Teste de Hipóteses

para médias

Caso 2: Duas Médias

Teste de Médias com Duas Variáveis.

Objetivo

Ter duas populações, digamos população A e população B. Em cada uma delas ser avaliada a mesma variável.

Seja esta variável denotada por X para a população A e por Y para a população B.

Teste de Médias com Duas Variáveis.Objetivos – Cont.

Em cada população esta variável tem que ser real ou inteira não-restrita obtida através de mensurações.

Denotando por µX e µY a média desta variável em cada população, o objetivo é o de avaliar se estas médias são iguais entre si ou se existe valores diferentes para cada população.

Teste de Médias com Duas Variáveis.Situação 1: Populações Independentes

Condições Iniciais.

Esta variável tenha distribuição normal em cada uma das populações em análise, isto é:

Tenha amostras para cada variável, a saber:

),(N~X 2

XX σµ ),(N~Y 2

YY σµ

Situação 1: Populações IndependentesComposição da Amostra

População A: X1 , X2 , X3 , . . . , Xn

População B: Y1 , Y2 , Y3 , . . . , Ym

Sejam independentes:

População A da população B;

A amostra dentro da população A bem

como da população B.

Situação 1: Populações IndependentesPropriedade das Amostras

Por serem independentes e possuírem distribuição normal, tem que:

e

),(N~X 2XX1 σµ ),(N~X 2

XX2 σµ . . . ),(N~X 2XXn σµ

),(N~Y 2YY1 σµ ),(N~Y 2

YY2 σµ . . . ),(N~Y 2

YYm σµ

Situação 1: Populações IndependentesQuadro de Hipóteses

Unilateral à esquerda

µ<µµ=µ

YX1

YX0

:H

:H

Unilateral à direita

µ>µµ=µ

YX1

YX0

:H

:H

Bilateral

µ≠µµ=µ

YX1

YX0

:H

:H

Situação 1: Populações IndependentesCaso 1 – Mesma Variância

Neste caso considera que as duas populações possuem a mesma variância, isto é:

σ2x = σ2

Y

Desta forma estima a variância única usando as duas amostras de forma ponderada cuja fórmula é:

2mn

s.)1m(s.)1n(s

2Y

2X2

−+−+−

=

Situação 1: Populações IndependentesCaso 1 – Teorema

Dentro das condições especificadas no caso a. tem que:

Possui distribuição t-student com (n+m-2) graus de liberdade.

m

s

n

s

YXt

22

+

−=

Situação 1: Populações IndependentesCaso 1 – Teorema Simplificado

Desenvolvendo chega a:

mn

)2mn(mn

s)1m(s)1n(

YXt

2Y

2X

+−+××

××−+×−

−=

Situação 1: Populações IndependentesCaso 2 – Variâncias Não-iguais

Neste caso não se estima a variância como única e usa o:

Teorema:

Possui distribuição t-Student

m

s

n

s

YXt

2Y

2X +

−=

Caso 2 – Variâncias Não-iguaisGraus de Liberdade

Modelo preciso:

Ao qual pode-se aproximar por:

m

s.)1m(

n

s.)1n(

m

s

n

s

.L.G2Y

2X

22X

2X

−+

−

+

=

)1m;1n(menor.L.G −−=

Teste da Diferença de MédiasExemplo 1

Pesquisa: Avaliar a capacidade de

respiração máxima em pacientes obesos

e submetidos à cirurgia de estomago e

com o auxilio da fisioterapia. (Acadêmicas Renata e Joyce)

Teste da Diferença de MédiasExemplo 1 – Amostra Auferida

Pressão Inspiratória Pressão Expiratória Sexo

Pré-operatório Pós-operatório Pré-operatório Pós-operatório

M 150 56 150 120

F 150 88 150 132

F 120 50 100 92

F 150 150 128 68

F* 80 28 100 52

M 200 128 160 160

F 120 100 96 84

M 120 120 120 120

F 120 75 80 30

F 140 130 132 118

F 140 40 72 35

F 120 116 120 90

F 92 68 52 30

F 120 100 120 85

F 40 52 46 52

F 120 80 80 60

F 120 80 68 46

M 180 120 164 100

Exemplo 1 – Comparação Proposta

No tocante à pressão inspiratória máxima

no pré-operatório, testar se existe ou não

diferença significativa entre masculino e

feminino caso as variâncias destes dois

grupos sejam a mesma.

Exemplo 1 – Solução

Denotando por X a capacidade de inspiração dos homens e de Y a capacidade de inspiração das mulheres vem:

Quadro de hipóteses:

µ≠µµ=µ

YX1

YX0

:H

:H

Bilateral, pois deseja se são

ou não iguais entre si.

Exemplo 1 – Estimativas

Homens

Tamanho da Amostra: n = 4

5,162

4

180120200150x:Média =+++=

14

)5,162180()5,162120()5,162200()5,162150(s:Variância

22222

−−+−+−+−=

0,351225s:Padrão.D;00,2251s:Variância 2 ===

Exemplo 1 – Estimativas

Mulheres. Tamanho da Amostra: m = 14

6,116

14

80...120150y:Média =+++=

03,863

114

)6,11680(...)6,116120()6,116150(s:Variância

2222 =

−−++−+−=

4,2903,863s:PadãoDesvio ==

Exemplo 1 – Modelo Matemático

Original:

Calculando com ajuda dos dados da Amostra

144

)2144(144

4,29)114(0,35)14(

6,1165,162t

22 +−+××

××−+×−

−=

mn

)2mn(mn

s)1m(s)1n(

YXt

2Y

2X

+−+××

××−+×−

−=

t = 2,4837.

Como usar a tabela t-Student

Localize na coluna 1 a linha de graus de liberdade correspondente

Neste Exercício é 14, tal qual:

Tabela t-Student – Caso Bilateral

Valores de p = P( - x < X < x ) GL

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,10 0,20 0,30

13 3,012 2,650 2,436 2,282 2,160 1,771 1,350 1,079

14 2,977 2,624 2,415 2,264 2,145 1,761 1,345 1,076

15 2,947 2,602 2,397 2,249 2,131 1,753 1,341 1,074

Como usar a tabela t-Student

Localize o intervalo que contenha o valor especificado,

neste caso: 2,4837

Olhando na tabela percebe que este número está entre:

2,415 e 2,624;

Agora olha na linha de p e encontre o intervalo de p,

nas linhas definidas por estes limites, 0,02 e 0,03

Exemplo 1 – Comparação

Uso da tabela: Graus de liberdade: 4 + 14 – 2 = 16

Conclusão Como p < 0,05, conclui que existe diferença significativa

entre a capacidade de inspiração dos homens quando

comparada com a das mulheres.

Valor de p na tabela t: 0,020 < p < 0,030

Teste da Diferença de MédiasExemplo 2

Refaça o problema 01, caso não possuírem a mesma variância.

Solução

Neste caso tanto o quadro de hipóteses bem como as estimativas são as mesmas, pois os dados não mudaram, o que vai ficar alterado é apenas o Modelo Matemático.

Exemplo 2* Solução *

As estimativas forneceram:

4,29s:PadrãoDesvio

;6,116yMédia:YDe

Y ==

0,35s:PadrãoDesvio

;5,162xMédia:XDe

X ==

Exemplo 2* Solução *

Na fórmula:

Fica:

m

s

n

s

YXt

2Y

2X +

−=

3927,2

14

4,29

4

0,35

6,1165,162t

22=

+

−=

Graus de liberdade: min (4-1, 14-1) = 3.

Conclusão

Como p > 0,05, conclui que não existe diferença significativa entre a capacidade de inspiração dos homens comparada com a das mulheres sendo esta diferença apenas casual.

Exemplo 2 * Solução *Uso da Tabela

Valor de p 0,06 < p < 0,10

Teste de Médias com Duas Variáveis.* Situação 2* Variáveis Pareadas

No caso de variáveis pareadas, o valor de

uma delas está diretamente associada ao

valor da outra, alem do mais elas possuem

o mesmo tamanho da amostra,ao qual

podem ser dispostas tal qual a tabela:

Variáveis PareadasAmostra - Tabela de Dados

Aqui o que se calcula é a diferença:

De X X1 X2 X3 . . . Xn

De Y Y1 Y2 Y3 . . . Yn

iii YXd −=

Variáveis PareadasFórmulas de Análise

Com as condições anteriores de normalidade, porem envolvendo variáveis pareadas, o modelo matemático é:

E t possui distribuição t-student com (n − 1) graus de liberdade.

n

sd

td

=

.amostranaparesdequantidadeaén

;diferençasdaspadrãodesviooés

;sindividuaidiferençasdasmédiaaéd

:onde d

Variáveis Pareadas* Exemplo *

Da pesquisa sobre mastigação, os dados

coletados pela Dra. Jordana e Dra. Ana

Márcia, das crianças com seis anos de idade,

o tempo de mastigação forneceu:

Variáveis Pareadas* Exemplo * Dados Amostrais

Salgadinho Bolo Pão de Queijo Pão Francês Maçã Banana 18 22 65 76 16 9 15 39 21 33 11 9 24 21 25 54 11 15 10 19 23 12 8 14 8 6 11 7 5 3 7 7 28 18 17 4 7 14 27 21 10 6 8 18 24 16 12 9

10 19 12 22 9 8 10 20 25 12 20 10 10 20 15 12 10 8 11 19 15 18 7 14

Variáveis Pareadas* Exemplo *

No tocante a salgadinho e bolo, testar se existe

diferença entre o tempo de mastigação.

Solução Sejam as variáveis: X = tempo de mastigação de salgadinho Y = tempo de mastigação de bolo.

Variáveis Pareadas* Exemplo *

Hipótese pleiteada:

Ora uma mesma criança ingeriu cada um dos

tipos de salgados, assim trata-se de Variáveis

Pareadas.

µ≠µµ=µ

YX1

YX0

:H

:H

* Exemplo *Solução

Modelo Matemático

Onde d é a diferença entre X e Y

n

sd

td

=

* Exemplo *Solução Dados Originais.

Salgadinho (x) Bolo (y) Diferença (d)

18 22 − 4

15 39 − 24

24 21 3

10 19 − 9

8 6 2

7 7 0

7 14 − 7

8 18 − 10

10 19 − 9

10 20 − 10

10 20 − 10

11 19 − 8

* Exemplo *Solução – Estimativas -

Média da Diferença:

Variância:

17,7

12

86

12

)8(...)9(3)24()4(d −=

−=

−++−++−+−=

24,51

112

)17,78(...)17,724()17,74(s

2222d =

−−−++−−+−−

=

* Exemplo *Solução – Estatística -

Desvio Padrão:

Na fórmula:

16,724,51sd ==

017,12

12

16,717,7

n

sd

td

−=−

==

* Exemplo *Solução – Uso da Tabela -

Graus de Liberdade: 12 – 1 =11

Tabela t-Student: p < 0,010

Conclusão

Existe diferença estatisticamente significativa entre o

tempo de mastigação de salgadinhos e o de bolo.

Teste de HipótesesCaso 2 – Duas Médias

FimProf. Gercino Monteiro Filho