1/137 Modelagem Estatística Variáveis Aleatórias

1/137

ModelagemEstatística

Variáveis Aleatórias

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Variável

Característica que pode ser observada (ou

mensurada) nos elementos da população,

devendo ter um e apenas um resultado para

cada elemento observado.

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Variáveis

Qualitativas - O resultado da variável é uma

resposta não numérica. Exemplo: sexo, grau de instrução etc.

Quantitativas - O resultado é um número. Exemplo: idade, altura etc.

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Variável Aleatória

Quando os resultados de uma variável são

determinados pelo acaso, trata-se de uma

variável aleatória.

“Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo valor é determinado por fatores de chance.”

Stevenson, W. (Estatística aplicada à administração)

5/137

Exemplos

Selecionando-se uma pessoa de um município através de sorteio, o peso é uma variável aleatória.

Sorteando-se uma empresa de um setor, o número de funcionários é uma variável aleatória.

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Exemplo

Lança-se uma moeda e verifica-se a face obtida (cara ou coroa).

Face obtida - variável qualitativa - não é uma variável aleatória.

Número de caras - variável aleatória associada à variável qualitativa estudada.

7/137

Distribuição deProbabilidades

A distribuição de probabilidades, ou modelo

probabilístico, indica, para uma variável

aleatória, quais são os resultados que podem

ocorrer e qual é a probabilidade de cada

resultado acontecer.

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Exercício

Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida.

Construir a distribuição de probabilidades para a

variável aleatória número de caras.

9/137

Distribuição deProbabilidades

Resultados Probabilidade Possíveis

0 0,5

1 0,5

Total 1

10/137

Distribuição deProbabilidades

k P(X=k)

0 0,5

1 0,5

Total 1 0 1

0,50 0,50

11/137

Exercício

Considerando-se que 2 moedas tenham sido

lançadas, construir a distribuição de probabilidades

para a variável aleatória número de caras.

12/137

U

Probabilidade

Regra da Multiplicação

A probabilidade de que dois eventos

independentes ocorram é igual à multiplicação

das probabilidades individuais.

P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B)

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Probabilidade

Evento - Qualquer situação ou resultado que

nos interessa.

Dois eventos são independentes se a ocorrência

de um não alterar a probabilidade de ocorrência

do outro.

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Exercício

Considerando-se que 2 moedas tenham sido

lançadas, construir a distribuição de probabilidades

para a variável aleatória número de caras.

15/137

Exercício

Resultadosnuméricos

0

1

1

2

Resultados possíveis

Coroa Coroa

Cara Coroa

Coroa Cara

Cara Cara

Probabilidade

0,5 x 0,5 = 0,25

0,5 x 0,5 = 0,25

0,5 x 0,5 = 0,25

0,5 x 0,5 = 0,251o lanç. 2o lanç.

16/137

Diagramade Árvore

cara

coroa

cara

coroa

1o lançamento

cara

coroa

2o lançamento

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

P = 0,25

P = 0,25

P = 0,25

P = 0,25

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Distribuição deProbabilidades

Resultados Probabilidade Possíveis

0 0,251 0,502 0,25

Total 1

18/137

Probabilidade

Regra da Adição

A probabilidade de que um entre dois eventos

mutuamente excludentes ocorra é igual à

soma das probabilidades individuais.

P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B)

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Probabilidade

Dois eventos são mutuamente excludentes, ou

exclusivos, se a ocorrência de um impedir a

ocorrência do outro. Exemplo: No problema anterior, havia basicamente 4

resultados possíveis (KK, CK, KC e CC). Estas quatro situações são excludentes, isto é, somente uma delas poderá ocorrer.

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Exercício

Resultadosnuméricos

0

1

1

2

Resultados possíveis

Coroa Coroa

Cara Coroa

Coroa Cara

Cara Cara

Probabilidade

0,5 x 0,5 = 0,25

0,5 x 0,5 = 0,25

0,5 x 0,5 = 0,25

0,5 x 0,5 = 0,251o lanç. 2o lanç. Soma = 1

21/137

Distribuição deProbabilidades

k P(X=k)

0 0,25

1 0,50

2 0,25

Total 1

0,50

0 1 2

0,250,25

22/137

Exercício

Um grande lote de peças possui 60% dos itens

com algum tipo de defeito. Construir a

distribuição de probabilidades para a variável

aleatória número de itens com defeito dentre

2 sorteados aleatoriamente.

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Exercício

Resultadosnuméricos

0

1

1

21o item 2o item

Resultados possíveis

Bom Bom

Bom Def.

Def. Bom

Def. Def.

Probabilidade

0,4 x 0,4 = 0,16

0,4 x 0,6 = 0,24

0,6 x 0,4 = 0,24

0,6 x 0,6 = 0,36

24/137

Exercício

k P(X=k)

0 0,16

1 0,48

2 0,36

Total 1

0,48

0 1 2

0,36

0,16

25/137

Exercício

Um grande lote de peças possui 60% dos itens

com algum tipo de defeito. Construir a

distribuição de probabilidades para a variável

aleatória número de itens com defeito dentre

3 sorteados aleatoriamente.

26/137

Exercício

Res. num.

01112223

Res. poss.

B B BB B DB D BD B BB D DD B DD D BD D D

Probabilidade

0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,0640,4 x 0,4 x 0,6 = 0,0960,4 x 0,6 x 0,4 = 0,0960,6 x 0,4 x 0,4 = 0,0960,4 x 0,6 x 0,6 = 0,1440,6 x 0,4 x 0,6 = 0,1440,6 x 0,6 x 0,4 = 0,1440,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216

27/137

0,064

0 1 2 3

0,216

0,432

0,288

Exercício

k P(X=k)

0 0,064

1 0,288

2 0,432

3 0,216

Total 1

28/137

O valor esperado, ou esperança, ou média, de

uma distribuição de probabilidades corresponde

à média dos resultados da variável aleatória

quando o número de observações for muito

grande.

Valor Esperado

29/137

E(X) = x = (xi.pi)

Valor Esperado

X P(X)

x1 p1

x2 p2

... ...

xn pn

Total 1

30/137

E(X) = x = (xi.pi)

Variância

X P(X)

x1 p1

x2 p2

... ...

xn pn

Total 1

VAR(X) = x = pi.(xi-x)2

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Exercício - 1

Um grande lote de peças possui 60% dos itens

com algum tipo de defeito. Calcular o número

esperado de itens com defeito dentre 3

sorteados aleatoriamente e o desvio padrão.

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Exercício

k P(X=k)

0 0,064

1 0,288

2 0,432

3 0,216

Total 1

x = itens

x = item

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U

Regra da Multiplicação

A probabilidade de que dois eventos não

independentes ocorram é igual à multiplicação

das probabilidades individuais.

P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B / A)

Probabilidade

Probabilida-de condi-

cional

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Probabilidade Condicional

P(B / A) - probabilidade do evento B ocorrer

dado que o evento A tenha ocorrido.

35/137

Exemplo

Um lote com 20 peças contém 4 defeituosas. Se

forem retiradas duas peças do lote, qual é a

probabilidade de serem retiradas: a) duas peças boas?

b) duas peças defeituosas?

36/137

Exemplo

P(B) =16

20P(D) =

4

20

B - Peça Boa

D - Peça Defeituosa

37/137

Exemplo

Se a primeira peça for:Boa Defeituosa

P(B/B) = 15 / 19P(D/B) = 4 / 19

P(B/D) = 16 / 19P(D/D) = 3 / 19

38/137

Exemplo

a) P(BB) =16

20

15

19

a) P(DD) =4

20

3

19

= 0,6316 ou 63,16%

= 0,0316 ou 3,16%

39/137

UProbabilidade

Regra da Adição

A probabilidade de que pelo menos um entre

dois eventos não excludentes ocorra é igual a:

P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B)

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Exemplo

A Petrobrás perfura um poço quando acha que

há probabilidade de ao menos 40 % de

encontrar petróleo. Ela perfura 2 poços, aos

quais atribui as probabilidades de 40 % e 50 %.

Qual é a probabilidade de que pelo menos um

poço produza petróleo?

41/137

Exemplo

P(A) = 0,4

P(B) = 0,5

P(A e B) = 0,4 . 0,5 = 0,2

P(A ou B) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7

42/137

Exemplo

poço A poço B

Resultados possíveis

Produz Não

Produz Produz

Não Produz

Não Não

Probabilidade

0,4 x 0,5 = 0,2

0,4 x 0,5 = 0,2

0,6 x 0,5 = 0,3

0,6 x 0,5 = 0,3

0,7

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MODELOS PROBABILÍSTICOS

44/137

Modelos Probabilísticos

Em problemas práticos, normalmente não é

necessário deduzir as probabilidades de

ocorrência, pois existem alguns modelos

probabilísticos que se aplicam a várias

situações práticas, fornecendo a regra de

determinação das probabilidades.

45/137

Modelos Probabilísticos

O problema não é “como se

deduzem os valores?”, mas

sim “como se usam as

distribuições para resolver

problemas?”

William J. Stevenson

46/137

Exercício Anterior

Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida.

Construir a distribuição de probabilidades para a

variável aleatória número de caras.

47/137

Distribuição deProbabilidades

k P(X=k)

0 0,5

1 0,5

Total 1 0 1

0,50 0,50

48/137

Distribuição de Bernoulli

A distribuição de Bernoulli apresenta apenas

dois resultados possíveis (sim ou não), com

probabilidade de sucesso igual a “p”.

49/137

Distribuição deBernoulli

k P(X=k)

0 (1-p)

1 p

Total 1

E(X) = x = p

VAR(X) = p.(1-p)

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Distribuição Binomial

51/137

Distribuição Binomial

O modelo binomial pressupõe:

São efetuados n experimentos iguais e independentes.

Cada um dos experimentos tem apenas 2 resultados possíveis e excludentes (sim e não).

Consequentemente, a probabilidade de sim (p) para cada experimento é constante.

A variável aleatória de interesse é o número de sim obtidos nos n experimentos.

52/137

DistribuiçãoBinomial

Para identificar uma distribuição binomial,

bastam os parâmetros n e p.

53/137

Exercício Anterior

Um grande lote de peças possui 60% dos itens

com algum tipo de defeito. Construir a

distribuição de probabilidades para a variável

aleatória número de itens com defeito dentre

3 sorteados aleatoriamente.

54/137

Exercício Anterior

Res. num.

01112223

Res. poss.

B B BB B DB D BD B BB D DD B DD D BD D D

Probabilidade

0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,0640,4 x 0,4 x 0,6 = 0,0960,4 x 0,6 x 0,4 = 0,0960,6 x 0,4 x 0,4 = 0,0960,4 x 0,6 x 0,6 = 0,1440,6 x 0,4 x 0,6 = 0,1440,6 x 0,6 x 0,4 = 0,1440,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216

55/137

0,064

0 1 2 3

0,216

0,432

0,288

Exercício Anterior

k P(X=k)

0 0,064

1 0,288

2 0,432

3 0,216

Total 1

56/137

Distribuição Binomial

O exemplo apresentado pode ser representado

por uma distribuição binomial.

n = 3

p = 0,6 (item com defeito = sim)

(Deseja-se o número de itens com defeito)

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Equação da Binomial

P(X=k) = pk.(1- p)(n-k)( )nk

=( )nk

n!

k! (n-k)!

58/137

DistribuiçãoBinomial

E(X) = x = np

VAR(X) = n.p.(1-p)

k P(X=k)

0 P(X=0)

1 P(X=1)

... ...

n P(X=n)

Total 1

59/137

Exemplo

n = 3

p = 0,6P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k)( )3

k

( )30

P(X=0) = 0,60.(1- 0,6)(3-0) = 1.0,60.0,43 = 0,064

=( )30

3!

0! (3-0)!= 1

1

60/137

Exemplo

n = 3

p = 0,6P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k)( )3

k

( )31

P(X=1) = 0,61.(1- 0,6)(3-1) = 3.0,61.0,42 = 0,288

=( )31

3!

1! (3-1)!= 3

61/137

Exemplo

n = 3

p = 0,6P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k)( )3

k

( )32

P(X=2) = 0,62.(1- 0,6)(3-2) = 3.0,62.0,41 = 0,432

=( )32

3!

2! (3-2)!= 3

62/137

Exemplo

n = 3

p = 0,6P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k)( )3

k

( )33

P(X=3) = 0,63.(1- 0,6)(3-3) = 1.0,63.0,40 = 0,216

=( )33

3!

3! (3-3)!= 1

1

63/137

0,064

0 1 2 3

0,216

0,432

0,288

Exercício

k P(X=k)

0 0,064

1 0,288

2 0,432

3 0,216

Total 1

64/137

Distribuição Acumulada

k P(X=k) Prob. Acumulada

0 0,064 0,0641 0,288 0,3522 0,432 0,7843 0,216 1,000

Total 1 -

65/137

Exercício 2

Considerando a mesma situação do exemplo

anterior, construir a distribuição de

probabilidades para o caso de 5 itens.

n = 5p = 0,6

66/137

Exercício

k P(X=k) Probab. Acumul.0 0,01024 0,010241 0,07680 0,087042 0,23040 0,317443 0,34560 0,663044 0,25920 0,922245 0,07776 1,00000

Total 1 -

67/137

Tabela Binomial

As probabilidades para algumas binomiais

podem ser encontradas em tabelas nos livros de

estatística.

Também podem ser utilizados softwares.

68/137

Exercício 3

Em um grande lote, sabe-se que 10 % da peças

são defeituosas. Qual é a probabilidade de, ao

se retirarem 6 peças ao acaso: a) Apenas uma ser defeituosa?

b) No máximo uma ser defeituosa?

c) Pelo menos duas serem defeituosas?

0,3543

0,8857

0,1143

69/137

Exercício 4

Os produtos de uma empresa sofrem inspeção de qualidade, através de uma amostra com 12 peças, antes de serem enviados aos consumidores, podendo ser classificados em A (de ótima qualidade), B (bons) e C (de 2ª categoria). Se 70 % de um grande lote forem do tipo A, 20 % forem do tipo B e o restante for do tipo C, qual é a probabilidade de que a amostra apresente no máximo 5 peças tipo B ou C?

0,8822

70/137

Exercício 5

Sabe-se que 1% dos produtos fabricados por uma empresa apresentam problemas de qualidade. Dois clientes encomendam um grande lote cada um, mas as remessas têm que passar pela inspeção de qualidade no recebimento. O cliente A seleciona ao acaso 10 produtos e o lote é aceito se não existir nenhuma peça com problema de qualidade. O cliente B toma uma amostra com 20 produtos e aceita o lote se no máximo 1 peça apresentar problemas de qualidade. Qual é a probabilidade dos dois lotes serem aceitos pelos clientes?

71/137

Exercício

Cliente A Cliente B

n = n =

P(X=0) = P(X=0) + P(X=1) =

P(A e B) = = 0,8891 ou 88,91%

p =

72/137

Distribuição Multinomial

73/137

Distribuição Multinomial

O modelo multinomial é uma generalização do binomial:

São efetuados n experimentos iguais e independentes.

Cada um dos experimentos tem mais de 2 resultados possíveis e excludentes (k resultados).

A probabilidade de sim para o resultado “k” (pk) (i=1, 2, ...) em todos os experimentos é constante.

A variável aleatória de interesse é o número de sim em cada categoria.

74/137

Distribuição Multinomial

P(X=x1, x2, ..., xk) = p1x1 p2

x2 ...pkxk

n!

x1! x2!... xk!

n = x1 + x2 + ... + xk

75/137

VARIÁVEIS CONTÍNUAS

76/137

Exemplo

Um jogo de azar é realizado da seguinte forma:

toma-se um círculo e divide-se-o em duas partes

iguais, 1 e 2. Sobre o centro do círculo, é fixado

um ponteiro, o qual é girado e anota-se o

número do setor onde a ponta do ponteiro parou.

77/137

Exemplo

Construir a

distribuição de

probabilidades

para o número

obtido neste

experimento.

12

78/137

Distribuição deProbabilidades

1 2

0,50 0,50

k P(X=k)

1 0,5

2 0,5

Total 1

79/137

Exemplo

Considerar a mesma situação, só que o círculo

é dividido em quatro partes iguais. Construir a

distribuição de probabilidades para o número

obtido neste experimento.

80/137

Exemplo

Construir a

distribuição de

probabilidades

para o número

obtido neste

experimento.

12

3 4

81/137

k P(X=k)

1 0,25

2 0,25

3 0,25

4 0,25

Total 1

Distribuição deProbabilidades

1 2 3 4

82/137

Exemplo

Construir a

distribuição de

probabilidades

para o número

obtido neste

experimento.

12

3

4

5 6

7

8

83/137

Histograma

1 2 3 4 5 6 7 8

0,12

5

0,12

5

0,12

5

0,12

5

0,12

5

0,12

5

0,12

5

0,12

5Número obtido

84/137

Exemplo

Construir a

distribuição de

probabilidades

para o número

obtido neste

experimento.

123

4

5

6

78

9 10 1112

13

1415

16

85/137

Histograma

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Número obtido

86/137

Dúvida...

Qual é o número máximo de setores que se

consegue em um círculo?

Resp: Infinitos

87/137

Variável Contínua

Como existem infinitos resultados possíveis, o

número obtido no experimento, temos uma

situação próxima à da variável contínua.

Como ficaria o histograma?

88/137

1 8

Histograma?

Área = 1

89/137

Dúvida...

Qual é a probabilidade dessa variável aleatória contínua assumir um determinado valor (10, por exemplo)?

Resposta: A probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir exatamente um determinado valor é zero.

90/137

Probabilidades...

As probabilidades não podem mais ser calculadas através de equações do tipo P(X=k) = FÓRMULA.

Para identificar uma distribuição contínua, existe a função densidade de probabilidade, que é uma equação do tipo y=f(x).

91/137

Função da Densidade de Probabilidade

A função densidade de probabilidade está

relacionada com a probabilidade da variável

aleatória contínua assumir algum resultado

possível.

92/137

Função Densidade de Probabilidade

f(x)

variável aleatória

93/137

Variável Contínua

O estudo de uma variável aleatória contínua é análogo ao das variáveis discretas.

A distribuição de probabilidades indica, para uma variável aleatória, quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer.

94/137

Variável ContínuaCaracterísticas

A área sob a função densidade é 1.

f(x)

variável aleatória

área = 1 (ou 100%)

95/137

Variável ContínuaCaracterísticas

A probabilidade da variável aleatória assumir um

valor determinado é zero, pois existem infinitos

resultados possíveis.

As probabilidades sempre se referem a

intervalos de valores.

96/137

Características

f(x)

Xk

P(X=k) = 0

97/137

A probabilidade da variável aleatória assumir um

valor em um intervalo é igual à área sob a

função densidade naquele intervalo.

Variável ContínuaCaracterísticas

98/137

Características

f(x)

Xa

P(a < X < b) = área amarelab

P(a<X<b)

99/137

Exercício

Sobre o centro de um círculo, é fixado um

ponteiro, o qual é girado e anota-se o ângulo

formado pelo ponteiro com o eixo horizontal,

como na figura a seguir.

100/137

Exercício

Definir a função

densidade de

probabilidades

para o ângulo ()

obtido neste

experimento.

101/137

Exercício

f(x)

0o 360oX

Área = 1

1360

102/137

Exercício

Qual é a probabilidade de se obter um ângulo

entre 30o e 60o?

103/137

Exercício

f(x)

0o 360oX

30o 60o

área = 60 - 30

360 - 0=

112

= 0,0833

P(30o < X < 60o)

104/137

DistribuiçãoUniforme

f(x)

X

f(x) = 1

1

105/137

DistribuiçãoUniforme

P(a < X < b) = b - a

f(x)

X a b

106/137

Distribuição Normal

107/137

Função Densidade

f x ex

( )( )

1

2

1

22

- média - desvio padrão

108/137

DistribuiçãoNormal

f(x)

X

f x ex

( )( )

1

2

1

22

109/137

Características

Variável

identificada

pela média e

pelo desvio

padrão.X

110/137

Média e Desvio Padrão

= 1

= 2

= 3

= 4

X

111/137

Média e Desvio Padrão

X

= 3

1 32

112/137

Características

Simetria

em

relação à

média.

X

50%

113/137

Características

A área sob a curva entre a média e um ponto qualquer é função da distância padronizada entre a média e aquele ponto.

Distância padronizada - distância expressa em função do número de desvios padrões (distância dividida pelo desvio padrão).

114/137

+-

área = 68,3%

Exemplo

115/137

+2-2

Exemplo

área = 95,4%

116/137

Exemplo

+3-3

área = 99,7%

117/137

Características

X a

P ( X < a )

As áreas referem-se a probabilidades.

118/137

NormalPadronizada

O cálculo de áreas sob a curva normal é

consideravelmente complexo.

Por isso, é conveniente trabalhar com valores

padronizados.

119/137

NormalPadronizada

Para padronizar uma variável normal, toma-se a

média como ponto de referência e o desvio

padrão como medida de afastamento.

120/137

NormalPadronizada

Z = X -

Z - variável normal padronizadaX - variável normal - média - desvio padrão

121/137

= 0

NormalPadronizada

= 1

Z

122/137

NormalPadronizada

X- +-2 +2

0Z

-1 1-2 2

123/137

Exemplo

O peso de uma peça é normalmente distribuído com média de 500 gramas e desvio padrão de 5 gramas.

Encontrar os valores padronizados relativos aos pesos: 485g, 490g, 495g, 500g, 505g, 510g e 515g.

124/137

Exemplo

X = 510 g

Z = X -

510 - 500

5= = 2=

10

5

125/137

Exemplo

Z

495

-1

505

1

485 515

-3 3

510490

2-2 0

= 5

X500

126/137

Exemplo

Z

510

20

= 5

X500

P(X<510) = P(Z<2)

127/137

Exercício

Com base na tabela da normal padronizada,

calcular:

a) P(Z < -1)

Z0-1

0,158655

128/137

Exercício

b) P(Z > 1)

Z0 +1

0,158655

129/137

Exercício

c) P(Z < 1)

Z0 1

0,841345

130/137

Exercício

c) P(-1 < Z < 1)

1- 0, 158655 - 0,158655 = 0,68269

Z0 1-1

131/137

Exercício

c) P(-2 < Z < 2)

1 - 0, 022750 - 0,022750 = 0,9545

Z0 2-2

132/137

Exercício

c) P(-3 < Z < 3)

1- 0,001350 - 0,001350 = 0,9973

Z0 3-3

133/137

Exercício 6

Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões

seja normal, com média de 50.000 Km e desvio

padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de

um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida

útil de:

a) menos de 49.000 Km? 0,158655

134/137

Exercício 6

Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de:

b) mais de 51.000 Km? 0,158655

135/137

Exercício 6

Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de:

c) entre 49.000 Km e 51.000 Km? 0,68269

136/137

Exercício 6

Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de:

d) entre 48.000 Km e 52.000 Km? 0,9545

137/137

Exercício 6

Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de:

e) entre 47.000 Km e 53.000 Km? 0,9973