บทที่ 3...

บทท 3 ฟงกชนหลายตวแปรและอนพนธยอย ปญหาเบองตนอาจเปนปญหาทขนอยกบปจจยเดยว การแกปญหาอยในรปของฟงกชนหนงตวแปร (Calculus I) โดยทวไป ปญหาจะขนอยกบหลายปจจยโดยมตวแบบเชง

คณตศาสตรเปนฟงกชนหลายตวแปร การแกปญหาสามารถขยายแนวคดจากแคลคลสของฟงกชนหนง

ตวแปรได ในบทนจะศกษา

1. ฟงกชนหลายตวแปร 2. ลมตและความตอเนอง 3. อนพนธยอย 4. กฎลกโซ 5. อนพนธระบทศทาง 6. ผลตางเชงอนพนธรวม 7. ระนาบสมผส และเสนแนวฉาก 8. คาสดขด และการประยกตปญหาคาสดขด 9. ตวคณลากรานจ

3.1 ฟงกชนหลายตวแปร มปรมาณหลาย ๆ อยางทเกยวของกบตวแปรตงแต 2 ตวขนไป

ตวอยางเชน ปรมาตรของทรงกระบอก: 2V r h

ซงขนอยกบรศมของฐานวงกลม r และ ความสง h

พนทสามเหลยม: 1

A bh2

ซงขนกบความยาวของฐาน b และ ความสง h ปรมาตรของกลอง : *V l wh

ซงขนกบความยาว l ความกวาง w และ ความสง h เรากลาววา V และ A เปนฟงกชน 2 ตวแปร และ *V เปนฟงกชน 3 ตวแปร

บทนยาม 3.1.1 ให 1 2 n 1 2 nD (x , x , , x ) : x , x , , x

ฟงกชนคาจรง f บน D คอ กฎซงก าหนดคาของ

1 2 nw f(x ,x , , x ) เปนจ านวนจรงเพยงคาเดยว ทกจดใน D เซต D เรยกวาโดเมน (domain) เซตของคาของ w ทงหมดเรยกวาพสย (range) ตวแปร 1 2 nx ,x , , x เรยกวาตวแปรอสระ (independent

variable) ตวแปร w เรยกวาตวแปรตาม (dependent variable)

หมายเหต 1. ในกรณท f เปนฟงกชนสองตวแปร เขยนแทนดวย z=f(x, y) และถา f เปนฟงกชนสามตวแปร เขยนแทนดวย w=f(x, y, z) เปนตน 2. ถา f ถกก าหนดโดยกฎ ๆ หนง และโดเมนของ f ไมไดก าหนดชดเจน แลวใหเปนทเขาใจวาโดเมนจะประกอบดวยจดทกจดทแทนในกฎนนแลวไดคาเปนจ านวนจรง และตองไมมการหารเปนศนย เรยกโดเมนนวา “โดเมนธรรมชาต” ของฟงกชน

ตวอยาง ให 2 2f (x) 3x y y x จงหา 2f (1,4), f (0,9), f (t , t), f (ab,9b) และโดเมนธรรมชาตของ f วธท า

ตวอยาง จงหาและเขยนกราฟของโดเมนของฟงกชน 2f (x, y) ln(x y)

วธท า

ใน Calculus I โดเมนสวนใหญจะอยในรปชวง (interval) ส าหรบฟงกชนสองตวแปร โดเมนสวนใหญอาจมลกษณะเปนบรเวณ (region) และมบทนยามในลกษณะตาง ๆ ดงน

บทนยาม 3.1.2 1. จด 0 0(x , y ) ในบรเวณ R เปน

1.1 จดภายใน (interior point) ถา 0 0(x , y ) เปนจด

ศนยกลางของวงกลมทมจดทกจดอยภายในบรเวณ R 1.2 จดขอบ (boundary point) ถา 0 0(x , y ) เปนจด

ศนยกลางของวงกลมทมจดบางสวนอยภายใน R และมบางสวนอยภายนอก R 2. บรเวณ R เปนเซตเปด (open set) ถาจดทกจดใน R เปนจด

ภายในและเปนเซตปด (closed) ถามนบรรจจดขอบทงหมดของ R 3. บรเวณ R มขอบเขต (bounded) ถาสามารถบรรจอยใน

วงกลมวงหนงได ถาไมเชนนนจะกลาววาไมมขอบเขต (unbounded)

ตวอยาง จงหาโดเมนของฟงกชน x y 1

f (x, y)x 1

วธท า

ตวอยาง จงหาโดเมนของฟงกชน 2 2g(x, y) 9 x y

วธท า

กราฟของฟงกชน 2 ตวแปร กราฟของฟงกชน 1 ตวแปร f ในระนาบ xy คอ กราฟของ

สมการ y=f(x) กราฟของฟงกชน 2 ตวแปร f ในระนาบ xyz คอกราฟของ

สมการ z f (x, y) ซงโดยทวไปจะเปนพนผวใน 3 มต เมอกลาวถงกราฟใน 3 มต สมการในเทอม x และ y เชน

x y 1 จะเปนสมการทก ากวมไมชดเจนวาควรเขยนกราฟใน 2 มตหรอ 3 มต จงควรเขยนสมการใหมเปน x y 0z 1 ซงเปนกรณของ 3 มต ซงทงสองกรณจะกราฟดงน

พนทผวใน 3 มตอาจเกดจากการเลอนเสนโคงบนระนาบหนง

ขนานไปกบเสนคงทเสนหนง ในรป ระนาบ x y 1 ไดจากการเลอนเสนตรง x y 1 ขนานไปกบแกน Z โดยทวไปแลว ถาสมการในเทอมของ x และ y มกราฟใน 2 มตเปนเสนโคง C ในระนาบ XY แลวเมอเขยนกราฟเดยวกนใน 3 มต จะเกดพนผวทไดจากการเลอนเสนโคง C ขนานกบแกน Z ท านองเดยวกนสมการในเทอมของ x และ z จะใหพนผวใน 3 มตทไดจากการเลอนเสนโคงขนานกบแกน Y

และ สมการในเทอมของ y และ z จะใหพนผวใน 3 มตทไดจากการเลอนเสนโคงขนานกบแกน X

ตวอยาง กราฟของ 2y x ใน 2 และ 3 มตแสดงไดดงรป

กราฟใน 2 มต กราฟใน 3 มต

บทนยาม 3.1.3 (หนา 147) ให c เปนคาคงตวใด ๆ

1. เซตของจดในระนาบทท าให f(x, y)=c เรยกวาเสนโคงระดบ (level curve) ของฟงกชน f และ

2. เซตของจด (x, y, f(x,y)) ทงหมด เรยกวากราฟ (graph) ของฟงกชน f หรออาจเรยกวาพนผว (surface) z=f(x, y)

ตวอยาง จงเขยนกราฟของสมการ 2 2x z 1 ใน 3 มต วธท า เรมเขยนกราฟของสมการ 2 2x z 1 บนระนาบ xz กอน ซงกราฟเปนวงกลม ดงรป

เมอเลอนเสนนขนานไปกบแกน Y จะท าใหเกดทรงกระบอกตรง ดงรป

ตวอยางท 3.1.3 (หนา 147) จงบอกลกษณะกราฟของฟงกชน 1

f (x, y) 1 x y2

ในปรภม XYZ

วธท า กราฟของฟงกชนทก าหนดคอ 1

z 1 x y2

หรอ 1

x y z 12

ซงเปนระนาบ เราสามารถเขยนสวนหนงของระนาบโดยลงจดตดแกนพกดทง

สามและลากเสนเชอมจดตด 1. หาจดตดแกน X โดยแทน y z 0 ในสมการได x 1 2. หาจดตดแกน Y โดยแทน x z 0 ในสมการได y 2 3. หาจดตดแกน Z โดยแทน x y 0 ในสมการได z 1

หมายเหต แกนในรปไมถกตอง

ตวอยาง จงเขยนกราฟของฟงกชน 2 2f (x, y) 1 x y ในปรภม XYZ

วธท า กราฟของฟงกชนคอกราฟของสมการ 2 2z 1 x y เมอยกก าลงสองทงสองขางได 2 2 2z 1 x y จดรปสมการใหมไดเปน 2 2 2x y z 1 ซงเปนทรงกลมหนงหนวยมจดศนยกลางท (0,0,0) เนองจาก z 0 ดงนนกราฟของ f จงเปนครงบนของทรงกลม

2 2 2x y z 1

หมายเหต แกน Y ในรปหายไป

ตวอยางท 3.1.6 (หนา 147) จงเขยนกราฟและโดเมนของฟงกชน 2 2f (x, y) x 4y

วธท า 1. ถาพนผวตดกบระนาบ z=k เมอ k>0 จะไดเสนโคงระดบเปนรปวงร ซงมสมการคอ 2 2x 4y k และ z=k (ถา k เพมขน รปวงรกจะใหญตามไปดวย) 2. ถาพนผวตดกบระนาบ yz (x=0) จะไดเสนโคงเปนรปพาราโบลาซงมสมการ 2z 4y , x 0

3. ถาพนผวตดกบระนาบ xz (y=0) จะไดเสนโคงเปนรปพาราโบลาซงมสมการ 2z x , y 0

4. ถาพนผวตดกบระนาบ xy (z=0) จะไดจดก าเนดเพยงจดเดยวดงแสดงในรป เพราะฉะนน โดเมนของฟงกชนนคอ 2 2{(x, y) : x 4y 0}

หรอบรเวณบนระนาบ xy ทงหมด

3.2 ลมตและความตอเนอง

บทนยาม 3.2.1 (หนา 150) ให f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร โดยโดเมนทงหมดบรรจอยภายในวงกลมบางวงทมจดศนยกลาง

0 0(x , y ) (แตอาจไมรวม 0 0(x , y ) ) f(x, y) มลมต L ขณะทจด (x, y) เขาใกล 0 0(x , y )

เขยนแทนดวย 0 0( x,y) (x ,y )

lim f (x, y) L

ถาก าหนด 0 จะม 0 ซงท าให f (x, y) L

ส าหรบทก (x, y) ซง 2 20 00 (x x ) (y y )

หมายเหต จ านวนจรง L ในบทนยาม 3.2.1 มเพยงคาเดยวเทานน

นนคอ f (x, y) L เพยงคาเดยวเทานน ไมวา 0 0(x, y) (x , y ) ในทศทางใดกตาม (ซงใน 2 ทศทางท

0 0(x, y) (x , y ) มเปนจ านวนอนนต)

ตวอยาง จงใชบทนยาม 3.2.1 พสจนวา

(x,y) (1,2)lim (3x 2y) 7

วธท า ก าหนดให 0 เลอก 5

จะไดวา

ส าหรบ 2 20 (x 1) (y 2)

แลว 2 2 2x 1 (x 1) (x 1) (y 2)

และ 2 2 2y 2 (y 2) (x 1) (y 2) ซงท าให f (x, y) 7 (3x 2y) 7

3(x 1) 2(y 2) 3 x 1 2 y 2

2 25 (x 1) (y 2) 5 5 5

โดยบทนยาม 3.2.1 ไดวา (x,y) (1,2)

lim (3x 2y) 7

บทนยาม ให f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร และ C เปนเสนโคงเรยบบน 2 ทผานจด 0 0(x , y ) ซงก าหนดโดย y g(x) ลมตของ f(x, y) เมอ (x, y) เขาใกล 0 0(x , y ) บน C คอ

0x xlim f (x,g(x))

เขยนแทนดวย 0 0( x,y ) ( x ,y )

on C

lim f (x, y)

ซงค านวณโดยการแทนคา y g(x) ลงใน f(x, y) ได f (x,g(x)) ซงมแตตวแปร x เพยงอยางเดยว แลวหา

0x xlim f (x,g(x))

ซงเปน

ลมตของฟงกชนหนงตวแปร

บทนยาม ให f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร และ C เปนเสนโคงเรยบบน 2 ทผานจด 0 0(x , y ) ซงก าหนดโดยx h(y) ลมตของ f(x, y) เมอ (x, y) เขาใกล 0 0(x , y ) บน C คอ

0y ylim f (h(y), y)

เขยนแทนดวย 0 0( x,y ) ( x ,y )

on C

lim f (x, y)

ซงค านวณโดยการแทนคา x h(y) ลงใน f(x, y) ได f (h(y), y) ซงมแตตวแปร y เพยงอยางเดยว แลวหา

0y ylim f (h(y), y)

ซงเปน

ลมตของฟงกชนหนงตวแปร

ตวอยาง จงหาลมตของ 2 2xy

f (x, y)x y

เมอ (x, y) (0,0) บนเสนโคงตอไปน 1. แกน X 2. แกน Y 3. พาราโบลา 2y x 4. เสนตรง x y

วธท า

หมายเหต เราสามารถใชลมตของฟงกชนสองตวแปรตามแนวเสนโคงอธบายการหาคาไมไดของลมต ได 2 วธ ดงน

ถาสามารถหาเสนโคงซงผานจด 0 0(x , y ) ทแตกตางกนได 2 เสน แตใหคาลมตของ f (x, y) เมอ 0 0(x, y) (x , y ) ไมเทากน หรอ สามารถหาเสนโคงทผานจด 0 0(x , y ) ทลมตของ f (x, y) เมอ

0 0(x, y) (x , y ) หาคาไมได (มคาเปน หรอ ) แลว

0 0( x,y ) ( x ,y )lim f (x, y)

หาคาไมได

ตวอยาง จงแสดงวา 2 2(x,y) (0,0)

xylim

x y หาคาไมได

วธท า

ตวอยาง จงพจารณา 2

2 4(x,y) (0,0)

xylim

x y

ถาหาไดจงหาคา ถาหาคาไมไดจงใหเหตผล วธท า

ตวอยาง จงหาคา 2 2

(x,y) (1,1)

x y 2lim

x y

ถาลมตหาคาได

วธท า

ทฤษฎบท 3.2.1 (สมบตของลมตของฟงกชนของตวแปร 2 ตว) ให f และ g เปนฟงกชนสองตวแปร โดย L, M, k เปนจ านวนจรง ซง

0 0( x,y) (x ,y )lim f (x, y) L

และ 0 0( x,y) (x ,y )

lim g(x, y) M

แลว 1.

0 0(x,y) (x ,y )lim f (x, y) g(x, y) L M

2. 0 0(x,y) (x ,y )

lim f (x, y) g(x, y) L M

3. 0 0(x,y) (x ,y )

lim f (x, y) g(x, y) L M

4. 0 0(x,y) (x ,y )

lim k f (x, y) k L

5. 0 0(x,y) (x ,y )

f (x, y) Llim

g(x, y) M เมอ M 0

6. 0 0

r rs s

(x,y) (x ,y )lim [f (x, y)] L

เมอ rss 0,L

ตวอยางท 3.2.5 (หนา 151) จงหาคา

1. 2 3(x,y) (2,1)

x xy 3lim

x y 5xy y

2*. 2 2

2(x,y) (1,2)

(x 1) (y 2)(x 1)lim

(x 1)(y 2)

วธท า

บทนยาม 3.2.2 ฟงกชน f (x, y) ตอเนองทจด 0 0(x , y ) ถา 1. f นยามทจด 0 0(x , y ) (นนคอ 0 0f (x , y ) หาคาได) 2.

0 0( x,y ) ( x ,y )lim f (x, y)

หาคาได

และ 3. 0 0

0 0(x,y) (x ,y )

lim f (x, y) f (x , y )

ถา ฟงกชน f ไมสอดคลองเงอนไขขอใดขอหนงใน 3 ขอน แลว ฟงกชน f ไมตอเนอง (discontinuous) ทจด 0 0(x , y )

ตวอยาง จงพจารณาวาฟงกชน 2

2 2xy

f (x, y)x y

ตอเนองทจด

(0,0) หรอไม วธท า

ก าหนดให 0 เลอก เนองจาก 2 2x x y

และ 2 2 2y x y ดงนน ส าหรบ (x, y) ซง 2 20 x y แลว

2

2 2xy

f (x, y) 0x y

2 2 2 2

2 2

x y (x y )

x y

2 2x y

โดยบทนยาม 3.2.1 ไดวา 2

2 2(x,y) (0,0)

xylim 0

x y

ตวอยาง จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนตอเนองทจด (0,0) หรอไม

1. .

2

2 2xy

, (x, y) (0,0)f (x, y) x y

1 , (x, y) (0,0)

2. 2 2xy

, (x, y) (0,0)x yf (x, y)

0 , (x, y) (0,0)

บทนยาม 3.2.3 1. ฟงกชนสองตวแปร x และ y เรยกวาตอเนองบนบรเวณ R ของระนาบ xy ถาฟงกชนตอเนองทกจดของ R

2. ถาฟงกชนใดตอเนองทกจดบนระนาบ xy จะเรยกวาฟงกชนตอเนอง (continuous function)

ทฤษฎบท 3.4.3 [ทฤษฎบทของความตอเนอง] 1. ถา g และ h เปนฟงกชนตอเนองของตวแปรเดยว

แลว f(x,y) g(x)h(y) เปนฟงกชนตอเนองของตวแปร x และ y 2. ถา g เปนฟงกชนตอเนองตวแปรเดยว และ h เปนฟงกชน

ตอเนองของสองตวแปรแลวฟงกชนประกอบ f(x,y) g(h(x,y)) เปนฟงกชนตอเนองของตวแปร x และ y

3. ถา f และ g เปนฟงกชนตอเนองทจด 0 0(x , y ) และ k เปนคาคงท แลว

f g, f g, kf , fg จะตอเนองทจด 0 0(x , y )

fg ตอเนองทจด 0 0(x , y ) ซง 0 0g(x , y ) 0

ตวอยาง 1. พหนาม p(x,y) ของตวแปร x และ y คอ ฟงกชนทเขยนอยในรปผลบวกจ ากดของพจนทอยในรป m nAx y เมอ m, n {0} และ A

เชน 5 2 9 82 5p(x, y) 5x y 12xy 37x y x 4y 6

ตอเนองททกจด 2(x, y) 2. ฟงกชนตรรกยะ r(x, y) ของตวแปร x และ y คอ ฟงกชน

ทเขยนอยในรปเศษสวนของสองพหนาม

นนคอ p(x, y)

r(x, y)q(x, y)

เมอ p(x,y) และ q(x,y)

เชน 3 7 2 4

2 2 2 7

8x y 12x y xy 2yr(x, y)

1 3y 7x y 18x y

ตอเนองททก ๆ จด 20 0(x , y ) ซง 0 0q(x , y ) (0,0)

3. ฟงกชนตอไปน 2 4 8 xy 23 2x y 9x y , e cos(xy 1) และ x 17(3 ye ) เปนฟงกชนตอเนอง

ตวอยาง จงหาเซตยอยของ 2 ทใหญทสดทท าใหฟงกชน

f (x, y) ln(2x y) ตอเนอง วธท า

3.3 อนพนธยอย (Partial derivatives)

แนวคด อนพนธยอยของฟงกชนหลายตวแปรเทยบกบตวแปรใด หมายถงอนพนธของฟงกชนหนงแปรเทยบกบตวแปรนน โดยมองวาตวแปรอนเปนคาคงตว

บทนยาม 3.3.1 ให f (x, y) เปนฟงกชนของ x และ y

1) อนพนธยอยของ f เทยบกบ x ทจด (x, y) คอ ฟงกชน

xx 0

f (x x, y) f (x, y)ff lim

x x

(1)

เมอลมตหาคาได 2) อนพนธยอยของ f เทยบกบ y ทจด (x, y) คอ ฟงกชน

yy 0

f (x, y y) f (x, y)ff lim

y y

(2)

เมอลมตหาคาได ขอสงเกต จากบทนยาม 3.3.1 จะเหนวา

ถาตองการหา fx

เราจะให y เปนคาคงตว และ

ถาตองการหา fy

เราจะให x เปนคาคงตว

แลว จงหาอนพนธของฟงกชนของตวแปร 1 ตว

ส าหรบอนพนธยอยของฟงกชนซงมากกวาสองตวแปรขนไป เรากใหตวแปรหนงเปนตวแปรอสระ สวนตวแปรทเหลอเปนคาคงตว เชน อนพนธยอยของฟงกชน n ตวแปร 1 k nf (x , , x , , x ) เทยบกบ kx คอ

k

1 k k n 1

x

k

k0

n

k

f (x , , x x , , x ) f (x , , x , , x )fx

lx

im

จะเหนวา k

fx

เปนอนพนธยอยของ f เทยบกบ kx โดยทตวแปร jx

เมอ j=1,2,...,n และ j k เปนคาคงตว

คาของอนพนธยอยของ f เทยบกบ x และ y ทจด 0 0(x , y ) เขยน

แทนดวย 0 0f

(x , y )x

หรอ x 0 0f (x , y )

และ 0 0f

(x , y )y

หรอ y 0 0f (x , y ) ตามล าดบ

มความหมายดงน 0 0 0 0

0 0 x 0 0x 0

f (x x, y ) f (x , y )f(x , y ) f (x , y ) lim

x x

0 0 0 00 0 y 0 0

y 0

f (x , y y) f (x , y )f(x , y ) f (x , y ) lim

y y

เมอลมตหาคาได ตวอยาง 3.3.1 (หนา 155) ก าหนดให 2f (x, y) 2y 3xy

จงใชบทนยาม 3.3.1 หาคา fx

และ

fy

วธท า

x 0

f f (x x, y) f (x, y)lim

x x

2 2

x 0

[2y 3(x x)y] [2y 3xy]lim

x

x 0

3y xlim

x

x 0lim 3y)(

( 3y) และ

y 0

f f (x, y y) f (x, y)lim

y y

2 2

y 0

[2(y y) 3x(y y)] [2y 3xy]lim

y

2

y 0

(4y 3x) y ( y)lim

y

y 0lim (4y 3x y)

4y 3x

ตวอยาง จงหา fx

และ

fy

เมอ 2 3x

f (x, y) sin(x y )y

วธท า

ตวอยาง จงหา xf และ yf เมอ 2xf (x, y) xye

วธท า

ตวอยาง ก าหนด 4

2 5 3f (x, y) (1 x y )

จงหา fx

และ

fy

ทจด (3, 1)

วธท า

ความหมายทางเรขาคณตของ fx

ของ z f (x, y)

ให P เปนจดบนพนผวทมสมการคอ z f (x, y)

ถา ให y คงทโดย 0y y และ ให x แปรคา แลว P จะเปนจดทเคลอนไปตามเสนโคง 1C ทเกดจากการตดพนผว z f (x, y) กบระนาบ 0y y ดงนน x 0 0f (x , y ) คอ ความชนของเสนสมผสเสนโคง 1C ทจด

0 0(x , y ) (ซงกคอ การเปลยนแปลงในคา z เมอ x เพมขนหนงหนวย)

นนคอ 0 0 0 0x 0 0

x 0

f (x x, y ) f (x , y )f (x , y ) lim

x

เมอลมตหาคาได

ความหมายทางเรขาคณตของ fy

ของ z f (x, y)

ถา ให x คงทโดย 0x x และให y แปรคา แลว P จะเปนจดทเคลอนไปตามเสนโคง 2C ทเกดจากการตดพนผว z f (x, y) กบระนาบ 0x x ดงนน y 0 0f (x , y ) คอ ความชนของเสนสมผสเสนโคง 2C ทจด

0 0(x , y ) (ซงกคอ การเปลยนแปลงในคา z เมอ y เพมขนหนงหนวย)

นนคอ 0 0 0 0y 0 0

y 0

f (x , y y) f (x , y )f (x , y ) lim

y

เมอลมตหาคาได

ตวอยาง 3.3.5 (หนา 157) จด Q เคลอนทไปตามเสนโคงซงเปนรอยตดของทรงกลม 2 2 2x y z 1 กบระนาบ 2x 3

ทจด 2 1 2

P , ,3 3 3

อตราการเปลยนแปลงของ z เทยบกบ y มคาเทาไร วธท า เนองจากพกด z ของจด P มคาเปนบวก จะไดวาจดนอยบน

พนผวของครงทรงกลมสวนบนซงมสมการ 2 2z 1 x y อตราการเปลยนแปลงของ z เทยบกบ y ทจดน (เสมอนกบจด Q

เคลอนทไปตามวงกลมของรอยตด) คอ 2 1

,3 3

zy

1

2 2 2z(1 x y )

y y

1

2 2 21(1 x y ) ( 2y)

2

2 2

y

1 x y

เพราะฉะนน

2 22 1,

3 3

1z 13y 22 1

13 3

วธท 2 หา zy

จากฟงกชนซงก าหนดโดยปรยายของทรงกลม

2 2 2x y z 1 เทยบกบ y และพจารณา z เปนฟงกชนของ x และ y จะได

2 2 2x y z (1)y y

z

2y 2z 0y

z yy z

แทนคาพกด y และ z ของจด 2 1 2

P , ,3 3 3

จะได

2 1 1

, ,3 3 3

z (1 / 3) 1y (2 / 3) 2

ตวอยาง 3.3.7 (หนา 159) เสนทแยงมม D ของรปสเหลยมผนผา

ก าหนดโดย 2 2D x y เมอ x และ y เปนความยาวของดานประกอบมมของรปสเหลยมผนผา (a) จงหาสตรส าหรบหาอตราการเปลยนแปลงของ D เทยบกบ x ถา x เปลยนแปลงไปขณะท y คงท (b) สมมต y=4 เซนตเมตร จงหาอตราการเปลยนแปลงของ D เทยบกบ x ขณะทดาน x ยาว 3 เซนตเมตร วธท า

(a) 1

2 2 22 2

D 1 xx y (2x)

x 2 x y

(b) 2 2(3,4)

D 3 3x 53 4

อนพนธยอยอนดบสง (Higher-Order Partial Derivatives)

อนพนธยอยอนดบทหนงของ z f (x, y) [ xf (x, y) และ

yf (x, y) ] ยงคงเปนฟงกชนของตวแปร x และ y สามารถหาอนพนธยอยของ xf และ yf เทยบกบ x และเทยบกบ

y ได เรยกวาอนพนธยอยอนดบทสองของ f ซงมวธหาดงน 1) การหาอนพนธยอยเทยบกบ x สองครง

2 2

xx2 2z f f

fx xx x

2) การหาอนพนธยอยเทยบกบ x กอนแลวจงเทยบกบ y 2 2

xyz f f

fy x y x y x

3) การหาอนพนธยอยเทยบกบ y กอนแลวจงเทยบกบ x 2 2

yxz f f

fx y x y x y

4) การหาอนพนธยอยเทยบกบ y สองครง 2 2

yy2 2z f f

fy yy y

หมายเหต อนพนธยอย 2f

y x

หรอ xyf และ

2 fx y

หรอ yxf

เรยกวา อนพนธยอยอนดบทสองแบบผสม ซงอาจมคาเทากนหรอตางกนกได

ทฤษฎบท 3.3.1 ให f(x, y) เปนฟงกชนทหาอนพนธยอยได และ 2f f f

f , , ,x y x y

และ

2fy x

ตางเปนฟงกชนทมความ

ตอเนองบนบรเวณ R แลว 2 2f f

x y y x

ทก ๆ จด R

โดยการหาอนพนธยอยตอเนองกนไปเรอย ๆ เราสามารถหาอนพนธยอยอนดบสามหรอสงกวาไปเรอย ๆ ได ตวอยางเชน

3 2 3 2

3 2 2f f f f

,x y y xx x y x

3 2 4 3

2 2 2 2 2f f f f

,y yy x x y x y x

อนพนธ

ยอยอนดบสงกวาอนดบหนง เราสามารถแทนดวยสญลกษณทรดกมกวาดวยดชน (Subscript) ดงน

2

x x yf f

(f ) (f )y x y x y

(เขยน 2

xyf

fy x

)

ขอสงเกต ในการเขยนสญลกษณ “” เราจะหาอนพนธยอยเรยงล าดบจากขวาไปซาย แตในสญลกษณแบบดชนลางเรยงจากซายไปขวา ตวอยางเชน

2 3 4

xx yyx xxyy2 2 2 2f f f

f , f , fx x y y x

ตวอยาง จงหาอนพนธยอยอนดบสองของ yf (x, y) sin(xy) xe

วธท า

ตวอยาง จงหา 2wx y

เมอ

y

2e

w xyy 1

วธท า

ตวอยาง 3.3.10 (หนา 161) จงแสดงวา

2 22xy

f (x, y) arctanx y

สอดคลองกบสมการ 2 2

2 2f f

0x y

วธท า

2 2

2 2 2 2

2 2

f 1 (x y )(2y) (2xy)(2x)·

x (x y )2xy1

x y

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2(x y ) 2y(x y 2x )

·(x y ) 4x y (x y )

2 2

4 2 2 4 2 22y(x y )

x 2x y y 4x y

2 2

2 2 22y(x y )

(x y )

2 22y

x y

เพราะฉะนน 2

2 2 2 2 2 2 2f (2y)(2x) 4xy

x (x y ) (x y )

------ (*)

ท านองเดยวกน

2 2

2 2 2 2

2 2

f 1 (x y )(2x) (2xy)( 2y)·

y (x y )2xy1

x y

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2(x y ) 2x(x y 2y )

·(x y ) (x y )

2 22x

x y

เพราะฉะนน 2

2 2 2 2f 4xy

y (x y )

------ (**)

น า (*) + (**) ได 2 2

2 2f f

0x y

หมายเหต 1. สมการ 2 2

2 2f f

0x y

ของฟงกชน f(x, y)

เรยกวา สมการลาปลาซของฟงกชนสองตวแปร (Laplace's Equation in Function of Two Variables) สวนสมการลาปลาซ

ของฟงกชนสามตวแปร f(x, y, z) คอ 2 2 2

2 2 2f f f

0x y z

2. ฟงกชน f จะเรยกวา ฟงกชนฮารมอนก (Harmonic) ในบรเวณ R ถาฟงกชนนนสอดคลองกบสมการลาปลาซในบรเวณ R และอนพนธยอยอนดบสองเปนฟงกชนตอเนองใน R

3. ฟงกชนในตวอยาง 3.3.10 เปนฟงกชนฮารมอนก

ในระนาบ xy ทไมรวมจดซงอยบนเสนตรง y x

3.4 กฎลกโซ (Chain rule)

ทบทวน กฎลกโซในฟงกชนหนงตวแปร

ทฤษฎบท กฎลกโซ (Chain Rule) ให f เปนฟงกชนทหาคาไดบน (a, b) และ g เปนฟงกชนทหาคาไดบน Range(f ) ถา f หาอนพนธไดท x c ในชวง (a, b) และ g หาอนพนธไดท f (c) แลว g f หาอนพนธไดท x c และ

(g f ) (c) g (f (c)) f (c)

ถาให y g(x) และ x f(t)

dy

g (x) g (f (t))dx

และ dx

f (t)dt

ดงนน y g(x) g(f (t)) (g f )(t)

และ dy

(g f ) (t)dt

g (f (t)) f (t) dy dxdx dt

นนคอ dy dy dxdt dx dt -------------------- (*)

สมการ (*) สามารถขยายไปสฟงกชนประกอบทมากกวาสองฟงกชนได เชน ถา y=f(x), x=g(t) และ t=h(s) เปนฟงกชนทหาอนพนธ

ได จะได dy dy dx dt

· ·ds dx dt ds

ในหวขอนเราจะขยายแนวความคดเกยวกบกฎลกโซไปสฟงกชนสองตวแปรตามทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท [กฎลกโซส าหรบตวแปรเสรม 1 ตว] ถา x=x(t) และ y=y(t) เปนฟงกชนทหาอนพนธท t ได และถา z=f(x, y) เปนฟงกชนทหาอนพนธยอยไดท (x(t), y(t)) แลว z=f(x(t), y(t)) เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท t และ

dz z dx z dy

· ·dt x dt y dt

y

t

x

dydx

dxdt

dy dy dxdt dx dt

ขอสงเกต พจารณาแผนภาพซงมจดยอดเปนตวแปรตาม z และแตกกงแยกเปนตวแปรอสระ x และ y จากนนแตกกงเปนตวแปรเสรม t โดยในแตละสาขาจะมอนพนธก ากบไว ซงกฎลกโซไดจากการคณกนของอนพนธในแตละสาขาและน าทงสองสาขามาบวกกนไดเปน

left branch right branch

dz z dx z dydt x dt y dt

z

y

t t

x

zx

dxdt

dydt

zy

ตวอยางท 3.4.2 (หนา 164) ให 2z x y และ 2 3x t , y t

จงหา dzdt

วธท า

ตวอยาง ก าหนดให 2 2w ln(u v ) และ u 1 x,v 2x

จงหา dwdx

ท x 0

วธท า

ตวอยาง จงหา t

2

dzdt

เมอ 2xyz e , x tcos t และ y tsint

วธท า

ทฤษฎบท 3.4.2 (กฎลกโซส าหรบตวแปรเสรมสองตว) ให z f (x, y) เปนฟงกชนสองตวแปรทสามารถหาอนพนธไดทจด (x, y) และให x x(u,v) และ y y(u, v) เปน

ฟงกชนสองตวแปร ซง x x y

, ,u v u

และ

yv

หาคาได

และตอเนองทจด (u, v) แลว ฟงกชนประกอบ z f (x(u, v), y(u, v)) สามารถหาอนพนธไดทจด (u, v) และ

z z x z yu x u y u

และ z z x z y

v x v y v

หมายเหต เราสามารถพจารณาแผนภาพซงมจดยอดเปนตวแปรตาม z และแตกกงเปนตวแปรอสระ x และ y จากนนแตกกงเปนตวแปรเสรม u และ v โดยในแตละสาขาจะมอนพนธก ากบไว ซงกฎลกโซไดจากการคณกนของอนพนธในแตละสาขาและน าทงสองสาขามาบวกกนไดเปน z z x z y

u x u y u

และ z z x z y

v x v y v

ตวอยาง 3.4.3 จงหา zu

และ

zv

ในพจนของ u และ v

เมอ xyz e โดยท x 2u v และ u

yv

วธท า

z

y

u u

x

zx

xu

yv

zy

v v

xv

yu

* ตวอยาง จงหา zx

และ

zy

เมอ z f (2x 3y, x 2y)

โดยท f เปนฟงกชนทสามารถหาอนพนธได วธท า

ตวอยาง 3.4.5 ถา y f (x ct) g(x ct) จงแสดงวา ฟงกชนตอไปนสอดคลองกบสมการคลนในหนงมต

2 22

2 2y y

ct x

เมอ c เปนคาคงตว --------- (*)

วธท า

เราน ากฎลกโซไปชวยแกปญหาเกยวกบอตราการเปลยนแปลงของคาฟงกชนหลายตวแปรเมอทราบอตราการเปลยนแปลงของตวแปรอสระทเหลอ ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 3.4.6 จงหาอตราการเปลยนแปลงของพนทสเหลยมผนผา ในขณะทดานยาวมคา 15 cm และ ดานยาวเพมขนดวยอตรา

3 cm/s สวนดานกวางมคา 6 cm และดานกวางเพมขนดวยอตรา 2 cm/s

วธท า ขนท 1 วาดรปและก าหนดตวแปร ให x แทน ความยาวของดานยาว (หนวย cm) ให y แทน ความยาวของดานกวาง (หนวย cm) ให A แทน พนทของสเหลยมผนผา (หนวย 2cm ) ให t แทน เวลา (หนวยวนาท (s))

ในทนโจทยให

dx3

dt และ

dy2

dt ในขณะท x=15, y=6

เราตองการหา x 15y 6

dAdt

ขนท 2 สรางความสมพนธระหวางตวแปร สตรของพนทสเหลยมผนผา A xy

x

y

A

ขนท 3 หาอนพนธเทยบกบเวลาทงสองขาง ไดวา dA A dx A dy dx dy

· · y xdt x dt y dt dt dt

ขนท 4 หาอตราการเปลยนแปลงของพนทเมอรปสเหลยมม ความยาว 15 cm และความกวาง 6 cm

แทนคา dx dy

3, 2, x 15dt dt และ y 6 ได

dA

6(3) 15(2) 48dt

นนคอ พนทของสเหลยมผนผาเพมขนดวยอตรา 48 2cm / s ในขณะทมความยาว 15 cm และความกวาง 6 cm

ตวอยาง น ารวออกจากถงรปกรวยกลมตรงในอตรา 1 3m / min ถาถงขยายตวในลกษณะทยงคงเปนรปกรวยกลมตรง และผวน าในถงมเสนผานศนยกลางยาวขนในอตรา 3 m/min

จงหาวาความสงของน าในถงจะเพมขนหรอลดลงในอตราเทาใด ในขณะทเสนผานศนยกลางของผวน าเทากบ 10 m และปรมาตรของน าเปน 75 3m วธท า ขนท 1 วาดรปและก าหนดตวแปร ให r และ h แทน ความยาวของรศมและความสงของถง

รปกรวยกลมตรงตามล าดบ V แทน ปรมาตรของถงรปกรวยกลมตรง

แลว dr dh

, dt dt

และ dVdt

แทน อตราการเปลยนแปลงของความ

ยาวของรศม ความสง และปรมาตรของถงรปกรวยกลมตรง ตามล าดบ

จากโจทยเราไดวา

dr 3dt 2 เมตรตอนาท และ

dV

1dt ลกบาศกเมตรตอนาท

ตองการหาคา r 5V 75

dhdt

ขนท 2 สรางความสมพนธระหวางตวแปร ไดวา

h

r

จาก 21V r h

3 ดงนน 2

3Vh

r

ขนท 3 หาอนพนธเทยบกบเวลาทงสองขางของความสมพนธ ไดวา

3 2dh h dr h dV 6V dr 3 dVdt r dt V dt dt dtr r

ขนท 4 หาอตราการเปลยนแปลงของความสงเมอ รศมยาว 5 เมตร และปรมาตรเทากบ 75 ลกบาศกเมตร

3 2r 5V 75

dh 6(75) 3 3 138( 1)

dt 2 25(5) (5)

ดงนน ความสงของถงกรวยกลมตรงลดลงดวยอตรา 13825

m/min

นอกจากนกฎลกโซยงสามารถน าไปประยกตในการหาอนพนธของฟงกชนโดยปรยาย (Implicit Function) ไดดงน

ฟงกชนโดยชดแจง z f (x, y)

เมอ z เปนตวแปรตาม และ x, y เปนตวแปรอสระ เชน 2 2z f (x, y) x y

ฟงกชนโดยปรยาย เขยนในรปทวไปเปน F(x, y) 0 ซงไมทราบวา x หรอ y เปนตวแปรตามหรอตวแปรอสระ เชน 2 2x y 1 0 แตถาเราเขยนวา F(x, y) 0 และ y f (x) y เปนตวแปรตาม และ x เปนตวแปรอสระ

ทฤษฎบท 3.4.3 ให F(x, y) เปนฟงกชนทหาอนพนธยอยได และ F(x, y) 0

ถา y หาอนพนธเทยบกบ x ได

แลว ทจดใด ๆ ซง yF 0 จะได x

y

dy Fdx F

บทพสจน ให w F(x, y) 0

จะได x ydw dx dy

F Fdx dx dx

x ydy

0 F Fdx

ดงนน x

y

dy Fdx F

ตวอยาง 3.4.7 จงหา dydx

เมอ 2 2y x sin(xy) 0

วธท า

ตวอยาง จงหา dydx

เมอ xe sin(xy) ln(x y)

วธท า

3.5 อนพนธระบทศทาง (Directional derivative)

พจารณาฟงกชน z f (x, y) ซงมกราฟเปนพนผว ทผานมาศกษาอนพนธยอยของฟงกชนในทศทางของแกนหลก

zx

อตราการเปลยนแปลงของ z ในแนวแกน X

zy

อตราการเปลยนแปลงของ z ในแนวแกน Y

ในหวขอนศกษาการเปลยนแปลงของฟงกชนในทศทางใด ๆ ก าหนดให f (x, y) เปนฟงกชนทก าหนดบนโดเมน R 0 0 0P (x , y ) เปนจดใน R 1 2u u u i j เปนเวกเตอรหนงหนวย

จะไดวา สมการเสนตรงทผานจด 0 0 0P (x , y ) และขนานกบ u คอ 0 1x x su และ 0 2y y su

เมอ s เปนพารามเตอรทแทนความยาวจากจด 0P ตามทศทางของเวกเตอร u

ในลกษณะนเราสามารถหาอนพนธของ f (x, y) ทจด 0 0 0P (x , y ) ในทศทางของเวกเตอร u ไดตามบทนยามตอไปน

บทนยาม 3.5.1 อนพนธระบทศทางของ f (x, y) ทจด 0 0 0P (x , y ) ในทศทางของเวกเตอรหนงหนวย 1 2u u u i j เขยนแทนดวย

0,P

dfds

u

หรอ 0u P(D f ) ก าหนดโดย

0 1 0 2 0 0

s 0,

f (x su , y su ) f (x , y )dflim

d ss

0u P

เมอลมตดงกลาวหาคาได

ตวอยาง 3.5.1 จงใชบทนยาม 3.5.1 หาอนพนธระบทศทางของฟงกชน 2f (x, y) x xy ทจด 0P (1,2) ในทศทางของเวกเตอร

1 12 2

u i j

วธท า เนองจาก 2 21 1

12 2

u

แสดงวาเปนเวกเตอรหนงหนวยตามบทนยาม

0 1 0 2 0 0

s 0,

f (x su , y su ) f (x , y )dflim

ds s

0u P

s 0

1 1f 1 s ,2 s f (1,2)

2 2lims

2

2

s 0

s s s1 1 2 1 (1)(2)

2 2 2lims

2 2

s 0

2s s 3s s1 2 3

2 2 2 2lim

s

2

s 0

5ss

2lims

s 0

5lim s

2

52

ดงนน อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน 2f (x, y) x xy ทจด

0P (1,2) ในทศทางของเวกเตอร 1 12 2

u i j เทากบ 52

ความหมายทางเรขาคณตของอนพนธระบทศทาง ก าหนดโดยให z f (x, y) เปนพนผว S ถา 0 0 0z f (x , y ) แลว จด 0 0 0P(x , y ,z ) เปนจดบนพนผว S ระนาบทตงฉากกบระนาบ xy ทผานจด 0 0 0P(x , y ,z ) และ

0 0 0P (x , y ) และขนานกบเวกเตอร 1 2u u u i j จะตดกบพนผว S เปนเสนโคง C

ดงนนอตราการเปลยนแปลงของ f ในทศทางของเวกเตอร u จะเปนความชนของเสนสมผสเสนโคง C ทจด P ดงรป

หมายเหต ในกรณท 1 2u u u i j เปนเวกเตอรทขนานกบแกน X และแกน Y จะไดวา

1. ถา u i แลว 0

0

u P 0 0,P

df f(D f ) (x , y )

ds x u

2. ถา u j แลว 0

0

u P 0 0,P

df f(D f ) (x , y )

ds y u

ตอไปพจารณาการค านวณอนพนธระบทศทางทมประสทธภาพโดยใชเกรเดยนต (Gradient) ตามบทนยามตอไปน

บทนยาม 3.5.2 ให f เปนฟงกชนทมอนพนธยอยทจด 0 0 0P (x , y ) เกรเดยนตของ f ทจด 0P คอ เวกเตอร f อานวา grad f หรอ

del f โดยท f f

fx y

i j

ทฤษฎบท 3.5.1 ให 0,P

dfds

u

เปนอนพนธระบทศทางของ f ท

จด 0 0 0P (x , y ) ในทศทางของเวกเตอรหนงหนวย 1 2u u u i j

จะไดวา 0

0P

,P

dff ·

ds u

u

ตวอยาง 3.5.3 (หนา 174) จงใชเกรเดยนตหาอนพนธระบทศทางของฟงกชน yf (x, y) xe cos(xy) ทจด 0P (2,0) ในทศทางของเวกเตอร 3 4 v i j วธท า

พจารณาสมบตของอนพนธระบทศทางจากการค านวณโดยใชเกร

เดยนต 00

0

u PP,P

dfD f f ·

ds u

u

โดยการหาอนพนธระบทศทางทจด P(x, y) จะไดวา uD f f · f cos f cos u u

เมอ เปนมมระหวางเวกเตอร f และ u โดยอาศยการวเคราะหเกยวกบคาของ ในลกษณะตาง ๆ จะได

สมบตเกยวกบอนพนธระบทศทางทส าคญดงตอไปน

สมบตของอนพนธระบทศทาง uD f f · f cos u 1. ฟงกชน f จะมอตราการเพมมากทสด เมอ cos 1

นนคอ เมอ 0 หรอ f และ u มทศทางเดยวกน และ uD f f · f u

2. ฟงกชน f จะมอตราการลดมากทสด เมอ cos 1 นนคอ เมอ 180 หรอ f และ u มทศทางตรงกนขาม และ uD f f · f u

3. ฟงกชน f จะไมมการเปลยนแปลง เมอ cos 0 นนคอ เมอ 90 หรอ f และ u ตงฉากกน และ uD f f · 0 u

ตวอยาง 3.5.4 จงหาทศทางทท าใหฟงกชน 2 2x y

f (x, y)2 2

ม

อตราการเปลยนแปลงดงน 1. มอตราการเพมมากทสดทจด (1,1) 2. มอตราการลดมากทสดทจด (1,1) 3. ไมมการเปลยนแปลงทจด (1,1)

วธท า

ตอไปพจารณาเกรเดยนตและเสนสมผสเสนโคงระดบ ให f(x, y) เปนฟงกชนทมอนพนธ และ f (x, y) c เปนเสนโคงระดบ ถา เสนโคงระดบแทนดวย (t) x(t) y(t) r i j

แลว f (x(t), y(t)) c โดยการหาอนพนธเทยบกบ t ทงสองขางจะได

d df (x(t), y(t)) (c)

dt dt

f dx f dy· · 0

x dt y dt

f f dx dy

0x y dt dt

i j i j

นนคอ f 0 r ------------- (*)

เนองจาก f f cos r r

และ (*) ไดวา cos 0 ดงนน มมระหวางเวกเตอร f และเวกเตอรสมผส (t)r คอ 902

นนคอ f ตงฉากกบเวกเตอรสมผส (t)r

สรปไดวา f ตงฉากกบเสนโคงระดบ f (x, y) c แสดงวาทจด 0 0(x , y ) ใด ๆ โดยพจารณาวา 0 0f (x , y ) c ไดวา 0 0f (x , y ) ตงฉากกบเสนโคงระดบ 0 0f (x, y) f (x , y )

ตวอยาง 3.5.5 (หนา 176) จงหาสมการเสนสมผสวงร 2

2xy 2

4 ทจด (-2, 1)

วธท า

พจารณาเกรเดยนตของ r เมอ r r โดยท x y r i j เปนเวกเตอรบอกต าแหนงใด ๆ

จะไดวา 2 2r x y ดงนน

2 2 2 2

r r x yr

x y rx y x y

ri j i j

นอกจากนถาการหาเกรเดยนตของผลบวก ผลตาง ผลคณ และผลหาร จะมลกษณะเหมอนสมบตของการหาอนพนธ ดงทฤษฎบทตอไปน ทฤษฎบท 3.5.2 ให f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธยอยได และ k จะได

1. (kf ) k f 2. (f g) f g 3. (f g) f g 4. (fg) f g g f

5. 2f g f f gg g

ทก x ในโดเมนของ g ซง g(x) 0

หมายเหต เราสามารถขยายแนวคดสฟงกชนทมากกวาสองตวแปรได พจารณาให f(x, y, z) เปนฟงกชนทหาอนพนธยอยได และ

1 2 3u u u u i j k เปนเวกเตอรหนงหนวยในปรภมสามมต จะไดวาเกรเดยนตของ f คอ

f f ff

x y z

i j k

และส าหรบอนพนธระบทศทางของ f ในทศทางของ u คอ

1 2 3u

df f f f( f )· u u u

ds x y z

u

ตวอยาง 3.5.7 (หนา 178) จงหาทศทางและอตราการเปลยนแปลงทท าใหฟงกชน 3 2f (x, y,z) x xy z มอตราการเปลยนแปลงดงน

1. มอตราการเพมมากทสดทจด (1, 1, 0) 2. มอตราการลดมากทสดทจด (1, 1, 0)

วธท า

3.6 ผลตางเชงอนพนธรวม (Total Differential)

บทนยาม 3.6.1 ให f(x, y) เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท 0 0(x , y ) เรยก 0 0df(x , y ) ซงเปนฟงกชนของ x และ y ซงนยามโดย

0 0 x 0 0 y 0 0df (x , y )( x, y) f (x , y ) x f (x , y ) y

วาผลตางเชงอนพนธรวมของ f(x, y) ทจด 0 0(x , y )

f (x, y) x xf (x, y) 1 และ yf (x, y) 0

df (x, y)( x, y) x

dx x f (x, y) y xf (x,y) 0 และ yf (x, y) 1

df (x, y)( x, y) y

dy y

ถาพจารณาทจด (x, y) ใด ๆ ผลตางเชงอนพนธรวม จะไดเปน x ydf(x, y) f (x, y)dx f (x, y)dy

หรอ x ydf f dx f dy

ตวอยาง 3.6.1 (หนา 180) จงหาสวนเปลยนแปลงและผลตางเชงอนพนธรวมของฟงกชน 2 2f (x, y) x 3xy y ท x 2,y 3 โดยท x 0.05 และ y 0.04 วธท า ขนท 1 หาสวนเปลยนแปลงของฟงกชน f f (x x,y y) f (x,y)  f(2 0.05, 3 0.04) f(2, 3)

 f(2.05, 2.96) f(2, 3) 2 2

2 2

(2.05) 3(2.05)(2.96) (2.96)

(2) 3(2)(3) (3)

0.6449 ขนท 2 หา x ydf(x, y) f (x, y)dx f (x, y)dy

2 2xf (x, y) (x 3xy y ) .......................

x

2 2yf (x, y) (x 3xy y ) .......................

y

df(x,y)( x, y) ..................................................... df(2,3)(0.05, 0.04) .....................................................

ขอสงเกต จากตวอยาง 3.6.1 จะเหนวา f df

สามารถนยามผลตางเชงอนพนธรวมของฟงกชน 3 ตวแปร หรอมากกวา 3 ตวแปร ไดดงน

บทนยาม 3.6.2 ผลตางเชงอนพนธรวมของ w = f(x, y, z) คอ f f f

dw df dx dy dzx y z

และ ผลตางเชงอนพนธรวมของ 1 2 nz f (x , x , , x ) คอ

1 2 n1 2 n

f f fdz df dx dx dx

x x x

ตวอยาง ก าหนด 2 2x y 2w e sin z จงหา dw

วธท า 2 2x y 2(e sin z) .........................................

x

2 2x y 2(e sin z) ..............................................

y

2 2x y 2(e sin z) ..............................................z

ดงนน f f f

dw dx dy dzx y z

..............................................

หมายเหต บางครงเรยก w วาความคลาดเคลอนของ w

เรยก w

w

วาความคลาดเคลอนสมพทธของ w และ

เรยก w

100w

วาเปอรเซนตของความคลาดเคลอนของ w

ตวอยาง 3.6.3 (หนา 181) สมมตความคลาดเคลอนของการวดขนาดของกลองสเหลยมเปน 0.1 มลลเมตร ขนาดของกลองเปน x 50 เซนตเมตร y 20 เซนตเมตร และ z 15 เซนตเมตร จงใชผลตางเชงอนพนธรวมประมาณคาการเปลยนแปลงของปรมาตร และความคลาดเคลอนสมพทธของปรมาตร

วธท า ใหปรมาตรของกลองก าหนดโดย V xyz ดงนน V V V

dV dx dy dzx y z

...................................................

จาก 0.1 mm 0.01 cm และ dx dy dz 0.01 จะได

V dV (20)(15)( 0.01) (50)(15)( 0.01) (50)(20)( 0.01)

300( 0.01) 750( 0.01) 1000( 0.01) 2050( 0.01)

20.5 ลกบาศกเซนตเมตร

ปรมาตรของกลอง คอ V (50)(20)(15) 15,000 ลบ.ซม.

ความคลาดเคลอนสมพทธ V

V

ประมาณคาโดย

V dV 20.50.0014

V V 15000

เปอรเซนตของความคลาดเคลอนของ V คอ V 20.5

100 100 0.14V 15000

หมายเหต เราสามารถน าผลตางอนพทธรวมมาใชหาคาประมาณของฟงกชนสองตวแปรหรอมากกวา 2 ตวได ในท านองเดยวกบใชผลตางอนพทธรวมหาคาประมาณและคาความคลาดเคลอนของฟงกชนทมตวแปร 1 ตว

ส าหรบฟงกชนสองตวแปร f (x x,y y) f (x,y) dz

ส าหรบฟงกชนสามตวแปร f (x x,y y,z z) f (x,y,z) dw

ตวอยาง ก าหนดให 2 2f (x, y) 9x y

จงใชผลตางอนพทธรวมประมาณคา f (0.98,4.04) วธท า ให (x, y) (1,4) และ (x x,y y) (0.98,4.04) (1 0.02,4 0.04) นนคอ dx x 0.02 และ dy y 0.04 ผลตางอนพทธรวม คอ

2 2 2 2

z z 9x ydz x y x y

x y 9x y 9x y

เมอแทนคา x 1, y 4, x 0.02 และ y 0.04 ได

2 2 2 2

9(1) 4dz ( 0.02) (0.04) ( 0.004)

9(1) (4) 9(1) (4)

เนองจาก f (x x,y y) f (x,y) dz

ดงนน

2 2

f (0.98,4.04) f (1,4) ( 0.004)

9(1) (4) 0.004

5 0.004 4.996

นนคอ f (0.98,4.04) 4.996

3.7 ระนาบสมผส และเสนแนวฉาก

ให 0 0 0 0P (x , y ,z ) เปนจดบนเสนโคง C ในปรภมสามมต ถา C มเวกเตอรสมผสหนวย t และเวกเตอรแนวฉากหนวย n ทจด 0P แลว จะเรยก

1. เสนตรงทผานจด 0P และขนานกบเวกเตอร t วาเสนสมผสของเสนโคง C ทจด P0

2. เสนตรงทผานจด 0P และขนานกบเวกเตอร n วาเสนแนวฉากของเสนโคง C ทจด P0

บทนยาม 3.7.1 ให 0 0 0 0P x , y ,z( ) เปนจดอยบนพนผว S และ 1. ถาเสนโคงเรยบทกเสนบน S ทผานจด 0P มเสนสมผส

ณ จด 0P อยบนระนาบเดยวกนทงหมด จะเรยกระนาบนนวาระนาบสมผส (Tangent Plane) ของพนผว S ทจด P0

และ 2. เรยกเสนตรงทผานจด 0P และตงฉากกบระนาบสมผสวา เสนแนวฉาก (Normal Line) ของพนผว S ทจด P0

ทฤษฎบท 3.7.1 ให 0 0 0 0P x , y ,z( ) เปนจดบนพนผว z f (x, y) ถา f(x, y) เปนฟงกชนทหาอนพนธไดทจด 0 0(x , y ) แลว พนผวจะมระนาบสมผสทจด 0P และระนาบสมผสมสมการเปน x 0 0 0 y 0 0 0 0f x , y x x f x , y y( )( ) ( )( )y z z( ) 0 ยงกวานน

1. เวกเตอร x 0 0 y 0 0f x , y , f x , y , 1 ( ) ( ) n

เปนเวกเตอรแนวฉากของพนผวทจด P0 และ

2. สมการของเสนแนวฉากของพนผวทจด P0 เปน

0 0 0

x 0 0 y 0 0

x x y y z zf x , y f( ) ( )x , y 1

ตวอยาง 3.7.1 (หนา 138) จงหาสมการของระนาบสมผส และสมการของเสนแนวฉากของพนผว 2 2z x y ทจด (1, -2, 5)

วธท า สมการระนาบสมผส คอ

x 0 0 0 y 0 0 0 0f x , y x x f x ,y y( )( ) ( )( )y z z( ) 0

สมการของเสนแนวฉาก คอ

0 0 0

x 0 0 y 0 0

x x y y z zf x , y f( ) ( )x , y 1

x xf (x, y) ......................... f (1, 2) ..............................

y yf (x, y) ......................... f (1, 2) ..............................

ดงนน สมการระนาบสมผสทจด (1, -2, 5) คอ x y( )( ) (f 1, 2 x 1 f 1, 2 y z 0)( ( 2)) ( 5)

………………………………………………………………………………………….

และสมการของเสนแนวฉากของพนผวทจด (1, -2, 5) คอ

x y

x 1 y ( 2( ) ( )

) z 5f 1, 2 f 1, 2 1

………………………………………………………………………………………….

ถาพนผวในปรภมสามมต ก าหนดโดย F(x, y,z) 0

ซงเปนฟงกชนโดยปรยาย โดยท z เปนฟงกชนของ x และ y จะได

yxx y

z z

FFf , f

F F

เพราะฉะนน สมการของระนาบสมผสพนผว F(x, y,z) 0 ทจด

0 0 0 0P x , y ,z( ) คอ

y 0 0 0x 0 0 00 0 0

z 0 0 0 z 0 0 0

F x( )( )( ) ( ) )

( ) (

, y , zF x , y , zx x y y (z z 0

F x , y , z F x , y , )z

หรอ

x 0 0 0 0 y 0 0 0 0

z 0 0 0 0

F x , y , z x x F (x , y , z (y y

F x , y

( )( ) ) )

, z )z 0( )(z

ในท านองเดยวกน สมการของเสนแนวฉากของพนผว F(x, y,z) 0 ทจด 0 0 0 0P x , y ,z( ) คอ

0 0 0

x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0

x x y y z zF x , y ,z F x , y ,z F x( ) ( ) ,( )y ,z

โดยทเวกเตอร x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0F x , y , z , F x , y , z , F x , y( ) ( ) ( ), zn เปน

เวกเตอรแนวฉากของพนผว F(x, y,z) 0 ทจด 0 0 0 0P x , y ,z( )

ตวอยาง 3.7.2 จงหาสมการของระนาบสมผสและสมการของ

เสนแนวฉากของพนผวทรงร 2 2

2x zy 3

4 9 ทจด (-2, 1, -3)

วธท า ให 2 2

2x zF(x, y,z) y 3 0

4 9 จะได

x xF ........................... F ( 2,1, 3) ....................

y yF ........................... F ( 2,1, 3) ....................

z zF ........................... F ( 2,1, 3) ....................

สมการของระนาบสมผสของพนผวของทรงรทจด (-2, 1, -3) คอ

x y

z

( 2,1, 3)( ( 2)) 2F x F ( (y,1, 3) 1)

( 2,1, 3)( ( 3))F z 0

นนคอ ........................................................................................

สมการของเสนแนวฉากของพนผวทรงรทจด (-2, 1, -3) คอ

x y z

1 ( 3)( 2,1, 3) ( 2x ( 2) y z

,1, 3) ( 2,1, F 3)F F

นนคอ ........................................................................................

3.8 คาสดขดและการประยกตปญหาคาสดขด

บทนยาม ยานจด 0 0(x , y ) คอ เซตของจด (x, y) ทมระยะหางจากจด 0 0(x , y ) ภายในระยะ ทก าหนด เขยนแทนดวย

0 0N (x , y ) นนคอ

2 20 0 0 0N (x , y ) (x, y) : (x x ) (y y )

บทนยาม 3.8.1 ให f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร

1. f มคาต าสดสมพทธ หรอมคาต าสดเฉพาะท (Relative Minimum or Local Minimum) ท 0 0(x , y ) ถา 0 0f (x, y) f (x , y ) ส าหรบทก (x, y) ทอยในยานจด 0 0(x , y ) และเรยก 0 0f (x , y )วาคาต าสดสมพทธ (Relative Minimum Value)

2. f มคาสงสดสมพทธ หรอมคาสงสดเฉพาะท (Relative Maximum or Local Maximum) ท 0 0(x , y ) ถา 0 0f (x, y) f (x , y ) ส าหรบทก (x, y) ทอยในยานจด 0 0(x , y ) และเรยก 0 0f (x , y )วาคาสงสดสมพทธ (Relative Minimum Value) หมายเหต คาสงสดหรอคาต าสดเรยกรวมกนวาคาสดขด

(Extreme Value)

0 0(x , y ) 0 0N (x , y )

บทนยาม 3.8.2 ให f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร และ ให fD แทนโดเมนของฟงกชน f

1. f มคาต าสดสมบรณ (Absolute Minimum) ท

0 0(x , y ) ถา 0 0f (x, y) f (x , y ) ส าหรบทก f(x, y) D 2. f มคาสงสดสมบรณ (Absolute Maximum) ท

0 0(x , y ) ถา 0 0f (x, y) f (x , y ) ส าหรบทก f(x, y) D

รปตอไปนแสดงกราฟของ f ซงมโดเมนเปนบรเวณสเหลยมจตรส

ปดในระนาบ xy ซงจดในโดเมนสอดคลองกบอสมการ 0 x 1, 0 y 1

คาต าสดสมพทธทจด A และ C คาสงสดสมพทธทจด C คาต าสดสมบรณทจด A คาสงสดสมบรณทจด D

สมมตให f(x, y) มคาสงสดสมพทธทจด 0 0(x , y ) และอนพนธ

ยอยของ f หาคาไดทจด 0 0(x , y ) แลว เสนรอยตดของพนผว z f (x, y) บนระนาบ 0x x , 0y y มเสนสมผสท 0 0(x , y ) อยตามแกนนอน ดงนน x 0 0f (x , y ) 0 และ y 0 0f (x , y ) 0

ขอสรปนยงคงจรงกบกรณท f มคาต าสดสมพทธทจด 0 0(x , y ) และไดผลดงทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 3.8.1 ถา f(x, y) มคาต าสดสมพทธหรอคาสงสดสมพทธทจด 0 0(x , y ) และอนพนธยอยอนดบหนงของ f(x, y) หาคาได แลว x 0 0f (x , y ) 0 และ y 0 0f (x , y ) 0

บทนยาม 3.8.3 ให f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร

0 0(x , y ) เปนจดวกฤต (Critical Point) ของ f(x, y) ถา x 0 0f (x , y ) 0 และ y 0 0f (x , y ) 0 หรอ อนพนธยอยใดอนพนธยอยหนงหรอทงสองหาคาไมไดทจด 0 0(x , y )

ตวอยาง 3.8.1 (หนา 186) จงหาคาสดขดสมพทธของฟงกชน 2 2f (x, y) x y 2x 6y 14

วธท า

ขนท 1 ค านวณอนพนธยอย

x yf (x, y) .................................., f (x, y) ....................................

ขนท 2 หาจดวกฤต โดยแกระบบสมการ

xf (x,y) 0 และ yf (x, y) 0 ขนท 3 ตรวจสอบประเภทของคาสดขด (ต าสด/สงสด)

2 2f (x, y) x y 2x 6y 14 2 2(x 1) (y 3) 4

เนองจาก 2(x 1) 0 และ 2(y 3) 0 ดงนน f (x, y) 4 ทก (x, y) เนองจาก 2 2f (1,3) (1 1) (3 3) 4 4 นนคอ คาต าสดสมพทธคอ f (1,3) 4

ตวอยาง จงพจารณากราฟของฟงกชน 2 2z f (x, y) x y

2 2z g(x, y) 1 x y 2 2z h(x, y) y x

ดงรป

มอนพนธยอยดงน

x y

x y

x y

f (x, y) 2x, f (x, y) 2y

g (x, y) 2x, g (x, y) 2y

h (x, y) 2x, h (x, y) 2y

ทงสามฟงกชนมอนพนธยอยทงหมดเปนศนยทจด (0, 0) ดงนน (0, 0) เปนจดวกฤตส าหรบทกฟงกชน

f มคาต าสดสมพทธทจด (0, 0) g มคาสงสดสมพทธทจด (0, 0)

แต h ไมมทงคาสงสดสมพทธและคาต าสดสมพทธทจด(0, 0) สงเกตวาส าหรบทกยานจด (0, 0) ใน 2 จะม จดท h(x, y) เปนบวก (จดบนแกน Y) และ จดท h(x, y) เปนลบ (จดบนแกน X) ดงนน h(0,0) 0 จงไมเปนทงคาสงสดหรอคาต าสดของ h(x, y) ในยานจด (0, 0)

บทนยาม 3.8.4 ให 0 0(x , y ) เปนจดวกฤตของ f(x, y) เรยก 0 0(x , y ) วาจดอานมา (Saddle Point) ของ f(x, y) ถา 0 0(x , y ) ไมไดใหคาสดขดของ f(x, y)

ดงนน จด (0, 0) เปนจดอานมาของฟงกชน 2 2h(x, y) y x

ทฤษฎบท 3.8.2 สมมตใหอนพนธยอยอนดบสองของ f(x, y) ตอเนองในยานจดวกฤต 0 0(x , y ) ให

20 0 xx 0 0 yy 0 0 xy 0 0D D(x , y ) f (x , y )f (x , y ) f (x , y )

1. ถา D 0 และ xx 0 0f (x , y ) 0 แลว 0 0f (x , y ) เปนคาต าสดสมพทธ

2. ถา D 0 และ xx 0 0f (x , y ) 0 แลว 0 0f (x , y )เปนคาสงสดสมพทธ

3. ถา D 0 แลว 0 0f (x , y ) ไมเปนคาต าสดสมพทธ หรอคาสงสดสมพทธ นนคอ f(x, y) มจดอานมาทจด 0 0(x , y )

4. ถา D 0 แลว ไมสามารถสรปเกยวกบจดวกฤตได

หมายเหต 1. ส าหรบกรณท D 0 แลว xx 0 0f (x , y ) และ yy 0 0f (x , y ) จะมเครองหมายเหมอนกน เราจงสามารถแทน xx 0 0f (x , y ) ในทฤษฎบท 3.8.2 ดวย

yy 0 0f (x , y ) ในการทดสอบสวนหลงได 2. เพอความสะดวกในการจ าสตรของ D ใหพจารณาหาคา

ตวก าหนดของเมทรกซขนาด 2 2 ดงน

xx 0 0 xy 0 0

0 0yx 0 0 yy 0 0

f (x , y ) f (x , y )D(x , y )

f (x , y ) f (x , y )

เมอ xy 0 0 yx 0 0f (x , y ) f (x , y )

ตวอยาง จงหาต าแหนงทเกดคาสดขดสมพทธหรอจดอานมาของ ฟงกชน 4 4f (x, y) 4xy x y

วธท า ขนท 1 หาอนพนธยอยอนดบทหนงและอนดบทสอง

3xf (x, y) 4y 4x , 3

yf (x, y) 4x 4y 2

xxf (x, y) 12x , 2yyf (x, y) 12y

และ xyf (x, y) 4 ขนท 2 หาคาจดวกฤต เนองจาก xf (x, y) และ yf (x, y) เปนฟงกชนพหนามหาคาไดทกจด (x, y) ในระนาบ xy ดงนน จดวกฤตเกดท xf (x,y) 0 และ yf (x, y) 0 นนคอ 3

yf (x, y) 4y 4x 0 (1)

3xf (x, y) 4x 4y 0 (2)

จากสมการ (1) ได 3x y (3) แทน (3) ใน (1) ได 3 34y 4(y ) 0 94y 4y 0

84y(1 y ) 0 y 1, 0, 1

แทนคา y ลงใน (3) ไดจดวกฤต คอ ( 1, 1), (0,0) และ (1,1) ขนท 3 ค านวณคาอนพนธยอยอนดบทสองและ

หาคา D ทจดวกฤต 2 2 2 2

xx yy xyD(x, y) f (x, y)f (x, y) f (x, y) ( 12x )( 12y ) (4)

จดวกฤต xxf (x, y) yyf (x, y) xyf (x, y) D(x, y) ( 1, 1) 12 12 4 128

(0,0) 0 0 4 16 (1,1) 12 12 4 128

ทจด ( 1, 1) และ (1, 1) มคา D 0 และ xxf 0 ไดวา จด ( 1, 1) และ (1, 1) ใหคาสงสดสมพทธ เทากบ

4 4f ( 1, 1) 4( 1)( 1) ( 1) ( 1) 4 1 1 2 และ 4 4f (1,1) 4(1)(1) (1) (1) 4 1 1 2 ทจด (0, 0) มคา D(0,0) 0 ไดวา จด (0, 0) เปนจดอานมา

ตวอยางตอไปนจะแสดงความไมสมบรณของทฤษฎบท 3.8.2

ตวอยาง จงหาคาสดขดสมพทธของ 2 2f (x, y) x y

วธท า ขนท 1 หาอนพนธยอยอนดบทหนงและอนดบทสอง

2xf (x, y) 2xy , 2

yf (x, y) 2x y, 2xxf (x, y) 2y ,

2yyf (x, y) 2x และ xyf (x, y) 4xy

ขนท 2 หาคาจดวกฤต เนองจาก xf (x, y) และ yf (x, y) เปนฟงกชนพหนามหาคาไดทกจด (x, y) ในระนาบ xy ดงนน จดวกฤตเกดท xf (x,y) 0 และ yf (x, y) 0 นนคอ 2

xf (x, y) 2xy 0 (1) 2

yf (x, y) 2x y 0 (2) จากสมการ (1) และสมการ (2) ไดวา

xf (x,y) 0 และ yf (x, y) 0 เมอ x 0 หรอ y 0

นนคอ จดวกฤต คอ จดทกจดบนแกน X และจดทกจดบนแกน Y ขนท 3 ค านวณคาอนพนธยอยอนดบทสองและ

หาคา D ทจดวกฤต 2 2 2 2

xx yy xyD(x, y) f (x, y)f (x, y) f (x, y) (2y )(2x ) (4xy) 0

ไดวา D(x, y) 0 ทจดวกฤตซงอยบนแกน X หรอบนแกน Y ดงนน โดยทฤษฎบท 3.8.2 ไมสามารถสรปเกยวกบจดวกฤตได อยางไรกตาม เนองจาก f (x, y) 0 ทกจดบนแกน X และทกจดบนแกน Y 2 2f (x, y) x y 0 ส าหรบจดอน ๆ บนระนาบ xy สรปไดวา จดวกฤตทกจดใหคาต าสดสมพทธ ซงจดดงกลาวจะใหคาต าสดสมบรณดวย ดงแสดงในรป

รปแสดงคาต าสดสมบรณของฟงกชน 2 2f (x, y) x y

ทฤษฎบท 3.8.3 ถา f(x, y) เปนฟงกชนตอเนองบนเซตปดและมขอบเขต R ใน 2

แลว จะมจด 1 1(x , y ) และ 2 2(x , y ) ใน R ซง f(x, y) จะมคาสงสดสมบรณ 1 1f (x , y ) และคาต าสดสมบรณ 2 2f (x ,y )

ขนตอนการหาคาสดขดสมบรณ 1. หาจดวกฤตของ f ทอยภายในบรเวณเซต R 2. หาจดขอบเขตทงหมดทสามารถเกดคาสดขดสมบรณ 3. ค านวณ f (x, y) ทจดทหาไดในขนท 1 และขนท 2

คาทมากทสดจะเปนคาสงสดสมบรณ และคาทนอยทสดจะเปนคาต าสดสมบรณ

ตวอยาง จงหาคาสงสดสมบรณและคาต าสดสมบรณของ f (x, y) 3xy 6x 3y 7 บนบรเวณ R ทเปนสามเหลยมปดซงมจดยอดอยท (0, 0), (3, 0) และ (0, 5)

วธท า ขนท 1 หาอนพนธยอยอนดบทหนงไดดงน xf (x, y) 3y 6 และ yf (x, y) 3x 3 ขนท 2 หาคาจดวกฤต

เนองจาก xf (x, y) และ yf (x, y) หาคาไดทกคา (x, y) ดงนน จดวกฤตจะเกดท x yf (x, y) f (x, y) 0

xf (x,y) 3y 6 0 (1) yf (x, y) 3x 3 0 (2)

จากสมการ (1) เราได y 2 และ จากสมการ (2) เราได x 1 ดงนน จดวกฤต คอ จด (1,2)

ขนท 3 หาจดบนขอบเขตของ R สามารถใหคาสดขดสมบรณได ขอบเขตของ R ประกอบดวยเสนตรง 3 เสน ซงจะแยกคดทละเสน ดงน

3.1) เสนตรงทเชอมจด (0, 0) และจด (3, 0) เสนตรงมสมการคอ y 0 เขยน f (x, y) ในรปของฟงกชนของตวแปร x เพยงตวเดยว คอ u(x) f (x,0) 6x 7, 0 x 3 เนองจาก u (x) 6 0 ส าหรบทก x [0,3] ดงนน u(x) จงไมมจดวกฤต คาสดขดสมบรณของ u(x) จะเกดทจดปลาย x 0 และ x 3 ซงคอจด (0, 0) และจด (3, 0) 3.2) เสนตรงทเชอมจด (0, 0) และจด (0, 5) เสนตรงมสมการคอ x 0 เขยน f (x, y) ในรปของฟงกชนของตวแปร y เพยงตวเดยว คอ

v(y) f (0, y) 3y 7, 0 y 5 เนองจาก v (y) 3 0 ส าหรบทก y [0,5] ดงนน v(y) จงไมมจดวกฤต คาสดขดสมบรณของ v(y) จะเกดทจดปลาย y 0 และ y 5 ซงคอจด (0,0) และจด (0,5) 3.3) เสนตรงทเชอมจด (3, 0) และจด (0, 5)

เสนตรงมความชนคอ y 0 5 5

mx 3 0 3

และ มสมการเสนตรงคอ 5

y 5 (x 0)3

นนคอ 5

y x 53

เขยน f (x, y) ในรปของฟงกชนของตวแปร x เพยงตวเดยว คอ

2

5w(x) f x, x 5

35 5

3x x 5 6x 3 x 5 73 3

5x 14x 8

เนองจาก w (x) 10x 14 0 เมอ 7

x5

ซงท าใหเกดจดวกฤตคอจด 7 8

,5 3

คาสดขดของ w(x) จะเกดทจด 7

x5

หรอจดปลาย x 0 และ

x 3 ซงคอจด 7 8

, ,5 3

(3,0) และจด (0,5)

ขนท 4 ค านวณคา f (x, y) ทจดวกฤตใน R และทจดบนขอบเขตทคาสดขดสมบรณสามารถเกดขนได

(x, y) (0,0) (3,0) (0,5) 7 8,

5 3

(1,2)

f (x, y) 7 11 8 95

1

คาสงสดสมบรณของ f (x, y) คอ f (0,0) 7 และ คาต าสดสมบรณของ f (x, y) คอ f (3,0) 11

เราสามารถประยกตคาสดขดของฟงกชนสองตวแปรไดในท านองเดยวกบการประยกตคาสดขดของฟงกชนหนงตวแปร

ตวอยาง จงหาขนาดของกลองสเหลยมผนผาเปดฝาดานบน มปรมาตร 32 ลกบาศกฟต ซงใชวสดในการท ากลองในปรมาณทนอยทสด

วธท า ก าหนดให x แทน ความยาวของกลอง (ฟต) y แทน ความกวางของกลอง (ฟต) z แทน ความสงของกลอง (ฟต) S แทน พนทผวของกลอง (ตารางฟต)

รปแสดงรปกลองสเหลยมผนผา

กลองทตองการใชวสดปรมาณนอยทสดคอกลองทมพนทผวนอยทสด ดงนน ปญหานเปนการหาคานอยทสดของพนทผว

S xy 2xz 2yz (1) โดยมปรมาตร 32 ลกบาศกฟต นนคอ xyz 32

ไดวา 32

zxy

(2)

ดงนน 64 64

S xyy x

(3)

ซงเปนฟงกชนสองตวแปร

เนองจาก x 0 และ y 0 ปญหาการหาคาต าสดสมบรณของ S บนบรเวณท x 0 และ y 0

เนองจากบรเวณนไมมขอบเขต จงไมสามารถยนยนไดวาคาต าสดสมบรณมหรอไม

แตถามคาต าสดสมบรณจะเกดขนทจดวกฤตของ S หาคาจดวกฤตโดยการหาคาอนพนธยอยอนดบทหนงของ (3) ได

2S 64

yx x

และ 2

S 64x

y y

เนองจาก Sx

และ

Sy

หาคาไดทกคา x 0 และ y 0

ดงนน จดวกฤตจะเกดท S

0x

และ

S0

y

นนคอ

2S 64

0 y 0 x x

(4)

2S 64

0 x 0y y

(5)

จากสมการ (4) ได 264

yx

น าไปแทนในสมการ (5) ได

2

2

64x 0

64x

หรอ 3x

x 1 064

มค าตอบคอ x 0 และ x 4 เนองจากตองการ x 0 จงม x 4 เปนค าตอบเดยว แทนคาหา y ได y 4

ดงนน จดวกฤต คอ (4,4) ใชอนพนธยอยอนดบทสองทดสอบจดวกฤต

2 2

2 3 2 3S 128 S 128

, x x y y

และ

2S1

x y

ดงนน เมอ x 4 และ y 4 ไดวา 2 2

2 2S S

2, 2 x y

และ

2S1

x y

ดงนน 22 2 2

22 2S S S

D(4,4) (2)(2) (1) 3x yx y

เนองจาก 2

2S

2 0x

และ D(4,4) 3 0

โดยทฤษฎบท 3.8.2 ไดวา จด (4,4) ใหคาต าสดสมพทธ แทนคา x 4 และ y 4 ลงใน (2) ได z 2 ดงนน กลองทใชวสดนอยทสดคอกลองทมความสง 2 ฟตและมฐานเปนสเหลยมจตรสมความยาวดานเทากบ 4 ฟต

ขอสงเกต ค าตอบทไดยงไมสมบรณ เพราะยงไมไดแสดงวาคาต าสดสมบรณส าหรบ S เกดเมอ x 4, y 4 และ z 2 เปนแตเพยงคาต าสดสมพทธเทานน การทจะแสดงวาคาสงสดขดสมพทธเปนคาสดขดสมบรณดวยนนท าไดยากส าหรบฟงกชนของสองตวแปรหรอมากกวา แตอยางไรกตามในโจทยประยกตเชนตวอยางน มกจะเหนไดชดเจนจากการพจารณารปราง หรอพจารณาในทางเรขาคณตวาคาทหาไดเปนคาสดขดสมบรณหรอไม

3.9 ตวคณลากรานจ (Lagrange Multiplier)

ให  f (x, y) มคาสดขดและ g 0 บนพนผว g(x, y) k วธการหาคาสดขดของ  f (x, y) โดยมเงอนไขประกอบ

g(x, y) k โดยท 1. หาทกคาของ x, y และ โดยท

f (x, y) g(x,y) และ g(x, y) k 2. คาของ f ททกจด (x, y) จากขอ 1. ทมากทสดจะเปนคาสงสด ของ f และคานอยทสดจะเปนคาต าสดของ f วธการนเรยกวาวธตวคณลากรานจ (Method of Lagrange Multiplier) และเรยกจ านวนจรง วาตวคณลากรานจ (Lagrange Mmultiplier)

ถาเขยนสมการเวกเตอร f g ในพจนของสวนประกอบ แลวจะได

x x y yf g f g g(x, ,, y) k

ซงเปนระบบสมการ 3 สมการ และมตวไมทราบคา 3 ตว ไดแก x, y และ

ตวอยาง 3.9.2 (หนา 194) จงหาคาสดขดของฟงกชน 2 2f (x, y) x 2y บนวงกลม 2 2x y 1

วธท า ขนท 1 เขยนปญหา คอ

คาสดขดของ 2 2f (x, y) x 2y สอดคลองเงอนไข 2 2g(x, y) x y 1

ขนท 2 สรางระบบสมการจาก f g x x y yf g f g g(x, ,, y) k

ได 2x 2x (1) 4y 2y (2)

2 2x y 1 (3) ขนท 3 หาผลเฉลยของระบบสมการ

จาก (1) ได x 0 หรอ 1 กรณท 1 x 0 แทนคา x ใน (3) ได y 1 กรณท 2 1 แทนคา ใน (2) ได y 0 แทนคา y ใน (3) ได x 1 ดงนน f จะมคาสดขดทจด (0, 1), (0, -1), (1, 0) และ (-1, 0) ดงนนคาของ f ทงสจด คอ f (0,1) 2, f (0, 1) 2, f (1,0) 1, f ( 1,0) 1

ขนท 4 หาคาสงสดและคาต าสดบนวงกลม 2 2x y 1 คาสงสดของ f คอ f (0, 1) 2 และคาต าสด คอ f ( 1,0) 1

เราสามารถขยายแนวคดของวธตวคณลากรานจไปสฟงกชนสามตวแปรได ดงน

ให  f (x, y,z) มคาสดขดและ g 0 บนพนผว g(x, y,z) k วธการหาคาสดขดของ  f (x, y,z) โดยมเงอนไขประกอบ

g(x, y,z) k โดยท 1. หาทกคาของ x, y, z และ โดยท

f (x,y,z) g(x,y,z) และ g(x, y,z) k 2. คาของ f ททกจด (x, y, z) จากขอ 1. ทมากทสดจะเปนคาสงสด ของ f และคานอยทสดจะเปนคาต าสดของ f วธการนเรยกวาวธตวคณลากรานจ (Method of Lagrange Multiplier) และเรยกจ านวนจรง วาตวคณลากรานจ (Lagrange Multiplier)

ถาเขยนสมการเวกเตอร f g ในพจนของสวนประกอบ แลวจะได

x x y y z zf g f g f g g(, , x, y,z) k,

ซงเปนระบบสมการ 4 สมการ และ มตวไมทราบคา 4 ตว ไดแก x, y, z และ ตวอยาง 3.9.3 (หนา 195) จงหาจดบนทรงกลม

2 2 2x y z 4 ทอยใกลและไกลทสดจากจด (3, 1, -1)

วธท า ระยะทางจากจด (x, y, z) ไปยงจด (3, 1, -1) คอ 2 2 2d (x 3) (y 1) (z 1)

เนองจากการหาคาสงสดและคาต าสดของ 2 2 2S f (x, y,z) (x 3) (y 1) (z 1)

จะไดคาสงสดและคาต าสดของ d ดวย เพราะฉะนน จะพจารณาคาสงสดและคาต าสดของ f(x, y, z) เมอจด (x, y, z) อยบนทรงกลม นนคอ 2 2 2g(x, y,z) x y z 4 ขนท 1 เขยนปญหา คอ คาสดขดของ 2 2 2f (x, y,z) (x 3) (y 1) (z 1) สอดคลองเงอนไข 2 2 2g(x, y,z) x y z 4 ขนท 2 สรางระบบสมการจาก f g

x x y y z zf g f g f g g(, , x, y,z) k,

ได 2(x 3) 2x (1) 2(y 1) 2y (2)

2(z 1) 2z (3) 2 2 2x y z 4 (4)

ขนท 3 หาผลเฉลยของระบบสมการ จาก (1), (2), (3) ได

3x ,

1

1y ,

1

และ

1z

1

แทนคา x, y, z ใน (4) ได 2 2 2

2 2 23 1 ( 1)

4(1 ) (1 ) (1 )

2 11(1 )

4

ไดวา 11

12

นนคอ f มคาสดขดทจด 6 2 2

, ,11 11 11

และจด 6 2 2

, ,11 11 11

ขนท 4 หาคาสงสดและคาต าสด แทนคาจดทงสองใน f(x, y, z) ไดวา

จด 6 2 2

, ,11 11 11

อยใกลจด (3, 1, -1) ทสด

และ จด 6 2 2

, ,11 11 11

อยไกลจด (3, 1, -1) ทสด

ถาตองการหาคาต าสดและคาสงสดของฟงกชน f(x, y, z) โดยมเงอนไข g(x, y,z) k และ h(x, y,z) c ซงหมายความวาคาสดขดของ f เมอ (x, y, z) เปนจดบนเสนโคง C ทเกดจากการตดกนของพนผว g(x, y,z) k และพนผว h(x, y,z) c

สมมต f มคาสดขดทจด 0 0 0P(x , y ,z ) เนองจาก f จะตงฉากกบเสนโคง C ทจด P แต g จะตงฉากกบพนผว g(x, y,z) k

และ h จะตงฉากกบพนผว h(x, y,z) c ดงนน g และ h จะตองฉากกบเสนโคง C นนคอ 0 0 0f (x , y ,z ) จะอยในระนาบทก าหนดโดย

0 0 0g(x ,y ,z ) และ 0 0 0h(x ,y ,z ) ดงนนจะมจ านวนจรง และ (เรยกวาตวคณลากรานจ) โดยท

0 0 0 0 0 0 0 0 0f (x , y , z ) g(x , y , z ) h(x , y , z ) (*)

หาคาสดขดโดยแกระบบสมการ 5 สมการ 5 ตวไมทราบคา x, y,z,และ โดยระบบสมการไดมาจาก (*) คอ

x x xf g h y y yf g h z z zf g h

g(x, y,z) k h(x, y,z)   c

ตวอยาง 3.9.4 (หนา 197) จงหาคาสงสดของฟงกชน f (x, y,z) x 2y 3z บนเสนโคง C ทเกดจากการตดกนของระนาบ x y z 1 และทรงกระบอก 2 2x y 1

วธท า แกระบบสมการหาคา x, y,z, และ จากระบบสมการ f g h

g(x, y,z)   1 h(x, y,z)   1

และเขยนระบบสมการใหม ไดเปน x x xf g h 1 2 x (1)

y y yf g h 2 2 y (2)

z z zf g h 3 (3) g(x, y,z)   1 x y z   1 (4) h(x, y,z)   1 2 2x y 1 (5)

แทนคา 3 ใน (1) ได 1

2 x 2 x

แทนคา 3 ใน (2) ได 5

2 y 5 y2

แทนคา x และ y ใน (5) ได

22 2

1 25 29 291

4 24

ท าใหได 2

x29

และ 5

y29

แทนคา x และ y ใน (4) ได 7

z 129

ดงนน คาของ f คอ 2 5 7

f , ,129 29 29

2 5 72 3 1

29 29 29

3 29

คามากทสดของ f บนเสนโคงทก าหนด คอ 3 29