Formulaciones variacionales y métodos variacionales

Formulaciones variacionales y métodos variacionales

FCC BUAPLuis Alfredo Moctezuma

10/3/2016 1Formulaciones|métodos variacionales

Introducción• Formulaciones integrales y métodos variacionales

comunmente usados– Ritz– Galerkin– Colocación– Mínimos cuadrados

10/3/2016 Formulaciones|métodos variacionales

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IntroducciónHay dos pasos básicos en la solución variacional de una ecuación diferencial:

1. Poner la ecuación diferencial en forma variacional2. Determinar la solución aproximada usando un método

variacional como Ritz, Galerkin u otros métodos


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Introducción• Forma débil o formulación variacional:

– Es una forma alternativa en que las ecuaciones diferenciales se escriben en forma integral

– Dan lugar a ecuaciones tratables mediante los métodos de álgebra lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita o espacio funcional

Disminuir r(r=y"- f ) al mínimo forzandola a ser ortogonal a las funciones de base

ó

para cada 0 ≤ i≤ n+1


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IntroducciónEn un método variacional, la variable dependiente de un problema, es aproximada mediante una combinación lineal de funciones apropiadamente escogidas:

• Los parámetros cj son determinados de manera tal que la función u minimice un funcional I(u)( o que u satisfaga la formulación débil)


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Introducción• Estudio de la flexión elástica de vigas

– w denota la deflexión transversal de la viga(variable dependiente )– L, denota la longitud total– b(x) > 0 es la rigidez flexural (módulo de elasticidad y momento de

inercia) de la viga – f(x) es la distribución de la carga transversal– M0 el momento de flexión.

• Consideremos el problema de encontrar la solución w de la ecuación diferencial

2.1

sujeto a las condiciones de frontera

2.2


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Introducción• Cuando b(x) y f(x) son funciones continuas en (0, L),

se dice que los datos son suaves, entonces la solución del problema, w, existe y sat is face la ecuación diferencial en cada punto x ∈ (0, L), así como las condiciones de frontera

• El caso en que b y f son constantes distintas de cero. Entonces, la solución exacta de (2.1) que satisface las condiciones de frontera está dada por:


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Introducción• La solución w y sus derivadas hasta de cuarto orden,

están bien definidas en cada punto del dominio (0, L)

• En la práctica, los datos dados de un problema no son suaves (no son continuos en cualquier parte del dominio)– Por ejemplo, la rigidez flexural puede ser discontinua (en el caso

de una viga hecha de materiales disímiles, por ejemplo), o la carga transversal f puede ser discontinua


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Introducción• Supongamos que

f(x) = f0H(a − x)y b(x) es continua. Aquí, H(a − x) denota la función de Heaviside

En este caso, la cuarta derivada de la solución (w) no existeen x = a


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Introducción• La solución exacta w de la ecuación (2.1) no existe

en el sentido clásico (w debe satisfacer la ecuación diferencial (2.1) en todos los puntos del dominio)

• Multiplicando (2.1) por una función v, llamada función prueba, que sea dos veces diferenciable y que satisfaga las condiciones


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Introducción• Integrando el primer término por partes y usando las

condiciones de frontera (2.2), obtenemos la forma variacional

Este funcional representa la energía potencial total de la viga10/3/2016 Formulaciones|métodos

variacionales11

Notación• Una función de varias variables se dice que es de clase

Cm(Ω) en un dominio Ω si todas sus derivadas parciales, hasta las de orden m existen y son continuas en el dominio Ω


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Problemas de valor de frontera

• Una ecuación diferencial se dice que describe un problema de valor de frontera si la variable dependiente y posiblemente sus derivadas requieran tomar valores dados en la frontera

• Un problema de valor inicial es aquel en el cual la variable dependiente y posiblemente sus derivadas son dadas inicialmente (en t=0)

• Por lo general, los problemas de valores iniciales son problemas dependientes del tiempo


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• Ejemplo de un problema con condiciones a la frontera

• Ejemplo de un problema con condiciones iniciales

• Ejemplo de un problema con condiciones iniciales y de frontera

Las ecuaciones diferenciales en las cuales el lado derecho f es cero son llamadas ecuaciones diferenciales homogéneas


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Problemas de valor de frontera• El problema de determinar los valores de λ tales que

es un problema de valores propios o eigenvalores asociado con la ecuación diferencial (2.10). Los valores de λ son llamados valores propios


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• Solución exacta de una ecuación diferencial es la función que satisface identicamente a la ecuación diferencial y las condiciones de frontera

• Solución variacional de una ecuación diferencial es la solución de un problema variacional asociado– La solución variacional no es suficientemente diferenciable para

satisfacer la ecuación diferencial, pero es lo suficientemente diferenciable para satisfacer la ecuación variacional equivalente a la ecuación diferencial


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Teoremas de la divergencia y del gradiente

• La integración por partes es usada frecuentemente en la formulación variacional de ecuaciones diferenciales– En el caso bidimensional, la integración por partes es mejor

conocida como los teoremas de la divergencia y del gradiente

• Sean f, g funciones suficientemente diferenciables. Entonces, integrando por partes se tiene:


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• Donde c(x) es una función de clase C2(a, b)• Sea ∇ y ∇2 el operador gradiente y laplaciano en el

espacio tridimensional• Si F(x,y,z) y G(x,y,z) son funciones de clase C1(Ω) los

siguientes se cumplen:


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• Teorema del gradiente

Teorema de la Divergencia

El · denota el producto escalar de vectores, n es el vectorunitario normal a la superficie Γ del dominio Ω, nx, ny, nz(Gx, Gy, Gz) son las componentes rectangulares de n(G).


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• Además nx = cos(x, ñ), , ny = cos(y, ñ), nz = cos(z, ñ), donde cos(x, ñ) es el coseno del ángulo entre la dirección positiva del eje x y el vector unitario ñ.


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FuncionalesFuncionales• Es una función de funciones• Es un operador I que mapea u a un escalar I(u)• Consideraremos expresiones de la forma

El valor I(u) de la integral depende de uPara un u dado, I(u) representa un valor escalar


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Funcionales• El conjunto de todas las funciones u(x) para las cuales

I(u) tiene sentido, es el espacio dominio del funcional

• El conjunto de imágenes de todas las funciones u bajo el mapeo l es el rango del funcional I(u)


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Funcionales• Un funcional I(u) se dice que es lineal en u sí y sólo sí,

satisface la relación

Para cualesquiera escalares α, β y variables dependientes u, v• Un funcional B(u, v) se dice bilineal si es lineal en cada

uno de sus argumentos u, v

– Un ejemplo de forma lineal está dado por:

– Un ejemplo de forma bilineal es:


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Formulación variacional de problemas con valores a la frontera

• Los métodos varicionales de aproximación están basados en la formulación variacional o débil de problemas físicos

• Las formulaciones variacionales facilitan, la clasificación de las condiciones de frontera– Naturales– Esenciales


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• Supongamos que se necesita encontrar la forma variacional o débil de la siguiente ecuación diferencial en dos dimensiones

sujeta a las siguientes condiciones de frontera

Donde F=F(x, y, u, ux, uy), Γ1, Γ2 porciones disjuntas, con Γ= Γ1 + Γ2, nx, ny son los cosenos direccionales del vector unitario normal a la frontera


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Pasos para la formulación• El primer paso consiste en multiplicar la ecuación (con todos los

términos de un lado de la igualdad) por una función prueba v e integrar el producto sobre el dominio del problema:

– La función de prueba v, que puede pensarse como una variación en u, se supone debe satisfacer la forma homogénea de la segunda condición de frontera de la ecuación

– v es una función continua arbitraria


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• El segundo paso consiste en transferir la diferenciación de la variable dependiente u a la función prueba v, e identificar el tipo de condiciones de frontera que pueda admitir la forma variacional

– Es deseable transferir la diferenciación parcial con respecto a x y a y a v de manera que la expresión resultante contenga derivadas sólo de primer orden en u y v

– El propósito de transferir la diferenciación de u a v es igualar los requerimientos de continuidad de u y v


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• contiene uy y posiblemente productos de u, ux, y uy

• En el proceso de transferir la diferenciación se obtienen términos de frontera que determinan la naturaleza de las condiciones de frontera de la solución


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• Como regla general, especificar coeficientes de v y sus derivadas en la integral de frontera constituye la condición de frontera natural. Entonces,

es la condición de frontera natural para nuestra ecuación

• La especificación de la variable dependiente u en la misma forma que la función arbitraria v en la integral de frontera constituyen las condiciones de frontera esenciales


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• En vista de la clasificación anterior de las condiciones de frontera, podemos reformular las condiciones para la función prueba– La función prueba debe ser diferenciable, como lo requiere y

satisfacer la forma homogénea de las condiciones de frontera esenciales dadas

• Las variables involucradas en las condiciones de frontera– Esenciales: se identificarán como variables primarias– Naturales: se identificarán como variables secundarias– Las variables primarias son continuas, mientras que las

secundarias pueden ser discontinuas en un problema


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• El tercer paso consiste en simplificar los términos de frontera con ayuda de las condiciones de frontera especificadas e identificar el funcional cuadrático asociado, si existe:

• Se obtiene de (2.9) separando los términos de frontera en dos términos, uno sobre Γ1 y otro sobre Γ2 , y sustituyendo la condición de frontera natural en el primer término


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• El segundo término desaparece por el hecho de que v=0 en Γ2. Tenemos entonces

Las formas lineal y bilineal asociadas con la foma débil están dada por expresiones que involucran u y v y v sóla, respectivamente


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Resumen:1. Multiplicar la ecuación por una función prueba v e integrar sobre el

dominio del problema

2. Transferir la diferenciación de la variable dependiente u a la función prueba v, e identificar el tipo de condiciones de frontera que pueda admitir la forma variacional

3. Simplificar los términos de frontera con ayuda de las condiciones de frontera especificadas e identificar el funcional cuadrático asociado


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• El nombre de forma débil es apropiado puesto que los requerimientos de continuidad se reducen de C2 en la ecuación original, a C1 en la ecuación variacional

• Ecuaciones de la forma anterior forman la base de métodos variacionales de aproximación y por lo tanto, del método de elemento finito


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• Siempre que el funcional B(·, ·) es bilineal y simétrico, B(u, v) = B(v, u), y l(v) es lineal, la forma cuadrática asociada con la forma variacional se obtiene de


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• Ejemplos representativos de ecuaciones diferenciales en una y dos dimensiones formulación de ecuaciones variacionales asociadas

• Ejemplo: Consideremos la ecuación diferencial

sujeta a condiciones de frontera

En este caso, los datos son f=−x2 , q=1 y Ũ=0


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• Siguiendo los pasos descritos para la construcción de la forma variacional, obtenemos, para una función de prueba v

• Del término de frontera, la especificación de u es una condición de frontera esencial, y la especificación de es una condición de frontera natural


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• Puesto que en x = 1 y v = 0 en x = 0, puesto que u está especificada ahí, obtenemos la forma variacional

donde


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• Consideremos la ecuación diferencial de cuarto orden:

sujeto a las condiciones de frontera

P u e s t o q u e e s t a e c u a c i ó n e s d e c u a r t o o r d e n , integraremos por partes dos veces para distribuir las derivadas de manera igual entre w y la función prueba v:


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• De la última línea se sigue que la especificación de w y dw/dx constituye la condición de frontera esencial y la especificación de son las condiciones de frontera naturales


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• En este caso , las condiciones de frontera especificadas son:

• Entonces requerimos que

• Las condiciones de frontera naturales son


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• Obtenemos entoncesodonde

La forma cuadrática, comunmente conocida como energía potencial total de la viga, está dada por:


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Métodos de aproximación variacionales

• Métodos variacionales de aproximación– Método de Ritz, método de Petrov-Galerkin, método de mínimos

cuadrados, método de colocación– Estos métodos buscan una solución aproximada en forma de

una combinación l ineal de funciones de aproximación adecuadas

• Los parámetros en la combinación lineal se determinan de manera que la solución aproximada satisfaga la forma débil o que minimice el funcional cuadrático de la ecuación


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Métodos de aproximación variacionales

• Considérese el problema variacional de encontrar la solución u tal que B(v,u)=l(v) (2.59) para todo v suficientemente diferenciable que satisfaga la forma homogénea de condiciones de frontera esenciales en u

• Cuando el funcional B es bilineal y simétrico y l es lineal, la ecuación anterior es equivalente a minimizar el funcional cuadrático


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El Método de Ritz• El método de Ritz busca una solución aproximada en

forma de una serie finita

• Donde las constantes cj son llamadas coeficientes de Ritz y se escogen de manera que (2.59) se satisfaga para v=ϕi(i =1, ...,N), o sea

B(v,u)=l(v)


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El Método de Ritz• Si B es bilineal, tenemos

• Lo cual representa un sistema de N ecuaciones lineales con N incógnitas, los cj.

• Las columnas y fi las de la matriz de coeficientes Aij=B(ϕi,ϕj) deben ser linealmente independientes de manera que esta matriz sea invertible


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El Método de Ritz• Prop iedades requer idas para las func iones de

aproximación ϕi(i = 1, ....,N) y ϕ0– La función ϕ0 se selecciona de manera que satisfaga las

condiciones de frontera esenciales del problema– Si todas las condiciones de frontera esenciales especificadas

son homogéneas, entonces ϕ0 = 0– Puesto que ϕ0 satisface las condiciones de frontera, se requiere

que ϕ i , i=1,. . . ,N sat isfagan la forma homogénea de las condiciones de frontera de forma que uN = ϕ0 en los puntos de las condiciones de frontera

– Puesto que ϕi satisface las condiciones de frontera esenciales homogéneas, la elección v = ϕ i es consistente con los requerimientos de una función de prueba


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El Método de Ritz• Además requerimos que ϕ i satisfaga las siguientes

condiciones– Debe ser tal que B(ϕi, ϕj) esté bien definida y sea distinta de cero,

o sea, suficientemente diferenciable como lo requiere la forma bilineal B(·, ·)

– ϕ i debe satisfacer al menos la forma homogénea de las condiciones de frontera esenciales del problema

– Para cualquier N, el conjunto de (ϕi)N i=1 junto con las columnas (y filas) de B(ϕi,ϕj) deben ser linealmente independientes

– ϕi es completo


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El Método de Ritz• Los requerimientos garantizan, para problemas lineales,

la convergencia de la solución de Ritz a la solución exacta a medida que N crece.

• La convergencia se entiende en el siguiente sentido:(uN) ≥ I(uM), para N ≤ M

Para cualquier valor de n, los elementos previamente calculados de la matriz de coeficientes Aij y el vector columna Fi=l(ϕi)−B(ϕi,ϕ0) permanecen sin cambio, y uno debe agregar a los coeficientes existentes nuevos renglones y columnas calculados


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El Método de Ritz: ejemplo• Consideremos la ecuación:

• Conjuntos de condiciones de frontera:– Conjunto 1: u(0) = 0, u(1) = 0– Conjunto 2: u(0) = 0, u′(1) = 1

• Para el primer conjunto, el funcional bi l ineal y el funcional lineal son


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El Método de Ritz: ejemplo• Como ambas condiciones de frontera son del tipo

esencial, debemos seleccionar ϕi en la aproximación de Ritz con N parámetros de manera que satisfaga las condiciones ϕi(0) = ϕi(1) = 0

• Seleccionamos las siguientes funciones: ϕ0 = 0, y

– Si uno selecciona las funciones ϕ1=x2(1 − x), ϕ2=x3(1−x), etc, ϕi no sería completo, porque el conjunto no puede ser usado para generar el término lineal x en la solución exacta. Se debe empezar con las funciones admisibles de más bajo orden


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El Método de Ritz: ejemplo• La solución de Ritz con N parámetros para el problema

anterior está dada por

• Sustituyendo esta expresión en el problema variacional• B(v, u) = l(v), obtenemos:

o


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El Método de Ritz: ejemplo• Calculando los coeficientes bij = B(ϕi,ϕj) y li= l(ϕi), se

obtiene:

• La solución exacta está dada por


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El Método de Ritz: ejemploLos coeficientes de Ritz son,para N = 1, C1 = −0.1667para N = 2, C1 = −0.0813

C2 = −0.1707para N = 3, C1 = −0.0952

C2 = −0.1005C3 = −0.0702


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x N=1 N=2 N=3 Sol. Exacta

0 0 0 0 0

0.1 0.1500 0.0885 0.0954 0.0955

0.2 0.2667 0.1847 0.1890 0.1890

0.3 0.3500 0.2783 0.2766 0.2763

0.4 0.4000 0.3590 0.3520 0.3518

0.5 0.4167 0.4167 0.4076 0.4076

0.6 0.4000 0.4410 0.4340 0.4342

0.7 0.3500 0.4217 0.4200 0.4203

0.8 0.2667 0.3486 0.3529 0.3530

0.9 0.1500 0.2115 0.2183 0.2182

1 0 0 0 0

El Método de Ritz: ejemplo; segundo conjunto

• Para el segundo conjunto de condiciones de frontera, la forma bilineal es la misma, pero la forma lineal está dada por:

• En este caso, los ϕi deben satisfacer la condición de frontera esencial ϕi(0) = 0. La siguiente elección satisface dichos requerimientos:

ϕi =xi


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• Los coeficientes bij y li están dados por:

• Las sol. exacta es


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Los coeficientes de Ritz sonpara N = 1, C1 = 1.125

para N = 2, C1 = 1.295 C2 = −0.1511

para N = 3,C1 = 1.2583 C2 = −0.1142 C3 = −0.02462


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x N=1 N=2 N=3 Sol. Exacta

0 0 0 0 0

0.1 0.1125 0.1280 0.1271 0.1262

0.2 0.2250 0.2529 0.2518 0.2513

0.3 0.3375 0.3749 0.3740 0.3742

0.4 0.4500 0.4938 0.4934 0.4943

0.5 0.5625 0.6097 0.6099 0.6112

0.6 0.6750 0.7226 0.7234 0.7244

0.7 0.7875 0.8324 0.8337 0.8340

0.8 0.9000 0.9393 0.9407 0.9402

0.9 1.0120 1.043 1.044 1.043

1 1.125 1.144 1.144 1.144

Apéndice• Completez

La completez de un espacio, es el hecho de que toda sucesión de Cauchy sea convergente – Sucesión de Cauchy: Es una sucesión tal que para cualquier distancia dada, por muy pequeña que sea, siempre se puede encontrar un término de la sucesión tal que la distancia entre dos términos cualesquiera posteriores es menor que la dada. Sea Xn n ϵ N una sucesión. Diremos que Xn n ϵ N es de Cauchy, si para todo número real ε > 0 existe un entero positivo N tal que para todos los números naturales m,n > N

| Xm - Xn | < ε


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Apéndice• Operador laplaciano

– Es un operador diferencial elíptico de segundo orden, denotado como Δ, relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio

– Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas parciales no mixtas dependientes de una variable. Corresponde a div (grad φ), de donde el uso del símbolo delta (Δ) o nabla cuadrado ( ∇2 ) para representarlo. Si ϕ , A s o n u n c a m p o e s c a l a r y u n c a m p o v e c t o r i a l respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en términos del operador nabla como:


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Apéndice• Gradiente

– denotado ∇f de un campo escalar f es un campo vectorial. El vector gradiente de f evaluado en un punto genérico x del dominio de f, ∇f(x), indica la dirección en la cual el campo f varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de f en la dirección de dicho vector gradiente.

– El gradiente se representa con el operador diferencial nabla ∇ seguido de la función (cuidado de no confundir el gradiente con la divergencia, ésta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo)

– La generalización del concepto de gradiente a campos f vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana


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Bibliografía


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Science

Formulaciones variacionales y métodos variacionales