a mais por dia, ela faria o mesmo servio em 8 dias. O nmero x est entre:a)8 e 12b)13 e 17c)18 e 21 NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 38joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 39. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgd)22 e 28e)29 e 35Resposta: D120) Uma moeda de 10 centavos de real pesa cerca de 2 gramas. Se o pozinho de 50gramas custa R$ 0,25, quantos quilos destes pezinhos consigo comprar com um quilode moedas de 10 centavos?a)1b)5c)10d)50e)100Resposta: C121) Trinta operrios fazem o reparo de um viaduto em 20 dias trabalhando 8 horaspor dia. O nmero de operrios que seriam necessrios para que a mesma obra fossefeita em 40 dias, trabalhando 6 hora por dia, : (Considere que o ritmo de trabalhodos operrios idntico)a)15b)20c)25d)30e)60Resposta: B CAPTULO 32- SISTEMA MTRICO DECIMAL E NO DECIMAIS NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias39joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 40. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org3.1- MEDIDA DE COMPRIMENTO A unidade padro da medida de comprimento o metro e ser representada por m.Quilmetro Hectmetro Decmetro Metro Decmetro Centmetro MilmetroKm hmdamm dm cm mm1000m 100m 10m1m0,1m 0,01m0,001mExemplos: a) 5,38 m representa quantos decmetros? Soluo: 5,38 m = 53,8 dm (andamos com a vrgula uma posio para a direita).b) 43,8 mm representa quantos metros?Soluo:43,8 mm = 0,0438 m (andamos com a vrgula trs posies para a esquerda).EXERCCIOS PROPOSTOS:122) Complete:a) 2,5 hm = ........................................cmb) 234,5 mm =......................................mc) 0,3457 km = ................................. dmd) 47,3 dam = ......................................mResposta: a) 2,5 hm = 25.000 cmb) 234,5 mm = 0,2345 mc) 0,3457 km = 3457 dmd) 47,3 dam = 473 m3.2- MEDIDA DE SUPERFCIE(REA) A unidade padro da medida de superfcie o metro quadrado e ser representadapor m2.Quilmetro Hectmetro Decmetro Metro Decmetro Centmetro Milmetro quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadradokm2hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2Exemplos: a) 5,38 m2 representa quantos decmetros quadrados? Soluo: 5,38 m2 = 538 dm2 (andamos com a vrgula duas posies para a direita).b) 578 m2 representa quantos hm2?Soluo:578 m2 = 0,0578 hm2(andamos com a vrgula quatro posies para a esquerda).EXERCCIOS PROPOSTOS:123) Complete:a) 4200 m =..................................damNOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias40 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 41. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgb) 437653 m =..............................hmc) 0,37 m =....................................cmd) 0,389 dm =...............................mmResposta: a) 4200 m = 42 damb) 437653 m = 43,7653hmc) 0,37 m = 3700 cmd) 0,389 dm = 3890 mm23.3- MEDIDA DE VOLUMEA unidade padro da medida de volume o metro cbico e ser representada por m3.Quilmetro Hectmetro Decmetro Metro Decmetro Centmetro Milmetrocbico cbico cbicocbicocbicocbicocbico 33 333 3kmhm dammdm cm mm3Exemplos: a) 5,38 m3 representa quantos decmetros cbicos? Soluo: 5,38 m3 = 5380 dm3 (andamos com a vrgula trs posies para a direita).b) 578 m3 representa quantos hm3?Soluo:578 m3 = 0,000578 hm3(andamos com a vrgula seis posies para a esquerda).EXERCCIOS PROPOSTOS:124) Complete:a) 3,21789 hm =..............................................mb) 2,3456789 km =..........................................mc) 0,000345 m =............................................. mmd) 0,0002 dam =..............................................dmResposta: a) 3,21789 hm = 33178980 m b) 2,3456789 km = 2345678900 m c) 0,000345 m = 345000 mm d) 0,0002 dam = 200 dm3.3.1- MEDIDA DE CAPACIDADE(VOLUME)A unidade padro da medida de capacidade o litro e ser representada por L.Quillitro Hectlitro Declitrolitro Declitro Centlitro Millitroklhl dal Ldlclml 1000L 100L10L 1L0,1L 0,01L0,001LExemplos: a) 6,42L representa quantos declitros? Soluo: 6,42L = 64,2dl (andamos com a vrgula uma posio para a direita). NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias41joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 42. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgb) 23,4 ml representa quantos litros?Soluo:23,4ml= 0,0234L (andamos com a vrgula trs posies para a esquerda).Observao:Podemos demonstrar as seguintes relaes: a) 1 dm3 = 1 L b) 1 m3 = 1000 L c) 1 cm3 = 1 mlEXERCCIOS PROPOSTOS125) Complete:a) 2 dm =............................................. Lb) 35 dm =........................................... Lc) 0,35 dm = ........................................dld) 0,347 cm = ....................................mle) 0,34 m = .......................................... Lf) 3,457 m =......................................... Lg) 3,3 L =.......................................... dmh) 4,37 L =........................................ dmi) 2345 L =.......................................... mj) 1000 L = ......................................... mk) 2456789 L=................................ damResposta: a) 2 dm = 2 L b) 35 dm = 35L c) 0,35 dm = 0,35 = 3,5 dl d) 0,347 cm = 0,347 ml e) 0,34 m = 340 L f) 3,457 m = 3457 L g) 3,3 L = 3,3 dm h) 4,37 L = 4,37 dm i) 2345 L = 2,345 m j) 1000 L = 1 mk) 2456789 L= 2,456789 = 2,456789 dam126) Calcule o permetro em metros: 1000dm3,2hm 20dam0,21kma) 830b) 820c) 810 NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 42joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 43. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgd) 800e) 790Resposta: A127) Calcule a rea em metros quadrados:0,002km0,04hma) 1b) 2c) 3d) 4e) 5Resposta: D128) Calcule o volume em metros cbicos:10dm10dm 10dma) 1b) 10c) 100d) 1000e) 10000Resposta: A129) Calcule o volume em metros cbicos: O raio 4 m Altura5ma) 241,2b) 243,5 NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias43joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 44. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgc) 245,1d) 251,2e) 260,0Resposta: D130) Um litro de formol foi acondicionado em um recipiente cilndrico de 20 cm dealtura e 10 cm de dimetro. Assumindo = 3 e volume do cilindro = .r.h, a frao dorecipiente que ficou sem formol :a)1/2b) 1/3c) d) 1/5e)1/6Resposta: B131) (FESP-RJ) Uma carrocinha de refresco comporta 35 litros. Estando a carrocinhatotalmente cheia, a quantidade de copinhos de 350 ml de capacidade (cada um) quepode ser vendida de:a)10.000b)1.000c)500d)150e)100Resposta: E132) (Oficial de Promotoria-2001-Vunesp) Um litro de leite custa R$ 1,20 e um litro degroselha, R$ 2,40. Precisa-se preparar uma mistura com 75% de leite e 25% degroselha. Se for preparada uma quantidade de 60 litros dessa mistura, o seu custoser:a)R$ 75,00b)R$ 80,00c)R$ 85,00d)R$ 90,00e)R$ 95,00Resposta: D133) Um retngulo com 18 m de rea tem comprimento igual ao dobro da largura. Opermetro desse retngulo :a)36mb)21mc)18md)16me)9mResposta: C NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 44joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 45. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org134) Para ladrilhar uma sala retangular, foram gastos 162 ladrilhos. Emuma outra sala, com o dobro da largura e o dobro do comprimento da primeira,seriam gastos um total de ladrilhos igual a:a) 472b)560c)595d)601e)648Resposta: E135) Por ocasio de uma exposio de poesias de cordel, Raimundo pendurou as suaspoesias uma ao lado da outra, sem deixar espao entre as folhas, ocupando toda aextenso do varal. Entretanto, Nonato, um outro poeta, espaou as folhas com suaspoesias regularmente, inclusive deixando o mesmo espao nas extremidades. Se osvarais tm 12,30m de comprimento e cada folha com a poesia ocupa 30cm do varal,Nonato pendurou 7 poesias a menos que Raimundo porque deixou um espaamentoentre as poesias de: a)4cmb)5cmc)6cmd)7cme)8cmResposta: C136) O m de gua tratada custa R$ 1,80 e o m de gua de reuso, R$ 0,30. Se aprefeitura de uma cidade que gasta 1.000.000 de litros de gua tratada para lavarcaladas e aguar gramados pblicos passar a usar gua de reuso para essas tarefas, aeconomia do dinheiro ser de: DADO: 1m= 1000 litros.a) R$ 300,00b) R$ 600,00c) R$ 900,00d) R$ 1.500,00e) R$ 1.800,00Resposta: D137) Numa fotografia area, um trecho retilneo de 20 km aparece medindo 10 cm.Nessa mesma fotografia, uma rea desmatada aparece medindo 18 cm, o querepresenta uma rea real desmatada de :a)52 kmb)58 kmc)66 kmd)72 kme)78 kmResposta: D 3.4- MEDIDA DE MASSAA unidade padro da medida de capacidade o grama e ser representada por g. NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 45joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 46. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgQuilgrama Hectgrama Decagrama Grama Decigrama Centigrama Miligramakg hgdaggdg cg mg1000g 100g 10g1g0,1g0,01g 0,001gExemplos: a) 6,42g representa quantos decigrama? Soluo: 6,42g = 64,2dg (andamos com a vrgula uma posio para a direita). b)23,4 mg representa quantos gramas? Soluo: 23,4mg= 0,0234g (andamos com a vrgula trs posies para a esquerda).138) O preo de um determinado produto vendido a granel R$ 20,00 o quilograma.Se a pesagem do produto for feita sem descontar a massa de 50 gramas da embalagemdescartvel, um consumidor s ir levar um quilograma do produto se pagar:a) R$ 20,40b) R$ 20,50c) R$ 21,00d) R$ 21,40e) R$ 21,50Resposta: C139) Foram fabricados 500 docinhos com os ingredientes A,B,C e D , nas seguintespropores: 1000 gramas de A a R$ 20,00 o Kg; 3000 gramas de B a R$ 15,00 o kg,2000 gramas de C a R4 30,00 o kg e 5000 gramas de D a R$ 10,00 o kg. Para que osdocinhos sejam vendidos com um lucro de 30% cada cento deve custar:a)R$ 35,50b)R$ 45,50c)R$ 55,50d)R$ 65,50e)R$ 75,50Resposta: B 3.5- MEDIDAS AGRRIASSo medidas especiais para expressar reas de terrenos e fazendas. A unidade padro oare e ser representada pelo smbolo a. Teremos ento o hectare(ha) como mltiplo e ocentiare(ca) como submltiplo. Sendo assim podemos apresentar as seguintes relaes:1 are = 100 m2 ( isto , 1 a = 100 m2)1 ha = 100 a ( isto , 1 h = 10000m2)1 ca = 0,01 a (isto , 1 ca = 1m2) 3.6- MEDIDA DE TEMPO1 dia = 24 horasNOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 46 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 47. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org1 hora = 60 minutos1 minuto = 60 segundosO ano comercial possui 360 diasO ano civil possui 365(ou 366 dias)O ms comercial possui 30 dias.O ms civil possui o nmero exato de dias(28, ou 29, ou 30, ou 31)VERIFICAO DE APRENDIZAGEM GERAL DO CAPTULO III(PROBLEMAS MAIS SOFISTICADOS)140) (Oficial de Promotoria-2001-Vunesp) Jair deu a Paulo o mesmo que Paulo jpossua. A, cada um dos dois ficou com R$ 464,00. Ento, antes de dar uma parte aPaulo, Jair possua um total de:a)R$ 676,00b)R$ 682,00c)R$ 686,00d)R$692,00e)R$ 696,00Resposta: E141) De um recipiente cheio de gua tiram-se de seu contedo. Recolocando-se30litros de gua, o contedo passa a ocupar a metade do volume inicial. A capacidadedo recipiente de:a)45 litrosb)75 litrosc)120 litrosd)150 litrose)180 litrosResposta: C142) Um corredor de Frmula I leva 1 minuto e 30 segundos para dar uma volta napista. Se ele diminuir em 10% essa marca, o novo tempo da sua volta ser de:a) 1 minuto e 27 segundosb) 1 minuto e 25 segundosc) 1 minuto e 23 segundosd) 1 minuto e 21 segundose) 1 minuto e 19 segundosResposta: D143) Numa grfica, 5 mquinas de mesmo rendimento imprimem um certo nmero decpias em 8 horas de funcionamento. Se duas delas quebrassem, em quanto tempo defuncionamento as mquinas restantes fariam o mesmo servio?a) 4 horas e 8 minutosb) 4 horas e 48 minutosc) 13 horas e 20 minutosd)13 horas e 33 minutosNOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias47 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 48. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.orge) 20 horasResposta: C144) A companhia de fornecimento de energia eltrica de uma cidade cobramensalmente R$ 0,20 por kwh pelos primeiros 100 kwh consumidos e, R$0,25 porkwh pelo consumo que ultrapassar 100 kwh. Sabendo-se que o valor total de umaconta, em R$, ser calculado multiplicando-se o consumo total de energia em kwh porum fator C determinado segundo as regras de cobrana descritas acima, o valor de Cpara uma conta com consumo total de 250 kwh ser igual a:a) 0,21b) 0,22c) 0,23d)0,24e)0,25Resposta: C145) De uma caixa dgua inicialmente cheia, gastaram-se 3/5 de seu contedo.Colocados mais 150 litros de gua nela, a gua passou a ocupar metade da capacidadeda caixa, que estando cheia comporta:a) 1800 Lb) 1500 Lc) 1200 Ld) 900 Le) 600 LResposta: B146) Dois relgios so acertados s 12 horas. Um relgio adianta exatamente 60segundos por dia e o outro atrasa exatamente 90 segundos por dia. Aps 30 dias, adiferena entre os horrios marcados pelos dois relgios ser de:a) 1h 10minb) 1h 15minc) 1h 20mind) 1h 25mine) 1h 30minResposta: B147) Um escrevente tcnico judicirio produz 25 linhas de texto em 15 min, digitandoa uma velocidade de 100 toques por minuto. Se digitasse com uma velocidade de 150toques por minuto, mantendo a mesma mdia de toques por linha , em duas horasproduziria:a)300 linhasb)280 linhasc)260 linhasd)240 linhase)220 linhasResposta: A NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 48joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 49. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 148) A INDUSTRIALIZAO DO PLANETA A industrializao naslavouras permitiu aumentar a produo de alimentos. Nos ltimos duzentos anos, aindustrializao tomou conta do planeta, modificando profundamente a vida dohomem na terra. A indstria responsvel pela produo de artigos que o ser humanoutiliza como mquinas e ferramentas ou consome como produtos alimentcios.Antigamente s era possvel arar a terra se o lavrador ou seu boi puxassem o arado.Hoje, existem tratores que fazem esse trabalho. No passado viajar dependia do esforode cavalos ou do vento que empurrava as embarcaes. Hoje, trens, carros, avies enavios permitem que se chegue bem mais depressa e com muito menos esforo aqualquer lugar. Com toda a certeza, podemos dizer que a industrializao aumentou obem estar da espcie humana. Nos transportes e comunicaes, a industrializaoaumentou o conforto e o bem-estar. Antigamente eram necessrios 16 bois para arar16 km2 em 16 horas. Hoje um trator ara 16 km2 em 1 hora. Com isso em mente,quantos tratores seriam necessrios para arar 64 km2 em 4 horas?a) Dois tratoresb) Quatro tratoresc) Um tratord) Oito tratorese) Dezesseis tratoresResposta: CCAPTULO 4 4- Trinmio do Segundo Grau4.1- Trinmio do Segundo GrauChamamos de Trinmio do Segundo Grau a funo y = ax2 + bx + c , onde a , b , ec so constantes e a de zero. Os valores de x que tornam a funo igual a zero sochamados de razes do trinmio, e denotaremos por x1 e x2 .Exemplo: Y = x2 5x + 6Temos que os valores de a , b e c so a = 1, b = -5 , c = 6. Observe que se x = 2 ou x= 3, ento y = 0. Logo as razes do trinmio so: x1 = 2 e x2 = 3 Frmula de BhaskaraChamaremos de discriminantes ao valor =b2 4acTemos ento y = ax2 + bx + c b cColocando a em evidncia, temos: y = a x 2 + x + a aNOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias49 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 50. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org Podemos multiplicar e dividir simultaneamente, por 2, o coeficiente de x:bcy = a x2 + 2 x + 2a a b2Vamos somar e subtrair o termo dentro do colchete4a 2b b2 b2 c y = a x2 + 2x+ 2 2 + 2a 4 a 4aa b b 2 4ac 2 y = a x + 2a 4a 2 b 2 y = a x + 2 2 a 4a Igualando a equao a zero, temos: b 2 a x + 2 = 0 2a 4 a 2b x+ 2 =02a 4a 2b x+ = 22a 4a bx+= 2a4a 2b x= 2a 2a b x=2a b b + Isto , as razes do trinmio do 2 grau so: x1 =e x2 =2a2aAs frmulas acima so conhecidas como frmulas de Bhaskara. Temos ento:- se > 0, o trinmio possui duas razes reais e distintas que podem ser calculadas com asb b + frmulas: x1 =e x2 =. 2a 2a NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias50joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 51. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org - se = 0, o trinmio possui duas razes reais e iguais que so calculadas bcom a frmula: x1 = x2 =. 2a- se < 0, o trinmio no possui razes reais.Exemplos:1- Calcule as razes dos trinmios abaixo:a) y = x2 5x + 6x2 5x + 6 = 0a = 1 b = -5 c = 0 = b2 4ac = (-5)2 4 . 1 . 6 = 25 24 = 1 > 0 possui duas razes reais e distintas b ( 5 ) 15 1 x= x= x=2a 2.125 1 4 2 = 2=25 +1 = 6 = 3 2 2x1 = 2 e x2 = 3b) y = x2 8x + 7a = 1 b = -8 c = 7 = b2 4ac = (-8)2 4 . 1 . 7 = 64 28 = 36 > 0 possui duas razes reais e distintas b ( 8 ) 3686x= x= x=2a2.128 6 2 2 = 2 =1 8 + 6 = 14 = 7 22x1 = 1 e x2 = 7c) y = x2 4x + 4a = 1 b = -4 c = 4 = b2 4ac = (-4)2 4 . 1 . 4 = 16 16 = 0 possui duas razes reais e distintasNOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias51 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 52. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgbLogo: = x1 = x22ax1 = x2 = ( 4 ) = 4 = 22.1 2x1 = x2 = 2d) y = x2 + 2x + 2a=1 b=2 c=2 = b2 4ac = 22 4 . 1 . 2 =48 = -4 no possui razes reaise) y = 6x2 + 5x - 1a = 6 b = 5 c = -1 = b2 4ac = 52 4 . 6 . (-1) = 25 + 24 = 49 possui duas razes reais b ( 5 ) 4957x= x= x=2a2.6 12 5 + 7 2 1 12 = 12 = 6 5 7 = 12 = 1 12121x1 = e x2 = -16f) y = 9x2 - 24x + 16 9x2 - 24x + 16 = 0a = 9 b = -24 c = 16 = b2 4ac = (-24)2 4 . 9 . 16 = 576 - 576 = 0 possui duas razes reaisbx1 = x2 =2a(24)x1 = x2 =2.924 4x1 = x2 = =18 3NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias52 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 53. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org4x1 = x2 =32- Um retngulo tem permetro igual a 18 cm e rea igual a 20 cm2. Calcule as dimensesdesse retngulo.xy yxSabemos que o permetro igual soma de todos os lados. Logo: 2x + 2y = 18Dividindo-se a equao por 2, temos: x + y = 9 y = 9 xSabemos que a rea do retngulo igual ao produto da largura pelo comprimento, entotemos:x . y = 20x (9 x) = 209x x2 = 209x x2 20 = 0-x2 + 9x 20 = 0 (-1)x2 - 9x + 20 = 0a = 1 b = -9 c = 20 = b2 4a = (-9) 4 . 1 . 20 = 81 80 = 1 possui duas razes reaisb ( 9 ) 19 1 x= x= x= 2a 2.12 9 + 1 10 2 = 2 =5 9 1 = 8 = 4 2 2Resp. As dimenses so 4 cm e 5 cm3) Determine dois nmeros naturais e consecutivos tal que a soma de seus quadrados igual a 113.Sejam x e x + 1 os nmeros procurados, ento:x2 + (x + 1)2 = 113x2 + x2 + 2x +1 = 1132x2 + 2x + 1 = 1132x2 + 2x + 1 = 113 = 02x2 + 2x - 112 = 0x2 + x - 56 = 0a = 1 b = 1 c = 56 = b2 4ac NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias53joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 54. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org = 12 4 . 1 . (-52) = 1 + 224 = 225 > 0 possui duas razes reais e distintasb 1 225 1 15x= x= x=2a2.1 2 1 + 15 14 2 = 2 =7 1 15 = 16 = 8 22x1 = 7 e x2 = -8 no convmResp. 7 e 84.2 - Soma e Produto das Razes:Seja o trinmio y = ax 2 + bx + c (a 0) . Sejam x1 e x2 as razes do trinmio. Ento asoma e o produto das razes sero:a) Soma (S):bS = x1 + x2 = ab) Produto (P):cP = x1.x2 =aExemplos:Calcular a soma e o produto das razes dos trinmios abaixo:a) y = 3x 2 + 18 x + 36a=3 b = 18 c = 36Soma (S):b18S = x1 + x2 = = = 6a 3Produto (P):c 36P = x1.x2 = == 12a 3b) y = 2 x 2 10 x + 12a=2b = -10c = 12Soma (S): b 10S = x1 + x2 = = =5 a2Produto (P):c 12P = x1.x2 = = = 6 a 2 NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 54joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 55. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 4.3 - Grfico do trinmio do 2grau:Seja o trinmio y = ax 2 + bx + c (a 0) . Sejam x1 e x2 as razes do trinmio. O grfico dotrinmio chamado de parbola, e sua concavidade depende o sinal de a.Chamamos de vrtice da parbola ao ponto cujas coordenadas so:b b xv = , yv = e o vrtice ser ento o ponto V ( , ) .2a4a 2a 4abA reta com a equao x = chamada de eixo de simetria.2a O valor yv = ser o valor mximo ou mnimo do trinmio.4a - Se a > 0 , ento yv = um valor mnimo e a imagem do trinmio ser ( yv , +) .4a - Se a < 0 , ento yv = um valor mximo e a imagem do trinmio ser (, yv ) .4aAssim poderemos ter os seguinte grficos:1) Se a > 0 e > 0 ( Possui um mnimo)2) Se a > 0 e = 0 ( Possui um mnimo)3) Se a > 0 e < 0 ( Possui um mnimo)NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias55 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 56. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org4) Se a < 0 e > 0 ( Possui um mximo)5) Se a < 0 e = 0 ( Possui um mximo)1) Se a < 0 e < 0 ( Possui um mximo)NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias56 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 57. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgExemplos:a) Faa o grfico de y = x 2 5 x + 6SoluoTemos que a = 1 b = -5 c=6 = b 4ac = (5) 4.1.6 = 25 24 = 1 > 0 .2 25 5 11xv = =e yv = = (Valor mnimo da parbola)2.1 2 4.1 45 1O vrtice ser o ponto V ( , ) . O grfico ser:2 4b) Qual o valor mximo do produto de dois nmeros, sabendo-se que a soma igual adez?SoluoSeja x e (10 x) os nmeros. O produto ser y = x(10-x), para os valores de x nos reais.Temos ento:Razes do trinmio: x1 = 0 e x2 = 10 .Vrtice: 0 + 10xv ==52NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 57 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 58. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgPara achar yv basta substituir o valor xv = 5 na equaoy = x(10 x) = 5(10 5) = 25 .Portanto o valor mximo do produto ser 25.Veja o grfico:EXERCCIOS PROPOSTOS149) A equao cujo grfico est inteiramente abaixo do eixo dos x :a) y = 2x2 4x 5b) y = x2 + 4x c) y = x2 10d) y = x2 + 5e) y = 2x2 + 4x 4Resposta: E150) A trajetria da bola, num chute a gol, descreve uma parbola. Supondo que a suaaltura h, em metros, t em segundos aps o chute, seja dada por h = t 2 + 6t ,determine:a)Em que instante a bola atinge a altura mxima?b)Qual a altura mxima atingida pela bola?Resposta: a) 3 segundos; b) 9m151) Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto dado porC = x 2 80 x + 3000 . Nessas condies, calcule:a)A quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mnimo;b)O valor mnimo do custo.Resposta: a) 40 unidades; b) 1400 unidades monetrias152) Aps vrias experincias em laboratrio, observou-se que a concentrao decerto antibitico, no sangue de cobaias, varia de acordo com a funo y = 12 x 2 x 2 ,em que x o tempo decorrido, em horas, aps a ingesto do antibitico. Nessascondies, o tempo necessrio para atingir o nvel mximo de concentrao desseantibitico, no sangue dessas cobaias, :a)3b)5c)6d)12e)15NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias58 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 59. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgResposta: A153) Numa escola, o campo de areia de 21 m2 para as brincadeiras foi aumentado deuma meama quantidade para os lados, passando a ter uma rea de 51 m2. Dado: 210,25 = 14,53,5 m 6mO aumento das dimenses do campo de areia foi de:a)1,5mb)2,0mc)2,5md)3,0me)3,5m3Resposta: C154) Um grupo de pessoas fretou um avio de 150 lugares para uma excurso. Aempresa locadora exigiu que cada pessoa pagasse R$ 600,00 e mais um adicional deR$ 50,00 referente a cada lugar vago. Se esse fretamento rendeu empresa R$ 328050,00, o nmero de pessoas que participou da excurso foi(a) 81(b) 85(c) 90(d) 92(e) 97Resposta: A155) Voc tem uma corda de 80 m de comprimento e vai coloc-la no solo de modo aformar um retngulo, utilizando uma parede j existente. ParedeCorda esticadaxxa) Para que valor de x, a rea do retngulo mxima?b) Qual a mxima rea possvel?Resposta: a) 20m; b) 800m26 -Juros Simples e Porcentagem6.1 - Taxa Percentual e Taxa UnitriaTaxa Percentual a frao cujo denominador igual a 100. Temos ento que frao 25 uma taxa percentual e ser indicada por 25%, logo :100NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 59 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 60. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgx x% = 100Quando efetuamos a diviso do numerador por 100, temos como resultado a taxaunitria. Exemplos:25a)= 25% (taxa percentual) 10025b)= 0,25 (taxa unitria) 1006.2 - PorcentagemCalcular a porcentagem de um nmero significa multiplicar a frao percentual pelonmero. Exemplo: Calcular: 22 600a) de 300 = x 300 == 120 555 25b) 25% de 400 = 25% x 400 =x 400 = 100100Exerccios:156) Um capital foi aplicado por um certo perodo a uma taxa de 4% no perodo,tendo recebido no final do prazo R$ 600,00 de juro. Qual o valor do capitalaplicado?Resposta: R$ 15.000,00157) Um vendedor recebe um salrio fixo de R$ 2.000,00 mais uma comisso de5% das vendas efetuadas. Se num certo ms ele recebeu R$ 6.000,00 (fixo maiscomisso), qual o valor das vendas efetuadas nesse ms?Resposta: R$ 80.000,006.3 - Comparao de Dois Nmerosa A frao representa a porcentagem que o nmero a representa de um nmero b.bExerccios:158) Que porcentagem o nmero 2 representa do nmero 5?Resposta: 40%159) Numa classe com 80 alunos, 28 foram aprovados em matemtica. Qual aporcentagem de aprovados nessa matria? Qual a porcentagem de reprovados?Resposta: 35% e 65% 6.4 - Lucro Sobre o Preo de Venda e Lucro Sobre o Preo de CustoSuponha que um produto seja adquirido pelo valor PC, e seja vendido pelo valorPV. Isto :NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias60 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 61. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org PC = preo de custo do produto PV = preo de venda do produto L = lucro obtido com a venda do produto Ento temos que o lucro obtido com a venda do produto :L = PV PC Sendo assim temos:L PV PCa) Lucro sobre o preo de custo:= . PC PCL PV PCb) Lucro sobre o preo de venda:= . PV PVExerccios:160) Um comerciante comprou um produto por R$ 400,00 e vendeu por R$500,00? Qual foi o lucro sobre o preo de custo?Resposta: 25%161) Um comerciante comprou um produto por R$ 400,00 e vendeu por R$500,00? Qual foi o lucro sobre o preo de venda?Resposta: 20%162) Um produto comprado por R$ 150,00 e vendido por R$ 300,00. Qual foi olucro sobre o preo de custo? Qual foi o lucro sobre o preo de venda?Resposta: 100% e 50%163) Um produto vendido com um lucro de 20% sobre o preo de venda. Qual foio lucro sobre o preo de custo?Resposta: 25% 6.5 - Taxa de Variao Percentual Chamamos de taxa de variao percentual a medida percentual de quanto a varivelaumentou ou diminuiu. Sendo assim, temos: Vant= Valor antigo da varivel. Vnovo = Valor novo da varivel. = Taxa de variao percentualVnovo VantVnovo =ou = 1VantVantExerccios:164) O preo de um produto aumentou de R$ 500,00 para R$ 525,00. Qual foi ataxa de variao percentual do preo?Resposta: 5%NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 61 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 62. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org165) Um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado durante 3 meses, produzindo um montante de R$ 27.350,00. Qual a taxa trimestral dessa aplicao? Resposta: 9,4%6.6 - Fator(ou Coeficiente) de AcumulaoVimos no item anterior que a variao percentual dada por: VnovoV = 1 novo = 1 + Vnovo = Vant [1 + ] VantVant Vnovoe Vant = 1+ O fator ou coeficiente de acumulao denotado por 1 + , o valor que multiplicado pelo valor antigo produz o valor novo. Notamos que para varias taxas de variao percentual consecutiva 1 , 2 , ... n aplicadas sucessivamente obtemos a frmula:Vnovo = Vant (1+ 1)(1+ 2) ... (1+ n) que ser chamado de fator de acumulao total dos n perodos consecutivos. Temos portanto que: = (1+ 1)(1+ 2) ... (1+ n) 1 ser chamada de taxa de variao total dos n perodos consecutivos. Observao: Se 1 = 2 = ... = n = a frmula ser Vnovo = Vant [1+ ]nExerccios:166) Um comerciante comprou um artigo por R$ 200,00 e o vendeu por R$ 250,00.Ento o lucro sobre o preo de custo foi de:a) 15%b) 20%c) 25%d) 28%e) 30%Resposta: C167) Um comerciante comprou um artigo por R$ 200,00 e o vendeu por R$ 250,00.Ento o lucro sobre o preo de venda foi de:a) 15%b) 20%c) 25%d) 28%e) 30%Resposta: B NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias62 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 63. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org168) Um comerciante comprou um produto por R$ 1.500,00, e o revendeu um msdepois por R$ 1.725,00. Qual foi a taxa de variao percentual no ms?Resposta: 15%169) O preo da passagem de nibus no ms de setembro era R$ 1,80, e em outubropassou para R$ 2,00. Qual foi a variao percentual do aumento da passagem?Resposta: 11,11%170) O preo do dlar no ms julho era de R$ 2,45, em agosto passou a ser R$ 1,96.Qual foi a variao percentual no ms?Resposta: -20%171) Uma empresa comprou um item por R$ 560,00 e quer vend-lo com um lucro de30% sobre o preo de venda. Ento o preo de venda desse item ser de:a)R$ 560,00b) R$ 600,00c) R$ 720,00d) R$ 800,00e) R$ 820,00Resposta: D172) Uma firma de compra e venda de carros adquiriu um BMW por R$ 61.200,00 eum MERCEDES por R$ 68.000,00. O lucro obtido na venda do BMW foi de 25%sobre o preo de custo, e o lucro obtido na venda do MERCEDES foi de 15% sobre opreo de venda. Ento o preo de venda de cada um dos veculos foi de:a) R$ 76.500,00 e R$ 80.000,00b) R$ 78.000,00 e R$ 82.000,00c) R$ 79.000,00 e R$ 83.000,00d) R$ 80.000,00 e R$ 82.000,00e) R$ 81.500,00 e R$ 82.000,00Resposta: A173) Uma pessoa deseja ter um lucro de 25% sobre o preo de venda de seus produtos.Qual deve ser aproximadamente, o acrscimo, em porcentagem, que ela deve incluirno preo de custo de seus produtos, para que isso acontea?a)61%b)33%c)49%d)39%e) 30%Resposta: B174) Uma cooperativa compra a produo de pequenos horticultores, revendendo-apara atacadistas com um lucro de 50% em mdia. Estes repassam o produto parafeirantes com um lucro de 50% em mdia. Os feirantes por sua vez, vendem o produtopara o consumidor e lucram, tambm, 50% em mdia. O preo pago pelo consumidortem um acrscimo mdio, em relao ao preo dos horticultores de?NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 63joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 64. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orga)150,0%b)187,0%c)237,5%d)285,5%e)350,0%Resposta: C175) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hbitos alimentares,Alice apresentou sucessivas mudanas em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tiavegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa deum tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Aps, ela visitouuma sobrinha que estava fazendo um rgido regime de emagrecimento.Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice tambm emagreceu, perdendo 25%de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visitaque acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, aps essasvisitas a esses quatro familiares, com relao ao peso imediatamente anterior ao inciodessa seqncia de visitas, ficou:a) exatamente igualb) 5% maiorc) 5% menord) 10% menore) 10% maiorResposta: D176) Um comerciante aumentou o preo de um certo produto em 30%. Como a venda doproduto caiu, o comerciante arrependido, pretende dar um desconto no novo preo demodo a faz-lo voltar ao valor anterior ao aumento. Nesse caso, o comerciante deveanunciar um desconto de, aproximadamente:a)15%;b) 19%;c) 23%;d) 28%;e)30%.Resposta: C177) (VUNESP) A diferena entre o preo de venda anunciado de uma mercadoria e opreo de custo igual a R$ 2.000,00. Se essa mercadoria for vendida com um descontode 10% sobre o preo anunciado, dar ainda um lucro de 20% ao comerciante.Determine seu preo de custo.Resposta: R$ 6.000,00178) Em outubro de determinado ano, o Tribunal Regional do Trabalho concedeu auma certa categoria profissional um aumento salarial de 80%, sobre o salrio de abril,descontadas as antecipaes. Se os trabalhadores receberam um aumento de 20% emsetembro, qual o aumento percentual a ser recebido em outubro, considerando osalrio recebido em setembro? NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias64joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 65. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orga) 66,67%b) 60%c) 50%d) 40%e) 36,66%Resposta: C179) Qual o juro e o montante de uma aplicao de R$ 800,00, durante um ano a taxade juro de 30% a.a.?Resposta: R$ 240,00 e R$ 1.040,00180) Qual o juro e o montante de uma aplicao de R$ 900,00 durante um semestre ataxa de juro de 20% a.s.?Resposta: R$ 180,00 e R$ 1.080,00181) Qual a taxa de juro de uma aplicao anual, sabendo-se que apliquei R$ 100,00 eresgatei R$ 130,00 ?Resposta: 30% a.a.182) Se ganhei um juro de R$ 20,00 em uma aplicao mensal de R$ 50,00, qual ataxa de juro aplicada ?Resposta: 40% a.m.183) Qual o capital que produz um juro de R$ 80,00, durante um ms de aplicao ataxa de 5% a.m. ?Resposta: R$ 1.600,00184) Qual o capital que produz um juro anual de R$ 50,00, a taxa de 25% a.a.?Resposta: R$ 200,00185) Qual a taxa de juro anual que duplica o capital aps um ano ?Resposta: 100% a.a.186) Qual a taxa de juro mensal que triplica o capital aps um ms ?Resposta: 200% a.m.187) Um produto vendido por R$ 120,00 vista ou com uma entrada de 25% e maisum pagamento de R$108,00 aps um ms. Qual a taxa de juro mensal envolvida naoperao?Resposta: 20% a.m.188) Um produto vendido por R$ 125,00 vista ou com uma entrada de 20% e maisum pagamento de R$110,00 aps um ano. Qual a taxa de juro anual envolvida naoperao?Resposta: 10% a.a.189) Calcule a taxa proporcional:a. 2% a.m. = ......... % a.a.b. 3% a.m. =....... % a.a. NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 65joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 66. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgc. 3% a.m. =........ % a.t.d. 4% a.m. =........ % a.t.e. 5% a.m. =....... % a.s.f. 7% a.m. =........ % a.s.g. 3% a.t. =......... % a.a.h. 4% a.t. =......... % a.a.i. 3% a.s. =..........% a.a.j. 5% a.s. =.......... % a.a.k. 48% a.a. =.......% a.m.l. 60% a.a. =......... % a.t.m. 60% a.a.=............. % a.s.Resposta: a. 2% a.m. 24% a.a.b. 3% a.m. 36 % a.a.c. 3% a.m. 9% a.t.d. 4% a.m. 12 % a.t.e. 5% a.m. 30 % a.s.f. 7% a.m. 42 % a.s.g. 3% a.t. 12% a.a.h. 4% a.t. 16% a.a.i. 3% a.s. 6% a.a.j. 5% a.s. 10% a.a.k. 48% a.a. 4% a.m.l. 60% a.a. 15% a.t.m. 60% a.a. 30 % a.s.190) Qual o juros e o montante da aplicao de R$ 500,00, a taxa de juros simples de8% a.m. durante 2 meses?Resposta: R$ 80,00 e R$ 580,00191) Qual os juros e o montante da aplicao de R$ 700,00, a taxa de juros simples de5% a.a., durante 3 anos?Resposta: R$ 105,00 e R$ 805,00192) Qual os juros simples da aplicao de R$ 1.000,00, a taxa de juros simples de10% a.a. durante 2 meses?Resposta: R$ 16,67193) Qual os juros simples da aplicao de R$ 1.000,00, a taxa de juros simples de12% a.a., durante 30 dias?Resposta: R$ 10,00194) Qual os juros exatos da aplicao de R$ 730.000,00 a taxa de juros simples de 5%a.a., durante 20 dias?Resposta: R$ 2.000,00 NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias66joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 67. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org195) Em quanto tempo triplicar um capital aplicado a taxa de jurossimples de 5% a.a.?Resposta: 40 anos196) Calcular a taxa de juros simples aplicada a um capital de R$ 4.000,00, durante 3anos, sabendo-se que se um capital de R$ 10.000,00 fosse aplicado durante o mesmotempo, a taxa de juros simples de 5% a.a., renderia mais R$ 600,00 que o primeiro.Resposta: 7,5% a.a.197) Duas pessoas fizeram aplicaes de dinheiro na mesma data. Uma aplicou R$192.000,00 a taxa de juros simples de 25% a.a. e a outra aplicou R$ 240.000,00 a taxade juros simples de 15% a.a.. Aps quanto tempo os montantes das aplicaes seroiguais?Resposta: 4 anos198) (BACEN) Na capitalizao simples, a taxa mensal que faz duplicar um capital,em 2 meses, valea. 100%b. 50%c. 40%d. 30%e. 10%Resposta: B199) (BACEN) Na capitalizao simples, os juros correspondentes aplicao deR$2.000,00 por 2 meses, taxa de 4% ao ms, a. R$ 320,00b. R$ 2.160,00c. R$ 160,00d. R$ 1.320,00e. R$ 230,00Resposta: C200) (BACEN) O valor de (10%) :a. 0,01b. 0,1c. 100d. 0,001e. 10Resposta: A201) (BANCO DO BRASIL) Uma geladeira vendida vista por R$ 1.000,00 ou emduas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, doismeses aps, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada?a. 6%b. 5%c. 4%d. 3% NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias67joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 68. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orge. 2%Resposta: B202) Uma loja oferece um relgio por R$ 300,00 vista ou 20% do valor a vista, comoentrada, e mais um pagamento de R$ 276,00 aps 06 meses. Qual a taxa anual dejuros simples cobrada?Resposta: 30% a.a.203) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 so aplicados ajuros simples durante o mesmo prazo s taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%,respectivamente. Obtenha a taxa mdia mensal de aplicao destes capitais.a) 2,9%b) 3%c) 3,138%d) 3,25%e) 3,5%Resposta: E204) Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 so aplicados taxa de 4% ao ms, juros simples, durante dois, trs, quatro e seis meses,respectivamente. Obtenha o prazo mdio de aplicao destes capitais.a) quatro mesesb) quatro meses e cinco diasc) trs meses e vinte e dois diasd) dois meses e vinte diase) oito mesesResposta: A205) Uma pessoa aplica 40% de seu capital, na data de hoje, a uma taxa de jurossimples de 30% ao ano, durante 6 meses. Aplica o restante, na mesma data, taxa dejuros compostos de 10% ao trimestre, durante 1 semestre. Sabendo- se que a soma dosmontantes obtidos atravs destas duas operaes igual a R$ 65.230,00, tem-se que ovalor do capital inicial total que esta pessoa possui na data de hoje (A) R$ 50.000,00(B) R$ 52.500,00(C)) R$ 55.000,00(D) R$ 57.500,00(E) R$ 60.000,00Resposta: C206) Um televisor vendido em uma loja onde o comprador pode escolher uma dasseguintes opes:I. R$ 5 000,00, vista sem desconto.II. R$ 1 000,00 de entrada e um pagamento no valor de R$ 4 500,00 em 1 (um) msaps a data da compra.A taxa de juros mensal cobrada pela loja no pagamento da segunda opo, que venceem 1 (um) ms aps a data da compra, deNOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias68joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 69. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org(A) 30%(B) 25%(C) 20%(D) 15%(E)) 12,5%Resposta: E Provas Resolvidas e Comentadas1 - PROVA DE MATEMTICA RESOLVIDA E COMENTADA DO CONCURSO DO TRIBUNAL DE JUSTIA DO ESTADO COMARCA DE SANTOS.1) O grfico I mostra como seria, inicialmente, a distribuio porcentual da verbapublicitria total de uma empresa para 2007, sendo que, somente para a TV aberta, estavamdestinados 9 milhes de reais. Posteriormente, a diretoria reformulou conceitos e estratgiase estabeleceu uma nova distribuio porcentual da verba total conforme mostra o grfico II,sendo que no houve alterao no valor total da verba publicitria inicialmente prevista.NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 69 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 70. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgCom a nova distribuio, a soma dos valores destinados publicidade naInternet e na Tv a cabo superou a soma dos valores inicialmente previstos para esse fim em(A) R$ 1,56 milho. (B) R$ 1,78 milho. (C) R$ 1,95 milho.(D) R$ 2,12 milhes.(E) R$ 2,25 milhes. Soluo:Primeiramente vamos calcular a verba total(x).Se 60% da verba total(x) corresponde a TV aberta (9 milhes) temos:60%x = 9 milhes60% x = 9milhes 60x = 9000000100 9000000 x=0, 6 x = 15milhesDistribuio de verba para TV a cabo e Internet(antes): 1,7%+2,3% = 4%x15 milhes = 0,6milhesDistribuio de verba para TV a cabo e Internet(depois): 11%+6% = 17%x15 milhes =2,55 milhesLogo houve um aumento de 2,55 milhes 0,6 milhes = 1,95 milhes. Opo correta(C) .2) Ricardo participou de uma prova de atletismo e, no final, observou que, do nmero totalde atletas participantes, 1/4 havia terminado a prova na sua frente, e 2/3 haviam chegadodepois dele. Considerando-se que todos os participantes completaram a prova, e quenenhum atleta cruzou a linha de chegada no mesmo tempo que outro, pode-se concluir que,pela ordem de chegada nessa prova, Ricardo foi o(A) 3. colocado.(B) 4. colocado.(C) 5. colocado.(D) 6. colocado.(E) 8. colocado. Soluo:Seja x o nmero de participantes da prova. Ento temos:NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias70 joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 71. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org x 2+1+ x = x 4 3 x 2 x x =1 4 3 12 x 3x 8 x =1 12x =1 12 x = 12 participantesComo 1/4 dos particiantes(3 participantes) haviam terminado a prova na sua frente, temosque ele era o 4 colocado na prova. Opo correta (B).3) Com a proximidade do Natal, uma empresa doou uma determinada quantia para umacreche que abriga um total de 80 crianas. A quantia doada foi dividida para a compra debrinquedos e roupas na razo de 3 para 5, respectivamente. Assim, foram comprados 80brinquedos, sendo bolas para os meninos, por R$ 15,00 cada, e bonecas para as meninas,por R$ 20,00 cada. Sabe-se que cada criana recebeu um brinquedo e que o nmero debolas compradas superou o nmero de bonecas compradas em 20 unidades. Da quantia totalrecebida como doao dessa empresa, a creche reservou para a compra de roupas(A) R$ 2.250,00.(B) R$ 2.000,00.(C) R$ 1.980,00.(D) R$ 1.850,00.(E) R$ 1.350,00.Soluo:Sejam: bl = O nmero de bolas compradas.bn = O nmero de bonecas compradas.Temos que:bl + bn = 80bl = bn + 20Resolvendo o sistema temos bl = 50 bolas e bn = 30 bonecas.A quantia gasta foi:15bl + 20bn = 15x50 + 20x30 = R$ 1350,00Logo:Valordosbrinquedos 3= Valordasroupas 513503 =Valordasroupas 5 1350 x5Valordasroupas =3Valordasroupas = 2250Portanto da quantia total recebida como doao dessa empresa, a creche reservou para acompra de roupas o valor de R$ 2.250,00. Opo correta (A).4) Da quantia total recebida pela venda de um terreno, Joo emprestou 20% para um amigopor um prazo de 8 meses, a uma taxa de juro simples de 18% ao ano, e aplicou o restante,tambm por 8 meses, a uma taxa de juro simples de 27% ao ano. No final, o total recebido NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias 71joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 72. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joseliasjoselias@uol.com.br - www.concurseiros.org de juros, considerando-se emprstimo e aplicao, foi igual a R$ 3.360,00.Pela venda do terreno, Joo recebeu um total de(A) R$ 32.000,00.(B) R$ 30.000,00. (C) R$ 28.000,00.(D) R$ 25.000,00.(E) R$ 20.000,00.Soluo:Seja x a quantia recebida pela venda do terreno.O valor dos juros recebidos ser:18%27%20% x. .8 + 80% x..8 = 3360 12 12 9%20% x.1,5%.8 + 80% x..8 = 33604 9%20% x.1,5%.8 + 80% x..8 = 336040, 024 x + 0,144 x = 33600,168 x = 3360 3360x=0,168x = 20000Logo a quantia recebida pela venda do terreno foi R$ 20.000,00. Opo correta (E).5) A figura mostra uma caixa dgua em forma de um paraleleppedo reto retngulo, commedidas em metros. Aumentando-se em um quinto a medida do comprimento (c), emantendo-se inalterados volume (V) e altura (a), teremos uma nova caixa, cuja largura (b)ser igual aDado: V = a.b.c.(A) 2,9 m.(B) 2,8 m.(C) 2,7 m.(D) 2,5 m.(E) 2,2 m.Soluo:O volume inicial :V = a.b.cV = 2.3.5V = 30m3Aumentando-se em um quinto a medida do comprimento (c), e mantendo-seinalterados volume (V) e altura (a), teremos:c = 6mV = 30m3 a = 2m b=?Logo teremos: NOTAS DE AULAS- Matemtica - Prof. Joselias72joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org 73. NOTAS DE AULAS - Matemtica - Prof. Joselias joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org a.b.c = V 2.b.6 = 30 12b = 3030b=12b = 2,5mPortanto a nova largura ser 2,5 m.Opo correta (E). PROVA RESOLVIDA DE MATEMTICA E LGICA DO MPU-20071) Dado um nmero inteiro e positivo N, chama-se persistncia de N a quantidade deetapas que so necessrias para que, atravs de uma seqncia de operaespreestabelecidas efetuadas a partir de N, seja obtido um nmero de apenas um dgito. Oexemplo seguinte mostra que a persistncia do nmero 7 191 3:Com base na definio e no exemplo dados, correto afirmar que a persistncia do nmero8 464 (A) menor que 4.(B) 4(C) 5(D) 6(E) maior que 6.Soluo8464 768 336 5420 08X4X6X4 7X6X8 3X3X65X42X0Podemos afirmar que a persistncia do nmero 8 464 igual a 5. (Opo correta C).2) Ao longo de uma reunio, da qual participaram o presidente de certa empresa e algunsfuncionrios, foram servidos 28 salgadinhos em uma bandeja. Sabe-se que: todos os participantes da reunio sentaram-se ao redor de uma mesa circular; o primeiro a ser servido dos salgadinhos foi o presidente e, aps ele, sucessivamente,todos os demais tambm o foram, um a um, a partir da direita do presidente; a cada passagem da bandeja, todas as pessoas se serviram, cada qual de um nicosalgadinho; coube ao presidente ser servido do ltimo salgadinho da bandeja.Considerando que as pessoas podem ter comido mais de um salgadinh