2006 02-08- apostila de matemtica financeira

Matemática Financeira

NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

1. Juros Simples

Definições:

JURO: remuneração do capital investido

P = PRINCIPAL: Capital aplicado

S = MONTANTE: valor do PRINCIPAL capitalizado durante um período de TEMPO (n)

R = RENDIMENTO: diferença entre o PRINCIPAL e o MONTANTE - R = S - P (1)

FLUXO DE CAIXA: entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo

Representação Gráfica do Fluxo de Caixa:

P

S . (1 + i) n

S . (1 + i) -n

S

Seta para baixo: representa uma aplicação ou investimento, é o que entra no fluxo de caixa.

Seta para cima: pode indicar um montante, valor capitalizado, valor futuro ou valor de resgate. É o que sai no fluxo de caixa

Reta horizontal: representa a escala de tempo

Eng. André Kuhn - M Sc [email protected]

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TAXA DE JURO (i) = é a razão entre rendimento e o principal:

i = R/P então R = P x i (2)

Como R = S - P, então (1) em (2): P x i = S - P,

Colocando P em evidência: S = P.(1 + i) (3)

A taxa de juros pode ser representada de duas formas: Percentual ou Fracional. Sendo que a forma fracional é a que será usada na aplicação das fórmulas.

Ex.: 10% (percentual) = 10/100 = 0,10 (fracional)

Exercícios (extraído do Livro do SAMANEZ):

1) Um capital de $3.000 é aplicado por um ano à taxa de juros de 25% a.a. Calcular o rendimento.

2) Qual a taxa de juros cobrada num financiamento de $1.000 a ser resgatado por $1.600 no final de um ano

3) Qual a taxa de juros que permite transformar uma aplicação de $4.500 em um montante de $8.100 no prazo de um ano

1.1. Rendimento a juros simples

OBS: a capitalização a juros simples só será abordada por questões didáticas, pois os rendimentos são calculados sobre o mesmo principal, não considerando os rendimentos acumulados. Situação que praticamente não ocorre na prática.

Para um único período de tempo aplica-se a fórmula (2) R = P x i

Para n períodos de tempo, o rendimento será calculado com a seguinte fórmula:

R = P x i x n (4)

OBS: o período de tempo da taxa de juros tem que ter a mesma unidade do tempo de aplicação, isto é, se o período é apresentado em meses, a taxa de juros deve ser expressa em meses também.Exemplo: i = 12% a.a. e n = 6 meses => deve-se converter a taxa para a.m.

Cálculo do rendimento em relação ao montante:

(4) em (1) R = S - R/(i x n) => R = (S x i x n)/ (1 + i x n) (5)


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4) Calcular o rendimento obtido aplicando um principal de $12.000 durante 8 meses e 3 dias à taxa de juros simples de 40 % a.a..

5) Aplicando $23.000 à taxa de juros simples de 2,5% a.m. po r 14 dias, qual será o rendimento obtido?

6) Ao aplicar $18.000 pelo prazo de 7 meses, recebemos $4.000 de rendimento. Qual é a taxa anual de juros simples aplicada?

7) Uma aplicação de $5.000 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de $1.200. Qual a taxa de juros simples correspondente a essa aplicação?

8) Um capital, após 4 meses e 18 dias aplicado a juros simples de 12% a.m., transformou-se em $23.000. Qual é o rendimento auferido nessa aplicação?

9) Um título foi resgatado por $3.000. Se a taxa de juros simples aplicada foi de 180% a.a. e o rendimento auferido na operação foi de $1.636,36, quantos meses durou a aplicação nesse título?

1.2. Montante e Principal a juros simples

(4) em (1) => S = P.(1 + i x n) (6)


10) Qual é o investimento necessário para produzir um montante de $8.000 daqui a 3 meses a uma taxa de juros simples de 20% a.m.?

11) Um capital de $1000.000 transformou-se, após 105 dias, em $145.000. Calcule a taxa mensal de juros simples aplicada.

12) Em quantos meses um capital dobra a juros simples de 200% a.a.?13) Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: $2.000 daqui a 3 meses e

$2.500 daqui a 8 meses. Deseja trocar esses débitos por dois outros iguais, um a ser pago daqui a 10 meses e outro a ser pago daqui a 15 meses. Qual será o valor desses pagamentos se a taxa de juros simples for de 10% a.m.?

OBS: Em juros simples, capitais equivalentes em uma determinada data, não serão em outra, pois a data de referência (data focal) influencia no resultado final. (exemplo do exercício 13, caso considere a data focal como "0" ou como "10")


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1.3. Desconto simples

DESCONTO: é o abatimento que o devedor tem direito quando antecipa o pagamento de uma dívida. Ou seja, a diferença entre o valor de resgate (nominal) e o seu valor atual.

O desconto se divide dois tipos: Desconto Racional Simples e Desconto Comercial Simples

- Desconto Racional Simples (Dr) : também chamado "por dentro". A taxa incide sobre o Valor Atual do Título (valor descontado).

Dr = Vr x i x n (7)

Vr = Valor descontado do título (valor atual)i = taxa de desconton = nº de períodos até o vencimento do título

Dr = N - Vr (8)

Onde N = valor nominal do título, ou de resgate

(7) em (8) Dr = (N x i x n)/ (1 + i x n) (9)

- Desconto Comercial Simples (Dc): também chamado "por fora". A taxa incide sobre o Valor do Título

Dc = N x i x n (10)

N = Valor nominal do título (de resgate)i = taxa de desconton = nº de períodos até o vencimento do título

Dc = N - Vc (11)

(10) em (11) Vc = N.(1 - i x n) (12)

- Taxa de Desconto Efetiva: ie : Taxa que, ao ser aplicada sobre o valor descontado, gera um montante igual ao valor nominal, dentro do mesmo período.

Vc.(1 + ie x n) = N (13)


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(12) em (13) ie = i/(1 - i x n) (14)


14) Uma pessoa salda uma duplicata de 5.500 três meses antes de seu vencimento. Se a taxa simples de desconto do título for de 40% a.a., qual será o desconto racional e comercial simples e qual o valor descontado da duplicata? Qual a taxa de desconto efetiva?

OBS: O desconto comercial simples tem aplicação limitada na prática, enquanto o desconto racional praticamente não existe no Brasil. Na maioria das operações são aplicados juros compostos.

2. Juros Compostos

2.1. Montante a juro composto

No regime de juros simples somente o CAPITAL INICIAL rende juros, mas no regime de juros compostos o rendimento é sobre o rendimento acumulado.

Exemplo de juros compostos:

P

S . (1 + i) n

S . (1 + i) -n

S


5


- A juros simples: S = 1.000,00 .[1 + (5 x 0,02)] = $ 1.100,00

- A juros compostos:

1º mês: S1 = 1.000,00 .(1 + 0,02) = 1020,002º mês: S2 = 1.020,00 .(1 + 0,02) = 1040,403º mês: S3 = 1.040,40 .(1 + 0,02) = 1061,2084º mês: S4 = 1061,208 .(1 + 0,02) = 1082,432165º mês: S5 = 1082,43216 .(1 + 0,02) = 1104,0808032 => S = $1.104,08 >$ 1.100,00

OBS: a juros compostos o rendimento sempre será maior que a juros simples. Situação mais vantajosa para quem empresta e menos vantajosa para quem pega emprestado.

Observa-se que no exemplo anterior que o valor poderia ser calculado como:

S = 1.000,00 x (1 + 0,02) x (1 + 0,02) x (1 + 0,02) x (1 + 0,02) x (1 + 0,02) = = 1.000,00 x (1 + 0,02)5 = $1.104,08

Generalizando, a fórmula para juros compostos é: S = P.(1 + i)n (15)

2.2. Principal a juro composto

Para cálculo do Principal, tendo-se o Montante, basta ajustar a fórmula (15):

P = S/ (1 + i)n = S . (1 + i)-n (16)

Sendo assim, o fator (1 + i)n desloca as grandezas para o futuro (fator de valor futuro), e o fator (1 + i)-n desloca as grandezas para o presente (fator de valor presente). Esquematicamente funciona da seguinte forma:

P

S . (1 + i) n

S . (1 + i) -n

S


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15) Qual o montante acumulado em 8 meses, a uma taxa de juros de 10% a.m. no regime de juros compostos, a partir de um principal de $3.500,00?

16) Um capital aplicado durante 6 anos à taxa de juros compostos de 15% a.a. transformou-se em $14.000. Encontrar o capital inicialmente aplicado.

17) Em que prazo um empréstimo de $55.000,00 pode ser quitado por meio de um único pagamento de $110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% a.m.?

18) Uma pessoa abre uma poupança depositando $2.000,00. Daqui a 2 meses a pessoa deve fazer um depósito de $2.500,00 e daqui a 4 meses pretende sacar da poupança $1.300,00. Qual deverá ser o saldo da poupança ao final do 5º mês se a taxa de juros compostos ganha for de 15% a.m.?

19) A que taxa de juros compostos um capital de $13.200,00 transforma-se em $ 35.112,26 se o período de aplicação for de 7 meses?

2.3. Equivalência de capitais a juros compostos

Quando se tem 02 conjuntos capitais, aplicados ou resgatados em datas diferentes, mas ao serem transportados para uma única data focal forem iguais, diz-se que esses dois conjuntos de capitais são EQUIVALENTES.

OBS1: Se dois conjuntos de capital, a juros compostos, forem equivalentes em uma determinada data, serão também equivalentes em qualquer outra data. SEMPRE.

OBS2: Essa equivalência NÃO ocorre a juros simples.


20) Verifique se os dois conjuntos de capitais abaixo são equivalentes (i = 10%):

Montante A Data Montante B Data$ 2.000 1 $ 2.100 1$ 2.200 2 $ 2.000 2$ 2.420 3 $ 2.300 3$ 2.662 4 $ 2.903 4

21) Uma pessoa deve $ 3.000,00 com vencimento em 2 anos e $ 4.500,00 com

vencimento em 6 anos. Pretende pagar seus débitos por meio de um pagamento

único a ser realizado no final de 4 anos. Se a taxa de juros compostos for de 10%

a.a., qual será o valor desse pagamento único?


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22) Uma pessoa dispõe de 2 alternativas no pagamento de uma compra. 1º alternativa:

pagamento à vista de $ 4.800,00; na 2º alternativa: paga-se 20% de entrada e dois

pagamentos mensais iguais. a) Qual o valor destes pagamentos se a taxa de juros

compostos cobrada for de 20% a.m.? Se houver uma 3º alternativa em que o valor à

vista é aumentado em 30% e, deste valor acrescido, 20% forem pagos como entrada

e o saldo em 2 pagamentos mensais iguais, calcular a taxa de juros cobrada no

financiamento.

2.4. Desconto Composto

- Desconto Composto comercial "por fora"

Não é utilizado na prática no Brasil. O valor descontado é dado por:

V = N.(1 - i)n (17)

D = N.[1 - (1 - i)n] (18)

Onde: N = valor nominal ou de resgate do títuloi - taxa de desconton = nº de períodos até o vencimento

- Desconto composto racional "por dentro"

D = N - N/(1 + i)n = N.[(1 + i)n - 1]/(1 + i)n (19)

O valor descontado é o valor de resgate menos o desconto:

V = N - D = N - N.[(1 + i)n - 1]/(1 + i)n = N/(1 + i)n (20)


23) Calcular o valor de desconto composto racional de uma promissória com valor de resgate de $ 35.000,00 a vencer no prazo de 6 meses. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada é de 5% ao mês, qual é o valor descontado da promissória? Se o banco cobra uma taxa de serviço bancário de 2% (sobre o valor de resgate), calcular a taxa de desconto efetivamente paga.


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24) Uma empresa recebe $30.000,00 pelo desconto de uma duplicata com valor de resgate de $36.465,30 e com prazo de vencimento em 4 meses. Qual é a taxa de desconto composto aplicada pelo banco que descontou a duplicata?

3. Taxas de Juros

3.1. Taxa nominal e efetiva

A taxa de juros nominal é quando a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Muito utilizada no mercado, porém deve-se calcular sua taxa efetiva para fins de cálculo, dividindo a taxa nominal pelo número de unidades do período de capitalização.

Exemplo:

24% a.a. capitalizado mensalmente => iefetiva= 24/12 = 2% a.m. = (1 + 0,02)12 -1 = 26,82% a.a.

30% a.m. capitalizado diariamente => iefetiva= 30/30 = 1% a.d = (1 + 0,01)30 -1 = 34,78% a.m.

iefetiva = (1 + inominal/k)k -1, onde k = número de capitalizações (21)


25) Um capital de $2.500,00 é aplicado à taxa nominal de 90% a.a. com capitalização semestral. Qual é o montante após: a) Um ano de aplicação; b) 03 anos de aplicação? Calcular a taxa efetiva anual.

26) Calcular o montante e a taxa efetiva anual ganha por um investimento de $ 20,00 após 02 anos de aplicação, se rendeu juros nominais de 9% a.a. com as seguintes hipóteses de capitalização: a) Anual; b) Semestral; c) Trimestral; d) Diária.

3.2. Capitalização contínua

Quando o número de capitalizações (k) da taxa nominal (i) for muito grande, considera-se k → ∞, logo a fórmula o montante é:

S = lim k→∞ [P.(1 + i/k)k x m

] = P x e i x m

(22)

Onde e = base dos logaritmos naturais = 2,7182818 m = no de períodos de aplicação


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27) Com os dados do exercício 26), mas supondo uma capitalização contínua, qual será o montante ao final de 20 anos.

3.3. Taxas equivalentes

Taxas efetivas equivalentes são aquelas que geram o mesmo montante ao final de um determinado período de investimento, para um mesmo capital inicial.

Ia = taxa de juros anualIs = taxa de juros semestralIt = taxa de juros trimestralIm = taxa de juros mensalId = taxa de juros diária

(1 + Ia)1 = (1 + Is)2 = (1 + It)4 = (1 + Im)12 = (1 + Id)360 (23)


28) Dada a taxa de juros efetiva de 30% a.a., determinar a taxa de juros equivalente mensal.

3.4. Taxa de juros real e aparente

Num ambiente inflacionário, a taxa de juros real considera os efeitos da inflação:

(1 + i) = (1 + ir) x (1 + I) => ir = [(1 + i)/ (1 + I)] - 1 (24)

Onde:

1 = taxa efetiva de juros

ir = taxa realI = taxa de inflação


29) Uma aplicação financeira rende juros nominais de 6% a.a. capitalizados mensalmente. Qual a taxa de juros efetiva anual ganha pela aplicação e qual a taxa de rendimento anual real se a taxa de inflação foi de 5,5% a.a.?


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30) Calcular as taxas nominais: 24% a.a. capitalizadas mensalmente; 48% a.a. capitalizadas semestralmente; 60 % a.a. capitalizadas trimestralmente.

31) Calcular as taxas efetivas anuais do exercício 30).32) Estimar as taxas efetivas anuais equivalentes a uma taxa de 40% a.a. capitalizadas

diária, mensal, trimestral, semestral e anualmente.33) Uma pessoa toma emprestados $ 3.000,00 para devolver $ 3.500,00 daqui a um ano.

Paga a um intermediário uma comissão de 15% sobre o valor emprestado. Estimar a taxa de juros efetiva paga pelo tomador do empréstimo.

34) Uma empresa toma emprestado $ 23.000,00 em um banco. Este empréstimo deve ser devolvido em um único pagamento de $ 28.000,00 no final de 03 meses. O banco exige que o cliente mantenha 10% do valor recebido como saldo médio aplicado em CDB's que pagam juros de 12% a.m.. Calcular a taxa nominal e efetiva paga pela empresa.

35) Um capital aplicado durante 02 anos à taxa nominal aparente de 180% a.a. com capitalização mensal teve um rendimento de $ 15.000,00. Calcular o capital aplicado e a rentabilidade real efetiva se a inflação do período fosse de 2.600%.A que taxa nominal anual capitalizada semestralmente $1.000,00 montarão $ 2.400,00 em 04 anos?

36) Em quantos meses uma aplicação de $ 5.000,00 transforma-se em $ 11.789,75 se a taxa de juros fosse nominal de 120% a.a. capitalizada mensalmente?

37) Um banco cobra juros efetivos de 20% a.a. Quanto cobrará por uma operação de 150 dias?

38) Em 120 dias uma aplicação rendeu uma taxa efetiva de 124%. Calcular as taxas mensal e anual equivalentes.

4. Rendas

4.1. Rendas uniformes

É uma seqüência de pagamentos ou recebimentos iguais, efetuados a intervalos de tempo iguais.

- Fluxo de rendas uniformes postecipadas: vencimentos no final de cada período.

1 2 3 4 5 período

RRRRR

0


11


- Fluxo de rendas uniformes antecipadas: vencimentos no início de cada período.

0 1 2 3 4 período5

R RR R R

- Fluxo de rendas uniformes diferidas: vencimentos com período de carência.

período0 1 2 3 4 5

R R R R R

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período decarência

- No curso as séries de rendas uniformes serão tratadas como séries de rendas uniformes postecipadas, adaptando-se os problemas a esta situação para facilitar o entendimento e evitar a memorização excessiva de fórmulas.

4.2. Valor atual de uma série de rendas uniformes

0 1 32 período

R R R

P

R

n(...)

P = R/(1 +i) + R/(1 +i)2 + R/(1 +i)3 + (...) + R/(1 +i)n = R.[(1 + i)n -1]/[(1 + i)n.i] (25)


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4.3. Perpetuidades

Para um número de pagamentos muito grande, ele pode ser considerado infinito:

=> P = R. lim n→∞ .[(1 + i)n -1]/[(1 + i)n.i] = R/i (26)


39) Um empréstimo será pago em 8 prestações mensais de $ 60.000,00. Se a taxa de juros composta for de 15% a.m., qual será o valor desse empréstimo?

40) Quanto devemos aplicar hoje num investimento, de forma a podermos retirar $100.000,00 no final de todo mês, durante os próximos 20 meses, se a taxa de juros nominal paga pelo investimento for de 120% a.a. capitalizada mensalmente?

41) Um financiamento de $450.000,00 foi contratado a uma taxa de juros de 20% a.m. e deve ser pago em 12 prestações mensais iguais. Qual é o valor dessas prestações?

42) Determinar o valor de cada uma das seis prestações mensais e iguais, que liquidam um débito de $200.000,00, sendo a taxa de juros composta de 18% a.m. para os três primeiros meses e 20% a.m. para os demais.

43) Um financiamento de $20.000,00 deve ser pago em 8 prestações mensais iguais. Se a taxa de juros cobrada pela financeira for de 8% a.m., calcular o valor de uma “comissão de abertura de crédito”, cobrada ao cliente, que permita à empresa financeira auferir uma rentabilidade de 10% a.m. na operação.

44) Uma instituição financeira financia veículos de transporte em 18 prestações mensais de $100.000,00 cada uma. Se o valor do financiamento for de $875.563,00, qual será a taxa de juros mensal cobrada?

45) Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de $1.895.395,00, pagando prestações mensais de $500,00, se a taxa de juros for de 10% a.m.?

46) Qual a taxa de juros anual efetiva à qual foi tomado um financiamento de $300.000,00, que será liquidado em 18 prestações mensais e $37.758,88?

4.4. Taxa de juros exata

O processo de interpolação fornece respostas aproximadas. O valor da taxa de juros pode ser encontrado por métodos numéricos, que são utilizados nas calculadoras financeiras e pelo Excel.


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4.5. Valor futuro ou montante de uma série de rendas uniformes

O valor de cada termo de uma série de rendas uniformes é conhecido e deve-se encontrar o seu valor futuro ou montante (S):

S = R .[(1+i)n – 1]/i (27)


47) Quanto uma pessoa acumularia no fim de 15 meses se depositasse todo final de mês $ 350,00 em uma caderneta de poupança que paga juros de 5% a.m.?

48) Um financiamento de $12.000,00 será pago em 15 prestações mensais iguais. Se a taxa de juros for de 10% a.m., calcular o valor das prestações e o montante respectivo.

49) No exercício anterior, se as prestações fossem pagas antecipadamente (no início de cada mês), qual seria o seu valor e o montante no final do 14o mês correspondente a essas prestações?

50) Uma pessoa deve pagar pela compra de um eletrodoméstico, nos próximos 4 meses, prestações de $80,00 e, a partir do quinto mês, mais 3 prestações de $60,00. A loja oferece trocar esse esquema de pagamento por outro em que o cliente faria um único pagamento no final do 5o mês. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for de 6% a.m., qual será o valor desse pagamento único?


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0 421 3 n período

RRR R

S

R

...

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