1. MISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

2. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISIONAL E TECNOLOGICA

3. INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLO GIA

SUL-RIO-GRANDENSE (IFSUL) - CAMPUS DE PASSO FUNDO

MECÂNICA TÉCNICA

PROF. ALBINO MOURA

DISCIPLINA DE MECÂNICA TÉCNICA CURSO TÉCNICO EM MECÂNICA

INSTITUTO FEDERAL SUL-RIO-GRANDENSE (IFSUL) – CAMPU S PASSO FUNDO 2011

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1. Revisão Trigonométrica

1.1 - Círculo Trigonométrico

– Seno: Projeção da reta no eixo y

– Cosseno: Projeção da reta no eixo x

– Tangente: Prolongamento da reta em um eixo vertical tangencial ao

círculo trigonométrico

1.2 – Triângulo Retângulo

x

y

a

a

ase

n

cos

atg

1-1

1

-1

αα

αcos

sentg =

h

A

hipotenusa

adjacentecateto ==αcosh

B

hipotenusa

opostocatetosen ==α

A

B

adjacentecateto

opostocatetotg ==α

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1.3 - Triângulos Qualquer

- Lei dos Senos

- Lei dos Cossenos

Exercícios

1) Calcule os valores desconhecidos

csen

C

bsen

B

asen

A ==

C A

B

a c

b

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2) Calcule os valores desconhecidos utilizando a Lei dos Senos.

3) Calcule os valores utilizando Lei dos Cossenos.

a)

b)

5

4. Unidades de medidas.

A unidade de medida de extensão é o metro e seus múltiplos e submúltiplos.

mm - 0,001 m - milímetro cm - 0,01 m - centímetro dm - 0,1 m - decímetro m - 1 m - metro dam - 10 m - decâmetro hm - 100 m - hectômetro km - 1000 m - quilômetro

A unidade de medida de área é o metro quadrado e seus múltiplos e submúltiplos:

m² = metro quadrado

A unidade de medida de volume é o metro cúbico e seus múltiplos e submúltiplos:

m³ = metro cúbico

A unidade de massa é o quilograma e seus múltiplos e submúltiplos: mg - 0,001 g - miligrama - 0,000001 kg cg - 0,01 g - centigrama - 0,00001 kg dg - 0,1 g - decigrama - 0,0001 kg g - 1 g - grama - 0,001 kg kg - 1kg - quilograma - 1 kg t - 1000 kg - tonelada - 1000kg

A unidade de força do Sistema Internacional de Medidas (ISO) é o newton:

N – Newton

Porém ainda encontra-se muito utilizada a unidade de força quilograma força:

kgf - quilograma-força 1 kgf = 9,81 N

Prefixos Quando uma quantidade numérica é muito grande ou muito pequena, as

unidades usadas para definir seu tamanho devem ser acompanhadas de um prefixo.

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5. Grandeza Física

- Grandeza física é toda e qualquer grandeza que pode ser medida.

- Medir uma grandeza é compará-la com outra grandeza de mesma espécie

tomada como padrão

Metro: grandeza padrão para medidas de comprimento

Quilograma: grandeza padrão para medidas de massa

Segundo: grandeza padrão para medidas de tempo

5.1 Grandeza Escalar:

- Grandezas perfeitamente definidas por um número (quantidade) e por

um significado físico (unidade)

Ex: Temperatura, pressão, comprimento, tempo

5.2 Grandeza Vetorial:

- Grandezas que, para ficarem perfeitamente definidas, necessitam de

uma orientação, além do número e do significado físico.

Ex: Força

3.2.1 - Vetores:

- Um vetor é uma forma de representar matematicamente entidades

físicas que possuam mais de um aspecto a ser considerado em sua

descrição

- Grandezas vetoriais - Força:

• Intensidade

• Direção

• Sentido

5.2.2 – Força:

- Uma força representa a ação de um corpo sobre o outro. Ela é

caracterizada por:

- Ponto de aplicação

- Intensidade

- Direção

- Sentido

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- A forca e uma grandeza vetorial, e, em homenagem ao fisico Isaac

Newton, sua unidade e o Newton (N).

Unidade: [N]

- Representação: Força sobre o ponto A

Duas forças de mesma intensidade podem ter efeitos opostos se

aplicadas em sentidos diferentes

- Alguns exemplos de força:

a) Força Normal: e a força de reação a um apoio.

b) Tração: Uma corda ou um fio nunca “empurram” um objeto, mas

podem “puxá-lo”. A esta força que ela faz para puxar chamamos

Tração.

c) Peso: E a força com a qual o planeta puxa os corpos em direção ao seu centro.

P = m . g onde:

P = Força Peso em N; m = Massa do corpo em kg g = aceleração da gravidade [ 9,81 m/s² ≈ 10 m/s²]

d) Força de Atrito: E a força que um corpo exerce sobre o outro para se opor ao deslizamento entre eles.

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6. Leis de Newton 1ª Lei de Newton – Princípio da Inércia : Se a soma das forças que

atuam sobre um corpo e nula, então este corpo esta em equilíbrio (ou seja, em repouso, ou em MRU).

Desta Maneira, para saber se um corpo esta em equilíbrio basta ver se o somatório das forças que atuam sobre ele é nula. Matematicamente, escrevemos que, no equilíbrio:

Exemplo: Um corpo com um peso de 100 N esta preso por uma corda. Sabendo-se que este corpo esta em equilíbrio. Para calcular a força de tração na corda, basta utilizar as equações do equilíbrio.

Como não ha forças atuando na direção x, esta condição já foi atendida.

Ha duas forças atuando na direção y, o peso

do corpo e a tração na corda. Logo, a soma das duas deve ser nula. Então:

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2ª Lei de Newton – Princípio Fundamental : Se a soma das forças

que atuam sobre um corpo não e nula, então este corpo esta em movimento acelerado e a força resultante e dada por:

Obs. 1 : Lembrando das propriedades dos vetores, como a massa e sempre positiva, a direção e o sentido da aceleração serão os mesmos da Força Resultante.

Exemplo: Um corpo com massa 20 kg está preso por um fio, que

realiza sobre ele uma tração de 300 N. Determine se este corpo está

subindo e, se estiver, qual sua aceleração. (Use g=10m/s²)

3ª Lei de Newton: Lei da Ação e Reação - Quando um corpo A

exerce uma força FAB no corpo B, este exerce imediatamente uma força FBA em A de mesmo módulo, mesma direção e sentido contrário

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Exercício: Calcular a força de tração em um fio. Sendo que este suporta um corpo de 25 kg. Sabendo-se que este corpo esta em equilíbrio.

7. Decomposição de Forças

5.1- Componentes Cartesianas de uma Força:

- Plano Cartesiano � Vetores Unitários � e

5.2- Decomposição de uma Força

- Observar ângulo � Direção

- Determinação dos eixos perpendiculares

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Obs. 1 – É possível decompor forças em planos inclinados

5.3 - Exercícios:

a) Decomponha nos eixos cartesianos uma força com intensidade de

1000N e que forma um ângulo de 35º com o eixo x.

b) Um homem puxa com força de 300N uma corda fixada a uma

construção como mostra a figura. Quais as componentes horizontais e verticais

da força exercida no ponto A?

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c) A força F = (3,5kN)i + (7,5kN)j é aplicada a um parafuso A. Determine

a intensidade da força e o ângulo que ela forma com a horizontal.

d) Decomponha nos eixos cartesianos as forças demonstradas abaixo:

6. Força Resultante

Quando se tem duas ou mais forças atuando sobre o mesmo corpo ou

ponto material, o mesmo fica sujeito a uma força total ou resultante.

6.1 – Resultantes de Forças que atuam em uma mesma direção

6.2 – Resultante de Forças que atuam em diferentes direções

6.2.1 – Resultante de duas Forças que atuam em dife rentes direções (ângulos entre os vetores conhecido).

- Regra do Paralelogramo - Duas forças em direções e sentidos diversos podem ser compostas pela regra do paralelogramo.

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A partir da extremidade do vetor F1, traça-se um segmento de reta paralelo ao vetor F2. Em seguida, a partir da extremidade do vetor F2, traça-se outro segmento paralelo ao vetor F1. O vetor soma é obtido pela ligação do ponto de origem comum dos vetores ao ponto de intersecção dos segmentos de retas traçados.

O módulo do vetor resultante é dado por:

Obs. 1- Regra do Paralelogramo � β = 90º � Forças perpendiculares

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- Solução Analítica da direção da resultante de 2 forças que

formam entre si um ângulo de 90°

6.2.2 - Resultante de Forças que atuam em diferente s direções

(ângulos entre vetores e planos cartesianos conheci dos).

Ex. Determine a Força Resultante do sistema de forças abaixo.

- O vetor força resultante é obtido pela soma vetorial entre a força

resultante no eixo x e força resultante no eixo y.

- Força resultante no eixo x é a soma de todas as componentes das

forças (que atuam no sistema) no eixo x.

ΣFx = - (F1 . sen40°) + (F2 . cos27°) – (F3 . cos25° ) = - 1,82 kN

ΣFx = 1,82 kN

- Força resultante no eixo y é a soma de todas as componentes das

forças (que atuam no sistema) no eixo y.

ΣFy = - (F1 . cos40°) - (F2 . sen27°) + (F3 . sen25° ) = - 1,43 kN

ΣFx = 1,43 kN

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Solução Geométrica (Soma Vetorial)

- Solução Analítica

Módulo da Força Resultante:

Fr² = (Frx)² + (Fry)² Teorema de Pitágoras

Fr = (1,82)² + (1,43)² = 2,31kN

Ângulo de inclinação do vetor Fr com o eixo x

tg α = Fry/Frx

α = 52°

Exercício

Calcule a resultante dos sistemas de forças abaixo:

16

17

7. Diagrama do Corpo Livre

� Na prática, um problema de engenharia mecânica é tirado de uma situação física real; � Um esquema mostrando as condições físicas do problema é conhecido como diagrama espacial.

7.1 - Diagrama do Corpo Livre

� Grande número de problemas que envolvem estruturas reais pode ser reduzido a problemas referentes ao equilíbrio de um ponto material.

� Isto é feito escolhendo-se um ponto material e esquematizando todas as forças sobre ele exercidas. Tal diagrama é conhecido como diagrama de corpo livre.

Se considerarmos os ângulos β=50° e δ=30° como podemos encontrar os

valores de F1 e F2?

� Por equilíbrio de um ponto material; � Por método do polígono de forças.

7.2 - Equilíbrio de um ponto material – Método das Projeções.

� Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material for zero, este ponto estará em equilíbrio

Σf= 0

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� Forças em diferentes direções � Componentes nas direções x e y de cada força � equilíbrio em cada direção

Σfx = 0 Σfy = 0

Resolução do problema Proposto - Pelo Método de Equilíbrio de um

Ponto Material.

ΣFx = 0 ΣFy = 0 F1.cos 50° - F 2.cos 30° = 0 F 1.sen 50° + F 2.sen 30° - P = 0

Sistema de Equações:

�F1. cos 50° − F2. cos 30° = 0 Eq. 1F1. sen 50° + F2. sen 30° − P = 0 Eq. 2�

Trabalhando com a Eq.1:

F1.cos 50° - F 2.cos 30° = 0

F1 = (F2.cos30°)/(cos 50°) Eq. 1A

Substituir o valor de F1 na Eq. 2

F1.sen 50° + F 2.sen 30° - P = 0

(F2.cos30°)/(cos 50°).sen50° + F 2.sen 30° = 750N

1,0321 F2 + 0,5 F2 = 750N

F2 = 489,52N

Substituir o valor de F2 na Eq.1A

F1 = (F2.cos30°)/(cos 50°)

F1 = (489,52.cos30°)/(cos 50°)

F1 = 659,53N

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7.3 - Método do Polígono de Forças

Para que um sistema de forças concorrentes atuantes em um plano esteja

em equilíbrio, é condição essencial que o polígono de forças formado pela

disposição geométrica destas cargas esteja fechado.

Obs. 1: Para utilizar este método, é preciso que no mínimo três forças

estejam atuando sobre um ponto.

Obs. 2: Aplicação da Lei dos Senos para determinar as forças que estão

em equilíbrio no sistema.

Resolução do problema Proposto - Pelo Método do Polígono de

Forças.

1° Passo – Construir o Polígono de Forças.

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2° Passo – Aplicar a “Lei dos Senos”

P = m.g P = 75 kg . 10 m/s² P = 750N

P . sen 60° = F1 . sen 80° P . sen 40° = F2 . sen 80°

F1 = (750N . sen 60°)/(sen 80°) F2 = (750N . sen 4 0°)/(sen 80°)

F1 = 659,54 N F2 = 489,52 N

Exercícios:

1) Resolver os exercícios abaixo pelo método das proje ções:

a) Na figura, um corpo de 120N de peso encontra-se em equilíbrio, suspenso por um conjunto de três cabos A, B e C. Calcular as trações TA e TB, respectivamente nos cabos A e

b) O corpo representado na figura tem peso 40N. Ele é mantido em equilíbrio por meio

do cabo AB de comprimento 50cm e pela ação da força horizontal F. Sabendo-se que a

distância BC é igual a 30cm, determine a tração no cabo AB e a intensidade da força F.

º40

2

º60

1

º80 sen

F

sen

F

sen

P ==

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c) Um piano deve ser içado pela lateral do prédio conforme figura. Calcule as forças

incógnitas Ta e Tb, em Newtons, sabendo que o piano pesa 150Kg.

d) Determine a tensão nos cabos AB e AD para o equilíbrio do motor de 250kg mostrado

na figura.

f) Determine a força necessária nos cabos AB e AC para suportar o semáforo de 12kg.

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2) Considerando as situações em equilíbrio, calcule as forças indicadas pelo

método Polígono de Forças:

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8. Calculo das Reações nas Estruturas Planas

8.1 - Vínculos Estruturais

Denominamos vínculos ou apoios os elementos de construção que impedem os movimentos de uma estrutura.

Nas estruturas planas, podemos classificá-los em três tipos:

- Vínculo Simples ou Móvel:

Este tipo de vinculo impede o movimento de translação na direção normal ao plano de apoio, fornecendo-nos desta forma, uma única reação (normal ao plano de apoio).

- Vínculo Duplo ou Fixo:

Este tipo de vínculo impede o movimento de translação em duas direções, na direção normal e na direção paralela ao plano de apoio, podendo dessa forma nos fornecer, desde que solicitado, duas reações, sendo que uma para cada plano citado.

- Engastamento:

Este tipo de Vínculo impede a translação em qualquer direção, impedindo

também a rotação do mesmo, através de um contra momento, que bloqueia a

ação do momento de solicitação.

Rx = impede o movimento de translação na

direção “x”.

Ry = impede o movimento de translação na

direção “y”.

M = impede a rotação.

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8.2 - Estrutura

Denomina-se Estrutura o conjunto de elementos de construção, composto com a finalidade de receber e transmitir esforços.

As estruturas planas são classificadas através de sua estaticidade, em três tipos:

- Estruturas Hipoestáticas Número de equações > número de incógnitas

- Estruturas Isostáticas

Número de equações = número de incógnitas

- Estruturas Hiperestáticas

Número de equações < número de incógnitas

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Obs. Para tornar possível a solução destas estruturas, devemos suplementar as equações da estática com as equações de deslocamento, que serão estudadas posteriormente em Resistência dos Materiais.

8.3 - Equações da Estática

Para encontrar as reações nas estruturas usaremos as seguintes Equações da Estática.

Σ F = 0 Σ M = 0

Σ Fx = 0 Σ Fy = 0

8.4 - Momento de uma Força

Define-se como momento de uma força em relação a um ponto qualquer

de referência, como sendo o produto entre a intensidade de carga aplicada e a

respectiva distância em relação ao ponto.

É importante observar que a direção da força e a distância estarão

sempre defasadas 90°.

Momento da força F:

MF= F.C

Momento da Força P:

MP = P.B

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8.5 - Calculo das Reações nas Estruturas Planas

Ex: Determinar as reações nos apoios das vigas conforme mostram as

figuras a seguir.

a)

b)

c)

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Exercícios

1) Determine as reações no apoio da viga representada abaixo:

2) Calcule as reações de apoio das seguintes estruturas:

a)

b)

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3) Qual a força horizontal necessária para mover a alavanca de um comando mecânico, sabendo que o momento mínimo a ser aplicado é de 115Nm.

4) Determinar a intensidade da força F, para que atue no parafuso o torque de 40 Nm.

5) O guindaste da figura foi projetado para 5KN. Determinar a força atuante na haste do cilindro e a reação na articulação A.

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6) Determinar a força que atue no prego, quando uma carga de 80N atua na extremidade A do extrator (pé de cabra), no caso representado na figura dada.

9. Treliças Planas

9.1 - Definição:

Denomina-se treliça plana o conjunto de elementos de construção (barras

redondas, chatas, cantoneiras, perfiladas, I,U, etc), interligados entre si, sob

forma geométrica triangular, através de pinos, soldas, rebites, parafusos, que

visam formar uma estrutura rígida, com a finalidade de receber e ceder

esforços.

A denominação treliça plana deve-se ao fato de todos os elementos do

conjunto pertencerem a um único plano.

A sua utilização na prática é comum em pontes, coberturas, guindastes,

torres, etc.

9.2 - Calculo de Esforços em Treliças Planas:

Para determinar as forças atuantes em uma treliça plana, podemos utilizar

o método dos nós, que é um método analítico utilizando com grande

freqüência.

- Métodos dos Nós:

A resolução de treliça plana, através da utilização do método dos nós,

consiste em verificar o equilíbrio de cada nó da treliça, observando a sequência

enunciada a seguir.

a) O primeiro passo é determinar as reações nos apoios;

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b) Em seguida, identificamos o tipo de solicitação em cada barra (barra

tracionada ou comprimida);

c) Verifica-se o equilíbrio de cada nó da treliça, iniciando sempre os

cálculos pelo nó que tenha o menor número de incógnitas.

Exemplo:

Determinar as Forças atuantes nas barras da treliça dada:

Exercício

1) Determinar as forças normais nas barras da treliça dada:

31

2) Determinar as forças normais nas barras da treliça dada:

3) Determinar as forças normais nas barras do guindaste representado na

figura abaixo:

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BIBLIOGRAFIA

GUIMARÃES, J. E. Apostila de Resistência dos Materiais. Extraído da internet. Acessado em fevereiro de 2011. MELCONIAN, Sarkis. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 18. ed. São Paulo: Érica, 2007.