View
214
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
UNIVERSIDADE FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL
DA PARAÍBADA PARAÍBA
Luiz Medeiros de Araujo Lima FilhoLuiz Medeiros de Araujo Lima FilhoDepartamento de EstatísticaDepartamento de Estatística
Distribuição AmostralDistribuição Amostral
INTRODUÇÃO
• A Inferência Estatística é um conjunto de técnicas queobjetiva estudar a população através de evidências fornecidaspor uma amostra.
• É a amostra que contém os elementos que podem serobservados e, a partir daí, quantidades de interesse podemser medidas.
x
• A Distribuição Amostral retrata o comportamento de umaestatística (média, proporção, entre outras), casoretirássemos todas as possíveis amostras de tamanho “n”de uma população.
• Uma estatística é uma função da amostra. Uma amostraconsiste de observações de uma variável aleatória. Assim,estatísticas também são variáveis aleatórias e, por isso,possuem uma distribuição de probabilidade.
x
Considere uma população de 5 elementos (N = 5): 2, 3, 6, 8 e11. Determine todas as amostras possíveis com reposição ecalcule a média e a variância
Solução: Na população, temos que µ=6 e σ2=10,8.
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA
Solução: Na população, temos que µ=6 e σ2=10,8.
Amostra (2,2) (2,3) (2,6) (2,8) (2,11) (3,2) .... (11,11)
2 2,5 4 5 6,5 2,5 .... 11
0 0,5 8 18 40,5 0,5 .... 0
X
2S
• Seja X1, X2, ..., Xn uma a.a.s. retirada de uma população X.Temos que X1, X2, ..., Xn são independentes, com E(Xi) = µ eVar(Xi) = σ2. Assim, se X tem distribuição normal ou n > 30(Teorema Central do Limite), temos que
x
• Suponha que podemos extrair todas as amostras de tamanho n
(sem reposição) de uma população finita de tamanho N, neste casotemos que:
µ µ σσ
X n
N n
N= =
−
− e
X 1
A quantidade é conhecida como o fator de correção amostralpara população finita, ou simplesmente “Fator de Correção”.
N n
N
−
− 1
x
• Se o tamanho da população for muito grande, infinito ou ainda aamostragem for feita com reposição, os resultados acima passam aser:
Obs: Uma população que tem um limite superior definido é chamadade finita. Em estatística, considera-se como população finita quando(n/N) > 0,05, ou seja, quando a fração amostral é maior do que 5 %.
µ µ σσ
X n= = e
X
para população finita, ou simplesmente “Fator de Correção”.
Distribuição Amostral de quando a população é normalX
Distribuição Amostral de quando a população não é normal e amostra suficientemente grande
X
EXEMPLO 1
A altura dos estudantes da turma de Estatística temdistribuição normal com média 172 cm e desvio padrão 9 cm.Uma amostra de 25 estudantes é retirada.
a) Qual a probabilidade de que a média amostral seja acimade 175 cm?de 175 cm?
b) Qual a probabilidade de que a média amostral esteja entre170 e 176 cm?
c) Qual deve ser a altura média dos estudantes que permitaque em 90% das vezes a média amostral seja inferior a estevalor.
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO
Considere uma população em que cada elemento éclassificado de acordo com a presença ou ausência dedeterminada característica. Por exemplo, podemos pensar emeleitores escolhendo entre 2 candidatos, pessoasclassificadas de acordo com o sexo, e assim por diante.Vamosclassificadas de acordo com o sexo, e assim por diante.Vamosconsiderar uma população em que a proporção de indivíduoscom uma certa característica é p. Logo, podemos definir umav.a. X como
• Retira-se uma a.a.s. de tamanho n dessa população. Sejao número de indivíduos com a característica de
interesse na amostra, temos que Sn ~ Binomial(n, p).
• A variável aleatória Sn tem distribuição exata dada por uma
∑=
=
n
i
in XS1
• A variável aleatória Sn tem distribuição exata dada por umabinomial com parâmetros n e p. Desta forma, probabilidadesenvolvendo a proporção amostral podem ser calculadas demodo exato usando esta distribuição.
• Caso o valor de n seja muito grande, essas probabilidadesdarão algum trabalho para serem calculadas e torna-seconveniente utilizar a aproximação Normal.
A Distribuição Amostral de pode ser aproximadapor uma distribuição normal de probabilidadesempre que o tamanho da amostra for grande.
TEOREMA CENTRAL DO LIMITE
p̂
Pode-se utilizar essa aproximação se são satisfeitasas seguintes condições:
o np ≥ 5
o n(1-p) ≥ 5
• Sabemos que tem distribuição normal para nsuficientemente grande. Seja , a proporção amostral,temos que:
n
SX n
=
Xp =ˆ
Obs: é conhecido como erro padrão da proporção.p̂σ
• Suponha que podemos extrair todas as amostras detamanho n (sem reposição) de uma população finita detamanho N, neste caso temos que:
1
)1(ˆˆ
−
−−==
N
nN
n
ppp pp σµ e
x
• Se o tamanho da população for muito grande, infinito ouainda a amostragem for feita com reposição, os resultadosacima passam a ser:
n
pppp
)1(ˆˆ
−== p e σµ
A quantidade é conhecida como o fator de correçãoamostral para população finita, ou simplesmente “Fator deCorreção”.
N n
N
−
− 1
Com base em dados históricos, uma companhia aérea estima em15% a taxa de desistência entre seus clientes, isto é, 15% dospassageiros com reserva não aparecem na hora do vôo. Paraotimizar a ocupação de suas aeronaves, essa companhia decideaceitar 400 reservas para os vôos em aeronaves que comportamapenas 350 passageiros.
Exemplo 2
apenas 350 passageiros.
a) Qual a probabilidade de que essa companhia não tenhaassentos suficientes em um desses vôos. Essa probabilidade éalta o suficiente para a companhia rever sua política de reserva?
x
De acordo com os estudos realizados pela Cagepa, no município de JoãoPessoa, o consumo mensal de água por residência tem distribuição normalcom média 20 m3 e variância de 144 m3.
a) Em uma amostra de 36 residências, qual a probabilidade de que a médiaamostral não se afaste da verdadeira média populacional por mais de 2
Exemplo 3
amostral não se afaste da verdadeira média populacional por mais de 2m3?
b) Devida a escassez de água nos reservatórios, a empresa deseja estipularum consumo médio de forma que em 95% das vezes o consumo médioamostral seja inferior a este valor. Qual deve ser o valor estipulado pelaCagepa?
Exemplo 4
Com base em dados obtidos em uma pesquisa de mercado,observou-se a aceitação de um determinado sabonete é de 70%. Aempresa entrevistou 100 consumidores.
a) Qual deveria ter sido o tamanho da amostra com nível deconfiança de 95% e um erro amostral de no máximo 3%?confiança de 95% e um erro amostral de no máximo 3%?
b) Qual a probabilidade de que a proporção amostral deaceitação do sabonete esteja entre 65% e 78%?
c) Qual a probabilidade de que sejam encontradas 60 oumais consumidores que tenham aprovado o produto?
Recommended