01. Aula 01_8.1

EXERCÍCIOS – AULA 01

8.1 Considere um escoamento incompressível em um duto circular. Deduza expressões gerais para o número de Reynolds em termos de (a) vazão volumétrica e diâmetro do tubo (b) vazão mássica e diâmetro do tubo. O número de Reynolds é 1800 em uma seção onde o diâmetro do tubo é 10 mm. Encontre o número de Reynolds para a mesma vazão em uma seção onde o diâmetro do tubo é 6 mm.

RESOLUÇÃO EX. 8.1a)

4

2VDAVQ

2

4

D

QV Substituindo na Eq. De Reynolds:

Dv

Q

D

Q

D

QDV

D

444

Re2

b) 4

2* VDAVm

2

4

D

mV

Substituindo na Eq. De Reynolds:

D

m

D

mDV

D

44

Re2

c) Encontrar a Eq. da vazão em função de Reynolds pela Eq. da letra (a): 4

...Re vDQ

Como tem a mesma vazão, iguala para os casos.

4

...Re

4

...Re 222111 vDvD Como é o mesmo fluido, 21 vv , logo:

2211 ReRe DD )6(Re)10)(1800( 2 3000Re2

EXERCÍCIOS – AULA 018.2 Ar padrão entra em um duto de 0,25 m de diâmetro. Determine a vazão em volume

na qual o escoamento torna-se turbulento. Para esta vazão, estime o comprimento de entrada necessário para estabelecer escoamento completamente desenvolvido.

Dados: 51046,1 xv , 2300Re crit .

RESOLUÇÃO EX. 8.2

a) Q = ?

min/³3956,0/³00659,04

)1046,1)(25,0()2300(

4

...Re 5

msmxvD

Q

b) mDLtur 25,6)25,0(2525(min)

mDLtur 0,10)25,0(4040(max)

O comprimento de entrada ficará entre estes 2 valores.

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS

• EXERCÍCIO8.6 O perfil de velocidade para escoamento completamente desenvolvido entre

placas planas paralelas estacionadas é dado por ²)4/²( yhau , onde a é uma constante, h é o espaçamento entre as placas e y é a distância medida a partir da linha de centro da folga.

Desenvolva a razão max/ uV .

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS

• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO

1) Encontrar dy

du

2

2

4y

ha

dy

d

dy

du aydy

du2

Para se ter maxu , a primeira derivada dy

dutem de ser igual a zero. Logo:

02 aydy

du 0y

Isto é, maxu quando y = 0, logo, substitui-se o valor de y = 0 na Eq dada na questão: ²)4/²( yhau

²)04/²(max hau )4/²(max hau

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS

• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO

2) Velocidade Média (AQV /

)

)1(. hlhA dydyldydA )1(.

dAuAA

QV .

1 Substituindo A e dA pelas expressões deduzidas acima, tem-se:

2/

2/

.1 h

h

dyuh

V Substituindo u pela expressão dada na questão, tem-se:

2/

2/

322/

2/

22

344

1h

h

h

h

yyh

h

adyy

ha

hV

24

2

24

2

24

2

2482483)8(24

333333332 hh

h

ahhh

h

ahhhhh

h

aV

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS

• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO

6

3h

h

aV

6

2ahV

Encontrando a expressão que a questão pedi, tem-se:

)4/²(6

/

2

max ha

ah

uV

3

24

6/

2

2

max

ah

ahuV

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS

• EXERCÍCIO8.7 Um fluido incompressível escoa entre duas placas paralelas estacionárias

infinitas. O perfil de velocidade é dado por )²(max CByAyuu ), onde A, B e C são

constantes e y é a distância medida para cima a partir da placa inferior. O espaçamento entre as placas é h. Use condições de contorno apropriadas para expressar a magnitude e as unidades SI das constantes em termos de h. Desenvolva uma expressão para a vazão em volume por unidade

de profundidade e avalie a razão max/ uV .

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS

• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO1) Condições de contorno:

I) y = 0 u = 0 II) y = h u = 0 III) y = h/2 maxuu

2) Substituindo a condição de contorno (I) na eq. dada na questão:

))0()²0((0 max CBAu C = 0

3) Substituindo a condição de contorno (II) e depois a condição (III) na Eq. dada na questão, para, através de um sistema, encontrar os valores de A e B, já sabendo que C foi encontrado acima.

)0)()²((0 max hBhAu )²()( hAhB AhB

0

22

2

maxmax

hB

hAuu 1

24

2

BhhA 422 BhAh

Acima, encontrou-se o valor B em função de A, então vamos substituir agora, para encontrar A.

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS

• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO

4)(22 hAhAh 42 22 AhAh 42 Ah 2

4

hA

Voltando para saber o valor de B.

hh

hAhB

442

Substituindo na Eq. dada na questão, tem-se:

y

hy

huu

4²

42max

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS

• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIOb) Vazão em Volume

hhh y

h

y

hudyy

hy

hudyu

l

Q

0

23

2max

0

22max

0 2

4

3

444.

hhu

h

h

h

hu

l

Q2

3

40

2

4

3

4 3max

23

2max

3

2max

hu

l

Q max.3

2uh

l

Q

a) hlVAVQ .. hVl

Q

Substituindo Q/l visto no item anterior, tem-se:

hVl

Q hVuh max.

3

2 max3

2uV

3

2

max

u

V

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS

• EXERCÍCIO8.8 Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas

estacionárias. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O espaçamento entre as

placas é h = 5 mm. A viscosidade do óleo é 0,5 N . s/m2 e o gradiente de pressão é -1000

N/m2/m. Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento sobre a placa superior e

a vazão em volume através do canal largura

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS

• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO

Considerando: mma 5 , mmNdx

dp/²/1000 , ²/.5,0 msN

A Eq. da Tensão de Cisalhamento, onde a é distância entre as placas, e y é a distância do eixo a placa superior (a=y=h), é dada por:

a)

2

1

a

y

x

payx

Substituindo os valores, tem-se:

²/5,22

1

105

1051000105

3

33 mN

x

xxyx

(Está no sentido do escoamento)

b) A vazão em volume, conforme visto em aula, é dada por:

3

12

1a

x

p

l

Q

msmxxl

Q//³108,20)105(1000

)5,0(12

1 633

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS

• EXERCÍCIO

8.9 Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O gradiente de pressão é -8 lbf/ft2/ft e a meia-altura do canal é h = 0,06 in. Determine a magnitude da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior. Determine a vazão em volume através do canal (

²/.01,0 ftslbf ).

Para transformar as unidades: ftin 12

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS

• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO

Para transformar as unidades: ftin 12 a)

²/037,05,012

5,0)8(

12

12,0

2

1ftlbf

a

y

x

payx

b)

sftxl

Q/²1067,6

12

12,08

)01,0(12

1 53

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U

• EXERCÍCIO:8.11 Óleo está confinado em um cilindro de 100 mm de diâmetro por um pistão que

possui uma folga radial de 0,025 mm e um comprimento de 50 mm. Uma força constante de 20 kN é aplicada ao pistão. Use as propriedades do óleo SAE 30 a 50°C. Estime a taxa à qual o

óleo vaza pelo pistão. Dado: ²/.109,5 2 msNx

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U

• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:Primeiramente, vamos encontrar a variação de pressão através da equação:

MPaPax

D

F

A

FP 55,2473.546.2

031416,0

000.80

)1,0(

)1020(442

3

2

Agora, vamos encontrar a vazão através da equação:

L

pa

l

Q

12

3 , onde a é a folga, L é o comprimento, l é o comprimento do arco (

DRl 2 )

smxxx

x

l

Q/³1053,3

)1050)(109,5(12

)1416,3)(1,0)(2546473()10025,0( 732

33

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U

• EXERCÍCIO:8.12 Um macaco hidráulico suporta uma carga de 9000 kg. Os seguintes dados estão

disponíveis: Diâmetro do pistão 100 mm Folga radial entre o pistão e o cilindro 0,05 mm Comprimento do pistão 120 mm Estime a taxa de vazamento de fluido hidráulico pelo pistão, admitindo que o fluido é

óleo SAE 30 a 30°C. Dados: ²/.100,3 1 msNx

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U

• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:

Primeiro, vamos calcular o peso do pistão e depois encontrar a diferença de pressão.

MPaPaD

W

A

W

A

FP 2,1165,405.241.11

)1,0(

)81,9)(9000(4422

smxx

x

L

Dpa

L

lpa

l

Q/³1001,1

)12,0)(103(12

)1,0)(1416,3)(65.405.241.11()1005,0(

12

..

12

. 61

3333

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U

• EXERCÍCIO:

8.13 Uma alta pressão em um sistema é criada por um pequeno conjunto pistão-cilindro. O diâmetro do pistão é 6 mm e ele penetra 50 mm no cilindro. A folga radial entre o pistão e o cilindro é 0,002 mm. Despreze deformações elásticas do pistão e do cilindro causadas pela pressão. Considere que as propriedades do fluido são aquelas do óleo SAE l0W a 35°C. Estime a taxa de vazamento para uma são pressão no cilindro de 600 MPa.

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U

• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:

smxxx

xxx

L

Dpa

l

Q/³1097,3

)1050)(108,3(12

)100,6)(1416,3)(10600()10002,0(

12

.. 932

36333

ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM UM TUBO

EXEMPLO 01:

Um óleo que apresenta viscosidade dinâmica = 0,40 N.s/m² e massa específica =

900 kg/m³ escoa num duto com diâmetro D = 20 mm. (a) Qual é a queda de pressão,

21 pp , necessária para produzir uma vazão de Q = 5100,2 x m³/s se o duto for

horizontal com ox 1 e mx 102 ?

ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM UM TUBO

ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM UM TUBO

DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM

TUBOS• EXERCÍCIOS

8.19 Um mancal de deslizamento selado é formado por cilindros concêntricos. Os raios interno e externo são 25 e 26 mm, respectivamente, o comprimento do cilindro interno é 100 mm e ele gira a 2800 rpm. A folga radial é preenchida com óleo em movimento laminar. O perfil de velocidade é linear através da folga. O torque necessário para girar o cilindro interno é 0,2 N.m. Calcule a viscosidade do óleo. O torque aumentará ou diminuirá com o tempo? Por quê?

DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM

TUBOS• RESOLUÇÃO:

O fluido está entre 2 cilindros e o de dentro está girando, então a área de contato do cilindro com o fluido é a superfície do cilindro 2. E para calcular é como se abrisse o cilindro, ficando

rhA 2 . A folga é dada pela diferença entre os raios irrra 0 Torque = Força x Raio (como é o cilindro interno, é a força vezes o raio interno.

A questão diz que o perfil de velocidade é linear, logo 0

x

p, porque é um sistema

girando em cima de outro, não tem perturbação, com isso, r

r

r

U

dy

du iyx

Como já dito: rFT . , mas AF . (força é tensão de cisalhamento vezes a área), logo:

iiii rlrr

rrA

r

rrArFT .2...

60

2)025,0)(1,0)(025,0(2

)001,0(

)025,0)(2800(2,0

²/.0695,0 msN

Lembrando que: 60

2 f , onde f é dado em rpm

DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM

TUBOS• EXERCÍCIO:

8.20 Considere o escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas espaçadas de d = 0,35 in. A placa superior move para a direita com velocidade U2 = 2 ft/s; a placa inferior move para a esquerda com velocidade 1U = 1 ft/s. O gradiente de pressão no sentido do escoamento é zero. Desenvolva uma expressão para a distribuição de velocidade na folga. Determine a vazão em volume que passa por uma dada seção, por unidade de profundidade.

DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM

TUBOS• RESOLUÇÃO:

Como a questão diz que “o gradiente de pressão no sentido do escoamento é zero”, então

0

x

p.

Fazendo o balanço de massa: 0

x

p

dy

d logo 0

2

2

dy

ud , pois 0dy

d,

0

dy

du

dy

d , assim: 02

2

dy

ud

Como 02

2

dy

ud 0

dy

du

dy

d Chamando de uma função ,

dy

du, assim 0

dy

d,

logo é uma constante ( 1tan Ctecons )

Mas 1Cdy

du 1C

dy

du , integrando: dyCdu 1

21 CyCu (a)

DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM

TUBOS• RESOLUÇÃO: As condições de contorno são:

(I) y = 0 1Uu

(II) y = d 2Uu Aplicando estas condições na equação (a) encontrada anteriormente, tem-se:

21 CyCu 211 )0( CCU 21 CU

21 CyCu 112 )( UdCU d

UUC 12

1

Assim, a expressão geral ficará: 112 Uy

d

UUu

Substituindo pelos valores: 13112 d

y

d

yu (Esta é uma expressão para a

distribuição de velocidade) A vazão em volume é dada por:

ddd

yUy

d

UUdyUy

d

UUdyu

l

Q

0

1

212

0

112

0 2.

dU

dU

dUdU

dU

dUdUU

dUd

d

UU

l

Q

22222212

112

112

1

212

ftsftdUU

l

Q//³0146,0

12

1)35,0(

2

12

212

DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM

TUBOS• EXERCÍCIOS:

8.21 Dois fluidos imiscíveis estão contidos entre placas paralelas infinitas. As placas estão separadas pela distância 2h, e as duas camadas de fluidos têm espessuras iguais, h; a viscosidade dinâmica do fluido superior é três vezes aquela do fluido inferior. Se a placa inferior é estacionária e a placa superior move com velocidade constante V = 5 m/s, qual é a velocidade na interface? Admita escoamentos laminares e o gradiente de pressão na direção do escoamento como zero.

DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM

TUBOS• RESOLUÇÃO:

Pela questão: 0

x

p, 21 3 , 0

x

p

dy

d, logo 0

2

2

dy

ud , pois 0dy

d,

0

dy

du

dy

d , assim: 02

2

dy

ud

Como 02

2

dy

ud 0

dy

du

dy

d Chamando de uma função , dy

du, assim 0

dy

d,

logo é uma constante ( 1tan Ctecons )

Mas 11 C

dy

du 1

1 Cdy

du , integrando: dyCdu 11

211 CyCu (a)

E para a interfase tem-se: 22 C

dy

du , integrando dyCdu 32

432 CyCu (b)

DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM

TUBOS• RESOLUÇÃO:As três condições de contorno são:

(I) y = 0 01 u

(II) y = h 21 uu

(III) y = 2h Uu 2

(IV) pela condição da interfase: 21 21 dy

du

dy

du 22

11 . Observe

que no inicio chamou-se 11 C

dy

du e 3

2 Cdy

du , então podemos fazer esta

substituição aqui, tornando: 3211 CC

Usando a C.C. (I) tem-se:

211 CyCu 21 )0(0 CC 20 C Usando a C.C. (II)

21 uu e y = h 4321 CyCCyC como 20 C 431 ChChC

DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM

TUBOS• RESOLUÇÃO:

Usando a C.C. (II)

21 uu e y = h 4321 CyCCyC como 20 C 431 ChChC Usando a C.C. (III)

Uu 2 e y = 2h UCyC 43 UChC 43 )2(

Usando a C.C. da interfase: 3211 CC , e substituindo 1 e 2 pelas suas respectivas

expressões.

hCUhC 31 e 3211 CC 12

131 .ChhCUhC

2

1

1

1

h

UC

Para o fluido 1:

yh

U

2

1

1

1

fazendo y = h, onde erfaseint1

sm

yh

Uerfase /75,3

3

11

5

12

1

int

DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM

TUBOS• EXERCÍCIOS:

8.22 Água a 60°C escoa para a direita entre duas grandes placas planas. A placa inferior move para a esquerda com velocidade de 0,3 m/s; a placa superior está parada. O espaçamento entre as placas é 3 mm e o escoamento é laminar. Determine o gradiente de pressão necessário para produzir vazão resultante zero em uma seção transversal. Dados: ²/.1063,4 4 msNx

DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM

TUBOS• RESOLUÇÃO:

x

p

dy

d 1Cyx

pyx

dy

duyx 1Cy

x

p

dy

du

21

2

2CyC

y

x

pU

21

2

2CyC

y

x

pu

(a)

As C.C. são: (I) y = 0 U (II) y = h 0

Substituindo na Eq. (a), encontra-se o valor de:

21

2

)0(2

)0(CC

x

pU

2CU

UhCh

x

p

1

2

20

2

2

1

h

x

pUhC

hx

p

h

UC

2

11

DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM

TUBOS• RESOLUÇÃO:

Logo, substituindo os valores de 1C e 2C na equação original, tem-se:

Uyhx

p

h

Uy

x

pu

2

1

2

1 2

Arrumando:

12

1 2

h

yUhyy

x

pu

Encontrar a Eq. da vazão:

212

11)(

2

1. 32

0

Uhh

x

pdy

h

yUhyy

x

pdyu

l

Q d

Determinar o gradiente de pressão quando Q = 0.

212

10 3 Uh

hx

p

212

1 3 Uhh

x

p

23

6

2

12

h

U

h

Uh

x

p

Substituindo os valores, tem-se:

mmNx

x

h

U

x

p/²/6,92

)103(

)1063,4)(3,0(6623

4

2

PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS

• EXERCÍCIOS

8.25 A cabeça de leitura/gravação do disco rígido de um computador flutua acima do disco giratório sobre uma delgada camada de ar (a espessura do filme de ar é 0,5 (micrometro) m ). A cabeça está a 150 mm da linha de centro do disco; o disco gira a 3600 rpm. A cabeça de leitura/gravação é quadrada, com 10 mm de lado. Para ar padrão no espaço entre a cabeça e o disco, determine (a) o número de Reynolds do escoamento, (b) a tensão de cisalhamento viscoso e (c) a potência requerida para superar o cisalhamento viscoso. Dados: ²/.1079,1 5 msNx , 51046,1 xv

PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS

• RESOLUÇÃO:

smRV /55,56)15,0(60

2)3600(

a)

VDRe como é para calcular no espaço D = a, logo:

v

VaVa

Re

94,11046,1

)105,0)(55,56(Re

5

6

x

x

v

Va

b) ²/02,2105,0

5,561079,1

65 mkN

xx

a

V

dy

duyx

c) 2lAForça yxyx

RlRFTTorque yx2.)(

RlTPPotencia yx2)(

Assim: WxxRlPPotencia yx 4,1160

2)3600)(15,0()1010(1002,2)( 2332

PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS

• EXERCÍCIOS8.32 Uma correia contínua, movendo-se com velocidade Uo para cima através

de um banho químico, arrasta uma película de líquido de espessura h, massa específica , e viscosidade . A gravidade tende a fazer com que o líquido desça, mas o movimento da correia impede que ele retome completamente. Admita que o escoamento é laminar, completamente desenvolvido, com gradiente de pressão zero, e que a atmosfera não produz tensão de cisalhamento na superfície externa da película. Enuncie claramente as condições de contorno a serem satisfeitas pela velocidade em y = O e y = h. Obtenha uma expressão para o perfil de velocidade.

PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS

• RESOLUÇÃO:Fazendo o balanço de massa e colocando a força peso.

gx

p

dy

d

, mas 0

x

p, logo g

dy

d , integrando: 1Cgy , mas pelo

conceito: dy

du . Igualando as duas expressões, tem-se: dy

duCgy 1

Integrando novamente: dyCgydu 1 21

2

2Cy

Cygu

Condições de contorno: I) y = 0 0Uu

II) y = h 0 (a questão diz que a atmosfera não produz na superfície externa)

Substituindo a C.C (I), encontra-se: 21

2

0 )0(2

)0(C

CgU

20 CU

Pela C.C (II), como 0 0dy

du, logo pela Eq. 01

dy

duCgy ,

operando: 01 Cgh ghC 1 Assim, a Eq, fica:

0

2

2Uy

ghygu

PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS

• EXERCÍCIOS

8.34 O perfil de velocidade para escoamento de água completamente desenvolvido entre placas paralelas, com a placa superior em movimento, é dado pela Eq. 8.8. Considere U = 2 mls e a = 2,5 mm. Determine a vazão em volume por unidade de profundidade para gradiente de pressão zero. Avalie a tensão cisalhante sobre a placa inferior e esboce a distribuição de tensão de cisalhamento através do canal. A vazão em volume aumentaria ou diminuiria com um ligeiro gradiente adverso de pressão? Calcule o gradiente de pressão que dará tensão cisalhante zero em y/a = 0,25. Esboce a distribuição de tensão de cisalhamento para este caso. Dados: ²/.1014,1 3 msNx ,

PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS

• RESOLUÇÃO:a) 3

12

1

2a

x

pUa

l

Q

, como 0

x

p

msmxxUa

l

Q//³105,2

2

)105,2(2

23

3

b)

2

1

a

y

x

pa

a

Uyx como 0

x

p

²/912,0105,2

)2(1014,13

3

mNx

x

a

Uyx

c) Se 0

x

p, a vazão diminui ( é adverso porque normalmente

x

p é negativo)

d) 0yx , 25,0

a

y, ?

x

p

2

1

a

y

x

pa

a

Uyx

2

125,0105,2

105,2

2)1014,1(0 3

33

x

px

xx

x

p000625,0912,0

mmNx

p/²/1459

PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS

• EXERCÍCIOS

8.51 Considere escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular. Use um volume de controle cilíndrico conforme mostrado. Indique as forças que atuam sobre o volume de controle. Usando a equação da quantidade de movimento, desenvolva uma expressão para a distribuição de velocidade.

PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS

• RESOLUÇÃO:

0 F , porém essãoxÁreaF Pr , e neste caso, a área é dada por 2rA

0)2(22

22

dxrrdx

x

ppr

dx

x

pp yx

0)2(22

2222

dxrrdx

x

prpr

dx

x

prp yx 0)2(2

dxrdxrx

pyx

02

yxrx

p 2

r

x

pyx

Mas como dr

du , igualando as duas expressões, temos:

2

r

x

p

dr

du

drr

x

pdu

2

, integrando 1

2

4C

r

x

pu

Aplicando a Condição de Contorno: I) 0u Rr

1

2

4C

r

x

pu

1

2

40 C

R

x

p

4

2

1

R

x

pC

Logo: 44

22 R

x

pr

x

pu

ou x

pRru

)(4

1 22

PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS

• EXERCÍCIOS

8.52 Considere escoamento laminar completamente desenvolvido no espaço anular entre dois tubos concêntricos. O tubo externo é estacionário e o tubo interno move na direção x com velocidade V. Considere gradiente axial de pressão zero ( xp / = 0). Obtenha uma expressão geral para a tensão de cisalhamento, , como uma função do raio, r, em termos de uma constante, 1C . Obtenha uma expressão geral para o perfil de

velocidade, u(r), em termos de duas constantes, 1C e 2C . Obtenha expressões para 1C e

2C .

PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS

• RESOLUÇÃO:

0 F , porém essãoxÁreaF Pr ,

02

222

22

dxdr

rdr

rdx

drr

dr

r

02

2222

222

dxdr

rdr

rdx

drr

dr

r

02

22

222

222

22

222

22

dxdrdr

drrdx

dr

drdx

drrdxdx

drdr

drrdx

dr

drdx

drrdx

0222

2222

2

rdxdr

drdx

drrdx

dr

drdx

dr

02222

rdxdrdr

drdxrdxdrdr

drdx , cancelando os termos, temos:

0

rdr

rdr

022

rdr

0

rdr

ou

0)(

dr

r

Logo, para a derivada ser zero, 1Ccter

r

C1

Pela lei da viscosidade: dr

du dr

du

r

C 1 r

drCdu

1 2

1 )ln( CrC

u

PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS

• RESOLUÇÃO:Pelas Condições de contorno:

I) 1rr 0Vu

II) 0rr 0u

Logo: 211

0 )ln( CrC

V e

201 )ln(0 Cr

C

)ln( 0

12 r

CC

Substituindo, os valores na equação original, tem-se:

)ln()ln()ln(0

110

11

10 r

rCr

Cr

CV

)ln(0

1

01

r

rV

C

Logo: )/ln(

)ln()ln(

)ln(

01

000

0

1

0

2 rr

rVr

r

rV

C

Finalmente, )/ln(

)/ln()ln(

)/ln( 01

001

01

0

rr

rrVrr

rr

Vu

CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS

• EXERCÍCIOS:8.68 Água escoa em um tubo horizontal de área transversal constante; o

diâmetro do tubo é 50 mm e a velocidade média do escoamento é 1,5 m/s. Na entrada

do tubo, a pressão manométrica é 588 kPa e a saída é à pressão atmosférica. Determine

a perda de carga no tubo. Se o tubo estiver alinhado agora de modo que a saída fique 25

m acima da entrada, qual será a pressão na entrada necessária para manter a mesma

vazão? Se o tubo estiver alinhado agora de modo que a saída fique 25 m abaixo da

entrada, qual será a pressão necessária na entrada para manter a mesma vazão?

Finalmente, quão mais baixa deve estar a saída do tubo em relação à entrada para que a

mesma vazão seja mantida, se ambas as extremidades estão à pressão atmosférica (i.e.,

campo gravitacional)?

CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS

• RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:

A Eq. de Bernoulli usa pressão manométrica ou relativa, sem a pressão atmosférica.

mKg

J 81,9 mNJ .

1) fhEE 21 , onde 21 VV e 02 P

fhzg

VPz

g

VP 2

222

1

211

22 fh

x

9810

10588 3

mh f 94,59

2) 94,8494,59251 P

PaP 833250)9810(94,841

3) 94,3494,59251 P

PaP 342761)9810(94,341

4) 021 PP e 21 VV

fhzg

VPz

g

VP 2

222

1

211

22 fhz 1 mz 94,591

A saída deve está a 60m abaixo no numero 1.

CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS

• EXERCÍCIOS:8.69 Medidas foram feitas para a configuração de escoamento mostrada na

Fig. 8.11. Na entrada, seção (1), a pressão é 10,2 psig, a velocidade média é 5,5 ft/s, e a

elevação é 7,5 ft. Na saída, seção (2), a pressão, a velocidade média e a elevação são,

respectivamente, 6,5 psig, 11,2 ft/s e 10,5 ft. Calcule a perda de carga em ft, Converta

para unidades de energia por unidade de massa.

Transformar as unidades: PaPsigP 703292,101

PaPsigP 5,448175,62

smsftV /6764,1/5,51

mftz 286,25,71

smsftV /4138,3/2,112

mftz 2,35,102

CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS

• RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:

fhzg

VPz

g

VP 2

222

1

211

22

fh 2,3)81,9(2

)4138,3(

9810

5,44817286,2

)81,9(2

)6764,1(

9810

70329 22

fh 2,3594,05686,4286,2143,0169,7 fh 363,859,9 mh f 236,1

Ou fth f 054,4)281,3(236,1

Por unidade de massa: ²/130)054,4(2,32 sfth f

CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS

• EXERCÍCIOS:

8.71 Considere o escoamento no tubo do reservatório no sistema do Problema-

Exemplo 8.5. Em uma condição de escoamento, a perda de carga é 2,85 m a uma vazão

volumétrica de 0,0067 m³/s. Determine a profundidade do reservatório requerida para

manter esta vazão.

CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS

• RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:

21 PP , 02 z , 01 V

smA

QV /517,1

)075,0(

)4(0067,022

fhg

Vz

2

22

1 mz 97,285,2)81,9(2

)517,1( 2

1

CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS

• EXERCÍCIOS:

8.72 Considere o escoamento no tubo do reservatório no sistema do Problema-Exemplo 8.5. Em uma condição de escoamento, a perda de carga é 1,75 m e a profundidade do reservatório é 3,60 m. Calcule a vazão volumétrica do reservatório.

CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS

• RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:

fhg

Vz

2

22

1 75,1)81,9(2

60,32

2 V

297,36)81,9(2

22

V smV /02,62

smVAQ /³0266,0)075,0(4

02,6 2

CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS

• EXERCÍCIOS:

8.73 A velocidade média de escoamento em um trecho de diâmetro constante da tubulação do Alasca é 8,27 ft/s. Na entrada, a pressão é 1200 psig e a elevação é 150 ft; na saída, a pressão é 50 psig e a elevação é 375 ft. Calcule a perda de carga nesse trecho da tubulação. Dados: ³/8829 mN

Transformar as unidades: PaPsigP 8274000012001

PaPsigP 344750502

smsftV /6518,2/7,81

mftz 72,451501

21 VV

mftz 3,1143752

CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS

• RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:

fhzg

VPz

g

VP 2

222

1

211

22 fh 3,114

8829

34475072,45

8829

8274000

fh 3,11405,3972,4514,937 fh 35,15386,982 mh f 5,829 ou

fth f 2721

CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS

• EXERCÍCIOS:

8.74 Na entrada de um trecho de diâmetro constante da tubulação do Alasca, a pressão é 8,5 MPa e a elevação é 45 m; na saída, a elevação é de 115 m. A perda de carga nessa seção da tubulação é 6,9 kJ/kg. Calcule a pressão na saída. Dados:

³/8829 mN .

CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS

• RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:

mx

kgkJh f 36,70381,9

109,6/9,6

3

fhzg

VPz

g

VP 2

222

1

211

22 36,703115

88295,4

8829

105,8 26

Px

36,8188829

74,1007 2 P

PaP 16720012

CÁLCULO DE PERDA DE CARGAEXERCÍCIOS:

8.76 Água escoa a 3 gpm através de uma mangueira de jardim horizontal com diâmetro de 8

5 de polegada. A queda de pressão ao longo de 50 ft de mangueira é 12,3 psi.

Calcule a perda de carga.

Transformar as unidades smxgpmQ /³00018927,0)10309,6(33 5

mxinD 015875,0)1054,2( 285

85

mftl 24,15)3048,0(5050

PaxPsiP 5,84808)10895,6(3,123,12 31

atmPP 2 , 21 zz , 21 VV

CÁLCULO DE PERDA DE CARGARESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:

fhzg

VPz

g

VP 2

222

1

211

22 fh

P

1 mh f 64,8

9810

5,84808 ou

fth f 36,28

CÁLCULO DE PERDA DE CARGAEXERCÍCIOS:

8.80 Um tubo liso horizontal, de 75 mm de diâmetro, transporta água (65°C). Quando a vazão é 0,075 kg/s, a queda de pressão medida é 7,5 kPa por 100 m de tubo. Baseado nestas medidas, qual é o fator de atrito? Qual é o número de Reynolds? Este número de Reynolds normalmente indica escoamento turbulento ou laminar? Afinal, o escoamento é realmente turbulento ou laminar? Dados: ³/999 mkg , ²/.104 4 msNx

CÁLCULO DE PERDA DE CARGARESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:

AVQQQ 21 51051,7999

075,0 xm

Q

smxx

x

D

Q

A

QV /107,1

)1075(

1051,7 223

4

5

24

fhzg

VPz

g

VP 2

222

1

211

22 como 21 zz , 21 VV

21 PP

h f

E sabe-se que g

V

D

Lfh f 2

2

, então igualando as duas expressões, tem-se:

21

2

2

PP

g

V

D

Lf

2

21 2

LV

DgPPf

2221 2.2

LV

DP

LV

DPPf

039,0)107,1)(100)(999(

)1075)(5,7)(2(22

3

x

xf

3184104

)1075)(107,1)(999(Re

4

32

x

xxVD

O número de Reynolds indica que o escoamento é turbulento.

CÁLCULO DE PERDA DE CARGAEXERCÍCIOS:

8.84 Água escoa através de um tubo de 25 mm de diâmetro que subitamente alarga-se para um diâmetro de 50 mm. A vazão através do alargamento é 1,25 l/s. Calcule o aumento de pressão através do alargamento. Compare com o valor para escoamento sem atrito.

CÁLCULO DE PERDA DE CARGARESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:

mmD 251 , mmD 502 , slQ /25,1 , QQQ 21

2211 AVAV 22

21 )50(

4)25(

4

VV 21 4VV 12 25,0 VV

fhzg

VPz

g

VP 2

222

1

211

22 como 21 zz e

g

Vkh f 2

21 (alargamento), sendo

4

1

2

1 A

A 56,0k (pela tabela). E sm

x

x

A

QV /55,2

)1025(

1025,123

4

3

11

, e deixando as

velocidades em função de 1V , tem-se:

g

Vkz

g

VPz

g

VP

222

21

2

222

1

211

g

Vkz

g

VPz

g

VP

22

)25,0(

2

21

2

212

1

211

gg

P

g

P

2

)55,2()56,0(

2

)55,2)(0625,0(

98102

)55,2(

9810

222

21 125,0

981021

PP

PaPP 122721 ou PaPP 122712 Sem atrito: 0fh

g

VP

g

VP

2

)25,0(

2

212

211

gg

PP

2

)55,2(

2

)55,2)(0625,0(

9810

2221

PaPP 304821 PaPP 304812

%404,03048

1227

P

Patrito

CÁLCULO DE PERDA DE CARGAEXERCÍCIOS:

8.86 Água escoa através de um tubo de 50 mm de diâmetro que subitamente contrai-se para 25 mm. A queda de pressão através da contração é 3,4 kPa. Determine a vazão em volume.

CÁLCULO DE PERDA DE CARGARESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:

mmD 501 , mmD 252 ,

001964,0)1050(4

231 xA

, 00049,0)1025(

423

2 xA

, 25,01

2 A

A 4,0k

2211 AVAV 22

21 )25(

4)50(

4

VV 21 25,0 VV 12 4VV

g

Vkz

g

VPz

g

VP

222

22

2

222

1

211

g

V

g

V

g

VPP

22

4,0

2

21

22

2221

g

V

g

V

g

Vx

2

)25,0(

2

4,0

29810

104,3 22

222

22

3

g

V

g

V

2

0625,0

2

4,135,0

22

22

)81,9)(2(35,03375,1 22 V smV /27,22

smxxVAQ /³1011,1)1025(4

27,2 323

MEDIDORES DE VAZÃO

• EXERCÍCIOS

OBS: A Placa de orifício tem o seu valor de K retirado de um gráfico que é função do número de Reynolds e

da razão entre os diâmetros.

8.158 Água a 150°F escoa através de um orifício com diâmetro de 3 in instalado em um tubo de 6 in de diâmetro interno. A vazão é 300 gpm. Determine a diferença de pressão entre as tomadas de canto. Dados: 710357,4 xv

,1000

Transformando Unidades: minD 0762,0)0254,0(332

minDtubo 1524,0)0254,0(66)1( smxgpmQ /³01893,0)10309,6(300300 5

)(22 PkAmreal

MEDIDORES DE VAZÃO

• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 8.158

smA

QV /04,1

)1524,0(

)01893,0(421

57

11 1063,3

10357,4

)1524,0(04,1Re x

xv

VD

472,01524,0

072,0

1

2 D

D

Pelo gráfico da figura 8.20: k = 0,624 Substituindo na equação:

Vazão em massa: Qmreal

Igualando:

)(22 PkAQ )(222

222 PAkQ 22

2

2

22

2

22

22 Ak

Q

Ak

QP

PaP 125.22

)0762,0(4

)624,0(2

)01893,0)(1000(2

22

2

MEDIDORES DE VAZÃO

• EXERCÍCIO:

8.161 Um medidor venturi, com 75 mm de diâmetro na garganta, é instalado em uma linha de 150 mm de diâmetro que transporta água a 25°C. A queda de pressão entre a tomada de montante e a garganta do venturi é 300 mm de mercúrio. Calcule a vazão. Assumindo C = 0,99, SG = 13,6, g = 9,81, OH 2 =1000

MEDIDORES DE VAZÃO

• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 8.158

PaxgSGhhP OH 40000)1000)(81,9)(6,13(10300... 32

²0044,0)075,0(4

22 mA

5,0150

75

1

2 D

D

02,1)5,0(1

99,0

1 44

C

k

)(22 PkAmreal 14,40)40000)(1000(2)0044,0)(02,1( realm

smm

Q real /³04014,01000

14,40

MEDIDORES DE VAZÃO

• EXERCÍCIO:

8.163 Considere um venturi horizontal de 2 x 1 in, com escoamento de água. Para um diferencial de pressão de 20 psi, calcule a vazão em volume. Assumindo C = 0,99

Transformando Unidades: minD 0254,0)0254,0(112

minD 0508,0)0254,0(221 PaxPsiP 137900)10895,6(2020 3

MEDIDORES DE VAZÃO

• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 8.163:

5,00508,0

0254,0

1

2 D

D

02,1)5,0(1

99,0

1 44

C

k

²000507,0)0254,0(4

22 mA

smPkAmreal /³584,8)137900)(999(2)000507,0(02,1)(22

smm

Q real /³00859,01000

584,8

EXERCÍCIOS – 10.3• 10.3 As dimensões do rotor de uma bomba centrífuga são •

• A bomba é acionada a 1250 rpm enquanto bombeia água. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica de alimentação da bomba, se a vazão é 0,10 m³/s.

FÓRMULAS

)(cot iniiti gVUV ii

ni br

QV

2 ii rU

rbi

nii V

Vsen

i

nirbi sen

VV

)(

11122 UVUV

gH tt

QHmUVUVW ttm )( 1122

RESOLUÇÃO – EX. 10.3

mUVUVg

H tt 9,99)]75,6)(82,9()95,31)(75,32[(81,9

1)(

11122

KWmUVUVW ttm 9,97)999)(10,0)](75,6)(82,9()95,31)(75,32[()( 1122

srad /9,13060

2.1250

Entrada

)(cot 1111 gVUV nt

smbr

QVn /305,5

)04,0)(075,0(2

1,0

2 111

smrU /82,9)075,0)(9,130(11

1

11

rb

n

V

Vsen

smsensen

VV n

rb /12,660

305,50

1

11

smgVt /75,6)60(cot305,582,9 01

SAÍDA

)(cot 2222 gVUV nt

smbr

QVn /12,2

)03,0)(25,0(2

1,0

2 222

smrU /73,32)25,0)(9,130(22

2

22

rb

n

V

Vsen

smsensen

VV n

rb /26,270

12,20

2

22

smgVt /95,31)70(cot12,273,32 02

EXERCÍCIO – 10.5• 10.5 As dimensões do rotor de uma bomba centrífuga são

• A bomba é acionada a 575 rpm e o fluido é água. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecâ nica de alimentação da bomba se a vazão é 5,00 m³/s.

)(cot iniiti gVUV ii

ni br

QV

2 ii rU

rbi

nii V

Vsen

i

nirbi sen

VV

)(

11122 UVUV

gH tt

QHmUVUVW ttm )( 1122

RESOLUÇÃO – EX. 10.5

mUVUVg

H tt 3,486)]33,4)(09,24()47,67)(25,72[(81,9

1)(

11122

MWQHWm 85,23)3,486)(5)(9810(

srad /21,6060

2.575

ENTRADA

)(cot 1111 gVUV nt

smbr

QVn /58,16

)12,0)(4,0(2

5

2 111

smrU /09,24)21,60)(4,0(11

1

11

rb

n

V

Vsen

smsensen

VV n

rb /79,2540

58,160

1

11

smgVt /33,4)40(cot58,1609,24 01

SAÍDA

)(cot 2222 gVUV nt

smbr

QVn /29,8

)08,0)(2,1(2

5

2 222

smrU /25,72)21,60)(2,1(22

2

22

rb

n

V

Vsen

smsensen

VV n

rb /57,960

29,80

2

22

smgVt /47,67)60(cot29,825,72 02

EXERCÍCIO – 10.8• 10.8 Para o rotor do Problema 10.3, determine a velocidade de rotação para a

qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero se a vazão volumétrica for 0,25 m³/s. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica teórica de entrada na bomba.

SEÇÃO (1) SEÇÃO (2)

r(mm) 75 250

b(mm) 40 30

60 70

?

)(cot iniiti gVUV ii

ni br

QV

2 ii rU

rbi

nii V

Vsen

i

nirbi sen

VV

)(

11122 UVUV

gH tt

QHmUVUVW ttm )( 1122

RESOLUÇÃO – EX. 10.8

mUVUVg

H tt 38,61]0)6,23)(52,25[(81,9

1)(

11122

KWQHWm 150)38,61)(25,0(9810

Entrada

01 tV

)(cos 1111 rbt VUV

smbr

QVn /263,13

)04,0)(075,0(2

25,0

2 111

smsensen

VV n

rb /31,1560

263,130

1

11

11 rU

0)(cos 1111 rbt VrV

)(cos 111 rbVr

sradr

Vrb /102075,0

)60(cos31,15)(cos

1

11

SAÍDA

smrU /52,25)25,0)(102(22

smbr

QVn /305,5

)03,0)(25,0(2

25,0

2 222

smsensen

VV n

rb /65,570

305,50

2

22

smVt /6,23)70(cos65,552,25 02

EXERCÍCIO – 10.9• 10.8 Para o rotor do Problema 10.3, determine a velocidade de rotação para a

qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero se a vazão volumétrica for 0,25 m³/s. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica teórica de entrada na bomba.

SEÇÃO (1) SEÇÃO (2)

r(mm) 75 250

b(mm) 40 30

60 70

?

)(cot iniiti gVUV ii

ni br

QV

2 ii rU

rbi

nii V

Vsen

i

nirbi sen

VV

)(

11122 UVUV

gH tt

QHmUVUVW ttm )( 1122

RESOLUÇÃO – EX. 10.9Entrada

01 tV

srad /54,7860

2750

smrU /74,13)175,0(54,7811

0)(cos 1111 rbt VUV

smsen

UVrb /52,32

65

74,13

cos 01

11

smsensenVV rbn /48,29)65)(52,32( 0111

smbrVQ n /³62,1)05,0)(175,0)(2)(48,29(...2. 111

SAÍDA

smrU /27,39)5,0)(54,78(22

smbr

QVn /19,17

)03,0)(5,0(2

62,1

2 222

smsensen

VV n

rb /29,1870

19,170

2

22

smVt /33)70(cos29,1827,39 02

mUVUVg

H tt 16,132]0)33)(27,39[(81,9

1)(

11122

MWQHWm 1,2)16,132)(62,1(9810

EXERCÍCIO – 10.10• 10.10 Para o rotor do Problema 10.5, determine o ângulo de entrada da

pá para o qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero se a vazão volumétrica for 8 m³/s. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica teórica de entrada.

SEÇÃO (1) SEÇÃO (2)

r(mm) 400 1200

b(mm) 120 80

? 60

srad /21,6060

2.575

)(cot iniiti gVUV ii

ni br

QV

2 ii rU

rbi

nii V

Vsen

i

nirbi sen

VV

)(

11122 UVUV

gH tt

QHmUVUVW ttm )( 1122

RESOLUÇÃO – EX. 10.10srad /21,60

60

2.575

mUVUVg

H tt 475)]6,64)(25,72[(81,9

1)(

11122

MWQHWm 34,37)475)(8)(9810(

ENTRADA

0)(cot 1111 gVUV nt

smbr

QVn /53,26

)12,0)(4,0(2

8

2 111

smrU /09,24)21,60)(4,0(11

1

11cot

nV

Ug

908,053,26

09,24cot 1 g

01 7,47

SAÍDA

)(cot 2222 gVUV nt

smbr

QVn /26,13

)08,0)(2,1(2

8

2 222

smrU /25,72)21,60)(2,1(22

smgVt /6,64)60(cot25,1325,72 02

EXERCÍCIO 10.14• Uma bomba centrífuga, projetada para bombear água a 1300 rpm

tem dimensões

Desenhe o diagrama de velocidade de entrada para uma vazão volumétrica de 35 l/s. Determine o ân gulo de entrada nas pás para o qual a velocidade de entrada não possui componente tangencial. Trace o diagrama de velocidade de saída. Determine o ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção normal). Avalie a potência hidráulica fornecida pela bomba, se a sua eficiência é de 75%. Determine a altura de carga desenvolvida pela bomba.

RESOLUÇÃO – EX. 10.14ENTRADA

smx

br

QVn /57,5

)01,0)(1,0(2

1035

2

3

111

smrU /61,13)1,0)(14,136(11

0)(cot 1111 gVUV nt

1

11cot

nV

Ug

436,257,5

61,13cot 1 g

01 26,22

SAÍDA

smx

br

QVn /24,4

)0075,0)(175,0(2

1035

2

3

222

smrU /82,23)175,0)(14,136(22

)40(cot24,482,23)(cot 02222 ggVUV nt

smVt /76,182

425,424,4

76,18

2

22

n

t

V

Vtg

02 27,77

mUVUVg

H tt 475)]6,64)(25,72[(81,9

1)(

11122

MWQHWm 34,37)475)(8)(9810(

srad /14,13660

21300

01 tV

EXERCÍCIO – 10.17• Uma bomba centrífuga, projetada para bombear água a 460 gpm

tem dimensões (Q = 0,029m³/s)

• Desenhe o diagrama de velocidades de entrada. Determine a velocidade de projeto, se a velocidade de entrada não possui componente tangencial. Trace o diagrama de velocidades de saída. Determine o ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção normal). Avalie a altura de carga teórica desenvolvida pela bomba. Estime a mínima potência mecânica entregue à bomba.

PARÂMETRO ENTRADA SAÍDA

RAIO, r (m) 0,0762 0,1524

Largura da pá, b (m) 0,00762 0,00635

Ângulo da pá, (grau) 25 40

RESOLUÇÃO – EX. 10.17ENTRADA

0)(cot 1111 gVUV nt

smbr

QVn /95,7

)00762,0)(0762,0(2

029,0

2 111

0)(cot 1111 gVrV nt

)(cot 111 gVr n

1

11 )(cot

r

gVn

sradg

/87,2230762,0

)25)(cot95,7( 0

SAÍDA

smVn /77,4)00635,0)(1524,0(2

029,02

smrU /12,34)1524,0)(87,223(22

smgVt /43,28)40(cot77,412,34 02

96,577,4

43,28cot

2

22

n

t

V

Vg

02 47,80

mUVUVg

H tt 88,98]0)43,28)(12,34[(81,9

1)(

11122

WQHWm 28131)88,98)(029,0)(9810(

EXERCÍCIO – 10.25• Dados medidos durante testes de uma bomba centrífuga a 2750 rpm

são

• A vazão é 15 m3/h e o torque aplicado ao eixo da bomba é 8,5 N.m. Avalie as alturas totais de carga dinâmica na entrada e na saída da bomba, a potência hidráulica entregue ao fluido e a eficiência da bomba. Especifique o tamanho (potência) do motor elétrico necessário para acionar a bomba. Se a efi ciência do motor elétrico for 85%, calcule a potência elétrica necessária.

RESOLUÇÃO – EX. 10.25srad /98,287

60

22750

smQ /³00417,03600

15

)1(

2

)2(arg

2

22sucçãoadesc

p zg

Vpz

g

VpH

)1(

23

)2(arg

23

5,22

)5,2(

9810

101209

2

)5,3(

9810

10500

sucçãoadesc

p g

x

g

xH

mH p 5,4505,156,60

WQHW ph 1863)5,45)(00417,0)(9810(

A potência mecânica de entrada é:

WTWh 2448)98,287)(5,8(

Rendimento ( p )

%7676,02448

1863

m

hp W

W

A potência requerida pelo rotor é:

hpPm 28,376,0

2448

WP

Pe

me 2880

85,0

2448

EXERCÍCIO – 10.17• Uma bomba centrífuga, projetada para bombear água a 460 gpm

tem dimensões (Q = 0,029m³/s)

• Desenhe o diagrama de velocidades de entrada. Determine a velocidade de projeto, se a velocidade de entrada não possui componente tangencial. Trace o diagrama de velocidades de saída. Determine o ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção normal). Avalie a altura de carga teórica desenvolvida pela bomba. Estime a mínima potência mecânica entregue à bomba.

PARÂMETRO ENTRADA SAÍDA

RAIO, r (m) 0,0762 0,1524

Largura da pá, b (m) 0,00762 0,00635

Ângulo da pá, (grau) 25 40

RESOLUÇÃO – EX. 10.17ENTRADA

0)(cot 1111 gVUV nt

smbr

QVn /95,7

)00762,0)(0762,0(2

029,0

2 111

0)(cot 1111 gVrV nt

)(cot 111 gVr n

1

11 )(cot

r

gVn

sradg

/87,2230762,0

)25)(cot95,7( 0

SAÍDA

smVn /77,4)00635,0)(1524,0(2

029,02

smrU /12,34)1524,0)(87,223(22

smgVt /43,28)40(cot77,412,34 02

96,577,4

43,28cot

2

22

n

t

V

Vg

02 47,80

mUVUVg

H tt 88,98]0)43,28)(12,34[(81,9

1)(

11122

WQHWm 28131)88,98)(029,0)(9810(

EXERCÍCIO – 10.25• Dados medidos durante testes de uma bomba centrífuga a 2750 rpm

são

• A vazão é 15 m3/h e o torque aplicado ao eixo da bomba é 8,5 N.m. Avalie as alturas totais de carga dinâmica na entrada e na saída da bomba, a potência hidráulica entregue ao fluido e a eficiência da bomba. Especifique o tamanho (potência) do motor elétrico necessário para acionar a bomba. Se a efi ciência do motor elétrico for 85%, calcule a potência elétrica necessária.

RESOLUÇÃO – EX. 10.25srad /98,287

60

22750

smQ /³00417,03600

15

)1(

2

)2(arg

2

22sucçãoadesc

p zg

Vpz

g

VpH

)1(

23

)2(arg

23

5,22

)5,2(

9810

101209

2

)5,3(

9810

10500

sucçãoadesc

p g

x

g

xH

mH p 5,4505,156,60

WQHW ph 1863)5,45)(00417,0)(9810(

A potência mecânica de entrada é:

WTWh 2448)98,287)(5,8(

Rendimento ( p )

%7676,02448

1863

m

hp W

W

A potência requerida pelo rotor é:

hpPm 28,376,0

2448

WP

Pe

me 2880

85,0

2448

EXERCÍCIO 10.35

10.35 Uma bomba centrífuga opera a 1750 rpm (183,26 rad/s); o rotor tem pás curvadas para trás com = 60° e b2 = 0,50 in (0,0127 m). A uma vazão de 350 gpm (0,0220815 m³/s), a velocidade radial de saída é

2nV =

11,7 ft/s (3,57 m/s). Estime a altura de carga que esta bomba pode desenvolver a 1150 rpm (120,43 rad/s).

RESOLUÇÃO DO EX. 10.35' = 183,26 rad/s; 2'b = 0,0127 m;

2'nV = 3,57 m/s

'Q = 0,00220815 m³/s; '' = 120,43 rad/s ))()(2(' '

2'

2'2 brVQ n

Considerando o mesmo diâmetro, faremos a análise de semelhança através do coeficiente de vazão.

''

'

''

'

Q

Q 43,120

26,183

''

0220815,0

Q smQ /³0145,0''

Então se os diâmetros são iguais:

''

'''2

'2

n

n

V

V smVn /35,2

26,183

43,120)57,3(''

2

smrU /33,9)0775,0)(43,120('' 2''

2 smVUV nT /16,8)60cos()35,2(33,9cos'' 22

''2

''2

Logo, a altura de carga será dada por:

mg

UVH T 76,7

81,9

)16,8)(33,9(''2

''2

322

2311

1

22212221 D

Q

D

Q

UA

Q

UA

Q

nn

EXERCÍCIO 10.3610.36 Use os dados abaixo para verificar as regras de similaridade para uma bomba com diâmetro de impulsor D = 11,0 in (0,2794 m), operada a 1750 rpm (183,26 rad/s) e 3550 rpm (371,76 rad/s) . N (RPM) Q (gpm) H (ft) Wm (HP) Rendimento

(%) Bomba 1 1750 470 104 17 73 Bomba 2 3550 970 430 135 74 Rad/s Q (m³/s) H (m) Wm (W) Rendimento

(%) Bomba 1

183,26 0,0297 31,7 12.677 73

Bomba 2

371,76 0,0612 131,1 100.670 74

RESOLUÇÃO DO EX. 10.36Os coeficientes de similaridade são:

Vazão: 322

2311

1

D

Q

D

Q

Carga: 22

22

22

121

1

D

H

D

H

Potência: 52

32

251

31

1

D

P

D

P

Considerando 21 DD , tem-se:

030,0)76,371(

)26,183(0612,01

2

121

2

2

1

1 QQQQQ

Este valor encontrado é semelhante ao que está tabelado acima

8,31)76,371(

)26,183(1,131

2

2

122

21

2122

221

1 HHHHH

Este valor encontrado é semelhante ao que está tabelado acima

12060)76,371(

)26,183(100670

3

3

132

31

2132

231

1 PPPPP

Percebe-se mais uma vez a similaridade entre as bombas

EXERCÍCIO 10.46

10.46 Um modelo de bomba centrífuga, em escala 1:3, produz uma vazão

mQ = 32 cfs (pés cúbicos por segundo) ou (0,906 m³/s) com uma altura de carga mH = 15 ft (4,572 m), operando a mN = 100 rpm (10,472 rad/s). Admitindo eficiências comparáveis para modelo e protótipo, estime a vazão, a altura de carga e a potência requerida se a velocidade de projeto é 125 rpm (13,09 rad/s). O fluido é água.

RESOLUÇÃO DO EX. 10.46

3

1

p

m

D

D

Os coeficientes de similaridade são:

Vazão: 58,303472,10

09,13906,0 3

3

33

m

p

m

pmp

pp

p

mm

m

D

DQQ

D

Q

D

Q

Carga: 294,643472,10

09,13572,4 2

222

2222

m

p

m

pmp

pp

p

mm

m

D

DHH

D

H

D

H

Potência: 53

5353

m

p

m

pmp

pp

p

mm

m

D

DPP

D

P

D

P

Contudo, teremos que antes encontrar a potência hidráulica do modelo, que é dada pela equação:

WHQP mmm 40635)572,4)(906,0(9810

Logo: WPp 192691403472,10

09,1340635 5

3

EXERCÍCIO – 10.17• Uma bomba centrífuga, projetada para bombear água a 460 gpm

tem dimensões (Q = 0,029m³/s)

• Desenhe o diagrama de velocidades de entrada. Determine a velocidade de projeto, se a velocidade de entrada não possui componente tangencial. Trace o diagrama de velocidades de saída. Determine o ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção normal). Avalie a altura de carga teórica desenvolvida pela bomba. Estime a mínima potência mecânica entregue à bomba.

PARÂMETRO ENTRADA SAÍDA

RAIO, r (m) 0,0762 0,1524

Largura da pá, b (m) 0,00762 0,00635

Ângulo da pá, (grau) 25 40

RESOLUÇÃO – EX. 10.17ENTRADA

0)(cot 1111 gVUV nt

smbr

QVn /95,7

)00762,0)(0762,0(2

029,0

2 111

0)(cot 1111 gVrV nt

)(cot 111 gVr n

1

11 )(cot

r

gVn

sradg

/87,2230762,0

)25)(cot95,7( 0

SAÍDA

smVn /77,4)00635,0)(1524,0(2

029,02

smrU /12,34)1524,0)(87,223(22

smgVt /43,28)40(cot77,412,34 02

96,577,4

43,28cot

2

22

n

t

V

Vg

02 47,80

mUVUVg

H tt 88,98]0)43,28)(12,34[(81,9

1)(

11122

WQHWm 28131)88,98)(029,0)(9810(

EXERCÍCIO – 10.25• Dados medidos durante testes de uma bomba centrífuga a 2750 rpm

são

• A vazão é 15 m3/h e o torque aplicado ao eixo da bomba é 8,5 N.m. Avalie as alturas totais de carga dinâmica na entrada e na saída da bomba, a potência hidráulica entregue ao fluido e a eficiência da bomba. Especifique o tamanho (potência) do motor elétrico necessário para acionar a bomba. Se a efi ciência do motor elétrico for 85%, calcule a potência elétrica necessária.

RESOLUÇÃO – EX. 10.25srad /98,287

60

22750

smQ /³00417,03600

15

)1(

2

)2(arg

2

22sucçãoadesc

p zg

Vpz

g

VpH

)1(

23

)2(arg

23

5,22

)5,2(

9810

101209

2

)5,3(

9810

10500

sucçãoadesc

p g

x

g

xH

mH p 5,4505,156,60

WQHW ph 1863)5,45)(00417,0)(9810(

A potência mecânica de entrada é:

WTWh 2448)98,287)(5,8(

Rendimento ( p )

%7676,02448

1863

m

hp W

W

A potência requerida pelo rotor é:

hpPm 28,376,0

2448

WP

Pe

me 2880

85,0

2448